Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr. temperatura, tlak,...) skalarne veličine opisujemo realnim brojevima za opis vektorske veličine trebamo zadati njezin iznos i smjer (npr. položaj, brzina, akceleracija,...) vektorske veličine opisujemo usmjerenim dužinama u prostoru Slika 1: Vektor s hvatištem u točki i krajem u točki. vektori i su jednaki ako imaju jednaku dužinu i smjer pritom nije bitno gdje im se nalazi hvatište tj. početna točka vektora 1
1 ALGEBA VEKTOA 2 Slika 2: Jednakost vektora i. vektor ima jednaku dužinu kao vektor, ali suprotan smjer Slika 3: Vektor i njemu suprotan vektor. 1.2 Zbrajanje i oduzimanje vektora vektor translatiramo tako da mu se hvatište poklapa s krajem vektora hvatište zbroja c = + poklapa se s hvatištem vektora (točka ), dok mu se kraj poklapa s krajem vektora (točka ) + Slika 4: Zbrajanje vektora i. oduzimanje vektora svodimo na zbrajanje vektora
1 ALGEBA VEKTOA 3 vektor translatiramo tako da mu se hvatište poklapa s krajem vektora hvatište razlike c = poklapa se s hvatištem vektora (točka ), dok mu se kraj poklapa s krajem vektora (točka 1 ) 1 1 Slika 5: ostupak oduzimanja vektora i. 1.3 Množenje vektora skalarom ako je skalar n pozitivan, vektori i imaju jednak smjer, a ako je skalar n negativan suprotan duljina vektora je u oba slučaja n puta veća od duljine vektora n Slika 6: Množenje vektora skalarom n. ako vektor podijelimo s njegovom dužinom ( ), kao rezultat ćemo dobiti vektor jedinične dužine takav vektor zovemo jedinični vektor 0 = (1)
2 SKALANI ODUKT VEKTOA 4 kod zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom vrijede sljedeća pravila komutativnost zbrajanja: + = + komutativnost množenja skalarom: n = n distributivnost: n( + ) = n + n 2 Skalarni produkt vektora 2.1 Definicija skalarnog produkta vektora prvo uvodimo pojam projekcije vektora na promatramo dva vektora i koji zatvaraju kut Slika 7: Vektori i koji zatvaraju kut. povučemo okomicu iz točke na vektor vektor s hvatištem u točki i krajem u točki S zovemo projekcija vektora na vektor (označimo ga s b ) S b S Slika 8: rojekcija vektora na vektor.
2 SKALANI ODUKT VEKTOA 5 iz pravokutnog trokuta na slici slijedi cos = b = b = cos (2) skalarni produkt vektora definiramo kao produkt duljine projekcije b i duljine vektora b = b = cos (3) kao oznaku za skalarni produkt obično koristimo izmed u vektora rezultat skalarnog množenja vektora je skalar skalarni produkt vektora je komutativan osim komutativnosti vrijedi b = = cos (4) (n) b = n cos = n cos = n b (5) treće važno svojstvo je distributivnost ( + ) c = c + c (6) iz formule (3) slijedi da skalarni produkt vektora i iščezava u tri slučaja duljina vektora je nula duljina vektora je nula kut izmed u vektora i je = 90 0 jer je cos 90 0 = 0 ovisno o kutu skalarni produkt može biti pozitivan (0 90 0 ) ili negativan (90 0 180 0 ) u prvom slučaju je kut izmed u vektora i šiljat, a u drugom tup b > 0 b = 0 b < 0 Slika 9: rimjer šiljatog, pravog i tupog kuta.
2 SKALANI ODUKT VEKTOA 6 jedinični vektori i, j i k su med usobno okomiti pa vrijedi i j = j k = k i = 0 (7) isto tako, kvadrat jediničnih vektora iznosi 1 i i = j j = k k = 1 (8) bilo koji vektor možemo napisati kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora = a x i + a y j + a z k i = bx i + b y j + b z k (9) skalarni produkt ) ) b = (a x i + a y j + a z k (b x i + b y j + b z k = a x b x i i + a x b y i j + a x b z i k = a y b x j i + a y b y j j + a y b z j k = a z b x k i + a z b y k j + a z b z k k (10) iskoristimo relacije (8) i (7) b = a x b x + a y b y + a z b z (11) ako su zadane komponente dva vektora, možemo izračunati kut izmed u njih cos = b = a x b x + a y b y + a z b z a 2 x + a 2 y + a 2 z b 2 x + b 2 y + b 2 z (12) 2.2 Ortogonalna projekcija vektora na pravac označimo projekciju vektora na pravac p s
2 SKALANI ODUKT VEKTOA 7 B C p B A A Slika 10: rojekcija vektora na pravac p. iz pravokutnog trokuta ACB slijedi = + (13) vektor smo rastavili na vektor koji leži na pravcu p i vektor koji je okomit na pravac p neka je u jedinični vektor koji pripada pravcu p skalarni produkt u daje duljinu projekcije vektora na pravac p ako pomonožimo duljinu projekcije s vektorom u dobit ćemo vektor možemo pokazati da je vektor okomit na vektor u = ( u) u (14) u = u ( u)( u u) = 0 (15) vektor smo rastavili na sumu vektora paralelnog s pravcem p i vektora okomitog na pravac p
3 VEKTOSKI ODUKT 8 rimjer vuȩmo kvadar silom F pod kutem u odnosu na smjer gibanja (horizontalni) u F F F Slika 11: Sila F koja djeluje na tijelo pod kutem. ako želimo izračunati rad, trebamo komponentu sile u smjeru puta u ovom slučaju je to komponenta F = ( F u) u (16) pritom u označava jedinični vektor u smjeru puta (tj. u horizontalnom smjeru) kut izmed u vektora F i u iznosi pa vrijedi F = ( F u) u = F cos u (17) 3 Vektorski produkt osim skalarnog, definiramo i vektorski produkt dva vektora c = (18) duljina vektora c iznosi c = sin (19)
3 VEKTOSKI ODUKT 9 c Slika 12: Vektorski produkt vektora i. smjer vektora c = odred ujemo pravilom desne ruke: prsti pokazuju u smjeru od vektora prema vektoru, a palac onda pokazuje smjer vektora c odmah slijedi da je vektorski produkt antikomutativan = (20) vektorski produkti jediničnih vektora prikazani su na slici k i = j k k j = k i k k = i j i j i j i j Slika 13: Vektorski produkti jediničnih vektora.
3 VEKTOSKI ODUKT 10 za vektorske produkte jediničnih vektora vrijede sljedeće relacije i j = k (21) j k = i (22) k i = j (23) j i = k (24) k j = i (25) i k = j (26) i i = 0 (27) j j = 0 (28) k k = 0 (29) (30) sada možemo izračunati vektorski produkt dva proizvoljna vektora = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = a x b x ( i i) + a x b y i j + a x b z i k + a y b x ( j i) + a y b y j j + a y b z j k + a z b x ( k i) + a z b y k j + a z b z k k = a x b y k ax b z j a y b x k + ay b z i + a z b x j a z b y i = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k (31) umjesto krajnje formule (31) jednostavnije je zapamtiti kako glase vektorski produkti jediničnih vektora rimjer: zakretni impuls čestice želimo izračunati zakretni impuls čestice mase m koja se giba konstatnom kutnom briznom ω po kružnici radijusa r
3 VEKTOSKI ODUKT 11 y v m r ωt cosωt sin ωt x Slika 14: Čestica se giba po kružnici konstantnom kutnom brzinom ω položaj čestice r = cosωt i + sin ωt j (32) brzinu čestice možemo izračunati tako da deriviramo vektor r po vremenu zakretni impuls čestice uvrstimo vektor položaja i brzine ( ) r v = cosωt i + sin ωt j v = d r dt = ω sin ωt i + ω cosωt j (33) M = m r v (34) ( ) ω sin ωt i + ω cosωt j = 2 cosωt sin ωt( i i) 2 sin 2 ωt( j i) + 2 sin ωtcosωt( j j) + 2 ω cos 2 ωt( i j) (35) sada iskoristimo vektorske produkte jediničnih vektora r v = 2 ω ( sin 2 ωt + cos 2 ωt ) k = 2 ω k (36) zakretni impuls čestice M = m 2 ω k (37)
4 ZADACI ZA VJEŽBU 12 4 Zadaci za vježbu Zadatak 1 Čestica mase m giba se po putanji Izračunajte zakretni impuls čestice. r = a cosωt i + b sin ωt j