ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE

6 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE In sudiul sabiliăţii sisemelor se uilizează două concepe: concepul de sabiliae inernă (a sării) şi concepul de sabiliae exernă (a ieşirii) 6 STABILITATEA INTERNA Un sisem ese inern sric sabil dacă în regim liber sarea sisemului evoluează spre origine oricare ar fi sarea iniţială Sisemele sric sabile se mai numesc asimpoic sabile sau exponenţial sabile Ele saisfac relaţia: X l lim ( ) X () Un sisem ese inern sabil dacă în regim liber sarea sisemului rămâne finiă oricare ar fi sarea iniţială Un sisem sabil care nu ese sric sabil se numese semisabil sau sabil la limiă iar un sisem care nu ese sabil se numeşe insabil La sisemele liniare sric sabile raiecoria de sare în regim liber ese convergenă spre origine în imp ce la sisemele semisabile raiecoria ese ciclică (sub forma unei curbe închise) Traiecoria de sare a unui sisem insabil ese divergenă Traiecoriile convergene şi cele divergene po avea forma simplă sau în spirală A Tinând seama că X l ( ) Φ( ) X unde Φ ( ) e > - la sisemele liniare coninue şi Φ ( ) A N - la sisemele liniare discree rezulă că: a) Un sisem ese inern sric sabil dacă şi numai dacă maricea fundamenală inde spre zero adică lim Φ( ) ; ()

9 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE b) Un sisem ese inern sabil dacă şi numai dacă maricea fundamenală ese finiă adică exisă M > asfel încâ Φ ( ) M () Din relaţiile () şi () reiese că sabiliaea inernă a unui sisem liniar (coninuu sau discre) ese o proprieae asociaă exclusiv maricei A 6 Sabiliaea inernă a sisemelor coninue Dacă maricea A a unui sisem liniar coninuu are valorile proprii λ λ L disince aunci maricea fundamenală poae fi scrisă sub forma λ n unde V ese maricea vecorilor proprii şi e A A V e V A λ λ λ e Deoarece maricea V ese nesingulară avem n diag(e e Le ) A lime lim e A lime λ i Reλ < i i i Rezulaul obţinu ese valabile şi la sisemele cu valori proprii muliple A Asfel dacă λ λ aunci celula păraă din exponenţiala mariceală e corespunzăoare valorilor proprii λ şi λ are forma λ e Aceasă marice celulă inde la zero dacă şi numai dacă Reλ < De asemenea penru o marice A cu valorile proprii disince are loc implicaţia: i Reλ i i e λ i e < e < Tinând seama de fapul că valorile proprii ale maricei A sun rădăcinile polinomului caracerisic n n P ( λ) de( λi A) λ + an λ + L+ aλ + a rezulă: Teorema sabiliăţii inerne a sisemelor coninue Un sisem coninuu ese inern sric sabil dacă şi numai dacă oae rădăcinile polinomului caracerisic au parea reală negaivă adică sun siuae în semiplanul complex sâng (în sânga axei imaginare) Dacă polinomul caracerisic are una sau mai mule rădăcini A A

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 9 (simple) cu parea reală nulă iar celelale rădăcini cu parea reală negaivă aunci sisemul ese inern semisabil (sabil la limiă) Din eorema sabiliăţii inerne rezulă că dacă o rădăcină a polinomului caracerisic are parea reală poziivă aunci sisemul ese inern insabil Concepul de sabiliae inernă ese aplicabil în principal la sisemele de ip I-S-E dar poae fi uiliza şi la sisemele de ip I-E Deoarece ambele ipuri de siseme au comun concepul de polinom caracerisic enunţul eoremei de sabiliae rămâne valabil şi la sisemele de ip I-E Un argumen în sprijinul acesei afirmaţii ese fapul că sisemul monovariabil de ip I-E cu ecuaţia y ( n) + a n y ( n ) ( r) ( r ) + L + a y& + a y b u + b u + L+ bu& + b u r < n r r şi sisemul I-S-E echivalen x& x M x& n xn x& a x a x n L a n n x + u y b x b x L b r x + + + r+ au acelaşi polinom caracerisic anume n n P ( λ) λ + an λ + L+ aλ + a La sisemele mulivariabile cu m inrări şi p ieşiri polinomul caracerisic al sisemului ese cmmmc al polinoamelor caracerisice asociae celor m p canale inrare-ieşire Observaţie Din expresia funcţiei de ranziţie a sării X ( ) e A X A( τ ) + e BU( τ)dτ rezulă că dacă un sisem coninuu ese inern sric sabil aunci penru orice inrare mărginiă sarea sisemului rămâne mărginiă 6 Sabiliaea inernă a sisemelor discree Dacă maricea A a unui sisem liniar discre are valorile proprii λ λ disince aunci maricea fundamenală poae fi scrisă sub forma A V A V unde V ese maricea vecorilor proprii şi A diag( λ λ L λ n ) L λn

94 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Deoarece maricea V ese nesingulară avem lim A lim A lim λ i i λ i < i Rezulaul obţinu ese valabile şi la sisemele cu valori proprii muliple Asfel dacă λ λ aunci celula păraă din puerea mariceală A corespunzăoare valorilor proprii λ şi λ are forma λ λ λ Aceasă celulă inde la zero dacă şi numai dacă λ < De asemenea penru o marice A cu valorile proprii disince are loc implicaţia: i λ i i λ i A < A < Tinând seama de fapul că valorile proprii ale maricei A sun rădăcinile polinomului caracerisic ( λ) de( λi A) rezulă: P Teorema sabiliăţii inerne a sisemelor discree Un sisem discre ese inern sric sabil dacă şi numai dacă oae rădăcinile polinomului caracerisic au modulul subuniar adică sun siuae în ineriorul cercului uniar cu cenrul în origine Dacă polinomul caracerisic are una sau mai mule rădăcini (simple) cu modulul egal cu iar celelale rădăcini cu modulul subuniar aunci sisemul ese inern semisabil Din eorema sabiliăţii inerne rezulă că dacă o rădăcină a polinomului caracerisic are modulul suprauniar aunci sisemul ese inern insabil Ca şi la sisemele coninue enunţul eoremei de sabiliae rămâne valabil şi la sisemele de ip I-E Din expresia funcţiei de ranziţie a sării X ( ) A X + ( A BU + A BU + L + BU ) rezulă că dacă un sisem discre ese inern sric sabil aunci penru orice inrare mărginiă sarea sisemului ese mărginiă Observaţii Deoarece polinomul caracerisic al unei conexiuni serie sau paralel de două subsiseme coninue sau discree ese egal cu produsul polinoamelor caracerisice ale subsisemelor adică P s) P ( s) P ( ) rezulă că ( s specrul sisemului rezulan (mulţimea rădăcinilor polinomului caracerisic) ese reuniunea disjuncă a specrelor celor două siseme componene adică σ σ ~ σ (4)

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 95 In consecinţă sisemul rezulan (serie sau paralel) ese inern sric sabil dacă şi numai dacă sisemele componene sun inern sric sabile Din dezvolarea n n de( λ I A) λ ( a + a + L + ann) λ +L reiese că suma rădăcinilor polinomului caracerisic ese egală cu suma elemenelor diagonale ale maricei A adică Deoarece λ + + + a + a + L+ λ L λn a nn + λ + + λn λ + λ + L+ λ n λ L Re Re Re rezulă că un sisem coninuu ese inern insabil dacă a a + L + a (5) Similar deoarece + nn > λ + + + + + + a + a + L+ a λ L λn λ λ L λn rezulă că un sisem discre ese inern insabil dacă a + a + L+ ann > n (6) nn Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului coninuu x& x x& x x x& 5x + 6x 4x + u y x + x Soluţie Formăm polinomul caracerisic al sisemului λ P ( λ) de( λ I A) λ λ + 4λ + λ 6 ( λ )( λ + )( λ + ) 5 6 λ + 4 Deoarece P (λ) are o rădăcină poziivă ( λ ) sisemul ese inern insabil Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului coninuu unde m ese un parameru real x& x + mx u x& x x x& x x x + u y x + x Soluţie Deoarece a + a + a + > sisemul ese inern insabil oricare ar fi m real

96 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului coninuu unde m ese un parameru real x& x + mx u x& x x y x 7x Soluţie Formăm polinomul caracerisic al sisemului λ + m P ( λ) de( λ I A) λ + λ + m λ + Penru m rădăcinile λ şi λ ale polinomului caracerisic sun reale 4 Deoarece λ + λ < şi λ λ m rezulă că: a) penru m < ambele rădăcini sun negaive deci sisemul ese sric sabil; 4 b) penru m avem λ şi λ deci sisemul ese semisabil; c) penru m > o rădăcină ese negaivă iar cealală ese poziivă deci sisemul ese insabil Penru m < rădăcinile λ şi λ ale polinomului caracerisic sun complexe 4 Deoarece Reλ < sisemul ese sabil In concluzie sisemul ese inern sabil penru m şi inern insabil penru m > Penru m sisemul ese inern semisabil (sabil la limiă) Aplicaţia 64 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului coninuu & y + 8y& + (6 m ) y u& + u m Soluţie Ecuaţia caracerisică 8 λ + λ + 6 m are rădăcinile reale λ 4 m şi λ 4 + m Sisemul ese inern sric sabil penru m < 4 inern semisabil penru m 4 şi inern insabil penru k > 4 Aplicaţia 65 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului discre x( + ) x( ) + mx( ) + u( ) x ( + ) x ( ) (m + 5) x ( ) u( ) y ) x ( ) 5x ( ) ( unde m ese un parameru real Soluţie Sisemul are polinomul caracerisic λ + m P ( λ) de( λ I A) λ + (m + ) λ + m + λ + m + 5

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 97 cu rădăcinile reale λ şi λ m Rădăcina λ are modulul subuniar iar rădăcina λ are modulul subuniar penru < m < In consecinţă sisemul ese inern sric sabil penru m ( ) inern semisabil penru m { } şi inern insabil penru m ( ) ( ) Aplicaţia 66 Să se sudieze sabiliaea inernă a sisemului discre y ( ) + y( ) + ( m) y( ) u( ) + u( 4) unde m ese un parameru real Soluţie Ecuaţia caracerisică λ + λ + m 4m + 4m are rădăcinile reale penru m ( λ şi λ ) şi complexe 4 j 4m + j 4m penru m < ( λ λ ) Cazul m Ambele rădăcini au modulul subuniar numai penru m 4 4 Cazul m < Ambele rădăcini au modulul subuniar numai penru m < 4 4 Sisemul ese inern sric sabil penru m ( ) inern semisabil penru m { } şi inern insabil penru m ( ) ( ) 6 STABILITATEA EXTERNA Dacă sabiliaea inernă a unui sisem caracerizează sabiliaea sării în regim liber în schimb sabiliaea exernă caracerizează sabiliaea ieşirii (răspunsului) în regim forţa Prin definiţie un sisem liniar ese exern sric sabil dacă penru orice inrare mărginiă ieşirea forţaă a sisemului ese de asemenea mărginiă Prin urmare la un sisem exern sric sabil oricare ar fi inrarea cu proprieaea exisă M > asfel încâ U ( ) Y f ( ) M 6 Sabiliaea exernă a sisemelor coninue La sisemele monovariabile coninue proprii din relaţia de convoluţie y ( ) g( -τ) u( τ) dτ f

98 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE unde g () ese funcţia pondere obţinem urmăorul rezula: Un sisem monovariabil coninuu ese exern sric sabil dacă şi numai dacă inegrala I g( ) d (7) ese finiă Penru a demonsra necesiaea presupunem că inegrala I nu ese finiă şi arăam că se ajunge la o conradicţie (că sisemul nu ese exern sric sabil) Dacă T I nu ese finiă aunci oricare ar fi M > exisă T > asfel încâ g ( ) d > M Scriem aceasă inegaliae sub forma T T g ( T τ ) dτ > M apoi sub forma g ( T τ ) sgn ( g( T τ )) dτ > M Alegând acum inrarea u ( τ) sgn( g( T τ)) care saisface condiţia u (τ ) T rezulă g ( T τ) u( τ ) d τ > M adică y ( T) > M rezula în conradicţie cu ipoeza de mărginire a ieşirii y () Penru a demonsra suficienţa vom considera inegrala I finiă şi vom arăa că penru orice inrare u() saisfăcând condiţia u() ieşirea y() ese mărginiă Inr-adevăr avem y( ) g( τ ) u( τ) dτ g( τ) u( τ) dτ g( τ) dτ g( x) dx g( x) dx I Prin relaxarea condiţiilor de sabiliae srică se consideră că un sisem monovariabil ese exern sabil dacă funcţia pondere g () ese mărginiă pe ( ) adică exisă M > asfel încâ g( ) M > (8) Deoarece funcţia pondere a unui sisem I-S-E ese dependenă de maricele A B C şi D rezulă că sabiliaea exernă consiuie o proprieae asociaă uuror acesor marice spre deosebire de sabiliaea inernă care ese asociaă numai maricei A Să considerăm acum sisemul monovariabil minimal cu modelul primar y ( n) + a n modelul secundar y ( n ) ( r) ( r ) + L + a y& + a y b u + b u + L+ bu& + b u r r ( n) ( n ) anz + an z + L+ az& + az u ( r) y b z + L+ b z& + b z r

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 99 şi funcţia de ransfer G( s) r r br s + br s n n s + an s + L+ b s + b + L+ a s + a Deoarece sisemul ese minimal mulţimea polilor s s s n ai funcţiei de ransfer G (s) coincide cu mulţimea rădăcinilor ecuaţiei caracerisice Să considerăm mai înâi cazul în care oţi polii funcţiei de ransfer sun simpli (diferiţi înre ei) şi a Penru inrare ip reapă uniară răspunsul z () are forma z + L + s s ( ) + C e C e + a sn C n e unde oţi coeficienţii C i sun diferiţi de zero Din a doua ecuaţie a modelului secundar obţinem răspunsul indicial al sisemului sub forma unde h b sn L e (9) s s ( ) + Ae A e + + + A a n r r i i r i r i i + b A C ( b s + b s + L + b s ) i L n Sisemul fiind minimal polii s i nu sun rădăcini ale numărăorului funcţiei de ransfer G (s) deci oţi coeficienţii A i sun diferiţi de zero Sisemul are funcţia pondere b ( ) ( ) ( ) ( ) e e n g h & + h + δ s A s + sa s + L+ snan es n + ( ) a δ () Inegrala I ese finiă dacă şi numai dacă oae funcţiile exponenţiale din componenţa funcţiei pondere g () ind spre penru adică aunci când oţi polii s s s n au parea reală negaivă In ceea ce priveşe funcţia pondere g () aceasa ese mărginiă dacă şi numai dacă oţi polii s s s n au parea reală negaivă sau nulă Dacă polii s şi s sun reali şi egali aunci expresiile corespunzăoare s acesor poli în funcţiile h () şi g () au formele ( A A )e + respeciv s ( A + s A + s A )e Condiţiile ca inegrala I să fie finiă rămân neschimbae In schimb penru ca funcţia pondere g () să fie mărginiă ese necesar ca polul dublu s să aibă parea reală negaivă (nu şi nulă) In cazul a şi a funcţia de ransfer G (s) are un pol în origine h () conţine ermenul ( b / a) iar g () conţine ermenul b /a Dacă ceilalţi poli au parea reală negaivă funcţia pondere g () ese mărginiă dar inegrala I nu ese finiă Tinând seama de acese rezulae şi de fapul că un sisem neminimal are răspunsul forţa egal cu cel al sisemului minimal echivalen puem formula n

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Teorema sabiliăţii exerne a sisemelor coninue Un sisem monovariabil coninuu ese exern sric sabil dacă şi numai dacă oţi polii funcţiei de ransfer a sisemului au parea reală negaivă Sisemul ese exern semisabil dacă şi numai dacă polii funcţiei de ransfer a sisemului au parea reală negaivă sau nulă iar polii cu parea reală nulă sun simpli Dacă exisă un pol cu parea reală poziivă sau un pol muliplu cu parea reală nulă aunci sisemul ese exern insabil Concepul de sabiliae exernă ese aplicabil aâ la sisemele de ip I-E câ şi la cele de ip I-S-E Un sisem inern sabil ese şi exern sabil iar un sisem exern insabil ese şi inern insabil Un sisem inern insabil poae fi însă exern sabil în cazul în care rădăcinile cu parea reală poziivă ale polinomului caracerisic nu sun poli ai funcţiei de ransfer a sisemului La un sisem inern insabil de ip I-S-E având forma modală (caracerizaă prinr-o marice A de ip diagonal) variabilele de sare asociae valorilor proprii cu parea reală poziivă sun insabile iar variabilele de sare asociae valorilor proprii cu parea reală negaivă sun sabile Dacă mărimea de ieşire a sisemului ese dependenă (liniar) numai de variabilele de sare sabile aunci sisemul ese exern sabil Un sisem mulivariabil ese exern sabil dacă şi numai dacă oae canalele inrare-ieşire ale sisemului sun exern sabile 6 Sabiliaea exernă a sisemelor discree La sisemele monovariabile discree cu funcţia pondere g () din relaţia de convoluţie y ( ) g( ) u() + g( ) u() + L + g() u( ) g( i) u( i) obţinem urmăorul rezula: f Un sisem monovariabil discre ese exern sric sabil dacă şi numai dacă suma ese finiă i S g( k) () k

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Penru a demonsra necesiaea presupunem că suma S nu ese finiă Aunci oricare ar fi M > exisă N naural asfel încâ g ( k) > M aceasă inegaliae sub forma N k N k g( N k) N k > M apoi sub forma g( N k)sgn( g( N k)) > M Scriem Alegând acum inrarea u( k) sgn( g( N k)) care saisface condiţia u (k) rezulă N k g( N k) u( k) > M adică y ( N) > M rezula în conradicţie cu ipoeza de mărginire a ieşirii y () Penru a demonsra suficienţa vom considera suma S finiă şi vom arăa că penru orice inrare u() saisfăcând condiţia u() ieşirea y() ese mărginiă Inr-adevăr avem y( ) i g( i) u( i) k i g( i) u( i) g( k) g( k) S k i g( i) Prin relaxarea condiţiilor de sabiliae srică se consideră că un sisem monovariabil ese exern sabil dacă funcţia pondere g () ese mărginiă adică exisă M > asfel încâ g( ) M () Să considerăm acum sisemul monovariabil minimal cu modelul primar y ) + a y( ) + L + a y( n) b u( ) + b u( ) + L+ b u( ) r n ( n r r modelul secundar şi funcţia de ransfer z( ) + az( ) + + anz( n) u( ) y() b z( ) + b z( ) + + b z( r) b + b z + L+ b z G( z) + a z + L+ a r r r n nz Deoarece sisemul ese minimal mulţimea polilor z z z n ai funcţiei de ransfer G (z) coincide cu mulţimea rădăcinile ecuaţiei caracerisice Să considerăm mai înâi cazul în care oţi polii funcţiei de ransfer sun simpli (diferiţi

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE înre ei) şi a + a + + a Penru inrare ip reapă uniară răspunsul z () + n are forma z ( ) + Cz + Cz + + Cnzn + a + a + + a L n unde oţi coeficienţii C i sun diferiţi de zero Din a doua ecuaţie a modelului secundar obţinem răspunsul indicial al sisemului sub forma b + b + L+ b ( A () r h ) + A z + A z + L+ + a + a + + an nzn unde r C z ( b + b z + L + b z ) i L n Ai i i i r i Sisemul fiind minimal polii z i nu sun rădăcini ale numărăorului funcţiei de ransfer G (z) deci oţi coeficienţii A i sun diferiţi de zero Sisemul are funcţia pondere g( ) h( ) h( ) A z ( z ) + A z ( z ) + L + A z ( z ) (4) n n n Suma S g( k) k ese finiă dacă şi numai dacă oae funcţiile exponenţiale din componenţa funcţiei pondere g () ind spre penru adică aunci când oţi polii z z n au modulul subuniar In ceea ce priveşe funcţia pondere g () aceasa ese mărginiă dacă şi numai dacă oţi polii z z z n au modulul subuniar sau egal cu Dacă polii s şi s sun reali şi egali aunci expresiile corespunzăoare acesor poli în funcţiile h () şi g () au formele ( + A z respeciv [ A z A A z z ( + )( )] A ) + Condiţiile ca suma S să fie finiă rămân neschimbae In schimb penru ca funcţia pondere g () să fie mărginiă ese necesar ca polul dublu z să aibă modulul subuniar (nu şi uniar) Tinând seama de acese rezulae şi de fapul că un sisem neminimal are răspunsul forţa egal cu cel al sisemului minimal echivalen I-E puem formula Teorema sabiliăţii exerne a sisemelor discree Un sisem monovariabil discre ese exern sric sabil dacă şi numai dacă oţi polii funcţiei de ransfer a sisemului au modulul subuniar Sisemul ese exern semisabil dacă şi numai dacă polii funcţiei de ransfer a sisemului au modulul subuniar sau egal cu iar polii cu modulul sun poli simpli Dacă exisă un pol cu modulul suprauniar sau un pol muliplu cu modulul uniar aunci sisemul ese exern insabil

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Concepul de sabiliae exernă ese aplicabil aâ la sisemele de ip I-E câ şi la cele de ip I-S-E Un sisem inern sabil ese şi exern sabil iar un sisem exern insabil ese şi inern insabi Un sisem inern insabil poae fi însă exern sabil în cazul în care rădăcinile cu modulul subuniar ale polinomului caracerisic nu sun poli ai funcţiei de ransfer a sisemului Observaţii Problema sabiliăţii unui sisem liniar se reduce la problema poziţionării în planul complex a rădăcinilor polinomului caracerisic P (s) - cazul sabiliăţii inerne respeciv a rădăcinilor polinomului polilor p (s) - cazul sabiliăţii exerne La un sisem minimal polinomul caracerisic coincide cu polinomul polilor şi în consecinţă concepele de sabiliae inernă şi de sabiliae exernă sun echivalene Un sisem inern sabil ese şi exern sabil dar implicaţia inversă nu ese valabilă In cazul conexiunilor serie şi paralel dacă sisemele componene sun sric sabile aunci sisemul rezulan ese sric sabil Teoreic sisemul rezulan poae fi exern sabil şi în condiţiile în care sisemele componene nu sun oae exern sabile De exemplu conexiunea serie a două siseme coninue cu funcţiile s de ransfer G ( s) şi G ( ) s s sau conexiunea paralel cu G + s ( s) şi s s G ( s) sun eoreic sric sabile Din considerene pracice vom considera s însă conexiunile serie şi paralel ca fiind insabile aunci când un sisem componen ese insabil Aplicaţia 67 Să se sudieze sabiliaea exernă a sisemului coninuu & y y& y u& u Soluţie Sisemul are funcţia de ransfer s G ( s) s s s + Deoarece polinomul polilor p ( s) s+ are o singură rădăcină şi aceasa ese negaivă ( s / ) sisemul ese exern sric sabil Remarcă Deoarece polinomul caracerisic P ( s) s s ( s )(s + ) are rădăcina s sric poziivă sisemul ese inern insabil Aplicaţia 68 Să se sudieze sabiliaea exernă a sisemului coninuu

4 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE x& x x x& x x& 6x + 5x 4x + u y x Soluţie Din relaţiile rezulă modelul inrare-ieşire adică Sisemul are funcţia de ransfer y x y & x& x + x & y x& + x& 6x 5( x + x) + u & y & 6 y 5y& + u & y + 5 y& + 6y u G ( s) s + 5s + 6 ( s + )( s + ) Deoarece ambii poli ai funcţiei de ransfer sun negaivi sisemul ese exern sric sabil Remarcă Polinomul caracerisic al sisemului P λ λ) de( λ I A) λ λ + 4λ + λ 6 ( λ )( λ + )( λ + ) 6 5 λ + 4 ( are rădăcina poziivă λ deci sisemul ese inern insabil Aplicaţia 69 Să se sudieze sabiliaea exernă a sisemului discre y ( ) + y( ) y( ) u( ) + u( ) Soluţie Sisemul are funcţia de ransfer ) z + z z ( + z z G ( z) + z z ( z )( + z ) z Deoarece funcţia de ransfer are polul z (cu modulul egal cu ) sisemul ese exern semisabil Remarcă Deoarece ecuaţia caracerisică λ + λ are rădăcina cu modulul suprauniar sisemul ese inern insabil Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea exernă a sisemului discre unde m ese un parameru real Soluţie Avem x( + ) x( ) + x( ) y( ) x( ) x( ) x ( + ) x ( ) x ( ) u( )

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 5 y ) x ( ) x ( ) ( y + ) x ( + ) x ( + ) x ( ) + x ( ) + u( ) ( y + ) x ( + ) + x ( + ) + u( + ) 5x ( ) 8x ( ) + u( + ) u( ) ( Din primele două relaţii obţinem x ( ) y( + ) + y( ) u( ) x ( ) y( + ) + y( ) u( ) Inlocuind în cea de-a reia relaţie rezulă modelul inrare-işire y ( + ) y( + ) y( ) + u( + ) echivalen cu y ( ) + y( ) + y( ) u( ) Sisemul are funcţia de ransfer z G ( z) + z 5 şi ese exern insabil deoarece are polul z cu modulul suprauniar + z 6 CRITERIUL DE STABILITATE HURWITZ Crieriul lui Hurwiz permie rezolvarea efecivă a problemei sabiliăţii sisemelor liniare coninue pe baza condiţiilor formulae în cadrul eoremelor de sabiliae inernă si exernă Crieriul evidenţiază fapul că rezolvarea problemei locaţiei rădăcinilor unui polinom în rapor cu axa imaginară nu necesiă calculul rădăcinilor polinomului Crieriul lui Hurwiz Polinomul P ( s) a a a n n n n s + an s + L+ as + ese hurwizian adică are oae rădăcinile cu parea reală negaivă (siuae în sânga axei imaginare) dacă şi numai dacă minorii principali Δ a n Δ a n an anan Δn a Δn ai maricei Hurwiz n > H n an an M * a a M * * n n L L L L M a a M a (5) sun poziivi In plus penru ca polinomul P (s) să fie hurwizian ese necesar ca oţi coeficienţii a i să fie poziivi

6 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Consrucţia maricei Hurwiz se face asfel: se compleează mai înâi diagonala principală şi apoi coloanele ţinând seama de fapul că indicii coeficienţilor cresc la deplasarea pe o coloană de sus în jos Penru n din crieriul lui Hurwiz rezulă că ambele rădăcini ale polinomului P ( s ) as + as + a ( a > ) au parea reală negaivă dacă şi numai dacă oţi coeficienţii sun sric poziivi Penru n maricea Hurwiz are forma a a H a a a a Din crieriul lui Hurwiz rezulă că polinomul P ( s ) as + as + as + a ( a > ) are rădăcinile cu parea reală negaivă dacă şi numai dacă oţi coeficienţii sun sric poziivi şi Δ a a aa > Penru n 4 maricea Hurwiz are forma a a a 4 a a H 4 a a a a a 4 Rădăcinile polinomului P 4 ( s ) a4s + as + as + as + a ( a 4 > ) au parea reală negaivă dacă şi numai dacă oţi coeficienţii sun sric poziivi şi Δ a Δ aa > unde Δ aa aa 4 4 Observaţii Polinomul P n (s ) are rădăcinile cu parea reală mai mică decâ δ adică siuae în sânga drepei s δ dacă şi numai dacă polinomul P n( p + δ ) ese hurwizian în rapor cu variabila p Inr-adevăr înre rădăcinile celor două polinoame exisă relaţia s p + δ iar din condiţiile Re p < rezulă i i Re si Re pi +δ <δ Aceasă remarcă poae fi uilizaă la poziţionarea rădăcinilor polinomului caracerisic sau polinomului polilor în sânga drepei s δ δ < în vederea obţinerii unor performanţe dinamice convenabile In analiza sabiliăţii sisemelor discree se ţine seama de fapul că ransformarea omografică s+ z + z ( s ) (6) s z aplică biunivoc ineriorul cercului cu cenrul în origine şi de rază din planul variabilei z în semiplanul sâng Re s < din planul variabilei s In consecinţă polinomul i

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 7 P ( z) a a n n n an z + an z + L+ az + are oae rădăcinile cu modulul subuniar dacă şi numai dacă ecuaţia P ( s+ n ) s are oae rădăcinile cu parea reală negaivă Mai mul polinomul P n (z ) are oae s + rădăcinile cu modulul mai mic decâ δ dacă şi numai dacă ecuaţia P n( δ ) s are oae rădăcinile cu parea reală negaivă n > Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea inernă şi exernă a sisemului coninuu x& x x x& mx x& 6x + 5x unde m ese un parameru real 4x + u y x Soluţie Penru sudiul sabiliăţii inerne formăm polinomul caracerisic λ P ( λ) de( λ I A) λ m λ + 4λ + (6 5m) λ 6m 6 5 λ + 4 Coeficienţii polinomului caracerisic sun poziivi penru m < iar minorul Δ aa aa 4 4m ese poziiv penru m </ 7 In consecinţă sisemul ese inern sric sabil dacă şi numai dacă m < Penru m polinomul caracerisic are rădăcinile λ şi λ ± j deci sisemul ese inern semisabil Penru m > sisemul ese inern insabil Penru deerminarea modelului inrare-ieşire avem y x y & x& x + x & y x& + x& 6x + 5x ( m + 4) x + u &&& y x& + 5x& ( m + 4) x& + u& 6( m + 4) x (5m + 4) x + (9m + ) x + u& ( m Cazul m Din primele rei relaţii obţinem x y && y + ( m + 4) y& + 6y u x m && y + 5y& + 6y u x m 6 + iar prin înlocuirea expresiilor variabilelor de sare în cea de-a para relaţie rezulă Sisemul are funcţia de ransfer & y&& + 4 && y + (6 5m) y& 6my u& mu 4) u

8 ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE s m G( s) s + 4s + (6 5m) s 6m Penru m polinomul polilor ese ( p s) s + 4s + (6 5m) s 6m şi coincide cu polinomul caracerisic al sisemului Sisemul ese deci exern sric sabil penru m < Penru m polinomul polilor ese p ( s) s + 4s + 6 Deoarece polii s j au parea reală negaivă sisemul ese exern sric sabil ± Cazul m Din primele rei relaţii obţinem & y + 5 y& + 6y u Sisemul are funcţia de ransfer G ( s) s + 5s + 6 ( s + )( s + ) cu ambii poli negaivi deci ese ese exern sric sabil In concluzie sisemul ese exern sric sabil penru m ( ] {} şi exern insabil penru m ( ) {} Aplicaţia 6 Să se sudieze sabiliaea inernă şi exernă a sisemului coninuu m & y&& + ( m + ) && y + (m + ) y& + y u& + u m R Soluţie Polinomul caracerisic P ( s) ms + ( m + ) s + (m + ) s + are oţi coeficienţii poziivi penru m > şi minorul Δ ( m + )( m + ) m m + m a a aa + poziiv penru orice m real Penru m polinomul caracerisic devine ( s) s + s + şi are ambele rădăcini cu parea reală negaivă In consecinţă sisemul ese inern sric sabil dacă şi numai dacă m Penru m < sisemul ese inern insabil Sisemul are funcţia de ransfer s + G ( s) ms + ( m + ) s + (m + ) s + Funcţia de ransfer ese reducibilă în cazul m + ( m + ) + (m + ) + adică penru m In aces caz s G ( s) ( s)( s + s + ) s + s + Deoarece polinomul polilor p ( s) s + s + are ambele rădăcini cu parea reală negaivă sisemul ese exern sric sabil Penru m sisemul are polinomul polilor idenic cu polinomul caracerisic Prin urmare sisemul ese exern sric sabil penru m [ ) { } Penru m ( ) { } sisemul ese exern insabil P

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE 9 Aplicaţia 6 Considerăm conexiunea cu reacţie de mai jos în care: u k( e + ed) k > 4 & y &+ y& + y u Să se sudieze sabiliaea sisemului Soluţie Prin eliminarea variabilei u înre cele două ecuaţii obţinem ecuaţia conexiunii serie a celor două subsiseme: 4& y && + && y + y& k( e& + e ) Mai depare înlocuind variabila e cu r y obţinem ecuaţia inrare ieşire a sisemului sub forma 48& y && + && y + ( k + ) y& + ky k(r& + r) Din ecuaţia sisemului rezulă funcţia de ransfer k(s + ) G( s) 48s + s + ( k + ) s + k Deoarece funcţia de ransfer ese ireducibilă (rădăcina numărăorului s / nu ese şi rădăcină a numiorului) sisemul are polinomul polilor ( p s) 48s + s + ( k + ) s + k Polinomul polilor are are oţi coeficienţii poziivi iar minorul Δ aa aa 4( k + ) 48k 8(5 k) ese poziiv penru k < 5 Prin urmare conform crieriului de sabiliae Hurwiz sisemul ese exern sric sabil penru k < 5 şi exern insabil penru k > 5 In figura 6 ese prezena răspunsul sisemului la o variaţie reapă uniară a referinţei r penru rei valori diferie ale paramerului k ( k ; k ; k 7 ) Fig 6 Răspunsul y () al sisemuluicu reacţie la inrare reapă uniară

ELEMENTE DE STABILITATE A SISTEMELOR LINIARE Aplicaţia 64 Să se sudieze sabiliaea sisemului discre y ( ) + 7y( ) + 8y( ) + my( ) u( ) + u( ) m R Soluţie Sisemul are polinomul caracerisic P ( z ) z + 7z + 8z + m s + Ecuaţia P ( ) are forma s (5 + m ) s + (9 m) s + (5 + m) s + m 5 Coeficienţii polinomului din membrul sâng sun poziivi penru < m < Impunând şi condiţia Δ (5 + m )(9 m) (5 + m)( m) 8m + 6m + 6 > rezulă că sisemul discre ese inern sric sabil penru m < m < unde m 5 Sisemul are funcţia de ransfer z ( + z ) z( z + ) G( z) + 7z + 8z + mz z + 7z + 8z + m Funcţia de ransfer ese reducibilă în cazurile m şi m In cazul m ese inern sric sabil deci ese şi exern sric sabil In cazul m avem z( z + ) z z G ( z) ( z + )(z + 7z + ) z + 7z + (z + )(5z + ) sisemul Deoarece polii z şi z au modulul subuniar sisemul ese exern sric sabil 5 Penru m şi m polinomul polilor coincide cu polinomul caracerisic P (z) In concluzie sisemul ese exern sric sabil penru m < m In figura 6 ese prezena răspunsul sisemului la o variaţie reapă uniară a mărimii de inrare penru două valori diferie ale lui k ( k 5 şi k 4 ) Fig 6 Răspunsul y () al sisemului discre la inrare reapă uniară