M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00
NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in opišite njihove lstnosti. Izrčunjte: ) ( ( )( )) b) ( ( ) )( ). Definirjte njvečji skupni delitelj in njmnjši skupni večkrtnik dveh nrvnih števil. Kko ju izrčunmo? Kdj st si števili tuji? ) Izrčunjte D (56, 6) in v (56, 6). Ali st si števili 56 in 6 tuji? b) Izrčunjte D (75, 5) in v (75, 5). c) Določite njvečji skupni delitelj in njmnjši skupni večkrtnik izrzov 5 9 in 6 9. CELA ŠTEVILA. Opišite rzloge z vpeljvo celih števil, nštejte osnovne rčunske opercije z rčunnje s celimi števili in opišite njihove lstnosti. Izrčunjte: ) ( )( ( )) b) ( (() ) )( ). Definirjte potenco z nrvnim eksponentom. Zpišite prvil z rčunnje s potencmi z nrvnimi eksponenti. 7 ) Izrčunjte ( ) ( b ) ( b ). b) Izrčunjte ( b) ( b ) ( ) 007 c) Izrčunjte. ( ) ( ) 9.
RACIONALNA ŠTEVILA 5. Kj je ulomek? Kdj st dv ulomk enk? Opišite rčunske opercije z ulomki. ) 5 : b) 8 8 8 : 6 c) 8 6 6 8 d) 7 : 9 6. Definirjte potenco s celim eksponentom in zpišite prvil z rčunnje z njimi. ) 9 9 6 n n n n n b) ( ) ( ) ( ) 5 : 5 5 5 c) : z y z y d) ( ) ( ) : y y 7. Kj je procent? Kj je promil? Kkšn je zvez med procentom, deležem in celoto? ) Cen zvezk je,5 EUR. Podržijo g z 0 %. Izrčunjte novo ceno zvezk. b) Cen blg je po 5 % podržitvi 0 EUR. Koliko je stlo blgo pred podržitvijo? c) Blgo so njprej pocenili z 0 %, nto p še z 5 EUR. Cen blg po obeh pocenitvh je 500 EUR. Kolikšn je bil cen pred obem pocenitvm? 8. Opišite, kdj st dve količini v premem in kdj v obrtnem sorzmerju. ) Iz 7 kg jbolk nredimo 80 litrov jbolčneg sok. Koliko jbolk potrebujemo z 70 l sok? Koliko sok lhko nredimo iz 00 kg jbolk? b) 8 zidrjev izdel fsdo v osmih dneh. V kolikšnem čsu izdel isto fsdo 6 zidrjev? Koliko zidrjev bi potrebovli, d bi bil fsd končn v šestih dneh?
REALNA ŠTEVILA 9. Opišite množico relnih števil. Nštejte osnovne rčunske opercije v množici relnih števil in opišite njihove lstnosti. Izrčunjte brez uporbe žepneg rčunl 0,,5 6,5 : 5. 0. Nštejte prvil z rčunnje s koreni. Zkj je pomembno, li je korenski eksponent sodo li liho število? 5 ) 7 8 b) y y c) d) 5 b : b b. Kj je delno korenjenje in kj je rcionlizcij imenovlc? ) 7 8 b) 6 c) 8 5 d) 5. Definirjte potenco s pozitivno osnovo in rcionlnim eksponentom ter zpišite prvil z rčunnje s tkimi potencmi. ) 0,008 : 0,0 8 b) b : b c) 9 7 6 OSNOVE GEOMETRIJE V RAVNINI IN PROSTORU. Definirjte dljico in simetrlo dljice v rvnini. Kko konstruirmo simetrlo dljice? Nrišite poljubno dljico in konstruirjte množico točk, ki so enko oddljene od obeh oglišč dljice.. Definirjte kot in pojsnite pojm vrh in krk kot. Kj je simetrl kot in kko jo konstruirmo? ) Nrišite poljubni kot in konstruirjte njegovo simetrlo. Opišite lstnosti simetrle. b) S šestilom in rvnilom konstruirjte kote 60, 0, 5, 90.
5. Definirjte kot in pojsnite pojm vrh in krk kot. Definirjte ničelni, prvi, iztegnjeni, polni, ostri in topi kot. Nrišite primere z ničelni, prvi, iztegnjeni, polni, ostri in topi kot. 6. Definirjte pojme sosedn kot, sokot, sovršn kot, komplementrn in suplementrn kot. Nrišite kvdrt s strnico cm in mu nrišite obe digonli. Poiščite n sliki pre sosednih, sovršnih, komplementrnih in suplementrnih kotov ter sokotov. TRIKOTNIK 7. Opišite trikotnik. Definirjte pojm notrnji in zunnji kot trikotnik. Kolikšn je vsot notrnjih kotov trikotnik? Kolikšn je vsot zunnjih kotov trikotnik? ) V trikotniku merit kot α = 7 in β = 5. Izrčunjte preostle notrnje in zunnje kote trikotnik. b) V trikotniku merit kot γ = 7 in β = 0. Izrčunjte preostle notrnje in zunnje kote trikotnik. 8. Kj je težiščnic trikotnik? Kj je težišče trikotnik? Kkšen je geometrijski pomen težišč? Nrišite poljubni trikotnik ter mu konstruirjte težišče. 9. Opišite pojem višin trikotnik. Kj je višinsk točk trikotnik? Kko jo konstruirmo? Nrišite poljubni trikotnik ter mu konstruirjte višinsko točko. 0. Opišite pojm simetrl strnice in simetrl kot trikotnik. Kko konstruirmo središče trikotniku očrtne krožnice? Nrišite poljubni trikotnik in mu konstruirjte očrtno krožnico.. Opišite pojm simetrl strnice in simetrl kot trikotnik. Kko konstruirmo središče trikotniku včrtne krožnice? Nrišite poljubni trikotnik in mu konstruirjte včrtno krožnico.. Zpišite nekj obrzcev, s kterimi lhko izrčunmo ploščino trikotnik. ) Izrčunjte ploščino trikotnik s podtki c = 8 cm in v c =5 cm. b) Izrčunjte ploščino trikotnik s podtki = 0 cm, b = 6 cm in c = 8 cm. c) Izrčunjte ploščino trikotnik s podtki = cm, b = 0 cm in γ = 75. d) Izrčunjte ploščino trikotnik s podtki α = 67, β =, v c = 0 cm. 5
. Zpišite kosinusni izrek. Kdj g uporbljmo? ) V trikotniku poznmo strnici = cm in c =, dm ter kot β = 60. Izrčunjte dolžino strnice b ter kot α. b) Trikotnik im strnice = 8 cm, b = cm in c = cm. Izrčunjte notrnje kote trikotnik. Rezultte zpišite n minuto ntnčno.. Zpišite sinusni izrek. Kdj g uporbljmo? ) V trikotniku poznmo kot β = 8, γ = ter dolžino strnice b = dm 8 cm. Izrčunjte dolžini strnic in c. Rezultt zokrožite n milimeter ntnčno. b) Trikotnik im polmer očrtne krožnice R = 0 cm ter kot β = 5 in α =. Izrčunjte strnice trikotnik. Rezultte zokrožite n stotinko ntnčno. 5. Definirjte prvokotni trikotnik in zpišite Pitgorov, višinski in Evklidov izrek. Kko izrčunmo ploščino prvokotneg trikotnik? ) Prv ktet prvokotneg trikotnik je z 9 cm krjš od hipotenuze, drug z 8 cm. Koliko merijo strnice teg trikotnik? b) V prvokotnem trikotniku s hipotenuzo c poznmo =, =. Izrčunjte mnjkjoče podtke b, c, v c, b, S. Rezultti nj bodo točni. c) Konstruirjte prvokotni trikotnik s podtkom c = 5 cm, vc =5 mm. 6. Definirjte enkostrnični trikotnik. Opišite njegove lstnosti. Zpišite formuli z obseg in ploščino enkostrničneg trikotnik. ) Strnic enkostrničneg trikotnik meri 5 cm. Izrčunjte obseg, ploščino in višino trikotnik. Rezultte zokrožite n stotinko ntnčno. b) Višin enkostrničneg trikotnik meri. Izrčunjte dolžino strnice in ploščino trikotnik. Rezultt nj bost točn. 7. Definirjte enkokrki trikotnik. Opišite njegove lstnosti. Kko izrčunmo ploščino enkokrkeg trikotnik? ) V enkokrkem trikotniku meri kot ob vrhu 78, višin n osnovnico p 5 mm. Izrčunjte ploščino trikotnik. b) Enkokrki trikotnik im osnovnico c = 5 cm in krk = 8 cm. Izrčunjte strnico enkostrničneg trikotnik, ki im enko ploščino kot dni enkokrki trikotnik. 6
ŠTIRIKOTNIKI 8. Nrišite prlelogrm in opišite njegove lstnosti. Kko izrčunmo ploščino prlelogrm? ) Konstruirjte prlelogrm s podtki = 5 cm, b = cm, β =05. b) Konstruirjte prlelogrm s podtki = cm, e = 6 cm, v = cm. c) V prlelogrmu poznmo strnici = 5 cm in b = cm ter kot α = 70. Izrčunjte dolžino digonle f, višino n strnico ter ploščino prlelogrm. d) Prlelogrm im strnici = 8 cm in b = 0,6 dm ter digonlo f = BD = 50 mm. Izrčunj ploščino prlelogrm. 9. Nrišite romb in opišite njegove lstnosti. Kko izrčunmo ploščino romb? ) Konstruirjte romb s podtkom e = 8 cm in f = 6 cm. b) Digonli romb st v rzmerju e : f = :, njegov ploščin meri cm. Izrčunjte dolžini obeh digonl, dolžino strnice ter kot α. c) Romb im strnico = 0 m in kot β =. Izrčunjte ploščino lik, višino in dolžini obeh digonl. 0. Nrišite trpez in opišite njegove lstnosti. Kko izrčunmo ploščino trpez? Kdj je trpez enkokrk? ) Konstruirjte trpez s podtki = 6 cm, b = cm, c = cm in d = cm. b) Konstruirjte trpez s podtki = 5 cm, d = cm, v = cm in e = 6 cm. c) V enkokrkem trpezu merit osnovnici = 0 cm in c = 5 cm ter krk b = d = cm. Izrčunjte ploščino trpez. Rezultt zokrožite n celo število. KROG IN KROŽNICA. Povejte geometrijski definiciji krog in krožnice. Rzložite pojme polmer, premer, tetiv krog. Kko izrčunmo ploščino in obseg krog? Izrčunjte ploščino in obseg krog, ki g očrtmo kvdrtu s strnico 5 cm.. Definirjte krožni lok, krožni izsek in krožni odsek. Zpišite obrzce, po kterih izrčunmo dolžino krožneg lok ter ploščini krožneg izsek in odsek. ) Izrčunjte dolžino krožneg lok ter ploščini krožneg izsek in odsek, ki pripdt središčnemu kotu α = 7 v krogu s polmerom cm. b) Izrčunjte dolžino krožneg lok ter ploščini krožneg izsek in odsek, ki pripdt tetivi z dolžino cm v krogu s polmerom 6 cm. 7
GEOMETRIJSKA TELESA. Opišite prizmo. Zpišite formuli z površino in prostornino pokončne prizme. Nvedite posebne primere prizem. ) Pokončn tristrn prizm im višino dm ter robove osnovne ploskve cm, 0 cm in 5 cm. Izrčunjte površino in prostornino prizme. b) Pokončn prizm im z osnovno ploskev prlelogrm s strnicm = 6 cm in b = 0 mm ter kotom med njim 60. Višin prizme meri dm. Izrčunjte prostornino in površino prizme.. Opišite pokončni vlj. Kj je osni presek vlj? Kdj je vlj enkostrničen? Zpišite formuli z površino in prostornino vlj. ) Polmer osnovne ploskve vlj meri 6 cm, višin vlj p 0 cm. Izrčunjte površino in prostornino vlj. b) Medeninst cev im zunnji premer 8 cm, notrnji premer p 6 cm. Dolžin cevi je,5 m. Koliko teht cev, če je gostot medenine 8,9 g / cm? c) Ppir v obliki kvdrt s strnico 5 cm zvijemo v vlj. Izrčunjte prostornino vlj. d) Površin plšč vlj je z 9π cm večj od ploščine osnovne ploskve. Izrčunjte površino in prostornino vlj, če je višin vlj 8 cm. 5. Opišite pokončno pirmido. Zpišite formuli z površino in prostornino pirmide. Kdj je pirmid enkorobn? ) Prviln štiristrn pirmid im osnovni rob 0 cm in višino cm. Izrčunjte površino in prostornino pirmide. b) Prviln štiristrn pirmid z osnovnim robom 5 cm im strnsko višino 6 cm. Koliko merit površin in prostornin pirmide? Izrčunjte tudi kot med osnovno in strnsko ploskvijo in kot med strnskim robom in osnovno ploskvijo. c) Skicirj prvilno tristrno pirmido. Zpišite število ploskev in robov. 6. Opišite pokončni stožec. Kdj je stožec enkostrničen? Zpišite formuli z površino in prostornino stožc. ) Stožec im polmer osnovne ploskve 8 cm in višino 0 cm. Izrčunjte površino in prostornino stožc. b) N 0 cm visokem vlju s polmerom osnovne ploskve cm stoji stožec z isto osnovno ploskvijo in z višino 6 cm. Izrčunjte površino in prostornino teg teles. 7. Opišite kroglo. Zpišite formuli z površino in prostornino krogle. ) Izrčunjte površino in prostornino krogle s premerom dm. b) Krogl im polmer R = 0 cm. Kroglo prerežemo z rvnino, ki je oddljen od središč krogle z cm. Izrčunjte ploščino krog, ki g dobimo pri preseku krogle z rvnino. 8
PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI 8. Opišite prvokotni koordintni sistem v rvnini. Zpišite formulo z rzdljo med dvem točkm. Kko določimo koordinti središč dljice? ) Nrišite v prvokotnem koordintnem sistemu v rvnini množico točk, ki ustrez pogoju ( < 6 ) ( y < ). b) Izrčunjte dolžino dljice s krjiščem A(, 5) in B(, ) ter določite njeno središče. LINEARNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 9. Zpišite definicijo linerne funkcije in opišite pomen konstnt k in n. Kj je grf linerne funkcije? Ali je linern funkcij f() = nrščjoč li pdjoč? Kje sek grf funkcije ordintno os? 0. Kj je grf linerne funkcije? Kkšn st grf dveh linernih funkcij z enkim smernim koeficientom? ) Ali st premici y 5 = 0 in y = vzporedni? b) Zpišite enčbo premice, ki potek skozi točko A(, ) in je vzporedn s premico y = 5.. Kko zpišemo enčbo premice, ki potek skozi dno točko in im znn smerni koeficient? ) Zpišite enčbo premice, ki potek skozi točko A(, ) in im smerni koeficient k =. b) Zpišite enčbo premice, ki je vzporedn s premico y 5 = 0 in sek ordintno os v točki.. Kko zpišemo enčbo premice skozi dve znni točki? ) Zpišite enčbo premice, ki potek skozi točki A(, ) in B(, ). b) Zpišite enčbo premice, ki potek skozi presečišče premic 5y 8= 0 in y = 0 in skozi točko A(, 5).. Kj je ničl linerne funkcije in kj njen zčetn vrednost? Kko nrišemo grf linerne funkcije? Nrišite grf dne linerne funkcije ter izrčunjte njeno ničlo in zčetno vrednost: ) f ( ) = b) f() = 9
. Zpišite eksplicitno, implicitno in odsekovno (segmentno) obliko enčbe premice. ) Zpišite enčbo premice, ki sek os v točki in y os v točki. Enčbo premice zpišite v vseh treh znčilnih oblikh. b) Preoblikujte enčbo premice y 6 = 0 v eksplicitno in odsekovno obliko. c) Preoblikujte enčbo premice y = v implicitno in odsekovno obliko. 5. Kj je linern enčb? N primerih rzložite postopke reševnj linernih enčb. ) ( ) ( ) = ( ) ( )( ) ( )( ) b) = c) ( ) ( 5) ( )( ) = ( ) 6. Opišite sistem dveh linernih enčb z dvem neznnkm. Rzložite njegov geometrijski pomen. N primeru rzložite, kko rešujemo sisteme dveh linernih enčb z dvem neznnkm. y = ) Rešite sistem y = b) Izrčunjte presečišče premic y 0 = 0 in 5y 7= 0. c) Izrčunjte skupno točko premic y = in y =. 7. N primerih rzložite, kko rešujemo linerne neenčbe z eno neznnko. ) ( ) < b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) KVADRATNA FUNKCIJA, ENAČBA, NEENAČBA 8. Zpišite enčbo kvdrtne funkcije v splošni obliki. Kj je grf kvdrtne funkcije? Kko izrčunmo ničli in teme kvdrtne funkcije? ) Nrišite grfe kvdrtnih funkcij f ( ) = 5, f ( ) = in f ( ) = ( ). b) Zpišite kvdrtno funkcijo, ktere grf potek skozi točke A(, ), B(, 8) in C(, ). 0
9. Opišite pomen vodilneg koeficient, konstntneg člen in diskriminnte z grf kvdrtne funkcije. Kko izrčunmo njeni ničli in teme? ) Izrčunjte ničli, teme in zčetno vrednost kvdrtne funkcije f ( ) =. Nrišite njen grf. b) Določite točko, v kteri zvzme grf funkcije f ( ) = njvečjo vrednost. c) Določite m tko, d bo imel kvdrtn funkcij f ( ) = ( m ) m eno smo relno ničlo. 50. Zpišite temensko in ničelno (korensko) obliko enčbe kvdrtne funkcije. ) Preoblikujte enčbo kvdrtne funkcije f ( ) = 6 v temensko in ničelno obliko. b) Zpišite enčbo prbole, ki im isto teme kot prbol y = in potek skozi točko A(, ). c) Zpišite kvdrtno funkcijo, ki im ničli v točkh in, njen grf p potek skozi točko A(, ). 5. Zpišite kvdrtno enčbo. Kko izrčunmo njeni rešitvi (koren) s pomočjo obrzc in kko z Vietovim prvilom? Kko vpliv diskriminnt n število rešitev enčbe? ) 7 = 0 b) = 0 c) = 0 d) ( ) ( )( ) = ( )( ) ( ) e) ( z ) ( z ) = z EKSPONENTNA FUNKCIJA, ENAČBA 5. Definirjte eksponentno funkcijo, nrišite njen grf in opišite njene lstnosti. Kj je definicijsko območje eksponentne funkcije? ) Nrišite grf funkcij f ( ) = in g( ) =. b) Določite tko, d bo grf eksponentne funkcije f() = potekl skozi točko A(, 9 ). 5. Ktere enčbe imenujemo eksponentne enčbe? N primerih opišite metode njihoveg reševnj. ) ( ) ( ) : = 8 b) = c) = d) = e) Izrčunjte skupne točke grfov funkcij f ( ) = in g ( ) =
KOTNE FUNKCIJE 5. Definirjte kotno stopinjo in rdin. Zpišite pretvornik med omenjenim enotm. ) Pretvorite kote 0, 5, 60, 0, 5, 690 v rdine. π 5π π π π b) Pretvorite kote,,,, v stopinje. 6 55. Definirjte kotne funkcije v prvokotnem trikotniku s ktetm in b ter hipotenuzo c. Zpišite osnovne zveze med njimi. ) V prvokotnem trikotniku s hipotenuzo c poznmo strnici = cm in b = 9 cm. S pomočjo kotnih funkcij izrčunjte kot α in višino n strnico c. b) Izrčunjte sin, tg, sin, če je cos= in je kot oster. 56. Definirjte kotne funkcije v enotski krožnici in zpišite osnovne zveze med njimi. sin( 90 ) cos 750 ) Izrčunjte o o tg5 tg( 600 ) o π b) Izrčunjte sin, če je cos.=0,6 in π < <. o. c) Izrčunjte tg, če je sin= in o o 70 60. d) Poenostvite sin cos tg cos. tg 57. Nrišite grf funkcije sinus in opišite njene lstnosti. Nrišite grfe funkcij: ) f() = sin b) f() = sin c) f() = sin 58. Nrišite grf funkcije kosinus in opišite njene lstnosti. Nrišite grfe funkcij: ) f() = cos b) f() = cos c) f() = cos
ZAPOREDJA 59. Kj je zporedje? Nštejte in opišite lstnosti zporedij. n Dno je zporedje s splošnim členom n =. n ) Izrčunjte prvih pet členov zporedj. b) Nrišite grf zporedj.. 7 c) Ali je število člen teg zporedj? 9 d) Dokžite, d je zporedje nrščjoče. 60. Kdj je zporedje ritmetično? Zpišite splošni člen in obrzec z vsoto prvih n členov zporedj. Kj je ritmetičn sredin dveh števil? ) Zpiši prve tri člene ritmetičneg zporedj, če je in 7 = 6 in = 6. b) Koliko zčetnih členov ritmetičneg zporedj z drugim členom in petim členom je treb sešteti, d dobimo vsoto 75? c) Določi tko, d bodo števil, 6, 5 tvoril ritmetično zporedje. d) Izrčunjte, koliko števil je treb vriniti med števili 0 in, d bi dobili ritmetično zporedje z vsoto 50. 6. Kdj je zporedje geometrijsko? Zpišite splošni člen in obrzec z vsoto prvih n členov zporedj. ) Rešitev enčbe 5 = 6 je prvi, rešitev enčbe : = p drugi člen geometrijskeg zporedj. Koliko členov zporedj je treb sešteti, d dobimo vsoto 78? b) Prvi člen geometrijskeg zporedj je 5 in količnik. Koliko členov zporedj je treb sešteti, d dobimo vsoto 600? 7 c) Določite tko, d bodo števil 5,5,5 tvoril geometrijsko zporedje.
STATISTIKA 6. Kj je sttistik? Rzložite pojme populcij, sttističn enot, sttistični znk in sttistični prmeter. Opzujte množico vtomobilov in sicer glede n tip, ceno, brvo in moč. Kj je v tem primeru populcij, sttističn enot, sttistični znk in kj bi lhko bili sttistični prmetri? 6. Kko urejmo sttistične podtke v rzrede? Kj je frekvenčn porzdelitev? Rzložite pojm bsolutn in reltivn frekvenc. V četrtem letniku je prvo šolsko nlogo 5 dijkov pislo nezdostno, 9 zdostno, 9 dobro, 6 prv dobro in odlično. Oblikujte frekvenčno porzdelitev ter določite bsolutno in reltivno frekvenco posmezneg rzred. 6. Rzložite, kko nrišemo histogrm, frekvenčni poligon in frekvenčni kolč? Pri metu dveh igrlnih kock je vsot pik nstopil enkrt, vsot pik trikrt, vsot pik petkrt, vsot pik 5 sedemkrt, vsot pik 6 osemkrt, vsot pik 7 osemkrt, vsot pik 9 petkrt, vsot pik 0 petkrt, vsot pik trikrt in vsot pik 8 li ni nstopil. Z dni primer nrišite histogrm in frekvenčni poligon. 65. Definirjte ritmetično sredino, vrinco in stndrdni odklon. Zpišite obrzce z izrčun teh količin. Rzložite njihov pomen. Z devet voznikov osebnih vtomobilov so izmerili čs, ki g potrebujejo, d prepeljejo pot od Velenj do Mribor in dobili nslednje rezultte v minuth: 5, 50, 0,, 8,, 55,, 5. Izrčunjte povprečni čs, ki so g potrebovli vozniki, ter vrinco in stndrdni odklon z te podtke.
5