PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE SADRŽAJ. INEGRALNI RAČUN I PRIMJENE..... Priitiv fukcij i eodređei itegrl..... Metod zjee (supstitucije)..... Metod djeloiče (prcijle) itegrcije....4. Itegrirje prvih rciolih fukcij....5. Metod eodređeih koeficijet....6. Itegrirje eprvih rciolih fukcij....7. Itegrirje irciolih fukcij....8. Itegrirje trigooetrijskih i hiperolih fukcij... 4.9. Itegrirje irciolih fukcij pooću trigooetrijskih i hiperolih zje... 5.. Izrčuvje određeog itegrl f ( ) d... 5.. Neke prijee određeog itegrl... 5.. lic eodređeih itegrl... 6.. Osov prvil z itegrirje... 7. NEPRAVI INEGRALI... 8.. Itegrli s eskoči gric... 8.. Itegrli eoeđeih fukcij... 8.. Kriteriji usporede z eprve itegrle... 8. REDOVI REALNIH BROJEVA... 9.. Prvil z ispitivje kovergecije red... 9.. Prvilo z rčuje s redovi..... Neki posei redovi relih rojev... 4. AYLOROV I MACLAURINOV RED... 4.. Osovi rzvoji u McLuriov red... 4.. Korisi idetiteti ( te derivcije)... 5. FOURIEROV RED... 5.. Fourierov red (e)pre fukcije... 5.. Korisi idetiteti z rčuje Fourierovih koeficijet... 6. LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S KONSANNIM KOEFICIJENIMA... 4 6.. Lier hooge rekurzij s kostti koeficijeti red r... 4 6.. Lier ehooge rekurzij s kostti koeficijeti red r... 4 7. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE... 5 7.. Oič diferecijl jeddž. red s sepriri vrijl... 5 7.. Hooge oič diferecijl jeddž. red... 5 7.. Nehooge lier oič diferecijl jeddž. red... 5 7.4. Beroullijev oič diferecijl jeddž... 6 7.5. Hooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti... 6 7.6. Nehooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti... 6 7.7. Pricip superpozicije rješej oiče diferecijle jeddže. red... 7 7.8. Metod vrijcije kostti... 7 7.9. Lplceovi trsforti... 8 7.. lic Lplceovih trsfort... 9 8. DODAAK I.... 8.. lic derivcij eleetrih fukcij... 8.. Osov prvil z derivirje... 8.. Neke krkterističe griče vrijedosti izov... 8.4. Neke krkterističe (oostre) griče vrijedosti fukcij... 8.5. Neke krkterističe jedostre griče vrijedosti fukcij... 9. DODAAK II.... 9.. Forule iz lgere... 9.. Forule iz plietrije... 9.. Forule iz stereoetrije... 9.4. Forule iz litičke geoetrije u rvii... 9.5. Forule iz trigooetrije... r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE. INEGRALNI RAČUN I PRIMJENE.. Priitiv fukcij i eodređei itegrl Nek je f itegril rel fukcij jede rele vrijle. Fukciju F zivo priitiv fukcij fukcije f ko vrijedi jedkost F ' = f. Skup svih priitivih fukcij fukcije f ziv se eodređei itegrl fukcije f, te se piše: { } f ( ) d = F ( ) + C : C R. (Rdi jedostvosti, vitičste zgrde se oičo ispuštju.) U zpisu f ( ) d fukciju f zivo poditegrl fukcij, dok je d diferecijl ezvise vrijle. Vrijedi sljedeći Poučk. Nek su F i F dvije rzličite priitive fukcije fukcije f. d je D(F ) = D(F ), te postoji jedistve C R tkv d z svki D(F ) vrijedi: F () = F () + C... Metod zjee (supstitucije) Neodređei itegrl f ( ) d u eki se slučjevi ože svesti tliči itegrl koristeći sljedeći lgorit: Kork. Zijeiti t = g() ili = g (t), te d = dt, gdje je g ov itegril rel fukcij jede rele g '( ) vrijle. Kork. Zpisti polzu poditegrlu fukciju ko fukciju vrijle t, pri čeu tre uvžiti oje gorje zjee. Kork. Odrediti eodređei itegrl fukcije doivee u Korku. Doivei izrz je skup fukcij čij je ezvis vrijl t. Kork 4. U izrzu doiveo u Korku. zijeiti t s g() i pojedostviti doivei izrz. Doiveo rješeje je tržei eodređei itegrl... Metod djeloiče (prcijle) itegrcije Priijejuje se u slučjevi kd je polzi itegrl olik f( ) f( ) d, gdje su f rel fukcij jede rele vrijle koju je jedostvo derivirti, f rel fukcij jede rele vrijle koju je jedostvo itegrirti. u = f( ) v = f( ) d Kork. Odrediti u' i v iz sljedeće shee:. ' du = f ( ) d dv = f( ) d Kork. Polzi itegrl jedk je I = u v v du. Z fukciju u oičo se iziru fukcije l, rcsi, rccos, rctg i sl..4. Itegrirje prvih rciolih fukcij d ip., gdje je. + + c dt Itegrirje se provodi zjeo t = +. Doije se tliči itegrl. t + c 4 + ip. d, gdje su,. + + c Kork. Odrediti rele rojeve Č i Ć iz jedkosti + = Č ( + ) + Ć. + d Kork. d = Č l( + + c) + Ć + + c, pri čeu se posljedji itegrl svodi ip. + + c Itegirje ostlih prvih rciolih fukcij provodi se pooću etode eodređeih koeficijet, pogodi zje, djeloičo itegrcijo itd. Itegrirje eprvih rciolih fukcij svodi se zroj itegrl polio i itegrl prve rciole fukcije. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.5. Metod eodređeih koeficijet Nzivike prvih rciolih fukcij čiji je stupj re ožeo pisti ko uožk kočog roj polio. stupj i polio. stupj (tj. rstviti fktore). kve rciole fukcije ožeo rstviti prcijle rzloke, te jihovo itegrirje svesti ili tliče itegrle ili itegrle polio stupj. Neki od tipičih rstv prcijle rzloke vedei su u dojoj tlici. Izrz u ziviku ( ) ( ) Pripdi rstv A A + A ( ) A +... + ( ) A + A + + c + + c ( + + c) A + A A + A +... + + + c ( + + c) Ukup roj eđusoo rzličitih rzlok koji se pojvljuju u rstvu polze rciole fukcije prcijle rzloke jedk je zroju krtosti svih eđusoo rzličitih fktor koji se pojvljuju u rstvu zivik polze rciole fukcije..6. Itegrirje eprvih rciolih fukcij f( ) Itegrirje eprve rciole fukcije d f ( ), pri čeu je deg(f ) deg(f ), provodi se sljedeći či: Kork. Odrediti polioe Q i R tkve d je f = Q f + R, pri čeu je deg(r) < deg(f ). f( ) R( ) Kork. d = Q( ) d + d f( ) f( ) drugi itegrl prve rciole fukcije.. Prvi itegrl je itegrl polio (koji se svodi zroj tličih itegrl),.7. Itegrirje irciolih fukcij ip. + + c d ili d, gdje je + + c Ako je >, itegrirje se provodi zjeo t = +. Ako je <, od se rdikd piše u oliku ( ) p (), gdje je p polio stupj čiji je vodeći koeficijet strogo veći od ule, te se priijei zje istovjet ooj u slučju >. ip. + + + c d Kork. Odredio rele rojeve Č i Ć iz jedkosti + = Č ( + ) + Ć. Kork. + d = Č + + c + Ć d + + c + + c ip., pri čeu se posljedji itegrl svodi r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE ip. P ( ) d, gdje je P polio stupj. + + c Kork. Polzi itegrl zpisti u oliku: P ( ) d = Q ( ) + + c + α, pri + + c + + c čeu je Q - polio stupj, α rel kostt. Kork. Derivirje jedkosti iz Kork. i izjedčvje koeficijet uz iste potecije odredio epozti polio Q i kosttu α. Kork. Preostli itegrl odredio ko itegrl u ipu..8. Itegrirje trigooetrijskih i hiperolih fukcij ip. si cos d ili sh ch d, gdje su i eegtivi cijeli rojevi. Ako je epr roj, tj. roj olik = k +, od itegrl tre zpisti u oliku k si si cos d d (odoso k sh sh ch d ), p zijeiti t = cos (odoso t = ch ) uz korišteje idetitet si = cos (odoso, sh = = ch ). Ako je epr roj, tj. roj olik = k +, od itegrl tre zpisti u oliku d (odoso k cos cos si k ch ch sh d ), p zijeiti t = si (odoso t = sh ) uz korišteje idetitet cos = si (odoso, ch = = sh + ). Ako su i pri rojevi, tre priijeiti forule pretvore: si = [ cos( ) ] cos = [ + cos( ) ], odoso si cos = si( ) sh = [ ch( ) ] ch = [ ch( ) + ] sh ch = sh( ) ip. cos( ) cos( ) d, si( ) cos( ) d, si( ) si( ) d Pri itegrirju se koriste forule pretvore uošk trigooetrijskih fukcij u jihov zroj: si( ) cos( ) = { si [( + ) ] + si [( ) ] } si( ) si( ) = { cos [( ) ] cos [( + ) ] } cos( ) cos( ) = { cos [( + ) ] + cos [( ) ] } ip. R(si,cos ), gdje je R rciol fukcij t t Pri itegrirju se koristi zje t = tg, te se prijejuju idetiteti: si =, cos =, d = dt + t + t + t Ako z fukciju R vrijedi idetitet R( si, cos ) R(si, cos ), uvodi se zje t = tg, odoso = rctg t, te se prijejuju idetiteti t si =, cos =, d = dt + t + t + t. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.9. Itegrirje irciolih fukcij pooću trigooetrijskih i hiperolih zje.. Izrčuvje određeog itegrl f ( ) Kork. Odrediti pripdi eodređei itegrl f ( ) d. Kork. U rezulttu Kork. odrti c =. Doiv se fukcij F(). Kork. f ( ) d = F( ) F( ) (Newto Leiizov forul). Prosječ vrijedost fukcije f eprekide segetu [, ]:.. Neke prijee određeog itegrl f = f ( ) d Površi rviskog lik oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = : P = f ( ) d. Dulji luk grf krivulje y = f() izeđu točk = i = : [ '( )] d = + f d. Ouj rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko V = f ( ) d. osi : [ ] Ouj rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko V = f ( ) d osi y: [ ] y. Oplošje rotcijskog tijel stlog rotcijo krivocrtog trpez oeđeog krivulj y = f(), y =, = i = oko O = f + f d. osi : ( ) [ '( )] tip itegrl ( ) ( ) ( ) trigooetrijsk zje hiperol zje R, = si t = th t R, + = tg t = sh t R, = = ch t cos t ežište rve ploče oeđee osi pscis, prvci = i =, te krivulj y = f () i y = g() tkvi d su f i g rele fukcije eprekide segetu [, ] i d z svki [, ] vrijedi ejedkost g() f (): [ f ( ) g( ) ] d { [ f ( ) ] [ g( ) ] } d =, [ f ( ) g( ) ] d [ f ( ) g( ) ] d d r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.. lic eodređeih itegrl f() f ( ) d ( + ), + ( + ) + + ( ) + + l + +, R + rcsi + l ±, R\{} ± +,, R + rctg,, R + l + +,, R + l +, R + l + +, R + l +,, R + rcsi, R + l + e e + si( + ), R\{} cos ( + ), R\{} tg ( + ), R\{} ctg ( + ), R\{} cos( + ) si( ) + l cos( + ) l si( ) + r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 6
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE lic eodređeih itegrl (stvk) f() f ( ) d, R\{} si( + ), R\{} cos( + ), R\{} + si ( ), R\{} + cos ( ) + l tg + l tg + 4 ctg( + ) tg( ) + sh( + ), R\{} ch( + ), R\{} sh( + ) ch( + ), R\{} + sh ( ), R\{} + ch ( ) th( + ), R\{} cth( + ), R\{} ch( ) + sh( ) + + l th + rctg th cth( + ), R\{} th( ) +, R\{} l ch( ) + l sh( ) + f d = f d [ ].) ( ) ( ).) f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d.. Osov prvil z itegrirje [ ].) Ako je f epr fukcij itegril,, od je f ( ) d =. 4.) Ako je f pr fukcij itegril [, ], od je f ( ) d = f ( ) d. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 7
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE. NEPRAVI INEGRALI Neprvi itegrli su određei itegrli kod kojih poditegrl fukcij ije oeđe itervlu itegrcije ili je re jed gric eskoč. Njihovo je izrčuvje koicij izrčuvj određeih itegrl pooću Newto- Leiizove forule i izrčuvj gričih vrijedosti... Itegrli s eskoči gric Uz pretpostvku d je poditegrl fukcij oeđe protri itervli, defiir se: ip. f ( ) d = li f ( ) d ip. f ( ) d = li f ( ) d c, z ilo koji c R (oičo je pogodo uzeti c = ). ip. f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d c Ako svk od vedeih gričih vrijedosti postoji, kže se d pripdi eprvi itegrl kovergir. U suproto, kže se d eprvi itegrl divergir... Itegrli eoeđeih fukcij Nek je rel fukcij f eoeđe segetu [, ]. Ako je f eoeđe u, tj. ko je li f ( ) = ±, td se defiir: f ( ) d = li f ( ) d ε + + ε Ako je f eoeđe u, tj. ko je li f ( ) = ±, td se defiir:. ε f ( ) d = li f ( ) d ε + Ako je f eoeđe u točki c,, td se defiir:. cε f ( ) d = li f ( ) d li f ( ) d ε + + ε +. c+ ε Ako svk od vedeih gričih vrijedosti postoji, kžeo d pripdi eprvi itegrl kovergir. U suproto, kžeo d pripdi eprvi itegrl divergir... Kriteriji usporede z eprve itegrle Kriterij. Nek su R proizvolj, li fiksir kostt, te f, f i f rele fukcije tkve d z svki vrijedi ejedkost f () f () f (). d: ko itegrl f ( ) d kovergir, od i itegrl f ( ) d kovergir; ko itegrl f ( ) d divergir, od i itegrl f ( ) d divergir. (Aloge tvrdje vrijede i ko se pretpostvk zijei pretpostvko, itegrl zijei + itegrlo.) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 8
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Kriterij. Nek su f i g rele fukcije eoeđee segetu [, ] i tkve d z svki, vrijedi: f () g(). d ko itegrl g( ) d kovergir, od i itegrl f ( ) d kovergir. Prigodo prijee kriterij usporede često se koriste sljedeći rezultti: d itegrli i d kovergirju z >, divergirju z ; z svki [, itegrl Nek je ( ) N zdi iz. Niz (s ) N defiir s d kovergir z <, divergir z. ( ). REDOVI REALNIH BROJEVA = k ziv se iz djeloičih zrojev (iz prcijlih su) k = s = zdog iz. Uređei pr (( ) N, (s ) N ) ziv se red. Ujesto (( ) N, (s ) N ) koriste se ozke, itd. je koverget ukoliko iz (s ) N i griču vrijedost S. U to slučju S zivo zroje red. U Red suproto, red je diverget... Prvil z ispitivje kovergecije red Prvilo. Ako vrijedi li = A, red je diverget. Prvilo. (Cuchyjev kriterij) Ako postoji li odluke.) Prvilo. (D'Aleertov kriterij) Ako postoji li + e odluke.) = r, od je red = r, od je red koverget ko je r < ;. (Ako je r =, e diverget ko je r >. koverget ko je r < ; diverget ko je r >.. (Ako je r =, + Prvilo 4. (Reov kriterij) Ako postoji li r =, od je red diverget ko je r < ; koverget ko je r >.. (Ako je r =, e odluke.) Prvilo 5. (Leiizov kriterij) Alterirjući red ( ) kovergir ko iz ( ) N strogo pd i i griču vrijedost jedku. Ekvivleto: Ako red kovergir, od i red kovergir. Prvilo 6. (kriterij usporede) Nek su ( ) N i ( ) N izovi tkvi d z svki N vrijedi ejedkost. d: ko je koverget, od je i koverget; ko je diverget, od je i diverget. Prvilo 7. (kriterij usporede II) Nek su i redovi tkvi d je li = c >. d ko je koverget (diverget), od je i koverget (diverget). Prvilo 8. (Cuchyjev itegrli kriterij) Ako je strogo pozitiv, eprekid i ootoo pdjuć fukcij itervlu c,, od red i eprvi itegrl ( ) d istodoo ili kovergirju ili divergirju. = c c r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 9
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE.. Prvilo z rčuje s redovi c c =, z svki c R... Neki posei redovi relih rojev Hroijski red je red. j red divergir. Dirichletov red je red = =. j red kovergir z p >, divergir z p. p Geoetrijski red je red. j red kovergir z < i u to je slučju jegov zroj jedk divergir. = S =. Z red 4. AYLOROV I MACLAURINOV RED Ozk:! =. ylorov rzvoj rele fukcije f u red oko točke = c tkve d je f eskočo ogo put derivil u c defiir je s: ( ) ( IV ) f ( c) f ''( c) f '''( c) f ( c) 4 f ( ) = ( c) = f ( c) + f '( c) ( c) + ( c) + ( c) + ( c) +... =! 6 4 Prvih + člov red tvore ylorov polio stupj (ozk: ()). Poseo, z c = i z fukciju f eskočo ogo put derivilu u doiv se McLuriov rzvoj fukcije f u red defiir s: ( ) ( IV ) f () f ''() f '''() f () 4 f ( ) = = f () + f '() + + + +... =! 6 4 Prvih + člov red tvore McLuriov polio stupj (ozk: M ()). 4.. Osovi rzvoji u McLuriov red I. e =, z svki R;! = + II. si = ( ), z svki R; ( + )! = III. cos = ( ), z svki R; ( )! = ( )... ( + ) IV. ( + ) =, z svki, ;! V. = = = =, z svki N i svki, ; VI. = ( ), z svki i svki, ; N + VII. l( + ) = ( ), z svki, ; = + VIII. l =, z svki,. = Npoe: Nvedei rzvoji e vrijede z opći ylorov rzvoj rele fukcije f u red potecij oko točke c D f. U tkvi slučjevi tre koristiti defiicijsku forulu z opći čl ylorov rzvoj u red ili evetulo gotovu forulu z tu derivciju fukcije f. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 4.. Korisi idetiteti ( te derivcije) ( ) ( )! + ( + ) ( ). f ( ) = f ( ) = ; I ( k ) ( ) k= II. f ( ) = + f ( ) = ( ) ; ( ) III. f ( ) = si( + ) f ( ) = si + +, z svki N; ( ) IV. f ( ) = cos( + ) f ( ) = cos + +, z svki N; + ( ) + V. f ( ) = e f ( ) = e ; VI VII ( ). f ( ) = l( + ) f ( ) = ( ) ; VIII ( ). f ( ) ch ( ) f ( ) ( )! ( + ) sh( + ), z epre N; = + = ch( + ), z pre N; ch( + ), z epre N; = + = sh( + ), z pre N. ( ). f ( ) sh ( ) f ( ) 5. FOURIEROV RED Periodiču relu fukciju f defiiru teeljo segetu [, ] oguće je rzviti u Fourierov red ko istodoo vrijede sljedeći uvjeti (tzv. Dirichletovi uvjeti): N segetu [, ] fukcij f i jviše kočo ogo točk prekid i ti prekidi su uklojivi (tj. prve vrste). Fukcij f je ooto segetu [, ], odoso f toe segetu i jviše kočo ogo strogih ekstre. Ako je = i =, od se pripdi koeficijeti rzvoj fukcije u Fourierov red (tzv. Fourierovi koeficijeti) rčuju pre sljedeći forul: = f ( ) d, U to slučju rzvoj fukcije f u Fourierov red glsi: = f ( ) cos( ) d, = f ( ) si( ) d. [ ]. f ( ) = + cos( ) + si( ) Prvih + člov red tvore Fourierov polio stupj (ozk: F ()): = f ( ) F ( ) = + cos + si +... + cos( ) + si( ). U opće slučju, tj. ko je f defiir segetu [, + ], gdje je teelji period fukcije f, Fourierovi koeficijeti rčuju se pre sljedeći forul: r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE U to slučju rzvoj fukcije f u Fourierov red glsi: + = f ( ) d, + = f ( ) cos d, + = f ( ) si d. f ( ) = + cos + si =. 5.. Fourierov red (e)pre fukcije Ako je fukcij f pr segetu [, + ], od z svki N vrijedi =. d se Fourierovi koeficijeti ogu rčuti pre pojedostvljei forul: = f ( ) d z i = = = f ( ) cos( ) d = ( ) z = f d 4 = f ( ) cos d L Pripdi rzvoj fukcije u Fourierov red jedk je: f ( ) = + cos( ), z = i = ; = f ( ) = + cos, z =. = Ako je fukcij f epr segetu [, + ], od z svki N vrijedi = =. Ako je = i =, od z svki k Z vrijedi i f (k ) =. d se Fourierovi koeficijeti ogu rčuti pre pojedostvljei forul: = f ( ) si( ) d (z = i = ) 4 = f ( ) si d z. = L Pripdi rzvoj fukcije u Fourierov red jedk je: f ( ) = si( ) (z = i = ); = f ( ) = si (z = ). = r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 5.. Korisi idetiteti z rčuje Fourierovih koeficijet, z epre N; I. cos( ) = ( ) =, z pre N. II. si( ) =, z sve N., z = 4 k ; III. cos =, z = k ; ( k N), z = 4 k., z = 4 k ; IV. si =, z = k; ( k N), z = 4 k. V. si( ) d = cos( ) d = si( ) cos( ) d =, z sve, N., z, N, ; VI. cos( ) cos( ) d = si( ) si( ) d =, z =. N VII. si( ) d = cos( ) + C, C R. VIII. cos( ) d = si( ) + C, C R. IX. ( + ) si( ) d = [ si( ) ( + ) cos( ) ] + C, C R. X. ( + ) cos( ) d = [ cos( ) + ( + ) si( ) ] + C, C R. XI XII. ( ) si( ) + + c d = = ( c ) cos( ) + ( + ) si( ) + C, C R.. ( ) cos( ) + + c d = = ( + ) cos( ) + ( + + c ) si( ) + C, C R. + + XIII. e si( ) d = e [ si( ) cos( ) ] + C, C R. + + + XIV. e cos( ) d = e [ si( ) + cos( ) ] + C, C R. + XV. ch( + ) cos( ) d = = e + + + ( e + ) si( ) + ( e ) cos( ) + C, C. ( + ) R XVI. ch( + ) si( ) d = = e e + + C C + e ( + ) R XVII. sh( + ) cos( ) d = + + ( ) si( ) ( ) cos( ),. = e + e + + C C + e ( + ) XVIII. sh( + ) si( ) d = + + ( ) si( ) ( ) cos( ), R. = + + e ( + ) + + ( e ) si( ) ( e ) cos( ) + C, C R. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 6. LINEARNE (NE)HOMOGENE REKURZIJE S KONSANNIM KOEFICIJENIMA 6.. Lier hooge rekurzij s kostti koeficijeti red r o je relcij olik + α + + α r r =, pri čeu su r [] i α,, α r R kostte. Uz ju se često zdje točo r početih uvjet: = β,, r = β r, pri čeu su β,, β r R kostte. Idej rješvj:.) Riješio pripdu krkterističu jeddžu k r + α k r + + α r =. Doijeo rješej k,, k r. O e orju iti užo rzličit, p z svki i =,, r ozčio s i krtost rješej k i (tj. koliko se put to rješeje pojvljuje u gorje popisu ). Z prirode rojeve i or vrijediti jedkost i = r. h.) Opće rješeje gorje rekurzije je = ( A +... + A ) k + ( A +... + A ) k +... + ( A +... r i= r r r + Ar ) k r r, pri čeu su A,, Ar R kostte, i krtost rješej k i..) Nepozte kostte A,, A r izrčuvo koristeći počete uvjete. ko doijeo Crerov sustv od r lierih jeddži s r epozic koji i jedistveo rješeje. 6.. Lier ehooge rekurzij s kostti koeficijeti red r o je relcij olik + α + + α r r = f (), pri čeu su r [], α,, α r R kostte i f rel fukcij vrijle. Uz ju se često zdje točo r početih uvjet: = β,, r = β r, pri čeu su β,, β r R kostte. Idej rješvj:.) Gore opisi postupko (korci. i.) odredi se opće rješeje pripde hoogee rekurzije..) Prtikulro rješeje te rekurzije odredi se pooću sljedeće tlice: p fukcij f () prtikulro rješeje p ko ije rješeje krkterističe jeddže: Ć polio stupj l Đ s = A p ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : = A p ko ije rješeje krkterističe jeddže: p l l = Č + Č +... + Č l + Č l l ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : p l l = ( Č + Č +... + Č l + Č ) l l ko ije rješeje krkterističe jeddže: p s s = ( Čs + Čs +... + Č s + Č) ko jest rješeje krkterističe jeddže i i krtost : p s s = ( Č + Č +... + Č s + Č ) s s O h p.) Opće rješeje polze ehoogee rekurzije je = +. 4.) Sve epozte kostte u to rješeju odredio iz početih uvjet logo ko u slučju liere hoogee O O rekurzije (u izrz z uvrštvo =, = r, te,..., O = β r = β r.) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7. OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 7.. Oič diferecijl jeddž. red s sepriri vrijl Opći olik: y' = f() g(y) ili F () G (y) d + F () G (y) dy =. Opće rješeje: Oviso o oliku u kojeu je jeddž zpis, rješeje se doije itegrirje: dy G ( y) F ( ) = ( ) + ili = + g( y) G ( y) F ( ) f d C dy d C 7.. Hooge oič diferecijl jeddž. red Opći olik: Metode rješvj: y y ' = f, odoso + y + c y ' = f. + y + c y y. Jeddž olik y ' = f rješv se zjeo u =, pri čeu je u = u() ov epozt fukcij. Prito tre uvžiti d je y = u i y' = u' + u. + y + c. Jeddž olik y ' = f rješv se tko d se jprije izrču deterit + y + c. Ako je t deterit jedk, uvodi se zje u = + y + c, pri čeu je u = u() ov epozt fukcij. Prito tre izrziti + y + c ko lieru fukciju rguet u, te uvžiti d je y ' = ( u ' ). Ako je protr deterit rzličit od ule, tre riješiti sustv dviju lierih jeddži s dvije epozice (č i ć) č + ć + c = č + ć + c = p zijeiti u = č (odoso, = u + č) i v = y ć (odoso, y = v + ć i y' = v'). ko se doije ov hooge oič diferecijl jeddž. red kojoj je ezvis vrijl u, epozt fukcij v = v(u). 7.. Nehooge lier oič diferecijl jeddž. red Opći olik: Opće rješeje: y' + P() y = Q() P( ) d P( ) d y = e e Q( ) d C +, C R Npoe: Ako je Q, doiv se hooge lier oič diferecijl jeddž. red. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.4. Beroullijev oič diferecijl jeddž Opći olik: y' + P() y = Q() y k, gdje je k R\{,}. Opće rješeje (u iplicito oliku): y k ( k ) P( ) d e =. ( k ) P( ) d ( k) e Q( ) d + C 7.5. Hooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Opći olik: y'' + p y' + q y = Rješeje: Njprije se riješi krkteristič jeddž k + p k + q =. Ako su k i k rješej te jeddže, opće rješeje polze jeddže doiv se pooću sljedeće tlice: tip rješej krkterističe jeddže opće rješeje k k k, k R, k k y = C e + C e, C, C R k k, k R, k = k y = e ( C + C ), C, C R k = + i C, k k y = e C cos( ) + C si( ), C, C R = [ ] 7.6. Nehooge lier diferecijl jeddž. red s kostti koeficijeti Opći olik: Idej rješvj: y'' + p y' + q y = f(). Riješiti pripdu hoogeu lieru diferecijlu jeddžu. red s kostti koeficijeti. Nek je y O opće rješeje te jeddže.. Odrediti ilo koje prtikulro rješeje y P polze jeddže.. Opće rješeje polze jeddže je zroj y O + y P. lic z određivje olik prtikulrog rješej u pojedii slučjevi: olik fukcije f () + + + (polio stupj ) i e ili e i i= si( ), cos( ) ili c si( ) + d cos( ) s e olik prtikulrog rješej p() polio stupj + r, gdje je r red jiže derivcije epozte fukcije koji se pojvljuje u jeddži, gdje je:, ko ije rješeje krkterističe jeddže; s =,ko je jedostruko rješeje krkterističe jeddže;,ko je dvostruko rješeje krkterističe jeddže. s [ cos( ) + si( )], gdje je, ko z = i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko z = i jest rješeje krkterističe jeddže. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 6
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE olik fukcije f () ( + + + ) e P ( ) cos( ), P si( ), P ( ) cos( ) + P ( ) si( ), gdje su: P ( ) = polio stupj ; P ( ) = polio stupj. e cos( ), e si( ), [ cos( ) si( )] e + P ( ) e cos( ), P e si( ), [ ] e P ( ) cos( ) + P ( ) si( ), gdje su: P ( ) = polio stupj ; P ( ) = polio stupj. olik prtikulrog rješej p() ( c + c +... + c + c ) e, gdje je: s, ko ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko je jedostruko rješeje krkterističe jeddže;, ko je dvostruko rješeje krkterističe jeddže. [ ] s Q cos( ) + R ( ) si( ),gdje su: l, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže; l =,, { } l Q ( ) = +... +, R ( ) = c +... + c (polioi stupj l) l l l l l l [ ] s e M cos( ) + N si( ), gdje je:, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže. [ ] s e Q ( ) cos( ) + R ( ) si( ), gdje su: l, ko k = + i ije rješeje krkterističe jeddže; s =, ko k = + i jest rješeje krkterističe jeddže; l =,, { } l Q ( ) = +... +, R ( ) = c +... + c (polioi stupj l) l l l l l l 7.7. Pricip superpozicije rješej oiče diferecijle jeddže. red Nek je y i opće rješeje oiče diferecijle jeddže y'' + p y' + q y = f i, z svki i =,,. d je yi opće rješeje oiče diferecijle jeddže i= y'' + p y' + q y = fi. i= 7.8. Metod vrijcije kostti Osov idej etode vrijcije kostti z ehoogeu lieru oiču diferecijlu jeddžu. red je iterpretirti kostte C i C koje se pojvljuju u rješeju pripde hoogee jeddže ko rele fukcije vrijle. e fukcije se poto određuju rješvje sustv fukciolih jeddži C ( ) y + C ( ) y = ' ' C ( ) y + C ( ) y = f ( ) ' ' ' ' gdje su y i y zič rješej pripde hoogee oiče diferecijle jeddže. red. d je opće rješeje polze ehoogee liere oiče diferecijle jeddže. red s kostti koeficijeti y = C () y + C () y. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 7
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.9. Lplceovi trsforti Lplceov trsfort (ozk: F(s)) eegtive rele fukcije f je rel fukcij s F( s) = f ( ) e d. Piše se: F = L( f ). Pridruživje koje reloj fukciji f pridružuje fukciju F ziv se Lplceov trsforcij. O je lier opertor, tj. z svke dvije eegtive rele fukcije f i g, te z svk dv rel roj i vrijedi jedkost: Osov svojstv Lplceovih trsfort: L( f + g) = L( f ) + L( g ). Nek je f = f () eegtiv rel fukcij i ek je F = F(s) jezi Lplceov trsfort. d vrijedi:. L( f ') = s F(s) f ().. L( f '') = s F(s) s f () f '().. L[f ( )] = F s. 4. L f = F ( s). 5. L[e f ()] = F (s ). F( s) 6. L f ( t) dt =. s Prigodo određivj Lplceov trsfort često se priijejuju sljedeći idetiteti: s I. e d = + C; s s e s s + II. e d = + C; s s e s s + s +. e d = + C; s III s e s s si( ) + cos( ) IV. si( ) e d = + C; s ( s + ) e s si( ) s cos( ). cos( ) e d = + C; s ( s + ) e V f ( ) VI. F( s) postoji li =. s e r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 8
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 7.. lic Lplceovih trsfort fukcij f() Lplceov trsfort F(s) s s s s 6 4 s! + s e s e ( s ) e ( s ) si( ) s + s cos( ) s + s si( ) ( s + ) s cos( ) ( s + ) e si( ) ( s ) + s e cos( ) ( s ) + s ch( ) s sh( ) s r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 9
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 8. DODAAK I. 8.. lic derivcij eleetrih fukcij Npoe: > i c R su rele kostte. f () f '() c c c c l log l e e l si cos cos si tg cos ctg si rcsi rccos rctg rcctg ch sh th cth rsh rch rth rcth + + sh ch ch sh + t... y = f '( ) ( ) + y Jeddž tgete i orle krivulju y = f () u točki = (, y ):... y = ( ) + y f '( ) r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE 8.. Osov prvil z derivirje I. ( f )' = f ' II. ( f ± g)' = f ' ± g ' f f ' g f g ' III. ( f g)' = f ' g + f g ' IV. = g g ± ' ( f g ) ( f g ) g f e = VI = [ f ± ( )] V. ' ' '. ( ) '( ) ( ) ' f e ± 8.. Neke krkterističe griče vrijedosti izov I. li ± =, z svki i svki k. k R N II k k k=. ( ) li =. k k k= III. li, z < < ; =, z > i. IV. li + = e ; V. li, z < ; =, z = ;, z > ; VI. li =, z svki > ; VII. li =. 8.4. Neke krkterističe (oostre) griče vrijedosti fukcij I. li = (z > ). II. li = (z < ). ± III. li ( ) = ±, z svki. IV. li = ±. ± ± l V. li + = li( + ) = e. VI. li = (z >, ). l( + ) VII. li = (z ). VIII. li rcctg =. 8.5. Neke krkterističe jedostre griče vrijedosti fukcij I. li tg =, li tg =. II. li ctg = li ctg =, li ctg = li ctg =. + + + III. li rctg =, li rctg =. IV. li rcctg =, li rcctg =, z, ;, z ; > V. li = li = VI. li e = li e = ;, z > ;, z, ; VII. li th = li cth =, li th = li cth =. VIII. li rcth =. ± r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Osovi lgerski idetiteti:. ( ± y) = ± y + y.. ( ± y) = ± y + y ± y.. ( y) ( + y) = y. 4. ± y = ( ± y) ( y + y ). 9. DODAAK II. 9.. Forule iz lgere Potecije igire jediice: Z svki k Z vrijedi: i 4 k =, i 4 k + = i, i 4 k + =, i 4 k + = i. Osov svojstv ekspoecijle i logritske fukcije:. =. +. =.. = 4. = 5. ( ) =. 6. =. 7. =. log =.. log =.. log ( y) = log + log y. 4. log = log log y. y y 5. log ( ) = y log. 6. log ( ) = log. log 7. log =. log Forul z rješeje kvdrte jeddže + + c = : + 4 c 4, = c =. Vièteove forule z rješej kvdrte jeddže c + + c = : + =, =. 9.. Forule iz plietrije + + c Heroov forul z površiu trokut s stric, i c: P = s ( s ) ( s ) ( s c), s = Opseg i površi trokut: O = + + c, P = v = v = c vc ; Opseg i površi usporedik: O = ( + ), P = si ϕ (ϕ kut izeđu stric i ) Opseg i površi krug polujer r: O = r, P = r. Površi elipse s poluosi i : P = 9.. Forule iz stereoetrije Oplošje i ouj kocke strice : O = 6, V = ; 4 Oplošje i ouj kugle polujer r: O = 4 r, V = r ; Oplošje i ouj usprve prize: O = B + P, V = B h; (B površi osovke, P površi poočj, h visi prize) Oplošje i ouj usprve piride: O = B + P, V = B h ; (B površi osovke, P površi poočj, h visi piride) Oplošje i ouj usprvog kružog vljk: O = r (r + h), V = r h; (r polujer osovke, h visi vljk); Oplošje i ouj usprvog kružog stošc: O = r (r + s), V = r h; (r polujer osovke, s izvodic stošc, h visi stošc); r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE Udljeost točk A = ( A, y A) i B = ( B, y B): 9.4. Forule iz litičke geoetrije u rvii d( A, B) = ( ) + ( y y ). A B A B Olici jeddže prvc: ekspliciti: y = k + l ; (k koeficijet sjer, l odsječk osi ordit); ipliciti: A + B y + C = ; y segeti: + = ( odsječk osi pscis, odsječk osi ordit); Jeddž prvc kroz točku = (č, ć) s koeficijeto sjer k: y = k + (ć k č); ž ć Jeddž prvc kroz točke = (č, ć) i = (š, ž): y = ( č) + ć ; š č Uvjet usporedosti prvc y = k + l i y = k + l : k = k. Uvjet okoitosti prvc y = k + l i y = k + l : k k =. Udljeost točke = (č, ć) od prvc A + B y + C = : d(, p) = A č + B ć + C. A + B k Kut prvc y = k + l i y = k + l : k ϕ = rctg. + k k Jeddže krivulj. red: kružic s središte u S = (p, q) i polujero r: ( p) + (y q) = r ; elips s poluosi i : + y = ; hiperol s poluosi i : y = ; prol (ososietrič s oziro os pscis) s pretro p: y = p ; 9.5. Forule iz trigooetrije Osove trigooetrijske relcije: cos α + si siα cosα α =, tg α =, ctg α = cosα siα rigooetrij prvokutog trokut: siα = cos β =, cosα = si β =, tg α = ctg β =, ctg α = tg β = c c Izrčuvje svih vrijedosti trigooetrijskih fukcij pooću vrijedosti jede od jih: Osove cikloetrijske relcije: fukcij si cos tg ctg si cos ± cos si tg ± si ctg ( ) si si ± si ± ± tg ± + tg ± + tg cos ± cos cos cos tg ± + ctg ctg ± + ctg ctg ( ) rcsi + rccos = rctg + rcctg = rccos ± rccos y = rcsi y y ± y rcsi = rccos rctg ± rctg y = rctg y y rcsi ± rcsi y = rcsi y ± y rcctg ± rcctg y = rcctg y ± Sve ozke u trokutu su stdrde. r.sc. Boj Kovčić, viši predvč
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE oče vrijedosti trigooetrijskih fukcij ekih krkterističih kutov ( := e postoji) kut ( ) 45 6 9 5 5 8 5 4 7 5 kut (rd.) 6 4 4 5 6 7 6 5 4 4 5 7 4 6 si cos tg ctg Predzci trigooetrijskih fukcij u pojedii kvdrti: I II III IV si + + cos + + tg + + ctg + + Površi trokut: P = siγ = c si β = c siα c Siusov poučk: = = = R ; siα si β siγ Kosiusov poučk: = + c c cos α, = + c c cos β, c = + cos γ. α + β β + γ γ + α + tg tg tg gesov poučk: + c, c + = =, = ; α β tg c β γ tg c γ α tg Pretvor stupjev u rdije: = rd. 8 8 Pretvor rdij u stupjeve: rd. = Adicijske forule: si( ± y) = si cos y ± cos si y cos( ± y) = cos cos y si si y tg ± tg y tg( ± y) = tg tg y ctg ctg y ctg( ± y) = ctg y ± ctg Forule redukcije: si ± = cos tg ± = ctg cos ± = si ctg ± = tg si ± = si tg ± = ± ctg ( ) ( ) ( ) ( ) Forule z trigooetrijske fukcije dvostrukog i polovičog rguet: cos ± = cos ctg ± = ± tg tg cos + tg + cos( ) + cos( ) = = + tg + cos( ) cos( ) [ ] [ ] si( ) = si cos = si = ± si = cos( ) cos = + cos( ) tg cos cos( ) = cos si = cos = ± tg ctg r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 4
PREGLED DEFINICIJA I FORMULA ZA PISANI DIO ISPIA IZ MAEMAIKE tg cos cos si tg( ) = tg = ± = = tg + cos si + cos ctg tg + cos + cos si ctg( ) = = ctg = ± = = ctg tg cos si cos Forule pretvore: uošk trigooetrijskih fukcij u jihov zroj: si cos y = [ si( + y) + si( y) ] cos cos y = [ cos( + y) + cos( y) ] si si y = [ cos( y) cos( + y) ] zroj trigooetrijskih fukcij u jihov uožk: + y y si( + y) si + si y = si cos tg + tg y = cos cos y + y y si( y) si si y = cos si tg tg y = cos cos y + y y si( + y) cos + cos y = cos cos ctg + ctg y = si si y + y y si( y) cos cos y = si si ctg ctg y = si si y oče vrijedosti cikloetrijskih fukcij z eke krkterističe vrijedosti: rcsi rccos 4 6 5 6 4 6 4 4 6 rctg rcctg 5 6 4 4 6 6 4 4 6 pripreio: r.sc. Boj Kovčić, viši predvč r.sc. Boj Kovčić, viši predvč 5