4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã a soluţiei. Cel mai frecvet utilizate sut ecuaţiile liiare. Forma geeralã a ecuaţiei liiare de ordi este ( ) ( ) y + a y +... + a y = f (6) Ecuaţia liiarã omogeã asociatã ecuaţiei (6) este ( ) ( ) y + a y +... + a y= 0 (7) Î legãturã cu ecuaţiile liiare şi omogee se poate demostra urmatorul rezultat importat. Teorema a) Dacã p N şi y, y,..., y p sut soluţii ale ecuaţiei (7) iar C, C,..., C p R atuci y = C y + C y +... + C p y p este soluţie a ecuaţiei (7). b) Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (7) formeazã u spaţiu vectorial de dimesiue. c) Dacã ecuaţia (7) admite soluţia compleǎ y = u + i v atuci fucţiile reale u şi v sut soluţii ale ecuaţiei (7). Observaţie : petru determiarea soluţiei geerale e ecuaţiei omogee trebuie determiate soluţii liiar idepedete Teorema Soluţiile y, y,..., y : I R ale ecuaţiei (7) sut liiar idepedeta dacã şi umai dacã eistã 0 I astfel îcât determiatul W ( y, y,..., y ) = y y y y'... y' y '... y '... y '... y ' (umit wroskiaul sistemului) sã fie eul î 0. Observaţii : ) Teorema Abel-Ostrogradski-Liouville aratã cã, dacã I este u iterval ce coţie pe 0 şi W ( y, y,..., y )( 0 ) 0, atuci W ( y, y,..., y ) 0 petru orice I ) Dacã y, y,..., y sut soluţii liiar idepedete ale ecuaţiei (7) şi C, C,..., C R atuci soluţia geeralã a ecuaţiei (7) este y = C y + C y +... + C y. (8) Î cazul sistemelor cu coeficieţi costaţi determiarea soluţiilor liiar idepedete se face cu ajutorul ecuaţiei caracteristice, dar reprezitã o problemã complicatã î cazul sistemelor cu coeficieţi variabili.
Petru sistemele eomogee sa poate arãta cã : Teorema : Soluţia geeralã a ecuaţiei (6) este suma ditre soluţia geeralã a ecuaţiei omogee ataşatã, (7), şi o soluţie particularã a ecuaţiei (6). Metoda de rezolvare a ecuaţiilor liiare are trei paşi: - se rezolvã ecuaţia omogeã şi se obţie soluţia yg - se determiã o solutie y P a ecuaţiei eomogee - se scrie soluţia geeralã a ecuaţiei eomogee y= yg + yp. 4... Ecuaţii liiare cu coeficieţi costaţi A) Rezolvarea ecuaţiei omogee Forma geeralã a uei ecuaţii cu coeficieţi costaţi este ( ) ( ) y + ay +... + a y' + ay = 0 (9) Problema rezolvãrii ecuaţiei (9) se reduce deci la determiarea uul sistem fudametal de soluţii. Î cele ce urmeazã prezetãm pricipala metodã de rezolvare petru ecuaţiile liiare. O soluţie a ecuaţiei se cautã sub forma y e λ îlocuire î ecuaţia (9) se obţie, dupã simplificarea cu =, pri aalogie cu cazul =. Pri e λ, ecuaţia caracteristicã λ + aλ +... + a λ + a = 0 (0) Teorema 4 : Fie λ, λ,..., λ soluţiile ecuaţiei (0). a) - dacã λ, λ,... λ sut reale şi disticte ale ecuaţiei (0), atuci e λ, e λ,..., e λ sut soluţii liiar idepedete ale ecuaţiei (9). b) - dacã λ este rãdãciã realã cu ordiul de multiplicitate p petru ecuaţia (0), atuci e λ, e λ p,, e λ sut p soluţii liiar idepedeteale ecuaţiei (9). c) -dacã λ = a+ ib este rãdãciã compleã de ordiul p a ecuaţiei (0) atuci a a a a e cos b, e si b a e cos b, e si b a e cos b, e si b... a a e cos b, e si b sut soluţii liiar idepedete ale ecuaţiei (9). Sistemul fudametal de soluţii se obţie pri îsumarea soluţiilor liiar idepedete corespuzãtoare tuturor rãdãciilor ecuaţiei (0), iar soluţia geeralã a ecuaţiei (9) se obţie folosid formula (8).
Eemple : Sã se determie soluţia geeralã a urmãtoarelor ecuaţii :. y''' 6 y'' + y' 6y= 0 Ecuaţia caracteristicã este λ 6λ + λ 6= 0 şi are soluţiile λ =, λ =, λ =, Se aplicã a) di Teorema 4 şi se obţie sistemul fudametal de (trei) soluţii format di y = e, y = e, y = e. Soluţia geeralã este. y''' + y'' + y' + y = 0 = + + y Ce C e C e Ecuaţia caracteristicã este λ + λ + λ+ = 0 şi are soluţiile λ = λ = λ =. Se aplicã b) di Teoremã petru p =. Sistemul fudametal de (trei) soluţii este format di,, y = e y = e y = e. y'' + 4 y' + 5y= 0, iar soluţia geeralã este = + + y Ce C e C e Ecuaţia caracteristicã este λ + 4λ + 5= 0 şi are soluţiile λ = + i şi λ = i deci se aplicã c) di Teoremã petru a=, b=, p=. Sistemul fudametal de (douã) soluţii este format di soluţiile y = e cos şi y = e si iar soluţia geeralã este IV 4. y 4 y''' + 5 y'' 4 y' + 4y= 0 = cos + y Ce C e si 4 Ecuaţia caracteristicã este λ 4λ + 5λ 4λ + 4= 0 cu soluţiile λ = λ =, λ = i şi λ 4 = i. Soluţia geeralã este cos 4 y = Ce + C e + C + C si A) Determiarea uei soluţii particulare a ecuaţiei eomogee Forma geeralã a ecuaţiei eomogee cu coeficieţi costaţi este ( ) ( ) y + a y +... + a y' + a y= f. Nu eistã metode geerale de determiare a uei soluţii particulare dar, î uele cazuri simple, se pot folosi rezultatele urmãtoare : Dacã f P = este u poliom de grad k atuci soluţia particularã este u poliom de acelaşi grad, cu coeficieţi ecuoscuţi care se vor determia pri îlocuirea î ecuaţie.
a a) Dacã f = e P ude sub forma P este u poliom de grad k eistã douã situaţii - Dacã a u este rãdãciã a ecuaţiei caracteristice soluţia particularã se cautã yp a = e Q, ude Q este u poliom de grad k cu coeficieţi ecuoscuţi - Dacã a ete rãdãciã de ordi r a ecuaţiei caracteristice atuci soluţia particularã se cautã sub forma coeficieţi ecuoscuţi yp r a = e Q, ude Q este u poliom de grad k cu a b) Dac ã f = e P cos( b) + Q si( b) atuci eistã de asemei douã situaţii - Dacã z = a+ bi u este soluţie a ecuaţiei caracteristice so luţia particularã se a cautã sub forma y = e S cos( b) + T si ( b), ude R( ) şi p S sut polioame cu coeficieţi ecuoscuţi avad drept grad cel mai mare ditre gradele lui P şi Q - Dacã z = a+ bi este soluţie de ordi r a ecuaţiei caracteristice soluţia particularã se cautã sub forma ude T şi p r a cos si y = e S b + T b, S sut polioam e cu coeficieţi ecuoscuţi avad drept grad cel mai mare ditre gradele lui P şi Q. Î uele situaţii, petru determiarea soluţiilor particulare, se poate aplica pricipiul superpoziţiei : ( ) ( ) Dacã y P şi y P sut soluţii ale ecuaţiilor y + a y +... + a y = f, respectiv ( ) ( y + a y ) + + a ( ) y g ( )... =, atuci y P! + yp este soluţie a ecuaţiei ( ) ( + a y ) +... + a y = f g y +. Eemple : Sã se determie câte o soluţie particularã petru urmãtoarelor ecuaţii :. y'' y' + y = Fucţia om de g = +. Atuci y' = a şi yp a b f este u poli radul I, deci soluţia particularã se cautã sub forma y'' = 0. Itroducâd î ecuaţie ob ţiem 0 a+ a+ b= şi di idetifica rea coeficieţilor rezultã a = şi, adicã b =. Soluţia particularã este y = +. P Sol uţia geeralã a ecuaţiei este y = Ce + Ce + +. y'' y' + y= e
Deoarece f = e = e P se îcadreazã la b) petru, a= P = şi a = este rãdãciã dublã a ecuaţiei caracteristice, soluţia particularã se va cãuta sub forma y = e A+ B. P Atuci y' = e ( A + B + A + ) şi y'' e ( A B 6A 4B 6A B) e ( 6 ) = + + + + +. Itroducâd î ecuaţie obţiem A+ B =. Di idetificarea coeficieţilor se obţie A = /6 şi B = 0. e Soluţia particularã este deci yp Soluţia geeralã a ecuaţiei este. y'' + y = si Fucţia = e /6. 0 f si e ( 0 cos si ) = 0, =, = 0 şi Q a b P y = Ce + Ce + e /6. = = + se îcadreazã la c) petru =. Deoarece z = 0 + i este soluţie a ecuaţiei caracteristice λ + = 0, soluţia particularã se va cãuta sub forma 0 yp = e ( A+ B) cos + ( C+ D) si. Îlocui î ecuaţie şi idetificâd coeficieţii se obţie sistemul A+ D = 0, 4C = 0, B+ C = 0, 4A= cu soluţia A= / 4, B= 0, C = 0, D= / 4. Soluţia perticularã este deci cos / 4 + si / 4. Soluţia geeralã a ecuaţiei este 4... Ecuaţii cu coeficieţi variabili y = C cos + C si cos / 4 + si / 4 Petru determiarea soluţiei geerale a ecuaţiei omogee cu coeficieţi variabili u eista metode geerale. Dacã îsã aceastã soluţie poate fi precizatã, petru determiarea uei soluţii particlare se poate folosi metoda variaţiei costatelor. Teorema 5: Fie Cy + Cy +... + Cy soluţia geeralã a ecuaţiei omogee ( ) ( ) y + a y +... + a y' + a y= 0. Dacã C, C,..., C satisfac sistemul C ' y+ C' y +... + C' y = 0 C ' y' + C' y' +... + C' y' = 0...... ( ) ( ) ( ) C' y + C' y +... + C' y = 0 ( ) ( ) ( ) C' y C' y... C' y = f + + +
atuci C y = y + C y + + C y este soluţie a ecuaţiei (7)... Eemplu : Sã se determie soluţia geeralâ a ecuaţiei y '' + y ' =, > 0 Se oteazã y' = z. Ecuaţia omogeã asociatã este z ' + z = 0.Rezultã z = C adicã y = Cl + C Se foloseşte met oda variaţiei costatelor petru y = l şi y =. Sistemul devie C' l + C' = 0 cu soluţiile C' + C' 0= C = + A. C = l + + B 9 C =. Rezultã C = l Soluţia geeralã a ecuaţiei este y = + Al + B. 9 Observaţie: Metoda variaţiei costatelor poate fi folositã si petru determiarea soluţiilor particulare ale ecuaţiilor omogee cu coeficieţi costaţi atuci câd f u se îcadreazã î situaţiile prezetate aterior. fucţia e Eemplu: Sã se determie soluţia geeralã a ecuaţiei y'' y' + y =, > 0. Soluţia geeralã a ecuaţiei omogee este y ( ) = Ce + Ce. Se aplicã variaţia costatelor petru Sistemul obţiut este = şi y e G y = e. ' C e + C ' e = 0 C' e + C' + ( e e ) e = cu soluţiile Soluţia geeralã a ecuaţiei este y ( A) e e ( l B) = + + +. C = + A. C = l + B 4.. Ecuaţii icomplete Ecuaţiile difereţiale icomplet e de o rdi sut ecuaţii (î geeral eliiare) î epresia cãrora u apar toate derivatele fucţiei ecuoscute pâã la ordiul -. Pertu rezolvarea lor se folosesc substitutii care le micşoreaza ordiul. 4.. Ecuaţii i care fucţia ecuoscutã apare doar pri derivatele sale ( k ) ( k + ) ( ) Ecuaţiile de forma F (, y, y,..., y ) = 0 se reduc la o ecuaţie de ordi -k pri ) substituţia z = y ( k.
y '' = Eemplu : substituţ ia z = y'. Ecuaţia + y' se trasforma îtr-o ecuaţie de ordiul I folosid z ' = + z este o ecuaţie cu variabile separabile şi are C soluţia geeralã z = e e. Rezultã deci cã C C y = z d = C e e. C 4... Ecuaţii î care variabila idepedetã u apare eplicit ( ) Aceste ecuaţii au forma F ( y, y',..., y ) = 0. Se oteazã y ' = p( y). Atuci y'' = ( y' )' = ( p( y) )' = p' ( y) y' = p p' ( y) ( y'' )' = p p'' + ( p ) ) p y''' = ( '... ( ) Si ecuaţia dev ie f ( y, p, p',... p ) = 0. Aceeaşi procedurã se poate aplica petru a micşora ordiul î cotiuare. Sut umeroase cazurile î care derivata apare î ecuaţie doar la puteri pare. Î acest caz se face ota ţia p = ( y '). y y' ' = + y'. Se oteazã p = ( y' ). Rezultã cã p ' = p' ( y ) y' = y' y' ' deci y '' = p' /. Di ecuaţia cu variabile separabile p' = + p rezultã p = Cy adicã Eemplu : y ' = ± Cy. Pri itegrare directǎ de obţie l C y ± C ( Ce ) Soluţia ecuaţiei este y = ± C C ( Ce ) Eerciţii propuse : y. C y + Cy = ± + A. Determiaţi soluţiile geerale ale urmãtoarelor ecuaţii :.. y'' 4 y' + 4 y = R : y = C ( 4 ) + C e + + + 8 y'' y' + y = + 6 R : / y e = Ccos + Csi + + + 6
. '' ' = y + y + y e 4 y'' 8 y' 7 y 4 R : y = ( C + C ) e + e + = 7 R : y = Ce + C e + 5. y'' y' = e R : y = Ce + Ce + e 6. y'' + y' 6 y = e R : y = Ce + Ce + e 0 5 7. y'' + y = cos R : y = Ccos + Csi + si 8. y'' + y= si R : y = Ccos + Csi + cos 6 9. y''' y'' + y = 0 R : y = C + C e + C e 0. y''' y = 0 / R : cos si y = Ce + e C + C IV. y + 4y= 0 R : y = e C cos + C si + e C cos + C si IV. y y''' + y'' = e e. y'' + y' + y =, > 0 4. y'' y' + y = + si 5. y'' + 4 y' + y= l ( + ) 9 R : 4 y C C C = + + + C 4 + R : l y = C + C e + e e R : ec. omogeã are soluţia y = C+ C y = + C + C si / cos y R: ec omogeã are soluţia ( + ) A B = + C C y = + + l ( + ) 4