Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete: două mulţm ş K, ş două operaţ algebrce umte aduarea vectorlor ş îmulţrea cu scalar Defţa Fe K u corp de umere (K = sau K = ) ş o mulţme de elemete pe care s- au deft două operaţ (leg de compozţe): I + : (lege adtvă); II : K (lege multplcatvă sau îmulţre cu scalar) (, +, ) se umeşte spaţu vectoral peste corpul K ş otăm /K dacă cele două leg verfcă axomele: î raport cu operaţa de aduare este u grup comutatv (abela), adcă x+y = y+x, x, y ; (x+y)+z = x+(y+z), x, y, z ; 0 astfel îcât x : x + 0 = 0+x = x; 4 x, x astfel îcât x + ( x) = ( x) + x = 0; îmulţrea cu scalar satsface codţle (α + β)x = αx + βx α, β K, x ; (α β)x = α (β x), α, β K, x ; α (x + y) = α x + α y, α K, x, y ; 4 x = x, x, elemetul utate d K Elemetele mulţm se umesc vector, ar elemetele lu K se umesc scalar om ota, î geeral, vector cu ltere late, ar scalar pr ltere greceşt, mulţmea vectorlor lber d pla, respectv d spaţu este spaţu vectoral î raport cu aduarea vectorlor ş îmulţrea cu scalar Spaţul x, x,, x / x,, (sau ma geeral or K este sau ), împreuă cu operaţle x, x,, x y, y,, y x y, x y,, x y ş x, x,, x x, x,, x formează spaţu vectoral peste, (respectv peste ) De exemplu, î, (; ) (0;) (; ); (; ) (6; 4) K, ude
Î, (;; ) (;0; ) (5;; );( ) (;;0) ( 6; ;0) Îzestrat cu cele două leg de compozţe, Lector uv dr Crsta Nartea este u -spaţu vectoral ectorul ul este 0 =(0; 0; ; 0), ar opusul vectorulu x x ; ; x este vectorul -x -x ; ; -x Propretăţle d Defţa se verfcă medat Astfel, se poate orgaza ca -spaţu vectoral Elemetele lu se umesc vector (le) real -dmesoal (vez Defţa) M, ( K ) mulţmea matrcelor cu m l ş coloae este u spaţu vectoral peste K î m raport cu operaţle de aduare a matrcelor ş îmulţrea cu umere a matrcelor 4 Spaţul [X] al poloamelor cu coefceţ real, de grad este spaţu vectoral î raport cu aduarea poloamelor ş îmulţrea poloamelor cu umere 5 Spaţul C([a, b]) al fucţlor cotue defte pe tervalul [a, b] C([a, b])={f / f : [a, b], f cotuă} formează spaţu vectoral î raport cu operaţle (f + g)(x) = f(x) + g(x) (α f)(x) = αf(x) Elemetul eutru este 0 = f0(x) = 0 (fucţa detc ulă), ar smetrcul lu f este ( f)(x) = f(x) Propretăţ (Regul de calcul îtr-u spaţu vectoral) α(x y) = α x α y, x; y; K ; (α β)x = αx βx, x ;, K ; 0 x = 0, x ; 4 ( ) x = x, x ; 5 α 0 = 0, K ; 6 α x = 0 α = 0 sau x = 0 Demostraţe: (x - y) + y = [(x - y) + y] = x ( - )x + x = [( - ) + ]x = x Î propretatea se a 4 Rezultă d propretăţle ş 5 Rezultă d, luâd x=y 6 D ş 5, 0 x = α 0 = 0 Recproc, dacă x 0 ş 0, atuc exstă (K fd corp), dec - x - - - 0 0 x ( )x x x, dec x = 0 Dar Subspaţ vectorale Defţa O submulţme a spaţulu vectoral peste corpul K este u subspaţu vectoral al lu dacă este spaţu vectoral î raport cu cele două operaţ restrcţoate la Sut evdete următoarele teoreme:
Lector uv dr Crsta Nartea Teorema O codţe ecesară ş sufcetă ca submulţmea a spaţulu vectoral peste corpul K să fe subspaţu vectoral este ca să fe stablă î raport cu cele două operaţ, adcă a) x + y, x, y ; b) λx, λ K, x Propozţa (Crterul subspaţulu) O codţe ecesară ş sufcetă ca submulţmea a lu peste corpul K să fe subspaţu vectoral este ca λx + μy λ, μ K, x, y Î orce spaţu vectoral mulţmea { 0 } ş sut subspaţ vectorale, umte subspaţ vectorale mpropr sau trvale Î cosderăm, petru orce, mulţmle { x ; x (x ; ; x -; 0 ; x ; ; x )} Se demostrează uşor că este subspţu vectoral al lu Aduarea vectorlor d ş este uşor vzualzată cu ajutorul regul paralelogramulu, ca î fgură, petru vector d Orce dreaptă care trece pr orge este subspaţu al lu (orce puct de pe aceste drepte are coordoatele ( x, x) ) Î schmb, dreptele care u trec pr orge u formează subspaţu vectoral deoarece orce subspaţu trebue sa coţă vectorul ul Curbele d u formează c ele subspaţ vectorale deoarece, aşa cum se vede î fgura următoare exstă pucte de pe curbă u ş v asfel îcât u+v u se află pe curbă, dec prma codţe d Teorema, u este îdepltă
Lector uv dr Crsta Nartea Î cosecţă, î sgurele subspaţ sut cele trvale ş dreptele care trec pr orge Î, subspaţle mpropr ş dreptele care trec pr orge sut d ou subspaţ vectorale, dar ac ma sut subspaţ ş plaele care trec pr orge Dacă P este u pla care trece pr orge, aşa cum se vede ş î fgură, suma a do vector d P, se află tot î P, ar îmulţrea cu scalar este be deftă (rezultatul este tot u vector d P) Combaţ lare Ssteme de geerator Defţa 4 Fe /K u spaţu vectoral ş x,,, K,, Se umeşte combaţe lară a vectorlor x,, cu scalar,, vectorul x x x x Numerele se umesc coefceţ combaţe lare Exemplu Fe spațul vectoral ş vector x = (,, ), y = (5,,- ), z = (,, 0) Atuc combaţle lare ale acestor vector sut de forma x y z (,, ) (5,, - ) (,, 0) = ( +5, +, - ) 4
Lector uv dr Crsta Nartea Defţa 5 Fe /K u spaţu vectoral ş M, M Se umeşte spaţu geerat de mulţmea M ş se otează cu sp(m) mulţmea tuturor combaţlor lare cu vector d M ş coefceţ d K Exemplu Fe spațul vectoral ş M { e, e, e}, vector e, 0, 0, e 0,, 0, e 0, 0, Atuc sp(m) = {(,, ), } Defţa 6 Fe /K spaţu vectoral ş M, M Submulţmea M se umeşte sstem de geerator petru spaţul, dacă spaţul geerat de M este egal cu, dec dacă sp(m) = Iterpretare geometrcă Dacă u 0 este u vector d, atuc sp(u) este mulţmea dreptelor care trec pr orge ş pr u Combaţle lare a do vector u ş v, sp(u,v), ude u ş v sut vector eul ş ecolar, este, după cum se vede ş î fgură, plaul care trece pr orge ş coţe ce do vector Defţa 7 Spaţul vectoral /K se umeşte de dmesue ftă dacă admte u sstem ft de geerator Exemplu e, e, e costtue u sstem de geerator petru Î cocluze, are dmesue ftă 5
Lector uv dr Crsta Nartea Depedeţă ş depedeţă lară Defţa 8 Fe /K spaţu vectoral ş { x, x,, x } Spuem că vector x,, sut lar depedeţ (sau că mulţmea x, x,, x este o mulţme lberă), dacă d x + + x = 0 rezultă = = = 0 Defţa 9 Fe /K spaţu vectoral ş u sstem de vector { x, x,, x } ector x,, se umesc lar depedeţ (sau mulţme legată) dacă exstă K, u toţ ul, astfel îcât x + + x = 0 Petru mulțmea vectorlor lber, M {, j, k} este u sstem lar depedet Demostraţe D + j + k = 0, rezultă = = = 0, dec sstemul de vector este lar depedet Î, vector e (,0,0), e (0,,0), e (0,0,) sut lear depedeţ Î, vector e (;0; ;0); e (0;;0; ;0); ; e ) sut (0; lear ;0; depedeţ 4 Î, vector x = (; 0; ),x = (0; ; ), x = (; ; -) sut lar depedeţ deoarece x x x 0 5 Î, vector x = (; 0; ),x = (0; ; 0), x = (; 0; 0) sut lar depedeţ Demostrate D x + x + x = 0, rezultă 0 0 0, 0 Dec sstemul este lar depedet Bază Dmesue Sstemele de vector care sut smulta ş ssteme de geerator ş lar depedete vor juca u rol fudametal î ceea ce urmează Defţa0 Fe /K u spaţu vectoral ş B = e, e,, e B se umeşte bază î spaţul vectoral dacă: B este lar depedetă; B este u sstem de geerator petru Teorema Fe /K spaţu vectoral, B = e, e,, e, B este bază Rezultă că petru orcare x, exstă,,, K uc determaț astfel îcât: 6
x e e e e Lector uv dr Crsta Nartea Numerele,,, se umesc coordoatele vectorulu x î raport cu baza B om scre x=(,,, ) Demostraţe Fe B = e, e,, e bază, ş fe x D faptul că B este sstem de geerator, rezultă că exstă,,, K astfel îcât x = e e e Presupuem pr absurd că exstă ş,,, K astfel îcât x = e e e Atuc 0 x x ( ) e ( ) e ( ) e, ş cum B e sstem lar depedet β = 0,,,,, dec screrea este ucă ector e (,0,0), e (0,,0),e (0,0,) formează baza caocă î Î x, x,, x / x,, ş fe vector e, 0,,0, e 0,, 0, 0,,0,, e 0, 0,,0, ; atuc B = { e, e,, e } este o bază î umtă bază caocă Demostraţe: Sstem lar depedet D e e e 0,,, 0, 0,,0 0, 0,,0 0,, 0,,0 0, 0,,0, 0 { e, e,, e } lar depedet Sstem de geerator Fe x = x, x,, x x x, 0,,0 x0,, 0,,0 x 0, 0,,0, xe xe xe x sp(b) Dar x oarecare B sstem de geerator Î spaţul [X] al poloamelor cu coefceţ real, de grad, fe vector e, e x, e x,, e x Atuc mulţmea B = { e, e,, e } este bază caocă Teorema ector x, x,, x p sut lar depedeţ dacă ş uma dacă matrcea coordoatelor lor î baza B are ragul p Aplcaţa erfcaţ lar depedeţa vectorlor x,,, x,, 0, x 4, 7, ; a) b) a) x, 0, 0, x,, 0, x,, Aplcaţa Să se arate că mulţmea B={(,,-), (,-,),(-,,)} este o bază î determe coordoatele vectorulu x=(,,) î raport cu această bază, ş să se 7
Aplcaţa Să se afle coordoatele matrce M ( ), adcă A 0 0 0 0 0 0 0 e, e, e, e 4 0 0 0 0 0 0 Lector uv dr Crsta Nartea î raport cu baza caocă d Defţa Spuem că spaţul vectoral este de dmesue sau -dmesoal ş se otează dmk = dacă exstă î vector lar depedeţ ş orce + vector sut lar depedeţ Î acest caz spaţul se umeşte ft-dmesoal Spaţul vectoral care coţe u sstem lar depedet ft se umeşte ft-dmesoal ) dm = ) dm [X] = + ) dm = Teorema 4 Îtr-u spaţu vectoral de dmesue exstă o bază formată d vector; ma mult, orce sstem de vector lar depedeţ d costtue o bază a lu Teorema 5 Dacă B = { e, e,, e } este bază î, atuc dmk = Teorema 6 (Teorema baze complete) Fe u spaţu vectoral de dmesue Petru orce parte lberă S =x, x,, xp d, p <, exstă vector x p; ; x d astfel îcât x, x,, x, x,, x să fe bază î p p Matrcea de trecere de la o bază la alta Schmbarea coordoatelor uu vector la schmbarea baze Fe u K-spaţu vectoral de dmesue ş B = { e, e,, e }, B = { f, f,, f } două baze ale sale Putem exprma vector d baza B î baza B Petru orce vector f, j, exstă ş sut uc cj Matrcea K astfel îcât f c e c e c e c e, j j j f c e c e c e c e, j j j f c e c e c e c e j j j j 8
Lector uv dr Crsta Nartea c c c c c c C c c c Se umeşte matrcea de trecere de la baza B la baza B Teorema 7 Matrcea de trecere de la o bază la alta este esgulară Teorema 8 Fe dm =, ar C matrcea de trecere de la baza B la baza B Dacă x, are coordoatele x, x,, x x ' ' ', x,, x, î baza B', atuc x Cx ş x[ B'] C x B, ude x [ B] B' î baza B ş are compoetele B x x, ar x x B' ' x ' x ' x Aplcaţa 4 Fe B={ e (,), e (,) } ş B ={ f (,), e (,8) } a) Să se verfce dacă sstemele de vector B ş B formează baze b) Să se găsească matrcea de trecere d baza B î baza B c) Dacă x[ B'] (,), găsţ coordoatele lu x î baza B d) Dacă x[ B] (, 0), găsţ coordoatele lu x î baza B Dmesuea uu subspaţu vectoral Teorema 8 Fe u K-spaţu vectoral de dmesue ş S u subspaţu vectoral al lu Atuc: dm S dm dacă ş uma dacă = S; a) K K b) dacă S este subspaţu propru al lu, atuc dm S dm ; c) S admte u suplemet S ş avem: dm dm S dm S K K K K Teorema 9 (Grassma) Dacă S ş S sut subspaţ vectorale ft dmesoale ale lu, atuc dm S S dm S dm S -dm S S K K K K K 9