3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3 = {(x, y, z: x, y, zr} Mulţimea R oate fi înzestrată cu o structură algebrică de saţiu vectorial real, definind adunarea şi înmulţirea cu scalari rin: (x, x,, x + (y, y,, y = (x + y, x + y,, x + y α (x, x,, x = (αx, αx,, αx entru orice (x, x,, x, (y, y,, y R şi αr. În tim ce mulţimea numerelor reale este total ordonată, între elementele mulţimii R nu oate fi definită o relaţie de ordine totală comatibilă cu structura algebrică, de aceea unele rorietăţi ale funcţiilor reale de o variabilă reală (legate de monotonie, sre exemlu nu se ot enunţa în cazul funcţiilor reale de mai multe variabile reale (funcţii definite e o arte A R cu valori în R. Structura de bază însă cu care trebuie să fie dotate mulţimile entru studiul caracteristic analizei matematice, bazat e noţiunea de limită, este cea de saţiu toologic, în care se oate exrima fatul că două elemente sunt sau nu aroiate, cu ajutorul noţiunii de vecinătate, în cazul general, sau cu ajutorul noţiunii de metrică (sau distanţă în cazurile uzuale. Definiţia 3... Dacă X este o mulţime nevidă astfel încât, entru fiecare xx, să oată fi evidenţiată o familie V(x de submulţimi ale lui X cu rorietăţile: [V ] oricare ar fi V V(x, xv; [V ] dacă U, V V(x atunci U V V(x; [V 3 ] dacă V V(x şi V A atunci A V(x; [V 4 ] oricare ar fi V V(x există W V(x încât V V(y entru orice yw, atunci se sune că e X este definită o structură toologică (sau o toologie. Mulţimea X se numeşte în acest caz saţiu toologic, iar familia V(x se numeşte sistem de vecinătăţi ale unctului x. Definiţia 3... Fie X o mulţime nevidă, arbitrară. Funcţia d : X x X R satisfăcând rorietăţile: [D ] d(x, y 0 entru orice x, yx; d(x, y = 0 dacă şi numai dacă x = y [D ] d(x, y = d(y, x entru orice x, yx [D 3 ] d(x, z d(x, y + d(y, z entru orice x, y, zx se numeşte metrică (distanţă e X, iar erechea (X, d se numeşte saţiu metric. Dacă (X, d este un saţiu metric, xx, rr, r>0, atunci mulţimea: S(x, r = {yx: d(y, x < r} se numeşte sferă deschisă cu centrul în x şi raza r. Teorema 3... Dacă (X, d este un saţiu metric, entru fiecare xx, familia V(x = {V X: r>0, S(x, r V} formează un sistem de vecinătăţi ale unctului x; deci orice saţiu metric este în mod natural un saţiu toologic. În lus, entru orice xx, V(x are două rorietăţi remarcabile: Dacă x, yx, x y atunci există U V(x, V V(y astfel încât U V = Ø (rorietatea de searare Există (V n n N* V(x astfel încât: - oricare ar fi V V(x există n 0 N * încât V V - dacă n, mn *, n m atunci V n V m (această rorietate este cunoscută sun numele de rima axiomă a numărabilităţii Aceste rorietăţi ermit rezolvarea unor robleme mari (unicitatea limitei, caracterizarea limitei şi continuităţii unei funcţii cu ajutorul şirurilor, etc la nivelul saţiilor metrice, la fel ca în cazul axei reale. n 0
Observaţia 3... Structura de saţiu metric e X nu resuune existenţa unei structuri algebrice e X. Revenind la R care este înzestrat cu o structură algebrică e saţiu vectorial real, utem defini în mod natural o structură de saţiu metric (deci o structură toologică utilizând două noţiuni articulare imortante, rodusul scalar şi norma, care se definesc numai în saţii vectoriale. Definiţia 3...3. Produsul scalar euclidian între elementele lui R este definit rin: <x, y> = x y + x y + + x y entru orice x = (x, x,, x, y = (y, y,, y R. Norma euclidiană e R este generată de rodusul euclidian: x = x, x = entru orice x = (x, x,,x R. Distanţa euclidiană este generată de norma euclidiană: d(x, y = x - y = x x... x y (x y... (x y entru orice x = (x, x,, x, y = (y, y,, y R. Se demonstrează uşor că d satisface rorietăţile [D ], [D ], [D 3 ] din definiţia 3..., deci (R, d este saţiu metric şi, rin urmare, saţiu toologic; sistemul de vecinătăţi ale fiecărui unct din R se defineşte ca în teorema 3... Observaţia 3... a Pentru = avem x = x, distanţa euclidiană este d(x, y = x y, iar entru ε > 0 şi x 0 R, S(x 0, r = {xr, x x 0 <ε} = (x 0 ε, x 0 + ε. b Pentru =, dacă (x, y R, avem (x, y = uneşte unctele O(0, 0 şi A(x, y; distanţa euclidiană este: d((x, y, (x, y = x y care rerezintă lungimea segmentului ce x (y y iar entru ε > 0 şi (x 0, y 0 R fixat, S((x 0, y 0, ε = {(x, y R, (x x 0 + (y y 0 <ε } este interiorul cercului cu centrul în (x 0, y 0 şi raza ε, adică discul cu centrul în (x 0, y 0 şi raza ε. c Pentru = 3, avem (x, y, z = x y d((x, y, z, (x, y, z = z, iar distanţa euclidiană este: x (y y (z z entru ε > 0 şi (x 0, y 0, z 0 R 3 fixat, S((x 0, y 0, z 0, ε = {(x, y, z R 3, (x x 0 + (y y 0 + (z z 0 <ε } este interiorul sferei geometrice cu centrul în (x 0, y 0, z 0 şi raza ε. 3... Şiruri în R. Definiţia 3... Se numeşte şir de elemente din R orice funcţie f : N R ; entru orice nn, termenul de rang n, x n = f(n R, deci este de forma x n = (x n, x n, x n unde x n, x n, x n R. Pentru fiecare k =,,.. fie f k : N R, f k (n = x n k. Şirurile f, f,, f de numere reale se numesc şiruri comonente ale şirului f. Considerând R înzestrat cu metrica euclidiană, se ot defini, la fel ca entru şirurile de numere reale, noţiunile de unct limită, unct de acumulare, şir convergent, şir fundamental. Definiţia 3... Fie f : N R ; f(n = x n un şir de elemente din R. Şirul f se numeşte convergent dacă există x R astfel încât entru orice ε > 0 există n 0 N încât, oricare ar fi n n 0, d(x n, x < ε. Elementul x se numeşte unct limită entru şirul f. În caz contrar, şirul f se numeşte divergent. Şirul f se numeşte şir fundamental (sau şir Cauchy dacă entru orice ε > 0 există n 0 N încât, dacă n, m N n n 0, m n 0 atunci d(x n, x m < ε sau, echivalent, d(x n, x n+ < ε entru orice n n 0 şi orice N. Teorema următoare stabileşte fatul că studiul şirurilor din R, > se reduce la studiul şirurilor din R şi că R înzestrat cu distanţa euclidiană este un saţiu metric comlet. Teorema 3... Fie f : N R, f(n = x n = (x n, x n,, x n un şir de elemente din R. Pentru fiecare k =,,, fie f k : N R, f k (n = x n k.
a Şirul f este convergent şi are limita x = (x, x,, x R dacă şi numai dacă şirurile comonente f, f, f sunt convergente şi x k = lim x k n, k =,,, b Şirul f este şir fundamental dacă şi numai dacă toate şirurile comonente sunt şiruri fundamentale. c Şirul f este convergent dacă şi numai dacă el este şir fundamental, deci R în raort cu distanţa euclidiană este saţiu metric comlet. Observaţia 3... a Din această teoremă deducem că limita unui şir convergent din R se calculează e comonente. n De exemlu, şirul f : N * R, f(n =, converge către (0,. n n b În R, nu se ot defini convenabil şiruri monotone, ca în cazul şirurilor de numere reale, deoarece în R, nu se oate introduce o relaţie de ordine totală comatibilă cu structura algebrică. 3..3. Limita unei funcţii de mai multe variabile Este cunoscută, din liceu, noţiunea de limită a unei funcţii reale de o variabilă reală într-un unct de acumulare al domeniului său de definiţie. Prezentăm acum această noţiune entru funcţii definite e o arte A R cu valori în R. Este necesar să recizăm, mai întâi, noţiunea de unct de acumulare al unei mulţimi A R. Acest lucru este osibil la fel ca în A R deoarece cunoaştem sistemul de vecinătăţi ale fiecărui unct din R. Definiţia 3..3.. Considerăm R înzestrat cu metrica euclidiană. Fie A R, x R arbitrare. Elementul x se numeşte unct de acumulare entru mulţimea A, dacă oricare ar fi UV(x avem (U\{x} A Ø. Mulţimea tuturor unctelor de acumulare ale mulţimii A se notează A. Definiţia 3..3.. Fie A R, f : A R o funcţie arbitrară, l R, aa. Elementul l se numeşte limita funcţiei f în unctul a dacă entru orice vecinătate VV(l există o vecinătate UV(a astfel încât oricare ar fi x(u\{a} A avem f(x V. Se notează l = lim f(x. Observaţia 3..3.. a Deoarece aa, (U\{a} A Ø oricare ar fi UV(a. Deoarece există elemente ale mulţimii A oricât de aroae de a, iar funcţia f ia în acestea valori oricât de aroae de l. De aceea, sunem că l este limita funcţiei f când x tinde la a, se aroie oricât de mult de a. Este evident că nu are sens să ne unem roblema limitei unei funcţii într-un unct care nu este unct de acumulare entru domeniul său de definiţie. b Definiţia unctului de acumulare al unei mulţimi, recum şi definiţia limitei unei funcţii într-un unct ot fi extinse, cu aceeaşi formulare, la cazul saţiilor toologice oarecare deoarece utilizează doar noţiunea de vecinătate. Considerarea saţiilor metrice concrete (care sunt saţii toologice articulare rezintă unele avantaje cum ar fi unicitatea limitei, caracterizarea ei cu şiruri, care nu se regăsesc în cazul general. Teorema 3..3.. Fie f : A R R o funcţie arbitrară, aa. Dacă funcţia f are limită în unctul a, atunci aceasta este unică. Teorema 3..3.. Fie f : A R R, aa, lr. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a l = lim f(x; b entru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât, entru orice xa cu 0 < d(x, a < δ să avem f(x - l < ε; c oricare ar fi şirul (x n n N de elemente din mulţimea A\{a} cu lim x n = a avem lim f(x n = l. Observaţia 3..3.. a Dacă f, g :A R R, aa, lr dacă există UV(a astfel încât entru orice x(u\{a} A avem f(x - l g(x şi dacă lim g(x = 0 atunci, evident lim f(x = l. b Dacă x = (x, x,, x, a = (a, a,, a atunci d(x, a= k k a k
ţinând cont de dubla inegalitate evidentă: x i - a i k k a k k k x a, i =,,, k rezultă imediat că l = lim f(x dacă şi numai dacă entru orice ε > 0 există δ > 0 încât entru orice x = (x, x,, x A cu 0 < x i - a i < δ, i=,,, să avem f(x - l < ε. c Dacă există două şiruri (a n n N şi (b n nn de elemente din A\{a} cu lim a n = lim b n = a astfel încât lim f(a n lim f(b n atunci, evident, funcţia f nu are limită în unctul a. Pentru o funcţie reală de variabile reale utem defini o noţiune articulară de limită, şi anume, limita duă o direcţie. Definiţia 3..3.3. Dacă f : A R R, aa, atunci entru orice vector v 0 din R, se numeşte limita funcţiei f în unctul a duă direcţia lui v (atunci când există numărul lim f(a + tv t0 Observaţia 3..3.3. a Evident, unctele x = a + tv au rorietatea că vectorul x a este coliniar cu v ceea ce justifică terminologia. b Dacă există l = lim f(x atunci există şi limita funcţiei f în unctul a, duă direcţia lui v şi este egală cu l. Reciroca acestei afirmaţii este falsă. Funcţia f(x, y = direcţie dar arametru real. lim (x,y (0,0 y y f(x, y nu există, aşa cum se constată considerând şiruri x, y + x 0 are limita - în (0, 0 e orice x 3..4. Funcţii reale de mai multe variabile continue într-un unct. n, n Definiţia 3..4.. Fie f : A R R, aa A. Funcţia f se numeşte continuă în unctul a dacă există lim f(x şi lim f(x = f(a. Dacă funcţia f nu este continuă în unctul a, sunem că f este discontinuă în acest unct. Folosind definiţia 3..3.. a limitei unei funcţii într-un unct, recum şi teorema 3..3.. entru l = f(a rezultă imediat: Teorema 3..4.. Fie f : A R R, aa A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a f este continuă în unctul a; b entru orice vecinătate VV (f(a există o vecinătate UV (a astfel încât oricare ar fi xu A avem f(x V ; c entru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât entru orice xa cu d(x, a < δ avem f(x f(a < ε d entru orice şir (x n n N de elemente din mulţimea A cu lim x n = a avem lim f(x n = f(a Ţinând seama de observaţia 3..3.. obţinem: Observaţia 3..4.. a Dacă f, g:a R R, a A A dacă există UV (a astfel încât entru orice xu A avem f(x f(a g(x şi dacă lim g(x= 0 atunci, evident, f este continuă în unctul a. b Dacă f :A R R, a = (a, a,, a A A, f este continuă în unctul a dacă şi numai dacă entru orice ε > 0 există δ > 0 încât entru orice x = (x, x,, x A cu x i - a i < δ, i =,,, avem f(x f(a < ε. c Dacă există un şir (a n n N de elemente din A cu * nn cu λ lim a n = a astfel încât lim f(a n f(a atunci, evident, funcţia f nu este continuă în unctul a. Folosind noţiunea de limită duă o direcţie introdusă în definiţia 3..3.3. obţinem:
Definiţia 3..4.. Funcţia f:a R R este continuă în unctul aa A duă direcţia vectorului v 0 dacă lim f(a + tv = f(a. t0 În articular, dacă vectorul v are toate comonentele nule, cu exceţia comonentei a i-a şi funcţia f este continuă duă direcţia lui v în unctul a, sunem că f este continuă arţial în raort cu variabila x i în unctul a. Evident, i oate lua oricare dintre valorile,,,. Având în vedere observaţia 3..3.3. b rezultă că dacă f este continuă în unctul a atunci ea este continuă duă orice direcţie în acest unct; în articular, ea este continuă arţial în raort cu fiecare variabilă x, x,, x searat în unctul a, reciroca nefiind, în general, adevărată. 3..5. Funcţii vectoriale de variabilă vectorială continue într-un unct. Fie A R şi f : A R m,, m. O asemenea funcţie se numeşte funcţie vectorială de variabilă vectorială sau funcţie vectorială de variabile reale, deoarece entru orice xa, x = (x, x,, x cu x i R, i =,,,, f(x = f(x, x,, x = y = (y, y,, y m R m. Funcţiile f k :A R, f k (x = y k, k=,,, m sunt, evident, funcţii reale de variabile reale şi se numesc comonentele funcţiei f. Considerând e R şi R m metrica euclidiană, dacă a A şi l = (l, l,, l m R m, rin analogie cu definiţia 3..3.. utem enunţa: Definiţia 3..5.. Elementul l se numeşte limita funcţiei f în unctul a dacă entru orice VV (l există UV (a astfel încât oricare ar fi x(u {a} A avem f(x V. Se oate demonstra: Teorema 3..5.. Elementul l este limita funcţiei f în unctul a dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul de elemente din A {a} cu lim x n = a avem lim f(x n = l. Ţinând seama de teorema 3... referitoare la limita unui şir convergent din R m, deducem imediat: Teorema 3..5.. Funcţia vectorială f : A R R m are limită în unctul aa dacă şi numai dacă toate comonentele sale au limită în acest unct. Trecerea la limită se face e comonente, adică lim f(x =( lim f (x, lim f (x,, lim f m (x. Studiul funcţiei f se reduce la studiul celor m comonente ale sale care sunt funcţii reale de variabile reale. Prin analogie cu definiţia 3..4.. utem enunţa: Definiţia 3..5.. Fie f : A R R m, m, aa A. Funcţia f se numeşte continuă în unctul a dacă există lim f(x şi lim f(x = f(a. Ţinând seama de teorema 3..6.. rezultă imediat: Teorema 3..5.3. Funcţia vectorială f : A R R m este continuă în unctul aa A dacă şi numai dacă toate comonentele sale sunt continue în acest unct.