1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice 9 1.1 Şiruri numerice în R şi C.... 9 1.2 Proprietăţi ale şirurilorconvergente.... 10 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3.... 15 1.4 Serii numerice în R şi C.... 17 1.5 Criterii de convergenţă pentruseriinumerice.... 19 1.6 Calculul numeric al sumei seriilor....... 33 2 Şiruri şi serii de funcţii 35 2.1 Scurtă introducere însubiect... 35 2.2 Şiruri de funcţiireale... 35 2.3 Proprietăţi ale şirurilor de funcţiiuniformconvergente... 37 2.4 Serii de funcţii.... 38 2.5 Seriideputeri.... 40 2.6 Operatiicuseriideputeri... 43 2.7 Seriile de puteri şi funcţiile elementare..... 43 2.7.1 Funcţia exponenţială.... 43 2.7.2 Funcţiile trigonometrice..... 45 2.7.3 Funcţia logaritm natural.... 46 2.7.4 Funcţiile a x şi x a.... 47 2.7.5 Funcţiile hiperbolice....... 47 2.8 Serii de puteri centrate în origine cu coeficienţi reali... 47 2.9 Convergenţa înmedie.... 51 3 Funcţii vectoriale de varibilă vectorială. 57 3.1 Funcţii în R 2 şi R 3... 57 3.2 Limite pentru funcţiidemaimultevariabile.... 58 3.3 Funcţii continue în R 2 si R 3... 60 3.3.1 Proprietăti ale functiilor continue ntr-un punct.... 63 3.3.2 Prelungireaprincontinuitate... 65 3.3.3 Discontinuităţile funcţiilor cu mai multe variabile.... 66 5

6 CUPRINS 3.4 Derivate parţiale... 66 3.5 Aplicaţii diferenţiale... 69 3.5.1 Scurtă prezentare.... 69 3.5.2 Definiţia generală a diferenţiabilităţii.... 70 3.5.3 Diferenţiala şi derivata unor aplicaţii concrete.... 73 3.5.4 Proprietăţi ale diferenţialei si derivatei aplicaţiilor concrete....... 81 3.5.5 Derivate parţialedeordinsuperior... 93 3.5.6 Diferenţialele de ordin superior ale câmpurilor scalare.. 95 3.5.7 Dezvoltarea lui Taylor pentru funcţii reale de mai multe variabile.... 97 3.5.8 Probleme de optim pentru funcţii de mai multe variabile. 99 4 Funcţii definite implicit. 107 4.1 Noţiunea de funcţie implicită... 107 4.2 Teorema funcţiilor implicite....... 108 4.2.1 Cazul funcţiilor cu douăvariabilereale.... 108 4.2.2 Cazul funcţiilor cu trei variabile reale..... 111 4.2.3 Cazul funcţiilor cu n+1 variabile (m=n+1)...... 111 4.3 Sisteme de funcţiiimplicite... 112 4.3.1 Cazul a două funcţiicucincivariabile... 112 4.3.2 Cazul sistemelor de m funcţiicum+nvariabile... 113 4.4 Extreme cu legături.... 115 4.4.1 TeoremaluiLagrange.... 115 4.5 Problema funcţiilor inverse....... 122 4.5.1 Cazul funcţiilor reale cu o variabilă reală.... 122 4.5.2 Cazul funcţiilor cu două componenteşi două variabile.. 122 5 Integrala Riemann pe dreaptă 127 5.1 Integrala Riemann pe dreaptă(recapitulare pe scurt).... 127 5.1.1 Proprietăţt ale lui R([a, b])... 129 5.2 Integralecuparametrii.... 131 5.2.1 Integrareauneiintegralecuparametrii.... 134 6 Integrale improprii. 137 6.1 Integrale pe intervale nemărginite.... 137 6.2 Integrale definite pentru funcţii nemărginite.... 142 6.3 Valoarea principală aintegralelordivergente.... 145 6.4 Funcţia lui Euler γ(x) (funcţia gama ).... 147 6.5 Funcţia β(p, q) (funcţia beta ).... 148

CUPRINS 7 7 Integrale curbilinii 151 7.1 Integrale curbilinii înraportcucoordonatele.... 151 7.1.1 Proprietăţi ale integralelor curbilinii în raport cu coordonatele... 154 7.1.2 Curbă orientată. Câmpconservativ.... 156 7.1.3 Calculul ariilor figurilor plane..... 161 7.2 Integrale curbilinii înraportculungimeaarcului... 163 7.2.1 Rectificarea curbelor. Calculul lungimii arcelor.... 163 7.2.2 Abscisa curbilinie pe o curbă.... 164 7.2.3 Integrala curbilinie în raport cu abscisa curbilinie.... 165 7.2.4 Aria unei suprafeţe de rotaţie... 165 7.2.5 Centredegreutate... 166 7.2.6 Interpretarea geometrică... 167 8 Integrala dublă 169 8.1 Scurtă inroducere însubiect.... 169 8.2 DefiniţiasumelorintegralealeluiDarboux.... 171 8.2.1 ProprietatialesumelorluiDarboux... 171 8.3 Definiţia integralei duble.... 172 8.4 Un mod particular de împărţireadomeniului... 173 8.5 Noua definiţie şi notaţie a integralei duble....... 175 8.6 Proprietăţile integralelor duble..... 175 8.7 Calculul integralelor duble....... 176 8.8 Formula lui Green.... 183 8.9 Schimbarea de variabile în integrala dublă... 185 8.9.1 Integrala dublăîncoordonatepolare... 188 8.10 Integrale duble improprii.... 190 9 Integrale de suprafaţă 197 9.1 Noţiuni din teoria suprafeţelor.... 197 9.2 Reprezentarea parametrică a unei suprafeţe... 198 9.3 Coordonate curbilinii pe suprafaţă... 199 9.4 Planul tangent şi normala într-un punct pe suprafaţă.... 200 9.5 Elementul liniar(metrica) al suprafeţei... 201 9.6 Elementul de arie pe suprafaţă... 202 9.7 Aria unei porţiuni de suprafaţă.... 203 9.8 Integrala de suprafaţă.definiţie... 204 9.8.1 Reprezentare particulară a unei integrale de suprafaţă.. 205 9.9 Calculculul volumelor cu integrale de suprafaţă... 206 9.10 Integrale de suprafaţă înraportcucoordonatele.... 208 9.11FormulaluiStokes... 208

8 CUPRINS 10 Integrala triplă 211 10.1 Scurtă introducere însubiect.... 211 10.2Definitiaintegraleitriple.... 212 10.3 Împărţirea particulară a domeniului X.... 214 10.4 Noua definiţie şi notaţieaintegraleitriple... 215 10.5 Proprietăţileintegraleitriple... 215 10.6Calcululintegralelortriple.... 216 10.7 O altă formulăpentrucalcululintegralelortriple... 221 10.8 Formula lui Gauss şiostrogradski.... 223 10.9 Schimbarea de variabilăîn integrala triplă... 225 10.10 Restabilirea ariei unei suprafeţe... 227 10.11Integrale triple generalizate, exemple..... 229 11 Ecuaţii diferenţiale. 233 11.1 Noţiunigenerale... 233 11.2Metodeelementaredeintegrare.... 238 11.2.1 Ecuaţiicuvariabileseparate.... 239 11.2.2 Ecuaţiiomogene... 241 11.2.3 Ecuaţii diferenţialeliniaredeordini... 242 11.2.4 Ecuaţii diferenţialeliniaredeordinii.... 246 11.2.5 MetodaluiFrobenius.... 249 11.2.6 Metoda seriilor Taylor...... 253 11.2.7 Metoda polinoamelor diferenţiale.... 254 12 Sisteme de ecuaţii diferenţiale. 259 12.1 Sisteme liniare cu coeficienţi constanţi... 259 12.1.1 Determinarea soluţiilor sinstemului liniar omogen.... 260 12.1.2 Determinarea soluţiilor sinstemului liniar neomogen... 262 12.1.3 Sisteme şi ecuaţii liniare.... 265

Capitolul 1 Şiruri şi serii numerice 1.1 Şiruri numerice în R şi C. Prin şir numeric vom înţelege orice aplicaţie a mulţimii numerelor naturale în multimea numerelor reale sau, mai generel, a numerelor complexe. Notăd cu f această funcţie, vom considera f:n R (C),f(1),f(2),..., f(n),... care se numesc termenii şirului dat. Vom nota, în cazul şirului complex, f(n) =z n = x n + iy n, prescurtat cu (z n ) n N sau prin (z 1,z 2,..., z n,...). Evident termenii şirului pot fi toţi numere reale în care caz avem z n = x n,y n = 0, pentru orice n N. Şirul real fiind cunoscut din liceu. Vom face observaţia că nu trebuie să identificăm termenii unui şir numeric cu mulţimea de numere corespunzătoare şirului sau asfel scris: (z 1,z 2,..., z n,...) {z 1,z 2,..., z n,...}, unde am notat prin {z 1,z 2,..., z n,...} mulţimea şir. Aceasta înseamnă căîn cazul unui şir z j z k, dacă j k în timp pentru mulţimea şir se poate întâmpla ca z j = z k pentru j k. Exemplu: Şirul complex definit prin z n = i n 1 este: (1,i, 1, i, 1,i, 1, i, 1,...) Sevedecă z 1 = z 5 = z 9 şi z 2 = z 4.Mulţimea în acest caz este {1,i, 1, i}. Vom conveni să notăm şir staţionar şirul (z n ) n N în care z n = c=constant oricare ar fi n N. Prin urmare şirul staţionar este acela pentru care mulţimea sa este formată dintr-un singur element. Şirul staţionar se mai numeşte şir consant. Vom spune, de asemeni că termenul z n = x n + y n este termenul general al şirului dat şi el este considerat diferit de termenul z n+1 = x n+1 +y n+1 sau de orice alt termen al şirului. Pentru şirurile numerice reale se defineşte noţiunea de şir monoton. Asfel dacă x n x n+1 oricare ar fi n N şirul se numeşte monoton crescător şi dacă x n+1 x n oricare ar fi n N şirul se numeşte monoton descrescător. Dacă semnul inegalităţilor este strict vom avea şiruri monotone stricte. 9

10 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Noţiunea de bază, fundamentală, din teoria şirurilor este noţiunea de şir convergent. Astfel, un şir (z n ) n N din C se spune că este convergent către un număr z C dacă pentru orice număr real pozitiv (ε >0) se poate determina un număr real dependent de ε (N = N(ε)), astfel încât z n z <εpentru orice indice natural n astfel încăt n N. Fără a constitui o restricţie putem presupune N N deoarece se poate considera partea întreagă [N] aluin şi dacă n N atunci n [N] Din punct de vedere geometric putem interpreta un şir convergent către un număr z în felul următor. În iteriorul oricărui cerc cu centrul în punctul de afix z se află o infinitate de punte ale şirului adică: z N+1,z N+2,...z n,..., iar în exteriorul acestui cerc se pot afla doar z 1,z 2,..., z N 1. Dacă şirul (z n ) n N coverge către z vom scrie z n z sau lim z n = z sau n mai comod lim z n = z, iarnumărul z se numeşte limita şirului (z n ) n N. 1.2 Proprietăţi ale şirurilor convergente. Principalele proprietati ale sirurilor convergente vor fi prezentate sub forma de teoreme. Teorema 1: Dacă (z n ) n N,(w n ) n N sunt şiruri din C atunci: a) limita unui şir este unic determinată. b) orice şir convergent este mărginit. c) z n z w n = z n z 0 d) dacă z n z, z n z, reciproca nu este adevarată ntodeauna (numai dacă z=0) e) dacă z n = x n + iy n,z= x + iy atunci z n z x n x şi y n y. f) z n z, w n w z n + w n z + w şi z n w n zw. g) dacă z n z 0şi dacă există k N astfel inct z n 0 pentru orice n>katunci 1 z n 1 z. a) dacă z n a, z n b şi dacă a b atunci z n a < ε 2, z n b < ε 2, ε>0arbitrar si n N iar dacă se consideră modulul diferenţei a b = z n b + a z n = z n a + z n b < ε 2 + ε 2 = ε. Cum inegalitatea a b <ε nu poate avea loc pentru orice ε>0; de exemplu se poate lua ε = a b 2 > 0şi atunci vom avea: a b < a b 2 adica 1 < 1 2, fals. Falsul provine din ipoteza a b. b) dacă z n z, vomavea z n z < 1, pentru orice n>n(1) si deci z n = z+z n z z +1, prin urmare dacă notăm cu A = max{ z1, z2,..., z N 1, z + 1} va rezulta z n A pentru orice n N deci şirul (z n ) n N este mărginit. c) Dacă z n z, z n z <εpentru orice n>n(ε) adică w n <εşi deci w n 0. d) În baza inegalităţii z n z < z n z. Din z n z <ε,pentru orice n N(ε) rezultă z n z <εpentru orice n N(ε) adică z n z ;

1.2. PROPRIETĂŢI ALE ŞIRURILOR CONVERGENTE. 11 invers dacă luăm de exemplu z n = i n, atunci z n = 1 care este un şir staţionar convergent în timp ce şirul (z n ) n N este divergent, după cumamvăzut. e) Dacă z n = x n + iy n x + iy = z, deoarece Re(z n z) z n z si Im(z n z) z n z rezultă: x n x = Re(z n z) ε şi y n y = Im(z n z) ε ceea ce înseamnă că x n x si y n y. Reciproc dacă z n z = (x n x) +i(y n y) x n x + y n y şi z n z <εdacă x n x < ε 2 şi y n y < ε 2 şi deci z n z. f) Din inegalitatea (z n + w n ) (z + w) = (z n z)+(w n w) z n z + w n w rezultă z n + w n z + w; apoi deoarece z n w n zw = z n (w n w) +w(z n z) z n w n w + w z n z. Cum (z n ) n N este convergent rezultă (z n ) n N mărginit şi deci există A>0astfel încât z n <Aşi dacă luăm B = max{a, w } rezultă: z n w n zw = Bε + Bε = ε. g) Deoarece z = (z z n )+z n ε + z n luând ε = z 2 > 0 rezultă 0 < z ) 2 z n pentru orice n>n(ε) şi atunci: 1 z n 1 z = z zn z nz 2 z 2 z z n < 2ε) = ε. z 2 Din aceasta teorema rezulta reguli de calcul posibile pentru operatia de trecere la limita. Astfel din f) rezulta: lim (z n + w n )=z + w = lim z n + lim w n, (1.1) n n n lim (z nw n )=zw = lim z n lim w n., (1.2) n n n În particular dacă presupunem sirul (w n ) n N stationar, w n = a R avem: lim (a.z n)=az = a lim z n, (1.3) n n iar pentru a = 1 obtinem: w n şi în plus, pentru lim n z n lim ( z n)= lim z n, (1.4) n n avem în baza lui f) şi g): w n lim n z n = lim n 1 z n lim w n = n lim n w n lim n z n (1.5) Pentru şirurile reale avem următoarele teoreme: Teorema 2: a) Dacă şirurile (x n ) n N,(x n) n N din R sunt astfel încât x n < x n pentru n > N,N N, atunci dacă lim n n = x, lim n x n = x avem x<x (deci lim n < lim n n x n).

12 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Orice şir monoton şi mărginit este convergent şi anume dacă x n <x n+1 pentru orice n N, aunci lim x n = α = sup{x1,x2,..., x n,...} iar dacă n x n+1 >x n pentru orice n N, atunci lim x n = β = inf{x1,x2,..., x n,...}. n a) Fie d n = x n x n,avemd n 0şi dacă lim d n = dd= x x şi d<0 n atunci d n d <εşi deci d ε<d n <d+ ε şi pentru ε = ( d 2 ) > 0vomavea d n < d 2 < 0 ceea ce contrazice ipoteza d n 0şi deci d =0. b) Dacă x n x n+1 şi x n <Aatunci multimea M = {x1,x2,..., x n,...} are o margine superioară strictă, fie α = supm. În baza definiţiei marginii superioare stricte avem oricare ar fi (ε >0 există n N astfel încât α ε <x n1 α aşadar α ε <x n1 <x n1 +1 <... < x n <...<α<α+ε ceea ce inseamnă că α ε<x n <α+ ε pentru orice n>n 1 = N(ε) ceea ce înseamnă lim x n = α. n Rationament asemănător poate fi făcut şi în cazul şirului descrescător. Astfel, dacă x n+1 x n şi x n <Aatunci multimea M = {x1,x2,..., x n,...} are o margine inferioară strictă, fie β = infm. În baza definiţiei marginii inferioare stricte avem pentru orice ε>0 există n 1 N astfel încât β<x n1 β + ε aşadar β ε < β <... < x n <... < x n1 +1 <x n1 <β+ ε ceea ce înseamn ăcă β ε<x n <β+ ε pentru orice n>n 1 = N(ε) ceea ce înseamnă lim x n = β. n Observaţie. Dacă şirul în cauză este crescător si nemărginit vom avea, lim x n =, dacă este descrescator şi nemărginit vom avea lim x n =. n n O consecintă importantă a teoremei 2 este următorul rezultat, cunoscut sub numele: Teorema 3: (Teorema intervalelor incluse). Fie a 1,b 1 două numere reale diferite si a 1 <b 1. Considerăm intervalele [a n,b n ], a n <b n, n N astfel încât: [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ]... [a n,b n ]..., (1.6) unde a 2 coincide fie cu a 1,când b 2 =((a1+b1)/2), fie cu ((a1+b1)/2), când b 2 = b 1, a 3 coincide fie cu a 2,cndb 3 =((a 2 + b 2 )/2), fie cu ((a 2 + b 2 )/2), cnd b 3 = b 2 şi aşa mai departe. În acest caz va exista un numar α [a1,b1] comun tuturor intervalelor [a n,b n ]. Din constructia intervalelor incluse avem ca sirurile (a n ) n N si (b n ) n N sunt monotone si marginite. Astfel: a 1 a 2... a n... b n... b 2 b 1, (1.7) iar a 1 a n <b n b 1, pentru orice n N. Utiliznd teorema 2, punctul b), avem lim a n = α = sup{a n }, lim b n = β = inf{b n } si α = β( daca am avea n n α>βatunci în baza teoremei 2, punctul a), am avea de la un rang n suficient de mare b n a n ). Deoarece b n a n = b 1 a 1 2 0 pentru orice n vom n avea lim a n = lim b n si deci α = β. n n O consecintă importantă a acestei teoreme este rezultatul următor:

1.2. PROPRIETĂŢI ALE ŞIRURILOR CONVERGENTE. 13 Teorema 4: (Bolzano-Weierstrass) Orice şir mărginit din R, conţine un subşir convergent în R. Fie şirul (x n ) n N astfel încât a 1 x n b 1 pentru orice n N. Vom nota cu x n2 un termen al şirului considerat, aflat în intervalul [a 2,b 2 ], construit la teorema3; se notează cux n3 un termen al şirului considerat, aflat în intervalul [a 3,b 3 ], construit la teorema 3 cu x n2 x n3 (lucru posibil de realizat deoarece un şir are o infinitate de termeni distincţi) şi se alege acea jumatate [a 3,b 3 ]a intervalului [a 2,b 2 ] care contine o infinitate de termeni ai şirului. Continunnd acest procedeu, se obţine subşirul (x nk ) k N al şirului (x n ) n N iar a k x nk b k si, 1 <n 2 <n 3 <... < n k <... În baza teoremei 3 avem lim k x n k = α [a 1,b 1 ]. Astfel un şir dat poate avea mai multe subşiruri convergente. Numărul real α se va numi limita parţială aşirului (x n ) n N din R dacă există unsubşir (x nk ) k N al şirului (x n ) n N convergent către α, adică dacă lim x n k = a. Dacă k şirul (x n ) n N este mărginit, adică există a, b astfel încât a x n b, pentru orice n N, atunci toate limitele parţiale ale acestui şir se vor afla în intervalul [a, b]. Cea mai mică limită parţială, care se aflăîn intervalul [a, b]şi existăîn baza axiomei marginii inferioare se va numi limita inferioara aşirului (x n ) n N şi se va nota cu limx n = x (sau lim inf x n = x ), iar cea mai mare limită parţială care se aflăîn intervalul [a, b] şi existăîn baza axiomei marginii superioare, se va numi limita superioară aşirului (x n ) n N şi se va utiliza notaţia limx n = x (sau lim sup x n = x ). Rezultă inegalităţile: a inf{x 1,x 2,..., x n,...} limx n limx n sup{x1,x2,..., x n,...} b, (1.8) şi în baza teoremei 1, punctul a) va rezulta că unsir(x n ) n N marginit din R va fi convergent dacă şi numai dacă limx n = limx n. Un sir (z n ) n N din C se numeşte şir Cauchy sau şir fundamental dacă: Pentru orice ε>0 există unnumăr N = N(ε) N astfel încât inegalitatea z n z m <εsă fie verificată pentru orice numere naturale n si m care verifică inegalităţile n N,m N. Teorema 5: a) Orice şir convergent este fundamental. b) Orice şir fundamental este mărginit. a) Rezultă din inegalitatea z n z m = z n z + z z m = z n z + z m z = ε 2 + ε 2 = ε pentru n N şi m N, dacă (z n) n N converge la z adică dacă z n z < ε 2 şi z m z < ε 2. b) Din definiţia şirului fundamental, pentru ε = 1 (alegerea este pur ntmplatoare ) vom avea : z n z m =1dacă n N(1),m N(1) deci în particular z n z N < 1pentrun N; apoi deoarece z n = z n z N + z N 1+ z N pentru orice n N, rezultă că

14 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE termenii: z N,z N+1,... sunt mărginiti, adică z n <Apentru orice n N, unde am notat cu A = max{ z1, z2,..., z N 1, z N +1}. Teorema 6 (Criteriul lui Cauchy): Un şir din C este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Teorema 5, punctul a, ne spune că unşir convergent este fundamental deci ne mai rămâne de demonstrat că unşir fundamental din C este convergent. Vom arăta că unşir fundamental din R este convergent. Teorema 5, punctul b, ne spune că unşir fundamental este mărginit, iar în baza teoremei 4 ştiim că şirul în cauză conţine un subşir convergent, fie acesta (x nk ) k N şi lim x n n k R; ori atunci: x n x x n x nk + x nk x 0,n ( x n x nk 0,n,k, şirul (x n ) n N fiind un şir fundamental, iar x nk x 0,k ). Mai rămâne de arătat că orice şir fundamental complex este convergent. Aceasta rezultă din inegalităţile evidente pentru z n = x n + iy n,z m = x m + iy m,n,m N z n z m < x n x m + y n y m <εşi deci dacă şirurile (x n ) n N, (y n ) n N sunt fundamentale ele sunt convergente şi deci lim z n = z = x + iy. n Diferenţa dintre un şir fundamental şi un şir convergent este următoarea: În cazul unui şr convergent trebuie să cunoaştem atât termenii şirului cât şi limita sa pe când în cazul unui şir fundamental nu este necesar decât cunoaşterea termenilor şirului şi atât. Teorema 6 este importanta pentru că permite să se punăîn evidenţă convergenţa unui şir fără cunoaşterea prealabilă a limitei acelui şir. Ca aplicaţie, fie şirul (x n ) n N din R unde x m = r, r 1 r 2...r m = r + r 1 10 + r 2 + 10 r 2 3 +...+ rm 10 3 10, cu r Z, r m j {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, j N. Presupund n>m atunci: x n x m = 1 [r 10 m+1 m+1 + r m+2 r 10 +... + n ], deoarece 0 r 10 n m 1 j 9 vom avea: x n x m 1 [9 + 9 10 m+1 10 +... + 9 ] < 9 (1 + 1 10 n m 1 10 m+1 10 =...) = 1 10 ε, m pentru m suficient de mare şirul cu termenul general x n este deci fundamental deci va exista un x real şi x = limx n. În acest caz s-a justificat faptul că prin reprezentarea zecimală: x = r, r 1 r 2...r n... se definesc de fapt numerele reale. Oaltă teoremă utilă în calculul limitelor este: Teorema 7 (Teorema lui Stoltz): Dacă şirul (y n ) n N este un şir crescător şi nemărginit (deci lim y n = ) n şi dacă şirul ( xn x n 1 y n y n 1 ) n N este convergent către un număr l R pentru orice şir real (x n ) n N atunci şirul ( xn y n ) n N este convergent de asemeni către l. Dacă pentru orice ε>0, găsim N = N(ε) N astfel fracţiile x N x N 1 y N y N 1, x N+1 x N y N+1 y N,..., xn x n 1 y n y n 1,... sunt cuprinse între l ε 2 şi l+ ε 2. Conform proprieţătii fracţiilor, dacă mai multe fracţii sunt cuprinse între două numere atunci adunând numărătorii fracţiilor între ei şi numitorii aceloraşi fracţii între ei vom obţine o fracţiecesegăseşte de asemeni între cele două numere. În cazul fracţiilor :

1.3. ŞIRURI NUMERICE ÎN R2 ŞI R 3. 15 x N x N 1 x y N y N 1, N+1 x N y N+1 y N,..., xn x n 1 y n y n 1, cu n > N, vom obţine fracţia xn x N y n y N, care este cuprinsă între l ε 2 şi l + ε 2 şi deci xn x N y n y N < ε 2. Dacă n > N, şi deoarece: x n yn l = 1 y n (x N ly N )+(1 y N yn )( xn x N y n y N l), pentru că: x n ly n y n = x N ly N +x n x N +ly N ly n y n = x N ly N y n + yn y N x n x N l(y n y N ) y n y n y N = 1 y n (x N ly N )+(1 y N yn )( xn x N y n y N l). În baza faptului că y n se obţine xn y n l 0. 1.3 Şiruri numerice în R 2 şi R 3. Un şir din R 2 este o funcţie(o aplicaţie ) s : N R 2 notată prins(n) = x n R 2 unde x n este o pereche ordonată de numere reale, adică x n =(a n,b n ) (perechea (a n,b n ) este diferita de perechea (b n,a n )). Un şir din R 2 se va scrie deci sub forma: ((a n,b n )) n N sau ((a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ),..., (a n,b n ),...). Se observă căunşir din R 2 este format cu ajutorul a două şiruri din R: şirul primelor componente (a n ) n N,şi şirul componentelor secunde (b n ) n N.Şi reciproc, cu ajutorul a douăşiruri din R, fieele(a n ) n N,şi (b n ) n N se formează un şir, numit şir dublu, ((a n,b n )) n N din R 2 cu păstrarea ordinii, adică termenii primului şirseaflăpeprimullocîn perechea (a n,b n ), iar termenii celui de-al doilea şir se afla toti pe locul al doilea al perechi (a n,b n ). Se poate remarca, că aceeaşi situatie apare şi în cazul şirurilor din C,iar între şirurile din C şi cele din R 2 se poate stabili un izomorfism natural. Se va face totuşi distinctia între şirurile din C şi cele din R 2 datorită structurii algebrice diferite a celor două mulţimi. În C se poate defini produsul a două elemente, deci şi câtul pe când în R 2 nu există operatiadeîmpărţire a elementelor. Şirul ((a n,b n )) n N din R este convergent catre (a, b) dinr 2 dacă: Pentru orice ε>0există unnumăr N = N(ε) astfel încât oricare ar fi n N, (a n a) 2 +(b n b) 2 <ε. De reţinut că N se schimbă odatăcuε(n = N(ε)). Elementul (a, b) din R se va numi în acest caz limita şirului ((a n,b n )) n N şi vom folosi notaţiile: lim (a n,b n )=(a, b) sau, mai comod lim(a n,b n )=(a, b), sau încă (a n,b n ) n (a, b). Convergenţa şirurilor din R 2 se rezolvă imediat cu ajutorul următoarei teoreme: Teorema 8: Unşir ((a n,b n )) n N din R 2 este convergent şi are limita (a, b) dacă şi numai dacă lim a n = a şi lim b n = b, ceeace se poate scrie: lim (a n,b n ) = ( lim a n, lim b n) (1.9) n n n Dacă (a n,b n ) (a, b) atunci conform definitiei limitei din R 2 vom avea (an a) 2 +(b n b) 2 <εori care ar fi n N, ori atunci:

16 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE a n a = (a n a) 2 +(b n b) 2 <εşi deci a n a şi b n b = (a n a) 2 +(b n b) 2 <εşi deci b n b. Reciproc, din a n a rezultă a n a < ε 2, pentru orice n N(ε) iar din b n b rezultă b n b < ε 2, pentru orice n N(ε) şi deoarece (an a) 2 +(b n b) 2 < ε 2 + ε 2 = ε, pentru orice n N(ε) va rezulta: (a n,b n ) (a, b). Se poate arăta uşor că orice şir convergent din R 2 este mărginit, adică va exista un patrat centrat în (0, 0) şi de latura 2A >0în interiorul căruia se vor afla toate elementele sirului din R 2. De asemenea, se poate arăta că unşir din R 2 este convergent dacăşi numai dacă esteşir fundamental în R 2 adică: Pentru orice ε>0 există N = N(ε) N astfel încât pentru orice numere naturale n, m şi n>m= N(ε) săavem: (a n a m ) 2 +(b n b m ) 2 <ε. Într-adevăr, a n a m = (a n a m ) 2 (a n a m ) 2 +(a n a m ) 2 <ε şi deci şirul (a n ) n N este fundamental în R, deci va exista un a R, unic, şi lim a n = a. Similar b n b m = (b n b m ) 2 (a n a m ) 2 +(a n a m ) 2 <ε şi deci şirul (b n ) n N este fundamental în R, deci va exista un b R, unic, si lim b n = b. Aşadar (a n,b n ) (a, b). În R 3 problemele legate de convergenţa şirurilor se rezolvă n mod similar. Un şir din R 3 fiind o funcţie (o aplicaţie) s : N R 3 notată prins(n) = x n R 3, unde x n este un triplet ordonat de numere reale, adică x n = (a n,b n,c n ) (tripletul (a n,b n,c n ) este diferit de orice alt triplet format cu a n, b n, c n în alt ă ordine). Un şir din R 3 se va scrie deci sub forma: ((a n,b n,c n )) n N sau ((a 1,b 1,c 1 ), (a 2,b 2,c 2 ),..., (a n,b n,c n ),...). Se observă căunşir din R 3 este format cu ajutorul a trei şiruri din R: şirul primelor componente (a n ) n N,şirul componentelor secunde (b n ) n N şi şirul componentelor de pe locul trei (c n ) n N. Acest şir va fi convergent şi va avea limita (a, b, c) dinr 3 dacă: Pentru orice ε > 0 există N = N(ε) N astfel încât dacă n N (an a) 2 +(b n b) 2 (c n c) 2 <ε,iar o condiţie necesară şi suficientă de convergenţa va fi convergenţa sirurilor (a n ) n N,(b n ) n N,(c n ) n N,dinR către a, b, c, având loc relaţia: lim (a n,b n,c n ) = ( lim a n, lim b n, lim c n) (1.10) n n n n Un şir din R 3 este convergent daca şi numai daca este şir fundamental în R 3 adică: Pentru orice ε > 0 există unnumăr N = N(ε) N astfel ca pentru m, n N,n>m N(ε) săavem: (an a m ) 2 +(b n b m ) 2 +(c n c m ) 2 <ε (1.11)

1.4. SERII NUMERICE ÎN R ŞI C. 17 La fel ca n R 2,sepoatearăta uşor c ă orice şir convergent din R 3 este mărginit, adică va exista un cub cu centru n (0, 0, 0) şi de latură A>0în interiorul căruia se vor afla toate elementele şirului din R 3. Extinderea la spaţiul R m,m>3 se poate face fară probleme. 1.4 Serii numerice în R şi C. Daca (z n ) n N este un şir din C sau R, cu ajutorul termenilor acestui şir se poate construi un alt şir (s n ) n N cu termenul general dat de relaţia: n s n = z 1 + z 2 +... + z n = z k (1.12) Dacă şirul nou construit este convergent este natural să se presupună că limita sa s = lim s n, este suma expresiei z 1 + z 2 +... + z n +..., numităsuma n infinită sau serie infinită sau mai simplu serie asociata sirului (z n ) n N şi vom scrie prin definiţie: s = z 1 + z 2 +... + z n +... = z k = k=1 n N subînţelegând faptul că suma(însumarea) se face după toti indicii n N şi operatia de însumare se realizează în ordinea scrisă a termenilor. Vom extinde însă noţiunea de serie la orice sumă z 1 + z 2 +... + z n +... cu un număr infinit de termeni, fară a pretinde că şirul construit (s n ) n N să fie convergent. Şirul (s n ) n N construit din (z n ) n N se numeşte şirul sumelor parţiale. Pentru seria z n putem spune: n N k=1 z n (1.13) a) seria n N z n este convergentă si are suma s dacă şirul sumelor parţiale (s n ) n N este convergent şi are limita s. b) seria n N z n este divergentă dacă şirul sumelor parţiale (s n ) n N este divergent. Termenul z n al seriei n N z n se numeşte termenul general al seriei. Exemple: 1.) Fie termenul general z n = 1 n(n+1) ; s n = 1 1.2 + 1 2.3 +... + 1 n(n+1) Putem n 1 n scrie s n = k(k +1) = ( 1 k 1 k +1 )=(1 1 1 2 )+(1 2 1 1 3 +... +( n 1 k=1 k=1 1 n )+(1 n 1 n+1 )) = 1 1 n+1 1. Putem scrie 1 n(n +1) =1. n=1

18 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE 2.) Dacă termenul general este z n = i n ;şirul sumelor patţiale (s n ) n N conţine partu subşiruri staţionare (s 4n ) = 0, ( )n N (s 4n+1 )=i, ( )n N (s 4n+2 )=i 1, ( )n N (s 4n+3 )= 1, ( )n N. prin urmare seria i n este divergentă, nu are sens. 3.) Dacă termenul general este z n =1+in; şirul sumelor parţiale (s n )= n + i n(n+1) 2, prin urmare seria (1 + in) =. Seria este divergentă n=1 şi are limita. 4.) Dacă termenul general este z n = q n 1 ;şirul sumelor patţiale (s n ) n N = 1+q + q 2 +...q n 1 = 1 qn 1 q şi pentru q < 1(s n ) 1 1 q iar pentru q > 1 (s n ). Mai rămân cazurile q = 1 şi q = 1. Pentru q = 1 avem (s n )=n, ( )n N prin urmare, în acest caz, n =. Pentruq = 1 şirul sumelor patţiale (s n ) n N conţine două subşiruri staţionare (s 2n ) = 0, ( )n N (s 2n+1 ) = 1, ( )n N prin urmare lim s n nu există. n Seria q n 1 se numeşte sera geometrică. n=1 Să considerăm două serii z n, z n, Dacă există unn 0 N astfel n N n N încât z n z n,pentrun n 0 şi z n = z n pentru n>n 0 aceste serii sunt în acelaşi timp convergente sau divergente şi vom spune că au aceeaşi natură, n 0 deoarece presupunnd n>n 0, dacă se notează cuc = (z k z k ), s n = s n + c, unde s n = n z k, s n = k=1 n=1 k=1 n=1 n z k şi dacă şirul (s n) n N converge atunci (s n) n N k=1 converge, dacă şirul (s n ) n N este divergent atunci şi (s n) n N este divergent. Stabilim următorul rezultat: Dacă seria c = n N z n este convergentă, atunci seria: k=n+1 z k (1.14) se numeşte restul de ordin n al seriei date şi au loc relaţiile: r n = s s n, lim n r n = 0 (1.15) Aceste relaţii se justifică astfel: Dacă se consideră şirul: (z n) n N =(0,..., 0,z n+1,...) şi seria n N z n core-

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 19 spunzatoare, care diferă de seria n N z n doar prin înlocuirea primilor n termeni cu 0 seria z n este convergentă la fel ca seria z n în baza celor stabilite n N n N mai sus: c = n z k = z k, s n = c, s = z n = r n, s = k=1 n N k=n+1 n N s = s + c şi deci r n = s s n şi cum (s s n ) 0 atunci r n 0. Diferenţa s s n se numeşte eroare de triunchere şi ea măsoara eroarea care apare atunci când se înlocuiesc s prin s n. Seriei z n isepoateataşa întotdeauna o serie cu termeni pozitivi şi n N anume seria: z n şi cum z n = x 2 n + yn 2 (1.16) n N n N unde z n = x n + iy n, n N Dacă seria z n este convergentă, vom spune că seria z n este ab- n N n N solut convergent ă. 1.5 Criterii de convergenţă pentru serii numerice. Vom pune în evidenţă criterii de stabilire a convergenţei seriilor prin următoarele teoreme: Teorema 1 (Criteriul general de convergenţă pentru serii numerice) Seria n N z n, z n C, este convergentădacă şi numai dacă pentru orice ε>0 există unnumăr N = N(ε) astfel ca m k=n+1 pentru orice n, m N, m>n N(ε). n m Fie s n = z k,s m = z k atunci k=1 k=1 z k <ε (1.17) m k=n+1 z k = z n+1 +z n+2 +...+z m = s m s n şi deci putem aplica teorema 3, de la şiruri, pentru şirul sumelor parţiale (s n ) n N. Teorema 2 (Criteriul necesar dar nu suficient de convergenţă pentru serii numerice) a) Pentru ca seria n N z n, z n C, să fie convergentă este necesar (dar nu suficient) ca termenul general al său să tinda la zero (z n 0).

20 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Dacă termenul general al seriei z n, z n C, nu tinde la zero ( lim z n n n N 0) seria este sigur divergentă. Pentru punctul a), dacăîn (1.17) se ia n 1în loc de n şi n în loc de m, se obţine z n <ε, pentru orice n suficient de mare, deci dacă seria z n este n N convergentă atunci lim z n =0,în mod obligatoriu. Pentru a arăta că nueste n suficient ca z n să tindă la zero considerând de exemplu seria 1 n,numită n N seria armonică, deoarece trei temeni consecutivi ai săi z n 1, z n, z n+1, satisfac relaţia armonică, adică: 1 + 1 = 2. (1.18) z n 1 z n+1 z n Calculnd, de exemplu, s 2n s n = 1 n+1 + 1 n+2 +... 1 2n, deoarece 1 n+j > 1 2n pentru j =1, 2,..., n, vom obţine s 2n s n >n 1 2n = 1 2,caredovedeşte că şirul sumelor parţiale nu este şir convergent, prin urmare seria este divergentă, deşi lim z n =0. n Punctul b) rezultă evident din a). Teorema 3 Orice serie absolut convergentă este convergentă.(reciproca nu este în general adevarată.) Daca seria (1.16) este convergentă, din (1.17) rezultă: z n+1 + z n+2 +... + z m = z n+1 + z n+2 +... + z m <ε, dacă m>n= N(ε) si deci: s m s n = z n+1 + z n+2 +... + z m z n+1 + z n+2 +... + z m <ε Reciproca nu este în general adevarată. De exemplu seria ( 1) n 1 1 n n N este convergentă (aceasta se arată considernd şirul cu termen general c n = 1+ 1 2 +... + 1 n ln n care este convergent şi are limita c (0, 1), s 2n = c 2n c n +ln2n ln n iar lim s 2n = ln 2, si deci ( 1) n 1 1 = ln2, în timp n n n N ce seria 1 este divergentă după cumamvăzut la demonstraţia teoremei n n N anterioare. Teorema 4 O serie cu termeni reali pozitivi este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor partiale este mărginit. Fie x n, x n R, s n+1 = s n + x n+1 şi deci s n+1 s n, prin urmare şirul n N sumelor parţiale (s n ) n N este crescător şi mărginit, deci convergent. Teorema 5(Criteriul comparaţiei)

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 21 Fie seriile de studiat n N şi n N b n atunci: z n, n N x n şi seriile reale cu termeni pozitivi n N a n a) Dacă z n Ma n, pentru orice n n 0, n 0 N, M>0, atunci: Dacă seria a n este convergentă, seria z n este absolut convergentă n N n N (M nu depinde de n 0,iara n > 0) b) Dacă 0<Ab n <x n, pentru orice n n 0, n 0 N, A>0şi dacă seria x n este divergentă. b n este divergentă atunci seria n N n N a) Din convergenţa seriei cu termeni pozitivi, în baza teoremei 1, pentru orice ε>0sepoategăsi un N = N(ε) N astfel încât a n+1 +a n+2 +...+a m < ε M ceeace antrnează: s m s n = z n+1 + z n+2 +... + z m < z n+1 + z n+2 +... + z m <M(a n+1 + a n+2 +... + a m ) <ε, daca m n=n(e). b) Dacă x n ar fi convergentă, atunci acelaşi lucru ar fi valabil şi pentru n N n n, conform cu punctul a), dacă luăm 1 A, ceea ce nu se poate. n N Seria a n se numeşte serie majorantă pentru z n. Seria b n se n N n N n N numeşte serie minorantă pentru x n. n N Teorema 6 (Criteriul raportului la limită). Fie, două serii cu termeni pozitivi x n, y n este convergent şi dacă n N n N x n lim = a>0, atunci: n y n a) Dacă y n este convergentă, atunci x n convergentă. n N n N b) Dacă y n este divergentă atunci z n este divergentă. n N n N x n Din lim = 0 rezultă: n y n Pentru orice ε>0există N = N(ε) N aetfel încât pentru orice n N(ε) să avem: (a ε)y n <x n < (a + ε)y n şi din teorema 5, punctul a), rezultă că dacă y n convege atunci x n converge, luând de exemplu M = a + ε. Iardacă n N n N a ε>0(se poate alege ε corespunzător astfel încât a ε>0) şi din teorema 5, punctul b), rezultă punctul b) al teoremei 6. Exemplu: Seria 2 n sin 1 3 n, are aceeaşi natură ca seria ( 2 3 )n. n N n N

22 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Vom face observaţia căîn cazul a = 0, teorema 6, punctul a) nu mai este valabil. De exemplu, dacă luăm x n = 1, y n 2 n = 1 x n n avem lim =0,şi x n n y n n N este convergentăîn timp ce n N y n este divergentă. Teorema 7(Criteriul rapoartelor inegale): Fie x n, y n două serii cu termeni strict pozitivi şi dacăavem: x n+1 x n n N n N y n+1 y n, pentru orice n N, atunci: a) Dacă n N y n este convergentă atunci n N x n este convergentă b) Dacă x n este divergentă atunci y n este divergentă. n N n N x Dând lui n valorile 1, 2,..., n 1, vom avea: 2 x 1 y 2 x y 1, 3 x 2 y 3 y 2,..., x n x n 1 yn y n 1. Înmulţind termen cu termen (lucru posibil seriile fiind strict pozitive), vom obtine: x 2 x 3...x n x 1 x 2...x n 1 y 2y 3...y n y 1 y 2...y n 1 sau xn x 1 yn y 1. Ultima relaţie poate fi scrisă în douîmoduri: x n x 1 y 1 y n şi y 1 x 1 x n y n Aplicnd acestor relatii teorema 5 punctul a), respectiv punctul b), vom obtine punctele a), b) ale teoremei n cauza. Teorema 8 (Criteriul lui Cauchy al condensării sau criteriul lui 2 n ) Daca termenii reali pozitivi ai seriei n N z n îndeplinesc condiţia: x 1 > x 2 >... > x n >... > 0, atunci seria respectivă va avea aceeaşi natură (este convergentă sau divergentă), după cum seria n N 2 n z 2 n, este convergentă sau divergentă. Fie s m = x 1 + x 2 +... + x m şi aleg n N astfel ca m<2 n+1. În baza ipotezei făcute în teoremă cu referire la monotonie vom putea scrie grupat: s m <x 1 +(x 2 + x 3 )+(x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )+(x 8 + x 9 +... + x 15 )+... +(x 2 n + n x 2 n +1 +... + x 2 n+1 1 ) <x 1 +2x 2 +2 2 x 2 2 +23 x... 2 3 +2n x 2 n = 2 k x 2 k = s şi n din convergenţa lui s n va rezulta convergenţa lui s n. Pentru divergenţă vom alege n N astfel ca m>2 n şi vom avea, n baza monotoniei s m >s 2 n = x 1 +x 2 +...+x 2 n > 1 2 x 1+x 2 +(x 3 +x 4 )+(x 5 +x 6 +x 7 + n x 8 )+...+(x 2 n 1 1 +...+x 2 n ) > 1 2 (x 1+2x 2 +4x 4 +8x 8 +...+2 n x 2 n )= 1 2 2 k x 2 k şi divergenţa seriei n N k=0 2 n x 2 n implică divergenţa seriei n N x n. k=0

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 23 Ca aplicaţie vom considera seria generalizatăaluiriemann 1 n α. Această n N serie va avea aceeaşi natură caseria 2 n ( 1 2 n )α = 1 ( 2 α 1 )n, iar aceasta n N n N din urmă este seria geometrică care este convergentă pentruα>1şi este divergentă pentruα 1. Teorema 9 (Criteriul logaritmic): Fie n N x n o serie cu termeni strict pozitivi. Dacă lim n a) Dacă l>1 seria n N x n este convergentă b) Dacă l 1 seria n N x n este divergentă. ln 1 x n lnn = l, atunci: În baza definiţiei limitei date rezultă că pentru orice ε>0există N = N(ε) N astfel ca pentru orice n N,n N vom avea: l ε< ln 1 xn lnn <l+ ε,saulnnl ε < ln 1 x n <lnn l+ε,saun l ε < 1 x n <n l+ε, sau încă 1 n ε <x n l n < 1 n ε 1 şi cum seria cu termenul general este seria lui n l n l Riemann studiata ca aplicatie la teorema 8 va rezulta cu aceasta convergenţa respectiv divergenţa seriei după numărul real l. Teorema 10(Criteriul lui Abel): Dacă z n este o serie cu şirul sumelor parţiale (s n ) n N mărginit ( există n N M > 0 astfel ca s n <Mpentru orice n N) şi dacă (a n ) n N este un şir de numere reale pozitive descrescător convergent la zero, atunci seria n N z n a n este convergentă. Conform criteriului general, teorema 1, va trebui sa evaluăm suma: a n+1 z n+1 + a n+2 z n+2 +... + a m z m = a n+1 (s n+1 s n )+a n+2 (s n+2 s n+1 )+... + a m (s m s m 1 ) = a n+1 s n + s n+1 (a n+1 a n+2 )+s n+2 (a n+2 a n+3 )+...+s m 1 (a m 1 a m )+s m a m a n+1 s n +(a n+1 a n+2 ) s n+1 +...+(a m 1 a m ) s m 1 + a m s m M(a n+1 + a n+1 a n+2 + a n+2 a n+3 +... + a m 1 a m + a m )=2Ma n+1 <ε(pentru lim a n =0). n Exemplu: Seria ( 1) k 1 1 numită seria lui Leibnitz este convergentă, k k=1 conform teoremei lui Abel, z n =( 1) n, a n = 1 n îndeplinind condiţiile respectivei teoreme. Teorema 13 (Criteriul radacinii al lui Cauchy): Fie sirul (z n ) n N din C, atunci: a) Dacă lim sup z n+1 z n < 1, seria z n este absolut convergentă. n N

24 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Dacă lim inf z n+1 z n > 1, seria n N z n este divergentă. a) Dacă lim sup z n+1 z n = r 1 < 1, atunci pentru un ε>0 exista un N = N(ε) N astfel ca z n+1 z n <r 1 + ε, pentru orice n>n. Daca alegem ε>0 astfel ca r = r 1 + ε<1vomavea z n+1 z n <rsau z n+1 <r z n <r 2 z n 1 <... < r n N z N = Mr n si cu teorema 5, punctul a) rezultă z n absolut n N convergentă. b) Dacă lim inf z n+1 z n = r 2 > 1, atunci pentru un ε>0 există unn = N(ε) N astfel ca z n+1 z n >r 2 ε pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 2 ε>1vomavea z n+1 z n > 1sau z n > 1şi deci z n nu converge la zero. Observatia 1: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim z n+1 = r, atunci seria z n este absolut convergentă, dacă n z n n N 0 <r<1. Într-adevăr, în acest caz lim sup z n+1 z n = lim z n+1 = r<1. n z n Observatia 2: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim = r, atunci seria este divergentă, dacă r>1. z n+1 n z n Într-adevăr, în acest caz lim inf z n+1 z n = lim z n = r>1. Observatia 3: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim = 1, atunci criteriul raportului nu dă niciunrăspuns z n+1 n z n asupra convergenţei sau divergenţei seriei n N z n. lim n lim n n z n+1 De exemplu dacă z n = 1 n, atunci z n este divergentă, iar lim z n+1 = n z n n N n n +1 = 1, iar în cazul z n = 1 n(n+1), z n este convergentă, iar lim z n+1 = n z n n N n(n +1) (n +1)(n +2) =1. Teorema 12(Criteriul Raabe-Duhamel): Fie n N x n o serie cu termeni strict pozitivi. Seria aceasta converge (diverge), daca pentru n>n N, avem:n(1 x n+1 x n )=r>1(n(1 x n+1 x n ) 1). În cazul convergenţei avem, conform ipotezei x n+1 x n 1 r n,r > 0.

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 25 Cum sirul ( (1 1 n )r 1 ) 1 n N este crescător iar lim ((1 1 n )r 1 n n 1 )=r, rezultă: n (1 1 n )r 1 r. Vom avea (1 1 1 n )r 1 r n şi deci (1 1 n )r 1 r n. Prin n urmare: x n+1 x n (1 1 n )r = 1 n r 1 = y n+1 (n 1) r y n. Cum seria y n = 1 este convergentă pentrur>1, conform cu teorema 7 vom avea x n convergentă. rn n N n N n N Pentru afirmaţia din paranteză(divergenţa) avem x n+1 x n 1 1 n = 1 n 1 n 1 = y n+1 y n, şi deoarece 1 y n = n 1 este divergentă rezultă x n divergentă. n N n=2 n N De exemplu seria (2n)! 4 n, nu poate fi caracterizată cu criteriul raportului deoarece limita raportului este 1, în timp ce cu criteriul Raabe-Duhamel, (n!) 2 n N pentru căavem: n(1 (2n+2)(2n=1) = 2n2 +2n = n 4(n+1) 2 4(n+1) 2 2(n+1) < 1 2,cenedădivergenţa. Teorema 13(Criteriul radacinii al lui Cauchy): Fie şirul (z n ) n N din C, atunci: a) Dacă lim sup n z n < 1, seria n N z n este absolut convergentă. b) Dacă lim inf n z n > 1, seria n N z n este divergentă. a) Dacă lim sup n z n = r 1 < 1, atunci pentru un ε>0 exista un N = N(ε) N astfel ca n z n <r 1 + ε, pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 1 + ε<1vomavea n z n <rsau z n <r n şi cu teorema 4, punctul a) luând M = 1, rezulta z n absolut convergentă. b) Dacă n N lim inf n z n = r 2 > 1, atunci pentru un ε>0există unn = N(ε) N astfel ca n z n >r 2 ε pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 2 ε>1vomavea n z n > 1sau z n > 1şi deci z n nu converge la zero. De exemplu seria 1 + 1 + 1 + 1 +..., are lim sup z 2 2 3 2 2 4 3 5 n = 1 2 şi lim inf z n = 1 3 şi este convergentă. Observatia 1: Dacăşirul (z n ) n N din C, este astfel încât, pentru orice n N,şi dacă există lim n n zn = r, atunci seria z n este absolut convergentă, dacă 0<r<1. n N Într-adevăr, în acest caz lim sup n z n = lim n n zn = r<1. Observatia 2: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât, pentru orice n N, şi dacă

26 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE există lim n n zn = r, atunci seria este divergentă, dacă r>1. Într-adevăr, în acest caz lim sup n n z n = lim zn = r>1. n Observatia 3: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi n zn = 1, atunci criteriul rădăcinii nu dă niciunrăspuns dacă există lim n asupra convergenţei sau divergenţei seriei z n. n N Analizând criteriile de convergenţă date de teoremele: 6, 7, 10, 11, 12. se observă că aceste criterii sunt de fapt consecinţe ale criteriului comparaţiei (teorema 5), seria majoranta fiind, în cazul teoremei 12 seria geometrică, r n n N de exemlu; înlocuind seria geometrică cu o alta serie vom obţine alte criterii de convergentă şi în mod natural se justifica întrbarea: nu exista un criteriu generel de convergenţă, bazat pe o serie standart, care să rezolve problema convergenţei(sau a divergenţei) a oricarei serii numerice din C(R)?. Răspunsul este negativ, ceeace înseamnă că se pot găsi serii care nu pot fi analizate cu ajutorul criteriilor stabilite anterior. Vom arăta în continuare că nu există o serie universală de comparaţie. Fie seriile z n şi z n pentru care r n,r n vor fi resturile lor de or- n N n N din n. Vom spune că seria z n converge mai lent ca seria z n dacă n N n N r n lim n r n =0şi vom arăta că oricărei serii, convergentă i se poate pune în evidentă(corespondentă) o altă serie care converge mai lent decât seria data. Astfel, luând de exemplu z n = r n 1 ) r n si deoarece r n = z n+1 +z n+2 +... = r n r n r n, rezulta lim n r n = lim = lim rn = 0. Dacă am considera n rn n seria x n, drept serie universală, luând seria x n cu x n = r n 1 r n n N n N atunci: lim n x n x n orice ε>0 xn x n r n 1 r n rn 1 = lim rn 1 + r n =0,adicăpentru r n n = lim n <εdacă n = N(ε) şi deci x n <εx n iar convergenta seriei x n nu poate fi dedusă din convergenta seriei n N n N Oaltăîntrebare care se pune în legatură cu criteriile date de teorema 11 si teorema 13 si anume: Care dintre acestea este mai puternic, sau care dintre acestea îl implică pe celalalt. Dacă de exemplu, vom lua seria a +( 1) n 2 n+1 cu a 2,z n = a+( 1)n şi 2 n+1 n N calculând z n+1 z n obţinem 1 a+( 1) n+1 2 a+( 1) care ia valoarea 1 a+1 n 2 a 1, dacă n este im- x n.

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 27 par şi 1 2 a 1 a+1, dacă nestenumăr par şi deci nu avem limită. Dacă aplicăm cri- n z n = 1 n, deoarece lim a 1 =1şi lim n a +1 = 2 n n teriul rădăcinii, lim n x n+1 1şi deci criteriul radăcinii este mai puternic. Invers, dacă lim = r n x n atunci n xn = r, care se poate justifica cu ajutorul unei probleme cunos- n N cută din liceu, anume: Dacă lim a n = a, atunci lim n a1 a 2...a n = a, şi luând n n a n = xn x n 1,cux 0 =1, n a 1 a 2...a n = n x1 x 2 x 0 x 1... xn x n 1 = n x n. O serie cu termeni reali se numeşte serie alternată dacă orice doi termeni consecutivi ai ei sunt cu semne contre; putem preciza: pentru x n, x n R: n N x 2n 1 > 0, iar x 2n < 0saux 2n > 0, iar x 2n 1 < 0. Pentru seriile alternate vom avea: Teorema 14(Leibniz): Dacăîn seria alternată n N x n avem: x 1 x 2... x n... 0 iar lim n x n = 0, atunci: Seria n N x n este convergentă şi n N x n x 1 (1.19) Presupunem că ne aflăm în cazul x 2n 1 > 0, iar x 2n < 0. Notând cu: a 1 = x 1,a 2 = x 2,a 3 = x 3,a 4 = x 4,..., obtinem şirul (a n ) n N, a n > 0şi a 1 >a 2 >... > a n >... > 0 iar lim a n =0. n Seria x n se va scrie acum sub forma: n N x n = a 1 a 2 + a 3 a 4 +... = ( 1) n 1 a n Lu ând n consideraţie n N n N sumele parţiale vom avea: s 1 = x 1 = a 1 s 3 = x 1 + x 2 + x 3 = a 1 a 2 + a 3 = a 1 (a 2 a 3 ) <a 1 = s 1 s 5 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 = s 3 (a 4 a 5 ) <s 3... Vomaveadeci:s 1 >s 3 >... > a 2n 1 >... > 0ţi deci ţirul (s 2n 1 ) n N este monoton crescător şi mărginit, deci convergent. Fie lim s 2n 1 = a>0. Cum n s 2n = s 2n 1 + x 2n şi lim x 2n = 0 vom avea lim s 2n = a şi deci lim s n = a n n n pentru orice n N. Iar,cums 2n 1 s 1 = a 1 = x 1 prin trecere la limită vom avea x n x 1. n N

28 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Dacă ne situam n cazul x 2n > 0, iar x 2n 1 < 0,vomnotacu: a 1 = x 1,a 2 = x 2,a 3 = x 3,a 4 = x 4,..., obţinem şirul: (a n ) n N, a n < 0 şi a 1 a 2... a n... 0 iar lim a n =0. În acest caz avem: n s 2 = x 1 + x 2 = a 1 a 2 < 0, s 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = s 2 +(a 3 a 4 ) >s 2, s 6 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = s 4 +(a 5 a 6 ) >s 4,... Prin urmare vom avea: s 2 s 4... s 2n... 0, şi deci şirul (s 2n ) n N este monoton descrescător si mărginit, deci convergent, fie lim s 2n = b<0 n Cum s 2n+1 = s 2n + x 2n+1 şi lim x 2n+1 = 0 vom avea lim s 2n+1 = b şi n n deci lim s n = b pentru orice n N. Iar,cums 2n s 2 = x 1 +x 2 = a 1 +a 2 > n a 1 = x 1 vom avea prin trecere la limită x n x 1 sau x n x 1. n N n N Condensat cele două rezultate ne vor conduce la 1.19. Ţinând seama de această teoremă vom putea evalua eroarea ce apare când se aproximează suma unei serii alternate convergente printr-o suna parţială s n. Astfel, deoarece, x k este tot o serie alternată vomavea x k k=n+1 k=n+1 x n+1 ceeeace face ca să avem evaluarea erorii s s n < x n+1 şi deci: Eroarea ce se face înlocuind s prin s n este inferioară primului termen în valoare absolută din restul seriei. Ca exemplu important de aplicare a teoremei lui Leibnitz vom lua seria armonică alternata, adică seria: ( 1) k 1 1 k =1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5... k=1 care verifică ipotezele teoremei 14 deci este convergentă. Se arată că seria are suma ln 2. Se poate constata că seria armonică alternată nu este absolut convergentă, deoarece seria modulelor coincide cu seria armonica despre care ştim că este divergentă. Se poate constata că seria armonică alternată nu este absolut convergentă, deoarece seria modulelor coincide cu seria armonică desprecareştim că este divergentă. Vom introduce astfel notiunea de serie semi-convergentă, întelegând prin aceasta o serie care este convergentă şi nu este absolut convergentă. Seriile semi-convergente au unele proprietăţi deosebite astfel, proprietatea de însumare în orice ordine a termenilor unnei sume infinite de numere reale nu mai este valabilă. De exemplu în cazul seriei armonice alternate, prin permutarea unor

1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 29 termeni ai seriei ( 1) n 1 1 se poate obţine de exemplu seria: n n=1 (1 1 2 1 4 )+(1 3 1 6 1 8 )+(1 5 1 10 1 12 )+... +( 1 2n 1 1 4n 2 1 4n )+... Evident această ultimă serie are aceeaşi termeni altfel ordonaţi. Însumând primii doi termeni din parantezele seriei armonice alternate vom avea notând cu s suma seriei armonice alternate: s =( 1 2 1 4 )+(1 6 1 8 )+(1 10 1 12 )+... +( 1 4n 2 1 4n )+... = 1 2 (1 1 2 + 1 3 1 4 +...) = 1 2 s, deci s = 1 2s, ceeace este absurd. Aceasta înseamnă că cel puţin în cazul seriei armonice alternate modificarea ordinii termenilor este interzisă. Acest rezultat se poate extinde la orice serie semi-convergenta, fiind valabila urmatoărea teoremă: Teorema 15(Riemann): Dacă seria cu termeni reali x n este semi-convergentă, atunci pentru n N orice r R, se poate considera o astfel de permutare a termenilor seriei astfel încât noua serie obţinută să fie convergentă si să aibe suma r. În primul rând seria n N x n semi-convergentă dată conţine o infinitate de termeni pozitivi şi o infinitate de termeni negativi, deoare dacă aravea de exemplu numai un număr finit de termeni negativi prin eliminarea lor se obţine o serie care va avea termeni pozitivi şi care va fi convergentă ca şi seria iniţiala, or o serie cu termeni pozitivi dacă este convergentă eaeste absolut convergentă, ceeace contrazice ipoteza de serie semi-convergentă. Să notăm prin a 1,a 2,..., a n,..., termenii pozitivi şi prin b 1,b 2,..., b n,..., modulul termenilor negativi. Suntem conduşi la seriile a n şi b n cu termeni n N n N pozitivi care vor fi divergente(au sumele egale cu + ). Într-adevăr dacă (s n) n N şi (s n) n N sunt sumele parţiale ale acestor serii, atunci s 2n = s n s n 2n dacă s 2n = x k şi deci s = lim s 2n = lim n n s n lim n s n,iardacă x n k=1 n N este semi-convergentă lim n s n + lim n s n =+ Din divergenţa în cauză rezultă căînsumnd un număr convenabil de termeni atât din seria a n cât şi din seria b n se poate depăşi orice număr n N n N r real pozitiv dorim. Fie a 1 + a 2 +... + a n1 > r (presupunem r 0). Să scădem acum suma b 1 + b 2 +... + b n2 astfel ca să avema 1 + a 2 +... + a n1 b 1 b 2... b n2 <r. Vom aduna acum în primul termen al ultimei inegalităţi termenii pozitivi a n1 +1 + a n1 +2 +... + a n3 astfel să avem: a 1 + a 2 +... + a n1 b 1 b 2... b n2 + a n1 +1 +a n1 +2 +...+a n3 >r, iar apoi vom scădea b n2 +1 +b n2 +2 +...+b n4 astfel ca să avem:a 1 + a 2 +... + a n1 b 1 b 2... b n2 + a n1 +1 + a n1 +2 +... + a n3

30 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b n2 +1 b n2 +2... b n4 <rşi se continua acest procedeu. Evident se obţine o nouă serie în care intervin absolut toţi termenii seriei iniţiale şi mai rămâne de arătat că suma seriei nou construită este r. Pentru aceasta vom nota cu: α 1 = a 1 + a 2 +... + a n1 α 2 = b 1 + b 2 +... + b n2 α 3 = a n1 +1 + a n1 +2 +... + a n3 α 4 = b n2 +1 + b n2 +2 +... + b n4... Seria nouă construită va fi de fapt seria alternată: α1 α2+α3 aα +... = n N( 1) n 1 α n, iar dacă vom nota cu σ n termenul general al sirului sumelor sale partiale avem conform celor prezentate: σ 2n 1 <r<σ 2n (1.20) În baza teoremei lui Leibnitz, deoarece din convergenta seriei n N x n rezultă lim a n = 0 si lim b n = 0 putem presupune α 1 >α 2 >α 3 >...>α n > n n... > 0şi deci σ = lim σ n; trcând la limita în dubla inegalitate (1.20) avem: n lim σ 2n 1 lim σ 2n şi deci lim σ n = r. n n n Dacă seria este absolut convergentă modificarea de însumare a termenilor în această serie nu modifică suma seriei; cu alte cuvinte proprietatea de comutativitate a termenilor valabilă în cazul sumelor finite de numere se extinde şi la serii, însă nu la serii oarecare ci numai la serii absolut convergente. Vom mai da următorul rezultat: Teorema 16(Cauchy): Dacă seria z n din C, este absolut convergentă atunci orice altă serie n N w n,în care termenii provin dintr-o permutare oarecare a termenilor primei n N serii, este de asemeni absolut convergenta şi z n = w n. n N n N Fie p o permutare a numerelor {1, 2, 3,..., N} = B, unde N = N(ε) N pentru ε>0 cel care asigura absolut convergenţa seriei z n (deci pentru n N ε>0 există N = N(ε) N astfel încât k=n+1 z k <ε). Fie n 0 N astfel ca multimea {p(1),p(2),p(3),..., p(n 0 )} = A să conţină mulţimea B, deci B A (posibil pentru ca p : N N este bijectivă) si să notăm cu w k = z p(k),k N. În această situaţie în seria w k intră termeni din seria cu termenii k=n+1