Ion CRĂCIUN. Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică şi Informatică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ME. TRANSFORMAREA LAPLACE ME 2. APLICAŢII ALE TRANSFORMĂRII LAPLACE IAŞI 22

Cuprins ME. Transformarea Laplace 5. Continuitate şi diferenţiabilitate.................................... 5.2 Original.................................................. 7.3 Definiţia transformării Laplace. Imagine................................ 9.4 Transformarea Laplace inversă. Formula Mellin Fourier........................5 Proprietăţi ale transformării Laplace.................................. 2.5. Proprietatea de liniaritate.................................... 2.5.2 Teorema asemănării....................................... 3.5.3 Teorema întârzierii........................................ 4.5.4 Teorema deplasării........................................ 6.5.5 Derivarea originalului...................................... 6.5.6 Derivarea imaginii........................................ 8.5.7 Integrarea originalului...................................... 9.5.8 Integrarea imaginii........................................ 2.5.9 Produsul a două imagini..................................... 2.5. Produsul a două originale.................................... 23.5. Teoreme de dezvoltare...................................... 25 2 ME 2. Aplicaţii ale transformării Laplace 3 2. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale..................................... 3 2.2 Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare.......................... 33 2.3 Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili.................. 34 2.4 Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale.............................. 36 2.5 Rezolvarea unor ecuaţii integrale.................................... 38 2.6 Calculul unor integrale improprii.................................... 4 3

Capitolul ME. Transformarea Laplace. Continuitate şi diferenţiabilitate Fie f o funcţie reală definită pe un anumit interval deschis (a, b) IR = IR {, + } care conţine punctul x = c IR. Definiţia... Spunem că f este continuă în x = c dacă şi numai dacă lim f(x) = f(c). x c Definiţia..2. Funcţia f este continuă pe intervalul (a, b) dacă şi numai dacă este continuă în toate punctele x (a, b). Mulţimea funcţiilor continue f : (a, b) IR formează un spaţiu vectorial real notat prin C(a, b) sau C (a, b). Definiţia..3. O funcţie f este continuă pe [a, b] dacă ea este continuă pe (a, b) şi lim f(x) = f(a), lim x a + f(x) = f(b). x b Cu alte cuvinte, nu există comportare singulară în extremităţile intervalului. Vom folosi C[a, b] pentru a nota spaţiul vectorial al funcţiilor continue f : [a, b] IR. Mai jos, prezentăm o definiţie alternativă a continuităţii, echivalentă cu Definiţia... Definiţia..4. Funcţia f este continuă în x = x dacă, pentru orice ε >, există o funcţie δ(x, ε) astfel încât f(x) f(x ) < ε când x x < δ. Dacă δ depinde numai de ε, adică are aceeaşi valoare pentru toţi x dintr un anumit interval I, spunem că f este uniform continuă pe I. Se poate arăta că dacă f este funcţie continuă pe un interval închis, atunci ea este uniform continuă acolo. 5

6 Ion Crăciun Definiţia..5. Dacă spunem că f nu este continuă în x = c. lim f(x) lim f(x), x c x c + Există o importantă clasă de funcţii de această formă pentru care există un număr finit de discontinuităţi. O astfel de funcţie sare de un număar finit de ori. Astfel de funcţii sunt cunoscute ca funcţii continue pe porţiuni, şi, ca şi funcţiile continue, formează un spaţiu vectorial, pe care îl notăm prin P C(a, b). f(x) f(c) Definiţia..6. Dacă limita raportului incrementar x c diferenţiabilă sau derivabilă în x = c, şi notăm derivata sa prin există când x c, spunem că f este f f(x) f(c) (c) = lim. x c x c Mulţimea tuturor funcţiilor derivabile pe (a, b) formează un spaţiu vectorial pe care îl notăm cu C (a, b). Putem da definiţii similare pentru spaţiile vectoriale C 2 (a, b), C 3 (a, b),..., C n (a, b),..., C (a, b), în care derivatele de ordin superior se definesc ca limite ale rapoarteler incrementare ale derivatelor de ordin inferior cu o unitate. Spaţiile vectoriale introduse mai sus poartă denumirea de clase. Aşadar, spaţiului vectorial C 2 (a, b) îi vom spune clasa funcţiilor reale, de o variabilă reală, de două ori diferenţiabile pe (a, b). Exemplul... Funcţia aparţine clasei C (, 2π). f : (, 2π) IR, f(x) = sin x Întradevăr, f (x) = cos x şi f (x) = sin x = f(x). De aici rezultă că funcţia f poate fi diferenţiată ori de câte ori dorim şi rezultatul va fi o funcţie continuă. Prin urmare, f C (, 2π). Exemplul..2. Funcţia f : (, ) IR : f(x) = x 2 pentru x, f(x) = pentru x < aparţine clasei C 2 (, ). x 2 pentru x < Exemplul..3. Funcţia f : [, 3] IR : f(x) = cos x pentru x 2 e x pentru 2 < x 3, deoarece nu este continuă în x = şi x = 2. aparţine clasei P C[, 3] Observaţia... Dacă f este diferenţiabilă în c (a, b), ea este continuă în x = c. Afirmaţia reciprocă nu este adevărată. În acest sens, se poate da ca exemplu funcţia f(x) = care este continuă pe IR, însă niciunde diferenţiabilă. n= sin (n!) 2 x n!

ME. Transformarea Laplace 7.2 Original Calculul operaţional se bazează pe realizarea unei corespondenţe între două mulţimi de funcţii: mulţimea funcţiilor numite funcţii original şi mulţimea imaginilor lor printr o anumită transformare. Interesul pe care îl prezintă această corespondenţă se datoreşte faptului că operaţiilor de derivare şi integrare aplicate funcţiilor original le corespund anumite operaţii algebrice care se aplică imaginilor lor, aşa cum vom vedea în cele ce urmează. Definiţia.2.. Se numeşte original o funcţie f(t), reală sau complexă, definită pe mulţimea numerelor reale şi care satisface următoarele condiţii:. f(t) = pentru t < ; 2. f(t) este derivabilă pe porţiuni; 3. Există două numere M > şi s astfel încât f(t) M e st. Definiţia.2.2. Numărul s se numeşte indice de creştere al funcţiei original f(t). În cazul în care s este definit ca s = inf{s : M > astfel încât f(t) < M e st, t IR} atunci el se numeşte indicele de creştere al funcţiei original f(t). Metodele operaţionale se referă la rezolvarea unor probleme în care mărimea fizică reprezentată prin f(t) are proprietatea că sau este nulă înainte de momentul iniţial t =, sau valorile sale pentru t < nu prezintă interes. Cu această motivaţie, prima condiţie din Definiţia.2. nu mai pare artificială. Cea mai simplă funcţie original este funcţia unitate pentru t < η(t) = 2 pentru t = pentru t >. Indicele de creştere este s =. Această funcţie poate fi reprezentată prin integrala η(t) = 2πi a+i a i e tz z (.) dz, (.2) unde a este un număr real pozitiv. Funcţia unitate este importantă mai ales datorită faptului că dată fiind o funcţie ϕ(t) definită pe toată axa reală şi îndeplinind ultimele două condiţii din Definiţia.2., funcţia pentru t < f(t) = ϕ() 2 pentru t = ϕ(t) pentru t > este o funcţie original. În cele ce urmează vom considera toate funcţiile de o variabilă reală înmulţite în prealabil cu funcţia unitate. Pentru simplicitatea scrierii vom nota cu acelaşi simbol funcţia şi înainte şi după înmulţirea cu funcţia unitate. De exemplu, prin funcţia f(t) = sin ωt înţelegem funcţia f(t) = { pentru t < sin ωt pentru t.

8 Ion Crăciun Teorema.2.. Suma şi produsul a două funcţii original sunt funcţii original. Demonstraţie. Într adevăr, fie f(t) şi g(t) două funcţii original. Suma şi produsul lor f(t) + g(t), f(t) g(t) îndeplinesc primele două condiţii. Din inegalităţile f(t) M e st, g(t) M 2 e s2t rezultă f(t) + g(t) f(t) + g(t) 2Me s t, unde M este cel mai mare dintre numerele M şi M 2, iar s este cel mai mare dintre indicii de creştere s şi s 2. De asemenea, f(t) g(t) = f(t) g(t) M M 2 e (s+s2)t. Teorema este demonstrată. q.e.d. Exemplul.2.. Funcţia e λ t, unde λ = λ + iλ 2, este o funcţie original care are indicele de creştere s = λ. Exemplul.2.2. Funcţia constantă f(t) = c, pentru t >, f(t) =, pentru t < şi f() = c este o funcţie 2 original cu indicele de creştere s =. Exemplul.2.3. Funcţiile sin ωt, cos ωt, sinh ωt şi cosh ωt sunt funcţii original. Într-adevăr, folosind exprimările acestor funcţii cu ajutorul funcţiei exponenţiale sin ωt = e iω t e iω t, cos ωt = e iω t + e iω t, 2i 2 sinh ωt = e ω t e ω t, cosh ωt = e ω t + e ω t, 2 2 din Exemplul.2. şi Teorema.2. rezultă că aceste funcţii sunt funcţii original. (.3) Exemplul.2.4. Funcţia t n, cu n număr natural, este, de asemenea, o funcţie original. Într-adevăr, verificarea se face uşor. Pentru a arăta că a treia condiţie este satisfăcută, se consideră dezvoltarea în serie a funcţiei e αt, cu α > arbitrar. Avem din care deducem, pentru t >, e αt = + αt! + α2 t 2 +... + αn t n +..., 2! n! α n t n n! < e αt,

ME. Transformarea Laplace 9 deci t n < n! α n eαt. Rolul lui M îl are n!, iar indicele de creştere este α. αn Exemplul.2.5. Funcţiile t n e λt, t n sin ωt, t n cos ωt, t n e λt sin ωt, t n e λt cos ωt, e λt [P (t) cos ωt + Q(t) sin ωt], cu P (t) şi Q(t) polinoame, sunt funcţii original. Într-adevăr, din Teorema.2. şi exemplele anterioare, rezultă că aceste funcţii sunt funcţii original..3 Definiţia transformării Laplace. Imagine Fie f(t) o funcţie original având indicele de creştere s. Definiţia.3.. Funcţia definită prin relaţia F (p) = f(t)e pt dt, p = s + iσ, (.4) se numeşte imaginea după Laplace a funcţiei f(t) sau transformata Laplace a funcţiei f(t). Domeniul în care funcţia F (p) este definită este prezentat de teorema următoare. Teorema.3.. Imaginea F (p) a funcţiei f(t) este determinată în semiplanul s > s şi este o funcţie olomorfă în acest semiplan. Derivata sa F (p) se obţine derivând în raport cu p funcţia de sub semnul de integrare F (p) = [ t f(t)]e pt dt. (.5) Demonstraţie. Integralele improprii (.4) şi (.5) sunt absolut convergente în semiplanul s > s. Într-adevăr, l f(t)e pt dt = l f(t) e pt dt M l Trecând la limită pentru l, în ipoteza că s > s, rezultă este absolut convergentă şi e (s s)t dt = M s s [ e (s s) l ]. f(t)e pt dt M s s. Deci, integrala (.4) F (p) M s s. (.6) În mod asemănător se demonstrează că integrala improprie (.5) este absolut convergentă în semiplanul s > s. Să demonstrăm acum că F (p) este monogenă în orice punct p din semiplanul s > s. Pentru aceasta considerăm un cerc C cu centrul în p, conţinut în semiplanul s > s şi fie z un punct din interiorul cercului.

Ion Crăciun Urmărim să evaluăm raportul incrementar al funcţiei F, în punctul p, corespunzător creşterii z p a argumentului. Numărătorul acestui raport este F (z) F (p) = f(t)(e zt e pt )dt. Diferenţa de sub semnul integrală o evaluăm cu ajutorul formulei lui Taylor cu rest de ordin unu sub formă integrală e zt e pt = te pt (z p) + (z p) 2 R(z, p, t), unde restul este dat de integrala Folosind această dezvoltare, putem scrie F (z) F (p) z p R(z, p, t) = e tζ dζ 2πi C (ζ p) 2 [ζ p (z p)]. = [ t f(t)]e pt dt + (z p) R(z, p, t) f(t)dt. (.7) Vom arăta că ultimul termen tinde la zero când z tinde către p. Pentru aceasta pornim de la inegalitatea R(z, p, t) e tζ dζ 2π ζ p 2 ζ p (z p) şi ţinem cont că e ζ t = e (ξ+iη)t = e ξt e st, unde s este cea mai mică abscisă a punctului arbitrar ζ de pe cerc. Dacă notăm cu ρ raza cercului, iar r = z p, atunci: ζ p = ρ, ζ p (z p) ζ p z p = ρ r; Cu acestea, R(z, p, t) e st ρ(ρ r). R(z, p, t) f(t)dt ρ(ρ r) f(t) e st dt. Datorită inegalităţii pe care o satisface funcţia original f(t) (Definiţia.2.), deoarece s > s, obţinem R(z, p, t)f(t)dt M ρ(ρ r) e (s s)t M dt = ρ(ρ r) s s Folosind această inegalitate, se observă că ultimul termen din (.7) tinde către zero când z tinde către p astfel că F (z) F (p) lim = [ t f(t)]e pt dt. z p z p Deci, funcţia F (p) este monogenă în semiplanul s > s iar derivata sa are expresia (.5). q.e.d. Exemplul.3.. Imaginea funcţiei unitate η(t) este p. Soluţie. Conform formulei (.4), trebuie calculată integrala deoarece şi pentru s >, lim t e pt =. [ η(t)e pt dt = p e pt] = p e pt = e (s+iσ)t = e st

ME. Transformarea Laplace Exemplul.3.2. Imaginea funcţiei original f(t) = e λ t este funcţia F (p) =, definită pentru Re p >. p λ Soluţie. Din Exemplul.2. se ştie că dacă partea reală a numărului complex λ = λ +iλ 2 este nenegativă, indicele de creştere al funcţiei original f(t) este s = λ, iar dacă λ <, atunci s =. Funcţia F (p) este definită în semiplanul s > s. Avem F (p) = e λt e pt dt = [ e (p λ)t dt = p λ e (p λ)t] = p λ deoarece e (p λ)t = e (s+iσ)t = e (s λ)t şi pentru s > s λ, lim t e (p λ)t =..4 Transformarea Laplace inversă. Formula Mellin Fourier Am văzut că, dată fiind o funcţie original f(t), imaginea sa F (p) prin transformarea Laplace (.4) este complet determinată. Se pune problema inversă, să se determine originalul f(t) când se cunoaşte imaginea sa F (p). Răspunsul este dat de teorema următoare: Teorema.4.. Dacă f(t) este o funcţie original cu indicele de creştere s, iar F (p) este imaginea sa, atunci egalitatea f(t) = a+i F (p)e p t dp, a > s (.8) 2πi a i are loc în toate punctele în care funcţia f(t) este continuă. În fiecare punct c de discontinuitate, valoarea funcţiei din membrul drept este egală cu f(c ) + f(c + ). 2 Demonstraţie. Considerăm funcţia ϕ(t) = 2 e a t [f(t ) + f(t + )], egală cu e a t f(t) pe mulţimea punctelor în care funcţia este continuă. În orice interval mărginit, ϕ(t) nu poate avea decât puncte de discontinuitate de prima speţă în număr finit, punctele în care f(t) este discontinuă. Valoarea funcţiei ϕ(t) într un punct de discontinuitate este egală cu media limitelor sale laterale în acelaşi punct. Observăm că funcţia ϕ(t) are următoarele proprietăţi:. este derivabilă pe porţiuni; 2. în fiecare punct c de discontinuitate, ϕ(c) = [ϕ(c ) + ϕ(c + )]; 2 3. este absolut integrabilă pe intervalul (, + ).

2 Ion Crăciun Primele două proprietăţi sunt evidente. A treia proprietate se demonstrează imediat. Deoarece f(t) este o funcţie original, ϕ(t) = pentru t < şi rămâne să demonstrăm că ϕ(t) este absolut integrabilă pe (, ). Pe acest interval, datorită inegalităţii pe care o satisface funcţia f(t) ca funcţie original (vezi cel de al treilea punct din Definiţia.2.), în toate punctele în care ϕ(t) este continuă, ϕ(t) = e a t f(t) Me (a s)t, şi pentru a > s integrala funcţiei Me (a s)t pe intervalul (, ) este convergentă. De aici rezultăc şi ϕ(t) este absolut integrabilă pe (, ). Comparând cele trei propoziţii ale funcţiei ϕ(t) cu condiţiile dintr o teoremă enunţată la Capitolul Integrala Fourier, observăm că numai prima diferă. Se poate demonstra că, datorită celor trei proprietăţi de mai sus, ϕ(t) poate fi reprezentată printr o integrală Fourier. Avem ϕ(t) = 2π + deoarece ϕ(t) = pentru t <. De aici rezultă e a t ϕ(t) = 2π + Cu schimbarea de variabilă p = a + iσ deducem 2πi a+i a i e pt dp dσ e (a+iσ)t dσ f(τ)e a τ e iσ(t τ) dτ f(τ)e (a+iσ)τ dτ. f(τ)e pτ dτ = e at ϕ(t) = [f(t ) + f(t + )]. 2 Ţinând seama de (.4), această egalitate se reduce la (.8) şi teorema este demonstrată. q.e.d. Egalitatea (.8) se numeşte formula lui Mellin Fourier şi reprezintă inversa transformării (.4)..5 Proprietăţi ale transformării Laplace.5. Proprietatea de liniaritate În tot cursul expunerii vom nota funcţiile original cu litere mici ale alfabetului latin f(t), g(t), h(t), şi mulţimea imaginilor lor cu litera mare corespunzătoare F (p), G(p), H(p), Transformările Laplace de forma (.4) le vom nota prescurtat F (p) = Lf(t), G(p) = Lg(t), H(p) = Lh(t), iar transformarea inversă (.8) o vom scrie f(t) = L F (p), g(t) = L G(p), h(t) = L H(p),

ME. Transformarea Laplace 3 Teorema.5.. Transformarea Laplace este o transformare liniară { L[f(t) + g(t)] = Lf(t) + Lg(t) L[kf(t)] = k Lf(t), k = constant. (.9) Demonstraţie. Am arătat la începutul capitolului că dacă f(t) şi g(t) sunt funcţii original, atunci şi funcţiile f(t) + g(t), kf(t) sunt funcţii original. Avem [f(t) + g(t)]e pt dt = k f(t)e pt dt = k f(t)e pt dt + f(t)e pt dt. g(t)e pt dt Aceste egalităţi coincid cu (.9). q.e.d. Exerciţiul.5.. Folosind Exemplul.3.2 să se determine transformatele Laplace ale funcţiilor original: sin ωt; cos ωt; sinh ωt; cosh ωt. Soluţie. În Exemplul.3.2 s a arătat că Folosind proprietatea de liniaritate (.9) şi (.3), rezultă L sin ωt = 2i (Le iωt Le iωt ) = 2i L cos ωt = 2 (Le iωt + Le iωt ) = ( 2i Le λt = p λ. (.) ( p iω p + iω p iω + p + iω ) ), deci L sin ωt = ω p 2 + ω 2, L cos ωt = p p 2 + ω 2. (.) În mod analog se deduc egalităţile L sinh ωt = ω p 2 ω 2, L cosh ωt = p p 2 ω 2. (.2).5.2 Teorema asemănării Fie f(t) o funcţie original şi α o constantă strict pozitivă. Se constată uşor că funcţia ϕ(t) = f(αt) este, de asemenea, o funcţie original. Înlocuirea variabilei t cu αt revine, evident, la o schimbare a unităţii pe axa variabilei.

4 Ion Crăciun Teorema.5.2. Dacă F (p) este imaginea funcţiei f(t), oricare ar fi constanta α >, avem Lf(αt) = α F ( p α ). (.3) Demonstraţie. Într-adevăr, Lf(αt) = şi făcând schimbarea de variabilă αt = θ, obţinem Lf(αt) = α f(αt)e pt dt f(θ)e p α θ dθ = α F ( p α Folosind această teoremă se pot determina imaginile altor funcţii. ). q.e.d. Exerciţiul.5.2. Cunoscând că imaginea funcţiei f(t) = sin t este F (p) = p 2, să se determine imaginea + funcţiei f(ωt) = sin ωt, unde ω >. Soluţie. Aplicând formula (.3), avem L sin ωt = ω ω ( p ) 2 = p 2. Vezi şi Exerciţiul.5.. + ω2 + ω.5.3 Teorema întârzierii Dacă în funcţia original f(t) înlocuim pe t cu t τ, unde τ este o constantă pozitivă, obţinem o nouă funcţie original, f(t τ), care este nulă pentru t τ < şi ia aceleaşi valori ca şi f(t), însă cu întârzierea τ. Teorema.5.3. Întârzierea τ se traduce prin înmulţirea imaginii cu e pτ, Lf(t τ) = e pτ Lf(t). (.4) Demonstraţie. Formula (.4) rezultă imediat. Ţinând seama că f(t τ) = pentru t < τ, avem f(t τ)e pt dt = τ f(t τ)e pt dt. Cu schimbarea de variabilă t τ = θ, ultima integrală devine f(t τ)e pt dt = f(θ)e p(τ+θ) dθ = e p τ f(θ)e pθ dθ τ şi egalitatea (.4) este demonstrată. q.e.d.

ME. Transformarea Laplace 5 Exerciţiul.5.3. (Funcţia δ a lui Dirac) Să se determine imaginea funcţiei k pentru a < t < b f(t) = pentru t < a şi pentru t > b k pentru t = a şi pentru t = b. 2 Soluţie. Această funcţie se mai poate scrie în forma f(t) = k[η(t a) η(t b)]. (.5) Reprezentarea sa grafică se compune din reuniunea următoarei succesiuni de mulţimi: semidreapta (, a); punctul de coordonate (a, k ), segmentul de dreaptă deschis {(x, k) : a < x < b}, paralel cu axa Ox; punctul 2 (b, k ); şi semidreapta (b, + ). 2 Conform Teoremei.5. şi Teoremei.5.3, imaginea funcţiei (.5) este F (p) = k p (e ap e bp ). (.6) În cazul particular a =, b = h, k =, avem funcţia original h δ h (t) = [η(t) η(t h)] (.7) h reprezentată grafic ca succesiunea de mulţimi: semiaxa deschisă negativă a axei Ox; punctul de coordonate (, h 2 ); segmentul de dreaptă deschis {(x, h ) : < x < h}, paralel cu axa Ox; punctul (h, h ); şi semidreapta 2 deschisă (h, + ). Funcţia (.7) are proprietatea + h δ h (t)dt = dt =, h iar imaginea ei este F h (p) = hp ( e hp ). Se observă uşor că limita funcţiei (.7), în sensul obişnuit, pentru h, nu există. Se consideră totuşi funcţia improprie, notată cu δ(t) = η (t) care ia valoarea zero pentru toate valorile reale ale lui t, cu excepţia punctului t =, în care δ(t) ia valoarea infinită şi având proprietatea că + δ(t)dt =. Această funcţie se numeşte funcţia delta a lui Dirac sau funcţia impuls de ordin zero. Se spune că δ(t) = lim h δ h (t) şi că imaginea sa este limita imaginii funcţiei δ h (t) pentru h, ceea ce înseamnă lim F h(p) =, h Lδ(t) =, deşi funcţia δ(t) nu este o funcţie original în sensul Definiţiei.2. şi nici F (p) = nu este o imagine în sensul Definiţiei.3..

6 Ion Crăciun.5.4 Teorema deplasării Fie f(t) o funcţie original având indicele de creştere s şi F (p) imaginea sa. Trecerea lui p în p q, unde q este o constantă, poate fi interpretată ca o deplasare, adică o translaţie, care aduce originea în punctul q. Teorema.5.4. Deplasarea originii din planul variabilei p în q se traduce prin înmulţirea originalului cu e qt F (p q) = L[e qt f(t)]. (.8) Demonstraţie. Într-adevăr, din (.4) deducem F (p q) = f(t)e (p q)t dt = [e qt f(t)]e pt dt. În ultima integrală, rolul funcţiei f(t) din (.4) îl are e qt f(t) cu indicele de creştere s +Re(q). Funcţia F (p q) este olomorfă în semiplanul s > s +Re(q). q.e.d. Exerciţiul.5.4. Să se arate că: Le λt sin ωt = Le λt sinh ωt = ω (p λ) 2 + ω 2, Le λt p λ cos ωt = (p λ) 2 + ω 2 ; (.9) ω (p λ) 2 ω 2, Le λt p λ cosh ωt = (p λ) 2 ω 2. (.2) Soluţie. Pornind de la egalităţile (.) şi (.2) şi aplicând Teorema.5.4 se obţin (.9) şi (.2)..5.5 Derivarea originalului Presupunem că f(t) şi derivatele sale sunt funcţii original şi fie F (p) imaginea funcţiei f(t). Teorema.5.5. Imaginea derivatei f (t) este În general, Lf (t) = pf (p) f(+). (.2) Lf (n) (t) = p n F (p) [p n f(+) + p n 2 f (+) +... + pf (n 2) (+) + f (n ) (+)], (.22) unde f(+), f (+),..., f (n 2) (+), f (n ) (+) sunt limitele la dreapta în origine ale respectiv funcţiilor f(t), f (t),..., f (n 2) (t), f (n ) (t). Demonstraţie. Demonstrăm întâi egalitatea (.2).

ME. Transformarea Laplace 7 După Definiţia.3., avem Lf (t) = Lf (t) = [f(t)e pt ] f (t)e pt dt. Integrând prin părţi, obţinem + p f(t)e pt dt. (.23) Primul termen din membrul drept al egalităţii (.23) se reduce la f(+) deoarece, conform Definiţiei.2., avem f(t)e pt = f(t) e pt Me (s s)t, s > s. Deci, lim f(t)e pt =, ceea ce atrage lim f(t)e pt =. t t În acest fel, din (.23) rămâne Lf (t) = f(+) + p este demonstrată. Observăm că egalitatea (.2) se scrie şi în forma f(t)e pt dt, din care rezultă că egalitatea (.2) Lf (t) = plf(t) f(+). (.24) Pentru a demonstra egalitatea (.22), înlocuim f (t) din (.24), pe rând, cu f (t), f (t), f (4) (t),, f (n) (t). Avem Lf (t) = plf (t) f (+) Lf (t) = plf (t) f (+) Lf (4) (t) = plf (t) f (+) (.25)..................................... Lf (n) (t) = plf (n ) (t) f (n ) (+). Înmulţim întâi în (.24) cu p n, apoi prima egalitate din (.25) cu p n 2, a doua cu p n 3, a treia cu p n 4 şi aşa mai departe, ultima rămânând neschimbată. Adunând rezultatele, obţinem egalitatea (.22). q.e.d. Observaţia.5.. Egalitatea (.2), sau echivalenta ei (.24), nu sunt adevărate în situaţia în care f are puncte de discontinuitate în (, ). Într adevăr, să presupunem că f are un unic punct de discontinuitate în (, ), notat cu t. Atunci, ca mai sus Lf (t) = f (t)e pt dt + t = f(t)e pt t + f(t)e pt f (t)e pt dt t + p f(t)e pt dt = e pt (f(t ) f(t +)) + plf(t) f(+), o egalitate asemănătoare obţinându se pentru cazul mai multor puncte de discontinuitate. Exerciţiul.5.5. Cunoscând imaginea funcţiei cos ωt, L cos ωt = să se deducă imaginea funcţiei sin ωt folosind teorema de derivare a originalului. p p 2 + ω 2, (.26)

8 Ion Crăciun Soluţie. Din Teorema.5.5 şi (.26) avem L( ω sin ωt) = p p p 2 + ω 2 = ω2 p 2 + ω 2. Datorită proprietăţii de liniaritate, ω poate fi scos în stânga operatorului L şi, simplificând cu ω, obţinem rezultat pe care l am stabilit şi în (.). L sin ωt = ω p 2 + ω 2,.5.6 Derivarea imaginii Egalitatea (.5) se mai poate scrie F (p) = L[ t f(t)]. (.27) Funcţia F (p), fiind olomorfă în semiplanul s > s, admite derivate de orice ordin în acest semiplan. Funcţia t n f(t), cu n număr natural, este o funcţie original cu indicele de creştere s + α, unde α este un număr strict pozitiv la voia noastră de mic. Din aproape în aproape se obţine F (n) (p) = L[ ( t) n f(t)]. (.28) Această proprietate poate fi enunţată astfel: Teorema.5.6. Derivarea imaginii se traduce prin înmulţirea originalului cu t. Exemplul.5.. Pornind de la egalitatea (.) şi aplicând Teorema.5.6, obţinem L(te λt ) = Dacă în ultima egalitate facem λ = şi împărţim cu n!, obţinem (p λ) 2, L(tn e λt n! ) =. (.29) (p λ) n+ L tn n! =. (.3) pn+ Exerciţiul.5.6. Să se arate că au loc egalităţile : 2pω L(t sin ωt) = (p 2 + ω 2 ) 2, L(t cos ωt) = p 2 ω 2 (p 2 + ω 2 ) 2 L(t sinh ωt) = 2pω (p 2 ω 2 ) 2, L(t cosh ωt) = p 2 + ω 2 (p 2 ω 2 ) 2 ; (.3) L(te λt sin ωt) = 2ω(p λ) [(p λ) 2 + ω 2 ) 2, L(teλt cos ωt) = L(te λt sinh ωt) = L(te λt cosh ωt) = 2ω(p λ) [(p λ) 2 ω 2 ) 2 (p λ) 2 + ω 2 [(p λ) 2 ω 2 ) 2. (p λ) 2 ω 2 [(p λ) 2 + ω 2 ) 2 ; (.32) (.33)

ME. Transformarea Laplace 9 Soluţie. Dacă se folosesc relaţiile (.), (.2) şi se aplică totodată (.27) se deduc toate egalităţile (.3). De asemenea, din (.2), (.2) şi Teorema.5.6 rezultă (.32) şi (.33)..5.7 Integrarea originalului Prin integrarea funcţiei original f(t) se înţelege operaţia original pe care o notăm cu g(t). Într-adevăr, funcţia g(t) = f(τ) dτ, în urma căreia se obţine o nouă funcţie f(τ) dτ (.34) îndeplineşte cele trei condiţii din Definiţia.2., primele două fiind evidente. Pentru a treia, vom scrie g(t) = f(τ) dτ f(τ) dτ şi ţinând seama de condiţia a treia din Definiţia.2. a funcţiei f, avem g(t) = M e sτ dτ = M s (e st ) M s e st ceea ce arată că funcţiile f şi g au acelaşi indice de creştere. Să notăm, ca de obicei F (p) = Lf(t), G(p) = Lg(t). Teorema.5.7. Integrarea originalului se traduce prin împărţirea imaginii sale cu p, L f(τ) dτ = F (p). (.35) p Demonstraţie. Din (.34) deducem următoarele: g (t) = f(t), g() =. Aplicând Teorema.5.5 şi ţinând cont că Lg (t) = Lf(t), obţinem p G(p) = F (p) din care rezultă egalitatea (.35). q.e.d. Exerciţiul.5.7. Pornind de la relaţia evidentă sin 2 ωt = ω să se determine imaginea funcţiei g(t) = sin 2 ωt. sin 2ωτ dτ, (.36) Soluţie. În primul rând, putem determina imaginea funcţiei sin 2ωt. Pentru aceasta considerăm (.) şi trecem ω în 2ω. Avem 2ω L sin 2ωt = p 2 + 4ω 2.

2 Ion Crăciun Atunci, după (.36) şi Teorema.5.7, deducem L sin 2 ωt = ω L sin 2ωtdt = ω L sin 2ωt. p În acest mod, deducem L sin 2 2ω 2 ωt = p(p 2 + 4ω 2 ). Acest rezultat s-ar fi putut obţine folosind identitatea sin 2 ωt = ( cos 2ωt), 2 proprietatea de liniaritate a transformatei Laplace şi imaginea funcţiei cos 2ωt. Avem L sin 2 ωt = 2 (Lη(t) L cos 2ωt) = ( 2 p p ) p 2 + 4ω 2 şi de aici se vede că se obţine acelaşi rezultat..5.8 Integrarea imaginii Fie f(t) o funcţie original şi F (p) imaginea sa. Să presupunem că integrala improprie f(q) dq (.37) este convergentă. funcţia F (p) este olomorfă în semiplanul s > s, deci admite o primitivă Φ(p) în acest semiplan şi p p F (q) dq = Φ(p ) Φ(p) oricare ar fi cele două puncte p şi p din semiplanul s > s. dacă Φ(p) are în punctul de la infinit un punct ordinar, convergenţa integralei (.37) este asigurată. În ipoteza că această proprietate are loc, obţinem G(p) = Vom spune că funcţia G(p) s a obţinut prin integrarea imaginii. p f(q) dq = Φ( ) Φ(p). (.38) Teorema.5.8. Integrarea imaginii se traduce prin împărţirea originalului corespunzător cu t p f(q) dq = L f(t). (.39) t Demonstraţie. Prin derivare, din (.38) rezultă G (p) = F (p). Fie g(t) originalul funcţiei G(p). Conform egalităţii (.5) deducem de aici t g(t) = f(t), deci g(t) = f(t) t şi egalitatea (.39) este demonstrată. = G(p) = L f(t) t q.e.d.

ME. Transformarea Laplace 2 Exerciţiul.5.8. Să se determine imaginile funcţiilor sinh ωt t şi sin ωt. t Soluţie. Conform egalităţilor (.) şi (.2), L sinh ωt = ω p 2 ω 2 = [ 2 p ω p + ω ], L sin ωt = ω p 2 + ω 2. Aplicăm Teorema.5.8 şi avem sin ωt L t sinh ωt L t = ( arctg q ) ω p = 2 ln p ω p + ω, (.4) = π 2 arctg p ω. (.4) Se introduc tăieturile convenabile în planul variabilei p şi se consideră ramurile funcţiilor ln z, arctg z care pe axa reală iau valorile cunoscute din analiza funcţiilor reale. Prin integrarea originalului, în cazul ω =, se obţine o funcţie importantă în aplicaţii si t = sin τ τ care se numeşte sinus integral de t. Datorită egalităţilor (.4) şi (.35) obţinem Lsi t = p dτ, t >, (.42) ( π 2 arctg p ). (.43) În mod analog se defineşte funcţia cosinus integral, şi se demonstrează că imaginea sa este ci t = cos τ τ dτ, t >, (.44) Lci t = p ln p2 +. (.45).5.9 Produsul a două imagini Fie f(t) şi g(t) două funcţii original şi imaginile lor F (p) = Lf(t) = f(t)e pt dt, G(p) = Lg(t) = g(t)e pt dt. Definiţia.5.. Se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g, sau convoluţia funcţiilor f şi g, funcţia ϕ(t) = (f g)(t) = f(τ) g(t τ) dτ. (.46)

22 Ion Crăciun Teorema.5.9. (Borel) Produsul F (p) G(p) este tot o imagine, şi anume F (p) G(p) = Lϕ(t) = L(f g)(t) = L f(τ) g(t τ) dτ. (.47) Demonstraţie. Să remarcăm că în locul lui (.4), se poate scrie F (p) = f(τ)e p τ dτ Prin înmulţirea ambilor membri cu G(p), obţinem F (p)g(p) = Deci, Conform Teoremei întârzierii.5.3, e p τ G(p) = Lg(t τ) = F (p) G(p) = dτ f(τ)e p τ G(p) dτ. g(t τ)e pt dt. f(τ) g(t τ)e pt dt. (.48) Dar, f(t) şi g(t) fiind funcţii original, ordinea de integrare poate fi schimbată, astfel că putem scrie F (p)g(p) = e pt dt f(τ) g(t τ)dτ. (.49) Cum funcţia g(t) este un original, g(t τ) = pentru t τ <, adică pentru τ > t. Avem f(τ) g(t τ) dτ = f(τ) g(t τ) dτ + Folosind acest rezultat în (.49), deducem egalitatea F (p)g(p) = e pt dt f(τ)g(t τ)dτ = t f(τ) g(t τ) dτ = ( f(τ) g(t τ) dτ. ) f(τ)g(t τ)dτ e pt dt, care este aceeaşi cu (.47). q.e.d. Corolarul.5.. În condiţiile Teoremei.5.9, are loc egalitatea ( p F (p) G(p) = L f(t) g() + cunoscută sub numele de formula lui Duhamel. ) f(τ) g (t τ) dτ (.5) Demonstraţie. Folosind regula lui Leibniz de derivare a unei integrale depinzând de un parametru, care poate să apară şi în limitele de integrare, să derivăm funcţia original (.46). Avem ϕ (t) = f(t) g() + f(τ) g (t τ) dτ. Teorema.5.5, de derivare a originalului, şi faptul că ϕ() = conduce la (.5). q.e.d.

ME. Transformarea Laplace 23 Observaţia.5.2. Formula lui Duhamel (.5) îşi găseşte deseori aplicaţii în electrotehnică. Exerciţiul.5.9. Să se determine funcţia original a cărei imagine este p (p 2 + a 2 ). Soluţie. Vom prezenta două metode de rezolvare. Prima din acestea porneşte de la faptul că imaginea dată se poate scrie în forma unde: p(p 2 + a 2 ) = a p a p 2 + a 2 = a F (p)g(p), F (p) = p = Lη(t); G(p) = a p 2 = L sin at, + a2 după care aplicăm (.47). Conform acestei formule, avem F (p)g(p) = Lϕ(t) = L(η(t) sin at) = L Efectuând integrarea, găsim de unde deducem care mai departe conduce la concluzia finală η(τ) sin a(t τ)dτ = L F (p)g(p) = a L( cos at) = 2 at L sin2 a 2, ( 2 p(p 2 + a 2 ) = L at ) sin2, a2 2 L p(p 2 + a 2 ) = 2 at sin2 a2 2. sin a(t τ)dτ. O a doua metodă de rezolvare a exerciţiului porneşte de la descompunerea imaginii în fracţiile simple p (p 2 + a 2 ) = A p + Bp + C p 2 + a 2, unde A, B, C sunt numere reale care se detrmină simplu. Obţinem p (p 2 + a 2 ) = ( a 2 p p ) p 2 + a 2. (.5) În egalitatea (.5) aplicăm transformarea Laplace inversă şi ţinem cont de Exemplul.3. şi de (.). Obţinem L p (p 2 + a 2 ) = a 2 ( cos at) = 2 at sin2 a2 2. Pentru a = 2ω se regăseşte rezultatul obţinut în Exerciţiul.5.7..5. Produsul a două originale Fie f(t) şi g(t) două funcţii original având respectiv indicii de creştere s şi s 2. Conform Teoremei.2., produsul f(t) g(t) este tot o funcţie original cu indicele de creştere s + s 2. Imaginea acestui produs este o funcţie Φ olomorfă în semiplanul s > s + s 2. Se pune problema determinării funcţiei Φ(p). Fie F (p) şi G(p) imaginile funcţiilor f(t) şi g(t).

24 Ion Crăciun Teorema.5.. Imaginea produsului f(t)g(t) este Φ(p) = L[f(t) g(t)] = 2πi a+i a i F (q) G(p q) dq, a > s. (.52) Demonstraţie. Din (.8), prin înmulţire cu g(t), obţinem f(t)g(t) = 2πi a+i a i F (q)e q t g(t)dq. Conform teoremei deplasării, avem e q t g(t) = L G(p q) = 2πi Introducem în egalitatea precedentă b+i b i G(p q)e p t dp, b > s 2 + Re (q). f(t) g(t) = ( ) 2 a+i 2πi a i F (q)dq b+i b i Se poate arăta că putem schimba ordinea de integrare şi avem f(t) g(t) = 2πi b+i b i [ 2πi a+i a i G(p q)e p t dp. ] F (q) G(p q) dq e p t dp. Comparând cu (.8), rezultă egalitatea (.52). q.e.d. Observaţia.5.3. Din inegalitatea b > s 2 + Re (q), ţinând seama că în procesul de integrare Re (q) = a, iar a > s, deducem b > s + s 2, ceea ce este în acord cu faptul că indicele de creştere al produsului f(t) g(t) este s +s 2. De asemenea, imaginea funcţiei e q t g(t), fiind determinată în semiplanul Re (p) > s 2 + Re (q), iar Re (q) = a în procesul de integrare, urmează că imaginea produsului f(t) g(t) este determinată în semiplanul Re (p) > s 2 + a. (.53) Cum a > s şi oricât de apropiat de s, inegalitatea (.53) poate fi înlocuită cu Re (p) > s + s 2. Exerciţiul.5.. Ca aplicaţie a Teoremei.5., să se determine imaginea produsului sin ωt sinh ωt. Soluţie. Întâi de toate, avem L sin ωt = L sinh ωt = Introducem în (.52) ω p 2 + ω 2, s > s = Re (iω), ω p 2 ω 2, s > s 2 = Re (ω). L(sin ωt sinh ωt) = a+i 2πi a i ω q 2 + ω 2 ω (p q) 2 ω 2 dq.

ME. Transformarea Laplace 25 Aplicăm teorema reziduurilor pentru funcţia ϕ(q) = ω 2 (q 2 + ω 2 )[(p q) 2 ω 2 ] şi curba închisă formată din segmentul de dreaptă de extremităţi a il, a + il şi semicercul Γ cu centrul în a şi de rază R = l, l >, situat în stânga segmentului de dreaptă. Conform teoremei reziduurilor a+il a il Pentru R, prima integrală tinde către ϕ(q) dq + Γ a+i a i ϕ(q) dq = 2πi n rez(ϕ, q k ). k= ϕ(q) dq, iar integrala pe Γ tinde evident către zero. funcţia ϕ(q) are polii simpli q = ± iω situaţi la stânga dreptei s = a, deoarece a > s = Re (iω). Polii q = p ± ω se află la dreapta acestei drepte deoarece, ţinând seama de (.53) şi de faptul că Re (ω) = s 2, avem Re (p ± ω) = Re (p) ± Re (ω) > s 2 + a ± s 2 a. Prin urmare, avem de calculat doar reziduurile funcţiei ϕ(q) în punctele ± iω. Suma acestor reziduuri este rez(ϕ, iω) = rez(ϕ, iω) = { 2pω 2 p 4 + 4ω 4, deci ω 2 2q[(p q) 2 ω 2 ] { ω 2 } 2q[(p q) 2 ω 2 ] L(sin ωt sinh ωt) = } q=iω q= iω Acest rezultat se mai poate obţine scriind sin ωt sinh ωt = 2 deplasării L(sin ωt sinh ωt) = [ 2 = = 2pω2 p 4 + 4ω 4. ω (p ω) 2 + ω 2 ω ] (p + ω) 2 + ω 2 ω 2i(p 2 2ω 2 2p iω) ω 2i(p 2 2ω 2 + 2p iω). ( ) e ωt sin ωt e ωt sin ωt şi aplicând teorema = 2pω2 p 4 + 4ω 4. Comparând cele două metode de rezolvare, constatăm că a doua metodă este mult mai directă şi cu mult mai puţine calcule şi implicaţii teoretice..5. Teoreme de dezvoltare Pentru determinarea originalului f(t), când se ştie imaginea sa F (p), se folosesc uneori teoremele de dezvoltare. Teorema.5.. Dacă F (p) este o funcţia raţională F (p) = A(p), în care gradul numărătorului este mai B(p) mic decândt gradul numitorului, iar numitorul B(p) are rădăcinile simple p, p, p 2,, p n, atunci F (p) este imaginea funcţiei n A(p k ) f(t) = B (p k ) e pkt. (.54) k=

26 Ion Crăciun Demonstraţie. În ipotezele de mai sus, funcţia F (p) admite o descompunere în fracţii simple de forma F (p) = a + a + a 2 + + a n. p p p p p p 2 p p n Coeficientul a j se poate calcula integrând funcţia F (p) pe un cerc Γ j cu centrul în p j şi de rază suficient de mică astfel ca în interiorul său să nu fie plasat un alt pol al funcţiei F (p). Avem Γ j F (p) dp = n a k k= Γ j dp p p k. dp În virtutea teoremei lui Cauchy, = pentru k j. Γ j p p k dp Când k = j, tot din teorema lui Cauchy avem = 2πi, deci F (p) dp = 2πia j. Γ j p p j Γ j Folosind teorema reziduurilor şi formula de calcul pentru reziduul relativ la un pol simplu, avem F (p) dp = 2πirez(F, p j ) = 2πi A(p j) Γ j B (p j ). Comparând cu egalitatea precedentă, deducem a j = A(p j) B (p j ). Cu aceasta, dezvoltarea funcţiei F (p) devine F (p) = n A(p k ) B (p k ) p p k k= iar originalul său are evident expresia (.54). q.e.d. Corolarul.5.2. Dacă una din rădăcini este nulă, relaţia (.54) devine f(t) = A() n R() + A(p k ) e p kt R, (p k ) p k k= unde R(p) este polinomul cu proprietatea B(p) = p R(p). Demonstraţie. Să presupunem că rădăcina nulă este p =. Atunci B(p) = p R(p) = B (p) = pr (p)+r(p). Deoarece R(p k ) = ; k =, 2,..., n, vom avea B (p ) = B () = R(), B (p k ) = p k R (p k ). Descompunerea lui F (p) va lua forma F (p) = A() n R() p + A(p k ) p k R şi (.54) devine (p k ) p p k k= f(t) = A() n R() + A(p k ) p k R (p k ) e p k t. (.55) k=

ME. Transformarea Laplace 27 Această egalitate se numeşte formula lui Heaviside. q.e.d. Observaţia.5.4. Procedeul prin care am determinat originalul unei funcţii raţionale poate fi extins uşor şi pentru cazul când numitorul B(p) are rădăcini multiple. Extinderea procedeului. Vom lua o constantă reală pozitivă a, mai mare decât toate părţile reale ale polilor p k. Fie α k multiplicitatea polului p k. Vom utiliza aceeaşi curbă închisă ca în paragraful precedent şi determinăm valoarea integralei pe această curbă din funcţia Φ(p) = F (p)e p t. Considerând că raza l a cercului, din care face parte semicercul Γ, tinde la şi folosind (.8), obţinem f(t) = 2πi a+i a i F (p)e p t dp = h rez(φ, p k ) unde h IN este numărul polilor. Folosim formula de calcul a reziduurilor în poli multipli şi deducem formula f(t) = h k= k= [(p p k ) α k F (p)e p t] (α k ) (α k )! p=p k după care se determină originalul în cazul când polii funcţiei raţionale F (p) sunt multipli. O a doua teoremă de dezvoltare este Teorema.5.2. Dacă funcţia imagine F (p) este olomorfă în afara unui cerc Γ cu centrul în origine şi rază R şi are în punctul de la infinit un punct ordinar, atunci dezvoltarea sa în serie Laurent este F (p) = n= a n, p > R, pn (.56) şi F (p) este imaginea funcţiei f(t) = n= a n (n )! tn. (.57) ( ) Demonstraţie. Prin ipoteză, F (p) este olomorfă în domeniul p > R. Deci, funcţia ϕ(ζ) = F este olomorfă ζ în domeniul ζ < R şi admite dezvoltarea în serie Taylor ϕ(ζ) = a + a ζ + a 2 ζ 2 + + a n ζ n +, ζ < R. Funcţia F (p) are în punctul de la infinit un punct ordinar şi din inegalitatea (.6) rezultă că într o vecinătate a acestui punct F (p) este mărginită şi prin urmare lim F (p) =, p deci ϕ() = a =. Revenind la variabila p, obţinem dezvoltarea (.56).

28 Ion Crăciun Conform egalităţii (.3), termenul general al seriei (.56) este imaginea funcţiei a n (n )! tn. Considerăm seria de puteri formată cu originalele termenilor seriei (.56), n= a n (n )! tn. (.58) Vom demonstra că această serie este absolut şi uniform convergentă şi că suma sa este o funcţie original. Datorită inegalităţilor lui Cauchy, a n M r n = M a n (R t) n Rn, (n )! tn M R, termenii seriei (n )! (.58) nu depăşesc, în modul, termenii seriei MR e Rt = MR n= (Rt) n (n )!, t >, despre care ştim că este absolut şi uniform convergentă pe intervalul [, L], unde L este la voia noastră de mare. De aici rezultăc seria (.58) este absolut şi uniform convergentă pe intervalul [, L], cu L oricândt de mare, şi că suma sa f(t) are proprietatea f(t) M Re R t, t >. Prima condiţie din Definiţia.2. o considerăm îndeplinită de la sine, conform convenţiei adoptate. A doua condiţie este evident îndeplinită, deci funcţia (.57) este un original. Datorită convergenţei uniforme, seria (.57), înmulţită în prealabil cu e pt, poate fi integrată termen cu termen pe intervalul (, ) şi obţinem funcţia (.56). Teorema este complet demonstrată. q.e.d. Exerciţiul.5.. Să se determine originalul funcţiei F (p) = p (p 2 + a 2 )(p 2 + b 2 ). Soluţie. Folosim prima teoremă de dezvoltare, în care A(p) = p, B(p) = (p 2 + a 2 )(p 2 + b 2 ). Polinomul B(p) are numai rădăcini simple: ± ia, ± ib. Cu A(p) B (p) = 2(2p 2 + a 2 + b 2 ) obţinem f(t) = 2(b 2 a 2 ) (e ia t + e ia t ) + 2(a 2 b 2 ) (e ib t + e ib t ) sau, cu o altă scriere, f(t) = b 2 (cos at cos bt). a2 Exerciţiul.5.2. Să se determine originalul funcţiei. F (p) = p + λ (p a) 3 (p b)

ME. Transformarea Laplace 29 Soluţie. De data aceasta, B(p) are o rădăcină triplă. Conform celor stabilite în Observaţia.5.4, avem Făcând calculele, se obţine f(t) = f(t) = [ p + λ (p a) 3 e p t] + [ p + λ p=b 2! p b e p t]. p=a b + λ [ b + λ (b a) 3 e b t + (a b) 3 b + λ (a b) 2 t + a + λ 2 a b t2] e a t. Exerciţiul.5.3. Precizaţi originalul funcţiei F (p) = p n+ e p, unde n este un întreg pozitiv. Soluţie. Funcţia F (p) satisface condiţiile din a doua teoremă de dezvoltare. Folosind dezvoltarea în serie Laurent în jurul originii a funcţiei e p ( ) k =, p > R >, k! pk stabilim că dezvoltarea în serie Laurent în jurul originii a funcţiei F (p) este F (p) = k= ( ) k k= k!, p > R >, pn+k+ raza R a cercului în exteriorul căreia au loc aceste dezvoltări fiind oricândt de mică dorim. Punctul de la infinit este pentru această funcţie un punct ordinar. Conform celei de a doua teoremă de dezvoltare, originalul funcţiei F (p) este f(t) = ( ) k k!(n + k)! tn+k. k= Această funcţie poate fi pusă în legătură cu funcţiile lui Bessel de speţa întâi şi de ordin întreg J n (t). Mai precis, se poate arăta că f(t) = t n J n (2 t) = L ( e p ). pn+ În cazul particular n =, se obţine că funcţia original corespunzătoare f(t) coincide cu funcţia rezultată din compunerea funcţiei Bessel de speţa întâi şi de ordin zero J (u) cu funcţia u = 2 t.

3 Ion Crăciun

Capitolul 2 ME 2. Aplicaţii ale transformării Laplace 2. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Să considerăm problema determinării funcţiei x(t), t >, care verifică ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi, neomogenă şi condiţiile iniţiale a x (n) + a x (n ) + + a n x + a n x = f(t) (2.) x(+) = x, x (+) = x, x (+) = x 2,, x (n ) (+) = x n, (2.2) unde f(t) este o funcţie dată, iar x, x, x 2,, x n sunt n numere date. Soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate este o sumă de funcţii de forma a x (n) + a x (n ) + + a n x + a n x = e α t [P (t) cos βt + Q(t) sin βt], unde P (t) şi Q(t) sunt polinoame. Deci, funcţia x(t), nulă pentru t <, care verifică ecuaţia omogenă şi condiţiile iniţiale (2.2), este o funcţie original împreună cu derivatele sale de orice ordin. În general nu putem afirma acelaşi lucru pentru ecuaţia (2.) datorită prezenţei funcţiei f(t). În cele ce urmează, vom presupune că f(t) este un original şi că funcţia x(t), care verifică ecuaţia (2.) şi condiţiile iniţiale (2.2), îndeplineşte condiţiile impuse originalelor, împreună cu derivatele lor până la ordinul n. Notăm X(p) = Lx(t), F (p) = Lf(t). Datorită proprietăţilor de liniaritate a transformatei Laplace, din ecuaţia (2.) deducem a Lx (n) + a Lx (n ) + + a n Lx + a n Lx = Lf(t). (2.3) Conform egalităţii (.22) şi ţinând seama de condiţiile iniţiale (2.2), avem Lx (n) (t) = p n X(p) (x p n + x p n 2 + + x n 2 p + x n ), Lx (n ) (t) = p n X(p) (x p n 2 + x p n 3 + + x n 2 ),.......... Lx (t) = p 2 X(p) (x p + x ), Lx (t) = p X(p) x, Lx(t) = X(p). 3

32 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Introducem în (2.3) şi ordonăm termenii convenabil. Obţinem (a p n + a p n + + a n p + a n )X(p) = F (p) + G(p), (2.4) unde G(p) = x (a p n + a p n 2 + + a n 2 p + a n )+ +x (a p n 2 + a p n 3 + + a n 3 p + a n 2 )+................................................... +x n 2 (a p + a )+ +x n a. Egalitatea (2.4) se numeşte ecuaţia operaţională corespunzătoare ecuaţiei (2.) cu condiţiile iniţiale (2.2). ecuaţia operaţională se reţine uşor dacă facem următoarele observaţii: X(p) se înmulţeşte cu polinomul caracteristic ϕ(p) = a p n + a p n + + a n p + a n al ecuaţiei diferenţiale (2.); G(p) este o combinaţie liniară de polinoame G(p) = x ϕ (p) + x ϕ (p) + + x n ϕ n (p); polinomul ϕ (p) se obţine din polinomul caracteristic ϕ(p) suprimând termenul liber şi împărţind cu p; prin acelaşi procedeu se obţine ϕ (p) din ϕ (p); ϕ 2 (p) se obţine suprimând termenul liber al polinomului ϕ (p) şi împărţind rezultatul cu p şi aşa mai departe până se obţine ϕ n (p) = a. Din ecuaţia (2.4) deducem X(p) = F (p) + G(p). ϕ(p) Soluţia ecuaţiei (2.) care satisface condiţiile iniţiale (2.2) este x(t) = L X(p) şi se determină fie folosind formula lui Mellin Fourier, fie prin descompuneri convenabile ale funcţiei X(p). Exerciţiul 2... Să se determine soluţia a ecuaţiei diferenţiale x + ω 2 x = (λ 2 + ω 2 )e λ t care satisface condiţiile iniţiale x(+) =, x (+) = ω λ. Soluţie. Ecuaţia operaţională corespunzătoare este (p 2 + ω 2 )X(p) = (λ 2 + ω 2 ) + p + (ω λ) p + λ

ME 2. Aplicaţii ale transformării Laplace 33 şi se mai poate scrie (p 2 + ω 2 )X(p) = ω + p2 + ω 2 p + λ. Deducem X(p) = p + λ + ω p 2 + ω 2. Folosind rezultatele din Exemplul.3.2 şi Exerciţiul.5. determinăm originalul funcţiei X(p) x(t) = e λ t + sin ωt, funcţia astfel găsită fiind soluţie a problemei Cauchy date. 2.2 Integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare Transformata Laplace se poate aplica şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi. Vom lua ca exemplu, sistemul de ecuaţii diferenţiale a x + a x + a 2 x + b y + b y + b 2 y = f(t) α x + α x + α 2 x + β y + β y (2.5) + β 2 y = ϕ(t) şi condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x ; y(+) = y, y (+) = y. (2.6) În ipoteza că f(t) şi ϕ(t) sunt funcţii original şi că funcţiile x(t), y(t) care verifică sistemul (2.5) şi condiţiile iniţiale (2.6) sunt, de asemenea, funcţii original împreună cu primele două derivate, aplicăm transformata Laplace celor două ecuaţii (2.5) obţinând astfel sistemul operaţional (a p 2 + a p + a 2 )X(p) + (b p 2 + b p + b 2 )Y (p) = F (p)+ +x (a p + a ) + x a + y (b p + b ) + y b, unde am notat, ca de obicei, (α p 2 + α p + α 2 )X(p) + (β p 2 + β p + β 2 )Y (p) = Φ(p)+ +x (α p + α ) + x α + y (β p + β ) + y β, Lx(t) = X(p), Ly(t) = Y (p), Lf(t) = F (p), Lϕ(t) = Φ(p). Din acest sistem se deduc funcţiile X(p), Y (p). Soluţia problemei este sistemul de funcţii x(t) = L X(p), y(t) = L Y (p). Exerciţiul 2.2.. Să se determine funcţiile x(t) şi y(t) care verifică sistemul { x + 2x + x + y + y + y = 2x + 2x + y + 2y = 2t şi condiţiile iniţiale x(+) =, x (+) = 2; y(+) =, y (+) = 2.

34 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu Soluţie. Sistemul operaţional corespunzător este (p 2 + 2p + )X(p) + (p 2 + p + )Y (p) = p + p + (2p + 2)X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = 2 p 2 + p. Scăzând a doua ecuaţie din prima şi simplificând cu p, obţinem sistemul echivalent (p + )X(p) Y (p) = p + 2 p 2 Soluţia acestui sistem este 2(p + )X(p) + (p 2 + 2p)Y (p) = p3 + 2 p 2. X(p) = p 2 + p 2 + 2p + 2, Y (p) = p 2 + p + p 2 + 2p + 2. Deoarece trinomul p 2 + 2p + 2 are rădăcini imaginare, vom scrie Originalele acestor funcţii sunt X(p) = p 2 + (p + ) 2 +, Y (p) = p 2 + p + (p + ) 2 +. x(t) = t + e t sin t, y(t) = t + e t cos t şi cu aceasta problema Cauchy este rezolvată. 2.3 Integrarea unor ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili În cele expuse mai sus, am arătat cum metoda operaţională transformă problema integrării unei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, cu condiţii iniţiale date, în problema rezolvării unei ecuaţii algebrice. Se obţine astfel imaginea X(p) a soluţiei x(t). Dificultăţile de calcul sunt legate de determinarea originalului x(t), cunoscută fiind imaginea sa. Această metodă poate fi extinsă şi pentru unele ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi variabili. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei date, aceasta se transformă uneori tot într o ecuaţie diferenţială, care se poate întâmpla să se integreze mai uşor. Să considerăm, de exemplu, ecuaţia diferenţială liniară în care coeficienţii a k sunt polinoame în t a x (n) + a x (n ) + + a n x + a n x = f(t) (2.7) a k = α k t r + α k t r + + α k r t + α kr Ecuaţia (2.7) conţine în membrul stâng termeni de forma x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x, x, tx, t 2 x,.... x (n), tx (n), t 2 x (n), (2.8)

ME 2. Aplicaţii ale transformării Laplace 35 Presupunem că f(t) şi funcţia necunoscută x(t), împreună cu derivatele sale până la ordinul n inclusiv, sunt originale. Aplicând transformarea Laplace ecuaţiei (2.7), va trebui să calculăm imaginile funcţiilor (2.8). Pentru aceasta folosim egalităţile (.22) şi (.28). Avem Lx = X(p), L(tx) = X (p), L(t 2 x) = X (p), Lx = px(p) x(+), L(tx ) = [px(p)], L(t 2 x ) = [px(p)], Lx = p 2 X(p) [px(+) + x (+)], L(tx ) = [p 2 X(p)] + x(+), (2.9) dacă se aplică transformarea Laplace în ecuaţia (2.7) şi se folosesc relaţiile (2.9) se obţine ca ecuaţie operaţională tot o ecuaţie diferenţială liniară A X (r) + A X (r ) + + A r X = Φ(p). Ordinul acestei ecuaţii este cel mult r, unde r este cel mai mare dintre gradele polinoamelor a k. Coeficienţii A, A,, A r în număr uneori mai mic decˆt gradul ecuaţiei iniţiale, sunt polinoame în variabila p. Exerciţiul 2.3.. Să se determine soluţia ecuaţiei diferenţiale tx + x + x = care satisface condiţiile iniţiale x(+) = x, x (+) = x. Soluţie. Avem Obţinem ecuaţia operaţională a cărei soluţie generală este L(tx ) = p 2 X (p) 2 px(p) + x, Lx = px(p) x. p 2 X (p) + (p )X(p) = X(p) = C p e p, C fiind o constantă arbitrară. Observăm că, în conformitate cu Exerciţiul.5.3, originalul său este x(t) = CJ (2 t), unde J (τ) este funcţia lui Bessel de speţa întâia şi de ordinul zero J (τ) = ( ) k ( τ (k!) 2 2 k= Constanta C se determină folosind condiţiile iniţiale. Avem ) 2k. x(t) = C ( ) k tk (k!) 2, k= x (t) = C k= ( ) k ktk (k!) 2. Condiţiile iniţiale dau x(+) = C = x, x (+) = C = x. Rezultă că cele două condiţii iniţiale nu pot fi date arbitrar. Va trebui să avem x = x. Presupunând această condiţie îndeplinită, soluţia problemei este x(t) = x J (2 t). Faptul că cele două condiţii iniţiale nu pot fi independente se poate explica amintind că ecuaţia de tip Bessel de forma celei din enunţ are soluţia

36 Ion Crăciun Paul Valeriu Georgescu generală x(t) = A J (2 t) + B Y (2 t), unde Y (t) este funcţia lui Bessel de speţa a doua, cu proprietatea lim τ Y (τ) =. Pentru a fi îndeplinită ultima condiţie trebuie să luăm B =. Soluţia ecuaţiei, cu condiţii iniţiale date, se construieşte numai cu primul termen x(t) = A J (2 t) şi pentru determinarea constantei A este suficientă doar o condiţie iniţială. 2.4 Integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale Să considerăm ecuaţia liniară a 2 u x 2 + b u x + α 2 u t 2 + β u + γ u = ϕ(x, t), (2.) t unde a, b, α, β, γ sunt funcţii numai de x, continu e pe un interval [, l]. Se pune problema determinării soluţiei u(x, t) a acestei ecuaţii pentru care satisface condiţiile iniţiale şi condiţiile la limită u(x, ) = f(x), (x, t) [, l] (, ), u (x, ) = g(x); ( ) x [, l] (2.) t [ A u x + B u t ]x= + Cu [ u A x + B u ] t + C u x=l = h(t) = k(t) (2.2) unde A, B, C, A, B, C sunt constante, iar h(t) şi k(t) funcţii date. Vom presupune că h(t) şi k(t) sunt funcţii original. Fie H(p) şi K(p) imaginile lor. De asemenea, presupunem că ϕ(x, t) este un original în raport cu t şi notăm Φ(x, p) = Lϕ(x, t) = ϕ(x, t)e pt dt. În ipoteza că soluţia u(x, t) a problemei, precum şi derivatele sale parţiale de primele două ordine satisfac în raport cu t condiţiile impuse funcţiilor original oricare ar fi x [, l], putem aplica transformarea Laplace ecuaţiei (2.) şi condiţiilor (2.2). Deoarece a, b, c, α, β, γ nu depind de t, avem De asemenea, a L 2 u x 2 + b L u x + u αl 2 t 2 + βl u + γlu = Φ(x, p). (2.3) t [ AL u x + BL u t ]x= + CLu [ A L u x + B L u ] t + C Lu x=l = H(p) = K(p) pentru că integrarea în raport cu t şi înlocuirile x =, x = l sunt operaţii independente. Avem Lu(x, t) = u(x, t)e pt dt = U(x, p), L u u (x, t) = x x (x, t)e pt dt = du (x, p), dx (2.4)