Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel. 3. Raspusuri la problemele fiale. 5.. ŞIRURI DE FUNCŢII Fie (X, d) şi (Y, d) două spaţii metrice şi A X o submulţime oarecare a lui X. Dacă petru orice N s-au defiit fucţiile f: A Y atuci şirul ( f ) se umeşte şir de fucţii defiite pe A cu valori î spaţiul metric (Y, d). N Dacă fucţiile f, N sut defiite pe A R şi cu valori î R, spuem că avem u şir ( f ) de fucţii reale de o variabilă reală. N k Dacă fucţiile f, N sut defiite pe A R cu valori î R m, spuem că avem u şir de fucţii vectoriale de variabilă vectorială. Evidet, combiaţii ître cele două situaţii pot apare, cât şi altele oi. Se spue că şirul de fucţii ( ) puctul A, dacă şirul ( f ( ) ) (Y, d). Î cazul î care şirul ( f ( ) ) fucţii ( ) f, f : A X Y este coverget î N N N este u şir coverget î spaţiul metric este diverget se spue că şirul de f este diverget î puctul A N. Î acest mod, puctele di A se împart î două categorii: A c - mulţimea puctelor de covergeţă a şirului dat şi A d - mulţimea puctelor de divergeţă a şirului dat. Evidet, A A c A d şi A implică, cel puţi A c sau A d este evidă şi A c A d. Î aceste codiţii putem defii fucţia f : A c Y ( A c ), pri f( ) lim f ( ), umită limita şirului dat pe mulţimea de covergeţă A c.
6 Trascriid defiiţia covergeţei şirului ( f( ) ) către f () se deduce N următoarea defiiţie a covergeţei (simple) a şirului de fucţii ( f ) către N fucţia limită f. Defiiţia. Spuem că şirul de fucţii ( ) mulţimea A c, către fucţia f, f s f, f : A Y coverge simplu, pe N f dacă petru orice ε > eistă N A c N(ε, ) N, astfel îcât df ( ( ), f ( )) <ε petru orice umăr atural N. Este importat de observat că ragul N N(ε, ), î geeral, depide de puctul di mulţimea de covergeţă A c. Dacă N poate fi determiat umai î fucţie de ε >, adică ragul N este acelaşi petru toate puctele mulţimii A c atuci spuem că şirul ( f ) coverge uiform, pe mulţimea A, către fucţia f N s f Ac > f. Mai eact avem: Defiiţia. Spuem că şirul de fucţii f : A Y coverge uiform pe mulţimea A c, către fucţia f, dacă petru orice ε > eistă N N(ε) N asfel îcât ( f) df ( ), ( ) <ε, petru orice N(ε) şi orice A c. Observaţia. Dacă şirul de fucţii ( f ), f A Y N : este uiform coverget pe mulţimea A c către fucţia f, atuci şirul ( ) f N mulţimea A c, către fucţia f. Este posibil ca şirul ( ) f N coverge simplu, pe să fie uiform coverget către f umai pe o submulţime B A c şi să fie simplu coverget pe A c. Di puct de vedere geometric, vom ilustra covergeţa uiformă petru cazul uui şir de fucţii ( f ), f N :R R. Î acest caz graficul fucţiei f, petru N(ε), trebuie să fie situat î bada (f () - ε, f () + ε), petru orice di mulţimea de uiform covergeţă. Î cazul covergeţei simple (euiforme) pot eista pucte de pe graficul fucţiei f, cu oricât de mare, care să depăşească acestă badă.
6 Eemplul. Fie A [, ] şi f : A R, f ( ). y y f () + ε y f ( ) y f () y f () - ε O [, ) o petru Î acest caz lim f ( ) petru Dacă otăm f ( ) lim f ( ), avem f : [, ] R şi f () petru [, ) şi f (). Evidet, pe [, ] către fucţia f. Fie ε şi ( ) f s f [, ]. Vom arăta că ( f ) u coverge uiform N k k N u şir di (, ) astfel că lim k k Fie N N fiat, atuci petru orice N, fiat: lim f ( k) lim ( k ), deci eistă k N astfel îcât k k ( k ) 3 f ( k ) > 4. Astfel putem scrie că: 3 f ( k ) f( k ) k k > >, deci ( f ) 4 u coverge N uiform pe [, ] către fucţia f. Dacă cosiderăm orice subiterval de forma [α, β] [, ) atuci covergeţa uiformă a şirului ( f ) pe [α, β] către fucţia N ulă este imediată. Noţiuea de covergeţă uiformă a uui şir de fucţii ( ) f f A X Y N, :, pe o mulţime B A c este importată deoarece trasportă proprietăţile utile de cotiuitate, derivabilitate, itegrabilitate, de la fucţiile di şirul ( f ), N asupra fucţiei limită f. Î cazul geeral al spaţiilor metrice vom demostra trasportul cotiuităţii iar la celelalte proprietăţi e vom referi î paragrafele corespuzătoare studiului acestor proprietăţi..
6 Teorema. Dacă fucţiile f : A X Y, N sut cotiue pe mulţimea B A ( f C( B) ) şi şirul ( ) f N coverge uiform pe B către fucţia f : B Y, atuci fucţia f este cotiuă pe B. Demostraţie: Putem scrie iegalitatea: df ( ( ), fy ( )) df ( ( ), f( ) ) + df ( ( ), f( y) ) + df ( ( y), fy ( )). Fie ε > arbitrar, î baza uiform covergeţei şirului dat se poate găsi N N(ε) N astfel îcât df ( y fy) poate determia δ δ( ε, ) > ( ), ( ) < ε 3, iar î baza cotiuităţii fucţiei f se, astfel îcât df ( f y) ( ), ( ) < ε 3 dacă d (, y) < δ. Pri urmare se deduce că d(f (), f (y)) < ε de îdată ce d(, y) < δ, ceea ce arată că fucţia f lim f este cotiuă pe mulţimea B. Observaţia 3. Î cazul î care lim f f, f C( B), iar covergeţa este uiformă pe B, este valabil pricipiul de permutabilitate a limitelor: () lim lim f ( ) lim lim f ( ),, B, N. Dacă şirul de fucţii ( ) f ; f A X Y :, ia valori îtr-u spaţiu N metric (Y, d) complet, atuci referitor la covergeţa uiformă a şirului de fucţii ( f ) N pe o submulţime B A are loc criteriul lui Cauchy. Teorema. (Criteriul lui Cauchy). Şirul ( f ) este uiform coverget pe N B, către f, dacă şi umai dacă petru orice ε > eistă N N(ε) N astfel îcât df ( ( ), fm( ) ) <ε petru toţi, m N(ε) şi B. Eemplul. Fie şirul de fucţii ( f ), f N :[, ) R, f ( ) arctg ( ). Să se arate că şirul de fucţii dat este uiform coverget pe domeiul de defiiţie. Rezolvare: Vom utiliza criteriul lui Cauchy. Fie, p N şi [, +), atuci: f+ p( ) f( ) arctg( + p) arctg( ) p p arctg < arctg + ( + p) ( + p) p p < <. ( + p) ( + p) <
63 Impuâd <ε, rezultă că petru > + şi p N, f+ p( ) f( ) < ε ε petru orice [, +). Coform criteriului lui Cauchy şirul de fucţii dat este uiform coverget. Î rezolvare am ţiut seama de formula: arctg - arctg y arctg y, + y şi de faptul că petru [, +), arctg. Proprietăţi deosebit de importate ale şirurilor de fucţii uiform covergete defiite pe R sau submulţimi ale acesteia sut date de teoremele următoare: Teorema 3. Fie ( f ) u şir de fucţii defiite şi derivabile pe A R, coverget către f, pe mulţimea A. Dacă şirul ( f ) este uiform coverget către g pe mulţimea A, atuci f este derivabilă pe mulţimea A şi f g, adică lim f lim f. Teorema 4. Fie ( f ) u şir uiform coverget de fucţii cotiue pe [a, b] b cu valori reale şi fie f lim f. Atuci: lim b f ( ) d f ( ) d a, adică a b b lim f ( ) d lim ( ) a f a d. Se mai spue că itegrala comută cu limitele uiforme. Următoarea teoremă dă o reprezetare a fucţiilor cotiue defiite pe u segmet [a, b] ca limite uiforme de şiruri de polioame. Rezultatul este deosebit de importat atât teoretic cât şi practic. Teorema 5. (Stoe Weierstrass). Dacă f este o fucţie cotiuă pe [a, b] R, atuci eistă u şir de polioame P ( ), astfel ca: lim P ( ) f( ), covergeţa fiid uiformă pe [a, b]. Defiiţi covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă petru şiruri de fucţii. Daţi eemple. Euţaţi coservarea proprietăţilor de cotiuitate, derivabilitate, itegrabilitate de la termeii uui şir de fucţii uiform coverget la fucţia limită.
64 5.. SERII DE FUNCŢII Î cazul câd u şir de fucţii ( f ) ia valori îtr-u spaţiu vectorial ormat, şi deci se poate defii suma fucţiilor di acest şir se poate costrui seria de fucţii: () f( ) + f( ) +... + f( ) +... f( ). Putem aplica seriilor de fucţii atât cosideraţiile făcute asupra seriilor de umere, deoarece petru fiecare puct al domeiului de defiiţie ea devie o serie umerică, cât şi cosideraţiile făcute asupra şirurilor de fucţii, deoarece sumele parţiale S( ) fk( ) formează u şir de fucţii. k Dacă seria fk ( ) este covergetă, spuem că este u puct de k covergeţă al seriei date ( ) puctelor de covergeţă A c şirul sumelor parţiale ( S ) N A c. Dacă, pe o submulţime B a mulţimii simplu sau este uiform coverget spuem că seria f este coverget este simplu covergetă, respectiv este uiform covergetă pe mulţimea B. Afirmaţiile Teoremelor şi de la şiruri de fucţii rămâ adevărate, î aceleaşi codiţii, şi î cazul seriilor de fucţii. Vom prezeta ca o coseciţă imediată a criteriului lui Cauchy următorul rezultat cuoscut sub umele de Criteriul lui Weierstrass de covergeţă uiformă a seriilor de fucţii care, de fapt, este o etesie a criteriului comparaţiei de la seriile umerice. Teorema. (Criteriul lui Weierstrass) Dacă eistă o serie umerică a termei pozitivi, covergetă, iar: () f( ) Ma, B, N, M fiid u umăr real eegativ idepedet de şi, atuci seria de fucţii f ( ) este uiform covergetă pe mulţimea B. Aplicaţia. Să se arate că seria sumă a sa este cotiuă pe R., cu si coverge uiform pe R şi că fucţia 4
65 Rezolvare: Se va arăta că seria este uiform covergetă pe R, folosid criteriul lui Weierstrass. Avem si petru orice R şi. Deoarece seria 4 4 este covergetă, fiid o serie armoică geeralizată cu termeul geeral 4 α cu α 4 >, rezultă că seria dată este uiform covergetă pe R. Termeii si seriei f ( ) 4 fucţie cotiuă. Aplicaţia. Să se arate că seria de fucţii fiid fucţii cotiue rezultă că şi fucţia sumă este o cosk kk ( ) k + este uiform covergetă şi limita sa este fucţie cotiuă pe R. Rezolvare: Se foloseşte criteriul geeral de uiform covergeţă a lui Cauchy. Fie, p N, R şi S ( ) şirul sumelor parţiale al seriei date. Atuci: S ( ) S ( ) + p + p + p + p k + k + + p kk+ k k + + ( ) + p+ < + k + k + Fie acum ε >, impuâd + cosk cosk kk ( + ) kk ( + ) <ε rezultă că petru ( ε) ε ε +, S+ p( ) S( ) < ε petru orice (ε) şi R. Coform criteriului lui Cauchy, seria dată coverge uiform, fucţiile fk ( ) fucţia sumă este de asemeea cotiuă. cosk kk ( + ) fiid cotiue, Defiiţi covergeţa puctuală şi uiformă petru serii de fucţii. Daţi eemple. Euţaţi criterii de covergeţă uiformă petru serii de fucţii. Euţaţi coservarea proprietăţilor de cotiuitate, derivabilitate itegrabilitate de la termeii uei serii de fucţii uiform coverget la fucţia sumă.
66 5.3. SERII DE PUTERI O clasă importată de serii de fucţii o costituie seriile de puteri, umite şi serii îtregi. Sumele parţiale ale acestor serii sut polioame, adică fucţii reale de cea mai simplă formă, ceea ce facilitează proprietăţi deosebit de avatajoase aplicaţiilor acestor serii. Seriile de puteri permit defiiţia riguroasă a fucţiilor elemetare. Multe di defiiţiile ce vor fi date pot fi etise uşor la cazul comple, vom prezeta totuşi cazul seriilor de puteri reale cosiderâd mulţimea R mai apropiată de cadrul geeral al prezetării acestui curs. Defiiţia. Fie ( a ) u şir de umere reale. Se umeşte serie de puteri avâd coeficieţii a,, seria de fucţii: 4 () a a + a + a +..., ude fucţiile f a ( ),, sut cosiderate ca fiid defiite pe R cu valori î R. Petru fiat di () se va obţie o serie umerică. Despre seria () se spue că este cetrată î puctul. Dacă î () îlocuim fucţiile f cu g, g( ) a( ),, obţiem o serie de puteri de forma: () a ( ) a + a( ) + a( ) +..., despre care spuem că este cetrată î puctul. Este evidet că pritr-o traslaţie de forma y di () se obţie o serie cetrată î origie, astfel că, teoria geerală a seriilor de puteri poate fi restrâsă la cazul seriilor de puteri cetrate î origie. Să otăm cu C mulţimea puctelor R î care seria de puteri () este covergetă. Observăm imediat că C, deci oricare ar fi şirul coeficieţilor seriei (), ( a ), mulţimea de covergeţă C, ceea ce u se îtâmplă î cazul geeral al seriilor de fucţii. Eistă serii petru care C {}, cum este cazul următor: Aplicaţia. Fie seria de puteri. Cum am observat mai sus {} C. Fie, atuci eistă N astfel ca >, de aici avem >, deci petru fiat, seria umerică are
67 şirul termeilor ( ) ce u coverge la, adică este o serie umerică divergetă. Aceasta arată că C, adică C {}. Deasemeea eistă serii de puteri petru care mulţimea de covergeţă este îtreaga dreaptă reală. Aplicaţia. Fie seria de puteri! aplicăm criteriul raportului seriei umerice. Am văzut că {} C. Fie. Să!. Notăm U!. U + +! lim lim lim U ( + )! + <, ce arată că seria este absolut covergetă, deci C. Am obţiut astfel că C R. Mai multe iformaţii asupra mulţimii de covergeţă a uei serii de puteri obţiem pri următorul rezultat: Teorema. (Teorema lui Abel). Fie o serie de puteri a şi R, u puct di mulţimea de covergeţă C a seriei date. Atuci: a) seria umerică a este absolut covergetă petru orice ( ), ; b) petru orice umăr real r, < r < seria de puteri a este uiform covergetă pe itervalul [-r, r]. Demostraţie: a) Deoarece seria umerică a este covergetă rezultă că şirul termeilor seriei ( a ) este coverget la şi deci este mărgiit, adică eistă M > astfel îcât a M, petru orice. Fie R astfel îcât <, atuci avem: () a a M,
68 cum <, seria geometrică M este covergetă. Aplicâd primul criteriu al comparaţiei rezultă că seria a este covergetă, deci seria a este absolut covergetă. Di cele de mai sus deducem că mulţimea de covergeţă a seriei date C coţie itervalul ( ), şi dacă seria dată este divergetă petru R,, atuci orice puct R cu > este puct de divergeţă a seriei date. b) Notăm f( ) a,. Di a M M rezultă a, petru orice [-r, r], avem f a a r M r ( ),. Aplicâd criteriul lui Weierstrass ( 5.. Teorema.) rezultă că seria de fucţii f ( ) este uiform covergetă pe [-r, r]. Defiiţia. Fie a o serie de puteri şi fie C mulţimea puctelor de k covergeţă a seriei date. Numărul R sup C, R [, ], se umeşte rază de covergeţă a seriei date. Di cele stabilite mai sus rezultă că are loc următorul rezultat ce pue î evideţă importaţa razei de covergeţă R, î studiul seriilor de puteri: Teorema. Cu otaţiile de mai sus avem: a) dacă R, atuci seria a coverge puctual umai î ; b) dacă R +, atuci seria umerică a orice R, iar seria de fucţii a iterval [-r, r], r > ; c) dacă < R <, atuci seria umerică a este absolut covergetă petru este uiform covergetă pe orice petru orice puct (-R, R) şi este divergetă petru orice este absolut covergetă (-, -R)
69 (R, +), iar seria de fucţii a este uiform covergetă pe orice iterval [-r, r], < r < R. Observaţia. Petru puctele ± R teorema u precizează dacă seria este covergetă sau u. Petru calculul razei de covergeţă a uei serii de puteri este util următorul rezultat: Teorema 3. Fie a a a) dacă limita l lim a + a o serie de puteri, cu raza de covergeţă R. Atuci: eistă, atuci R l ; b) dacă limita l lim a eistă, atuci R l, cu coveţiile şi. Demostraţie: Aplicăm criteriul raportului petru seria cu termei pozitivi a + a+ a +. Calculăm lim lim. Petru ca seria să a a l fie covergetă se impue <, de ude rezultă < l l. Trecâd la supremum rezultă Rl. Petru a demostra afirmaţia b) se aplică criteriul rădăciii. Defiiţi raza de covergeţă petru serii de puteri. Euţaţi criterii petru determiarea razei de covergeţă a seriilor de puteri.euţaţi Teorema lui Abel petru serii de puteri.
7 Probleme fiale :. Fie f : R R f () +, N. Se cere: a) Să se determie mulţimea de covergeţă C şi fucţia limită a şirului(f ) N. b) Să se arate că (f ) N u coverge uiform pe mulţimea C şi să se determie mulţimea de covergeţă uiformă a sa., [, ]. Fie f : [,] R, f (), [, ] Să se arate că, [,] (f ) N coverge simplu, dar u coverge uiform pe [,]. 3. Fie f : [,) R f (),. Să se arate că (f ) N coverge uiform pe [,). e 4. Fie şirul de fucţii defiit la Eerciţiul. Să se arate că lim f ( ) d lim f ( ) d. 5. Să se arate că seria sumă este derivabilă pe R. si 4 coverge uiform pe R şi că fucţia 6. Să se determie raza de covergeţă şi itervalul de covergeţă petru seriile de puteri: a) a, a R, R. b) ( + ) + c) l( + a ) a >. 7. Să se determie itervalul de covergeţă şi fucţia sumă petru fiecare di următoarele serii de puteri di R: a) ( + ) b) c) + ( ). ( + )