Drui Njunov zakon Proizvod između mase maerijalne ačke m i vekora njeno ubrzanja a r jednak je vekorskoj r sumi svih sila F r i r koje dejsvuju na ačku: m a F. Drui Njunov zakon je vekorski zakon ali oovo uvek, on će bii projekovan na neke međusobno upravne pravce kako bi se izvršila neka izračunavanja. Veoma česo su i pravci, na koje se projekuje drui Njunov zakon, ose nepokreno pravoulo Dekarovo koordinano sisema (Sl.1). i Za kružno kreanje, drui Njunov zakon se projekuje na anenu i normalu prirodno koordinano sisema (Sl.). Sile F r i su bukvalno sve sile koje dejsvuju na maerijalnu ačku, bilo da su one akivne ili reakcije veza.
S obzirom da je u Dekarovom koordinanom sisemu (kod ravanskih problema) r r r r r r vekor ubrzanja ačke a && xi && yj a vekor proizvoljne i-e sile Fi X ii Yi j, r r projekcije druo Njunovo zakona m a Fi na kordinane ose su: m & x X, m & y Y. i i Ovakvi izrazi su skalarni (iz razloa šo su projekcije vekora na ose skalari) i veoma česo će se vršii njihovo ineraljenje. U akvim slučajevima se projekcije druo Njunovo zakona nazivaju i diferencijalnim jednačinama kreanja. To su diferencijalne jednačine druo reda, pošo su drui izvodi najviši izvodi koji u njima fiurišu. S obzirom da je kod ravanskih problema u prirodnom koordinanom sisemu vekor ubrzanja ačke a at ann r r r r r a vekor proizvoljne i-e sile r Fi FiT FiN n, r r projekcije druo Njunovo zakona m a Fi na kordinane ose su: m a T F, m a N F. it in Ovde je iz kinemaike porebno znai da se anencijalno ubrzanje a T dobija na osnovu druo izvoda lučne koordinae s po vremenu, odnosno, prvo izvoda brzine po vremenu, a normalno ubrzanje a N, jednako je količniku kvadraa brzine ačke i poluprečnika krua, j: V s& at & s ± V&, an.
Takođe je česo važno da se zna da je veza između poluprečnika, ula u radijanima ϕ i dužine kružno luka s, nad im ulom, određena izrazom s ϕ. Prvi zadaak dinamike ačke. Primer. U prvom zadaku dinamike ačke poznao je kreanje, samim im i ubrzanje (čije se projekcije dobijaju raženjem izvoda od koordinaa) a porebno je da se odredi sila (ovde se podrazumeva da samo jedna sila dejsvuje na maerijalnu ačku mase m) koja prouzrokuje zadao kreanje. U akvom slučaju projekcije vekorsko druo Njunovo zakona na kordinane ose imaju oblik: m & x X, m & y Y, de su X i Y projekcije ražene sile koje u popunosi određuju u silu. Primer 4.1 Kreanje maerijalne ačke mase m 1 k, pod dejsvom sile F r ( ), definisano je jednačinama: x( ) sin, y( ) cos. Odredii silu F r ( )? Prvi izvodi jednačina kreanja (projekcije brzine) su: x& ( ) cos, y& ( ) cos sin. Konačno je: Prvi izvodi projekcija brzine (projekcije ubrzanja) su: X ( ) ( sin 1 ), && x( ) sin, & y ( ) 4sin cos. Y sin cos r r r r F X i Y ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) r sin 1 i sin cos j ( ) ( ).
Drui zadaak dinamike ačke. Ineracija diferencijalne jednačine kreanja i određivanje reakcije veze za vezano kreanje maerijalne ačke. Ovde od sila, koja dejsvuje na ačku pri njenom kreanju. ima i je reacija veza. U ovakvom slučaju druo zadaka dinamike ačke kreanje reba odredii na osnovu one projekcije druo Njunovo zakona koja predsavlja diferencijalnu jednačinu kreanja. U primeru pravolinijsko vezano kreanja (Sl.1), de je osa x usvojena u pravcu kreanja projekcija druo Njunovo zakona na x osu dala bi diferencijalnu jednačinu kreanja,čijim bi se rešavanjem odredilo kreanje x( ), dok bi njeova projekcija na y osu dala alebarsku jednačinu iz koje se može odredii reakcija veze. Slično ome, u primeru kružno vezano kreanja (Sl.), projekcija druo Njunovo zakona na pravac anene dao bi diferencijalnu jednačinu kreanja, čijim bi se rešavanjem odredilo kreanje s( ), dok bi njeova projekcija na pravac normale dala alebarsku jednačinu iz koje se može odredii reakcija veze.
Primer 4. Neka se maerijalna ačka mase m kreće u desnu sranu po horizonalnoj hrapavoj podlozi pod dejsvom horizinalne, desno usmerene, sile F r, inenziea F b c de su b i c poznae poziivne konsane. Koeficijen dinamičko renja klizanja je µ. Kreanje se, kao na slici 1 (prehodni slajd), odvija duž x ose. Tačka je započela kreanje iz koordidano počeka bez počene brzine Odredii: reakciju podloe u pravcu normale, diferencijalnu jednačunu kreanja, zakon brzine x& ( ) i zakon pua x( ). Na slici je prikazan sisem sila koji dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju. r r r r r Drui Njunov zakon: ma F m N T. Počeni uslovi: x& x ( ), ( ). Njeova projekcija na osu y: m N N m T µ m. Njeova projekcija na osu x daje diferencijalnu jednačinu kreanja: m && x µ m b c. dx& m µ m b c m dx ( m b c )d d & µ 3 m x& µ m b c C1. Konsana 1, zbo 3 C x& ( ).
b x &( ) µ m c m 3 3 3 3 4 b c b c dx µ d x µ C m m 3 m 6 m1 3 4 b c Konsana C, zbo x ( ). x ( ) µ. m 6 m1 Primer 4.3 Neka se maerijalna ačka mase m kreće po lakoj cilindričnoj povr-šini poluprečnika, kao na slici, u homoenom polju sile Zemljine eže. Tačka je započela kreanje iz najniže položaja sa počenom brzinom inenziea Uvesi uaonu koordinau ϕ za koju važi ϕ s i na osnovu druo Njunovo zakona odredii: -diferencijlnu jednačinu kreanja po ϕ, -zavisnos ϕ& ( ϕ), a samim im i V ( ϕ). -reakciju veze u funkciji ula ϕ. Na slici prikazan je sisem sila koji dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju. Ovde je: V ϕ& V s& ϕ, & a T & s ϕ&, a N ϕ&. V.
r r r Drui Njunov zakon daje ma m N. Njeova projekcija na pravac anene daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja dϕ& mϕ && m sin ϕ sin ϕ. d Jedan počeni uslov, dobijen iz činjenice da je ačka započela kreanje iz najniže položaja, je s ϕ ϕ ( ) ( ) ( ). Drui počeni uslov, dobijen iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom s & ϕ& V ϕ& V V brzinom, je ( ) ( ) ( ). ϕ& ( ϕ) V ( ϕ) Za dobijanje zavisnosi, a zaim i, reba prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai na oblik dϕ& dϕ& dϕ dϕ& ϕ, & d dϕ d dϕ čime, nakon razdvajanja promenljivih, diferencijalna jednačina posaje ϕ& d& ϕ sin ϕdϕ. V Sledi ineracija, s obzirom da je za ϕ : ϕ&
V C C V C d d ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos 1 cos sin & & &, cos V ϕ ϕ & ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ cos 1 V & ( ) ( ) ( ). cos 1 ϕ ϕ ϕ ϕ V V & Projekcija druo Njunovo zakona na pravac normale daje sledeću jednačinu, cos ϕ ϕ m N m& na osnovu koje se dalje dobija reakcija veze N u funkciji ula ϕ. cos 3 m mv m N ϕ
Primer 4.4 Neka se maerijalna ačka mase m kreće niz laku srmu ravan naibno ula α pod dejsvom sile Zemljine eže. Tačka je započela kreanje iz koordidano počeka sa počenom brzinom inenziea V. Odredii: zakon brzine x& ( ), zakon pua x( ) i zavisnos brzine od pua x& ( x). ( ) Počeni uslov x dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje iz koordinano počeka. Drui Njunov zakon za kreanje maerijalne ačke: r r r ma m N. Njeova projekcija na osu y, s obzirom da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje m cosα N N m cosα. Njeova projekcija na osu x daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja d& x m& & x m sin α sin α. d Počeni uslov x &( ) V dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom brzinom. V
Prva i drua ineracija diferencijalne jednačine kreanja, s obzirom na počene uslove, daće zakon brzine x& ( ) i zakon pua x( ) : d x& sin α d dx& sin α d x& sin α C1 Konsana 1 V, zbo C x& ( ) V ( ) sin α V x & dx Konsana C, zbo ( ) x x( ) sin α V ( sin α V ) d dx ( sin α V ) d x sin α V C Zavisnos brzine od pua x& ( x) može bii dobijena na dva načina. Jedan je eliminacija vremena iz Prema druom, reba prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai na oblik dobijenih zakona x& ( ) i x( ). x& V dx& dx& dx dx& x& ( ) sin α V x& x& dx& sin αdx sin α d dx d dx sin α x& V x& V x & x V x & dx & sin α dx sin α x C sin α sin α C V jer je x & V za x x& V x, x& V sin α x x& V sin α sin α x x& ( x)
Primer 4.5 Neka se maerijalna ačka mase m kreće uz hrapavu srmu ravan naibno ula α.tačka je započela kreanje iz koordidano počeka sa počenom brzinom inenziea V. Koeficijen dinamičko renja klizanja je µ. Odredii: zakon brzine x& ( ), zakon pua x( ), zavisnos brzine od pua x& x i zausavni pu S. ( ) Drui Njunov zakon za kreanje maerijalne ačke: r r r r ma m N T. Njeova projekcija na osu y, s obzirom da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje m cosα N N m cosα T µ N µ m cosα. Z Njeova projekcija na osu x daje sledeću diferencijalnu jednačinu kreanja dx m& & x m sin α µ m cosα & B, d de je B sin α µ cosα poznaa konsana. ( )
( ) Počeni uslov x dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje iz koordinano počeka. ( ) Počeni uslov x & V dobijen je iz činjenice da je ačka započela kreanje počenom brzinom. Prva i drua ineracija diferencijalne jednačine kreanja, s obzirom na počene uslove, daće zakon brzine i zakon pua x : x& ( ) ( ) d x& Bd dx& B d x& B Konsana, zbo C 1 C 1 V x& ( ) V x &( ) B V V ( ) ( sin α µ cosα) Vo x & dx ( B V ) d dx ( B V ) d x B V C Konsana C, zbo x ( ) x( ) B V Zavisnos brzine od pua x& ( x) odredimo na način šo ćemo prvo levu sranu diferencijalne jednačine ransformisai, pa razdvojii promenljive dx& dx& dx dx& x& x& dx& Bdx, d dx d dx x& i nakon oa ineraljenjem dobii rešenje: x & dx& B dx Bx C x& V C V jer je x & V za x Bx x& V Bx.
Zausavni pu jednak je x koordinai kada je brzina x& V Bx B S z V, x& jednaka nuli. Pošo je V V zausavni pu će bii S B ( sin α µ cosα). z Drui zadaak dinamike ačke. Ineracija diferencijalnih jednačina kreanja za slobodno kreanje maerijalne ačke. U ovakvom slučaju druo zadaka dinamike ačke, sile koje dejsvuju na ačku su poznae a kreanje se određuje na osnovu projekcija druo Njunovo zakona. Obe njeove projekcije (i na x, i na y, osu) su diferencijalne jednačine kreanja. Da bi se dobile jednačine kreanja, svaka od diferencijalnih jednačina kreanja se po dva pua inerali, a čeiri ineracione konsane se određuju iz počenih uslova. Počeni uslovi se iču počeno položaja i počene brzine, j. sledećih veličina: x ( ), y( ), x& ( ), y& ( ). Primer 4.6 Neka na maerijalnu ačku mase m k, koja se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže, osim sile ežine m r r r r, dejsvuje i zadaa sila F( ) 1 i sin j. r r r Tačka je započela kreanje iz ačke ( 1,) sa počenom brzinom V 3 i 1 j A ( ).
Odredii projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), kao i jednačine kreanja x ( ) i y( )? Počeni uslovi: A ( 1,) x ( ) 1, y( ). r r r V Drui Njunov zakon: r r r ma m F r r r r & x i && y j j 1 i sin ( ) 3 i 1 j x& ( ) 3, y& ( ) 1. ( ) j Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na x osu: dx & x 6 & 6 d x& 6d dx& 6 d x& 3 C1 d Konsana C 3 1, zbo x& ( ) 3 x& ( ) 3 3 r 3 ( 3 3) d dx ( 3 3) d x 3 C dx Konsana C x ( ) 1 3 x( ) 3 1 1, zbo
Projekcija na y osu: dy & y sin & sin dy& ( sin ) d dy ( )d d & sin y & cos C. 3 Konsana C, zbo y& ( ) 1 y & cos. dy y y( ) sin. 3 ( cos) d dy ( cos) d y sin C4 Konsana C, zbo ( ) 4 Kosi hiac u bezvazdušnom prosoru. Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz koordinano počeka sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi a čiji vekor V r V ( ) sa horozonalnom x osom radi uao α. Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x ( ) i y( ), dome L i maksimalnu visinu H koju ačka dosiže? Počeni uslovi: x( ), zbo počeno položaja y( ), zbo počene x& ( ) V cosα, brzine y& ( ) V sin α.
Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r. Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: & y& Konsana dy& d 1 V sinα, zbo d y& d dy& d y& C y& ( ) V sin α y& ( ) sin α dy Konsana C, zbo ( ) y y( ) V sin α ( V sin α) d dy ( V sin α) d y V sin α C Projekcija na x osu: m& & y m dx& m && x && x x& C d Konsana C cosα, zbo x& ( ) V cosα 3 V x& V cosα V 3 C 1
dx d V cosα Konsana dx V α C, zbo 4 Određivanje domea L: Kada se hiac završi cosα d dx V cosα d x V cos C x ( ) x( ) V cosα ( C ) V α C C L x cos Trenuak vremena C određuje se iz uslova da je y( C ). Na osnovu ovo uslova i y( ) V sin α dobija se sledeća nepopuna kvadrana jednačina po C : C V sin α C V sin α C V sin α C C V sin α V L V cos α sin α B H y( B ) V sin α B Određivanje maksimalne visine H: V sin α Zbo y& ( B ) B V sin α B V sin α Konačno je H 4
( ) Primer 4.7 Na osnovu izraza za visinu H V sin α odredii za koji uao αće pri kosom hicu visina H bii najveća i koliko ona iznosi? Veličina H je najveća za α 9 i iznosi H V, jer za α 9, ima svoju najveću vrednos koja iznosi 1. ( ) sin Primer 4.8 Na osnovu izraza za dome L V sin α, odredii za koji uao α je, pri kosom hicu, dome L najveći i koliko on iznosi? Veličina L je najveća za α 45 i iznosi L V, jer za α 45, sinα ima svoju najveću vrednos koja iznosi 1. Primer 4.9 Na osnovu izraza za dome L V sin α dokazai da je dome za uao α 45 o ϕ isi kao i za uao α 45 o - ϕ. Takođe naći izraze za maksimalne visine H u oba slučaja? V V o L sin α sin 9 ϕ V o o V ( sin 9 cosϕ cos9 sin ϕ) cos, ϕ V V o L sin α sin 9 ϕ V o o V ( sin9 cosϕ cos9 sin ϕ) cos. ϕ Dome za uao α 45 o ϕ iznosi ( ) i isi je kao i dome za α 45 o - ϕ: ( ) α
Maksimalna visina H ( H V sin α ( ) ), za uao α 45 o ϕ iznosi V H ( 1 sin ϕ), 4 dok je za α 45 o - ϕ, V H ( 1 sin ϕ), pošo je 4 1 cos ( ) ( 45 ± ϕ) 1 cos( 9 ± ϕ) 1 ( m sin ϕ) 1± sin ϕ sin 45 ± ϕ. Primer 4.1 Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz ačke O sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi V a čiji vekor V r ( ) sa horozonalnom x osom radi uao α (Sl.1). Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Za zada koordinani sisem odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x( ) i y( ) i dome L? Konsanne veličine: m, h, α, i smarai poznaim. V
Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r (Sl.). x Počeni uslovi: ( ), zbo počeno položaja y( ), x& ( ) V cosα, zbo počene brzine Drui Njunov zakon: r r ma m y& ( ) V sin α. Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: & y& Konsana m& & y m d y& d y& d dy d y d & & sinα, zbo 1 V V sin α y& V sin C y& ( ) ( ) α dy Konsana C, zbo y( ) y( ) V sin α ( V sin α) d dy ( V sin α) d y V sin α C C 1
dx& Projekcija na x osu: m && x && x x& C3 d Konsana C cosα, zbo x& ( ) V cosα dx d V cosα Konsana 3 V x& V cosα cosα d dx V cosα d x V cos dx V α C, zbo 4 Određivanje domea L: C x ( ) x( ) V cosα Kada se hiac završi C L x( C ) V cosα C C y( C ) h y( ) V sin α Trenuak vremena određuje se iz uslova da je. Na osnovu ovo uslova i dobija se sledeća kvadrana jednačina po : C V sin α h C V sin α V sin α h C L V cosα V sin α h V sin α C 4
Primer 4.11 Maerijalna ačka mase m započela je kreanje iz ačke O sa počenom brzinom čiji inenzie iznosi V a čiji je vekor V r ( ) horozonalan (Sl.1). Ovakav hiac nosi naziv horizonalni hiac. Tačka se kreće u verikalnoj ravni homoeno polja sile Zemljine eže a sila opora vazduha se zanemaruje. Za zada koordinani sisem odredii: projekcije brzine u funkciji vremena x& ( ) i y& ( ), jednačine kreanja x ( ) i y( ) i dome L? Konsanne veličine: m, h, α, i V smarai poznaim. Jedina sila koja dejsvuje na maerijalnu ačku pri njenom kreanju je m r (Sl.). Počeni uslovi: x( ), zbo počene x &( ) V, zbo počeno položaja y ( ) h, brzine y& ( ). r r Drui Njunov zakon: ma m Projekcije druo Njunovo zakona i ineracije: Projekcija na y osu: dy& m& & y m & y& d y& d dy d y d & & Konsana C 1, zbo y& ( ) y& ( ) dy d C 1
dy d y C Konsana C h, zbo y h y ( ) h. Projekcija na x osu: ( ) dx& m && x && x x& C3 d dx Konsana C 3 V, zbo x &( ) V x & V V d dx V d dx V d x V C4 Konsana, zbo 4 Određivanje domea L: Kada se hiac završi C C x ( ) x( ) V Trenuak vremena određuje se iz uslova da je y : y C ( ) h C ( ) C ( C ) V C L x h C L V C h.