Pozitivna poluperioda Negativna poluperioda. Period. Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama

Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i naponi čije se karakteristične veličine periodično mjenjaju po sinusoidalnom zakonu Električni ureñaji koji imaju veliku upotrebu onih koji proizvode ili pretvaraju naizmjeničnu električnu energiju (generatori, elektromotori, transformatori i dr.) Pozitivna poluperioda Negativna poluperioda Period

Generisanje naizmjeničnog napona I slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na 0 linije magnetnog polja tj. ( B, v ) = 0 Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je: e = l B v = B l v sin B, v ( ) ( ) Za ( B, v ) = 0 ( o ) e = B l v sin 0 = 0V 0 v B

Generisanje naizmjeničnog napona II slučaj: namotaj u obliku rama horizontalno postavljen u odnosu na 0 linije magnetnog polja tj. ( B, v ) = 90 Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je: e = l B v = B l v sin B, v Za ( B, v ) = 90 ( ) ( ) ( ) e = B l v sin 90 o = V 0 m

Generisanje naizmjeničnog napona III slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na 0 linije magnetnog polja tj. ( B, v ) = 180 Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je: e = l B v = B l v sin B, v Za ( B, v ) = 180 ( ) ( ) ( o ) e = B l v sin 180 = 0V 0 B v

Generisanje naizmjeničnog napona IV slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na 0 linije magnetnog polja tj. ( B, v ) = 270 Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je: e = l B v = B l v sin B, v ( ) ( ) Za ( B, v ) = 270 ( ) e = B l v sin 270 o = V 0 m v

Generisanje naizmjeničnog napona V slučaj: namotaj u obliku rama ponovo vertikalno postavljen u 0 odnosu na linije magnetnog polja tj. ( B, v ) = 360 Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je: e = l B v = B l v sin B, v ( ) ( ) Za ( B, v ) = 360 ( o ) e = B l v sin 0 = 0V 0 v B

Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama Vrijeme za koje prostoperiodična veličina napravi jednu potpunu promjenu (oscilaciju) naziva se period (T) Broj potpunih promjena perioda (T) u jednoj sekundi predstavlja frekvenciju (f) naizmjenične veličine 1 f 1Hz Herc T 1 1 f = [ ] T = [ s ]

Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama Sinusoidalna prostoperiodična veličina u svakoj poluperiodi ima jednu trenutnu vrijednost koja je veća/manja od svih ostalih. Ta najveća/najmanja trenutna vrijednost se naziva maksimalna/minimalna vrijednost ili amplituda Obično se označava sa U m ili I m u(t) U m U pp -U m

Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina Za izražavanje trenutne vrijednosti naizmjeničnih valičina koristi se trenutna vrijednost ugla α izmeñu obodne brzine rama v i magnetne indukcije B

Primjer: Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina

Ugaona brzina ω Naizmjenične veličine često se predstavljaju preko ugaone brzine obrtanja ω [rad/s] navoja u obliku rama Izmeñu ugaone brzine i ugla zakretanja važi jednakost: α = ω t ω = α t t = α ω Veza izmeñu radija i stepeni je: 2 π = 360 O α rad π = α O 180 stepeni ω α stepeni 180 O = α π radijana

Ugaona brzina ω, period T i frekvencija f Prostoperiodična sunusoidalna veličina za jednu punu oscilaciju (period T) prebriše ugao od 2π ω T = 2 π ω = 2 π T Zamjenom T = 1 f dobija se veza izmeñu ugaone brzine i frekvencije ω = 2 π ω = 2 π f f

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu Zamjenom α = ωt umjesto u uganom naizmjenične veličine se mogu predstaviti u vremenskom domenu: m sin ( ω ) u = U t m sin ( ω ) i = I t m sin ( ω ) e = E t

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu Veza izmeñu ugaonog i vremenskog domena

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu Primjer:

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu Primjer: Primjer:

Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu Primjer:

Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena Ponekad je potrebno da za unaprijed poznatu trenutnu vrijednost naizmjenične veličine odrediti ugao/vrijeme koje odgovara toj trenutnoj vrijednosti Iz u u = U sin ( ) dobija se: m α α = arcsin Um Iz u u = U sin ( ) dobija se: m ωt ωt = arcsin Um t 1 u = arcsin ω Um

Primjer: Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena

Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama Ako prostoperiodična sinusna veličina ne prolazi kroz nulu u trenutku t=0 s, onda kažemo da je fazno pomjerena Ako prostoperiodična sinusna veličina u trenutku t=0 s ima pozitivnu vrijednost kažemo da fazno prednjači, a ako ima negativnu vrijednost onda kažemo da fazno zaostaje Fazno prednjačenje Fazno kašnjenje = sin ( ω + ) ( ) m v V t θ m v = V sin ωt θ

Primjer: Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama

Zadaća: Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina Fazor je obrtni vektor koji rotira ugaonom brzinom ω i čija projekcija na vertikalnu (y) osu predstavlja trenutnu vrijednost naizmjenične veličine Dužina vektora (fazora) odgovara maksimalnoj vrijednosti posmatrane naizmjenične veličine Fazori se koriste samo za prezentaciju sinusoidalnih veličina

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina I slučaj: Obtranje fazora u prvom kvadrantu Predpostavimo da je: u ( ) [ ] 0 α V α = 100sin, 0 90

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina II slučaj: Obtranje fazora u drugom kvadrantu Predpostavimo da je: u ( ) [ ] 0 0 α V α = 100sin, 90 180

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina III slučaj: Obtranje fazora u trećem kvadrantu Predpostavimo da je: u ( ) [ ] 0 0 α V α = 100sin, 180 270

Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina IV slučaj: Obtranje fazora u četvrtom kvadrantu Predpostavimo da je: u ( ) [ ] 0 0 α V α = 100sin, 270 360

Primjer: Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina

Fazori- početni faza i fazna razlika Početni položaj fazora odreñuje početnu fazu naizmjenične veličine i = I t + m sin ( ω θ ) m sin ( ω θ ) i = I t

Primjer: Fazori- početni faza i fazna razlika

Fazori- početni faza i fazna razlika Za dvije ili više naizmjeničnih valičina kažemo da su u fazi ako njihovi fazori imaju isti fazni stav ( ω ) ( ω ) i = I sin t m u = U sin t m

Fazori- početni faza i fazna razlika Kažemo da jedna naizmjenična veličina prednjači u odnosu na drugu ako fazor jedne naizmjenične veličine ima veći fazni stav u odnosu na fazor druge ( ω θ ) ( ω ) i = I sin t + m u = U sin t m

Fazori- početni faza i fazna razlika Kažemo da jedna naizmjenična veličina kasni u odnosu na drugu ako fazor jedne naizmjenične veličine ima manji fazni stav u odnosu na fazor drugu ( ω θ ) ( ω ) i = I sin t m u = U sin t m

Fazori- početni faza i fazna razlika Ponekad se naizmjenični naponi i struje izražavaju preko cos(ωt) umjesto sin(ωt) Veza izmeñu cos(ωt) i sin(ωt) je: ( ) ( O ωt + θ = ωt + + θ ) cos sin 90 ( ) ( O ωt + θ = ωt + θ ) sin sin 90

Srednja vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine Zbog simetričnosti sinusne funkcije njena srednja vrijednost na periodu T=2π jednaka je nuli Zato se srednja vrijednost definiše na poluperiodi T/2=π Srednja vrijednost jednaka je površini koju kriva zaklapa sa x osom podjeljena sa poluperiodom T/2=π T 0 2 1 Isr = Im sin ( α ) dα T 2 π 1 1 π 2 sr = m sin ( α ) α = m cos ( α ) 0 = m π π π 0 I I d I I ( I ) 2 2 m 2 I = = I = 0.637 I 2π π sr m m

Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine Neka je struja kroz otpornik R data sa: ( ) = sin ( ω ) i t I t Trenutna vrijednost snage na otporniku p(t) data je izrazom: ( ) ( ) ( ω ) 2 2 2 2 ( ) = ( ) ( ) = m sin ( ω ) = m sin 2 2 2 1 cos( 2ωt ) Im R Im R ( ) = ( ) = cos( 2ω ) p t i t R p t I t R p t I R t p t Im R p t t 2 2 2 m

Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine Snaga p(t) sadrži fiksni dio P = I 2 m R 2 i promjenljivi dio I 2 m R 2 cos 2 ( ωt) Neka fiksni dio snage odgovara istoj snazi koju razvije jednosmjerna struja I na otporniku R, tj. I R 2 2 P = m 2 = I R

Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine Iz posljednjeg izraza dobija se: 2 I = 2 I m 2 Konačno je izraz za efektivnu vrijednost naizmjenične struje: I Im = = 0.707 I 2 Na isti način dobija se izraz za efektivnu vrijednost naizmjeničnog napona: m U m U = = 0.707 U 2 m Efektivna vrijednost izmjenične struje odgovara onoj vrijednosti istosmjerne struje I koja na otporniku R proizvede istu količinu toplote kao ta izmjenična struja

Primjer: Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine

Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima Pošto fazori kao obrtni vektori imaju amplitudu i početnu fazu oni se mogu predstaviti kompleksnim brojevima. Prema tome i naizmjenične veličine mogu predstaviti kompleksnim brojevima

Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima Primjer: Primjenimo trigonometrijski oblik kompleksnog broja ( ) ( ) o o o E = 200 40 200 cos 40 + j200 sin 40 = 153.2 + j128.55 V

Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu je dosta kompleksno i nepraktično

Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina kao kompleksnih brojeva je mnogo jednostavnije Potrebno je nazmjenične veličine e 1 (t) i e 2 (t) iz vremenskog domena preslikati u odgovarajuće veličine u E 1 i E 2 u kompleksnom domenu i napraviti operaciju sabiranja ili oduzimanja

Primjer: Odrediti zbir e i 1 t 10sin ωt e2 t = 15sin ωt + 60 o u kompleksnom domenu Rješenje: Sabiranjem se dobija: Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina ( ) ( ) = ( ) ( ) O O O ( ) = 10sin ( ω ) = 10 0 ; = 10 cos( 0 ) + 10sin ( 0 ) = 10 + 0 o O O O ( ) ( ω ) ( ) ( ) e t t E V E j j V 1 1 1 e t = 15sin t + 60 E = 15 V 60 ; E = 15cos 60 + j15sin 60 = 7.5 + j13 V 2 2 2 ( ) ( ) ( ) V = E1 + E2 = 10 + j0 + 7.5 + j13 = 10 + 7.5 + j 0 + 13 = 17.5 + j13 V o Dobijeni zbir treba pretvoriti u kompleksni broj u formi: V = E ϕ ( ) ( ) 2 2 2 2 Em = A + B = 17.5 + 13 = 475.25 = 21.8V Im 13 ϕ = arctg = arctg = 36.6 Re 17.5 o m

Primjer: Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina

Maksimalne vrijednosti napona U m i struja I m koristile su se u fazorskom domenu za predstavljanje neizmjeničnih veličina Meñutim, u praksi se koriste efektivne vrijednosti naizmjeničnih veličina U i I pa je potrebno napraviti dijeljenja maksimalnih vrijednosti sa 2 Primjer: Struju i ( t) = 120sin ( ωt + 30 o ) A predstaviti u fazorskom (kompleksnom domenu)? Pošto je struja zadana u obliku i ( t) = Im sin ( ωt) njenu amplitudu pri predstavljanju u fazorskom (kompleksnom) domenu treba podijeliti sa Dobija se: Napomene o prezentaciji naizmjeničnih valičina u kompleksnom domenu I I = I ϕ I = = = 84.85; ϕ = 30 2 2 o max 120 o o 2 Konačno je: o o I = I ϕ I = 84.85 30 A

Primjer: Prezentacija naizmjeničnih veličina