15-16 Μαθηματικά Γ Λυκείου Προσανατολισμού Σημειώσεις μαθηματικών που απευθύνονται σε μαθητές της Γ Λυκείου. Χωρισμένες σε ενότητες για την καλύτερη κατανόηση της ύλης Δούδης Δημήτρης 3ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16
Πρόλογος Αγαπητέ αναγνώστη Σκοπός των σημειώσεων που ακολουθούν δεν είναι σε καμία περίπτωση να υποκαταστήσουν το σχολικό βιβλίο. Άλλωστε έχουν γραφεί με δεδομένο ότι έχει πρώτα μελετηθεί αυτό. Ο στόχος του επιμελητή αυτής της έκδοσης είναι να δώσει στους μαθητές τη δυνατότητα να επιλύσουν περισσότερες ασκήσεις για την περαιτέρω κατανόηση της ύλης, και να τους εντάξει στο ύφος των ασκήσεων που θα τους ζητηθούν στις απολυτήριες/πανελλαδικές εξετάσεις. Επίσης, είναι μια ευκαιρία ώστε να απαλλαγούν από σκόρπιες σημειώσεις και φυλλάδια που δίνονται από τον διδάσκοντα κατά την διάρκεια της χρονιάς και να είναι όλα αυτά συγκεντρωμένα σε ένα μέρος. Όσον αφορά το σχολείο, ήταν μια πρώτης τάξης ευκαιρία ώστε να μειώσει το κόστος των φωτοτυπιών στις δύσκολες εποχές που περνάμε. Η γραφειοκρατία όμως της ελληνικής διοίκησης (σχολική επιτροπή), παρά τις προσπάθειες της διεύθυνσης του 3 ου Λυκείου, δεν το επέτρεψε. Για αυτό και τυπώνεται με προσωπικά έξοδα του επιμελητή της έκδοσης, Δούδη Δημήτρη. Σεπτέμβριος 15 Αλεξανδρούπολη Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -1-
Ευχαριστίες - Αφιερώσεις Τέλος, είναι χρέος μου να τονίσω την εξαιρετική συνεργασία μεταξύ των μαθηματικών του 3 ου Ενιαίου Λυκείου. Ειδικότερα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καπνιστή Θόδωρο που με τίμησε με την εμπιστοσύνη του. Η ανταλλαγή απόψεων, σχολίων και σημειώσεων με τον τελευταίο κατέστησε εφικτό το συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Αφιερωμένο στην Αθηνά και την Αλεξάνδρα Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 --
Κεφάλαιο 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Πίνακας Περιεχομένων Ενότητα 1 η 1.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ... σελ. 5 Ενότητα η 1.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ σελ. 1 Ενότητα 3 η 1.3α) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ. σελ. 18 Ενότητα 4 η 1.3β) 1-1 - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ.. σελ. 4 Ενότητα 5 η 1.1-1.3β Ερωτήσεις Σ-Λ στις Συναρτήσεις σελ. 3 Ενότητα 6 η 1.4 ΟΡΙΟ ΣΤΟ (Έννοια, Πλευρικά, Όριο Ταυτοτικής Σταθερής συνάρτησης) 1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Διάταξη, Πράξεις).. σελ. 3 Ενότητα 7 η 1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ (Κριτήριο Παρεμβολής, Τριγωνομετρικά Όρια, Όριο Σύνθετης). σελ. 37 Ενότητα 8 η 1.6 Μη Πεπερασμένο Όριο στο... σελ. 41 Ενότητα 9 η 1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο. σελ. 43 Ενότητα 1 η 1.8α) Συνέχεια συνάρτησης σελ. 47 Ενότητα 11 η 1.8β Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα & Βασικά Θεωρήματα σελ. 5 ΚΕΦ ο: Διαφορικός Λογισμός Ενότητα 1 η.1 Η έννοια της παραγώγου.. σελ. 61 Ενότητα 13 η. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 66 Ενότητα 14 η.3 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. σελ. 68 Ενότητα 15 η.1 -.3 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.. σελ. 76 Ενότητα 16 η.4 Ρυθμός Μεταβολής σελ. 79 Ενότητα 17 η.1 -.4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ σελ. 83 Ενότητα 18 η.5α) Θεώρημα Rolle... σελ. 87 Ενότητα 19 η.5β) Θεώρημα Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) σελ. 95 Ενότητα η.6 α) Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) σελ. 11 Ενότητα 1 η.5 -.6 α) Ερωτήσεις Επανάληψης. σελ. 16 Ενότητα η.6 β) Μονοτονία Συνάρτησης.. σελ. 18 Ενότητα 3 η.7 Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης Θεώρημα Fermat σελ. 114 Ενότητα 4 η.8 Κυρτότητα - Σημεία Καμπής Συνάρτησης σελ. 1 Ενότητα 5 η.9α) ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL.. σελ. 14 Ενότητα 6 η.9β) ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ.. σελ. 17 Ενότητα 7 η.1 Μελέτη και Χάραξη γραφικής παράστασης Συνάρτησης σελ. 13 Ενότητα 8 η.7 -.9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ. σελ. 134 ΚΕΦ 3ο: Ολοκληρωτικός Λογισμός Ενότητα 9 η 3.1 Παράγουσα Συνάρτησης. σελ. 138 Ενότητα 3 η 3.4 Ορισμένο Ολοκλήρωμα 3.5 Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού - Μέθοδοι Ολοκλήρωσης. σελ. 143 Ενότητα 31 η 3.7 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΧΩΡΙΩΝ... σελ. 156 Ενότητα 3 η 3.1-3.7_Ερωτήσεις Επανάληψης Ολοκληρωτικού Λογισμού... σελ. 16 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -3-
Βιβλιογραφία Πηγές [1] Σχολικό βιβλίο ΟΕΔΒ, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κατεύθυνσης Γ Λυκείου» [] Ψηφιακά Εκπαιδευτικά Βοηθήματα [http://www.study4eams.gr/math_k/] [3] Χαρ. Στεργίου, Χρ. Νάκης, Ιωάν. Στεργίου, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Γ1, Γ, Εκδ. Σαββάλας» (6) [4] Μπάρλας Αναστάσιος, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Τεύχη Α Β, Ελληνοεκδοτική» (13) [5] Παπαδάκης Βασίλης, «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Λυκείου, Θετικής& Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ1, Γ, Εκδ. Σαββάλας» (1) [6] Καπνιστής Θεόδωρος, Μαθηματικός 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης, προσωπικές σημειώσεις. [7] Χατζόπουλος Μάκης, [http://lisari.blogspot.gr] [8] Ελευθερίου Πρόδρομος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Λέσβου, «Η συνάρτηση ορισμένη από ολοκλήρωμα». [9] Κυριακόπουλος Αντώνης, «Συναρτήσεις που ορίζονται από Ολοκλήρωμα». [1] Μαύρος Ιωάννης, προσωπικές σημειώσεις [http://blogs.sch.gr/imavros/]. [11] Ελευθεριάδης Μάριος, «Ολοκληρώματα». Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -4-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητα 181 η ο.5α) Θεώρημα Rolle 1. Για να ισχύει το Θεώρημα Rolle πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι τρεις προϋποθέσεις του.. Αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: Υπάρχει τουλάχιστον ένα (α,β) τέτοιο ώστε ( ). Η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β). Η συνάρτηση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β). [ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle] Η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο A(,) με (α,β). Υπάρχει τουλάχιστον ένα (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(,( )) να είναι παράλληλη στον άξονα. [ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle] Παρατηρήστε ότι για μια σταθερή συνάρτηση ( () c ) είναι ( ) για κάθε (α,β) [σχήμα α]. 3. Αν ένα σώμα, κινούμενο πάνω σε έναν άξονα, διέρχεται από το σημείο Α την χρονική στιγμή t και επιστρέφει στο Α την χρονική στιγμή t, τότε υπάρχει χρονική στιγμή t 1 μεταξύ των t, t που η ταχύτητα είναι μηδέν (δηλαδή το κινητό σταματημένο). 1 [ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle] 4. Το αντίστροφο του Θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ ανάγκη! Δηλαδή, αν η παράγωγος μιας συνάρτησης μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι πληρούνται και οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle [βλέπε σχήματα παρακάτω]. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -87-
5. Το θεώρημα βεβαιώνει ότι υπάρχει μία ρίζα της εξίσωσης () στο (α,β). Δεν ενδιαφέρεται για τον τρόπο που θα βρούμε ένα τέτοιο σημείο. 6. Το Θεώρημα Rolle εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 7. Σε περίπτωση που η είναι παραγωγίσιμη στο [α,β], τότε θα είναι συνεχής στο [α,β] και επομένως για την εφαρμογή του Θ. Rolle αρκεί να γνωρίζουμε ότι (α) (β). Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη) 1. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες, τότε η έχει τουλάχιστον μία ρίζα.. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο τότε, ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της, υπάρχει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης. 3. Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και έχει τρεις ρίζες, τότε η έχει δύο τουλάχιστον ρίζες και η τουλάχιστον μία. 4. Γενικότερα, αν μια συνάρτηση είναι ν-φορές παραγωγίσιμη (ν, ν 1) και έχει ν 1 ρίζες, τότε η (ν) (νιοστή παράγωγος) έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 5. Αν () για κάθε, τότε η έχει το πολύ μία ρίζα. 6. Αν () για κάθε, τότε η έχει το πολύ δύο ρίζες. 7. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και δεν είναι «1-1» στο Δ τότε η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία λύση στο Δ. 8. Σαν συνέπεια του παραπάνω έχουμε ότι αν () για κάθε Δ, τότε η είναι «1-1». Μέθοδοι 1. Ενδείξεις για εφαρμογή του θεωρήματος Rolle είναι ύπαρξη εκφράσεων στην άσκηση όπως: «να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β)» έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα (α,β)» έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (α,β)» έχει το πολύ κ ρίζες στο διάστημα (α,β)» έχει ακριβώς κ ρίζες στο διάστημα (α,β)» δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β)» Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -88-
Προσοχή! Στις περιπτώσεις αυτές, το Θεώρημα Rolle δεν θα το εφαρμόζουμε στην, αλλά στην παράγουσα (αρχική) αυτής F, δηλαδή σε μια συνάρτηση F για την οποία ι- σχύει: F () () για κάθε A.. Παρατηρούμε ότι οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle αφορούν την συνάρτηση, το συμπέρασμά του εφαρμόζεται στην. Οπότε, αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υπάρχει η εξίσωση (ξ) ή (ξ), αυτό είναι μια ένδειξη ότι πιθανόν να χρειαστεί η εφαρμογή του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση ή την. ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Συνάρτηση Παράγουσα F Μορφή συνάρτησης Μορφή παράγουσας F c () () 1 () () α 1 ημ α+1 α+1 1 () α () () () () 1 α1 () α+1 () συν ημ() () συν() συν ημ συν() () ημ() e 1 α e ln α lnα () e () α () () e () () () ln () ()g() ()g () ()g() () () () () α lnα ()g() ()g () g () () () () g() () () () [ ()] () () [ () ()g ()]e g() g() ()e () g () () g() 1 1 συν 1 ημ 1 () εφ συν () () σφ ημ () () 1 () () εφ() σφ() Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -89-
3. Σε πολλές περιπτώσεις μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε να ικανοποιείται μία σχέση. Ξεκινάμε πάντα από τη σχέση που μας δίνεται, αντικαθιστούμε το ξ με το, και προσπαθούμε να δημιουργήσουμε, χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης, την παράγωγο μιας παράστασης ίση με το μηδέν. Στην παράσταση αυτή θέτουμε ως συνάρτηση και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle. ΠΙΝΑΚΑΣ ΙI Σχέση προς απόδειξη Ενέργειες Συνάρτηση για Θ. Rolle κ () κ [() κ] φ() () κ 1) ξ ) ξ κ ξ 3) (ξ)(κ ξ) (ξ) 4) (ξ)(ξ κ) (ξ) -κ -κ () κ() () e κ() e -κ -κ -κ () e () e () e ()(κ ) () ()(κ ) ()(κ ) ()(κ ) ()( κ) () ()( κ) ()( κ) ()( κ) ()( κ) () ( κ) κ φ() ()e κ φ() ()(κ ) () φ() κ 5) (ξ) νξ ν 1 ν φ() () ν1 ν ν () ν () ( ) [() ] 6) ξ (ξ) ν(ξ) 7) (ξ) (ξ) 8) (ξ) (ξ) 9) (ν) (ν1) (ξ) g (ξ) (ξ) ν-1 ν-1 () ν() () ν() ν ν () ( ) () ν ν () ( ) () () ν ν () () () () () () () () () () () () () () () (ν) (ν1) () g () () (ν) g() g() (ν ()e e g () 1) () (ν1) g() (ν1) g() () e () e (ν1) g() ()e () φ() ν φ() () φ() () () (ν 1) g() φ() ()e Ειδικότερα, έχουμε: 1) 11) (ξ) (ξ) φ() ()e () (ξ) ln () (ξ) φ() ()e ξ Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -9-
4. Ορισμένες φορές στα δεδομένα μιας άσκησης δίνεται μια σχέση που ισχύει για τα ά- κρα του κλειστού διαστήματος [α,β], π.χ (α) β ( β) α. Αν αυτή τη σχέση την τροποποιήσουμε και ισχύουν βέβαια οι προϋποθέσεις, και πάμε τα α στο ένα μέλος και τα β στο άλλο, και αντικαταστήσουμε το α ό το β με το έχουμε την συνάρτηση όπου θα εφαρμόσουμε το Θ. Rolle. Στην περίπτωση μας θα γράφαμε ( β) και η συνάρτη- β ση η που θα εφαρμόζαμε το Θ. Rolle θα ήταν η () φ(). (α) α 5. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει, τουλάχιστον μία, ρίζα της εξίσωσης (), δοκιμάζουμε τους παρακάτω τρόπους : Προφανής ρίζα Θεώρημα Bolzano Σύνολο τιμών ( ελέγχουμε αν (Δ) ) Απαγωγή σε άτοπο (έστω () για κάθε Δ ) Rolle σε παράγουσα της (παράγουσα της λέγεται συνάρτηση g τέτοια, ώστε g () = ()) 6. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση () έχει το πολύ μία ρίζα, απαγωγή σε άτοπο με Rolle. 7. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα δοκιμάζουμε τους παρακάτω τρόπους : Ύπαρξη και Μονοτονία Ύπαρξη και Απαγωγή σε άτοπο με Rolle 8. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση () έχει το πολύ δύο ρίζες, απαγωγή σε άτοπο με δύο φορές Rolle. 9. Για να αποδείξουμε ότι εξίσωση () έχει δύο ρίζες σε διάστημα (α,β), χωρίζουμε το διάστημα σε δύο διαστήματα και εργαζόμαστε αναλόγως σε κάθε ένα απ αυτά. 1. Σε ασκήσεις όπου μας ζητείται να αποδεδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε (ξ) ή (3) (ξ) και σε κάθε περίπτωση που μας δίνεται παράγωγο ανώτερης τάξης τότε πιθανόν να είναι πολλαπλή εφαρμογή του θεωρήματος Rolle σε κατάλληλα διαστήματα. 11. Πολλές από τις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιείται το Θεώρημα Rolle στην F, επιλύονται με το Θεώρημα Bolzano στην, ή με εύρεση συνόλου τιμών της και εφαρμογή θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ή βρίσκοντας προφανή ρίζα της (αν υπάρχει). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -91-
Ασκήσεις [Εφαρμογή του θεωρήματος Rolle γεωμετρική ερμηνεία] [Α 1, σελ 49] 1. Αν α β, () να βρεθούν οι α,β,γ ώστε να εφαρμόζεται το θεώρη- 3 (γ α), μα Rolle στο [ 1,1]. Στη συνέχεια να βρεθεί η οριζόντια εφαπτομένη της C.. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με (), για κάθε. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε δύο το πολύ σημεία. 3. Έστω συνάρτηση ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και (α) (β). Να αποδείξετε ότι: α) για την συνάρτηση β) υπάρχει από το σημείο Α(c,). () g() c, c [α,β] υπάρχει (α,β) τέτοιο ώστε g ( ). (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο Μ,( ) να διέρχεται 4. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και () για κάθε (α,β). Να αποδείξετε ότι (α) (β). [Ύπαρξη τουλάχιστον 1 ρίζας εξίσωσης] [Β 1,,3, σελ 49-5] 5. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο π, έτσι ώστε π 1 (). π Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, έτσι ώστε: ( ) συν. 6. Αν α,β,γ με 4 α β γ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (,1). α β γ, να δείξετε ότι η εξίσωση 5 3 7. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [α,β], η οποία διατηρεί πρόσημο στο [α,β]. Δίνονται, επίσης, οι μιγαδικοί αριθμοί Αν 3 Re(z z ) (α) 1 διάστημα (α,β). z (β)[(α) 1] i 1 και z (β) i., να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 8. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,] με (1) και g() ()( 4), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε g ( ). 9. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση :[α,β] (, ) δίνεται ότι ln(β) ln(α) β α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε (ξ) (ξ). 1. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το (, ) έτσι ώστε να ισχύει 1 (1) (e) (1). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (1,e) τέτοιο ώστε e ( ) 1ln (). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -9-
11. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] με (α) (β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε (ξ) (ξ) g (ξ). 1. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [1, e] και ισχύει (1) 1, () 4 ln, (e) e 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (1,e) 1 ξ. ξ τέτοιο, ώστε 13. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,π] με () για κάθε [,π]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,π) τέτοιο ώστε (ξ) σφξ. (ξ) 14. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με () για κάθε και 15 e 14. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (14,15). 15. Έστω συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με (β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε (ξ) (ξ). α ξ 16. Δίνεται η συνάρτηση :[α,β], συνεχής στο α,β και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει (α) (β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: (ξ c) (ξ) (ξ), όπου ο πραγματικός c [α,β]. 17. Δίνεται η συνάρτηση :[α,β] (α ), συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει ν ν α (α) β (β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ξ (ξ) ν(ξ). 18. Δίνεται η συνάρτηση :[α,β] (α ), συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει ν ν β (α) α (β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ξ (ξ) ν(ξ). 19. Δίνεται η συνάρτηση :[α,β], συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει ημα(α) ημβ(β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: ημξ (ξ) συνξ (ξ).. Δίνεται η συνάρτηση :[α,β], συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει συνα(α) συνβ(β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: συνξ (ξ) ημξ (ξ). 1. Θεωρούμε συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. Αν ρ είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης (), τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη της ρ. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -93-
[Ύπαρξη το πολύ 1 ρίζας εξίσωσης]. Να δείξετε ότι η εξίσωση ln( 1) έχει το πολύ μία ρίζα. 3. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, όπου η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης C να μην είναι παράλληλη προς την ευθεία ε: y 1 για κάθε. Να δείξετε ότι η C και η ευθεία y τέμνονται το πολύ σε ένα σημείο. [Ύπαρξη ακριβώς 1 ρίζας εξίσωσης] 4. Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,1) : ( ) e 1. () e, [,1] και () 1, [,1]. [Ύπαρξη τουλάχιστον ν ριζών εξίσωσης] Χωρίζω το δοσμένο διάστημα σε ν διαστήματα και αποδεικνύω την ύπαρξη τουλάχιστον 1 ρίζας σε κάθε ένα από αυτά. [Ύπαρξη το πολύ ν ριζών εξίσωσης] 5. Να δείξετε ότι η εξίσωση e α β γ έχει μέχρι τρείς ρίζες στο. [Ύπαρξη ακριβώς ν ριζών εξίσωσης] [Β 7, σελ 49] 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ρίζες άνισες. ημ συν έχει μόνο δύο ρίζες στο [ π,π]. 4 3 5 α β με * α, β και β έχει δύο μόνο [Εύρεση της F από τη σχέση F(α)=F(β) μετατρέπουμε μια σχέση σε αρχικές συνθήκες] 8. Έστω ότι η συνάρτηση :[α,β] (α ) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει () για β α κάθε [α,β]. Αν (α) (β) να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο ώστε ( )ln( ) ( ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -94-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητα 191 η ο.5β) Θεώρημα Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Για να ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο προϋποθέσεις του.. Αν για μια συνάρτηση ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε, σε ότι αφορά στο συμπέρασμά του, οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: Υπάρχει τουλάχιστον ένα (β) (α) (α,β) τέτοιο ώστε ( ). β α (β) (α) Η εξίσωση () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β). β α [ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.] Η εξίσωση (β α) () [(β) (α)] έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοιχτό διάστημα (α,β). Υπάρχει τουλάχιστον ένα (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(,( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου A(α,(α)) και B(β,(β)). [ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.] 3. Κατά τη διάρκεια της ευθύγραμμης κίνησης ενός σώματος πάνω σε έναν άξονα το χρονικό διάστημα [t,t ] υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή t (t,t ) τέτοια ώστε 1 1 η ταχύτητα του κινητού να ισούται με την μέση ταχύτητά του. [ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του Θ.Μ.Τ.] 4. Το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει κατ ανάγκη! 5. Το Θ.Μ.Τ. εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 6. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε ισχύει το Θ.Μ.Τ. αφού η παραγωγισιμότητα της στο κλειστό διάστημα [α,β] καλύπτει και τη συνέχεια της στο διάστημα αυτό. 7. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον (α) (β), τότε ισχύει και το θεώρημα του Rolle. [Άρα το θεώρημα του Rolle είναι ειδική περίπτωση του ΘΜΤ] 8. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον (α) (β), τότε υπάρχει ξ (α,β) με (ξ). Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(ξ,(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης θετικό, και κατά συνέπεια σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -95-
9. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ και επιπλέον (α) (β), τότε υπάρχει ξ (α,β) με (ξ). Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M(ξ,(ξ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης αρνητικό, και κατά συνέπεια σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία. Μέθοδοι 1. Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ., συνήθως, όταν: (β) (α) α) σε μια σχέση υπάρχει ο λόγος ή διαφορά (β) (α). β α β) ζητάω πρόσημο της (ξ). γ) μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όπου η εφαπτομένη, στο σημείο αυτό είναι παράλληλη προς κάποια ευθεία που διέρχεται από κάποιο σημείο. δ) μια σχέση περιέχει ( ), ( ),..., ( ) με,,..., (α,β). 1 λ 1 λ ε) μια συνθήκη περιέχει μόνο ( ), ( ) με, (α,β) και ισχύουν οι προϋποθέσεις 1 1 του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β]. Τότε, συνήθως, εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα διαστήμα- α β τα [α,μ] και [μ,β], όπου το μ είναι το μέσον του διαστήματος [α,β], δηλ μ. στ) θέλουμε να δείξουμε ανισότητες.. Θ.Μ.Τ. Μονοτονία - Ανισότητες α) Το ΘΜΤ δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση εξισώσεων. Εξαίρεση απο- τελούν ορισμένες εξισώσεις, όπως η 7 6 9 8. β) Όταν θέλουμε να δείξουμε διπλή ανισότητα, εξετάζουμε αν μπορούμε να την μετασχηματίσουμε σε ισοδύναμή της μορφής κ λ και έπειτα εφαρμό- (β) (α) β α ζουμε το ΘΜΤ στο [α,β]. (β) (α) γ) Ενώ, αν μας δίνεται προς απόδειξη ανίσωση της μορφής κ λ αντικα- β α θιστούμε το (β) (α) με ξ από το Θ.Μ.Τ β α 3. Αν συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής στο [α,β] και κάποιο χαρακτηριστικό σημείο του (α,β) εφαρμόζουμε δύο φορές το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [α, ] και[,β]. 4. Έστω ότι μας ζητείται να δείξουμε ότι για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α,β] υ- (β) (α) πάρχουν ξ,ξ,, ξ για τα οποία ισχύει λ (ξ ) λ (ξ ) λ (ξ ) κ 1 ν 1 1 ν ν β α ή 1 1 ν ν λ (ξ ) λ (ξ ) λ (ξ ) κ (ξ). Εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι το πρώτο μέλος και οι συντελεστές των. Πρέπει εδώ να χωρίσουμε το αρχικό διάστημα [α,β] σε ν- υποδιαστήματα. Ενεργούμε ως εξής Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -96-
Χωρίζουμε, θεωρητικά, το διάστημα [α,β] σε ίσα υποδιαστήματα κ το πλήθος όπου λ λ λ κ και επομένως το καθένα θα έχει πλάτος 1 ν 1. Το πρώτο, πραγματικό διάστημα, από τα ν, είναι α,α λ δ 1. Το επόμενο διάστημα είναι α λ δ,α λ λ δ 1 1 κ.ο.κ 3. Το τελευταίο διάστημα είναι α λ λ... λ δ,β 1 ν1 β α δ. κ Στην πράξη είναι πιο απλό και δεν χρειάζεται να μαθαίνουμε τους τύπους αυτούς απέξω. Αρκεί να θυμόμαστε μόνο ότι ο χωρισμός γίνεται σε διαστήματα με μήκος ανάλογο προς τους συντελεστές λ,λ,,λ! 1 ν Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. σε κάθε ένα από τα παραπάνω διαστήματα. Βασικές Προτάσεις [χρειάζονται απόδειξη] 1. Αν για μια συνάρτηση ισχύουν προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα [α,β] και επιπλέον: γνησίως αύξουσα στο [α,β], τότε γνησίως φθίνουσα στο [α,β], τότε (β) (α) (α) (β) β α (β) (α) (β) (α) β α. Έστω η είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) να δείξετε ότι Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) να δείξετε ότι α+β (α) (β) α+β (α)+(β) > 3. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β]. Αν ισχύει α β α Ασκήσεις β, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιος ώστε [Εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. γεωμετρική ερμηνεία] 1. Δίνεται η συνάρτηση [ 1,] τότε: () +α, αν 1 3 -α+β, αν 1 [Βλέπε Α 3, σελ 49] ξ.. Αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα γ) να βρεθούν οι τιμές των α, β. δ) να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο Μξ,(ξ) με ξ [ 1,] στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y 3 [Α σελ.49] Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -97-
. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [4,1] με (4) 6 και (1). Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός ξ (4,1), ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο A(ξ,(ξ)) να σχηματίζει γωνία ω 135 με τον άξονα. 3. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι συνάρτηση 1-1, να δείξετε ότι η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης σημείο με την C. C δεν έχει άλλο κοινό [Λύση εξίσωσης με Θ.Μ.Τ.] 4. Να λυθεί η εξίσωση 7 6 9 8 [Απόδειξη ανισοτήτων με Θ.Μ.Τ.] 5. Nα αποδειχθεί ότι: ημβ ημα β α για κάθε α, β. [Α 3, Β 4,5 σελ.49-5] 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] με (1) και () για κάθε (1,5), να αποδείξετε ότι: 1 (5) 6. 7. Αν () 1για κάθε και (1), να αποδείξετε () 1, για κάθε. 8. Έστω παραγωγίσιμη στο της οποίας η παράγωγος είναι γνησίως φθίνουσα στο. Να αποδείξετε ότι: 9 1 1 11. 9. Έστω συνάρτηση είναι φορές παραγωγίσιμη στο με γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι ( 3) ( 7) ( 1) ( 5) για κάθε. 1. Nα αποδειχθεί ότι: 11. Να αποδείξετε ότι: 1 e e 1, για κάθε. e 1, για κάθε. 1. Να αποδείξετε ότι: ln 1, για κάθε (, ). 13. α) Nα αποδειχθεί ότι: 1 ln 1 ln β) Στη συνέχεια να δείξετε: lim 1. 1 1 14. α) Nα αποδειχθεί ότι:, για κάθε,. ln( 1) 1, 1 και. ln( 1) ln( 1) β) Στη συνέχεια να δείξετε: i) lim 1 και ii) lim 3 e π 15. Να αποδείξετε ότι: lnπ π e. 16. Να αποδείξετε ότι: 1 e 1 ( 1)e αν [1,). [Διαμερισμός του [α, β] Πολλαπλή εφαρμογή Θ.Μ.Τ.] 17. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,11] και τα (1),(6),(11) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (1,11) τέτοιο, ώστε (ξ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -98-
18. Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: () (),. α) Δείξτε ότι: () () (1). β) Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε: (ξ). 19. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με (α) β και (β) α. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (α,β) τέτοια ώστε 1 ( ) ( ). 1. Αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,3], να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,ξ (,3) με (ξ ) (ξ ) (ξ ) (3) (). 1 3 1 3 1. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση για την οποία ισχύει lnα lnβ Αν ισχύει lnα lnγ lnβ, με α,β,γ και (ξ ) (ξ ). ξ,ξ με 1 1 γ α β, να δειχτεί ότι υπάρχουν. Έστω η συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο με ( - 1) 1, (1) 1. Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν α) 1 ξ ξ 1 ώστε (ξ ) (ξ ). 1 1 β) 1 κ κ 1 ώστε 1 1 1. (κ ) (κ ) 1 γ e. 3. Θεωρούμε συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(4,11) και B(19,5). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 1 ξ,ξ τέτοιοι, ώστε ξ 3 ξ. 1 4. Συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με () για κάθε [α,β]. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ,ξ (α,β) τέτοια ώστε 1 1 ξ ξ ξ 1. ξ ξ ξ 5. Αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία Αα,(α), Bβ,(β) και Γ γ,(γ) της γραφικής παράστασης C, να δείξετε ότι: α) Υπάρχουν δύο σημεία της C στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους παράλ- ληλες. β) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε (ξ). () (α) γ) Εξετάστε αν η συνάρτηση φ( ) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ. Rolle α για στο διάστημα [β,γ]. δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (β,γ) με (ξ) (α) (ξ). ξ α 6. Έστω συνάρτηση είναι φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με (α) (β). Αν γ (α,β) και (γ), να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε (ξ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -99-
7. Αν για την συνάρτηση ισχύει () για κάθε, να δείξετε ότι στην γραφική παράσταση C δεν υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά. [Διαμερισμός του [α, β] Συνδυασμός με θεώρημα Bolzano] Για την πολλαπλή εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε ένα διάστημα [α,β], τα ενδιάμεσα σημεία μπορούν να προκύψουν και με εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano 8. Αν η είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και (α) α, (β) β, να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε (ξ) α β ξ. β) Υπάρχουν ξ,ξ 1 (α,β) με ξ ξ τέτοια ώστε (ξ ) (ξ ) 1. 1 1 9. Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β), για την οποία ισχύει: (α) (β). Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον α, β ώστε β) Υπάρχουν ξ,ξ,ξ α, β 1 λ β κ α, κ, λ ομόσημοι. κ λ λ κ κ λ ώστε:, με ξ ξ. 1 ξ ξ ξ 1 [Συνδυασμός Θ.Μ.Τ. με θεώρημα Bolzano και θεώρημα Rolle] 3. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[,], που είναι παραγωγίσιμη στο (,). α. Δείξτε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε: () 3() (ξ), αν () (). 5 β. Αν ξ 1, δείξτε ότι υπάρχουν, (,) με ώστε ( ) 3 ( ). 1 1 1 γ. Αν για την [1,], βρείτε τα α, β. g() () α β εφαρμόζεται το Θ. Rolle στα διαστήματα [,1] και δ. Αν είναι παραγωγίσιμη στο (,), δείξτε ότι υπάρχει p (,) ώστε 5 (p) () (). 31. Συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] με (α) (β), (α) και (β). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζα στο διάστημα (α,β). [Θ.Μ.Τ. και αρχικές συνθήκες - F(α)=F(β)] 3. Αν η είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β), με () για κάθε (α,β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε: (βα) (ξ) (ξ) (β) e. (α) [Θ.Μ.Τ. και όριο] 33. Να δειχθεί ότι, αν η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο με () α, για κάθε, α σταθερά, τότε lim (). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -1-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητα 1 η ο.6 α) Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Διαφορικού Λογισμού) Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Για το θεώρημα και το πόρισμα ισχύει και το αντίστροφο.. Γεωμετρική Ερμηνεία του πορίσματος Από το διπλανό σχήμα προκύπτει, ότι αν οι C,C έχουν σε g οποιοδήποτε ενός διαστήματος Δ παράλληλες εφαπτόμενες, τότε η γραφική παράσταση της μιας προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση, δηλαδή παράλληλα προς τον y y, της άλλης γραφικής παράστασης κατά c μονάδες, προς τα πάνω αν c ή προς τα κάτω αν c. y y=g()+c y=g() O 3. To παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμα ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Προσοχή: ισχύουν, όμως, σε κάθε διάστημα ξεχωριστά. [βλέπε σχόλιο σελ.5] 4. Αν ισχύει () g (), Δ Δ, τότε: 1 () g() c, αν Δ και 1 1 () g() c, αν Δ 5. Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με την ίδια παράγωγο που όλες διαφέρουν κατά μία σταθερά c, ενώ, στα σημεία με την ίδια τετμημένη, οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων, είναι παράλληλες. Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη) 1. Αν για μία συνάρτηση ισχύει () κ(), για κάθε, και κ, τότε υπάρχει c σταθερά έτσι ώστε () κ c e, για κάθε. Ειδική περίπτωση για κ = 1 [εφαρμογή σελ 5] Αν για μία συνάρτηση ισχύει () (), για κάθε τότε () ce, όπου c σταθερά.. Αν, με εξαίρεση ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων, σε όλα τα υπόλοιπα σημεία του διαστήματος Δ έχουμε (), και η είναι συνεχής στο Δ, τότε η είναι σταθερή στο Δ. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -11-
Μέθοδοι 1. Σταθερή συνάρτηση Εύρεση τύπου Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σ ένα διάστημα Δ και στη συνέχεια να βρούμε τον τύπο της ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και () για κάθε εσωτερικό σημείο Δ. Συμπεραίνουμε ότι η είναι σταθερή στο Δ, δηλαδή () c για κάθε Δ. Υπολογίζουμε τη σταθερά c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της.. Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις Παραγωγίζουμε ως προς τη μία από τις δύο μεταβλητές. Ορισμένες φορές παραγωγίζουμε σταδιακά και ως προς τις δύο μεταβλητές. Πρέπει να προσέξουμε αν η συνάρτηση που μας δίνει είναι παραγωγίσιμη. Αν όχι πρέπει να πάμε υποχρεωτικά με τον ορισμό της παραγώγου 3. Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους Εύρεση τύπου Περιλαμβάνει ασκήσεις στις οποίες δίνεται μια σχέση στην οποία εμφανίζονται ενδεχομένως οι συναρτήσεις,, και κάποιες άλλες παραστάσεις που περιέχουν τη μεταβλητή. Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Αξιοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου ή σύνθετης συνάρτησης καταλήγουμε τελικά σε μια σχέση της μορφής () g() για κάθε Δ. [Σχόλιο: Στην προσπάθεια να εμφανίσουμε ίσες παραγώγους, βοηθητικός είναι και ο πίνακας των παραγουσών που παρουσιάσαμε σε προηγούμενο φυλλάδιο] Αν το Δ είναι διάστημα, τότε () g() c, Δ. Αν Δ Δ UΔ 1, δηλαδή το Δ είναι ένωση διαστημάτων, τότε: g() c, Δ () g() c, Δ 1 1. Υπολογίζουμε τη σταθερά c ή τις σταθερές c, c και στη συνέχεια βρίσκουμε τον 1 τύπο της. 4. Όταν δίνεται (), υποψιαζόμαστε ln(()). 5. Απόδειξη ταυτοτήτων Περιλαμβάνει ασκήσεις που αφορούν την απόδειξη ταυτοτήτων. Στις ασκήσεις αυτές συνήθως ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ταυτότητας σ ένα μέλος, συνήθως στο πρώτο, αν δε βρίσκονται ήδη στο μέλος αυτό. Θεωρούμε συνάρτηση με τύπο ίσο με το πρώτο μέλος της ταυτότητας. Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή με τιμή. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -1-
Ασκήσεις [Σταθερή συνάρτηση Εύρεση τύπου] 1. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις,g : με (),. g () ε) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g () και () 3 3 h() () g () είναι σταθερή στο. στ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h, αν () 1 και g(). [Α 1, B 1 σελ.56-7]. Έστω : παραγωγίσιμη με () (), για κάθε για την οποία () 1 και (), για κάθε. Nα δειχθεί ότι: α) Η συνάρτηση G() ln () είναι σταθερή στο. β) (), για κάθε. e 3. Αν για τη συνάρτηση, ισχύει () για κάθε (,1) (1,) και η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,], να δείξετε ότι η είναι σταθερή στο [,]. 4. Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () (), για κάθε 5. Έστω μια συνάρτηση η οποία για κάθε,y ικανοποιεί τη σχέση Να αποδείξετε ότι : α) () (y) ( y) για κάθε,y. β) Η συνάρτηση είναι σταθερή στο. *. () (y) ( y). 6. Έστω : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ( ) ( ), για κάθε. α) Αν () (), να δειχθεί ότι: i) H συνάρτηση h ( ) ii) (), για κάθε. είναι σταθερή στο. β) Αν g() g () με g(),g () 1 να δειχθεί ότι g() ημ [Εύρεση του τύπου της συνάρτησης από συναρτησιακές σχέσεις] 7. Nα βρεθεί η συνάρτηση : για την οποία είναι (3-1) 1 για κάθε, και () 5. 8. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, () και ισχύει α) να δειχθεί ότι 5 6 ( ) 5 3. 5 ( ) 6, για κάθε, β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α,(). 9. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει: 1 ( y) ()(y) για κάθε,y. Αν η ευθεία ε: y είναι εφαπτομένη της C στο σημείο Μ,(), να βρεθεί: α) το (), β) ο τύπος της. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -13-
1. Δίνεται η συνάρτηση :(, ) και παραγωγίσιμη στο 1 με (1) 1. Αν ισχύει (y) y() (y), για κάθε,y, να αποδείξετε ότι: () α) () 1 για κάθε. β) () ln, με. 11. Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: ( y) () (y) για κάθε,y. Να βρεθεί ο τύπος της αν () 1. 1. Έστω : παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα ( y) ( y) () 3y για κάθε,y. Αν η C εφάπτεται με τη τότε: α) να αποδειχθεί ότι () 1 για κάθε, β) Να βρεθεί ο τύπος της. C, όπου g 1 g() 5, στο σημείο A(1,γ), [Συναρτήσεις με ίσες παραγώγους Εύρεση τύπου] 13. Να βρεθεί η συνάρτηση όταν: α) () 3συν 4ημ e για κάθε και () 5 () ( 1) β) γ) για κάθε και () 1 () συν ημ για κάθε και () 1 δ) () (), και (1) π ε) συνεχής στο, και () σφ() ημ για κάθε π, με π π 17 6 1 στ) () () για κάθε, () 1. 14. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, ) με (). Να βρείτε τον τύπο της, αν, επιπλέον, γνωρίζετε ότι ισχύουν: α) η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης είναι ανάλογη με το πηλίκο (), β) η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(1,1) και γ) η εφαπτομένη στο Α έχει κλίση ίση με 1. 15. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο με () () 1 και τέτοια ώστε: () () 6 3 για κάθε. Να βρείτε τη συνάρτηση (). 16. Έστω : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία. Αν g() () () και g() 1: () () () e, για κάθε g() α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h() είναι σταθερή στο και να βρεθεί η g. e β) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση όταν () 1 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -14-
17. Nα βρεθεί η συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: ( ) ( ) και () 1. 18. Έστω συνεχής συνάρτηση : με ( ) () 5, για κάθε και () 1. Να βρείτε την. 19. Να βρείτε συνάρτηση ορισμένη στο { } τέτοια, ώστε κάθε { }, () 1 και ( 3) 7., για ( ) () 5 [Βασική Πρόταση (αν ( ) ( ), τότε () ce ) Εύρεση τύπου]. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε και () g(). Nα δειχθεί: α) () e g(), για κάθε β) g(), για κάθε., *,g : με ()g() ()g () ()g() [Συνδυαστικά θέματα] 1. Μια συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη έχει την ιδιότητα: () (), και () 1, () 1. Να αποδείξετε ότι: α) β). () () e, (). e,. Έστω : δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με () () 1 και ()() () () (),. Να αποδειχθεί ότι: α) β) () () 1 e για κάθε () e,. γ) () e,. 3. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) 1 (1) για κάθε. Αν () 1, να αποδείξετε ότι: α) ( ) ( ) 1 για κάθε. β) ( ) () 1 για κάθε. γ) () e για κάθε. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -15-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητα 11 η ο.5 -.6 α) Ερωτήσεις Επανάληψης Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος 1. Αν η είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και υπάρχει (α,β) ώστε ( ), τότε (α) (β).. Αν η συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και (α) (β), τότε δεν υπάρχει (α,β) ώστε ( ). 3. Αν () (), τότε () e. 4. Το Θεώρημα Rolle μας προμηθεύει μία μέθοδο εύρεσης των ριζών της εξίσωσης (). 5. Αν δεν ισχύει μία τουλάχιστον από τις τρεις προϋποθέσεις του Θ. Rolle σ ένα διάστημα, τότε δεν εφαρμόζεται αυτό. 6. Αν μία συνάρτηση δεν ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [α,β], τότε δεν υπάρχει ρίζα της () στο (α,β). 7. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και (α) (β), τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε (ξ). 8. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύουν (α) (β) και () για κάθε (α,β), τότε η δεν είναι συνεχής στο [α,β]. 9. Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη. Τότε υπάρχει διάστημα [α,β] στο οποίο η ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Rolle. 1. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συμπέρασμα του Θ. Rolle στο [α,β], χωρίς να ισχύουν όλες οι υποθέσεις του. 11. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, τότε υπάρχει σημείο της C που η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον άξονα. 1. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και η C τέμνει τον σε τρία σημεία, τότε η εξίσωση () έχει δύο τουλάχιστον λύσεις. 13. Αν () για κάθε, τότε η εξίσωση () έχει το πολύ δύο ρίζες. 14. Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα [α,β], τότε ισχύουν οι υ- ποθέσεις του θεωρήματος Μέσης Τιμής για την. 15. ( h) () Αν η είναι συνεχής στο [α,β] και lim h h για κάθε (α,β), τότε υ- πάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε: (β) (α) (ξ)(β α). * 16. Για μία συνάρτηση δίνεται ότι (), για κάθε. Τότε η είναι σταθερή στο *. 17. Αν για μία συνάρτηση εφαρμόζεται το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [α,β], τότε εφαρμόζεται και το θεώρημα Μέσης Τιμής σε αυτό. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -16-
18. Η έκφραση ότι μια εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες σ ένα διάστημα σημαίνει ότι δεν μπορεί να έχει τρεις ή περισσότερες ρίζες στο διάστημα αυτό. 19. Αν : A και () για κάθε Α, τότε () c στο Α. *. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο και για κάθε είναι () =, τότε συμπεραίνουμε ότι η είναι σταθερή στο. 1 1. Αν για μία συνάρτηση είναι (), τότε () ln c.. Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι, g είναι συνεχείς στο Δ και () g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει () g() για κάθε Δ. 3. Μία συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα ο- ποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. 4. Αν για την ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α,β], τότε η γραφική της παράσταση έχει σ' ένα τουλάχιστον σημείο της έχει οριζόντια εφαπτομένη. Ερωτήσεις Πολλαπλών Επιλογών 1. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β), τότε για να υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη της C σε σημείο της με τετμημένη ξ (α,β) αρκεί ακόμα να ισχύει μια από τις σχέσεις: Α: (α) ( β) Β: (α) (β) Γ: (α) (β) Δ: (β) (α) (ξ) β α Ε: κανένα από τα παραπάνω. Αν για την συνάρτηση : ισχύει ότι () για κάθε {α}, τότε: Α: η είναι σταθερή Β: η είναι γνησίως αύξουσα Γ: η είναι γνησίως μονότονη στα,α και α, c, α 1 Δ: β, α c, α Ε: c, για α 3. Αν η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης : σε κάθε σημείο ισούται με την τιμή της στο, τότε: Α: () Β: () c Γ: () cln Δ: () ce Ε: () 4. Δίνεται η συνάρτηση () c με πεδίο ορισμού το [α,β]. Το πλήθος των σημείων ξ (α,β) που προκύπτουν από το Θεώρημα Rolle είναι: Α: 1 Β: Γ: το πολύ Δ: κανένα Ε: άπειρα 5. Το θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση () ln, για κάθε, εξασφαλίζει 1 ένα ξ μεταξύ των, ώστε να ισχύει: 1 1 ξ Α: ln 1 1 1 Β: ln Γ: ln ξ ( ) ξ 1 1 1 Δ: ln( ) ( ) Ε: ln( ) ξ ( ) 1 1 1 1 ξ Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -17-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδι555 Ενότητα 1 ο.6 β) Μονοτονία Συνάρτησης 1. Το θεώρημα εφαρμόζεται σε διάστημα Δ, το οποίο μπορεί να είναι της μορφής: (,β), (,β], (α,), [α,), [α,β], [α,β), (α,β], (α,β) ή (,). Δεν ισχύει σε ένωση διαστημάτων ή οποιοδήποτε άλλο σύνολο αριθμών (π.χ. 1 () ).. Το αντίστροφο του θεωρήματος για την μονοτονία δεν ισχύει. Π.χ. αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε δεν σημαίνει υποχρεωτικά ότι (), για κάθε εσωτερικό Δ. Προσοχή Αυτό, όμως, που σίγουρα ισχύει είναι ότι (), για κάθε εσωτερικό Δ. 3. Στα άκρα του διαστήματος δεν ενδιαφέρει ούτε η ύπαρξη, ούτε το πρόσημο της. Μόνο η συνέχεια της συνάρτησης. 4. Εάν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου και ζητείται η μονοτονία της, τότε στα σημεία αλλαγής τύπου ενδιαφέρει μόνο η συνέχεια και όχι η παραγωγισιμότητα. Βασικές Προτάσεις (χρειάζονται απόδειξη) 1. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) με εξαίρεση ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων,,..., ( 1 k * α,β) (k), αλλά η είναι συνεχής σε αυτά τα σημεία (άρα σ ολόκληρο το (α,β)) και η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α, )(, )...(,β), τότε η είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). 1 1 k [Απόδειξη στην επόμενη παράγραφο] Μέθοδοι 1. Εάν ζητείται η μονοτονία μίας συνάρτησης τότε: α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. β) Εξετάζουμε την συνέχεια της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. γ) Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο και τις ρίζες της (εάν υπάρχουν). δ) Βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η πρώτη παράγωγος γίνεται θετική ή αρνητική κάνοντας πίνακα προσήμων της συνάρτησης. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -18-
Προσοχή Στον πίνακα προσήμων βάζουμε τις ρίζες της παραγώγου καθώς και τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης. Τότε, έχουμε αντίστοιχα ότι η είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στα προαναφερόμενα διαστήματα.. Εάν δεν μπορεί να βρεθεί το πρόσημο της πρώτης παραγώγου (ή το πρόσημο τμήματος της πρώτης παραγώγου), τότε προχωρούμε στην εύρεση παραγώγων ανωτέρας τάξεως (ή ορίζουμε ως g() το τμήμα της πρώτης παραγώγου) και από την μελέτη της (ή της g) προκύπτει το πρόσημο της. Έτσι, εάν για παράδειγμα διαπιστώσουμε ότι () (), για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή Εάν για παράδειγμα διαπιστώσουμε ότι (), για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Άρα εάν σημείο του Δ τέτοιο ώστε () τό- τε () () για ενώ () () για. 3. Όταν μας ζητάνε την τιμή μιας παραμέτρου ώστε η συνάρτηση να είναι γνησίως μονότονη τότε απαιτούμε: () για να είναι γνησίως αύξουσα. () για να είναι γνησίως φθίνουσα. Προσέξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις εξετάζουμε την περίπτωση (), αφού δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος. 4. Πλήθος Ριζών Εξίσωσης (με τη βοήθεια της μονοτονίας και συνόλου τιμών). α) Κάνουμε τον πίνακα μεταβολών της συνάρτησης. Βάζουμε τις τιμές που μηδενίζουν την πρώτη παράγωγο, τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει παράγωγος και είναι συνεχής καθώς και τα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού. Έτσι το πεδίο ορισμού χωρίζεται σε κ υποδιαστήματα. β) Βρίσκουμε τα σύνολα τιμών των επιμέρους κ υποδιαστημάτων, υπενθυμίζοντας ότι: Αν η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [α,β], τότε το σύνολο τιμών είναι [(α), (β)]. (αν είναι γνησίως φθίνουσα [(β), (α)] ). Αν η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (α,β), τότε το σύνολο τιμών είναι lim (), lim () α β. (αν είναι γνησίως φθίνουσα lim (), lim () β α ). Γενικά, αν το διάστημα έχει ανοικτό άκρο βρίσκουμε το όριο και αν έχει κλειστό άκρο την τιμή της συνάρτησης. γ) Εάν ζητείται να δειχθεί ότι μία εξίσωση ή μία συνάρτηση έχει μία ή δύο ή κ τουλάχιστον ρίζες στο (α,β), τότε αποδεικνύουμε ότι το μηδέν ανήκει στα κ επιμέρους σύνολα τιμών που έχουμε βρει. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -19-
δ) Εάν ζητείται να δειχθεί ότι μία εξίσωση ή μία συνάρτηση έχει κ το πολύ ρίζες στο (α, β), τότε αιτιολογούμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε κάθε ένα από τα κ υποδιαστήματα που έχουμε χωρίσει το (α,β). ε) Εάν ζητείται να δειχθεί ότι μία εξίσωση ή μία συνάρτηση έχει κ ακριβώς ρίζες στο (α,β), τότε συνδυάζουμε τις προηγούμενες προτάσεις. στ) Προσοχή! Υπάρχει κίνδυνος, αν μια ρίζα είναι άκρο διαστημάτων, να την μετρήσουμε φορές. 5. Για την εύρεση του συνολικού συνόλου τιμών μίας συνάρτησης, βρίσκουμε τα επιμέρους σύνολα τιμών και στη συνέχεια παίρνουμε την ένωση αυτών των συνόλων. 6. Αν έχουμε να αποδείξουμε ανισώσεις της μορφής () g() ή () g(), τότε ορίζουμε συνάρτηση h() () g() και μελετάμε την μονοτονία της συνάρτησης. Αν η h είναι γνησίως μονότονη, π.χ. γνησίως αύξουσα, ψάχνω ένα Α h τέτοιο ώστε h(). Έτσι, h() h() για, ενώ h() h() για. Αν η h έχει ελάχιστο στο Α h, τότε εξετάζουμε αν η ελάχιστη τιμή είναι μη αρνητική. Βρίσκουμε το κάτω άκρο του συνόλου τιμών αν είναι μη αρνητικό. Αν είναι σύνθεση με γνωστή μονοτονία π.χ η γνησίως αύξουσα τότε g() φ() g() φ(). Ασκήσεις [Προσδιορισμός διαστημάτων μονοτονίας] 1. Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις: 3 α) () συν, 3 [Α,3,4, Β 3,4. σελ.56-7] β) () 1 γ) () 1 δ) () e( ημ συν 1) ημ, [ π,π] π π ε) () συν, [, ]. Δίνεται η συνάρτηση 1 () 1 1. Nα βρείτε: α) Τα lim (), lim () 1 1 β) Τα διαστήματα μονοτονίας της. Τι παρατηρείτε για την μονοτονία στα διαστήματα [,1) και (1,] ; Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -11-
[Μονοτονία - Σύνολο τιμών - Πλήθος ριζών της ] 7 3. Αν () 4 4ln, τότε: α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να λυθεί η εξίσωση (). [Α 5, Β 5. σελ.56-7] [Εύρεση παραμέτρων] e 4. Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση () α [Β 6. σελ.57] να είναι γνησίως αύξουσα στο. [Πρόσημο της ] 5. Δίνεται η συνάρτηση () ln 1. α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της, η () και η (). β) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της. γ) Να λυθεί η εξίσωση 1 ln. ln 1 δ) Αν 1, να αποδειχθεί ότι. 1 [Βοηθητική συνάρτηση για το πρόσημο της ] 6. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση () ημ π,. είναι γνησίως φθίνουσα στο ανοικτό διάστημα [Κάθοδος στην για το πρόσημο της ] 1 e 7. Nα μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης () ln. 8 [Ύπαρξη ριζών Επίλυση Εξίσωσης] 8. Nα λυθούν οι εξισώσεις: α) ln 1 β) 3ln 3 γ) e 1 ln 3 [A 5,6, B, 5, σελ57] δ) 3 4 9 9. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [1,e] με () 1 και () για κάθε [1,e], να αποδειχθεί ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός (1,e) τέτοιος ώστε () ln. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -111-
[Απόδειξη ανισοτήτων Επίλυση Ανίσωσης] Χρήσιμες ανισότητες: ln 1, (1), με μελέτη μονοτονίας της αντίστοιχης συνάρτησης. e 1, (), από την (1) όπου το e ln 1, οπότε ln,, από την (1) e 1, οπότε e, από την () [Εφαρμογή, σελ 66 (επόμενη παράγραφος)] 1. Να αποδειχθούν οι ανισότητες: α) ln 1, για κάθε (για ακρότατα) β) e 1, για κάθε 3 γ) i) ημ, ii) ημ, 3 δ) Αν α β να δείξετε ότι e 1 α α β 1 β 1 11. Να λυθεί η ανίσωση 1 ln e e. 1. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g :. α) Να λυθεί η ανίσωση g( ) g( ). β) Να λυθεί η ανίσωση α α 3, α 1. Πότε ισχύει το ίσον; [Γενικά και Συνδυαστικά ] ln 13. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση () ln. ln 14. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση () 1 15. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση : τέτοια ώστε: ()( 1)() e,, με () 1. e α) Να αποδείξετε ότι () 1,. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. 16. Δίνεται η συνάρτηση () (1 )(ln ). α) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία. β) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1 )(ln ). γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. δ) Να αποδειχθεί ότι (1 )(ln ) 1, για κάθε. 17. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων: α) ln 1 6 β) ln e Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -11-
18. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση με () ln(1 e) - είναι γνησίως αύξουσα. 19. Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το. Δίνεται ότι η συνάρτηση g είναι 1 1. α) Να δείξετε ότι η g είναι 1 1. 3 β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(() ) g(() 1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα.. Έστω, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, με (1) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -113- g(1). α) Αν () g(), για κάθε, να δειχθεί ότι () g() στο (,1) και () g() στο (1,). β) Αν ()g(), για κάθε, να δειχθεί ότι η εξίσωση () g() έχει μοναδική ρίζα στο. ln 1. Δίνεται η συνάρτηση (), (1,). 1 α) Να εξετασθεί ως προς την μονοτονία στο (1,). β α β) Αν α,β(1,) με βα αβ, να δειχθεί ότι α β.. Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: () () 3(), για κάθε {3}. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονία. 3. Έστω :(,), παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει α) Να βρεθεί ο τύπος της. () () ln, (1) β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. 4. Δίνεται η συνάρτηση με () e. α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία. β) Να λύσετε την εξίσωση: e e. 5. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : με () για κάθε για την οποία ισχύει 3 () 3 () ln () e 1 για κάθε. α) Να αποδειχτεί ότι η είναι γνήσια αύξουσα στο. β) Να λύσετε την εξίσωση (ln) (1 ). 6. Να δειχθεί ότι 1 1 ln1, για κάθε (, 1)(,). 1 7. α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση 3 6 β) Να λύσετε την ανίσωση: [ ] 1, να αποδείξετε ότι: g ημ 3.. 8. Αν g() συν g() για κάθε για κάθε 9. Έστω μια συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι () () και () 1. Να α- ποδείξετε ότι () e για κάθε.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Φυλλάδι555 Ενότητα 31 ο.7 Τοπικά Ακρότατα Συνάρτησης Θεώρημα Fermat Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Μία συνάρτηση μπορεί να έχει από κανένα έως άπειρα τοπικά ακρότατα.. Ένα ολικό ακρότατο είναι και τοπικό ακρότατο. Το αντίστροφο δεν ισχύει. 3. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο, (ή ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο). 4. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα δεν είναι πάντα και το μέγιστο μιας συνάρτησης, και ανάλογα το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα δεν είναι πάντα και το ελάχιστο μιας συνάρτησης. [γιατί;] 5. Αν, όμως, μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, μια συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά ελάχιστα. μέγιστο τοπικό μέγιστο τοπικό ελάχιστο α 1 3 4 β τοπικό μέγιστο δεν έχει ελάχιστο τοπικό ελάχιστο 6. [Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής (σελ. 195)] Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν 1, m () και M () 1 να ισχύει: m () M για κάθε [α,β]. [α,β] ώστε αν 7. Θεώρημα Fermat ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο A(, ()) είναι παράλληλη στον άξονα. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -114-
8. Το αντίστροφο του θεωρήματος Fermat γενικά δεν ισχύει. Δηλαδή μπορεί να είναι (), αλλά η να μην έχει ακρότατο στο. Π.χ. για την () 3, είναι (), αλλά δεν παρουσιάζει ακρότατο στην θέση. το να μην είναι εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ 9. Άρα, αν στο Δ η C δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, δεν σημαίνει ότι υποχρεωτικά ότι η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο Δ. 1. Υπάρχει περίπτωση, επίσης, η να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα σημείο και να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Π.χ. η () παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό. O y= 3 11. Αν το είναι άκρο του διαστήματος Δ, η παραγωγίσιμη στο τοπικό ακρότατο, τότε γενικά δεν αληθεύει ότι Π.χ. η συνάρτηση όμως () 4. (), [,] (). και παρουσιάζει στο, παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο, 1. Από ανισότητα σε ισότητα, υποψιαζόμαστε θεώρημα Fermat. 13. Αν για κάθε Δ ισχύει (), τότε η δεν έχει ακρότατα (στο εσωτερικό του Δ). 14. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (α, )(,β) και συνεχής στο, τότε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα κρίσιμα σημεία εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει πρόσημο η. 15. Αν για το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης, γνωρίζουμε ότι η διατηρεί το πρόσημό της εκατέρωθεν του, τότε η δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο είναι γνησίως μονότονη (σε μια περιοχή εκατέρωθεν του ) 16. Σε μια συνάρτηση διπλού τύπου για την εύρεση τοπικού ακροτάτου στο σημείο και η που αλλάζει τύπο η, δεν μας ενδιαφέρει η παραγωγισιμότητα αλλά μόνο η συνέχεια της στο και η μονοτονία της εκατέρωθεν του. 17. Αν για μια συνάρτηση γνωρίζουμε ότι: α) Έχει ελάχιστο ε και (), τότε θα είναι ε. β) Έχει μέγιστο μ και (), τότε θα είναι μ. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 15-16 -115-