ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακά- Έστω οι συναρτήσεις f g h τω σχήματα C h 6 l f( C f l g( C g l l Παρατηρούμε ότι: (a Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και ισχύει: (β lim f ( f ( Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο αλλά lim g( g( (γ Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο αλλά δεν υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της f δε διακόπτεται στο Είναι επομένως φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο μόνο τη συνάρτηση f Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Εστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο όταν lim f ( f ( Για παράδειγμα η συνάρτηση f ( είναι συνεχής στο αφού lim f ( lim f ( Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν:
9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β Υπάρχει το όριό της στο αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της f στο σημείο Για παράδειγμα: αν Η συνάρτηση f ( δεν είναι συνεχής στο αφού αν > ( lim f ( lim( ενώ lim f ( lim( οπότε δεν υπάρχει το όριο της f στο Η συνάρτηση αν f ( δεν είναι συνεχής στο αφού αν ( ( lim f ( lim lim( ενώ f ( Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της θα λέγεται απλά συνεχής συνάρτηση Για παράδειγμα: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής αφού για κάθε ισχύει lim P( P( Κάθε ρητή συνάρτηση Q P είναι συνεχής αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P( P( lim Q( Q( Οι συναρτήσεις f ( ημ και g( συν είναι συνεχείς αφού για κάθε ισχύει lim ημ ημ Τέλος αποδεικνύεται ότι: και lim συν συν Οι συναρτήσεις f ( α και g( log < α είναι συνεχείς α
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακά- Από τον ορισμό της συνέχειας στο τω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: f f g c f όπου c f g f και ν f g με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το Για παράδειγμα: Οι συναρτήσεις f ( εφ και g( σφ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων Η συνάρτηση f ( είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της αφού η συνάρτηση g ( είναι συνεχής Η συνάρτηση f ( ημ είναι συνεχής αφού είναι της μορφής f ( g( όπου g( ημ η οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f ( και f ( ημ Τέλος αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο ( Για παράδειγμα η συνάρτηση φ( ημ( είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f ( και g( ημ f o g f g ωημημ(
94 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για ποια τιμή του α η συνάρτηση α αν f ( ημ είναι συνεχής; αν > ΛΥΣΗ Στο διάστημα ( η f έχει τύπο f ( α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική Στο διάστημα ( η f έχει τύπο ημ f ( και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για να είναι η f συνεχής αρκεί να είναι συνεχής και στο δηλαδή αρκεί lim f ( f ( Έχουμε όμως: lim f ( lim( α α lim f ( ημ lim f ( α και Επομένως αρκεί α ή ισοδύναμα α Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους Είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α β (Σχ 6α Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α β και επιπλέον lim f ( f ( α α και lim f ( f ( β (Σχ 6β β
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 95 6 ( a β (α [ ] a β (β Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής ( α [ α β Δυο βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [ α Επειδή τα σημεία A( α f (α και B( β f ( β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα του οποίου η απόδειξη παραλείπεται ΘΕΩΡΗΜΑ f(β a β f(a Α(αf(α 64 B(βf(β Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α Αν: η f είναι συνεχής στο f ( α f ( β < [ α και επιπλέον ισχύει τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α τέτοιο ώστε β f ( Δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f ( στο ανοικτό διάστημα ( α β ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ 65
96 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65 f(> a β a f(< β (α Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της (β 66 ρ ρ ρ ρ 4 ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α Βρίσκουμε τις ρίζες της f β Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα Για παράδειγμα έστω ότι θέλουμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης f ( ημ συν [ π] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της f ( στο [ π] Έχουμε π ημ συν ημ συν εφ ή 4 Έτσι οι ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα 5π 4 π π 5π 4 4 4 5π και π 4
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 97 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της f σε κάθε διάστημα Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός π π 5π 4 4 4 π 5π π 4 π f ( Πρόσημο Επομένως στα διαστήματα είναι f ( > π 5π π 4 4 π 5π είναι f ( < ενώ στο διάστημα 4 4 Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα η f είναι συνεχής στο f ( α f ( β [ α και [ α Αν: τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α και f (β υπάρχει ένας τουλάχιστον ( α τέτοιος ώστε β f η ( ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f ( α < f ( β Τότε θα ισχύει f ( α < η < f ( β (Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( f ( η [ α παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο g( α g( β < αφού g ( α f ( α η < και g ( β f ( β η > [ α και f(β η Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ( α τέτοιο ώστε β g f ( η οπότε f ( η ( f(a 67 B(β f(β η Α(α f(α a β
98 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ α τότε όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές f(β η 68 η f(a Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: a β Η εικόνα f (Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα 69 ( a β (α ( a β (β Μ [ a β (γ m Μ m [ ] a β (δ Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα θεώρημα [ α ισχύει το παρακάτω ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α τότε η f παίρνει στο [ α μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m (Σχ 69δ Δηλαδή υπάρχουν [ α ] τέτοια ώστε αν m f και M f να ισχύει β ( (
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 99 ΣΧΟΛΙΟ m f ( M για κάθε [ α Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ α είναι το κλειστό διάστημα [ m M] όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα η συνάρτηση f ( ημ [ π] έχει σύνολο τιμών το [ ] αφού είναι συνεχής στο [ π] με m και M π/ π/ π π 7 Τέλος αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α β τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( Α Β (Σχ 7α όπου Α lim f ( και B lim f ( α β Αν όμως η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( α β τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( B A (Σχ 7β 7 B Α A Β ( a β (α ( a β (β Για παράδειγμα Το σύνολο τιμών της f ( ln ( e η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7 είναι το διάστημα ( αφού
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim f ( και lim f ( e 7 7 e Το σύνολο τιμών της f ( ( η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7 είναι το διάστημα ( αφού lim f ( και lim f ( Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [ α [ α β και ( α ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να δειχτεί ότι η εξίσωση συν 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( π π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( συν 4 [ ππ] Τότε: Η f είναι συνεχής στο [ π π] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Είναι f ( π f (π < αφού f ( π π συνπ 4 π 5 < και f ( π π συνπ 4 π > Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ππ τέτοιο ώστε f ( οπότε συν 4 και συνεπώς συν 4 Άρα η εξίσωση συν 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ππ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις: i αν < 4 ( f ii < ( f αν iii ( f αν Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση αν i > ( f ii 5 6 5 ( f iii iv < ln ( f > ( e f 5
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις i f ( ii > ημ < f ( συν 5 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: i f ( ημ(συν ii f ( ln( iii f ( ημ iv f ( e ημ v f ( ln(ln 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( π 7 Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις f να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον ώστε στο διάστημα ( α α η εξίσωση f ( να έχει μία τουλάχιστον ρίζα 5 i f ( ii f ( 4 iii f ( 4 iv f ( 8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ( μ( ν β( λ( ν γ( λ( μ όπου α β γ > και και μια στο ( μ ν λ < μ < ν έχει δυο ρίζες άνισες μια στο διάστημα ( λ μ 9 Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης f για όλες τις πραγματικές τιμές του όταν: i f ( ii f 4 ( 9 iii f ( εφ ( π π iv f ( ημ συν [ π] Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων i f ( ln [ e] ii f ( ( iii f ( ημ 6 iv f ( e ( ]
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ B ΟΜΑΔΑΣ ( κ( κ Αν f ( να προσδιορίσετε το κ ώστε η f να είναι κ 5 > συνεχής στο α β < Αν f ( 5 να βρείτε τις τιμές των α β > ποίες η f να είναι συνεχής στο α β για τις ο- i Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο Να βρείτε το * f ( αν για κάθε ισχύει f ( συν ii Ομοίως να βρείτε το g( για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει g( ημ 4 Αν οι συναρτήσεις f g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [] και πληρούν τις σχέσεις f ( < g( και f ( > g( να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( τέτοιο ώστε f ( ξ g( ξ 5 Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: 4 6 α έχουν μια τουλάχιστον ρίζα στο ( e ln β 6 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο i f ( e και g( ii f ( ln και g( 7 i Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ] για την οποία ισχύει f ( για κάθε [ ] α Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f ( β Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα ( γ Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της f και ποια η γραφική της παράσταση; ii Με ανάλογο τρόπο να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f στο σύνολο για την οποία ισχύει
4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( για κάθε 8 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [] συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και ii Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C f τέμνει και τις δύο διαγώνιες Μ ( Γ( Ο( Β( Α( B(β f(β 9 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f που είναι συνεχής στο [ α και το Μ ( είναι ένα σημείο του επιπέδου Μ(f( Α(αf(α a β i Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d ( ( M M του σημείου M ( από το σημείο M ( f ( της C για κάθε [ α f ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [ α και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της που απέχει από το M λιγότερο από C f ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα τουλάχιστον σημείο της C f που απέχει από το M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής αιτιολογώντας συγχρόνως την απάντησή σας Αν f ( ln και g( e τότε * α ( g o f ( Α Ψ β ( f o g( Α Ψ f ( Αν lim l τότε lim f ( A Ψ Είναι lim lim lim lim A Ψ Ι 4 Αν f ( > για κάθε κατ ανάγκη lim f ( > και υπάρχει το lim f ( τότε Α Ψ 5 Ισχύει: α lim ημ Α Ψ ημ β lim Α Ψ 6 Αν f ( κοντά στο τότε lim( f ( Α Ψ 7 Αν f ( ( α τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f ( Α Ψ 8 Αν υπάρχει το lim( f ( g( τότε είναι ίσο με 6 f ( 6 g(6 Α Ψ 9 Αν lim f ( τότε κατ ανάγκη θα είναι lim f ( ή lim f ( Α Ψ
6 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν lim f ( τότε lim f ( Α Ψ Αν η f είναι συνεχής στο και για 4 ισχύει f ( 7 4 τότε το f (4 είναι ίσο με Α Ψ Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f ( 4 f ( τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός ( στε f ( π τέτοιος ώ- Α Ψ ΙΙ Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις Αν lim f ( l lim g( m m l και f ( < g( κοντά στο τότε κατ ανάγκη θα είναι: Α l < m Β Δ l m Ε l m Γ l m m < l ( Το όριο lim ( είναι ίσο με: Α 8 Β Γ Δ Ε 8 Το lim είναι ίσο με: Α Β Γ Δ Ε 4 Αν το lim δεν υπάρχει τότε: Α Β Γ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις ΙΙΙ f ( ( και Από τους Παρακάτω ισχυρισμούς λάθος είναι ο: Α η g είναι συνεχής στο g (
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 Β η f είναι συνεχής στο Γ η g έχει δυο σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής Δ lim f ( Ποια από τα παρακάτω όρια είναι καλώς ορισμένα; Α lim Β lim 9 Γ lim 9 Δ lim Ε lim[ln( ] ΣΤ lim[ln( ] Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα Δ [] με f ( f ( και f ( Ποιος από τους παρακάτω ισχυρισμούς δεν προκύπτει κατ ανάγκη από τις υ- ποθέσεις; Α Υπάρχει ( τέτοιος ώστε f ( Β lim f ( Γ lim f ( f ( Δ [ ] f ( Δ Ε Η μέγιστη τιμή της f στο [ ] είναι το και η ελάχιστη τιμή της το
8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοια της συνάρτησης ως έκφραση μιας εξάρτησης ανάμεσα σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες εμφανίζεται μ έναν υπονοούμενο τρόπο ήδη από την αρχαιότητα Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι πίνακες χορδών της Αλμαγέστης του Έλληνα μαθηματικού και αστρονόμου της αλεξανδρινής περιόδου Κλαύδιου Πτολεμαίου Στη μια στήλη αυτών των πινάκων υπάρχουν τα μήκη των τόξων ενός κύκλου και στην άλλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών Χρησιμοποιώντας την έννοια του ημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο μπορούμε να εκφράσουμε A αναλυτικά τη συνάρτη-ση των πινάκων του Πτολεμαίου ως εξής: M Ο χορδή τόξου ( AB AM ημ Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια B της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν στις αρχές του 7υ αιώνα Τα γεγονότα που έδωσαν αποφασιστική ώθηση στην ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης ήταν η δημιουργία της Άλγεβρας (χρήση γραμμάτων και ειδικών συμβόλων για την αναπαράσταση μαθηματικών πράξεων σχέσεων αγνώστων κλπ και της αναλυτικής γεωμετρίας (χρήση του αλγεβρικού συμβολισμού σε γεωμετρικά προβλήματα Ο Descartes στο έργο του La Geometrie (67 παρουσιάζοντας τη μέθοδο προσδιορισμού μιας καμπύλης από μια εξίσωση ως προς και (τα ο- ποία εκφράζουν τα ευθύγραμμα τμήματα-συντεταγμένες των σημείων της καμπύλης περιέγραψε για πρώτη φορά τη δυνατότητα αναλυτικής αναπαράστασης μιας σχέσης εξάρτησης ανάμεσα σε μεταβλητές ποσότητες: Αν λοιπόν πάρουμε διαδοχικά ένα άπειρο πλήθος διαφορετικών τιμών για το τμήμα τότε θα προκύψει ένα άπειρο πλήθος τιμών για το τμήμα και επομένως μια απειρία διαφορετικών σημείων με τη βοήθεια των ο- ποίων μπορεί να σχεδιαστεί η ζητούμενη καμπύλη Ο όρος συνάρτηση (από το λατινικό ρήμα fungor που σημαίνει εκτελώ λειτουργώ εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 67 σ ένα χειρόγραφο του Leibniz με τίτλο Η αντίστροφη μέθοδος των εφαπτομένων ή περί συναρτήσεων (Methodus tangentium inversa seu de functionibus στο οποίο εξετάζεται ο υπολογισμός των τεταγμένων των σημείων μιας καμπύλης όταν είναι γνωστή κάποια ιδιότητα των αντίστοιχων εφαπτομένων Ο όρος αυτός άρχισε να αποκτά από εκείνη την εποχή μια ιδιαίτερη σημασία για την αναπαράσταση ποσοτήτων που εξαρτώνται από άλλες μεταβλητές ποσότητες ιδιαίτερα όταν η εξάρτη
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή μιας αναλυτικής έκφρασης Ο J Bernoulli έδωσε το 78 τον επόμενο γενικό ορισμό: Ονομάζω συνάρτηση ενός μεταβλητού μεγέθους μια ποσότητα που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτό το μεταβλητό μέγεθος και από σταθερές Η αντίληψη της συνάρτησης ως αναλυτικής έκφρασης κυριάρχησε για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η μαθηματική ανάλυση ορίζονταν ως η γενική επιστήμη των μεταβλητών και των συναρτήσεών τους Ο επόμενος ο- ρισμός που ταυτίζει την έννοια της συνάρτησης με αυτήν της αναλυτικής έκφρασης δόθηκε από τον L Euler το 748 στο έργο του Εισαγωγή στην απειροστική ανάλυση Συνάρτηση μιας μεταβλητής ποσότητας ονομάζεται μια αναλυτική έκφραση που σχηματίζεται με οποιοδήποτε τρόπο από αυτή τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες Η παραπέρα εξέλιξη της έννοιας της συνάρτησης προήλθε κυρίως από την προσπάθεια μαθηματικής ερμηνείας φυσικών προβλημάτων όπως πχ το πρόβλημα μιας παλλόμενης χορδής στερεωμένης στα δυο άκρα της Σ αυτό το πρόβλημα που απασχόλησε ιδιαίτερα τους επιστήμονες στη διάρκεια του 8ου αιώνα ζητείται να προσδιοριστεί μια συνάρτηση της μορφής f ( t που περιγράφει το σχήμα της χορδής σε μια δεδομένη χρονική στιγμή t Το είδος όμως των συναρτήσεων που υπεισέρχονται σ αυτό το ζήτημα είναι τόσο γενικό που ανάγκασε τους μαθηματικούς να αναθεωρήσουν την καθιερωμένη αντίληψη ότι κάθε συνάρτηση ταυτίζεται με μια αναλυτική έκφραση και να αναζητήσουν γενικότερους ορισμούς Ο L Euler ήδη από το 755 διατύπωσε ένα τέτοιο ορισμό απαλλαγμένο από την άμεση αναφορά στην έννοια της αναλυτικής έκφρασης Αν κάποιες ποσότητες εξαρτώνται από άλλες ποσότητες με τέτοιο τρόπο ώστε όταν οι τελευταίες αλλάζουν συμβαίνει το ίδιο και με τις πρώτες τότε οι πρώτες ονομάζονται συναρτήσεις των τελευταίων Αυτός ο ορισμός είναι πολύ ευρύς και περιλαμβάνει κάθε μέθοδο με την οποία μια ποσότητα θα μπορούσε να προσδιοριστεί από άλλες Αν λοιπόν το υποδηλώνει μια μεταβλητή ποσότητα τότε όλες οι ποσότητες που εξαρτώνται από το με οποιοδήποτε τρόπο ή προσδιορίζονται από αυτό ονομάζονται συναρτήσεις του Οι νέες αυτές αντιλήψεις οδήγησαν βαθμιαία στην έννοια της συνάρτησης ως αυθαίρετης αντιστοιχίας ανάμεσα στα στοιχεία δυο συνόλων που δεν ακολουθεί υποχρεωτικά κάποιο νόμο Ο J Fourier το 8 επισήμανε ρητά αυτό το σημείο με την εξής παρατήρηση: Γενικά η συνάρτηση f ( παριστάνει μια διαδοχή τιμών ή τεταγμένων καθεμιά από τις οποίες είναι αυθαίρετη Αν δοθεί μια απειρία τιμών στην τετμημένη θα υπάρχουν ίσου πλήθους τεταγμένες f ( Όλες έχουν πραγματικές αριθμητικές τιμές θετικές ή αρνητικές ή μηδέν Δεν προϋποθέτουμε ότι αυτές οι τεταγμένες υπόκεινται σ ένα κοινό νόμο διαδέχονται η μια την άλλη με οποιοδήποτε τρόπο και καθεμιά από αυτές δίνεται σαν να ήταν μια μοναδική ποσότητα
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνέχειας Την περίοδο που η έννοια της συνάρτησης ταυτίζονταν με αυτήν της αναλυτικής έκφρασης υπήρχαν δυο διαφορετι- κές αντιλήψεις για την έννοια της συνέχειας Η μία από αυτές με καθαρά γεωμετρική προέλευση εξέφραζε την ιδιότητα μιας καμπύλης να μη παρουσιάζει διακοπές η άλλη με προέλευση κυρίως από τη φυσική εξέφραζε την ιδιότητα Ασυνέχεια στο λόγω διακοπής της καμπύλης σ αυ- ενός φαινομένου να ακολουθεί τον ίδιο νόμο την ιδιότητα μιας συνάρτησης να τό το σημείο διατηρεί την ίδια αναλυτική έκφραση σ ολόκληρο το πεδίο ορισμού της Σ αυτήν την τελευταία αντίληψη περί συνέχειας άσκησε έντονη κριτική ο A L Cauch το 844 σημειώνοντας τα εξής: Στα έργα των Euler και Lagrange μια συνάρτηση ονομάζεται συνεχής ή ασυνεχής ανάλογα με το αν οι διαφορετικές τιμές αυτής της συνάρτησης υπόκεινται ή όχι στον ίδιο νόμο προκύπτουν ή όχι από μια μοναδική εξίσωση Όμως αυτός ο ορισμός πολύ α- Ασυνέχεια στο λόγω μεταβολής της αναλυτικής έκφρασης σ αυτό το σημείο πέχει από το να θεωρηθεί μαθηματικά α- κριβής γιατί αν οι διαφορετικές τιμές μιας συνάρτησης εξαρτώνται από δυο ή περισσότερες διαφορετικές εξισώσεις τίποτα δεν μας εμποδίζει να μειώσουμε τον αριθμό αυτών των εξισώσεων ή ακόμη και να τις αντικαταστήσουμε από μια απλή εξίσωση της οποίας η ανάλυση θα μας έδινε όλες τις υπόλοιπες Επομένως αν κανείς θεωρήσει τον ορισμό των Euler και Langrange εφαρμόσιμο σε όλα τα είδη των συναρτήσεων τότε μια απλή αλλαγή του συμβολισμού είναι συχνά αρκετή για να μετασχηματίσει μια συνεχή συνάρτηση σε ασυνεχή και αντίστροφα Έτσι πχ αν το συμβολίζει μια πραγματική μεταβλητή τότε η συνάρτηση που ισούται με ή ανάλογα με το αν η μεταβλητή είναι θετική ή αρνητική πρέπει για το λόγο αυτό να τοποθετηθεί στην κλάση των ασυνεχών συναρτήσεων όμως η ίδια συνάρτηση θα μπορούσε να θεωρηθεί ως συνεχής όταν γραφεί στη μορφή Έτσι ο χαρακτήρας της συνέχειας των συναρτήσεων θεωρούμενος από το σημείο όπου οι γεωμέτρες σταμάτησαν για πρώτη φορά είναι ασαφής και αβέβαιος Η αβεβαιότητα όμως θα εξαφανιστεί αν στη θέση του ορισμού του Euler αντικαταστήσουμε αυτόν που έχω δώσει στο κεφάλαιο ΙΙ του έργου μου Αλγεβρική ανάλυση Ο ορισμός στον οποίο αναφέρεται εδώ ο Cauch αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη απόπειρα μελέτης της έννοιας της συνέχειας με λογική αυστηρότητα Αποσυνδέοντας αυτήν την έννοια από κάθε γεωμετρική εποπτεία και εξάρτηση από την έννοια της αναλυτικής έκφρασης τη μετασχημάτισε σε μια καθαρά αριθμητική ιδιότητα των συναρτήσεων που μπορεί να γίνει αντικείμενο λογισμού Ο ορισμός αυτός του ( ( Είναι φανερό ότι ο Cauch χρησιμοποιεί εδώ χωρίς να την ονομάζει τη συνάρτηση απόλυτη τιμή
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Cauch που δόθηκε το 8 έχει ως εξής: (έναν παρόμοιο ορισμό είχε δώσει και ο B Bolzano το 87 Έστω f ( μια συνάρτηση της μεταβλητής και ας υποθέσουμε ότι για κάθε τιμή του σ ένα δοσμένο διάστημα η συνάρτηση αυτή έχει πάντοτε μια μοναδική και πεπερασμένη τιμή Αν δώσουμε στην μεταβλητή μια απειροελάχιστη αύξηση α η συνάρτηση θα αυξηθεί κατά τη διαφορά f ( α f ( η οποία εξαρτάται από τη νέα μεταβλητή α και την τιμή που είχε το Σ αυτήν την περίπτωση η συνάρτηση f ( θα ονομάζεται συνεχής στο διάστημα της μεταβλητής αν για κάθε τιμή του σ αυτό το διάστημα η απόλυτη τιμή της διαφοράς f ( α f ( μικραίνει επ άπειρον μαζί μ αυτήν του α Με άλλα λόγια η f ( θα παραμένει συνεχής ως προς αν μια απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής παράγει πάντοτε μια απειροελάχιστη αύξηση της ίδιας της συνάρτησης Η έννοια του ορίου Η έννοια της συνέχειας καθώς και ορισμένες άλλες βασικές έννοιες της ανάλυσης που θα γνωρίσουμε στα επόμενα κεφάλαια (όπως πχ η παράγωγος και το ολοκλήρωμα περιείχαν στα πρώτα στάδια της εξέλιξής τους ορισμένες ασάφειες που οφείλονταν κυρίως στην αδυναμία των μαθηματικών να διαπραγματευθούν με λογική αυστηρότητα την έννοια του απείρως μικρού και του απείρως μεγάλου Αυτή η αδυναμία οδηγούσε πολλούς να αμφισβητούν τα θεμέλια πάνω στα οποία στηρίζονταν το οικοδόμημα της μαθηματικής ανάλυσης και να συνδέουν τα εντυπωσιακά αποτελέσματά της με ορισμένες μεταφυσικές ερμηνείες Οι μαθηματικοί προσπάθησαν να ξεπεράσουν αυτές τις δυσκολίες εισάγοντας την ιδέα του ορίου με την οποία αρχικά εκφράζονταν η δυνατότητα μιας μεταβαλλόμενης ποσότητας να προσεγγίζει επ άπειρον μια σταθερή ποσότητα χωρίς στην πραγματικότητα να τη φτάνει ποτέ Ο d Alembert όρισε το 765 αυτήν την έννοια στην Εγκυκλοπαίδεια του Diderot ως εξής: Ενα μέγεθος ονομάζεται όριο ενός άλλου όταν το δεύτερο μπορεί να προσεγγίζει το πρώτο σε μια απόσταση οσοδήποτε μικρή αν και ένα μέγεθος δεν μπορεί να ξεπερνά ποτέ το μέγεθος που προσεγγίζει έτσι ώστε η διαφορά μιας τέτοιας ποσότητας από το όριό της να είναι εντελώς αμελητέα Σύμφωνα λοιπόν μ αυτόν τον ορισμό που περικλείει την έννοια της κίνησης ως μια διαδικασία προσέγγισης ο αριθμός είναι το όριο της ακολουθίας 9 99 999 9999 αλλά όχι όριο ακολουθίας 9 99 (γιατί αυτή φτάνει το ούτε όριο της ακολουθίας 9 9999 (γιατί αυτή ξεπερνά το Ο τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν την έννοια αυτή του ορίου φαίνεται χαρακτηριστικά στο επόμενο παράδειγμα στο οποίο ο SF Lacroi αποδεικνύει το 8 ότι lim α α α : α Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση στην οποία υποθέτουμε ότι το αυξάνεται α θετικά χωρίς τέλος Διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με το βρίσκουμε
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α ένα αποτέλεσμα που δείχνει καθαρά ότι η συνάρτηση θα παραμένει πάντοτε α α μικρότερη από το α αλλά θα προσεγγίζει συνέχεια αυτήν την τιμή αφού το μέρος του παρονομαστή μειώνεται όλο και περισσότερο και μπορεί να μειωθεί όσο θέλουμε Η διαφορά ανάμεσα στο δοσμένο κλάσμα και την τιμή α εκφράζεται ως α α α α α και επομένως γίνεται ολοένα και πιο μικρή όσο το γίνεται μεγαλύτερο και μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιαδήποτε ποσότητα οσοδήποτε μικρή Συνεπώς το δοσμένο κλάσμα μπορεί να προσεγγίζει το α όσο κοντά θέλουμε: άρα το α είναι το όριο α της συνάρτησης ως προς την αόριστη αύξηση του α Για να τυποποιήσουμε αυτήν την μακροσκελή διαδικασία οι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποσυνδέσουν την έννοια του ορίου από την έννοια της κίνησης και να την ορίσουν με καθαρά αριθμητικούς όρους έτσι ώστε να γίνει ένα αντικείμενο μαθηματικού λογισμού Το αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας υπήρξε ο σημερινός στατικός ορισμός με τη βοήθεια των ανισοτήτων και της απόλυσης τιμής που διατυπώθηκε από τον Weierstrass στα μέσα του 9ου αιώνα Με αυτόν τον ο- ρισμό η έννοια του ορίου απογυμνώθηκε από κάθε στοιχείο εποπτείας αλλά έγινε έτσι δυνατό να αποδειχθούν με λογική αυστηρότητα οι ιδιότητες των ορίων και να τυποποιηθεί η διαδικασία υπολογισμού τους