SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE Chemickotechnologická fakulta Doc. RNDr. Viliam Laurinc, CSc. a kolektív FYZIKA I Zbierka príkladov a problémov
Predslov Cieľom výpočtových cvičení z fyziky je naučiť sa riešením fyzikálnych úloh aplikovať fyzikálne poznatky. Výpočtové cvičenia tak pomáhajú nielen lepšie pochopiť prednášanú látku, ale rozvíjajú aj fyzikálne myslenie. Fyzika je jedna zo základných prírodovedných disciplín, o ktorú sa opiera výchova inžiniera. Každý inžiniersky problém je viazaný na určité základné procesy, je charakterizovaný priebehom, zmenami odpovedajúcich fyzikálnych veličín a príslušnými zákonitosťami. Riešenie fyzikálnych úloh je určitou analógiou inžinierskej analýzy. Je modelom, na ktorom sa rozvíjajú inžinierske prístupy. Už napr. pochopenie a rozbor slovne formulovanej fyzikálnej úlohy vedie k rozvoju schopností problém rozdeliť na veci známe a na výber fyzikálnych zákonov, ktoré pre danú úlohu musíme použiť. Vyžaduje jasne formulovať to, k čomu máme dospieť, čo sú neznáme veličiny a aké rovnice, vyplývajúce z fyzikálnych zákonov máme k dispozícii. Každá slovne formulovaná fyzikálna úloha predstavuje viac alebo menej zložitý problém vybraný z technickej praxe alebo z prírodných javov. Vzhľadom na ich rozmanitosť neexistuje univerzálny algoritmus na ich riešenie. Odporúčame však riadiť sa týmito radami: Dobre si prečítať zadanie a zamyslieť sa nad ním. Pokiaľ je to v úlohe možné, je veľmi dôležité nakresliť si obrázok, veličiny označiť vhodnými symbolmi a napísať rovnice vyjadrujúce potrebné fyzikálne zákony. Pomocou známych vzťahov a zákonov vyjadriť hľadanú veličinu. Zostaviť potrebnú sústavu rovníc. Niekedy nie je potrebné opisovať celý proces, možno využiť niektoré zo zákonov zachovania. Užitočné je zamyslieť sa nad tým, aké sú zmeny fyzikálnych veličín a vzťahy medzi nimi, napr. práca - energia a pod. Kvalitatívne úvahy takéhoto typu môžu riešenie podstatne zjednodušiť. Matematickými úpravami nájsť všeobecné riešenie. Prvou kontrolou jeho správnosti je rozmerová analýza. Určite sme spravili chybu, ak rozmer vyplývajúci zo všeobecného riešenia nie je v súlade s rozmerom hľadanej veličiny. Mimoriadne dôležité je zhodnotiť získané riešenie z hľadiska hraničných hodnôt vystupujúcich veličín. Ak napríklad faktor trenia pri pohybe bude narastať a z výsledku vyplýva, že sila potrebná na pohyb bude klesať, je naše riešenie určite nespráve. Dosadiť správne hodnoty vystupujúcich veličín v sústave SI, vyčísliť výsledok a zamyslieť sa nad jeho hodnotou. Riešenie fyzikálnych príkladov prináša najväčší úžitok vtedy, keď ich riešite samostatne. Nedajte sa odradiť, ak niektoré úlohy nebudete vedieť riešiť ľavou rukou. Aj neúspešný samostatný pokus je užitočný. Oveľa lepšie si potom zapamätáte ako úlohu správne riešiť. K riešeniu príkladov je účelné pristúpiť až potom, keď sú vám jasné definície, vzťahy a príslušné fyzikálne zákony. V každej kapitole sú po úvode uvedené otázky a problémy. Zodpovedajte si otázky, viažu sa k definíciám a zákonom. Ak si ich neviete zodpovedať, naštudujte si príslušnú látku z literatúry alebo z poznámok z prednášok. Ak ste príslušnú látku pochopili, mali by ste vedieť odpovedať aj na veľkú väčšinu v týchto častiach uvedených problémov. Obsah skrípt zodpovedá členeniu predmetu Fyzika I. na ChtF STU. Predmet nadväzuje na prosemináre z fyziky v zimnom semestri I. ročníka a predpokladá zvládnutie základov vektorovej algebry. Oproti štandardným kurzom fyziky nie sú v zbierke základy termodynamiky, ktorých výučba je súčasťou fyzikálnej chémie. V niektorých úlohách je zneužitý skrátený zápis. Napr. typu v = 3t + 5t. Špecifikuje sa však, že rýchlosť je v m s, čas v sekundách. 3
Naším prianím je, aby naše rady pomohli študentom pri riešení príkladov a problémov v základnom kurze fyziky. Sme si vedomí, že univerzálny návod nejestvuje a preto naším doporučením je počítať čo najviac príkladov a pokiaľ možno samostatne. Určitú samostatnú prácu predpokladáme u užívateľa týchto skrípt aj pri štúdiu riešených príkladov. V úprave rovníc sú mnohé kroky ponechané na čitateľa a teda okrem "hlavy" je treba používať tiež "pero a papier". Využívali sme aj relatívne zhustený zápis vzťahov a rovníc a mnohé riešené príklady majú viac charakter úplných návodov na riešenie. V jednotlivých kapitolách sú v rôznej miere zastúpené nové príklady a príklady prevzaté z rôznych zbierok. V každom prípade sme sa snažili pri výbere príkladov a zostavovaní tejto zbierky využiť naše doterajšie skúsenosti z výučby tohoto predmetu. Do akej miery sa nám to podarilo posúdia ich užívatelia. Ďakujeme RNDr. J. Griačovi, CSc. a RNDr. E. Griačovej za prvé korektúry a námety, Ing. V. Lukešovi, PhD. za mimoriadnu ochotu, pomoc pri ich editovaní a kreslenie obrázkov. Recenzentom Doc.RNDr. Jurajovi Dillingerovi, CSc. a Prof.RNDr. Jánovi Pišútovi, DrSc. ďakujeme za starostlivé prečítanie rukopisu a podnetné pripomienky. Autori 4
Kinematika hmotného bodu. Úvod Polohu hmotného bodu v priestore určuje polohový vektor r = x i + y j +z k, kde x, y, z sú súradnice polohového vektora v smere súradných osí určených ortogonálnymi jednotkovými vektormi i, j, k. Veľkosť polohového vektora r = r = x + y + z. Základné veličiny charakterizujúce kinematiku hmotného bodu okrem polohy sú rýchlosť a zrýchlenie. Definované sú takto: r Stredná rýchlosť v = Δ Δt, kde Δ = r t+δt r t je prírastok polohového vektora za čas Δt. r ( ) ( ) () ( ) ( ) dr dx t dy t dz t Okamžitá rýchlosť v = = i+ j + k = vxi+ vyj + vzk. dt dt dt dt ds Pre veľkosť rýchlosti platí v = v = v x + v y + v z =, kde ds je dráha prejdená za čas dt. d t v Stredné zrýchlenie a = Δ, kde Δ je analogicky ako Δt v Δr definovaný prírastok vektora rýchlosti. dv dv dv x y dvz Okamžité zrýchlenie a = = i+ j+ k = axi+ ay j+ az dt dt dt dt k. Pre veľkosť zrýchlenia platí a = a = a + a + a z. x Z definície zrýchlenia platí dv = a dt a integráciou tejto rovnice dostávame v v y = a ()d t t, kde v je rýchlosť v čase t. Polohu určíme na základe známej funkcie rýchlosti. Platí dr = vdt a poloha r v danom čase t je pri známej funkcii rýchlosti určená integrálom () () t t r t = v t dt+ r, kde r je poloha v čase. Po premietnutí týchto vektorových rovníc do smeru súradnicových osí x, y a z dostávame rovnice pre príslušné zložky rýchlosti a polohového vektora. Ak poznáme veľkosť rýchlosti, potom dráhu prejdenú za časový interval t t získame () integráciou veľkosti rýchlosti s= v t dt. t t Priamočiary pohyb rozdeľujeme podľa zrýchlenia na rovnomerný, rovnomerne zrýchlený a nerovnomerný. Ak budeme uvažovať pohyb v osi x, s počiatočnými podmienkami v = v a x = x v čase t =, potom pre jednotlivé typy pohybov platia vzťahy: Rovnomerný pohyb: a =, rýchlosť v je konštantná a súradnica x = v t + x. Rovnomerne zrýchlený (spomalený) pohyb: a = konšt. a platí v = a t + v, x = a t + v t + x. (Pohyb je spomalený, ak zrýchlenie má opačný smer ako rýchlosť). Nerovnomerný pohyb: zrýchlenie je funkciou času a = a(t) a platí: v(t) = at ()dt+ v. Polohu určíme integráciou rýchlosti ako funkcie času x(t) = vt ()dt+ x. t t t t t 5
Pri krivočiarom pohybe celkové zrýchlenie môžeme vzhľadom na dráhu rozložiť na tangenciálne a normálové. a = a τ + a n. Zložky zrýchlenia sú ortogonálne a pre veľkosť celkového zrýchlenia platí a = aτ + a v n, pričom a τ dt a a v n, kde r je polomer zakrivenia dráhy v danom bode. r Vektory okamžitej uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia pri kruhovom pohybe hmotného ϕ bodu sú definované vzťahmi ω = d ω a ε = d, kde vektor elementárneho dt dt pootočenia dϕ je kolmý na rovinu otáčania a orientovaný na tú stranu, z ktorej sa vytváranie uhla javí proti smeru hodinových ručičiek. Orientácia vektorov dϕ a ω je uvedená na Obr... Obvodová rýchlosť v súvisí s uhlovou rýchlosťou ω a polohovým vektorom r vektorovým súčinom v = ω r. Pomocou uhlových veličín a polohového vektora môžeme vyjadriť ω dϕ a = ε r+ ω ω r, v ktorej prvý člen celkové zrýchlenie rovnicou ( ) predstavuje tangenciálne a druhý člen normálové zrýchlenie. Špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu je pohyb po kružnici. Je to rovinný pohyb a vektory dϕ, ω a ε ležia na jednej priamke. Pre kruhový pohyb môžeme Obr.. definovať strednú uhlovú rýchlosť ω = Δ ϕ a stredné uhlové zrýchlenie ε = Δ ω Δt Δt. Pre tangenciálnu a normálovú súradnicu zrýchlenia pri kruhovom pohybe dostávame a τ = ε R, a n = ω R, kde R je polomer kružnice. Ak pohyb po kružnici je rovnomerný, môžeme zaviesť periódu T (dobu obehu) a frekvenciu f (počet otáčok za sekundu). Medzi periódou T, frekvenciou f a uhlovou rýchlosťou platí vzťah: ω = πf = π / T. Pohyb po kružnici môžeme, podobne ako pri priamočiarom pohybe, rozdeliť podľa uhlového zrýchlenia na rovnomerný, rovnomerne zrýchlený a nerovnomerný pohyb po kružnici. Platia analogické vzťahy ako pri priamočiarom pohybe, pričom súradnici x zodpovedá uhol ϕ, rýchlosti v uhlová rýchlosť ω a zrýchleniu a uhlové zrýchlenie ε. Rovnomerný pohyb po kružnici: ε =, ω = konšt., ϕ = ω t + ϕ, Rovnomerne zrýchlený pohyb po kružnici: ε = konšt., ω = ε t + ω, ϕ = ε t + ω t + ϕ. Nerovnomerný pohyb po kružnici: ε = ε(t), ω () t = ε() t dt+ ω a ϕ = ω() t dt+ ϕ t t. Jednoduchými príkladmi pohybov, ak zanedbáme odpor prostredia, sú vrhy. Vrh zvislý nahor alebo nadol je príkladom priamočiareho rovnomerne zrýchleného alebo rovnomerne spomaleného pohybu so zrýchlením, ktorého veľkosť je g. Šikmý vrh je krivočiary pohyb s konštantným celkovým zrýchlením a = g. Je to zložený rovinný pohyb. Vytvorený je vektorovým súčtom rovnomerného vodorovného pohybu a rovnomerne spomaleného (zrýchleného) pohybu vo vertikálnom smere. Ak sa koná v rovine xy, počiatočné podmienky v čase t = sú zvyčajne x = y =. Ak vektor počiatočnej rýchlosti zviera s vodorovným smerom uhol α, pre zložky zrýchlenia, rýchlosti a súradníc hmotného bodu platia vzťahy: a x = ; a y = g ; v x = v cosα ; v y = gt + v sinα ; x = v t cosα ; y = gt + v t sin α Poloha, rýchlosť aj zrýchlenie sú relatívne veličiny. Ak pohyb hmotného bodu opisujeme vzhľadom na dve súradnicové sústavy S a S, z ktorých sústava S koná vzhľadom na sústavu S translačný pohyb s rýchlosťou v so zrýchlením a a rotačný pohyb s uhlovou rýchlosťou ω a s 6
uhlovým zrýchlením ε, potom vzájomný vzťah medzi polohovým vektorom r, rýchlosťou v a zrýchlením a v sústave S a polohovým vektorom r, rýchlosťou v a zrýchlením a v sústave S je: r = r + r ; v = v + ω r + v ; a = a + a + ω v + ω (ω r ) + ε r, kde r je polohový vektor počiatku sústavy S vzhľadom na počiatok sústavy S. Tretí člen vo vzťahu pre zrýchlenie vzatý s opačným znamienkom, teda ( ω v ) sa nazýva Coriolisovo zrýchlenie.. Otázky a problémy. Vysvetlite rozdiel medzi strednou rýchlosťou a okamžitou rýchlosťou.. Ako sa vyjadrí stredná rýchlosť, ak sa teleso pohybovalo najprv po dráhe s rýchlosťou v a potom po dráhe s rýchlosťou v? 3. Môže sa prírastok veľkostí vektora Δv = v v rovnať veľkosti prírastku vektora rýchlosti Δv = v v? Ak áno objasnite kedy. 4. Aký je rozdiel medzi vzťahmi d s dt a d r dt? 5. Čo vyjadruje integrál v d t, čo integrál t t t v dt a čo integrál vxdt? Objasnite rozdiely. t 6. Ak poznáte časovú závislosť súradnice vektora rýchlosti, napíšte všeobecný vzťah pre súradnice polohového vektora. 7. Ak poznáte časovú závislosť súradnice vektora zrýchlenia, napíšte všeobecný vzťah pre súradnice vektora rýchlosti. 8. Čo znamená, ak v.a <? 9. Čo znamená, ak platí v.a = a v aj a sú nenulové?. Čo znamená, ak platí v a = a v aj a sú nenulové?. Ako sa mení veľkosť rýchlosti ak v.a >?. Môže mať hmotný bod zrýchlenie ak má nulovú rýchlosť? t t v t t t 3 3. Môže mať hmotný bod konštantný vektor rýchlosti a premennú Obr.. veľkosť rýchlosti? 4. Môže mať hmotný bod zrýchlenie opačného smeru ako je rýchlosť? 5. Nakreslite graf, v ktorom zobrazíte závislosť zrýchlenia, rýchlosti a súradnice pre priamočiary pohyb rovnomerný, rovnomerne zrýchlený a rovnomerne spomalený. 6. Závislosť rýchlosti od času je na obr... Načrtnite zodpovedajúcu závislosť zrýchlenia od času. a 7. Závislosť zrýchlenia od času je na obr..3. Načrtnite zodpovedajúcu závislosť rýchlosti od času ak počiatočná rýchlosť sa rovnala nule. 8. Čo vyjadruje tangenciálne a čo normálové zrýchlenie? 9. Musí sa vždy meniť veľkosť rýchlosti ak zrýchlenie je konštantné? t t Obr..3 t 3 t. Môže sa teleso pohybovať po zakrivenej dráhe, ak ma zrýchlenie konštantný smer? Uveďte príklad.. O aký pohyb ide, ak normálové zrýchlenie je nulové a tangenciálne je konštantné?. O aký pohyb ide, ak normálové zrýchlenie je konštantné a tangenciálne zrýchlenie je nulové? 3. Aký musí byť kruhový pohyb aby sme mohli definovať periódu a frekvenciu? 4. Vyjdite zo všeobecných vzťahov pre zložený pohyb a vyjadrite rýchlosť a zrýchlenie, ak sústava S koná iba translačný pohyb. Navrhnite príklad pre takýto prípad zloženého pohybu. 5. Rýchlosť závisí od času vzťahom v = A t 3 + B t. Aké rozmery musia mať konštanty A a B? 6. Ktoré z nasledovných závislostí opisujú pohyb s konštantným zrýchlením: (a) v = At, (b) v = Bt, (c) s = A + Bt, (d) s = A + Bt + Ct. t 7
7. Ktoré z uvedených závislostí popisujú rovnomerný pohyb: (a) s = At+B, (b) s = At, (c) s = A t, (d) v = A B t, ak A,B,C sú konštanty? 8. Vektor rýchlosti je daný funkciou v = (A B t) i + C t j, kde A, B, C sú rôzne nenulové konštanty. Môže byť rýchlosť nulová? 9. Dva výťahy idú: jeden spomalene nadol a jeden zrýchlene nahor. Aký smer majú ich zrýchlenia? 3. Počiatočný vektor rýchlosti sa rovná v = ( 3 j + 4 k ) m s a konečný je v =( 4 i + 3 j ) m s. Vypočítajte Δv, Δv a Δv = v v. 3. Pod akým uhlom musíme vrhnúť teleso, aby sa výška jeho výstupu rovnala dĺžke doletu? 3. Koľkokrát môže byť dlhší skok človeka na Mesiaci v porovnaní so skokom na Zemi, ak počiatočná rýchlosť a uhol skoku vzhľadom k vodorovnej rovine sú rovnaké a zrýchlenie na Mesiaci je /6 g? 33. Ktoré faktory ovplyvňujú dĺžku skoku pri skoku do diaľky? 34. Strela je vystrelená s počiatočnou rýchlosťou v = (3 m s )i + ( m s )j a súradnicové osi sú zvolené tak, že vektor j smeruje kolmo nahor. Vyjadrite vektor rýchlosti a vektor zrýchlenia v najvyššom bode dráhy. 35. Loptu vyhodíte nahor s počiatočnou rýchlosťou 5 m s. Ako vysoko vyletí? 36. V ktorom bode svojej dráhy má vystrelená strela najmenšiu rýchlosť? 37. Aký je pomer tangenciálneho a normálového zrýchlenia bodu na obvode kolesa otáčajúceho sa okolo pevnej osi, ak výsledné zrýchlenie zviera uhol 45 so smerom rýchlosti? 38. Vysvetlite, kedy je rýchlosť ihly vzhľadom na platňu väčšia - na začiatku, alebo na konci reprodukcie? 39. Aké je zrýchlenie hmotného bodu pri rovnomernom kruhovom pohybe? 4. Vyjadrite tangenciálne a normálové zrýchlenie pri kruhovom pohybe ako funkciu času, ak je daná počiatočná obvodová rýchlosť, polomer kružnice a uhlové zrýchlenie je konštantné. 4. Kde je väčšia veľkosť Coriolisovho zrýchlenia ak letí lietadlo pozdĺž poludníka smerom na juh v blízkosti pólu, alebo na rovníku?.3 Riešené príklady. Lietadlo má preletieť vzdialenosť km východným smerom. Vietor fúka zo severozápadu rýchlosťou 3 km h. Určite vektor potrebnej rýchlosti lietadla, ak podľa letového poriadku má svoj cieľ dosiahnuť za 4 minút. Rýchlosť lietadla vzhľadom na preletenú vzdialenosť a čas musí byť v L = km / (/3) h = 3 km h. Ak orientujeme os x vo východnom smere potom v L = (3 km h ) i Vektor rýchlosti vetra v V = (v v cos45 ) i (v v sin45 ) j. = y (, km h ) i (, km h ) j v Požadovaná skutočná rýchlosť pohybu lietadla v L vzhľadom na Zem v L bude podľa obr..4 vektorovým súčtom rýchlosti vetra a rýchlosti v v lietadla vzhľadom na vzduch, pre ktorú platí: v = v L v V = (78,8 km h ) i + (, km h ) j. x Obr..4. Súradnica hmotného bodu pohybujúceho sa v osi x závisí od času vzťahom x = A t 3 + B t + C, kde A = m s 3, B = 5 m s, C = 5 m. (a) Nájdite všeobecné vzťahy pre rýchlosť a zrýchlenie, (b) Vypočítajte strednú rýchlosť a stredné zrýchlenie v intervale Δt = s, 3 s. Vyjdeme z definícií rýchlosti a zrýchlenia. Platí: dx dv v = = 3At + Bt; a = = 6 At. dt dt 8
Na určenie strednej rýchlosti a zrýchlenia použijeme vzťahy uvedené v úvode do kapitoly. V čase t = s súradnica x() = 4 m, x(3) = 4 m, rýchlosť v() = 44 m s ; v(3) = 84 m s. Potom v = Δx Δt () 3 x() x = 3s s = 63 m s a zrýchlenie a = Δ v Δt = v ( 3) v( ) 3s s = 4 m s..3 Polohový vektor hmotného bodu r = 3t i + t j + k, kde čas t je v sekundách a zložky polohového vektora sú v metroch. Určte vektory v(t) a a(t), veľkosť vektora v v čase t = s, dráhu prejdenú za s a veľkosť prírastku polohového vektora Δr za tento interval. dr d Rýchlosť v = = ( 3t i+ t j+ k) = ( 6ti+ 4t j) ms dt dt dv d zrýchlenie a = = ( 6ti+ 4tj) = ( 6i+ 4j) m s dt dt Pre dráhu platí t ; m. s = v( t)d t = (6 t) + (4 t) dt = 5 tdt = 5 Veľkosť prírastku Δr = r() r() = i + 8j = 8 m.4 Parametrické rovnice určitého pohybu sú x = r cos ωt, y = r sin ωt a z = bt, kde r, ω a b sú konštanty. Vyjadrite vektory rýchlosti a zrýchlenia a určte aj ich veľkosti. Aká bude trajektória tohto pohybu? dx dy dz d d d Vektor rýchlosti v = i+ j+ k = ( rcos ωt) i+ ( rsin ω t) j+ ( bt) k = dt dt dt dt dt dt = rω sin( ωt) i + rω cos( ωt) j + bk dv dv x y dvz Vektor zrýchlenia a = i+ j+ k = rω cos( ωt) i rω sin( ωt ) j dt dt dt Veľkosť rýchlosti v = r ω + b a veľkosť zrýchlenia a = r ω. Trajektória pohybu je špirála s konštantným stúpaním..5. Dve telesá sú vrhnuté kolmo nahor rovnakou rýchlosťou v = m s, ale s oneskorením δ = 4 s. Za aký čas od vypustenia prvého telesa sa stretnú? Ak zanedbáme odpor vzduchu, pohyb telies je pohyb s konštantným zrýchlením. Ak os y orientujeme smerom nahor, potom zložka zrýchlenia je a = g. Pre takýto pohyb súradnice telies sa budú rovnať: y = gt + v t; y = g(t δ) + v (t δ). Stretnú sa ak y = y t = δ/ + v /g =,94 s. 9
.6. Teleso pri voľnom páde prejde počas poslednej sekundy tretinu celej dráhy. Aká je veľkosť celkovej dráhy za predpokladu, že odpor vzduchu zanedbávame? Riešenie : Dráha prejdená voľne padajúcim telesom je s = g t. Do poslednej sekundy ( za čas (t s)) teleso prešlo dve tretiny celej dráhy a platí rovnica 3 s = g (t s). Úpravou oboch rovníc dostaneme kvadratickú rovnicu t 6t + 3 =, z ktorej riešení má význam t = 5,45 s. Celková dráha je s = 45,7 m..7. Zrýchlenie automobilu pri priamočiarom pohybe rovnomerne klesá z počiatočnej hodnoty a = m s v čase t = na nulu v čase t = sekúnd. Ďalej sa už automobil pohybuje konštantnou rýchlosťou. Vypočítajte dráhu, ktorú prešiel za minútu, ak sa rozbiehal z pokoja. Prvých sekúnd je pohyb nerovnomerný, ďalších 5 sekúnd je rovnomerný a to rýchlosťou, ktorú dosiahol za t = sekúnd. Celková dráha bude súčtom dráh prejdených nerovnomerným a rovnomerným pohybom, s = s + s. Na určenie rýchlosti musíme zo zadania vyjadriť a = a(t). Zrýchlenie klesá rovnomerne, funkčná závislosť a(t) v intervale s až s je teda priamka a z dvoch a = a t. Platí a = dv/dt dv = a dt. Integráciou tejto rovnice pri t počiatočnej podmienke v = dostávame pre rýchlosť bodov dostávame at () t a a v = a t dt = a t t t t = a t = m s Dráhu prejdenú za čas t získame integráciou závislosti rýchlosti od času teda: s t a at a a t t t t t t = 3 a d = 6 = t = 66,6 m. 3 Zostávajúcich 5 sekúnd je pohyb rovnomerný, teda s = vt ( ) t t t=.5 = 5 m a dráha s = 566,6 m..8. Zrýchlenie hmotného bodu pohybujúceho sa v osi x závisí od polohy podľa funkcie a = (4x ) m s, kde x je v m. Počiatočná podmienka je v = m s v bode x =. Nájdite všeobecný vzťah pre rýchlosť ako funkciu polohy. Pohyb sa koná po jednej priamke, preto nám stačí skalárny zápis veličín, ktoré budú predstavovať v zložky pohybu vo zvolenej osi x. Vyjdeme z definície zrýchlenia a = d, z ktorej vyplýva rovnica d t dv = a dt. Z nej po dosadení funkcie zrýchlenia získame dv = (4x ) dt. Túto rovnicu nemôžeme integrovať, pretože má 3 premenné veličiny. Musíme odstrániť čas. Využijeme na to definíciu rýchlosti v = dx/dt, z ktorej po úprave dostávame dt = dx/v. Po dosadení dostávame rovnicu: dv v = (4x ) dx. V tejto rovnici sme úpravami získali separáciu premenných a môžeme ju integrovať v požadovaných intervaloch premenných veličín. v vo x ( ) vdv = 4x dx. Dostávame:
v v = x x z čoho po dosadení číselných hodnôt a úprave získame rýchlosť ako funkciu polohy: v = 4x x+ m s -. Poznámka: Úlohu tohoto typu, ako uvidíme neskôr v Kap.3, môžeme riešiť veľmi jednoducho využitím vzťahu medzi prácou a kinetickou energiou. Práca výslednej sily sa rovná prírastku kinetickej energie. Sila F = ma a práca je integrál sily po trajektórii pôsobiska sily. Riešenie týmto spôsobom ponechávame na čitateľa..9. Zrýchlenie telesa pri priamočiarom pohybe je a = kv, kde k je konštanta. V čase t = pre rýchlosť platí v = v. Určte rýchlosť a polohu ako funkciu času a rýchlosť ako funkciu polohy. v Podľa definície dosadíme a = d dt a dostávame rovnicu d v = kv. V tejto rovnici máme dve dt premenné a to rýchlosť a čas. Rovnicu môžeme integrovať, ak na každej strane rovnice bude iba jedna dv z nich, t. j. vykonáme separáciu premenných. Dostávame = kt d. Túto rovnicu integrujeme a to v v t dv v hraniciach podľa zadania. Dostávame = kdt v. Po integrácii potom = kt. v v v v Úpravou poslednej rovnice získame rýchlosť ako funkciu času v = vkt +. x Polohu určíme z rovnice, ktorú sme získali pre rýchlosť. Dosadíme v = d a úplne analogicky dt predchádzajúcemu postupu urobíme separáciu premenných a získanú rovnicu integrujeme v hraniciach daných zadaním príkladu. Postupne dostávame: v x t x x v kt x v kt ) x x t d = d = ( ln( + ) ln) = ln( + +. vkt + k k x Získali sme polohu hmotného bodu ako funkciu času. Teraz už môžeme vyjadriť rýchlosť ako funkciu polohy a to tak, že z poslednej rovnice vyjadríme čas a dosadíme do vzťahu pre rýchlosť. Dostávame: t ( e k( x = x ) ) vk k x x a po dosadení do vzťahu pre rýchlosť a úprave získame v = v e ( ).. Strela bola vystrelená pod uhlom α = 3 vzhľadom na vodorovnú rovinu rýchlosťou v = m s. Pohyb je v rovine xy s konštantným zrýchlením a = g j. Vyjadrite rovnicu trajektórie, vypočítajte dobu výstupu, maximálnu výšku strely, dobu letu, dostrel x m a polomer zakrivenia dráhy v maximálnej výške. Pre priemet rýchlosti do osí x a y dostávame zo všeobecného vzťahu pre rovnomerne zrýchlený pohyb v x = v x = v cosα v y = g t + v y = g t + v sinα a pre súradnice x = v cosα t y = / g t + v sinα t. Rovnicu trajektórie y = f(x) získame vylúčením času zo sústavy rovníc pre x a y. Potom :
gx y = v cos α + x tgα čo je rovnica paraboly. V maximálnej výške je rýchlosť v y = v doba výstupu t = sinα v. Maximálnu výšku dostaneme po dosadení t v do vyjadrenia pre y. g o y max = v sin α sin 3 = = 59,7 m. g 98, Pri dopade je z =, z čoho vyplýva doba letu t l = v sinα /g. Pre dostrel po dosadení doby letu dostávame: y o v v x = sinαcosα m g = sinα g = sin6 = 353 m a n 98, g Polomer zakrivenia vystupuje v normálovom zrýchlení α a n = v /r, kde v je celková rýchlosť. Veľkosť celkového zrýchlenia je g a podľa obr..5 pre zložky zrýchlenia platí: a n = g sinϕ a a τ = g cosϕ. Na vrchole dráhy ϕ = π/, a τ = a Obr..5 a n = g. V maximálnej výške v y = a celková rýchlosť sa rovná zložke v x. v x = v cosα r = (v cosα) /g = (.cos 3 ) /9,8 = 358 m. ϕ a τ x. Pohyb telesa je opísaný pohybovými funkciami: x = t, y = 5t + 5t +, z =, kde vzdialenosti sú v metroch a čas v sekundách. Určte: (a) polohu telesa v čase t = s, (b) veľkosť rýchlosti v čase t = s a uhol, ktorý v tomto čase zviera vektor rýchlosti s osou x, (c) vektor zrýchlenia, (d) normálové a tangenciálne zrýchlenie a polomer krivosti dráhy v čase t = s. y v a n g ϕ a τ x (a) Polohu v danom čase získame dosadením času do zadaných funkcií. Dostávame r = 4 i m. Obr..6a (b) Vektor rýchlosti v = dr/dt = i +(5 t) j m s. Potom v = + ( 5 t) a v() = 5 m s. Pre uhol s osou x platí cosα = v x /v α = arc cos(v x /v) = arc cos /5 = 36,9. (c) Vektor zrýchlenia a = dv/dt = j m s. (d) Tangenciálne zrýchlenie určíme z definície a τ = d v d / t 5 = ( 4 + ( 5 t) ) = dt dt 4 + ( 5 t) Potom a τ () = 6 m s. Normálové zrýchlenie určíme zo vzťahu a n = a a τ. V čase t = s dostávame a n () = 8 m s. Pre polomer zakrivenia platí r = v /a n = 65/8 = 78, m... Teleso je vrhnuté vodorovným smerom počiatočnou rýchlosťou v = m s. Vypočítajte veľkosť normálového zrýchlenia, tangenciálneho zrýchlenia a polomer krivosti dráhy telesa v čase t =,5 s. Odpor vzduchu zanedbajte. Celkové zrýchlenie je zrýchlenie voľného pádu. Podľa obr..6a v ľubovoľnom bode trajektórie platí pre zložky zrýchlenia a n = g sinϕ a a τ = g cosϕ..
Pohyb uvažujeme v rovine xy, pričom os y sme y orientovali v smere zrýchlenia. Pri takejto orientácii súradnicových osí platí v x = v a v y = gt. Tangenciálne v x zrýchlenie má smer celkovej rýchlosti, ktorej veľkosť je v = v + g t. Pre zložky rýchlosti zároveň podľa obr. v v ϕ.6b platí v x = v sinϕ a v y = v cosϕ. Z posledných vzťahov vyjadríme sinϕ a cosϕ a po dosadení dostávame a n = gv /v a a τ = g t/v a n = gv /v a a τ = g t/v. Obr..6b Polomer krivosti určíme zo vzťahu a n = v /r r = v 3 /gv. Po dosadení číselných údajov dostávame a n = 5,5 m s, a τ = 8,m s a r = 57,39 m. x.3 Ventilátor sa otáčal rýchlosťou zodpovedajúcou 5 otáčkam za sekundu. Po vypnutí pri rovnomerne spomalenom pohybe vykonal až do zastavenia 75 otáčok. Aký čas uplynul od vypnutia ventilátora do jeho zastavenia? Pre rovnomerne spomalený rotačný pohyb platí ω = ε t + ω a ϕ = /ε t + ω t. Vzťahy sú analogické rovnomerne spomalenému pohybu po priamke, pričom súradnici odpovedá uhol, rýchlosti uhlová rýchlosť a zrýchleniu uhlové zrýchlenie. Pri zastavení platí = ε t z + ω, kde t z je doba do zastavenia. Ak počet otáčok je n potom celkový uhol otočenia do zastavenia ω ϕ = π n = εtz + ωtz = tz + ωtz = ω t t doba zastavenia t z z = 4πn/ω = n/f = s. z.4 Bod sa pohybuje po kružnici polomeru R =, m tak, že závislosť dráhy od času je daná funkciou s = A + Bt + Ct 3, kde B = rad s, C = rad s 3. Pre body ležiace na obvode kolesa určite v čase s od začiatku pohybu nasledovné veličiny: uhlovú rýchlosť, obvodovú rýchlosť, uhlové zrýchlenie, tangenciálne zrýchlenie, normálové zrýchlenie a uhol medzi celkovým zrýchlením a rýchlosťou. Pri kruhovom pohybe dráha priamo súvisí s celkovým uhlom pootočenia ϕ vzťahom s = ϕ R ϕ = (/R)(A + Bt + Ct 3 dϕ B+ 3Ct ). Potom uhlová rýchlosť ω = =, dt R ds a n obvodová rýchlosť v = = ωr= B+ 3Ct, α dt a dω 6Ct uhlové zrýchlenie ε = =, dt R dv tangenciálne zrýchlenie aτ = = εr = 6 Ct, dt ( B + Ct ) v normálové zrýchlenie an = = ω R= R R Pre uhol medzi celkovým zrýchlením a rýchlosťou podľa obr..7 platí an ( B+ 3Ct ) tgα = = α = arctg a. a 6CRt an τ 3 τ Obr..7 Po dosadení číselných hodnôt dostávame: ω = 4 s, v = 4 m s, a τ = m s, ε = s, a n = 96 m s a α = 89,65. a τ 3
.5 Vodorovná kruhová doska sa otáča okolo zvislej osi tak, že za minútu vykoná otáčok. Pozdĺž jej polomeru sa vzhľadom na dosku pohybuje hmotný bod rovnomerne rýchlosťou v =,5 m s. Nájdite hodnotu rýchlosti a zrýchlenia bodu vzhľadom na okolie v čase t = s, keď v čase t = sa nachádzal v strede dosky. Úloha predstavuje zložený pohyb. Pre rýchlosť vzhľadom na okolie platí v = v + ω r + v a pre zrýchlenie: a = a + a + ω v + ω (ω r ) + ε r. V našom prípade sú podľa zadania niektoré členy nulové pretože v = a = a = ε = (doska nemá translačný pohyb, bod sa po doske pohybuje rovnomerne a rotácia nemá zrýchlenie ). Zostávajúce členy sú na seba kolmé, r = v t a pre veľkosť rýchlosti a zrýchlenia dostávame: v = v + v t ω = v + t ω ; a = ( ωv') + ( ω v' t) = ωv' 4+ ω t. Po dosadení číselných hodnôt dostávame v čase t = s: v() =,57 m s, a() = 57,9 m s..6 Bod M sa podľa obr..8 pohybuje rovnomerne rýchlosťou v po povrchovej priamke kužeľa vychádzajúc z jeho vrcholu. Kužeľ sa otáča okolo svojej osi konštantnou uhlovou rýchlosťou ω. Určte v čase t od začiatku pohybu veľkosť zrýchlenia a rýchlosti bodu M vzhľadom na nepohyblivú sústavu S, keď uhol medzi povrchovou priamkou a osou kužeľa je α.. Úloha predstavuje zložený pohyb rotujúcej sústavy (kužeľ) a rovnomerného pohybu bodu v tejto sústave. Všeobecné vzťahy pre zložený pohyb vzhľadom na nepohyblivú sústavu S sú: pre rýchlosť: v = v + ω r + v a pre zrýchlenie: a = a + a + ω v + ω (ω r ) + ε r. V našom prípade v = a = a = ε = a rýchlosť v zviera s uhlovou rýchlosťou ω uhol π α. Jej veľkosť je konštantná a označme ju v. Za čas t má polohový vektor r v otáčajúcej sa sústave veľkosť r =v t. Vektory ω v a ω (ω r ) sú navzájom kolmé a pre veľkosť celkového zrýchlenia vzhľadom na sústavu S dostávame: α ω Obr..8 M V a = ( ωv'sin α) + ( ω r'sin α) = v' ωsinα 4+ ω t Navzájom kolmé sú tiež vektory v a ω r a pre veľkosť rýchlosti v v= v' ωtsinα +. dostávame ( )..4 Neriešené príklady.7 Dva vlaky sa pohybujú po paralelných tratiach rýchlosťami v = 7 km/hod. a v = km/hod.. Aká je ich relatívna rýchlosť ak: (a) vlaky sa pohybujú rovnakým smerom, (b) vlaky sa pohybujú opačnými smermi?.8 Riešte predchádzajúcu úlohu, ak trate nie sú paralelné, ale zvierajú uhol 6..9 Rieka tečie na sever rýchlosťou v R = 3 km/h. Čln smeruje na východ a jeho rýchlosť vzhľadom na vodu je v v = 5 km/h. (a) O aký uhol musí kormidelník nasmerovať čln od východného smeru, 4
aby takýto pohyb nastal? (b) Vypočítajte rýchlosť člna vzhľadom na pevninu a čas za ktorý sa dostane na druhý breh, ak rieka má šírku d = km.. Vodič idúci v daždi rýchlosťou 8 km/h pozoroval, že kvapky zanechávajú na okne stopu odklonenú 3 od vertikálneho smeru. Keď zastal, videl, že dážď padá kolmo. Aká je rýchlosť dažďových kvapiek vzhľadom na Zem?. Aká je priemerná rýchlosť automobilu v prípade, že (a) prvú polovicu času sa pohybuje rýchlosťou v = km/h a druhú polovicu času rýchlosťou v = 6 km/h. (b) prvú polovicu dráhy prejde rýchlosťou v a druhú polovicu rýchlosťou v?. Poloha bodu pohybujúceho sa po priamke je daná rovnicou x = 6 t 6 t, kde súradnica x je v metroch a čas t v sekundách. (a) Aká je poloha bodu v čase t = 3 s? (b) Za aký čas bude daný bod prechádzať počiatkom? (c) Aká je stredná rýchlosť za s? (d) Nájdite všeobecný vzťah pre strednú rýchlosť v časovom intervale t o < t < (t o + Δt). (e) Aká je okamžitá rýchlosť v čase t =? (f) Nájdite všeobecný vzťah pre okamžité zrýchlenie. (g) V ktorom čase je zrýchlenie rovné nule? (h) V ktorom čase je pohyb zrýchľovaný a v ktorom spomaľovaný? Načrtnite grafy závislosti rýchlosti a zrýchlenia na čase..3 Častica sa pohybuje tak, že jej polohový vektor sa mení v čase podľa funkcie r = 3t i + tj + k. Vzdialenosť je v metroch a čas t je v sekundách. Vyjadrite: (a) vektory rýchlosti a zrýchlenia, (b) veľkosť rýchlosti v čase t = s, (c) približne vyjadrite veľkosť dráhy, ktorú častica prešla za. sekundu. Diskutujte váš postup vzhľadom na presné riešenie..4 Hmotný bod sa pohybuje s rýchlosťou v = i + tj + 3t k. Rýchlosť je vyjadrená v m s, čas je v sekundách. Vzhľadom na čas t = vypočítajte: (a) prírastok Δr za sekundy, (b) Δv za ten istý interval..5 Pohyb častice v osi x je daný funkciou x = t 3 3t 9t + 5, kde čas t je v sekundách a vzdialenosť x v metroch. V akom časovom intervale sa častica pohybuje v kladnom smere osi x a v akom v zápornom smere? Počas ktorého intervalu je pohyb zrýchlený a kedy spomalený? Načrtnite grafy závislostí polohy, rýchlosti a zrýchlenia od času..6 Závislosť dráhy prejdenej telesom na čase je daná rovnicou s = A +Bt + Ct + Dt 3, kde C =, m s a D =, m s 3. (a) za aký čas od začiatku pohybu sa bude zrýchlenie telesa rovnať m s? (b) čomu sa bude rovnať v tomto intervale stredné zrýchlenie?.7 Závislosť dráhy prejdenej telesom na čase je určená rovnicou s = Bt + Ct., kde B = m s a C = m s. (a) Určite strednú rýchlosť a stredné zrýchlenie telesa v časovom intervale od začiatku prvej do konca štvrtej sekundy. (b) Zostrojte graf dráhy, rýchlosti a zrýchlenia v čase t 5 s..8 Lietadlo pri štarte prejde dráhu 6 m za 5 sekúnd. Ak predpokladáme konštantné zrýchlenie vypočítajte štartovaciu rýchlosť a zrýchlenie lietadla..9 Auto čakajúce na križovatke na zelenú sa začalo pohybovať po dobu 6 s s konštantným zrýchlením a = m s a ďalej sa pohybovalo už s dosiahnutou rýchlosťou. Pri naskočení zeleného svetla v druhom pruhu prechádzal nákladný automobil s konštantnou rýchlosťou m s. Za aký čas a ako ďaleko od križovatky sa autá znova stretnú?.3 Pohyb bodu je určený rovnicami x = A t + BB, y = A t + B B, kde A =, m s, BB =,5 m, A =,5 m, B B =,3 m. Nájdite: (a) vektory rýchlosti a zrýchlenia, (b) smery a veľkosti rýchlosti a zrýchlenia v čase t = s. Smer určite pomocou uhla vzhľadom k osi x. 5
.3 Teleso pri voľnom páde prejde metrovú vzdialenosť medzi dvomi meracími bodmi za sekundu. Z akej výšky nad horným bodom teleso padá? Odpor vzduchu zanedbajte..3 Kameň sme pustili do priepasti a dopad bolo počuť za s. Ak rýchlosť zvuku vo vzduchu je 33 m s a zanedbáme odpor vzduchu, aká je hĺbka priepasti?.33 Voľne padajúce teleso prejde za poslednú sekundu štvrtinu celej dráhy. Vypočítajte z akej výšky teleso padá a dobu pádu..34 Voľne padajúce teleso prešlo posledných 3 m svojej dráhy za sekundu. Určite výšku, z akej teleso padá..35 Bombardovacie lietadlo letí rýchlosťou 7 km/hod. vo výške 5 km. (a) V akej horizontálnej vzdialenosti musí uvolniť bombu, aby zasiahla cieľ? (b) Určite rýchlosť bomby pri dopade. (c) Pod akým uhlom vzhľadom na vodorovnú rovinu bomba dopadne na cieľ?.36 Teleso je vrhnuté vodorovným smerom s počiatočnou rýchlosťou v o = m s. Za aký čas od začiatku pohybu sa veľkosť celkovej rýchlosti bude rovnať dvojnásobku počiatočnej rýchlosti?.37 Pod akým uhlom k horizontu je vrhnuté teleso, ak maximálna výška ktorú dosiahne, sa rovná jednej štvrtine doletu?.38 Strela je vystrelená pod uhlom α = 35 vzhľadom na vodorovnú rovinu. Dopadne na zem vo vzdialenosti d = 4 km. Vypočítajte veľkosť počiatočnej rýchlosti, čas letu strely a maximálnu výšku ktorú dosiahne..39 Z jedného bodu sú súčasne vrhnuté dve telesá s rovnakou rýchlosťou, ale pod rôznymi uhlami vzhľadom k horizontu. Vypočítajte vzdialenosť d medzi telesami v čase t = s, ak počiatočná rýchlosť v o = m s a uhly boli α = 3 a α = 6..4 Z veže výšky h = 5 m je vrhnutý vodorovne kameň rýchlosťou v = 5 m s. Určite v akej vzdialenosti od veže dopadne na zem, aká bude doba letu, veľkosť rýchlosti s ktorou dopadne na zem a uhol dopadu vzhľadom na vodorovnú rovinu..4 Teleso je vrhnuté s rýchlosťou v = 4,5 m s pod uhlom 45 vzhľadom k horizontu. Určite veľkosť tangenciálneho a normálového zrýchlenia telesa v čase t = s od začiatku pohybu. Odpor vzduchu zanedbajte..4 Teleso je vrhnuté pod uhlom 6 vzhľadom k horizontu s počiatočnou rýchlosťou v = m s. Vypočítajte polomer krivosti dráhy v najvyššom bode jeho dráhy. Odpor vzduchu zanedbajte..43 Elektrický rušeň sa rozbieha so zrýchlením ktoré rovnomerne klesá z hodnoty a =, m s na nulu za s. Aká bude jeho rýchlosť po s a akú dráhu za tento čas prešiel, ak na počiatku bol v pokoji?.44 Zrýchlenie častice pohybujúcej sa po priamke sa v závislosti od polohy mení podľa funkcie a = kx. Počiatočná poloha, v ktorej rýchlosť v =, bola x = x. Nájdite veľkosť rýchlosti častice v počiatku..45 Zrýchlenie telesa pohybujúceho sa po priamke je dané funkciou a = a Ct, kde a = 4 m s a C = m s 4. Nájdite vzťah pre rýchlosť a polohu ako funkciu času ak v čase t = 3s bolo v = m s a poloha x = 9 m. 6
.46 Zrýchlenie telesa pri priamočiarom pohybe je dané vzťahom a = A Bv. Počiatočné podmienky sú x = a v = v čase t =. Nájdite v (t), x (t) a x(v)..47 Teleso sa pohybuje po priamke a pre rýchlosť platí v = t 3 + 4t +, kde čas je v sekundách a rýchlosť v m s. Ak v čase t = s jeho poloha bola x = 4 m, určite hodnotu x a zrýchlenie telesa v čase t = 3 s..48 Hmotný bod sa pohybuje po kružnici s polomerom R = m uhlovou rýchlosťou ω = s. Vypočítajte periódu, frekvenciu a dostredivé zrýchlenie pri tomto pohybe..49 Koleso polomeru R =, m sa otáča tak, že závislosť uhla potočenia od času vyjadruje rovnica ϕ = A + Bt + Ct 3, kde B = rad s, C = rad s 3. Pre body, ktoré ležia na obvode kolesa nájdite v čase t = s, obvodovú rýchlosť, uhlové zrýchlenie, tangenciálne zrýchlenie a normálové zrýchlenie..5 Koleso sa otáča tak, že závislosť uhla potočenia od času vyjadruje rovnica ϕ = Ct +Dt 3, kde C = s, D = s 3. Vypočítajte polomer kolesa, ak na konci sekundy sa normálové zrýchlenie bodu na obvode kolesa rovnalo 5,. m s..5 Hmotný bod koná pohyb po kružnici s polomerom r =, m so stálym uhlovým zrýchlením ε = s. Vypočítajte hodnotu tangenciálneho zrýchlenia, normálového zrýchlenia a celkového zrýchlenia na konci 4. sekundy, ak v čase t = bol hmotný bod v pokoji..5 Teleso sa začína otáčať okolo pevnej osi s konštantným uhlovým zrýchlením ε =, s. Za aký čas od začiatku pohybu bude celkové zrýchlenie hociktorého otáčajúceho sa bodu telesa zvierať uhol 76 s rýchlosťou toho istého bodu?.53 Koleso sa otáča s frekvenciou f = 8 ot/min. Brzdením možno dosiahnuť, že jeho otáčanie bude rovnomerne spomalené a koleso sa zastaví za čas t = 3 sekúnd. Vypočítajte uhlové spomalenie ε a počet otáčok ktoré koleso vykoná od začiatku brzdenia až do zastavenia..54 Bod sa pohybuje po kružnici a prejdená dráha závisí na čase funkciou s = t 3 + t, kde s je vyjadrené v metroch a čas v sekundách. Ak celkové zrýchlenie bodu v čase t = s je 6 m s, vypočítajte polomer kružnice..55 Hmotný bod sa pohybuje po kružnici polomeru R= m s konštantným tangenciálnym zrýchlením. Vypočítajte jeho normálové zrýchlenie za čas t = s od začiatku pohybu, ak viete, že na konci piatej otáčky sa obvodová rýchlosť bodu rovnala v = 4 m s..56 Veľkosť rýchlosti vlaku po odchode zo stanice rovnomerne narastala a po čase t = 3 min. dosiahla hodnotu v = m s. Trať je zakrivená a polomer zakrivenia sa rovná 8 m. Určite veľkosť tangenciálneho, normálového a celkového zrýchlenia v čase t = min. od odchodu zo stanice..57 Hmotný bod sa pohybuje po kružnici s polomerom r =,m tak, že jeho uhlová súradnica ϕ je daná vzťahom ϕ(t) = A + Bt 3, kde A = rad a B = 4 rad s 3. (a) Aké bude normálové zrýchlenie a tangenciálne zrýchlenie tohoto bodu v čase t = s? (b) Pri akej hodnote ϕ bude uhol medzi celkovým zrýchlením a jeho normálovou zložkou α = 6?.58 Polohový vektor častice v sústave S je r = ((6t 4t) i 3t 3 j +3 k ) m, kde čas je v sekundách a poloha v metroch. (a) Určte relatívnu rýchlosť sústavy S vzhľadom na sústavu S, ak polohový vektor častice v sústave S je r = ((6t + 3t) i' + ( 3t 3 ) j' + 3 k') m. Navzájom sú rovnobežné vektory ( i,i'), (j,j') a (k,k').(b) ukážte, že zrýchlenie častice je rovnaké v obidvoch sústavách. 7
.59 Tyč sa otáča okolo osi kolmej na tyč s frekvenciou f = s. Bod sa pohybuje v smere tyče od osi otáčania ku jej koncu konštantnou relatívnou rýchlosťou v =,5 m s. Vypočítajte veľkosť rýchlosti vzhľadom na okolie v čase t = 5 s, keď v čase t = sa bod nachádzal v bode otáčania tyče..6 Rieka tečie južným (severným) smerom rýchlosťou 9 km/hod na 45 zemepisnej šírky. Určite aké bude v tomto mieste Coriolisovo zrýchlenie. 8
Dynamika hmotného bodu. Úvod Vzájomné pôsobenie fyzikálnych objektov charakterizuje sila. Sila je vektorová veličina a pri pôsobení viacerých síl na fyzikálny objekt výsledná sila je vektorovým súčtom jednotlivých síl. Základnými zákonmi klasickej mechaniky sú Newtonove pohybové zákony:. Pohybový stav telies v inerciálnej sústave sa bez pôsobenia síl nemení a teleso zotrváva v pokoji, alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe. Inerciálne sústavy sú sústavy, ktoré sú spojené s voľne sa pohybujúcim telesom, ktoré nekoná rotačný pohyb vzhľadom na stálice.. Časová zmena hybnosti telesa je priamo úmerná pôsobiacej sile. 3. Sily ktorými dve telesá navzájom na seba pôsobia sú rovnako veľké, ale opačného smeru. Druhý zákon matematicky vyjadruje diferenciálna rovnica d p d( mv) = = F. Keď hmotnosť je dt dt konštantná potom prechádza na tvar ma = F. Zložkové vyjadrenia tejto rovnice sú: ma x = F x ; ma y = F y ; ma z = F z Integrálnym vyjadrením druhého Newtonovho zákona je impulz sily : I = p p = t F dt. Druhý Newtonov zákon môžeme v neinerciálnych sústavách použiť len vtedy, ak ku reálnym silám, t.j. silám vystupujúcim v inerciálnej sústave pridáme sily zotrvačné ( zdanlivé sily). Silu v neinerciálnej sústave S, ktorá rotuje s uhlovou rýchlosťou ω, má uhlové zrýchlenie ε a jej počiatok sa pohybuje so zrýchlením a vyjadríme vo všeobecnosti vzťahom: F ' = F ma mε r' mω v' mω ( ω r' )= F + F + F + F + F tr,z τ,z c od,z t! kde F je reálna sila, r je polohový vektor a v je rýchlosť v neinerciálnej sústave. Sila F tr,z = ma je zotrvačná translačná sila, F τ,z = m ε r je zotrvačná tangenciálna sila, F c = mω v je zotrvačná Coriolisova sila a F od,z = m ω (ω v ) je zotrvačná odstredivá sila. Sila F pôsobiaca na hmotný bod môže byť vo všeobecnosti funkciou času, polohy, alebo rýchlosti. Pohyb hmotného bodu, teda kinematické veličiny ktoré ho charakterizujú, určíme riešením d r pohybovej rovnice m = F( rvt,, ), kde r je polohový vektor hmotného bodu. K riešeniu pohybovej d t rovnice potrebujeme počiatočné podmienky, ktorými sú obyčajne poloha a rýchlosť v čase t =. Pri pohybe jedného telesa po povrchu druhého telesa vzniká v dotykovej ploche trecia sila pôsobiaca proti pohybu, ktorej veľkosť je F tr = μ F N, kde μ je faktor šmykového trenia a F N je normálová zložka sily, ktorou je pritláčané jedno teleso na druhé.. Otázky a problémy. Ako sa pohybuje hmotný bod, keď vektorový súčet naň pôsobiacich síl sa rovná nule?. Aký je vzťah medzi impulzom sily a hybnosťou? 3. Aké sú v jednotkách SI rozmery sily, hybnosti a impulzu sily? 4. Vyslovte Newtonove zákony a hranice ich platnosti. 9
5. Kde vzniká sila trenia? Od čoho závisí? 6. Čo sú to počiatočné podmienky? 7. Koľko počiatočných podmienok vo všeobecnosti potrebujeme k riešeniu pohybovej rovnice? 8. Pre konštantnú silu pôsobiacu na hmotný bod v každom bode dráhy platí F.v =. Ako sa mení veľkosť a smer rýchlosti? 9. Pre konštantnú silu pôsobiacu na hmotný bod platí F.v <. Aký druh pohybu koná hmotný bod?. Rýchlosť hmotného bodu pri priamočiarom pohybe lineárne rastie podľa vzťahu v = v + kt. Ako sa mení zrýchlenie pri tomto pohybe hmotného bodu?. Pre konštantnú silu pôsobiacu na hmotný bod platí F v =. Aký druh pohybu koná hmotný bod?. Aká výsledná sila pôsobí na teleso pri šikmom vrhu, ak zanedbáme odpor vzduchu? 3. Aký smer má rýchlosť pri šikmom vrhu v najvyššom bode dráhy? 4. Prečo nemôžeme urobiť vektorový súčet síl, ktorými sú akcia a reakcia? 5. Rýchlosť hmotného bodu pri priamočiarom pohybe sa mení podľa vzťahu v = v + kt. Aká sila pôsobí na hmotný bod? 6. Rýchlosť parašutistu sa po otvorení padáka už ďalej nezvyšuje. Vysvetlite prečo! 7. Lyžiar sa spúšťa zo svahu, ktorého sklon je α = 3. Určte jeho zrýchlenie, ak faktor trenia μ =,. 8. Skúste navrhnúť sériu experimentov, ktoré by dovolili rozhodnúť, že sila trenia medzi určitými telesami závisí iba od normálovej zložky sily. 9. Predstavte si, že s vaším partnerom sa nachádzate na dokonale hladkom ľade. Držíte opačné konce lana a ťaháte ho každý proti sebe. Čo sa stane ak máte presne rovnaké hmotnosti a čo nastane ak máte polovičnú hmotnosť ako váš partner?. Tiažová sila pôsobiaca na kameň hmotnosti kg je dvakrát väčšia ako tiažová sila pôsobiaca na kameň hmotnosti kg. Vysvetlite, prečo ťažší kameň nepadá rýchlejšie. Odpor vzduchu zanedbajte.. Ako určíme pomocou naklonenej roviny statický faktor trenia? Odvoďte potrebný vzťah!. Vysvetlite, prečo počas dažďa väčšie kvapky padajú s väčšou rýchlosťou ako kvapky menšie. 3. Ako sa zmení sila, ktorou človek tlačí na podlahu výťahu, ak sa tento pohybuje: a) nahor so zrýchlením a, b) nadol so spomalením a, c) akou silou bude tlačiť na podlahu výťahu ak by sa lano pretrhlo? 4. Ako sa musí pohybovať výťah, aby sila ktorou človek tlačí na podlahu výťahu sa rovnala práve polovici jeho tiaže. 5. Lano môže byť napnuté maximálnou silou 5 N. Môže sa po ňom zachrániť človek z horiaceho domu ak jeho hmotnosť je 7 kg, okno je vo výške 5 m a človek prežije dopad rýchlosťou m s? 6. Chlapec nesie vo vedre vodu. S akou minimálnou frekvenciou by mal krúžiť rukou vo vertikálnej rovine, aby sa voda nevyliala z vedra, keď dĺžka chlapcovej ruky je,6 m? 7. Ak kôň pôsobí na vozík silou F potom vozík pôsobí podľa 3. Newtonovho zákona na koňa silou F. Ako potom môže kôň vozík pohnúť? Vysvetlite túto dilemu. 8. Načrtnite závislosť rýchlosti od času pre teleso padajúce vo viskóznej kvapaline, ktorej odpor je priamo úmerný rýchlosti. Uvažujte pád (a) bez počiatočnej rýchlosti a (b) s počiatočnou rýchlosťou, ktorá môže byť menšia alebo väčšia ako hraničná rýchlosť. 9. Rieky tečúce na severnej pologuli južným smerom majú viac podmytý pravý breh. Aká sila spôsobuje tento jav? 3. Ako rotácia Zeme vplýva na tiaž telesa? Diskutujte polohu na póloch a na rovníku! 3. Ak zrýchlenie telesa na póloch je g, aké bude na rovníku, ak polomer Zeme je R z? 3. Prečo pri páde do hlbokej šachty miesto dopadu sa posúva od vertikálneho smeru? 33. Lietadlo sa pohybuje v smere poludníka. V ktorých miestach bude pri rovnakej rýchlosti hodnota Coriolisovej sily väčšia: v oblasti polárnej, alebo rovníkovej? Vysvetlite prečo! 34. Vo vagóne sedí človek. Na vodorovnej podložke je voľne položená gulôčka, ktorá sa po celý čas nepohne. Môže človek na základe stavu gulôčky rozhodnúť či sa vagón pohybuje, alebo nie? 35. Na ktorom mieste zemského povrchu je hodnota zotrvačnej odstredivej sily za inak rovnakých podmienok maximálna a na ktorom minimálna?
36. Auto prechádza najskôr mostom nadol prehnutým a potom nahor vypuklým. V ktorom mieste tlačí auto viac na cestu a prečo? 37. Vo výťahu je vedro s vodou v ktorej pláva drevená kocka. Ako sa zmení hĺbka ponoru kocky vo vode, keď sa výťah začne pohybovať so zrýchlením nahor (nadol)? 38. Štartovacie rampy pre kozmické rakety sú postavené na malých zemepisných šírkach. Z akého fyzikálneho dôvodu je to výhodné?. Riešené príklady. Po ideálne hladkej rovine sa pohybujú dve telesá hmotností m a m Spojené sú lankom zanedbateľnej hmotnosti. Na telesá pôsobia sily F a F podľa obr.., pričom F > F. Nájdite napätie nite a zrýchlenie sústavy. Riešenie : Pri riešení úloh tohto typu postupujeme v zásade takto: (a) musíme si uvedomiť všetky sily pôsobiace na dané telesá, (b) pre každé teleso vyjadriť II. Newtonov zákon vo vektorovom tvare, (c) premietnuť vektorový tvar do vhodných súradnicových osí, (d) riešiť získanú sústavu rovníc. Na obr... sú zrejmé vektory síl pôsobiacich na jednotlivé telesá v tejto úlohe. Vyjadríme pre každé teleso II. Newtonov zákon: m a = T + F ; m a = F + T. V smere pohybu si zvolíme kladný smer súradnicovej osi a vyjadríme priemety vektorových rovníc do tejto osi. Lanko je pevné a položíme a = a = a. Ďalej T a T sú sily akcie a reakcie a sú rovnako veľké, teda T = T = T. Po skalárnom vyjadrení vektorových rovníc dostávame: m a = T F ; m a = F T. Riešením tejto sústavy rovníc je hľadané zrýchlenie a napätie T. F a = m F m F ; T = + m m m F + m. F T T F Obr... Teleso hmotnosti m = kg je na naklonenej rovine zvierajúcej s horizontálou uhol α = 3. Akou silou musíme pôsobiť na teleso v smere naklonenej roviny, aby sa pohybovalo rovnomerne zrýchleným pohybom (a) nahor, (b) nadol, a to so zrýchlením a =, m s? Faktor trenia medzi telesom a rovinou je μ =,4..Uvedomíme si všetky sily pôsobiace na teleso.. Vyjadríme II. Newtonov zákon. 3. Zvolíme vhodný smer súradníc. 4. Premietneme do nich vektorové rovnice. Získame sústavu rovníc, z ktorých vy jadríme hľadané veličiny. (a) Pohyb smerom nahor. Podľa obr.. platí: ma = F +mg + F tr.+ F N, kde F je sila ktorou pôsobíme na teleso, mg je tiaž, F tr je sila trenia a F N je sila, ktorou rovina tlačí na teleso. Vzhľadom na smer pohybu súradnicové osi x a y zvolíme tak ako je uvedené na obr.. a premietneme vektorovú rovnicu do smeru súradnicových osí.
Priemet do osi x: ma = F mg sinα F tr ; Priemet do osi y: F N = m g cosα. Pre silu trenia platí F tr = μmg cosα a dostávame rovnicu ma = F mg sinα μmg cosα. Z tejto rovnice pri známom zrýchlení môžeme vypočítať hľadanú silu. F = m(a + g (sinα + μ cosα)). y F tr F N α m g F x (b) Pohyb smerom nadol. Postupujeme analogicky, vzhľadom na pohyb, os si zvolíme smerom nadol, uvedomíme si smery síl a vyjadríme priemety vektorovej Obr.. rovnice do súradnicových osí. Po úprave pre hľadanú silu dostávame vzťah F = m(a +( gsinα + μg cosα)). Po dosadení číselných hodnôt: (a) F =6,8 N; b) F =,8 N. Záporná hodnota značí, že aj v prípade (b) bude musieť sila pôsobiť smerom nahor. α.3 Automobil hmotnosti m prichádza rýchlosťou v k nájazdu, ktorého sklon je α a pohybuje sa nahor zotrvačnosťou. Vyjadrite (a) posunutie automobilu x za čas t od začiatku stúpania, ak faktor trenia medzi automobilom a nájazdom sa rovná μ (obr..3), (b) dráhu, ktorú automobil prešiel do zastavenia. Podľa obr..3 vyjadríme II. Newtonov zákon pre automobil na naklonenej rovine: G + F N + F tr = ma. Sily sú konštantné, preto pohyb bude rovnomerne spomalený a pre polohu platí r = v t + at. Os x zvolíme v smere naklonenej roviny nahor a premietneme vektorové rovnice do súradnicových osí. Dostávame: mg sinα F tr = ma ; x = v t / at a F N = mg cosα. g(sinα + μcos α) t (a) Po dosadení za F tr = μf N a úprave dostávame x = vt. (b) Z poslednej rovnice deriváciou dostávame vyjadrenie rýchlosti: v= v g(sinα + μ cos α) t. v Rýchlosť bude nulová v čase t = z g(sinα + μcos α ). F Po dosadení do vzťahu pre súradnicu x dostávame dráhu N v prejdenú do zastavenia x = z g(sinα + μcos α ). F y tr α G x Poznámka: Úlohu môžeme riešiť aj využitím zákona zachovania energie. Kinetická energia automobilu sa pri Obr..3 pohybe automobilu nahor "spotrebuje" na zvýšenie potenciálnej energie automobilu a prácu treciej sily.takýto prístup k riešeniu úloh tohoto typu budeme využívať v nasledujúcej kapitole. α.4 Telesá m a m sú spojené lankom prechádzajúcim cez kladku podľa obr..4. Faktor trenia medzi telesom m a naklonenou rovinou zvierajúcou s horizontálou uhol α je μ. Odvoďte vzťah pre zrýchlenie telies a vyjadrite napätie lanka T. Hmotnosť kladky a lanka je zanedbateľná a kladka nemá žiadne trenie.
Vyjadríme všetky sily, pôsobiace na telesá podľa obr..4 a pre obidve telesá vo vektorovom tvare zapíšeme II. Newtonov zákon. Dostávame: m a = m g + T ; m a = m g + F tr +F N + T. Veľkosť zrýchlenia a = a = a a pre napätie lanka platí T = T = T. Súradnicové osi pre telesá si zvolíme podľa obr..4 a vyjadríme skalárne rovnice, t.j. priemety vektorových rovníc do súradnicových osí. Zvolíme si smer pohybu, napr. pre teleso m smerom nahor a dostávame: pre osi x : m a = m g +T m a = m g sinα F tr T pre osi y: = = F N m g cosα Trecia sila F tr = μf N, po dosadení a úprave rovníc dostávame: mg(sinα μ cos α) mg a = a m + m mm g(sinα μ cos α + ) T =. m + m x T m g m y T m F tr α F N m g y α x Obr..4.5 Vypočítajte veľkosť sily, ktorou je napínaný silomer, na ktorom je zavesená kladka zaťažená podľa obr..5 nerovnakými závažiami m a m, ak m < m a (a) kladka je zabrzdená, (b) kladka sa môže voľne otáčať. Hmotnosť lana a kladky zanedbajte. (a) Pri zabrzdenej kladke sa sila F napínajúca kladku rovná súčtu tiaží obidvoch závaží F=(m + m ) g. b) Pri odbrzdení kladky sa závažie m bude pohybovať zrýchleným pohybom nadol, m smerom nahor. Kladný smer si zvolíme smerom nadol a vyjadríme do tohto smeru priemety vektorového vyjadrenia II. Newtonovho zákona pre každé závažie. Na každé závažie pôsobí tiaž a sila lana. Zrýchlenia závaží majú opačný smer, ale vzhľadom na pevnosť nite rovnakú veľkosť. Dostávame rovnice: m g T = m a a m g T = m a. Riešením tejto sústavy dostávame : ( ) m m g mm g a = a T = mg+ ma =. m+ m m + m Sila, ktorou je napínaný silomer F = T. F a a m g m g Obr..5 Poznámka: V prípade, že hmotnosti m a m sú rôzne, bude sila ktorou je naťahovaný silomer vždy menšia ako je súčet tiaží obidvoch telies. Príčina spočíva v tom, že ťažšie teleso sa pohybuje nadol so zrýchlením a, ľahšie nahor s rovnako veľkým zrýchlením.tiažová sila pôsobiaca na ľahšie teleso je v takomto prípade G = m (g + a), na ťažšie teleso G = m (g a). Súčet týchto tiaží sa rovná získanej hodnote F = T. Na problém sa teda môžeme pozerať tak, že ťažšie teleso sa nachádza v "slabšom" gravitačnom poli, ľahšie síce v "silnejšom", ale prvý efekt je významnejší..6 Na niti prevesenej cez kladku visia dve závažia rovnakej hmotnosti m = kg. Na pravé závažie (podľa obr..6) pridáme prívažok m = kg. Vypočítajte: (a) Veľkosť sily F pôsobiacej na kladku 3