Zadania Zadania 1. Nedávno zaviedli na trojprúdovom diaľničnom úseku medzi Bratislavou a Trnavou nasledovnéobmedzenia:vovšetkýchpruhochjemaximálnapovolenárýchlosť110kmh 1 avozidlá musia dodržiavať minimálny odstup 70 metrov. Koľko najviac vozidiel s dĺžkou 4 metre dokáže prejsť týmto úsekom za hodinu, ak všetci vodiči dodržujú dopravné predpisy? 2. Rómeo daroval Júlii prívesok s medailónom v tvare srdca zloženého z troch rovnostranných trojuholníkov. Medailón je vyrobený z plechu s konštantnou hrúbkou. Nájdite polohu jeho ťažiska, ak viete, že strana najväčšieho trojuholníka má dĺžku a. 3. Prepíliťkmeňna3častitrvá12minút.Koľkotrváprepíliťhonaštyričasti? 4. Prvú polovicu cesty do zelovocu(čo do vzdialenosti) som prešiel rýchlosťou 45 km/h. Akou rýchlosťou musím prejsť druhú polovicu, aby som mal priemernú rýchlosť 100 km/h? 5. Hokejovéklziskomáplochu S=1800m 2 aľadnaňomváži m=240ton.akáhrubáje ľadováplocha,akhustotaľaduje ρ=900kgm 3? 6. Vakejhĺbkepodhladinoumorajedvakrátväčšítlak,akonahladinemora?Chcemeod vás číselný výsledok. 7. Squashovúloptičkupustímezvýšky H,noodrazísalendomenšejvýšky h.akýbol pomer veľkosti jej rýchlostí tesne po a tesne pred odrazom od zeme? 8. Nazbieralisme1kguhoriekobsahujúcich95%vody.Časomtrochuvyschliaobsahujúuž len90%vody.koľkovážiateraz? 9. Obyvatelia Šturáku(internátu v Mlynskej doline) majú štandardné problémy s holubmi, ktoré im špinia balkóny. Uvažujte holuba letiaceho vodorovne rýchlosťou v priamo k Šturáku. V akej vzdialenosti od Šturáku musí holub vypustiť svoj exkrement, ak chce trafiť balkón nachádzajúci sa o h nižšie? 10. Páky,ktorýchdĺžkysúvpomere4:2:3,súspojenéšpagátmi,akoznázorňujeobrázok. Akýjepomersíl F 1 a F 2,akjesústavavrovnováhe? 1 otazky@fks.sk
Zadania 11. Dva mravce sa nachádzajú na protiľahlých vrcholoch hárku papiera tvaru obdĺžnika so stranami a, b. Oba sa začnú naraz pohybovať rýchlosťou v. Jeden po hrane papiera, druhý krížomcezpapiertak,akotoznázorňujeobrázok.podakýmuhlom αsamápohybovaťdruhý mravec,abysaobamravcestretlivjednombodenahranepapiera? 12. Vroku2010bolaNobelovacenazafyzikuudelenázaobjavgrafénu.Grafénjemateriál tvorený jednou vrstvou atómov uhlíka usporiadaných do šesťuholníkov(pozri obrázok). Dĺžka väzbyc-cvgraféneje d=0,142nm.vypočítajtehmotnosťuhlíkavgrafénepotrebnomna pokrytie povrchu futbalového štadióna s rozmermi 50 m 100 m. Hmotnosť jedného atómu uhlíkaje m C =1,99 10 23 g. 13. Loptusomhodilkolmonahortak,ževeľkosťjejrýchlostibolarovnakápočase tajpo čase 2t. Ako vysoko som loptu vyhodil? Odpor vzduchu neuvažujte. 14. Kockazistéhomateriáluklesávovodespočiatočnýmzrýchleníma.Keďpodňuponoríme rovnako veľkú kocku vyrobenú z iného materiálu, obe kocky sa budú pokojne vznášať vo vode. Akáčasťdruhejkockyvyčnievazvody,keďplávasama? 2 otazky@fks.sk
Zadania 15. V africkej savane žijú gepardy a gazely. Gepardy lovia gazely. Gepard sa pri love pohybuje tak,žerovnomernezrýchľujesozrýchlením aznulypomaximálnurýchlosť v max,poktorej dosiahnutí sa unaví a okamžite zastane. Gazela beží konštantnou rýchlosťou u bez zrýchľovania. Keď gazela zbadá zrýchľujúceho geparda, okamžite začne bežať. V akej maximálnej vzdialenosti d max odgazelymôžezačaťgepardzrýchľovať,akchcegazeluuloviť?manévrovanieneuvažujte. 16. Narybníkusplochou Splávanaloďkesplochou S 0 vášnivýlovecpokladovmaximilián. Ako sa zmení výška hladiny rybníka, ak Maximilián vytiahne z jazera na loďku poklad shmotnosťou mapriemernouhustotou ρväčšouakohustotavody ρ 0? 17. Na obrázku je zakreslený cyklický dej s ideálnym plynom v pv-diagrame. Prekreslite tentodejdo TV-diagramu! 18. Nájdite moment zotrvačnosti symetricky splackateného toaletného papiera s hmotnosťou m,výškou h,svonkajšoustranoudĺžky aavnútornoudĺžky bokoloosi O(pozriobrázok). Využite, že moment zotrvačnosti plnej kocky s hmotnosťou m a so stranou a okolo osi prechádzajúcejstredmiprotiľahlýchstránje I= 1 6 ma2. 19. Keďsisadnemnamokrúfitloptunafúkanútlakom p,otlačímnazemmokrýkruh s polomerom r. Koľko vážim? 20. Chceme zmerať tlak vzduchu na vrcholku hory Mont Blanc. Preto sa naň vyštveráme a miestnymvzduchomsteplotou 13 Cnaplnímedvojlitrovúmäkkúfľašu.Pozídenínaúroveň 3 otazky@fks.sk
Zadania mora,kdejetlak100kpaateplotavzduchu27 C,safľašapokrkvalanamenšíobjem1,36l. Aký tlak vzduchu sme zmerali? 21. Z drôtenej kostry kocky odstrihneme tri hrany vychádzajúce z jedného vrchola. Aký je odpormedzivrcholmi AaB,akodporkaždejhranyje R 0? 22. Spočítajteprácupotrebnúnavytiahnutiekockysostranou aahustotou ρ k zvody vnádobesobsahom S =2a 2.Nazačiatkusahornápodstavakockyprávedotýkahladiny. Hustotavodyje ρ v. 23. Sklený polvalec polomeru R je umiestnený oblým povrchom nadol. Určte, pre akú najväčšiu vzdialenosť x dokáže svetelný lúč dopadajúci kolmo zhora vyjsť oblou podstavou polvalca. 24. Hmotnosti kladiek v nasledujúcej schéme sú zanedbateľné voči hmotnosti závaží. Určte zrýchlenie závažia M. Trenie neuvažujte. 4 otazky@fks.sk
Zadania 25. Zbôbusúzjednéhobôbuzarovnakodlhénehmotnébôbyzavesenédvarovnakébodové bôby každý nabitý bôbom Q. Bôby spolu s bôbom závesu tvoria rovnostranný bôb. Akým bôbom ich musíme nabiť(znova oba rovnakým), aby tvorili pravouhlý bôb? 26. Spiderman má zvláštnu schopnosť vypúšťať pavučinu, ktorú využíva namiesto lana. Akú maximálnuhmotnosťmôžeudržaťpavučinovévláknodlhé l=50m,akzdôvodujehovypustenia nechce Spiderman schudnúť viac ako m = 1 kg. Pavučinové vlákno má medzu pevnosti σ=1500mpaahustotu ρ=1,1gcm 3. 27. Diskohmotnosti m 1 apolomere Rsavoľneotáčauhlovourýchlosťou ω.potomnaň položímenerotujúcidiskstýmistýmpolomeromashmotnosťou m 2.Okoľkosadiskyohrejú? Predpokladajte, že oba disky sú vyrobené z materiálu s mernou tepelnou kapacitou C a že majú všade rovnakú hrúbku. 28. Jeznáme,žeprikolmomštartejepotrebnévyhodiťtelesorýchlosťou v 2k = 2GM/R, ak má opustiť gravitačné pole Zeme. Akou rýchlosťou ho treba hodiť v smere rovnobežnom so zemským povrchom, aby opustilo gravitačné pole Zeme? Rotáciu Zeme zanedbajte. 29. Cyklista prejde konštantným výkonom P za hodinu 50 kilometrov. Potom si oholí nohy avýkonpotrebnýnaudržaniepôvodnejrýchlostisaznížiop.zaakýčasprejdeteraz 50 kilometrov, ak bude šľapať pôvodným výkonom P? Predpokladajte, že odporová sila je úmerná druhej mocnine rýchlosti. 30. Akámôžebyťhustotapaličky,abynavodeplávalatak,akoukazujeobrázok?(Tj.pre aké hustoty paličky je táto poloha stabilná?) 31. Doškatulesoštvorcovoupodstavouohrane4Rsmedali5hladkýchgúľspolomerom R ahmotnosťou M.Pripohľadezhoratedavnútrokrabicevyzeráakonaobrázku.Akousilou F pôsobí každá z dolných štyroch gúľ na každú bočnú stenu, ktorej sa dotýka? 5 otazky@fks.sk
Zadania 32. Určte veľkosť i smer elektrického poľa v strede medzi vrcholmi dosiek kondenzátora. Viete, že vnútri kondenzátora je elektrická intenzita veľkosti E. Predpokladajte, že rozmery dosiek sú rádovo väčšie ako vzdialenosť medzi nimi. 33. DvedružicesapohybujúokoloZemepotejistejelipsespolosami aab.včaseich najväčšieho priblíženia k Zemi sa nachádzajú v malej vzdialenosti d za sebou. Aká bude ich vzdialenosť v čase ich najväčšieho oddialenia od Zeme? 34. Dve trubice v tvare písmena L s prierezom S sú oddelené prepážkou. Zvislé rameno jenaplnenévodouaždovýšky h.zrazuprepážkuodstránime.zaakýčas tododstránenia prepážky vytečie zo zvislého ramena všetka voda? Trecie sily neuvažujte. 35. Peťko dostal na Vianoce krásnu elektrostavebnicu. Elektrostavebnica sa skladá z n kolíčkov, medzi ktoré je možné napchať najrôznejšie súčiastky ako napríklad zosilňovač reliktov vesmírnej impedancie a podobne. Peťko začal jednoduchším experimentom medzi každé dva kolíčky zapojil jeden odpor veľkosti R. Aký výsledný odpor nameria medzi(ľubovoľnými) dvoma kolíčkami? 6 otazky@fks.sk
Zadania 36. Hore naklonenou rovinou ťaháme homogénny valec s polomerom R a hmotnosťou M za stredovú osku silou F. Aký najmenší musí byť koeficient trenia medzi valcom a naklonenou rovinou, aby valec v takejto situácii neprešmykoval? 37. Dve veľké rovnobežné platne, ktoré sa nachádzajú v malej vzdialenosti od seba, sú udržiavanénateplotách T 1 > T 2.Vdôsledkužiareniadochádzamedzidoskamiktokutepla P 1. Potommedzinevložímetretiuvodivúdosku.Akýtoktepla P 2 budetiecťsústavoupoustálení teploty tretej dosky? Využite, že žiarenie platní možno popísať Stefan-Boltzmannovým zákonom P= σst 4,kde Sjeplochasteplotou Ta σjekonštanta. 38. Vo veľkej miestnosti sa nachádza koberec tvaru štvorca. Ak ho roztočíme okolo vrchola, trenímsazastavízačas t.zaakýčassazastaví,akhotouistouuhlovourýchlosťouroztočíme okolo stredu? 39. Chlapec ide dievčaťu kúpiť kvety. Od rovného radu kvetinárstiev je vzdialený x = 600 m, dievča y = 400mamedzinimijepozdĺžraduvzdialenosť z = 1100m.Akchlapecbeží bezkvetovrýchlosťou v 1 =24km/haskvetmirýchlosťou v 2 =18km/h,zaakýnajkratší čas je schopný prísť k stojacemu dievčaťu aj s kvetinami? Nakupovanie kvetín trvá chlapcovi zanedbateľne krátky čas. 40. O koľko neskôr by začínal deň, keby bola rýchlosť svetla dvojnásobná? Predpokladajte, že Slnko sa nachádza v nekonečnej vzdialenosti od Zeme a teda slnečné lúče sa pohybujú kolmo na vektor rýchlosti Zeme. Lom svetla v atmosfére neuvažujte. Výsledok vyčíslite! 41. Veľmi dávno sa ľudia prostredníctvom hviezdnej brány dostali do veľmi vzdialenej galaxie, v ktorej neplatia fyzikálne zákony tak, ako ich poznáme my. Napríklad pre príťažlivú gravitačnú silumedzitelesamishmotnosťami m 1 a m 2 vovzdialenosti rplatí F g = A m 1m 2 r 2 +B m 1m 2 r 3, 7 otazky@fks.sk
Zadania kde AaBsúkonštanty.Vsnahezistiťichhodnoty,vyslaliľudiasonduapomocounejodmerali kruhovúrýchlosť v k aúnikovúrýchlosť v u naúrovnipovrchuplanéty.vypočítajtehodnoty konštánt AaB.Hmotnosť Majpolomer Rskúmanejplanétypoznáte. 8 otazky@fks.sk
1. Hociktoré vozidlo sa dostane na miesto vozidla pred sebou za čas 74m 2,42s. 110kmh 1 Jedenpruhzahodinuprepustí3600s/2,42s 1486vozidiel.Diaľnicoudokážeprejsťtrojnásobne viacej vozidiel, čiže asi 4 460. 2. Najprv si všimnime, že srdce je symetrické okolo zvislej osi. Polohu ťažiska v horizontálnom smereužtedamámeurčenú(naosisymetrie)astačínájsťvýškuťažiska.budemejuhľadať nasledovne: Nájdeme polohu ťažiska a hmotnosť prislúchajúcu veľkému trojuholníku. Podobne, nájdeme polohu spoločného ťažiska a spoločnú hmotnosť dvoch malých trojuholníkov. Napokon nájdeme výsledné ťažisko týchto dvoch útvarov. Polohaťažiskaveľkéhotrojuholníkasanachádzavovzdialenosti 1vodjehovodorovnej(aj 3 každejinej)strany,kde vjevýškatrojuholníka(ateda v=a 3 ).Ťažiskokaždéhozmalých 4 trojuholníkovsanachádzavovýške 1vodichstrán(majúdvakrátkratšiestrany,atedaaj 6 výšky).spoločnéťažiskomalýchtrojuholníkovsapretotiežnachádzavovzdialenosti 1vod 6 vodorovnej strany veľkého trojuholníka. Veľkýtrojuholníkmáštyrikrátväčšíobsahakomalý(obsahjeúmerný a 2 ),atedajeajštyrikrát ťažší ako malý trojuholník. Sústava dvoch malých trojuholníkov má preto oproti veľkému trojuholníku polovičnú hmotnosť. Ťažisko srdca sa preto bude nachádzať dvakrát bližšie k ťažisku veľkého trojuholníka ako k spoločnému ťažisku dvoch malých trojuholníkov. Vzdialenosť ťažískveľkéhoadvochmalýchtrojuholníkov 1v+ 1v= 1vrozdelímenatretinyapolohavý- slednéhoťažiskabudev 11vzdialenosti(teda 1v)odťažiskaveľkéhotrojuholníka,čojezároveň 3 6 3 6 2 vovzdialenosti 1v= 1 a 3nadolodvodorovnejstranyveľkéhotrojuholníka. 6 12 K výsledku sa dá samozrejme prísť aj hrubou silou. Stačí si rozdeliť medailón na viacero častí,ktorýchhmotnosti m i apolohyťažísk r i poznáme.známyvzorechovorí,žepolohacelkového ťažiska medailónu je: Skúste si to! r T = im ir i 3. Stačísiuvedomiť,žeprepíleniekmeňanatričastisivyžaduje2rezy.Potomjejasné,že prepíliťkmeňnaštyričastitrvá 3 2 12minút=18minút. 4. Do riešenia príkladu sa pustíme pekne po hlave. Dĺžku cesty do zelovocu označme d, rýchlosť v prvej polovici u, hľadanú rýchlosť v druhej polovici v. Prvá polovica cesty mi trvala 1 2 d/u,druhápolovicabudetrvať 1 2 d/v.prepriemernúrýchlosťpotomdostávame: i m i. d v p =2 d/u+d/v =2 uv u+v. 9 otazky@fks.sk
Po troche úprav dostaneme: v= v p u/(2u v p ). Avšak v našom prípade vychádza po dosadení v záporné, to znamená, že druhú polovicu by smemuseliprejsťzazápornýčas,čoakosamiistouznáte,niejemožné. Totosadalovidieťajskôrabezvýpočtov.Kebysmesazpolovicecestydostalinakoniec v okamihu(za nulový čas) naša priemerná rýchlosť by bola dvojnásobkom rýchlosti na prvej polovici, čo je 90 km/h. Preto už nemôžeme mať priemernú rýchlosť väčšiu ako táto hodnota. 5. Objemľadusamôžemenajednejstraneurčiťcezjehohmotnosťahustotu,nastrane druhej cez rozmery. Máme Sh=m/ρ h= m Sρ 15cm. 6. Vhĺbke hpodhladinoujetlakhydrostatickýplustlakatmosférickýnahladine p 0.Teda 2p 0 = ρgh+p 0,zčoho h=p 0 /ρg.preštandardnéhodnoty p 0 =100kPa, ρ=1000kg/m 3 a g=9,81m/s 2 je h=10,2m. 7. Pomer mechanických energií loptičky po a pred odrazom je h/h pomer ich potenciálnych energií v najvyššom bode ich dráhy. Tesne pred odrazom a tesne po odraze je celá mechanická energia loptičky sústredená do jej pohybovej energie. Pomer pohybovej energie loptičky tesne poatesnepredodrazomje v 2 po/v 2 pred.odtiaľurčímepomer v po/v pred = h/h. 8. Pred vyschnutím vážila suchá hmota uhoriek 0,05 kg. Po vyschnutí bolo suchej hmoty uhoriektoľkoisto,aletvorilaaž10%zcelejhmotnostim.čiže0,1m=0,05kg,zčohohmotnosť uhoriekpovyschnutívyjde m=0,5kg. 9. Exkrement má po vypustení rovnakú rýchlosť, ako holub, no navyše bude padať voľným pádom. Čas, za ktorý exkrement klesne práve o h nižšie dostaneme zo vzťahu pre dráhu voľného pádu h= 1 2 gt2 ako t= 2h/g.ZatentočassaexkrementpriblížikŠturákuovt=v 2h/g. Taká musí byť aj vzdialenosť holuba od Šturáku v čase vypustenia svojho sivo-bieleho exkrementu. 10. Zamerajmesanajprvnastrednúpáku.Abybolavrovnováhe,musiabyťmomentysíl od ľavého a pravého špagátu rovnako veľké. Zároveň platí, že moment sily, ktorým pôsobí ľavý špagát na strednú páku, je rovnako veľký ako moment sily, ktorým pôsobí na ľavú páku. Rameno aj veľkosť sily sa rovnajú. Podobná rovnosť momentov síl platí pre pravý špagát. Z toho vyplýva, žemomentsilyodľavéhošpagátupôsobiacinaľavúpákumusíbyťrovnakoveľkýakomoment sily od pravého špagátu pôsobiaci na pravú páku. Napokon si treba uvedomiť nasledovné: Aby bolaľavápákavpokoji,musísamomentsilyodšpagáturovnaťmomentusily4lf 1.Opäťmusí platiťpodobnárovnosťiprepravýšpagát.odtiaľdostávamerovnicu4lf 1 =3lF 2 ariešenie F 1 : F 2 =3:4. 11. Ukážeme si dve riešenia. Prvé bude priamočiare a jednoduché. Druhé bude v sebe obsahovať aj akúsi fyzikálnu hĺbku, no treba sa v ňom pohrať s trochu škaredšou matematikou. 10 otazky@fks.sk
Prvé riešenie: Keďže sa mravce pohybujú rovnakou rýchlosťou a od štartu po ich stretnutie obom uplynul rovnaký čas, očividne prešli rovnakú dráhu. Nasleduje už len matematika. Aby sme sa vyhli nepríjemnostiam so sínusmi a kosínusmi, vyjadríme si dráhu oboch mravcov pomocou a, bax,pričom xjedráha,ktorávčasestretnutiachýbamravcovinahrane a,aby hranuprešielcelú.keďžesaobedráhyrovnajú,tak a x= b 2 +x 2 aztohopoumocnení x= 1 2 (a2 b 2 )/a.keďžetgα=x/b,takľahkonájdemevýsledok α=arctg [ 1 2 (a 2 b 2 ) ab Fyzikálnejšie riešenie: Pozrime sa na celú situáciu z hľadiska vzťažnej sústavy, v ktorej mravec vpravo hore stojí. V tejto sústave má mravec vľavo dole zložky rýchlosti v x = v(1+sinα) a v y = vcosα. Aby sa stretli, musí to mať namierené priamo k stojacemu mravcovi. Stadiaľto máme podmienku v x = 1+sinα v y cosα = a b, ] 1 cosα = a b tgα. Akposlednúrovnicuumocnímenadruhúavyužijemeidentitutg 2 α+1=1/cos 2 α,prídeme k rovnakému výsledku ako predošlým postupom. 12. Kľúčovéjeurčiťpočetatómovuhlíka N C potrebnýchnapokrytieštadióna.tentopočet atómov získame priamou úmerou, pokiaľ budeme poznať plochu grafénu pripadajúcu na jeden atóm grafénu. Preto uvažujme jedno šesťuholníkové očko grafénu. Jeho plochu najjednoduchšie určíme rozdelením na šesť rovnostranných trojuholníkov ako na obrázku.. Pre plochu šesťuholníka dostávame: ( ) 1 S=6 d 1d 3 = 3d2 3. 2 2 2 Na jeden šesťuholník však pripadajú dva atómy uhlíka. To si možno rozmyslieť napríklad na základe toho, že každý uhlík sa nachádza len v troch šesťuholníkoch, zatiaľ čo každý šesťuholník obsahuje až šesť uhlíkov. Plocha grafénu pripadajúca na jediný atóm uhlíka je preto: S 0 = 1 2 S= 3 4 d2 3. 11 otazky@fks.sk
K tomuto výsledku sa dá, samozrejme, dostať aj inak. Plocha pripadajúca na jeden atóm uhlíka je očividne rovná obsahu rovnostranného trojuholníka spájajúceho stredy troch susediacich šesťuholníkov.taktobysmeprišli,akoinak,ktomuistémuvýrazupre S 0. Ak označíme rozmery štadióna ako a, b, tak počet atómov potrebných na pokrytie štadióna je N C = ab/s 0.Hmotnosťatómovjepreto m=n C m 0 = ab m 0 = 4 abm 0 3. S 0 9 d 2 Podosadenídostaneme m 3,80g,tj.asizajednumalúlyžičkusadzí. 13. Keďževeľkostirýchlostíloptyvčasoch ta2tbolirovnaké,loptasamuselavčasoch ta2t nachádzaťvtomistombode(označímeho A),akurátvčase tletelasmeromnahoravčase2t letela nadol. Táto skutočnosť vyplýva napríklad zo zákona zachovania energie celková energia lopty v oboch prípadoch má byť rovnaká. Kinetické energie sa preto budú rovnať iba vtedy, keď sa budú rovnať potenciálne energie lopty. Tie sa rovnajú, ak je lopta v oboch prípadoch v rovnakej výške. Celýletloptytrvalčas3t.Čas tkýmsaloptadostaladobodu Aprvýkrát, tkýmvyletela donajvyššiehobodusvojejdráhyaopäťspadladobodu Aanapokon t,kýmspadlazbodu Anazem.Čas,ktorýuplynul,kýmloptaspadlaznajvyššiehobodusvojejdráhynazem,je preto 3 2 tazovzorcaprerovnomernezrýchlenýpohyb(sozrýchlením gzačas 3 2 t)dostaneme maximálnuvýškulopty 9 8 gt2. 14. Zapíšeme si Newtonov zákon pre prvú kocku: ρ 1 Va=ρ 1 Vg ρ v Vg, kde ρ 1 jehustotakocky, V jejejobjemaρ v jehustotavody.taktiežsizapíšemenewtonov zákon pre sústavu oboch kociek: 0=ρ 1 Vg+ρ 2 Vg 2ρ v Vg, kde ρ 2 jehustotadruhejkocky.tietodverovniceodvochneznámych(ρ 1 a ρ 2 )vyriešimea dostaneme ρ 2 = ρ v (g 2a)/(g a).nakoniecsivšimnime,žeakmákockahustotu ρ 2 < ρ v,tak jejponorenáčasťmáobjemvρ 2 /ρ v.totojepresneobjem,ktoréhovztlakovásilavykompenzuje gravitačnú silu pôsobiacu na celú kocku. Z kocky bude nad hladinu vyčnievať zlomok 1 ρ 2 /ρ v = a/(g a). 15. ZrýchľovanieGepardatrvá T= v max /a,pretogepardjeprisvojombehuschopnýprebehnúť najviac vzdialenosť 1 2 a(v max/a) 2 = 1 2 v2 max/a. Vzdialenosť d bude zrejme maximálna vtedy, keď gepard dobehne gazelu presne na konci svojho zrýchľovania,t.j.včase T.Vrečirovníc: 1 2 v2 max/a=d max +ut d max = ( 1 v 2 max u ) v max /a 12 otazky@fks.sk
Všimnite si, že na to, aby mal gepard šancu gazelu dobehnúť musí dosiahnuť aspoň dvojnásobok jej rýchlosti. 16. Označmepokleshladiny xapoklesloďky(vzhľadomnazem,tj.nievzhľadomnahladinu!)ako y.keďžemnožstvovodyvjazeresanezmení,musíplatiť (S S 0 )x+s 0 y= m/ρ čiže klesnutá voda vyplní miesto, kde sa pôvodne nachádzal poklad. Ďalej vieme, že loďka musí vzhľadom na hladinu klesnúť o toľko, aby nárast vztlakovej sily kompenzoval tiaž vyloveného pokladu S 0 (y x)ρ 0 g= mg. Týmsmedostalidverovniceodvochneznámych,zktorýchpre xužrýchlodostaneme: x= m/s ρ m/s ρ 0. Tubysmemohliskončiť.Všimnimesivšak,že ρ > ρ 0,takže x <0.Toznamená,žeakzjazera vytiahneme poklad, hladina stúpne. Zvláštne, možno to lepšie pochopíme z alternatívneho riešenia: Alternatívne riešenie: Archimedov zákon hovorí, že vztlaková sila pôsobiaca na teleso je rovná tiaži vody s objemom rovným objemu ponorenej časti telesa. Ak vytiahneme teleso do loďky, objem ponorených vecí klesne o objem telesa m/ρ, no stúpne o časť objemu loďky, ktorý sa musí ponoriť, aby vykompenzoval tiaž telesa. To jest presne podľa Archimedovho zákona m/ρ 0.Všimnitesi,žetojeviac,akovytláčalpoklad,keďležalnadne!Celkovýobjem ponorených vecí v rybníku teda stúpne o: m ρ 0 m ρ. To je ekvivalentné tomu, akoby sme do rybníka priliali zodpovedajúce množstvo vody, hladina teda stúpne o: m/s m/s. ρ 0 ρ 17. Časti ABa CDdejaprebiehajúprikonštantnomobjeme,čosanezmeníanipoprechode do TV-diagramu.Pozrimesanačasti BCa DAdeja,ktoréprebiehajúprikonštantnomtlaku. ZrovniceideálnehoplynupV= NkTvyplýva,žepritýchtočastiachdejajetlakpriamoúmerný teplote. Tieto časti deja sa preto v T V-diagrame zakreslia ako časti priamok vychádzajúcich zbodu[0;0]. Zostáva určiť teploty v jednotlivých bodoch. Označme teplotu v bode A ako: T 0 = p 0V 0 Nk. Zostavovejrovniceľahkonájdemehodnoty T A = T 0, T B =2T 0, T C =6T 0 a T D =3T 0.So získanými informáciami už jednoznačne nájdeme hľadaný priebeh deja v T V-diagrame: 13 otazky@fks.sk
18. Momentzotrvačnostisústavytvorenejhmotnýmibodmije I = i m ir 2 i,kde m i je hmotnosťhmotnéhoboduvkolmej vzdialenosti r i odosiotáčania,vzhľadomnaktorúmoment zotrvačnosti rátame. Keďže ide o kolmú vzdialenosť, má homogénna kocka so stranou a rovnaký moment zotrvačnosti vzhľadom na os prechádzajúcu stredmi protiľahlých strán ako rovnako hmotný homogénny kváder so štvorcovou podstavou strany a vzhľadom na os prechádzajúcu stredmi podstáv. Ak by teda toaleťák hustoty ρ nemal dutinu, bol by moment zotrvačnosti I = 1 6 ρha4.keďterazdutinuspodstavou bvyrežeme,musímeod I odpočítať moment zotrvačnosti vyrezanej časti. Teda I= 1 6 ρha4 1 6 ρhb4 = 1 6 ρh(a4 b 4 ). Totoužlenupravímevyužijúcfakt,žehmotnosťtoaleťákusdutinouje m=ρh(a 2 b 2 ). Dostaneme I= 1 6 m(a2 +b 2 ). 19. Keď naša zadnica spočinie na lopte, v rovnováhe je sila, ktorou tlačíme na loptu, rovná sile,ktorouajloptatlačínazem.akbytonebolotak,rozdielsílbyloptuurýchľovalnejakým smerom.loptatedatlačínazemsilou F= mg,kde mchcemeurčiť. Teraz zaostrime svoj bystrý zrak na kus lopty, ktorý sa pod našou ťarchou prikvačil k zemi. Zvnútornejstranyloptynaňvzduchpôsobítlakom p.zdruhejstranyvšaktiežzemtlačína materiál nejakým tlakom. Ten musí rovnaký, inak by rozdiel tlakov spôsoboval silu, ktorá by materiál ďalej deformovala alebo urýchľovala v nejakom smere. V rovnováhe musí byť teda tlak, ktorým lopta tlačí na podložku, rovný tlaku vzduchu v lopte. Teraz využijeme definíciu tlaku a dosadíme všetky veličiny, týkajúce sa toho, čo sa pod loptou odohráva. Máme: p=f/s= mg πr 2, odkiaľprenašuhmotnosťdostávame m=pπr 2 /g. Pri riešení sme zanedbali skutočnosť, že pod našou ťarchou môže lopta zmeniť svoj objem. Navyše,celáargumentáciaprejdelenpre mäkkú loptu,kedyspodnáčasťloptynaozajpriľne kpovrchu.pre tvrdú loptu,ktorázostávaobláajprizaťažení,trebatotižuvažovaťešte ťahovú silu povrchu(taká, akou pôsobí napríklad aj pružný povrch balóna). Je to tá istá sila, vďaka ktorej je vôbec nafúkaná lopta v rovnováhe, hoci tlak vzduchu vnútri je väčší, ako tlak zvonku. Zamyslite sa nad tým! 14 otazky@fks.sk
20. Pre vzduch vo fľaši platí stavová rovnica ideálneho plynu. Takže si ju napíšem pre situáciu horeadole.platí p hore V hore = nr= p dolev dole, T hore T dole teda: p hore = p dole V dole V hore T hore T dole. Pri dosadení stačí správne premeniť stupne Celzia na kelviny a dostaneme pre tlak výsledok p hore 59kPa. 21. Na začiatok celú kocku splacatím a prekreslím do roviny. Každú hranu kocky reprezentujerezistorsodporom R 0.Terazsivšimnem,žejetocelésymetricképodľapriamky AB. Symetricky postavené body môžem kedykoľvek rozpájať a spájať vodičmi, ako sa mi zapáči, pretože musia mať rovnaký potenciál(takže aj tak medzi nimi netečie žiadny prúd). Môžem rozseknúťvšetkyuzlyktoréležianaosi ABvsmererovnobežnomstoutoosou,vtomtosmere nimiajtakžiadnyprúdnetečie.lenžečostýmjednýmodporom,ktorýležípresnenaosi symetrie?očividnehomôžemnahradiťniečim,čomárovnakýodporakoon,atoniečosú dvaparalelnezapojenérezistory,každýsodporom2r 0.Teraztoužtedanaozajrozseknem a dostanem zapojenie pozostávajúce zo samých paralelných a sériových zapojení: Tak to celé porátam: čopoúpravevydá R= 9 10 R 0. R 1 =2 [ R 0 +1/(R 1 0 + 1 4 R 1 0 ) ] 1, 22. Celková práca potrebná na vytiahnutie kocky z vody sa rovná zmene potenciálnej energie sústavy kocka + voda. Pri výpočte zmeny potenciálnej energie sústavy budeme uvažovať iba kockuavoduvovýškeod 1 2 ado 1 2 a.potenciálnaenergiazvyšnejvodysatotižnezmení. 15 otazky@fks.sk
Obr.1:Stavpredapovytiahnutíkocky Nazačiatkujeťažiskovodyajkockyvovýške h=0,čomuprislúchapotenciálnaenergia E p1 =0.Čosastanepovytiahnutíkockytesnenadhladinu?Všimnimesi,ženádobamá dvojnásobnúpodstavuoprotipodstavekocky.toznamená,ževodazintervaluvýšok[ 1 2 a,1 2 a] vyplníterazužibapolovičnýinterval[ 1 2 a,0].jejťažiskosanachádzavovýške 1 4 aajej potenciálnaenergiaje 1 4 a4 gρ v.kockamápovytiahnutípodstavuvovýške h=0,jejťažisko jevovýške h= 1 2 a,čomuzodpovedápotenciálnaenergia 1 2 a4 gρ k.celkovápotenciálnaenergia sústavykockaavodapovytiahnutíkockyje E p2 = 1 4 a4 g(2ρ k ρ v ).Prácuterazužjednoducho určíme ako rozdiel potenciálnych energií W= E p2 E p1 = 1 4 a4 g(2ρ k ρ v ). 23. Hmm,prečobynemalosvetloprejsť?Veďnasklodopadákolmoatedasaneohýba, potomdopadnezvnútranatenoblýpovrch,a...jasné,medznýuhol. Zobrázkuvidíme,žečímväčšiajevzdialenosť x,týmväčšíjeajuhol αvyznačenýna obrázku. Pre tento uhol platí zákon lomu: sinα sinβ =1 n sinα= sinβ n. Výraz sin β však môže nadobúdať hodnotu najviac 1. Vtedy lúč opúšťa polvalec v smere rovnobežnomspovrchom.abylúčmoholvyjsťzpolvalca,taksinα 1/n.Nászaujímaprípad,keď nastávarovnosť takzvanýmedznýuhol.napokonztroškygeometrievidím,žesinα=x/r. Aktodámecelédohromady,dostávame x < R/n. 16 otazky@fks.sk
Nezabudlismevšaknaniečo?Nemôžesastať,ženejakýlúčpre x > xprejdeoblou podstavou po jednom alebo viacerých vnútorných odrazoch? Nasledujúci obrázok nás presvedčí, že nie: Zozákonaodrazuvieme,žeuhol PASjerovnakýakouhol SAB.Keďžetrojuholník ABSje rovnoramenný,buderovnakoveľkýajuholabsatakďalej.vidíme,ževšetkyuhlyα,α,α,... sú rovnaké. Ak lúč nedokáže prejsť podstavou v bode A, neprejde ani v ďalších vyznačených bodoch. Lúč sa z polvalca dostane von až po niekoľkých odrazoch hornou podstavou. 24. Keďžedĺžkalanasanemôžemeniť,závažia m 1 a m 2 budúmaťrovnakoveľkézrýchlenia opačného smeru. Tiež si treba uvedomiť, že tieto zrýchlenia budú dvakrát menšie ako veľkosť zrýchleniazávažia M.Otomsamožnopresvedčiťnapríkladtak,žeakzávažie Mposunieme dopravaodĺžku x,výškazávaží m 1 a m 2 sazmeníleno 1 2 x,pretoželanopribúda,resp.ubúda na oboch stranách kladky. Keď už vieme, v akom pomere sú zrýchlenia jednotlivých závaží iba kvôli geometrii problému,môžemeurčiťveľkosťzrýchleniazávažia M.Označmepnutievľavomlankuako T 1 a vpravomako T 2. Pnutia sú po celej dĺžke konštantné, pretože kladky považujeme za nehmotné. Potom, ak za kladný smer a vezmeme zľava doprava, môžeme zapísať pohybové rovnice jednotlivých závaží: m 1 g 2T 1 = 1 2 m 1a T 2 T 1 = Ma m 2 g 2T 2 = 1 2 m 2a Zprvejatretejrovnicesimožnovyjadriť T 1,resp. T 2 adosadiťdoprostrednej.vtejto rovnici už ostane len jediná neznáma zrýchlenie a. Po úprave preň dostávame: a=2g(m 1 m 2 )/(4M+m 1 +m 2 ). 17 otazky@fks.sk
Je to pomerne komplikovaný výsledok. Na niekoľkých špeciálnych prípadoch sa však môžeme presvedčiť,žekorešpondujesnašouintuíciou.môžemesitotižvšimnúť,žepre M m 1,2 sa zrýchleniezmenšujeapre m 1 = m 2 sústavanezrýchľuje,vsúladesnašimiočakávaniami. Alternatívne riešenie cez energie: Keď sa veľké závažie posunie o vzdialenosť x, zväčší sa jehokinetickáenergiaoprácunaňomvykonanú W= Fx,kde Fjecelkovásilanaňpôsobiaca. Keďže F = Ma,dostávame W = Max.Postrannézávažiasahýbupolovičnýmzrýchleníma prejdúpolovičnúdráhu,nanichvykonanáprácapretobude 1(m 4 1+m 2 )ax.nárastkinetickej energiezávažímusíkompenzovaťúbytokpotenciálnejenergie 1(m 2 1 m 2 )gx.dostávameteda rovnosť: 1 (m 2 1 m 2 )g= ( 1 m 4 1+ 1m 4 2+M ) a. Vyjadrením a z tejto rovnosti energií dostávame pôvodný výsledok. 25. Označme bôb nehmotného bôbu L. Na každý z bôbov pôsobia tri bôby: gravitačný bôb, ťahovýbôbaelektrickýbôboddruhéhobôbutakakonabôbe. Vustálenombôbejevýslednýbôbpôsobiacinabôbnulový.Akjebôbmedzibôbmi dabôb bôbov M, potom toto dáva nasledujúce bôby: Tcosα=F E = k Q2 d 2, Tsinα=Mg, ateda Q 2 d 2tgα=kMg. Na pravom bôbe tohoto bôbu je bôb, ktorý je rovnaký pre rovnostranný aj rovnoramenný bôb. Môžme preto smelo napísať: Q 2 1 q 2 3= L 2 2L, 2 kdesmevyužili,žeprerovnostrannýbôbd=l,prepravouhlýbôbd=l 2,ďalejžetg45 =1 atg60 = 3.Bôb,naktorýtrebanabiťbôby,smeoznačili q.terazužhravodostávame q= Q 4 12.Bôb. 26. Pavučinové vlákno musí okrem hmotnosti závažia M udržať aj vlastnú hmotnosť m = ρls, kde S je plocha kolmého prierezu vlákna. Maximálna nosná hmotnosť M je taká, že napätie spôsobené tiažou bude rovné medzi pevnosti (M+m)g/S= σ. 18 otazky@fks.sk
Po úprave dostaneme: ( ) σ M= m lρg 1 čoprehodnotyzozadaniaag=9,81ms 2 dávahmotnosťzávažia M=2780kg.MaryJane si diétu dávať nemusí. 27. Nazačiatkujekinetickáenergiadiskurovná 1 2 I 1ω 2,kde I 1 = 1 2 m 1R 2 jemomentzotrvačnosti disku. Keď naň položíme druhý disk, celková kinetická energia sústavy postupne klesne, a to tak, aby ostal moment hybnosti sústavy zachovaný: I 1 ω=(i 1 +I 2 )ω 2, pričom I 2 = 1 2 m 2R 2 jemomentzotrvačnostidruhéhodisku.kinetickáenergiasústavybude: 1 2 (I 1+I 2 )ω 2 2 = 1 I1 2 ω 2. 2I 1 +I 2 Rozdiel kinetických energií(pred a po pridaní disku) sa premení na teplo, ktoré zohreje disky: Q= 1 2 I 1ω 2 1 ω 2 = 1 I 1 I 2 ω 2. 2I 1 +I 2 2I 1 +I 2 I 1 2 Napokonzmenuteplotydiskovvypočítamezrovnice Q= TC(m 1 +m 2 ).Podosadeníza Q, I 1 a I 2 dostávamevýsledok: T= 1 m 1 m 2 R 2 ω 2 4C(m 1 +m 2 ). 2, 28. Úloha je zámerne zadaná tak, aby vás trochu zneistila. Ukážeme si, že úniková rýchlosť na nerotujúcej planéte je rovnaká bez ohľadu na smer, pod ktorým teleso vyhodíme. Využijeme pritomvzťahprepotenciálnuenergiuvcentrálnomgravitačnompoli E p = GMm/r,kde G je gravitačná konštanta, M je hmotnosť planéty, m je hmotnosť telesa a r je jeho vzdialenosť od stredu planéty. Vieme, že pokiaľ telesu udelíme primalú rýchlosť, bude sa pohybovať po elipsovitej dráhe (až kým za nejaký čas opäť nenarazí do Zeme). Označme najväčšiu vzdialenosť telesa od Zeme počaspohybuako dajehorýchlosťvtomtobodeako u.tietodveveličinyspolusúvisia prostredníctvom zákona zachovania energie i zákona zachovania momentu hybnosti 1 2 mv2 GMm/R= 1 2 mu2 GMm/d, mvrsinα=mud, kde αjeuholmedzismeromhodeniatelesaakolmicounapovrchzemevdanommieste. Podmienka na opustenie gravitačného poľa je d. Potom podľa tretieho Keplerovho zákona T 2 /a 3 =konšt.ajperiódaobehunarastánadvšetkymedze,ažpri d satelesona Zem nikdy nevráti. Zistíme, pri akej rýchlosti v táto situácia nastane v závislosti od uhla α. 19 otazky@fks.sk
Nato,abysatelesomohlodostaťdovzdialenosti d,musíplatiť 1 2 mv2 GMm/R+GMm/d 0, pretože kinetická energia nemôže nadobúdať záporné hodnoty. Ak sa má teleso dostať do ľubovoľne veľkej vzdialenosti, tak sa podmienka zjednoduší na 1 2 mv2 GMm/R 0. Zo zákona zachovania momentu hybnosti však vidíme, že ak teleso hádžeme konečnou rýchlosťou, so zväčšovaním vzdialenosti d klesá rýchlosť u v najvzdialenejšom bode elipsovitej dráhy do nuly. Pri skúmaní dráhy pre najmenšiu únikovú rýchlosť preto môžeme v predošlej rovnici položiť rovnosť. Po úprave máme 1 2 mv2 GMm/R=0 v= 2GM/R bezohľadunauhol α. Na záver ešte dodám, prečo som pri dokazovaní postupoval tak opatrne cez limity zväčšujúcich sa elíps. Je to kvôli tomu, že v skúmanom prípade, keď teleso opustí gravitačné pole Zeme, už jeho pohyb neprebehne po elipse, ale po parabole. V takom prípade najvzdialenejší bod trajektórie neexistuje a naša analýza formálne nemá zmysel. 29. Ako nám zadanie prezrádza, odporová sila pôsobiaca na cyklistu pri rýchlosti v je F = kv 2,kde kjenejakákonštanta.takistovieme,žeaksacyklistapohybujerýchlosťou vprotisile F,jehovýkonmusíbyť P= Fv.Toviemenapríkladztoho,žepreprácu,ktorú vykonánanejakejdráhe d,platí W= Fdazdefinícievýkonutiež W= Pt. Oholeniezmenilocyklistovijehokoeficientodporu k.predoholenímhooznačme k 0,poňom k.tiežoznačme v 0 =50km/h.Zozadaniadostávame,že P= k 0 v 3 0a P p=kv 3 0,takže k= k 0 (P p)/p. Rýchlosť v, ktorou sa bude pohybovať pri plnom výkone, tiež ľahko vypočítame: P= kv 3 = v 3 k 0 (P p)/p v= v 0 3 P/(P p), kdesmepoužili P/k 0 = v 3 0.Noanazáverčas,ktorýmubudetrvaťprejsťtoutorýchlosťou 50kmbude: T=50km/v= 3 (P p)/phod. Pre zaujímavosť, pri profesionálnych cyklistoch sa hodnota P pohybuje okolo 450 W a pri rýchlostiachokolo50km/hmôžebyť pniekoľkomálowattov.prehodnotu p=3wsicyklista oholením zlepší čas približne o 8 sekúnd. Skúste si pozrieť výsledky niektorej z časoviek na veľkých pretekoch a uvidíte, či môže byť takýto zisk dôležitý. 30. Paličkubudemepovažovaťzaveľmitenkú.Všakodtohojetopaličkaaniebrvno. Premyslime si, aké polohy by mohla palička v rovnováhe zaujať. Hneď sa nám ponúkajú dve polohy znázornené na obrázkoch. Polohy, v ktorých je palička šikmo, uvažovať netreba. Vtedy 20 otazky@fks.sk
sa síce vztlaková a tiažová sila kompenzujú, no pôsobia pozdĺž rôznych priamok(pôsobiskom vztlakovej sily je ťažisko ponorenej časti paličky) a ich momenty síl vykompenzované nie sú. Šikmo plávajúca palička sa preto musí otočiť do jednej z polôh na obrázkoch. Z toho zároveň vyplýva,ževždyjestabilnáprávejednaztýchtodvochpolôhadruhámusíbyťlabilná.ktorá je ktorá určíme cez energie. Nazvimepolohynaobrázkochako polohahore a polohanahladine.paličkabudepreferovať polohu, ktorej celková potenciálna energia bude menšia. Podstatné tu je slovo celková, pretože pri výpočtoch nesmieme zabúdať na vodu, ktorá pri zmene polohy paličky zmení svoju polohu tiež. Akbudememeraťvýškyťažískodhladiny,vpolohehorejevýškaťažiskapaličky (x 1 2 L). Všimnitesi,žetotočíslojekladné,akjezpaličkyponorenámenejakopolovica,presnetak, ako očakávame. Pri prechode do polohy na hladine sa ťažisko paličky dostane do nulovej výšky, alezhladinysanamiesto,kdebolapredtýmpalička,musídostaťvoda.hmotnosťtejto vody je rovnaká ako hmotnosť paličky, pretože presne to je podmienka na rovnováhu tiažovej avztlakovejsily.apopresunenamiesto,kdebolapaličkasaťažiskotejtovodydostanedo výšky 1 2 x.prepotenciálneenergiemôžemetedapísať E = mg(x 1 2 L), E = 1 2 mgx. Akoužbolopovedané,paličkabudeochotnáplávaťvpolohehoreak E < E,alebo x+ 1 2 L < 1 2 x x > L Totoznamená,žepaličkamusíbytponorenáaspoňtoľko,akojedlháatedataktoplávaťnebude nikdy. 31. Najprvzistime,akousiloutlačíkaždázdolnýchgúľnavrchnú.Sútoštyrirovnakoveľké sily,nonaurčenieichveľkosti F 1 potrebujemepoznaťichsmer.pretosinakreslimerezškatuľou ponad uhlopriečku podstavy. 21 otazky@fks.sk
Uhol ASC na predošlom obrázku je pravý. Najjednoduchšie sa o tom možno presvedčiť tak, že si predstavíme ešte šiestu guľu, ktorá by sa dotýkala štyroch spodných gúľ zdola. Stredy všetkých šiestich gúľ tvoria vrcholy pravidelného osemstenu. Zo symetrie je preto jasné, že horná a najspodnejšia guľa spolu s dvojicou náprotivných gúľ na dne škatule tvoria rovnaký štvorec,akýtvoriaštyrigulenadneškatule.sily F 1 pretopôsobiapoduhlom45 kpodložke. Z rovnováhy zvislých zložiek síl pôsobiacich na hornú guľu máme: 4F 1 sin45 = Mg F 1 = 1 4 Mg 2. Rovnakou silou pôsobí aj vrchná guľa na každú guľu na dne škatule. Neodtlačí ich však, pretože na tieto gule ešte pôsobia aj steny škatule silami F, ktorých veľkosť vlastne chceme spočítať. Jednotlivé gule na dne škatule na seba nepôsobia žiadnymi silami, pretože sú od seba odtláčané hornou guľou. Ak sa pozrieme na horizontálne zložky síl pôsobiacich na niektorú zo štyroch gúľ, zistíme že F 2=F 1 cos45 F= 1 8 Mg 2. 32. Elektrické pole v danom bode je dané ako súčet elektrických polí od všetkých bodov platní kondenzátora. Keď sa pozrieme na situáciu spredu, vidíme, že elektrické pole od ľubovoľnéhobodu Anajednejdoskekondenzátora,savinomakokolmomsmerevyrušípoľomod protiľahléhobodu A nadruhejdoske.takistosamôžemenasituáciupozrieťzospodualebo z ľubovoľného uhla s vždy rovnakým pozorovaním. Teda elektrické pole v úlohe smeruje kolmo na dosky od kladnej k zápornej. Aká je jeho veľkosť? Predstavme si, že skúmame elektrické pole hlboko v kondenzátore v strede medzi platňami. Toto elektrické pole je tu dané súčtom elektrických polí od štyroch štvrťrovín kondenzátora a má veľkosť E. Od každej štvrťroviny je elektrické pole rovnaké, lebo štvrťrovinysúrovnakéapolejelenvsmerekolmomnaplatne.pretoodjednejštvrťrovinymá poleveľkosť 1 4 E,čojeajvýsledoknašejúlohy. 22 otazky@fks.sk
33. Teraz sa naozaj tuho zamysli. Ako závisí časový rozdiel medzi prechodmi oboch družíc tým istým bodom od polohy tohoto bodu na dráhe? Máš? Tak fajn. Obidve družice obiehajú po tej istej dráhe, takže vykonávajú úplne rovnaký pohyb, len jedna je trochu omeškaná za druhou. Keďže je ich pohyb úplne identický, tak je toto omeškanie stále rovnaké, takže časový rozdiel je stále rovnaký. Teraz družice už naozaj pustíme na ich obežnú dráhu. Druhý Keplerov zákon(pre fyzikov zákon zachovania momentu hybnosti) hovorí, že čím je družica ďalej od planéty, tým ide pomalšie.inakpovedané V max r max = V min r min.rozdielmedzičasmiprechoduprvejadruhej družice bodom najbližššie k planéte je rovnaký ako medzi časmi ich prechodu bodom najďalej odplanéty(označímsiho t).takžemusíplatiť: D/v max = t=d/v min, pričom D je vzdialenosť medzi družicami v bode najďalej od planéty. Z druhého Keplerovho zákona vidím, že: v min = r max, v max r min čodosadímdopredošléhovzťahuadostanem: D=dr max /r min.užlenstačízistiťpomermedzi vzdialenosťami najbližšie a najďalej od planéty v závislosti od malej a veľkej polosi. Keďsazamyslímnadtým,akojedefinovanáelipsa,takčasomprídemnato,žezPytagorovej vetyplatí e= a 2 b 2,pričom ejeexcentricita,aliasvzdialenosťplanéty(ohniskaelipsy)od jej stredu. Ďalšie zamyslenie ukáže, že: r min r max = a e a+e, dočohoužlendosadímza e,celétodosadímdovzťahupre D,adostanem: D=d a a 2 b 2 a+ a 2 b 2. 34. Pri riešení využijeme zákon zachovania energie. Nájdime, akou rýchlosťou sa pohybuje vodavmomente,keďjehladinavodyvzvislejtrubicivovýške x.aksadohodneme,ženulovú hladina je na úrovni vodorovnej trubice, tak pre energie platí 23 otazky@fks.sk
E p = 1 2 xmg(x/h)= 1 2 mgx2 /h, E p = 1 2 mv2, kde m=shρjehmotnosťvodyvtrubici.tietovýsledkysavšakažnápadnepodobajúpre energiusystému závažienapružine,lennamiestotuhostipružinynámvyšlakombinácia veličín mg/h. To však znamená, že priebeh x(t) bude počas vytekania úplne rovnaký, ako pre závažie na pružine s tuhosťou mg/h, ktorá bola na počiatku stlačená práve o h. Perióda kmitov by vyšla: T=2π h/g. Pohyb vody v trubici od odstránenia prepážky po vytečenie z trubice však zodpovedá iba jednej štvrtiny periódy, preto t= 1 2 π h/g. 35. Desivé,čo?Tujedôležitéuvedomiťsi,ževšetkých n 2kolíčkov,naktoréprimeraní nepripájamesvorkyohmmetra,jeúplneekvivalentných.ztejto symetrie vypláva,žena všetkých týchto kolíčkoch je rovnaký elektrický potenciál. To však znamená, ako sme to už čítali vo vzoráku úlohy č. 21, že vodičmi spájajúcimi tieto kolíčky neprechádza žiadny prúd a pretoichmôžemeodpojiť.aksibody,medziktorýmimeriamodpor,označímako AaB,tak sme práve schému zjednodušili nasledovne: No a aha ho, je z toho jednoduché paralelné zapojenie, takže: R 1 celkom = R 1 + 1 2 (n 2)R 1, Podrobnýchúpraváchdostaneme R celkom =2R/n. 36. Najprv si nakreslime sily pôsobiace na valec. Okrem sily F zo zadania ide o gravitačnú silu F G = Mg,treciusilu F T asiluodpodložky N. 24 otazky@fks.sk
Obr. 2: Sily pôsobiace na valec Sila N bude práve taká veľká, aby kompenzovala zložku gravitačnej sily kolmú na podložku (teda N= F G cosα).anijednaztýchtosílneprispievakroztáčaniuvalca,pretoichužďalej nemusíme uvažovať a budeme sa zaoberať výlučne silami pôsobiacimi v smere rovnobežnom s podložkou. Obr. 3: Zložky síl pôsobiacich na valec rovnobežné s naklonenou rovinou Abyvalecneprešmykoval,musiabyťzrýchlenie aauhlovézrýchlenie εvovzťahu: Rε=a. ZrýchlenieťažiskavypočítamezNewtonovhozákona F v = Ma,kde F v jesúčetvšetkýchsíl pôsobiacich na valec. V našom prípade teda: F v = F F G sinα F T. Uhlovézrýchlenievypočítamezrovnice M= Iε,kde Mjesúčetmomentovsílpôsobiacichna valec a I je moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej ťažiskom. Jediná sila s nenulovým momentomjetreciasila: M= RF T,momentzotrvačnostivalcaje I= 1 2 MR2. Podosadenídorovnice Rε=aza aaεazopárúpraváchdostávame: Akjekoeficienttrenia f,pretreciusiluplatí: Po dosadení dostávame podmienku: F T = 1 3 (F F Gsinα). F T Nf= F G fcosα. ff G cosα 1 3 (F F Gsinα), teda: f 1 3 ( ) F Mg 1 tgα. 25 otazky@fks.sk
37. Akoplatňu1označmeplatňusteplotou T 1,podobnepredruhúplatňu.Dopriestoru medziplatňamivyžarujeplatňa1tepelnýmvýkonom σst 4 1smeromkplatni2,platňa2tepelnýmvýkonom σst 4 2 smeromkplatni1.tusmevyužilipredpokladzozadania,podľaktorého súplatneveľmiblízkoprisebevporovnanístým,akésúveľké. Medziplatňamibudetedanenulovýtoktepla,podľazadania P 1,prektorýplatí P 1 = σs ( T 4 1 T 4 2). Teraz medzi platne vložíme tretiu platňu a tá bude pohlcovať teplo, ktoré na ňu vyžarujú zvyšné dveplatneasamabudevyžarovaťteplo,ktorébudeprislúchaťjejteplote T. V ustálenom stave vyžiari stredná platňa toľko tepla, koľko ho pohltí, takže σs T 4 = σs ( ) T1+T 4 2 4 T 4 = 1 2 (T4 1+T2). 4 Medziplatňou1astrednouplatňouterazbudevýslednýtokteplasmeromkstrednejasveľkosťou σs(t 4 1 T 4 ).Medzistrednouplatňouaplatňou2budetiecťvýslednýtokteplasmerom kplatni2asveľkosťou σs(t 4 T 4 2).Prirodzene,tietodvatokysúrovnaké,pretoževrovnováhe sa na strednej platni nezachytáva žiadne teplo. Dosadením za T do jedného z týchto dvoch vzťahov potom dostaneme P 2 = 1 2 σs( T 4 1 T 4 2) = 1 2 P 1. 38. Všimnime si, že koberec roztočený okolo stredu si môžeme predstaviť ako štyri nezávisle sa pohybujúce koberce roztočené okolo(spoločného) vrchola. Tieto koberce však majú len polovičnú dĺžku strany a štvrtinovú hmotnosť, preto bude treba preškálovať aj ostatné veličiny. Konkrétnenásbudezaujímať,akosapreškálujeuhlovézrýchleniespočítanéako ε=m T /J. Malý koberec si možno matematicky predstaviť ako zmenšenie veľkého koberca. Pomyselne si rozdeľme malý aj veľký koberec rovnakým spôsobom na množstvo malých častí. Prirodzene nám vznikne zobrazenie, ktoré každej časti veľkého koberca priradí časť malého koberca(a naopak). Teraz skúmajme, ako sa pri tomto zobrazení preškálujú fyzikálne veličiny. Nové vzdialenosti budúpolovičné,tj. r = 1r.Plochakaždejčastikoberca,akoajjehohmotnosť,sazmenšia 2 štvornásobne. Pre moment zotrvačnosti malého koberca preto dostávame: J = i m ir 2 i = 1 16 i m i r 2 i= 1 16 J, 26 otazky@fks.sk
kde index i označuje jednotlivé časti kobercov. Pozrime sa, ako sa preškáluje moment trecej sily. Každá časť tlačí na podložku štyrikrát menšou silou pri polovičnom ramene. Celkový moment trecej sily sa preto preškáluje ako: F T,ir i= 1 F 8 T,i r i = 1M 8 T M T= i auhlovézrýchlenie ε = M T /J =2εbudepretodvojnásobné. Nakoniecmôžemeodpovedaťnazadanúotázku.Malýkoberecsazastavízačast = ω/ε = 1 2 t, tedazapolovičnýčas.nazákladeúvahzprvéhoodstavcavieme,žezatenistýčassazastaví aj koberec pôvodnej veľkosti roztočený okolo stredu. 39. Začnemezdanlivozinéhosúdka,ktorýjealevskutočnostipresnetensúdokoktorom jetátoúloha.svetlosazbodu Adobodu Bpohybujepotakejdráhe,ktorátrvánajkratšíčas zo všetkých možných dráh. Tzv. Fermatov princíp. Pri prechode svetla z jedného prostredia, kdejejehorýchlosť nkrátväčšia(indexlomu)akovdruhomprostredí,jedráha,ktorátrvá najkratšíčaszalomená,pričompreuhlyodkolmicedopaduplatísinα/sinβ= n.tzv.snellov zákonlomu.to,čoriešichlapecjealepresnerovnakáúloha:akosadostaťzanajkratšíčas kdievčaťupričomprechádzarozhraním zaktorým jeužjehorýchlosť nkrátmenšia.akešte stále analógiu nevidíte, predstavte si dievča na obrázku pod osou kvetinárstiev vo vzdialenosti yapresvedčtesaže,jetorovnakáúloha.chlapecmusítedabežaťtak,abypreuhlypreda po nákupe platil zákon lomu. Keď označíme vzdialenosť kvetinárstva v ktorom chlapec nakúpi materiál od začiatku radu ako l, a vyjadríme sínusy pomocou pomerov strán v trojuholníkoch, dostávame: l/ x 2 +l 2 (z l)/ 1 (z l) 2 +y 2=v, (1) v 2 Videálnomsvetebysmetútorovnicuvyriešili,získalitak lacelkovýčaschlapcadostaliako: i t= x2 +l 2 v 1 + (z l)2 +y 2 v 2. Keď sa ale schuti zahryzneme do spomínanej rovnice zistíme, že je kvartická a nevieme s ňou pohnúť.skúsimesanaňualepozrieťodbornýmokom 1.Skúsimeriešenieuhádnuť.Hádame alesistoudávkouumuapredpokladu,žečlovek,čozadávaltentopríkladnebolúplnézviera 2. Chlapecsaskyticoupohybujepomalšieakeďže y < x,môžemehádaťžekúpikyticukdesi takaby l > 1 2 z,t.j.takabyvzdialenosťbehuskyticoubolamenšia.akpoznámepytagorejské trojuholníky,doočínámhneďpadneskúsiť l=800.potomtotižmámedvatrojuholníkyso stranami(600, 800, 1000) a(300, 400, 500). 1 http://www.professionaleye.com/ 2 NiektoríhosícevolajúHroch,aledoktorinámpotvrdili,žeječlovek. 27 otazky@fks.sk
Dosadením do rovnice pre lom veľmi rýchlo zistíme, že tento tip vyšiel, lebo túto rovnicu spĺňa. Tieto hodnoty potom dávajú celkový čas 4 minúty a 10 sekúnd. Poučenie na záver. Chlapci, ak prebehnete jeden a pol kilometra týmto tempom, budete spotený ako kôň a smrdieť ako dva kone. Pred poriadnym faux pas vás na rande zachráni len kvalitný dezodorant, spomínanákyticaakvalitnávýhovorkaprečostesamuselihnaťakotrikoneabysteprišli načas. 40. KeďžesaZemhýbeokoloSlnka,svitanieuvidímeeštepredtýmakosavdôsledkurotácie Zeme presunieme na jej stranu privrátenú k Slnku. Inými slovami, z obrázka 4 môžeme odpozorovať, že tým, že sa Zem pohybuje rýchlosťou v okolo Slnka aj odvrátená strana Zeme stihne zraziť nejaké lúče predtým než utečú do temnoty vesmíru. Obr. 4: Odvrátená strana stihne zraziť nejaké lúče Keď prejdeme do sústavy spojenej s ťažiskom Zeme znázornenej na obrázku 5, slnečné lúče budú prichádzať pod uhlom α oproti pôvodnému smeru. Z trojuholníka pre skladanie rýchlostí platítgα=v/c.prvýrannýslnečnýlúčtedauvidímeužvbode Banievbode D,akobysme naivne mohli predpokladať. Ak by bola rýchlosť svetla dvojnásobná uhol dopadu lúčov β by bolmenší(viď.obrázok6),platilobypreňtgβ= 1v/camiestoprvéhorannéhorozbreskuby 2 boloposunutédobodu C.KeďsitedasedímvnociaosamotepočítamdoránanajnovšieFKS, vprvomprípadeuvidímslnkoužvbode B,zatiaľčovdruhomprípadebudemmusieťčakať kýmsavďakarotáciízemedotočímdobodu C.Zemsaotáčauhlovourýchlosťou ωateda mitátocestabudetrvať T=(α β)/ω.vyjadrenépeknepomocouveličínčosmepoužívali, dostaneme T= arctg(v/c) arctg(v/2c). (2) ω 28 otazky@fks.sk
Obr. 5: Klasická rýchlosť svetla Obr. 6: Rýchlosť svetla 2c Keď sa nám nechce hádzať číselká do kalkulačky, môžeme si pomôcť ešte nasledovnou úvahou.premaléhodnoty xjearctg(x)približnerovné x.pomer v/cjeurčitemaléčísloakeď vyjadrímerýchlosťobehuokoloslnkaako v=2πr SZ /t rok,kde r SZ jevzdialenosťzemeodslnka a t rok jerokauhlovúrýchlosťobehuokolovlastnejosivyjadrímeako ω=2π/t deň,kde t deň je deň.využijúc r SZ /c 8minút,dostaneme T = 4 minúty,čižeasi 2sekundy.Akpôvodný 365 3 vzťah naťukáme do kalkulačky dostaneme 0,68 sekundy. Ain t bad! Situácia je v skutočnosti omnoho zložitejšia, pretože z dôvodu konečnej vzdialenosti Slnka od Zeme slnečné lúče v skutočnosti nedopadajú kolmo na vektor rýchlosti Zeme. 41. Pri kruhovom pohybe okolo planéty plynie z rovnosti gravitačnej a odstredivej sily mv 2 k R = AmM R 2 +B mm R 3, v 2 k = A M R +BM R 2. Ďalej vieme, že aby sonda unikla z gravitačného poľa planéty, musí jej byť udelená taká(úniková) rýchlosť, aby príslušná kinetická energia bola väčšia alebo rovná rozdielu jej potenciálnej energie E p = E p (r ) E p (r=r)medziveľmiveľkouvzdialenosťouavzdialenosťou R. Rozdiel potenciálnych energií E určíme ako integrál sily po dráhe E p = = R [ A mm r ( A mm +B mm r 2 r 3 1 2 BmM r 2 = A mm R +1 2 BmM R 2. ) dr ] r= Všimnitesi,žeprváčasť E p jerovnaká,akopre obyčajné gravitačnépoleúmerné1/r 2.Niet sačomučudovať.veďpresneztejtočastigravitačnejsilysmetentovýrazdostaliajvnašom prípade! Tu vlastne stačilo využiť známy výsledok a zaobišli by sme sa aj bez integrálov. Pre člensilyúmerný1/r 3 savšakbezintegrovaniazaobísťnedá. r=r 29 otazky@fks.sk
Pre únikovú rýchlosť dostávame rovnicu 1 2 mv2 u= A mm R +1 2 BmM R 2 v 2 u=2a M R +BM R 2, Tým pádom sme získali dve lineárne rovnice o dvoch neznámych, ktoré bez problémov vyriešime. Pregravitačnékonštanty AaBvyjde A= R M ( v 2 u v 2 k) B= R2 M ( ) 2v 2 k vu 2, 30 otazky@fks.sk