V L N E N I E
Vysvetliť rozdiel medzi kmitaním a vlnením Definovať vlnenie, opísať spôsob jeho vznik Vysvetliť vznik postpného priečneho a pozdĺžneho vlnenia Vysvetliť pojmy vlnoplocha a lúč Formljte a vysvetlite Hygensov princíp vyžitie Vysvetliť pojmy hol dopad, hol odraz, rovina dopad, medzný hol, lom k kolmici, lom od kolmice, totálna reflexia Formlovať zákon odraz a lom vlnenia Matematicky vyjadriť rovnic postpnej vlny a vysvetliť význam fyzikálnych veličín v nej Napísať a vysvetliť vlnovú rovnic. Dokázať, že rovnica postpného vlnenia vyhovje vlnovej rovnici
Opísať interferenci vlnenia a matematicky opísať najjednodchší prípad interferencie Vysvetliť pojmy koherencia, dráhový a fázový rozdiel Opísať slovne, obrázkom i matematicky stojaté vlnenie Pri stojatom vlnení vysvetliť pojmy kmitňa, zol. Uviesť, kde vznikajú, a aká je medzi nimi vzdialenosť Vedieť, ako sa vlnenie odráža od pevného a voľného konca Disperzia. Fázová a grpová rýchlosť. Opísať Dopplerov efekt
Vlnenie. Vznik vlnenia Ak vedieme do kmitavého pohyb nejaký hmotný element prostredia (napr. lana), vidíme, že sa kmity neobmedzia iba na element vedený do pohyb, ale tohto miesta sa rozrch šíri do celého prostredia Vlnenie je dej, pri ktorom sa kmitavý rozrch šíri prostredím Na rozkmitanie ďalších častíc prostredia (napr. vodnej hladiny po vhodení kameňa na ň) sa msí prostredím prenášať energia Drhy vlnenia: 1. Mechanické (tými sa bdeme zaoberať) Zvk, vodná hladina, hadica Riadia sa Newtonovými zákonmi a sú viazané na prostredie. Elektromagnetické Svetlo (viditeľné, UV), rádiovlny, RTG žiarenie K svojej existencii nepotrebjú látkové prostredie 3. De Broglieho vlny (vlny hmoty) Aj objekty mikrosveta (protón, elektrón) majú aj vlnovú povah
Čo je vlnenie? Jedna častice prostredia sa rozkmitá a prostredníctvom pôsobenia medzi časticami sa tento pohyb prenáša na ďalšie častice prostredím sa šíri vlnenie Šíri sa len kmitavý rozrch, nie samotné častice. (Vlny na vode neodnesú plávajúci predmet.) Fázová rýchlosť v je rýchlosť, ktoro sa šíri vlnenie prostredím. Je to rýchlosť, ktoro sa premiestňje rovnaká fáza kmitania jednotlivých bodov. Vlnová dĺžka je potom vzdialenosť dvoch najbližších častíc kmitajúcich s rovnako fázo. Pre vlnovú dĺžk platí (f je frekvencia) v. T v f A B C D E F G H I J K t = 0 t = T/ 4 t = T/ t = 3.T/ 4 t = T t = 5.T/ 4
Priečne vlnenie Môže sa šíriť len v pevných látkach. Len tam existje sila, navracajúca element prostredia do rovnovážnej polohy pri priečnej výchylke
Pozdĺžne vlnenie Môže sa šíriť v plynoch, kvapalinách aj pevných látkach. Jeho rýchlosť závisí od objemovej stlačiteľnosti prostredia
Povrchové vlny Šíria sa na rozhraní dvoch prostredí Výchylka smerom do hĺbky sa zmenšje Trajektória kmitavého pohyb častíc je elipsa (kržnica) Vlny na vode Častice kmitajú po elipse (kržnici) v smere hodinových rčičiek Rayleighove vlny Častice kmitajú po elipse (kržnici) proti smer hodinových rčičiek
Vlastnosti vlnenia Vlnenie je sporiadaný kmitavý pohyb častíc prostredia Vlnenie neprenáša hmot, len energi (častice prostredia kmitajú na mieste, ale nepostpjú) Množina bodov, do ktorých dospelo v danom okamih vlnenie sa nazýva čelo vlny Vlnenie môže byť neperiodické alebo periodické Súvislá množina bodov, ktorá kmitá synchrónne (súčasne prechádza maximom, minimom aj rovnovážno poloho) sa nazýva vlnoplocha
Vlnoplochy - sú kržnice odpovedajúce maximálnej kladnej výchylke Dvojrozmerné vlnenie na povrch vody šíriace sa z bodového zdroja
Typy vlnení, vlnoplocha Vlnoplocha je súvislá množina bodov, ktorá kmitá synchrónne (súčasne prechádza maximom, minimom aj rovnovážno poloho) - roviny - valcové plochy - gľové plochy Rovinná Cylindrická Gľová vlna vlna vlna
Lúč šírenie vln sa charakterizje pomoco geometricky konštrovaných čiar lúčov Lúč je čiara, ktorá má v každom bode smer šírenia sa vlnenia lúče vlnoplocha
Vlnoplochy a lúče vlnoplochy Lúče
Každý bod vlnoplochy, do ktorého sa dostalo vlnenie, v istom okamih môžeme pokladať za zdroj elementárneho vlnenia, ktoré sa z neho šíri v elementárnych vlnoplochách. Vlnoplocha v nasledjúcom časovom okamih je vonkajšia obalová plocha všetkých elementárnych vlnoplôch. Christiaan Hyghens (169-1695) holandský fyzik
Hygensov princíp rovinná vlnoplocha ľbovoľná vlnoplocha elementárna vlnoplocha v čase Δt
Hygensov princíp možňje zostrojiť vlnoploch v čase t + dt, keď poznáme vlnoploch v čase t platí pre akýkoľvek drh vĺn nedokáže vysvetliť, prečo vlnenie necúva (drhá obálka elementárnych vlnoplôch nezodpovedá reálnej vlne nemožňje rčiť amplitúd vlnenia v jednotlivých bodoch vlnoplochy Tieto nedostatky odstránil A. Fresnel (1788 187), r A A 0 r r A r A 0
Odrazený lúč ostáva v rovine dopad a zviera s kolmico dopad hol odraz rovnaký ako hol dopad. Uhol dopad je medzi kolmico dopad a dopadajúcim lúčom p 1 Uhol odraz je medzi kolmico dopad a odrazeným lúčom p Rovina dopad je rčená lúčom dopadajúceho vlnenia a kolmico dopad k D C p 1 p A B
Lomený lúč ostáva v rovine dopad a pomer síns hla dopad a síns hla lom je pre danú dvojic prostredí konštantný, rovná sa podiel rýchlostí vlnení v týchto prostrediach. D sin sin v 1 v A B k p 1 C DB AC v1t v t sin v sin v 1 AB.sin AB.sin n n 1 p
1. V prípade, že c 1 > c, nastáva lom, pri ktorom je hol lom menší, ako je hol dopad, tzv. lom k kolmici. V prípade, že c 1 < c a vlnenie dopadá pod menším hlom než je tzv. medzný hol m, nastáva lom, pri ktorom je hol lom väčší, ako je hol dopad, tzv. lom od kolmice Pri dopade vlnenia pod väčším hlom > m nemôže nastať lom, pretože vychádza sin > 1, čo je nemožné. V takomto prípade lom nenastane a všetko vlnenie sa odráža. Hovoríme tom úplný odraz, resp. totálna reflexia
Harmonická postpná vlna t y t m sin 1 v k k Vlnenie je šírenie kmitov v prostredí k x t x T t x t v x T t v x t sin sin sin sin sin 0 0 0 0 0 t y t m sin
Popis periodického harmonického vlnenia Vlnová dĺžka je najmenšia vzdialenosť bodov, ktoré kmitajú synchrónne Rýchlosť šírenia vlnenia sa rovná vzdialenosti, do ktorej postúpi vlnenie za 1 seknd Vlnenie sa šíri v pevných látkach, v kvapalinách aj v plynoch V rôznych látkach sa vlnenie šíri rôzno rýchlosťo λ = v. T Vlnová dĺžka λ [ lambda] v = λ. f Rýchlosť šírenia f = 1/T Frekvencia f ω = π. f Úhlová frekvencia f k = π/λ Vlnové číslo
Matematický popis vlny Rôzne drhy zápis vlnenia v jednorozmernom prípade 0 x sin t 0 sin v Opis komplexno fnkcio x, t e x p i t k x Vlnenie v trojrozmernom prípade t k x ~ t a k o, že Im ~ ~. k 0 r t s in t k. r e x p i t k. r, 0 0 n vlnový vektor n šírenia sa vlnenia jednotkový vektor v smere
Vlnová rovnica V jednorozmernom prípade msí mať dve riešenia, popisjúce vln postpjúc doprava alebo doľava. x v t Vlnenie sa môže šíriť v trojrozmernom priestore z y x v v t Tvar vlnoplochy môže byť ľbovoľný Výchylka element prostredia z rovnovážnej polohy je vektor Riešenie závisí od okrajových podmienok
Vlnová fnkcia a vlnová rovnica Závislosť výchylky od čas a polohy sa nazýva vlnová fnkcia. V jednorozmernom prípade je to (x, t) = f (x vt) pre vln idúc doprava (x, t) = f (x + vt) pre vln idúc doľava x, y, z, t Vo všeobecnom prípade je to fnkcia troch priestorových súradníc a čas, pričom výchylka z rovnovážnej polohy je vektor. Vlnová rovnica je diferenciálna rovnica, ktorej riešením je vlnová fnkcia
Interferencia vĺn Skladanie dvoch vlnení, ktorého výsledkom je ich zosilnenie alebo zoslabenie v jednotlivých bodoch priestor. Interferovať môž len koherentné vlny. Podmienky koherencie: rovnaká frekvencia rovnaký (konštantný v čase) fázový posn Δφ
Interferencia Na obrázk sú znázornené vlnoplochy dvoch vlnení. Všimnime si body, kde sa stretávajú vlnoplochy od jedného a od drhého zdroja. Takéto body vytvárajú čiary množiny bodov s interferenčným zosilnením/zoslabením. Ak je fázový rozdiel dvoch koherentných vlnení v rčitom bode, alebo iný párny násobok, nastáva interferenčné zosilnenie. Ak fázový rozdiel je nepárny násobok, nastáva interferenčné zoslabenie.
Interferencia vlnenia Ak sa prostredím šíria dve alebo vlnení rovnakého drh, šíria sa navzájom nezávisle. V miestach ich stret nastáva skladanie interferencia vlnení, no obe sa ďalej šíria nezávisle a samostatne (napr. ak hodíme dva kamene do vody). Interferencia vlnenia sa prejavje tak, že výsledný kmitavý pohyb bodov prostredia je daný sperpozício kmitaní vyvolaných vlnením. Vlnenia sa môž odlišovať vlnovo dĺžko, amplitúdo, fázo i smerom šírenia, a preto môže byť interferencia zložitá. Zameriame sa na interferenci dvoch vlnení s rovnako vlnovo dĺžko, amplitúdo, ktoré postpjú radom bodov s rovnako fázovo rýchlosťo a tým istým smerom. Ich fázový rozdiel je konštantný. Uvažjme zdroje vlnenia Z 1 a Z ležiace na jednej priamke a kmitajúce s rovnako začiatočno fázo. Každé vlnenie možno opísať vlnovo rovnico. Vo vzdialenosti x od zdroja vlnenia bde fáza vlnenia t k x t T x
Interferencia vĺn 1 0 0 cos cos t t kx kx 1 k. x V cos t 1 V k x 0 0 k x x 1 0 c o s Výsledná amplitúda V 0 pre x 1 x n k V 0 x x n 1 pre 1
Pre fázy vlnení, ktoré sa do važovaného bod M dostanú zo zdrojov, platí 1 1 a x T t t x T t t V ľbovoľnom bode rad majú obidve vlnenia konštantný fázový rozdiel,. 1 1 d x x kde d = (x x 1 ) je dráhový rozdiel. Je to vzdialenosť dvoch bodov, v ktorých majú vlnenia rovnakú fáz. Fázový rozdiel v danom bode je priamoúmerný dráhovém rozdiel. Ak je fázový rozdiel dvoch interferjúcich vlnení konštantný (t.j. nezávisí od čas), sú obidve vlnenia koherentné (cohaerere latinsky znamená súvisieť s niečím)
a) Ak je dráhový rozdiel d rovný celočíselném počt vĺn, resp. párnem počt polvĺn, teda d k.. k, k 0,1,,3,..., t. j.. k., teda cos 1 1 1 obidve vlnenia sa stretli s rovnako fázo a amplitúda vtedy nadobúda svoje najväčšie hodnoty y m,max = y m1 + y m (= y m ) b) Ak je dráhový rozdiel d rovný nepárnem počt polvĺn, teda d t. j.. k 1, k 0,1,,3,...,. k 1., teda cos 1 1 1 obidve vlnenia sa stretli s opačno fázo a amplitúda vtedy nadobúda svoje najmenšie hodnoty y m,max = y m1 y m (= 0 )
Stojaté vlnenie Vzniká skladaním dvoch vĺn rovnakej frekvencie a amplitúdy, postpjúcich proti sebe po tej istej priamke Uzol bod, v ktorom je amplitúda vlnenia nlová Kmitňa bod, v ktorom je amplitúda vlnenia maximálna Vzdialenosť dvoch ssedných zlov = λ/ Vzdialenosť dvoch ssedných kmitní = λ/ Vzdialenosť zla a kmitne = λ/4
1 m sin t k x m sin t k x sin kxcos t m
Kmitavý pohyb Vlnový plz na lane Vln generjeme prdko výchylko konca lana Lano je pevnené ( alebo voľné ) na drhom konci. Vytvorí sa jednotlivý plz, ktorý postpje po lane a sledjme jeho odraz.
Na pevnom konci nastáva odraz vlnenia s opačno fázo. Na voľnom konci nastáva odraz vlnenia s rovnako fázo.
. L c k f k L k 4 1 4 1 l c k f k l k 1 1 pevnené prostred 1 l 3 l 5 l
t F x v F F veľkosť napínacej sily µ - dľžková hstota drôt L n 1,,... n
Rýchlosť vlnenia v rôznych prostrediach c K Stlačiteľná tektina K modl objemovej stlačiteľnosti c p R T M Plyny (adiabatický dej) p statický tlak, κ - Poissonova konštanta, R plynová Konštanta, M kilomolová hmotnosť c E Pozdĺžne vlnenie v tenkej tyči c T G G m c L m Elastické vlny v nekonečnom izotropnom prostredí. E, G modly pržnosti v ťah a v šmyk, m Poissonovo číslo, ρ - hstota
Kmitavý pohyb Vlnenie v disperznom prostredí Disperzia je jav, pri ktorom rýchlosť harmonickej vlny závisí od jej frekvencie. Disperzi spôsobje prostredie, v ktorom sa vlna šíri. Závislosť hlovej frekvencie od vlnového čísla nazývame disperzný vzťah V dôsledk disperzie sa tvar rozrch postpne mení. k Disperzia je typická pre vlny na vode, svetelné vlny v látkach (vo vák disperzia svetla neexistje)
Fázová a grpová rýchlosť Fázová rýchlosť je rýchlosť postp bod s konštantno fázo 0 s in t k x t k x k o n s t d dx t k x 0 k 0 dt dt dx dt k v f k fázová rýchlosť
Fázová a grpová rýchlosť Grpová rýchlosť je rýchlosť postp vlnového balíka, rýchlosť prenos energie vlnením v g d d k grpová rýchlosť - rýchlosť prenos energie (a informacie) t x t + Δ t x Δ x
Dopplerov jav Keď zdroj zvk pohybje k pozorovateľovi klesa od pozorovateľa rastie f pozorovate l v v v s f zdroj Keď pozorovateľ pohybje k zdroj klesa od zdroja rastie f pozorovate l v v v o f zdroj Keď obidva pohybjú: f pozorovate l v v v v o s f zdroj
Dopplerov jav pre elektromagnetické vlnenie f f c c v v Spektrá hviezd a galaxií, ktoré sa od nás vzďaľjú, sú posnté smerom k červenej farbe Hviezdy, ktoré sa k nám približjú, majú spektrá posnté smerom k modrej farbe
Kmitavý pohyb Rázová vlna Vzniká, keď rýchlosť zdroja je väčšia ako rýchlosť vlnenia Obálko vlnoplôch je kžeľová plocha s vytvárajúcim hlom sin q v / v s Uhol q nazývame Machov hol