Formula Black-Scholes. Modele de creştere (investiţii bancare, creşterea populaţiei, etc) Unul din cele mai simple modele de creştere este cel al creşterii exponenţiale. În acest model, notând cu cantitatea de interes la momentul 0, presupunem că ratadeschimbarealui,adică,esteproporţională cu cantitatea prezentă. Notând cu constanta de proporţionalitate, aceasta revine la = () Ecuaţia anterioară este un exemplu simplu de ecuaţie diferenţială cu variabile separabile. Separând variabilele, obţinem = de unde prin integrare obţinem ln = + sau echivalent = + () Pentru a determina constanta de integrare, folosim condiţia iniţială (presupunem că valoarea iniţială 0 a cantităţii de interes este cunoscută), obţinând 0 =.Soluţia ecuaţiei () este deci = 0 0 fapt ce justifică numele modelului (în acest model cantitatea studiată are o creştere exponenţială). Să observăm că deşi modelul anterior este util în studiul unei populaţii (de peşti, iepuri, etc) pentru valori mici sau moderate ale lui 0, pentru valori mari ale lui modelul nu este fezabil, deoarece lim = pentru 0. Acest lucru nu este ]ns[ posibil, deoarece din considerente de mediu (spaţiu, hrană, etc) nu putem avea o populaţie infinită. O variantă a modelului exponenţial de creştere () este aşa numitul model logistic de creştere al populaţiei, în care presupunem că populaţia verifică următoarea ecuaţie diferenţială = ( ) (3) Valoarea este o constantă (numităşi capacitate maximă), şi se observă cădacă (0) atunci rata de creştere 0 este pozitivă, şi este negativă (sau zero) în caz contrar. Această modificare a modelului face ca valoarea populaţiei să numaitindăspreinfinit atunci când,şi este mai adecvată caşi model de creştere a populaţiei pentru valori mari ale lui. Şi în acest caz ecuaţia anterioară este o ecuaţie cu variabile separabile ce poate fi rezolvată explicit: µ ( ) = + = de unde prin integrare se obţine de unde se obţine şi folosind condiţia iniţială obţinem ln = + = + = + = + 0 0 Graficul câtorva soluţii generice (pentru diverse valori 0 ale populaţiei iniţiale) este indicat în Figura???.
Un alt model de creştere este cel al banilor depuşi la bancă. În general, bancile oferă o dobândă anualăde% din suma iniţial depusă 0,şi calculează dobânda lunar. Notând cu valoarea contului după ani, avem = 0 + Dacă banca ar calcula dobânda zilnic, valoarea contului după ani ar fi = 0 + 365 365 ceea ce este mult mai convenabil! (comparaţi cele două valori anterioare pentru o anumită valoare a lui, spre exemplu =004 şi =an). Ce s-ar întâmpla dacă am putea convinge banca să calculeze dobânda mult mai des, spre exemplu în fiecare oră, în fiecare minut, sau în fiecare secundă? Înntrebarea revine la a determina ce se întâmplă cu valoarea din bancă = 0 + pentru.nuestegreudeobservatcăpentru limita cantităţii de mai sus este = lim 0 µ + = 0 (4) şi deci obţinem din nou modelul () de creştere exponenţială. Acest model de dobândă bancară se numeşte model cu dobândă calculată în timp continuu (continuous compounded interest). Modelele prezentate anterior sunt modele deterministe, ce nu iau în vedere factorii aleatori. În cele ce urmează vom fi însă interesaţi în modele probabiliste, spre exemplu în modelarea preţului unui anumit stoc, care este o variabilă aleatoare (nu este o cantitate deterministă, în sensul că nu putem determina o anumită formulă pentru a prevedea cu exactitate preţul la un moment de timp viitor). Modificăm aşadar ecuaţia () de creştere exponenţială prin includerea unui factor aleator, reprezentat de o mişcare Browniană -dimensională începută la 0 =0. Notând cu valoarea unei unităţi de stoc la momentul de timp 0, considerăm ecuaţia diferenţială stochastică = + 0 (5) în care şi sunt anumite constante ce depind de stocul considerat ( se numeşte volatilitatea stocului, iar este valoarea medie a exponenţialei stocului). Pentru a rezolva ecuaţia anterioară, aplicăm formula Ito procesului şi funcţiei () =ln, şi obţinem (ln )= + µ hi Înlocuind în ecuaţia anterioară diferenţiala prin valoarea din (5), şi diferenţiala variaţiei pătratice hi prin hi = (deoarece stocul este dat de (5), variaţiasapătratică este egală cuvariaţia integralei stochastice R 0, care conform construcţiei este R 0 hi = R 0 ), şi obţinem: (ln ) = ( + ) = + = µ + sau eechivalent în formă integrală Z ln = ln 0 + µ 0 = ln 0 + µ = ln 0 + µ 3 + = =0 + Z 0 + = =0
Figure : Preţul ( ) al opţiunii de cumpărare depinde numai de momentul al vânzării şi de preţul stocului = la momentul respectiv. Obţinem deci că procesul este dat explicit de formula = 0 + 0 (6) şi numim acest proces mişcare Browniană geometrică cu parametrii şi. Să observăm că pentru valori apropiate de zero ale volatilităţii, procesul se comportă aproximativ determinist (poate fi aproximat de un model de creştere exponenţial cu = ), dar are înglobat factorul aleator reprezentat de mişcarea Browniană. Pentru valori mai mari ale volatilităţii, influenţa factorului aleator este mai mare, şi aceasta se traduce printr-un stoc mai imprevizibil (ce poate avea creşteri/scăderi mult mai mari sau mai bruşte). În toate cazurile însă (pentru orice valori ale parametrilor şi ), mişcarea Browniană geometrică are valori ne-negative, aşa cum se poate observa direct din formula (6).. Formula Black-Merton-Scholes O opţiune Europeană de cumpărare de acţiuni (European call option) este un contract ce dă dreptul cumpărătorului de a cumpăra acţiuni de stoc (pentru simplitate presupunem căestevorbadeosingurăacţiune), la o anumită dată fixată numită maturitatea a contractului, pentru un anumit preţ fixat (strike price). Dacă lamaturitate a contractului preţul stocului este sub valoarea evident cumpărătorul opţiunii nu îşi va exercita dreptul (contractul dă dreptul, nu obligaţia de a cumpăra acţiuni!), deoarece el cumpăra acţiuni la un preţ mai mic decît de pe piaţa liberă, fără a apela la contract. Dacă însălamaturitatea a contractului preţul stocului este +, cumpărătorul opţiunii îşi va exercita dreptul, şi va cumpăra o acţiune la preţul conform contractului, pe care o va putea vinde imediat pentru + lei pe piaţa liberă, obţinând astfel un câştig de ( + ) = lei! Câştigul cumpărătorului în ambele situaţii poate fi descris de formula + =max{ 0} numită valoarea contractului, în care reprezintă valoarea unei acţiuni de stoc la momentul 0 ( este deci preţul stocului la maturitatea a contractului). Black-Merton-Scholes au încercat sărăspundă laurmătoarea întrebare: care ar trebui să fie preţul corect de vânzare al unei opţiuni de stoc? Anterior cercetărilor lor, brokerii au încercat să determine (empiric) probabilităţile valorii stocului la maturitatea contractului, şi să stabilească preţul opţiunii de cumpărare folosind aceste valori (sumă de valori înmulţite cu probabilităţi), o metodă empirică, fără un fundament matematic (şi cu posibilitatea de ruinare a bankerilor!). În schimb, aşa cum vom vedea, formula Black-Scholes stabileşte matematic o formulă exactă de calcul a opţiunii de cumărare, în funcţie de valorile anumitor parametrii ce depind de stocul considerat (modul de calcul al acestor parametrii este şi în prezent o problemă de cercetare). Pentru a simplifica problema, considerăm că: preţul al stocului este dat de o mişcare Browniană geometrică cu parametrii şi (ecuaţia (5) cu soluţia dată de(6)),şi presupunem că putem depozita bani în bancă larata fixă calculată în timp continuu, pentru orice interval de timp (dobânda bancară estemodelată de ecuaţia (). Mai presupunem că brokerul, banca şi pentru cumpărarea/vânzarea de acţiuni nu se percep comisioane suplimentare. Ideea principală în modelul Black-Scholes este că preţuluneiopţiuni de cumpărare (pentru o maturitate şi un preţ fixat) este o funcţie deterministă ( ) ce depinde numai de momentul al vânzării opţiunii şi de preţul = al stocului la momentul de timp (a se vedea Figura ). Pentru a determina funcţia, vom încerca să determinăm o strategie pentru broker, ce îi va permite (fără a-şi asuma nici un risc, adică fără pierderi sau câştiguri suplimentare) să-şi stabilească un portofoliu (o combinaţie de Şi au reuşit, motiv pentru care Merton şi Scholes au primit premiul Nobel pentru Economie în 997, Black decedând în 995. 4
acţiuni şi bani depozitaţi în bancă), a cărui valoare la momentul de timp este exact egală cupreţul ( ) al opţiuniilamomentulrespectiv,oricarearfi 0. În particular, = ( ),şi deci la maturitatea contractului brokerul va avea exact suma necesară pentru a îndeplini cerinţele contractului. Să prespunemcă brokerul începe cu o anumită sumădebani 0 (careestedefaptsumapecareoprimeşte de la cumpărătorul opţiunii), pe care o investeşte în două instrumente financiare: acţiuni şi bani depozitaţi în bancă. Să presupunem că lamomentuldetimp [0], brokerul are în portofoliu acţiuni, iar restul de bani, adică îi depune la bancă. Ecuaţia diferenţială pentru este = + ( ) (7) şi semnifică faptulcăschimbarea a valorii portofoliului este datorată schimbării a valorii stocului (înmulţită cu numărul de acţiuni deţinute), plus dobânda acumulată pentru banii depuşi în bancă. Să observăm că şi ( ) sunt valori monetare la momentul din viitor. Aceste valori corespund în prezent (la momentul de timp 0) valorilor şi ( ). Vom obţine ecuaţia Black-Scholes impunând condiţia ca cele două valori să fie egale la orice moment de timp, adică şi ( ) pentru orice [0], şi deci şi diferenţialele lor vor fi egale: = ( ) Pentru a calcula diferenţiala ( ), aplicăm formula Ito procesului şi funcţiei ( ) =.Avem şi deci obţinem ( ) = ( ) = ( ) =0 = + + 0 hi = + (restul termeniilor ce conţin derivatele de ordin doi ale lui sunt nuli deoarece covariaţiile corespunzătoare sunt nule). Folosind ecuaţia (7) a portofoliului, obţinem = + ( + ( ) ) = ( ) Folosind în continuare ecuaţia(5)astocului,obţinem = ( + ) = ( ) + (8) Pentru a calcula diferenţiala ( ( )), aplicăm formula Ito procesului şi funcţiei ( ) = ( ). Avem ( ) = ( )+ ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) şi deci obţinem ( ) = µ ( )+ ( ) + ( ) + ( ) hi Folosind din nou ecuaţia (5), obţinem echivalent ( ) µ = ( )+ ( ) + ( )( + )+ = µ ( )+ ( )+ ( )+ ( ) 5 ( ) + ( ) (9)
Egalând integralele stochastice (în raport cu )şi integrale Riemann (în raport cu ) din(8)şi (9), obţinem sistemul ( ( ) = ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = ( ) sau dupăsimplificare ½ ( ) = ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = ( ) Cea de a doua relaţie din sistem arată cumtrebuiesă procedeze brokerul pentru ca portofoliul său să aibeo valoare egală la orice moment de timp cu valoarea opţiunii: = ( ) (0) Pnetru a determina funcţia, înlocuim valoarea lui în prima ecuaţie din sistem, pentru a obţine ( ) ( )= ( )+ ( )+ ( )+ ( ) sau echivalent ( )+ ( )+ ( ) ( )=0 Să observăm că pentru ca aceasta ecuaţie să fie adevărată pentru orice valoare = astocului,estesuficient ca funcţia = ( ) să verifice ecuaţia deterministă ( )+ ( )+ ( ) ( ) =0 () ce reprezintă ecuaţia Black-Scholes. Rezolvând această ecuaţie diferenţială împreună cu condiţia terminală ()= + se obţine formula Black-Scholes pentru preţul unei opţiuni Europene cu maturitate şi preţ devânzare unde iar ( ) =Φ ( ) ( ) Φ ( ) 0, 0 () = ln + + ( ) Φ () = Z şi = ln + ( ) este funcţia de distribuţie normală standard. Pentru a rezolva ecuaţia Black-Scholes, se efectuează transformări convenabile (de variabilă şi de funcţie), ce reduc ecuaţia Black-Scholes la ecuaţia diferenţială a căldurii, pentru care soluţia este cunoscută. Exerciţiul. a) Să se efectueze schimbarea de variabile = ln = ( ) şi să searatecăfuncţia ()= ( ) verifică ecuaţia diferenţială unde =. = +( ) 6
b) Să se determine constantele convenabile R pentru care funcţia e ()= + () verifică ecuaţia căldurii e = e cu condiţia iniţială e (0)= 0 () = +. c) Folosind faptul că soluţia ecuaţiei anterioare a ecuaţiei căldurii este dată de e ( ) = 0 ( )= Z 0 () ( ) 4 4 să sededucăsoluţia ( ) aecuaţiei Black-Scholes dată de formula (). 7