PENTRU CERCURILE DE ELEVI

122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi ale uităţii. Notâd ζ = cos 2π + i si 2π, datorită formulei lui Moivre, avem: U = 1, ζ, ζ 2,..., ζ 1}. (1) Propoziţia 1. (U, ) este u subgrup al grupului abelia (C, ). Demostraţie. Petru orice x, y U, avem x = y = 1, pri urmare ( xy 1 ) = x (y ) 1 = 1 1 1 = 1, deci xy 1 U. Datorită egalităţii (1) putem afirma că grupul U este chiar ciclic, iar ζ este u geerator al său. Ne propuem acum să vedem cum arată toţi geeratorii acestui grup. Avem î acest ses: Propoziţia 2. x U este u geerator al grupului U (i.e. U = = 1, x, x 2,..., x 1 }) dacă şi umai dacă x = ζ k, cu 0 k 1, (k, ) = 1. Demostraţie. Presupuem că x U este u geerator. Fie x = ζ k, cu 0 k 1, ceea ce este clar, î baza lui (1). Rămâe să arătăm că (k, ) = 1. Deoarece ζ U, avem ζ = x q, petru u q 0, 1,..., 1}, deci ζ = ζ kq. Este uşor de văzut că petru i, j Z, avem ζ i = ζ j dacă şi umai dacă i j (mod ) şi atuci, di egalitatea obţiută, deducem că kq 1 (mod ), de ude (k, ) = 1. Reciproc, fie x = ζ k, cu 0 k 1, (k, ) = 1. Avem evidet: 1, x, x 2,..., x 1} U şi petru a dovedi egalitatea, este suficiet să arătăm că elemetele 1, x, x 2,..., x 1 sut disticte două câte două. Îtr-adevăr: x i = x j (0 i, j 1) ζ ki = ζ kj ki kj (mod ) i j (mod )), ude, petru ultima echivaleţă, am ţiut seama de faptul că (k, )=1. Dar i j(mod ) şi 0 i, j 1 coduc la i = j. Defiiţie. Geeratorii grupului U i.e. ζ k = cos 2kπ 2kπ + i si cu (k, ) = 1 se umesc rădăcii primitive de ordiul ale uităţii. Notăm: P = ζ k 0 k 1, (k, ) = 1}. (2) 1) Prof. dr., Colegiul Naţioal,,Sf. Sava, Bucureşti

M. Ţea, Polioame ciclotomice 123 Mulţimea P are ϕ() elemete, ude ϕ este idicatorul lui Euler. Deşi, î (2), ζ are semificaţia de pâă acum şi aume ζ = cos 2π + i si 2π, este uşor de dovedit că (2) rămâe adevărată, dacă ζ este oricare di elemetele mulţimii P. Propoziţia 3. Familia de mulţimi (P d ), ude d parcurge divizorii aturali ai lui, este o partiţie a mulţimii U, adică: 1. d P d = U ; 2. d 1 d 2 P d1 P d2 = (d 1, d 2 divizori ai lui ). Demostraţie. 1.,, Petru fiecare divizor d al lui, avem P d U d U, deci d P d U ; am folosit faptul, aproape evidet, că d U d U. fracţia k,, Fie x U, x = cos 2kπ k î forma ireductibilă d, avem x = cos 2k π d P d, rezultă că U P d. d d. Cum P d d 2. Dacă ζ P d1 P d2, atuci: ζ = cos 2k 1π d 1 + i si 2k 1π d 1 2kπ + i si, cu 0 k 1. Scriid + i si 2k π d P d cu = cos 2k 2π d 2 cu (k 1, d 1 ) = (k 2, d 2 ) = 1, de ude k 1 = k 2 şi d 1 = d 2. Defiiţie. Petru N, poliomul Φ (X) = al -lea poliom ciclotomic. + i si 2k 2π d 2, ζ P (X ζ) se umeşte Poliomul Φ (X) este moic (uitar), are gradul ϕ() şi, deocamdată, Φ (X) are coeficieţi complecşi. Vom arăta că Φ (X) are chiar coeficieţi îtregi. Teorema 4. (Dedekid) Petru N, are loc egalitatea: X 1 = d Φ d (X). (3) Demostraţie. X 1 = (X ζ) = (X ζ) = (X ζ) = Φ d (X). ζ U ζ P d d ζ P d d d Exemple de polioame ciclotomice. Petru = 1, Φ 1 (X) = X 1.

124 Petru cercurile de elevi Petru = p (umăr prim), di X p 1 = Φ 1 (X)Φ p (X), rezultă că: Φ p (X) = Xp 1 X 1 = Xp 1 + X p 2 +... + X + 1. Astfel, Φ 2 (X) = X + 1, Φ 3 (X) = X 2 + X + 1. Petru = 4, avem: Φ 4 (X) = X 4 1 Φ 1 (X)Φ 2 (X) = X 4 1 (X 1)(X + 1) = X2 + 1. Teorema 5. (Möbius) Petru N, avem egalitatea: Φ (X) = ( ) µ( X d d ) 1, (4) d ude µ este fucţia lui Möbius. Demostraţie. Dacă (G, ) este u grup abelia şi f, g : N G două fucţii, atuci există formula de iversiue a lui Möbius: g() = d f(d), N f() = d g(d) µ( d ), N. Luâd î rolul lui G grupul multiplicativ al fracţiilor raţioale eule (rapoarte de polioame eule), formula (4) este echivaleta formulei (3), î baza formulei de iversiue a lui Möbius. Propoziţia 6. Polioamele ciclotomice au coeficieţi îtregi, adică Φ (X) Z[X]. Demostraţie. Pri iducţie după. Petru = 1, avem Φ 1 (X) = = X 1 Z[X]. Să presupuem că Φ k (X) Z[X], petru toţi 1 k < şi să arătăm că Φ (X) Z[X]. Di formula (3), avem că: Φ (X) = X 1 Φ d (X). d,d< Coform ipotezei de iducţie, poliomul de la umitor este moic şi are coeficieţi îtregi. Ţiâd seama de algoritmul împărţirii, deducem că poliomul cât Φ (X) are coeficieţi îtregi. Teorema 7. (Gauss-Dedekid) Poliomul Φ (X) este ireductibil î ielul de polioame Z[X]. Demostraţie. Ne vom baza pe următorul rezultat importat, a cărui demostraţie se poate vedea î [1]. Lemă. (Mertes) Dacă f Z[X] admite ca rădăciă o rădăciă primitivă de ordi a uităţii ζ, atuci f admite ca rădăcii toate rădăciile primitive de ordi ale uităţii, adică f(ζ k ) = 0, petru 0 k 1, (k, ) = 1.

M. Ţea, Polioame ciclotomice 125 Să demostrăm acum teorema. Evidet, ζ = cos 2π + i si 2π este o rădăciă a poliomului Φ (X). Fie f(x) Z[X] acel factor ireductibil moic di descompuerea lui Φ (X) care are rădăcia ζ. Coform lemei lui Mertes, poliomul f(x) are ca rădăcii toate ζ k cu 0 k 1, (k, ) = 1. Rezultă că f(x) = Φ (X) şi, cum f(x) este ireductibil î Z[X], rezultă că poliomul Φ (X) este ireductibil î ielul Z[X]. Alte rezultate privid polioamele ciclotomice (petru care se poate vedea [1]). Teorema 8. Dacă = p α 1 1... pα k k este descompuerea caoică a lui, atuci: ( ) Φ (X) = Φ p1... p k X p 1... p k. Altfel spus, este suficiet să cuoaştem polioamele Φ (X), cu liber de pătrate. Propoziţia 9. Dacă: Φ (X) = c 0 X ϕ() + c 1 X ϕ() 1 +... + c ϕ() 1 X + c ϕ(), atuci c i = c ϕ() i, petru i = 0, ϕ(), adică poliomul Φ (X) este reciproc. Teorema 10. (Schur) Mulţimea coeficieţilor polioamelor Φ (X), câd parcurge N, este mulţimea Z a umerelor îtregi. Teorema 11. (Migotti) Dacă p, q sut umere prime disticte, poliomul Φ pq (X) are coeficieţii î mulţimea 1, 0, 1}. Reamitim defiiţia fucţiei µ a lui Möbius µ : N 1, 0, 1}: 1, = 1 µ() = ( 1) k, = p 1... p k (p 1 < p 2 <... < p k prime). 0, se divide cu p 2 (p prim) Prelugim această fucţie la Q +, astfel: µ(x), x N µ : Q + 1, 0, 1}, µ(x) = 0, x Q + \N. Prelugim şi coeficieţii biomiali pri egalităţile: ( ) a a(a 1)... (a k + 1) =, ude a Z, k N ; k k! ( ) a = 1, ude a Z. 0 Cu otaţiile de mai sus, avem: Teorema 12. (Möller-Edo) Dacă: Φ (X) = X ϕ() + c 1 X ϕ() 1 + c 2 X ϕ() 2 +... + c ϕ(),

126 Examee şi Cocursuri atuci: c k = i 1 +2i 2 +...+ki k =k i 1 0,i 2 0,...,i k 0 ( ( )( ) ( ) ( ) ) ( 1) i 1+i 2 +...+i k µ() µ µ 2... k, petru 1 k ϕ(), deci coeficieţii celui de-al -lea poliom ciclotomic se pot calcula efectiv. i 1 Bibliografie [1] M. Ţea, Rădăciile uităţii, Societatea de Ştiiţe Matematice di Româia, Bucureşti, 2005. i 2 i k