O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema 2 de la faza judeţeană a Olimpiadei de Matematică 2013, clasa a XII-a. MSC (2010): 20K01, 20K30. Key words: grupuri abeliene finite, automorfisme. 1 Introducere Problema mai sus amintită are următorul enunţ. Problemă. Un grup (G, ) are proprietatea (P) dacă, pentru orice automorfism f al lui G, există două automorfisme g şi h ale lui G astfel încât f(x) = g(x) h(x), oricare ar fi x G. Să se arate că: (a) Orice grup cu proprietatea (P) este abelian. (b) Orice grup abelian finit de ordin impar are proprietatea (P). (c) Niciun grup finit de ordin 4n + 2, n N, nu are proprietatea (P). Soluţia prezentată în barem se încheie cu o remarcă interesantă, anume că există grupuri de ordin 4n care au proprietatea (P) - e.g., grupul lui Klein Z 2 Z 2 - şi grupuri de ordin 4n care nu o au - e.g., grupul aditiv Z 4. 1
Cerinţele problemei, împreună cu remarca anterioară, conduc la întrebarea firească: Care sunt grupurile ce satisfac proprietatea (P)? Pentru cazul finit suntem în măsură să dăm un răspuns la această întrebare. Mai precis, vom proba următorul rezultat. Teorema 1.1. Un grup finit G are proprietatea (P) dacă şi numai dacă G = G 1 G 2, unde G 1 este un 2-grup abelian de tipul Z 2 α 1 Z 2 α 2 Z 2 α k cu {j α j = α i } 2, i = 1, 2,..., k, iar G 2 este un grup abelian de ordin impar. În particular, putem decide care din grupurile finite de ordin 4n cu n impar au proprietatea (P). Corolarul 1.2. Grupurile finite de ordin 4n, n 1 (mod 2), care au proprietatea (P) sunt de tipul Z 2 Z 2 G, iar cele care nu au această proprietate sunt de tipul Z 4 G, unde G este un grup abelian de ordin n. De asemenea, menţionăm că există şi grupuri infinite ce satisfac proprietatea (P) (spre exemplu (Q, +)), o clasificare a acestora fiind mult mai greu de realizat. 2 Preliminarii Principalul rezultat ca va fi utilizat este teorema de structură a grupurilor abeliene finite (a se vedea, spre exemplu, [3]). Teorema 2.1. Fie G un grup abelian finit. Atunci există şi sunt unice numerele naturale m, d 1, d 2,..., d m, astfel încât G = Z d1 Z d2 Z dm, unde d i > 1, i = 1, 2,..., m, şi d 1 d 2... d m. 2
Cu notaţiile din Teorema 2.1, considerăm descompunerile în produse de factori primi ale numerelor d 1, d 2,..., d m : d i = p α i1 1 p α i2 2 p α ik, i = 1, 2,..., m. Ţinând cont că pentru fiecare i are loc izomorfismul k Z di = Zp α i1 1 Z p α i2 2 Z α p ik, k obţinem (1) G = G 1 G 2 G k, unde G j = Z p α 1j j Z p α 2j j Z p α mj j şi α 1j α 2j... α mj, j = 1, 2,..., k. Cu alte cuvinte, orice grup abelian finit este produs direct (sau, echivalent, sumă directă) de p-grupuri abeliene. Următorea teoremă arată că studiul grupului automorfismelor unui grup abelian finit se reduce la p-grupuri abeliene (a se vedea, spre exemplu, Lema 2.1 din [2]). Teorema 2.2. Atunci Fie H şi K două grupuri finite de ordine relativ prime. Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). În particular, dacă G este un grup abelian finit de tipul (1), atunci (2) Aut(G) = Aut(G 1 ) Aut(G 2 ) Aut(G k ). Un rezultat mai puternic decât precedentul îl constituie Teorema 3.2 din [1]. Aceasta indică forma automorfismelor unui produs direct de grupuri finite ce nu au factori direcţi comuni. Teorema 2.3. Fie H şi K două grupuri finite fără factori direcţi comuni. Atunci Aut(H K) este izomorf cu grupul multiplicativ {( ) } f u f Aut(H), g Aut(K), u Hom(K, Z(H)), v Hom(H, Z(K)). v g 3
În particular, dacă grupurile H şi K sunt abeliene, atunci Aut(H K) este izomorf cu grupul multiplicativ {( ) } f u f Aut(H), g Aut(K), u Hom(K, H), v Hom(H, K). v g Încheiem acest paragraf cu o observaţie simplă, dar extrem de utilă. Observaţia 2.4. Un grup abelian (G, +) satisface proprietatea (P) dacă şi numai dacă automorfismul identic 1 G poate fi scris sub forma (3) 1 G = g + h cu g, h Aut(G). Într-adevăr, dacă (3) are loc, atunci pentru orice automorfism f al lui G avem f = f 1 G = f g + f h şi f g, f h Aut(G). Putem acum proba principalul nostru rezultat. Menţionăm că nu am inclus în demonstraţie verificarea proprietăţilor (a)-(c), pentru care poate fi consultată soluţia problemei considerate. 3 Demonstraţia Teoremei 1.1 Presupunem mai întâi că G satisface proprietatea (P). Atunci el este abelian şi, conform cu (1), admite o descompunere de tipul G = G 1 G 2, unde G 1 este un 2-grup abelian, iar G 2 este un grup abelian de ordin impar. Din Teorema 2.2 deducem că Aut(G) = Aut(G 1 ) Aut(G 2 ), ceea ce arată că G 1 şi G 2 satisfac, de asemenea, proprietatea (P). Este suficient să indicăm structura lui G 1. Avem G 1 = Z2 α 1 Z 2 α 2 Z 2 α k, unde 1 α 1 α 2... α k. Dacă, prin absurd, există i {1, 2,..., k} astfel încât α j α i, j=1, 2,..., i 1, i+1,..., k, atunci G 1 poate fi scris sub forma G 1 = H K, unde H = Z 2 α i şi K = Z 2 α 1 Z 2 α i 1 Z 2 α i+1 Z 2 α k. În plus, remarcăm că H şi K nu au factori direcţi comuni, aşadar 4
{( ) } Aut(G 1 ) f u = f Aut(H), g Aut(K), u Hom(K, H), v Hom(H, K) v g din Teorema 2.3. Atunci ( ) ( ) ( ) 1H 0 f1 u 1 G1 = = 1 f2 u + 2, 0 1 K v 1 g 1 v 2 g 2 unde f i Aut(H), g i Aut(K), u i Hom(K, H), v i Hom(H, K), i = 1, 2. Rezultă că 1 H = f 1 + f 2, ceea ce constituie o contradicţie (automorfismele lui H sunt de tipul x qx cu q impar, suma a două astfel de automorfisme nefiind un automorfism). Reciproc, este suficient să arătăm că un 2-grup abelian de tipul G = Z 2 α 1 Z 2 α 2 Z 2 α k cu {j α j = α i } 2, i = 1, 2,..., k, sau, echivalent, de tipul G = (Z 2 β 1 ) r 1 (Z 2 β 2 ) r 2 (Z 2 βs) r s cu r i 2, i = 1, 2,..., s, are proprietatea (P). De asemenea, conform Observaţiei 2.4, ne putem reduce la cazul s = 1. Avem astfel de probat că pentru un 2-grup abelian G = (Z 2 β) r = Z 2 β Z 2 β Z 2 β }{{} r ori cu r 2 automorfismul identic 1 G poate fi scris ca suma a două automorfisme ale lui G. Ţinând cont că automorfismele grupului abelian G coincid cu automorfismele Z 2 β-modulului (Z 2 β) r, iar acestea se identifică cu matricele inversabile de ordin r peste Z 2 β, trebuie să arătăm că (4) A r, B r GL r (Z 2 β) astfel încât I r = A r + B r. Vom verifica această afirmaţie prin inducţie după r. Pentru r = 2 considerăm ) ( ) (ˆ1 ˆ1 ˆ0 ˆ1 A 2 = şi B 2 =, ˆ1 ˆ0 ˆ1 ˆ1 iar pentru r = 3 considerăm 5
ˆ1 ˆ1 ˆ1 ˆ0 ˆ1 ˆ1 A 3 = ˆ1 ˆ1 ˆ0 şi B 3 = ˆ1 ˆ0 ˆ0. ˆ1 ˆ0 ˆ0 ˆ1 ˆ0 ˆ1 Fie r 4. Presupunem că (4) este adevărată pentru orice r satisfăcând 2 r < r şi o verificăm pentru r. Avem I r = A r + B r, unde matricele ( ) Ar 2 0 A r = 0 A 2 ( ) Br 2 0 şi B r = 0 B 2 sunt ambele inversabile, ceea ce încheie demonstraţia. 4 Bibliografie [1] Bidwell, J.N.S., Curran, M.J., McCaughan, D.J., Automorphisms of direct products of finite groups, Arch. Math. 86 (2006), 481-489. [2] Hillar, C., Rhea, D., Automorphisms of an abelian p-group, Amer. Math. Monthly 114 (2007), 917-922. [3] Ion, I.D., Radu, N., Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991. Marius Tărnăuceanu Facultatea de Matematică Universitatea Al.I. Cuza Iaşi, Romania e-mail: tarnauc@uaic.ro 6