Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Table of Contents 1 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati 3 Rezolvari de ecuatii vectoriale 4 Schimbari de baze ortonormate in spatiu 5 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Orientarea spatiului Fie un triplet ordonat de vectori necoplanari (u, v, w). Consideram urmatoarea conventie: daca un observator care priveste din pozitia w vede unghiul α [0, π] de la u spre v in sensul opus acelor de ceas, tripletul ordonat (u, v, w) se numeste pozitiv, iar in caz contrar, negativ. Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V se poate imparti in doua clase. Fie (i, j, k) o baza ortonormata xata si (i, j, k ) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i spre i si comparam perechile (j, k) si (j, k ), unde (j, k ) reprezinta pozitia pe care a atins-o perechea (j, k ) dupa rotire. Aceste perechi de vectori se aa in acelasi plan, ortogonal pe i. Daca ele apartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale de vectori (i, j, k ) si (i, j, k) vor puse in aceeasi clasa. (In caz contrar in clase diferite.) Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului, iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamna aorienta spatiul. Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori sunt schimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet se obtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasi orientare.

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Produsul vectorial Denition Produsul vectorial al vectorilor u, v este un vector notat u v care satisface conditiile: 1) este perpendicular pe cei doi vectori (deci pe planul generat de u si v ); ) sensul este astfel incat tripletul (u, v, u v) este pozitiv; 3) marimea vectorului u v este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori: u v = u v sin(û, v). Oana Constantinescu Lectia IV

Produsul vectorial Theorem Fie n vectorul unitar (versor) perpendicular pe planul generat de u si v, astfel incat (u, v, n) este o baza pozitiva si θ unghiul orientat intre u si v. Atunci u v = u v (sin θ)n.

Unghi orientat In propozitia anterioara a aparut notiunea de unghi orientat a doi vectori. El se deneste astfel: Denition Fie u, v V. Consideram o baza pozitiva {i, j} in spatiul liniar generat de cei doi vectori. Presupunem ca u = x 1 i + x j si v = y 1 i + y j. Unghiul orientat al vectorilor u, v este dat de formulele: cos ϕ = < u, v > u v, x 1 x y 1 y sin ϕ = u v, ϕ [ π, π]. Se poate demonstra ca denitia anterioara nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt descompusi vectorii.

Proprietatile produsului vectorial Theorem Urmatoarele proprietati au loc pentru orice vectori si orice scalari reali: 1) u v = 0 u, v sunt vectori coliniari; ) v u = u v; (antisimetria sau anticomutativitatea) 3) : V V V este aplicatie biliniara: (αu + βv) w = α(u w) + β(v w), w (αu + βv) = α(w u) + β(w v).

Expresia in coordonate a produsului vectorial Theorem Fie B = {i, j, k}o baza ortonormata, pozitiva. Daca u = x 1 i + x j + x 3 k si v = y 1 i + y j + y 3 k, atunci i j k u v = x 1 x x 3 y 1 y y. 3 Observatie: Produsul scalar a doi vectori nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt date coordonatele lor.

Proprietatile produsului vectorial Theorem (Formula dublului produs vectorial) u (v w) =< u, w > v < u, v > w. Corollary Produsul vectorial nu este asociativ. Intr-adevar u (v w) este un vector coplanar cu vectorii v, w, pe cand (u v) w = w (u v) este coplanar cu u, v. Theorem Are loc identitatea lui Jacobi: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0, u, v, w V.

Aplicatie Aplicatie Determinati vectorul liber ū care satisface conditiile: i) este ortogonal pe vectorii ā = ī + 3 j k si b = ī j + 3 k; ii) formeaza un unghi obtuz cu ī; iii) ū = 138. Indicatii: Din conditiile ū coliniar cu ā b, deci u = α(ā b), α R, < ū, ī >< 0, ū = 138, se obtine ū = ā b = 8ī + 7 j + 5 k.

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala < a, x >= m Theorem Ecuatia vectoriala < a, x >= m, a V, a 0, m R are o innitate de solutii. Demonstratie: deoarece [a] [a] = V, vectorul necunoscut x se poate descompune in mod unic sub forma x = w + pr a x, w [a] x = w + αa, α R. Am notat cu [a] subspatiul liniar generat de a si cu [a] suplementul sau ortogonal in V. Din w a < x, a >= 0 + α a α = m. Deci solutia generala a a ecuatiei este x = w + m a, w a. a w este nedeterminat in [a] ecuatia are o innitate de solutii. Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala a x = b Theorem Dati vectorii ortogonali a b, a 0, ecuatia vectoriala a x = b are o innitate de solutii. Demonstratie: Presupunem ca b 0. Se stie ca {a, b, a b} este o baza pozitiva. Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza x = αa + βb + γa b, α, β, γ R. Deci a (αa + βb + γa b) = b βa b + γ(< a, b > a a }{{} b) = b =0 βa b (γ a +1) = 0. Deci β = 0 si γ = 1 a. Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala a x = b Solutia generala a ecuatiei este: x = αa 1 a b, α R. a Daca b = 0, atunci a x = 0 x = λa, λ R. Oana Constantinescu Lectia IV

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Schimbari de baze ortonormate in spatiu Date doua baze ortonormate in plan, {i, j} si {i, j }, am vazut ca putem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta, elementele acesteia ind functiile trigonometrice sin si cos ale unghiului orientat dintre i si i. Daca B = {i, j, k} si B = {i, j, k } sunt doua baze ortonormate in spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determina matricea de trecere de la B la B in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ, numite unghiurile lui Euler. Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata, nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed. Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa denirea intr-un curs ulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice se obtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu. Oana Constantinescu Lectia IV

Unghiurile lui Euler B = {i, j, k} si B = {i, j, k } doua baze in V. Daca k este coliniar cu k atunci planele vectoriale generate de i, j, respectiv i, j coincid, deci problema se reduce la schimbarea de baze ortonormate in plan. Vom trata in continuare cazul in care k si k sunt necoliniare.

Unghiurile lui Euler Aplicam planele generate de (i, j) si (i, j ) intr-un acelasi punct. Dreapta lor de intersectie se numeste linia nodurilor si notam cu n versorul ei. Denition Unghiurile lui Euler sunt: θ = (k, k ) [0, π], ϕ = o (i, n) [ π, π], ψ = o (n, i ) [ π, π]. Observam ca doua dintre ele sunt unghiuri orientate, iar unul neorientat.

Unghiurile lui Euler Vom determina aceste unghiuri astfel: n [i, j] n k, n [i, j ] n k, deci n = k k k k = k k sin θ. n [i, j], ϕ = o (i, n) n = i cos ϕ + j sin ϕ. n [i, j ], ψ = o (i, n) n = i cos ψ + j sin ψ. Pentru a determina θ folosim Pentru ϕ stim ca cos θ =< k, k >. cos ϕ =< i, n >, sin ϕ = i n. Aceleasi formule le folosim pentru ψ, dar trebuie sa avem grija sa exprimam n in functie de {i, j }.

Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Aplicatii Example Vericati identitatea Lagrange: ū v + < ū, v > = ū v. Indicatii: Se utilizeaza relatiile ū v = ū v sin( ū, v), < ū, v >= ū v cos( ū, v). Oana Constantinescu Lectia IV

Aplicatii Example Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii: a) ā = ū + 3 v si b = ū 4 v, unde ū, v sunt vectori unitari perpendiculari intre ei; b) ā = ī + j 3 k si b = 4ī + j + k, unde {ī, j, k} este o baza ortonormata pozitiva in V. Indicatii: a) ā b = 11ū v ā b = 11 ū v sin( ū, v) = 11. b) Se calculeaza a b, apoi norma sa si se obtine rezultatul 91.

Aplicatii Example Demonstrati pe cale vectoriala teorema sinusului intr-un triunghi. Indicatii: Fie triunghiul ABC si notam BA = c, BC = a, AC = b. σ(abc) = BA BC = BA ( BA + AC) = BA Rezulta ca ac sin B = cb sin A a Analog se demonstreaza ca a = = sin A c. sin A sin C b. sin B AC.

Aplicatii Example Fie A(1,, 3) un punct in spatiu ale carui coordonate sunt exprimate in raport cu un reper ortonormat pozitiv R = {O; ī, j, k} si o dreapta (d) care trece prin B(1,, 1) si este paralela cu ā = ī + j. Determinati distanta de la punctul A la dreapta (d). Indicatii: Fie C pe dreapta d astfel incat ā = BC si D astfel incat ABCD este paralelogram. Scriind in doua moduri aria acestuia, se 10 obtine d(a, d) =. 5

Aplicatii Example Fie baza artonormata pozitiva B = {i, j, k} si vectorii i = 1( i + j + k), j = 1(i j + k), k = 1 (i + j k). 3 3 3 Vericati ca B = {i, j, k } este o baza ortonormata si determinati unghiurile lui Euler de trecere de la B la B. Indicatii: Prin calcul direct se verica i = j = k = 1 si < i, j >< i, k >=< j, k >= 0. θ = arccos( 1 k k ), n = 3 k k = ( i + j). ϕ = o (i, n) cos ϕ =, sin ϕ = ψ = o (n, i ). ϕ = 3π 4.

Aplicatii Pentru a calcula < n, i > si n i trebuie sa descompunem pe n in baza (i, j ). Matricea de trecere de la B la B este S = 1 3 1 1 1 1 1 0 = S x y z, unde n = x i + y j + z k. Deci x y z = S t 1 1 0 = 1 1 0. Deci n = (i j ). Calculele conduc la cos ψ =, sin ψ = ψ = π 4.