ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014

If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue to teach it; but if it runs away, I may not be able to catch up. John H. Conway

Prefaţă După cum sugerează şi titlul, acest volum se adresează studenţilor din învăţământul superior tehnic şi conţine principalele noţiuni teoretice de matematică necesare acestora, precum şi numeroase exemple, aplicaţii, exerciţii rezolvate şi exerciţii propuse. Lucrarea este structurată în 4 părţi, fiecare parte corespunzând unui curs de un semestru, şi este rezultatul activităţii de predare de cursuri şi seminarii în perioada 2008-2014 la Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului din cadrul Universităţii Tehnice Gh. Asachi din Iaşi. Primele două părţi parcurg calculul diferenţial şi integral, urmărind în linii mari cursul de Analiză Matematică I şi II predat anterior de conf. dr. Gheorghe Chiorescu, în timp ce ultimele două părţi vizează cursurile de Algebră Liniară şi Geometrie Analitică şi Diferenţială, cursuri predate anterior de conf. dr. Constantin Popovici. Conţinutul lucrării acoperă într-un spaţiu relativ redus o arie destul de largă a matematicii pentru ingineri şi în consecinţă sunt inevitabile unele inadvertenţe şi inconsistenţe legate de notaţii, convenţii şi chiar de conţinutul în sine. Autorul încurajează studenţii care consultă acest material să semnaleze eventualele astfel de inadvertenţe, precum şi alte greşeli sesizate în text, în vederea corectării acestora şi obţinerii unui conţinut omogen şi util. De asemenea, orice alte observaţii şi sugestii sunt apreciate. Ciprian Deliu mail@deliu.ro www.deliu.ro iii

iv PREFAŢĂ

Cuprins Prefaţă iii I Calcul diferenţial 1 1 Mulţimi şi topologie pe dreapta reală 3 1.1 Numere reale............................. 3 1.2 Mulţimi mărginite.......................... 4 1.3 Structura topologică a dreptei reale................ 5 1.4 Exerciţii................................ 8 2 Şiruri de numere reale 11 2.1 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone........... 11 2.2 Şiruri convergente.......................... 12 2.3 Operaţii cu şiruri convergente................... 13 2.4 Şiruri fundamentale......................... 14 2.5 Dreapta încheiată. Şiruri cu limită................ 16 2.6 Exerciţii................................ 19 3 Serii de numere reale 25 3.1 Definiţie. Convergenţă........................ 25 3.2 Serii cu termeni pozitivi....................... 27 3.3 Exerciţii................................ 30 4 Limite şi continuitate 39 4.1 Limita unei funcţii într-un punct................. 39 4.2 Limite la infinit şi limite infinite.................. 41 4.3 Asimptote............................... 43 4.4 Limite fundamentale......................... 43 4.5 Continuitate.............................. 44 4.6 Exerciţii................................ 48 v

vi CUPRINS 5 Derivabilitate 51 5.1 Funcţii derivabile........................... 51 5.1.1 Definiţia derivatei. Derivate laterale........... 51 5.1.2 Derivatele funcţiilor elementare.............. 52 5.1.3 Operaţii cu funcţii derivabile............... 53 5.2 Aplicaţii ale derivabilităţii..................... 54 5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie.... 54 5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor..... 58 5.3 Diferenţiale.............................. 60 5.4 Exerciţii................................ 61 6 Şiruri şi serii de funcţii 65 6.1 Şiruri de funcţii. Convergenţă................... 65 6.2 Serii de funcţii. Convergenţă.................... 67 6.3 Serii de puteri............................. 69 6.4 Exerciţii................................ 71 7 Funcţii de mai multe variabile 73 7.1 Spaţiul R n............................... 73 7.2 Şiruri de puncte în spaţiul R n................... 76 7.3 Funcţii reale şi funcţii vectoriale pe R n.............. 77 7.4 Limite şi continuitate pentru funcţii de mai multe variabile. 79 7.5 Derivate parţiale. Diferenţiabilitate................ 82 7.6 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile......... 88 7.7 Funcţii implicite........................... 89 7.8 Exerciţii................................ 93 II Calcul integral 97 8 Integrala definită. Primitive 99 8.1 Funcţii integrabile.......................... 99 8.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile................ 102 8.3 Primitive................................ 104 8.4 Metode de integrare......................... 105 8.4.1 Primitivele funcţiilor raţionale.............. 107 8.4.2 Schimbări de variabilă uzuale............... 108 8.5 Metode de calcul al integralelor definite............. 109 8.6 Aplicaţii ale integralei definite................... 110 8.7 Exerciţii................................ 111

CUPRINS vii 9 Integrale improprii şi cu parametru 117 9.1 Integrala improprie de primul tip................. 117 9.1.1 Convergenţa integralei în cazul funcţiilor pozitive... 118 9.1.2 Convergenţa integralei în cazul general......... 119 9.2 Integrala improprie de al doilea tip................ 120 9.3 Metode de integrare......................... 122 9.4 Integrale cu parametru....................... 122 9.4.1 Integrale improprii cu parametru............. 124 9.4.2 Integralele lui Euler..................... 125 9.5 Exerciţii................................ 126 10 Integrala curbilinie 129 10.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe............. 129 10.2 Integrala curbilinie de prima speţă................ 131 10.3 Integrala curbilinie de speţa a doua................ 133 10.4 Independenţa de drum a unei integrale curbilinii........ 136 10.5 Aplicaţii ale integralei curbilinii.................. 139 10.6 Exerciţii................................ 139 11 Integrala dublă 143 11.1 Definirea integralei duble...................... 143 11.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile................ 145 11.3 Metode de calcul pentru integrale duble............. 146 11.3.1 Integrarea pe domenii dreptunghiulare......... 146 11.3.2 Integrarea pe domenii simple............... 148 11.3.3 Continuitatea şi derivabilitatea integralei duble funcţie de limitele de integrare................... 149 11.3.4 Formula lui Green...................... 150 11.3.5 Schimbare de variabilă................... 151 11.4 Aplicaţii ale integralei duble.................... 151 11.5 Exerciţii................................ 152 12 Integrala de suprafaţă 155 12.1 Elemente de teoria suprafeţelor.................. 155 12.2 Aria unei suprafeţe.......................... 157 12.3 Integrala de suprafaţă de primul tip............... 159 12.4 Integrala de suprafaţă de al doilea tip.............. 161 12.5 Aplicaţii ale integralelor de suprafaţă............... 165 12.6 Exerciţii................................ 166

viii CUPRINS 13 Integrala triplă 169 13.1 Definirea integralei triple...................... 169 13.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile................ 171 13.3 Metode de calcul pentru integrale triple............. 173 13.3.1 Integrarea pe un paralelipiped.............. 173 13.3.2 Integrarea pe domenii cilindrice.............. 174 13.3.3 Schimbarea de variabile la integrale triple........ 175 13.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski.................. 176 13.5 Aplicaţii ale integralei triple.................... 177 13.6 Exerciţii................................ 178 14 Ecuaţii diferenţiale 181 14.1 Generalităţi.............................. 181 14.2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sub forma explicită.... 182 14.2.1 Ecuaţii diferenţiale care provin din anularea unei diferenţiale totale............................. 182 14.2.2 Ecuaţii omogene şi ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene183 14.2.3 Ecuaţii liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la ecuaţii liniare de ordinul întâi............... 185 14.3 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sub formă implicită.... 186 14.3.1 Existenţă şi unicitate.................... 188 14.4 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior............... 188 14.4.1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare......... 189 14.5 Exerciţii................................ 192 III Algebră liniară 195 15 Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare 197 15.1 Matrice. Determinanţi........................ 197 15.2 Sisteme de ecuaţii liniare...................... 201 15.3 Exerciţii................................ 203 16 Spaţii vectoriale 207 16.1 Definiţii şi exemple.......................... 207 16.2 Subspaţii vectoriale......................... 209 16.3 Dependenţă liniară. Bază. Dimensiune.............. 211 16.4 Schimbări de baze.......................... 213 16.5 Spaţii euclidiene........................... 213 16.6 Exerciţii................................ 219

CUPRINS ix 17 Transformări liniare 225 17.1 Definiţii şi proprietăţi........................ 225 17.2 Matricea unei transformări liniare................. 227 17.3 Valori şi vectori proprii....................... 229 17.4 Endomorfisme pe spaţii euclidiene................. 232 17.5 Exerciţii................................ 237 18 Forme biliniare. Forme pătratice 243 18.1 Forme biliniare............................ 243 18.2 Forme pătratice............................ 246 18.3 Exerciţii................................ 254 19 Vectori liberi 257 19.1 Spaţiul vectorilor liberi....................... 257 19.2 Coliniaritate şi coplanaritate.................... 259 19.3 Produse cu vectori liberi...................... 260 19.3.1 Produsul scalar....................... 260 19.3.2 Produsul vectorial...................... 261 19.3.3 Produsul mixt........................ 262 19.3.4 Dublul produs vectorial.................. 262 19.4 Exerciţii................................ 263 IV Geometrie analitică şi diferenţială 267 20 Planul şi dreapta în spaţiu 269 20.1 Planul................................. 269 20.2 Dreapta................................ 271 20.3 Unghiuri şi distanţe......................... 274 20.3.1 Unghiul a două drepte................... 274 20.3.2 Unghiul a două plane.................... 274 20.3.3 Unghiul dintre o dreaptă şi un plan........... 275 20.3.4 Distanţa de la un punct la un plan............ 275 20.3.5 Distanţa de la un punct la o dreaptă........... 276 20.3.6 Perpendiculara comună. Distanţa dintre două drepte. 276 20.4 Exerciţii................................ 277 21 Conice 281 21.1 Dreapta în plan............................ 281 21.2 Conice pe ecuaţii reduse...................... 283 21.2.1 Cercul............................. 284

x CUPRINS 21.2.2 Elipsa............................. 284 21.2.3 Hiperbola........................... 286 21.2.4 Parabola........................... 288 21.3 Schimbări de repere carteziene................... 289 21.3.1 Rotaţia............................ 289 21.3.2 Translaţia........................... 290 21.4 Reducerea conicelor la forma canonică.............. 290 21.4.1 Invarianţii unei conice................... 291 21.4.2 Forma canonică a conicelor cu centru.......... 292 21.4.3 Forma canonică a conicelor fără centru......... 295 21.5 Exerciţii................................ 299 22 Cuadrice 305 22.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse..................... 305 22.1.1 Sfera.............................. 305 22.1.2 Elipsoidul........................... 307 22.1.3 Hiperboloidul cu o pânză.................. 309 22.1.4 Hiperboloidul cu două pânze............... 310 22.1.5 Conul............................. 311 22.1.6 Paraboloidul eliptic..................... 313 22.1.7 Paraboloidul hiperbolic................... 314 22.1.8 Cilindri............................ 315 22.1.9 Generatoare rectilinii.................... 317 22.2 Reducerea cuadricelor la forma canonică............. 318 22.2.1 Exemple............................ 320 22.3 Generări de suprafeţe........................ 321 22.3.1 Suprafeţe cilindrice..................... 322 22.3.2 Suprafeţe conice....................... 323 22.3.3 Suprafeţe de rotaţie..................... 324 22.4 Exerciţii................................ 326 23 Elemente de geometrie diferenţială 329 23.1 Curbe plane.............................. 329 23.1.1 Introducere.......................... 329 23.1.2 Tangenta şi normala la o curbă plană.......... 331 23.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane.......... 333 23.1.4 Curbura unei curbe plane................. 334 23.1.5 Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane....... 336 23.2 Curbe în spaţiu............................ 338 23.2.1 Reprezentări analitice. Puncte ordinare......... 338 23.2.2 Triedrul Frenet........................ 339

CUPRINS xi 23.2.3 Elementul de arc. Curbură şi torsiune.......... 342 23.3 Suprafeţe................................ 344 23.3.1 Generalităţi.......................... 344 23.3.2 Plan tangent şi normală la o suprafaţă......... 346 23.3.3 Prima formă fundamentală a unei suprafeţe...... 348 23.4 Exerciţii................................ 351 A Funcţii elementare 357 A.1 Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică........... 357 A.2 Funcţiile trigonometrice şi inversele lor.............. 359 B Tabele şi formule 361 B.1 Limite................................. 361 B.2 Derivate................................ 362 B.3 Integrale................................ 363 C Algoritmi importanţi 365 C.1 Puncte de extrem.......................... 366 C.2 Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt.......... 368 C.3 Forme pătratice............................ 369 C.4 Forma canonică la conice...................... 371 Bibliografie 373 Index 375

xii CUPRINS

Partea I Calcul diferenţial 1

Capitolul 1 Mulţimi şi topologie pe dreapta reală 1.1 Numere reale Definiţia 1.1. Numim mulţimea numerelor reale mulţimea tuturor numerelor care pot fi reprezentate cu ajutorul zecimalelor. Exemple: 5 = 5, 00000... 3 4 = 0.750000... 1 = 0, 3333... 3 2 = 1, 4142... π = 3, 14159... Numerele reale pot fi reprezentate geometric ca puncte pe o axa orientată pe care o vom numi axa reala si o vom nota prin R. Proprietaţi ale numerelor reale: ˆ proprietăţi algebrice (legate de operaţiile algebrice uzuale: adunare, scădere, înmulţire, împărţire) ˆ proprietăţi de ordine (se referă la ordinea în care apar numerele pe axa reala) 3

4 CAPITOLUL 1. MULŢIMI ŞI TOPOLOGIE PE DREAPTA REALĂ ˆ proprietatea de completitudine: dacă A este o submulţime nevidă de numere reale cu proprietatea că y R astfel încât x y x A atunci există un cel mai mic y R cu aceeaşi proprietate. Altfel spus, pe axa reală nu există goluri, fiecare punct corespunde unui număr real. Submulţimi de numere reale: ˆ mulţimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, 3,... } ˆ mulţimea numerelor întregi: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } ˆ mulţimea numerelor raţionale: Q = { m n m, n Z, n 0} ˆ mulţimea numerelor iraţionale: R Q ˆ intervale de numere reale (finite sau infinite); exemple: 1.2 Mulţimi mărginite [a, b) = {x R a x < b} (a, ) = {x R x > a} Definiţia 1.2. 1. Spunem că mulţimea A este minorată (sau mărginită inferior) dacă există un punct a la stânga căruia nu se mai află niciun punct din A, adică astfel încât a x, x A. Numărul a se numeşte minorant al mulţimii A. 2. Spunem că mulţimea A este majorată (sau mărginită superior) dacă există un punct a la dreapta căruia nu se mai află niciun punct din A, adică astfel încât a x, x A. Numărul a se numeşte majorant al mulţimii A. 3. Spunem că mulţimea A este mărginită dacă este şi minorată şi majorată, adică dacă există două numere a şi b astfel încât a x b, x A. Se arată uşor că o mulţime A este mărginită dacă şi numai dacă există un număr M > 0 astfel încât x M, x A. Definiţia 1.3. 1. Un număr m se numeşte margine inferioară a unei mulţimi A dacă este cel mai mare minorant al mulţimii A. Se notează m = inf A.

1.3. STRUCTURA TOPOLOGICĂ A DREPTEI REALE 5 2. Un număr M se numeşte margine superioară a unei mulţimi A dacă este cel mai mic majorant al mulţimii A. Se notează M = sup A. Teorema 1.1. Orice mulţime nevidă minorată are margine inferioară şi orice mulţime nevidă majorată are margine superioară. Din definiţia marginilor unei mulţimi deducem că: ˆ Un număr m este marginea inferioară a unei mulţimi A dacă şi numai dacă verifică următoarele două condiţii: 1. m x, x A 2. α > m, x A astfel încât x < α ˆ Un număr M este marginea superioară a unei mulţimi A dacă şi numai dacă verifică următoarele două condiţii: 1. M x, x A 2. α < M, x A astfel încât x > α ˆ Avem inf A = sup A dacă şi numai dacă mulţimea A este formată dintrun singur punct. ˆ Dacă A posedă un cel mai mic număr m, atunci m = inf A = min A ˆ Dacă A posedă un cel mai mare număr M, atunci M = sup A = max A 1.3 Structura topologică a dreptei reale Definiţia 1.4. Se numeşte vecinătate a numărului real x 0 orice mulţime V care include un interval deschis (a, b) care conţine pe x 0. Orice interval deschis (a, b) care conţine pe x 0 este o vecinătate a lui x 0. Vecinătăţile de forma (x 0 α, x 0 +α) cu α > 0 se numesc vecinătăţi simetrice ale lui x 0. Orice vecinătate V a lui x 0 include o vecinătate simetrică a lui x 0. Astfel, este suficient să considerăm numai vecinătăţi de forma (a, b) sau vecinătăţi simetrice ale unui punct. Vecinătăţile punctului x 0 au următoarele proprietăţi: 1. Orice mulţime U care include o vecinătate V a lui x 0 este de asemenea o vecinătate a lui x 0. 2. Intersecţia a două vecinătăţi ale lui x 0 este de asemenea o vecinătate a lui x 0.

6 CAPITOLUL 1. MULŢIMI ŞI TOPOLOGIE PE DREAPTA REALĂ 3. Orice vecinătate V a lui x 0 conţine pe x 0. 4. Pentru orice vecinătate V a lui x 0 există o vecinătate W = (a, b) a lui x 0 astfel încât V este vecinătatea fiecărui punct y W Alegând pentru fiecare număr real o familie de vecinătăţi care verifică proprietăţile de mai sus, se spune că s-a definit o structură topologică sau o topologie. Cu această topologie, mulţimea numerelor reale R este un spaţiu topologic numit dreapta reală. Dreapta reală are proprietatea că oricare ar fi x y, există o vecinătate U a lui x şi o vecinătate V a lui y fără puncte comune (U V = ). Adică dreapta reală este un spaţiu separat. Fie A o mulţime de numere. Definiţia 1.5. Un punct x 0 A este punct interior al mulţimii A dacă există o vecinătate (a, b) a lui x 0 conţinută în A. Mulţimea punctelor interioare ale lui A se numeşte interiorul lui A şi se notează IntA sau Å. O mulţme se numeşte deschisă dacă este egală cu interiorul ei. Un punct y 0 R se numeşte punct exterior lui A dacă y 0 este punct interior al complementarei C A a lui A. Proprietăţi: 1. Reuniunea unei familii oarecare de mulţimi deschise este o mulţime deschisă 2. Intersecţia unei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă 3. R şi sunt mulţimi deschise Definiţia 1.6. Un punct x 0 R este punct aderent al mulţimii A dacă în orice vecinătate V a lui x 0 există cel puţin un punct din A, adică V A. Mulţimea punctelor aderente ale lui A se numeşte aderenţa (sau închiderea) lui A şi se notează Ā. O mulţme se numeşte închisă dacă este egală cu închiderea sa. Proprietăţi: 1. Intersecţia unei familii oarecare de mulţimi închise este o mulţime închisă 2. Reuniunea unei familii finite de mulţimi închise este o mulţime închisă 3. R şi sunt mulţimi închise

1.3. STRUCTURA TOPOLOGICĂ A DREPTEI REALE 7 Definiţia 1.7. Se spune că y 0 este punct frontieră al unei mulţimi A dacă este aderent şi lui A şi lui C A. Mulţimea punctelor frontieră se numeşte frontiera mulţimii A şi se notează FrA. Proprietăţi: 1. Marginile unei mulţimi mărginite sunt puncte aderente 2. O mulţime A este închisă dacă şi numai dacă complementara sa C A este deschisă 3. O mulţime B este deschisă dacă şi numai dacă complementara sa C B este închisă 4. O mulţime închisă şi majorată îşi conţine marginea superioară. O mulţime închisă şi minorată îşi conţine marginea inferioară 5. Mulţimile R şi sunt singurele mulţimi închise şi deschise Definiţia 1.8. Se spune că o mulţime A este densă într-o mulţime B dacă orice punct al lui B este aderent lui A, adică B Ā. Definiţia 1.9. Un punct x 0 R (nu neapărat din A) se numeşte punct de acumulare al lui A dacă orice vecinătate V a lui x 0 conţine cel puţin un punct x din A diferit de x 0, adică V A {x 0 }. Mulţimea punctelor de acumulare ale mulţimii A se notează A şi se numeşte mulţimea derivată a lui A. Un punct al mulţimii A care nu este punct de acumulare se numeşte punct izolat. O mulţime formată numai din puncte izolate se numeşte mulţime discretă. Proprietăţi: 1. Un punct x 0 este punct de acumulare al unei mulţimi A dacă şi numai dacă în orice vecinătate V a lui x 0 există o infinitate de puncte din A. 2. Dacă o mulţime A are un punct de acumulare, ea este infinită. 3. O mulţime finită nu are puncte de acumulare. 4. Dacă o mulţime mărginită nu-şi conţine una din margini, aceasta este punct de acumulare. 5. O mulţime este închisă dacă şi numai dacă îşi conţine toate punctele de acumulare. Definiţia 1.10. O mulţime de numere reale se numeşte mulţime compactă dacă este închisă şi mărginită.

8 CAPITOLUL 1. MULŢIMI ŞI TOPOLOGIE PE DREAPTA REALĂ 1.4 Exerciţii 1. Pentru orice submulţime nevidă C R notăm C = { x, x C}. Să se arate că dacă C este marginită, atunci sup( C) = inf C şi inf( C) = sup C. R: C marginită m = inf C R şi M = sup C R. Vom arăta că m este cel mai mic majorant al mulţimii C, care este la rândul ei marginită. m = inf C m x, x C m x, x C, deci m este un majorant al mulţimii C. Dacă ar exista un alt majorant m < m al lui C, atunci m ar fi un minorant al lui C mai mare decât m, ceea ce contrazice definiţia lui m ca fiind marginea inferioară a lui C. In mod analog se arată că M este marginea inferioară a lui C. 2. Se consideră mulţimea A = { m n 0 < m < n; m, n Z}. Să se arate că A nu are un cel mai mic element şi nici un cel mai mare element şi să se determine inf A, sup A. R: Pentru orice m 2m 1 n A, găsim 2n < m n < 2m+1 2m 1 2n, cu 2n, 2m+1 2n A, ceea ce implică faptul că A nu poate avea nici minim nici maxim. Vom arata in continuare că inf A = 0 si sup A = 1. Evident, 0 < m n < 1, m n A. Pentru orice ε > 0 arbitrar, există n Z, n > 1 astfel încât 0 < 1 n < ε, iar cum 1 n A, avem că 0 este cel mai mare minorant al lui A. Din nou, pentru orice ε > 0 arbitrar, există m Z, m > 0 astfel încât 1 ε < m m m+1 < 1, iar cum m+1 A, avem că 1 este cel mai mic majorant al lui A. 3. Care din submulţimile V R următoare sunt vecinătăţi ale originii: (a) V = ( 1, 2); R: da. (b) V = [0, ); R: nu, niciun interval deschis care conţine originea nu este inclus în V. (c) V = ( 3, 1) (3, ); R: da. (d) V = Q; R: nu, Q nu conţine niciun interval deschis. 4. Sa se precizeze care din multimile următoare sunt deschise:

1.4. EXERCIŢII 9 (a) ; R: da. (b) R; R: da. (c) un interval deschis (a, b); R: da. (d) o semidreapta deschisa; R: da. (e) un interval [a, b]; R: nu, (f) un interval [a, b); R: nu. (g) o semidreaptă închisă; R: nu. (h) {a}, a R; R: nu, {a} =. [a, b] = (a, b) [a, b]. 5. Să se afle aderenţa următoarelor mulţimi: (a) R; R: R. (b) ; R:. (c) [a, b]; R: [a, b]. (d) {x 0 }; R: {x 0 }. (e) (a, b], (a, b), [a, b); R: [a, b]. (f) o semidreaptă deschisă; R: aceeaşi semidreaptă, dar închisă. (g) Q; R: R. (h) I = R Q; R: R. (i) {1, 1 2,..., 1 n,... }; R: {1, 1 2,..., 1 n,..., 0}. (j) {1, 2,..., n,... }; R: {1, 2,..., n,... }. 6. Sa se precizeze dacă mulţimile A sunt dense faţă de mulţimea B: (a) A = (a, b], B = [a, b]; R: da. (b) A = Q, B = R; R: da. (c) A = R Q, B = R; R: da. 7. Să se determine punctele de acumulare şi punctele izolate ale submulţimilor D R următoare: (a) D = ( 1, 1); R: D a = [ 1, 1], D i =. (b) D = (, 1) (5, ); R: D a = (, 1] [5, ), D i =. (c) D = Z; R: D a =, D i = Z. (d) D = { 1 x, x R, x 0}; R: D a = R, D i =.

10 CAPITOLUL 1. MULŢIMI ŞI TOPOLOGIE PE DREAPTA REALĂ (e) D = {( 1) n 1 n, n Z, n 1}; R: D a = {0}, D i = D. (f) D = domeniu maxim de definiţie pentru f(x) =arcsin(x 1 x 2 ); R: D a = [0, 1], D i = { 1}. 8. Să se determine interiorul şi frontiera mulţimilor (a) A = {x R, x 1}; R: Å = ( 1, 1), FrA = { 1, 1}. (b) B = {x R, x = 1}; R: B =, FrB = { 1, 1}. (c) C = Q; R: C =, FrC = R. 9. Fie mulţimea A = [0, 1) {2} [3, 4). Să se calculeze Å, Ā, Ā, Å, Å, Ā. R: Å = (0, 1) (3, 4); Ā = [0, 1] {2} [3, 4]; Ā = (0, 1) (3, 4); Å = [0, 1] [3, 4]; Å = (0, 1) (3, 4); Ā = [0, 1] [3, 4]. 10. Să se precizeze care din mulţimile următoare sunt compacte: (a) o mulţime finită; R: da. (b) un interval închis; R: da. (c) o reuniune finită de intervale compacte; R: da. (d) [a, b); R: nu. (e) o semidreaptă; R: nu.

Capitolul 2 Şiruri de numere reale 2.1 Definiţie. Şiruri mărginite. Şiruri monotone Definiţia 2.1. Se numeşte şir de numere reale o funcţie reală n a(n) definită pe mulţimea numerelor naturale N. Se notează (a n ) n N sau doar (a n ). Numerele a 1, a 2,... se numesc termenii şirului, iar numărul a n se numeşte termenul general al şirului. Definiţia 2.2. 1. Un şir se numeşte minorat (sau mărginit inferior) dacă există un număr α R astfel încât α a n, n N 2. Un şir se numeşte majorat (sau mărginit superior) dacă există un număr β R astfel încât a n β, n N 3. Şirul (a n ) este mărginit dacă există două numere reale α < β astfel încât α a n β, n N Observaţii: 1. Un şir a n este mărginit dacă şi numai dacă există M > 0 astfel încât a n M, n N 2. Dacă există M > 0 şi n 0 N astfel încât a n M, n n 0, atunci şirul este mărginit. Definiţia 2.3. 1. Se numeşte marginea inferioară a unui şir (a n ) un număr m = inf a n cu proprietăţile: n N (a) m a n, n N 11

12 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE (b) α > m, n N astfel încât a n < α 2. Se numeşte marginea superioară a unui şir (a n ) un număr M = a n cu proprietăţile: sup n N (a) a n M, n N (b) α < M, n N astfel încât a n > α Definiţia 2.4. 1. Un şir se numeşte crescător dacă a n a n+1, n N 2. Un şir se numeşte descrescător dacă a n a n+1, n N 3. Şirurile crescătoare şi şirurile descrescătoare se numesc şiruri monotone 4. Un şir se numeşte strict crescător dacă a n < a n+1, n N 5. Un şir se numeşte strict descrescător dacă a n > a n+1, n N 6. Şirurile strict crescătoare şi şirurile strict descrescătoare se numesc şiruri strict monotone Definiţia 2.5. Dacă n 1 < n 2 < < n p <... este un şir strict crescător de numere naturale, şirul a n1, a n2,..., a np,... se numeşte subşir al şirului (a n ). 2.2 Şiruri convergente Definiţia 2.6. Un număr a R este limita unui şir (a n ) dacă orice vecinătate a lui a conţine toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit de termeni. Se mai spune că (a n ) are limita a, sau că şirul (a n ) este convergent la a şi se notează a n a sau lim n a n = a. Şirurile care nu sunt convergente se numesc şiruri divergente. Teorema 2.1. Un număr a R este limita unui şir (a n ) dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există N ε N astfel încât oricare ar fi n N ε, să avem a n a ε. Teorema 2.2. Fie (a n ) şi (α n ) două şiruri şi a R. Dacă a n a α n pentru orice n şi dacă α n este convergent la 0, atunci a n este convergent la a.

2.3. OPERAŢII CU ŞIRURI CONVERGENTE 13 Proprietăţi ale şirurilor convergente 1. Un şir convergent are o singură limită. 2. Dacă (a n ) este un şir convergent, atunci şirul ( a n ) este convergent şi avem lim a n = lim a n n n 3. Orice şir convergent este mărginit. 4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui şir convergent se obţine un şir convergent către aceeaşi limită. 5. Dacă la un şir convergent se adaugă sau se scoate un număr finit de termeni, şirul obţinut este convergent şi are aceeaşi limită. 6. Dacă (a n ) este un şir convergent şi dacă există n 0 N astfel încât să avem α a n β, n n 0, atunci α lim n a n β. 7. Dacă (a n ) este un şir convergent şi dacă α < lim n a n < β, atunci există n 0 N astfel încât să avem α < a n < β, n n 0. Teorema 2.3 (Lema lui Stolz). Fie (a n ) şi (b n ) două şiruri. Dacă şirul a n+1 a n (b n ) este strict monoton şi nemărginit, şi dacă lim = L (finit sau n b n+1 b n a n infinit), atunci lim = L. n b n 2.3 Operaţii cu şiruri convergente Teorema 2.4. Dacă (a n ) este un şir convergent la 0 şi (b n ) este un şir mărginit, atunci lim n a nb n = 0. Teorema 2.5. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri convergente, iar α R, atunci şirurile (a n ± b n ), (αa n ) şi (a n b n ) sunt convergente şi avem lim (a n ± b n ) = lim a n ± lim n n lim (αa n) = α lim a n n n lim (a nb n ) = lim a n lim b n n n n n b n

14 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE Teorema 2.6. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri convergente şi lim b n 0, n atunci şirul an b n este convergent şi avem a n lim = n b n lim a n n lim b n n Teorema 2.7. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri convergente şi atunci avem a n > 0 n N, lim n a n = a > 0, lim n b n = b lim n abn n = a b Teorema 2.8. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri convergente şi a n b n, n N, atunci lim a n lim b n n n Teorema 2.9 (teorema cleştelui). Dacă a n x n b n, n N şi dacă şirurile (a n ) şi (b n ) sunt convergente şi au aceeaşi limită, atunci şirul (x n ) este convergent şi are aceeaşi limită ca şi celelalte două şiruri. 2.4 Şiruri fundamentale Definiţia 2.7. Un şir (a n ) se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy dacă pentru orice ε > 0, există N ε N astfel încât oricare ar fi m N ε şi n N ε să avem a m a n < ε. Un şir (a n ) este fundamental dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există N ε N astfel încât oricare ar fi n N ε şi oricare ar fi p N să avem a n+p a n < ε. Teorema 2.10. Orice subşir al unui şir convergent este de asemenea convergent şi are aceeaşi limită. Teorema 2.11 (Lema lui Cesaro). Orice şir mărginit conţine cel puţin un subşir convergent. Teorema 2.12 (Criteriul general al lui Cauchy). Un şir (a n ) este convergent dacă şi numai dacă este şir fundamental. Teorema 2.13 (Weierstrass). Orice şir monoton şi mărginit este convergent..

2.4. ŞIRURI FUNDAMENTALE 15 Teorema 2.14. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri de numere reale care verifică următoarele două condiţii: 1. a 1 a 2 a n b n b 2 b 1 2. lim n (a n b n ) = 0 atunci şirurile (a n ) şi (b n ) sunt convergente şi au aceeaşi limită. Teorema 2.15. Pentru orice număr real x există două şiruri (r n ) şi (s n ) de numere raţionale cu următoarele proprietăţi: 1. r 1 r 2 r n s n s 2 s 1 2. lim n r n = x = lim n s n. Propoziţia 2.4.1. Şirul e n = (1 + 1 n ) n este un şir crescător şi mărginit şi are limita egală cu numărul iraţional e 2, 71828. Proprietăţi suplimentare ale şirurilor convergente 1. Limita unui şir crescător şi convergent este mai mare decât toţi termenii şirului, iar limita unui şir descrescător şi convergent este mai mică decât toţi termenii şirului. 2. Dacă a n a şi a n < a, n N, se poate schimba ordinea termenilor astfel încât să obţinem un şir crescător convergent către a. 3. Dacă a n a şi a n > a, n N, se poate schimba ordinea termenilor astfel încât să obţinem un şir descrescător convergent către a. 4. Dacă a n a şi a n a, n N şi dacă există o infinitate de termeni la stânga lui a şi o infinitate de termeni la dreapta lui a, atunci se pot forma cu termenii şirului două subşiruri (b n ) şi (c n ), primul crescător, al doilea descrescător, ambele convergente către a. 5. Dacă (a n ) şi (b n ) sunt două şiruri convergente cu aceeaşi limită c, orice şir obţinut cu termenii celor două şiruri, într-o ordine oarecare, este convergent şi are limita c.

16 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE 6. Un număr a este punct de acumulare al unei mulţimi A dacă şi numai dacă există un şir convergent la a, format din puncte din A diferite de a. 7. Un număr a este punct aderent al mulţimii A dacă şi numai dacă există un şir de puncte din A convergent la a. 8. O mulţime A este închisă dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul convergent de puncte din A, limita şirului aparţine de asemenea lui A. 2.5 Dreapta încheiată. Şiruri cu limită Definiţia 2.8. 1. Dacă mulţimea A nu este majorată, vom spune că marginea ei superioară este + şi scriem sup A = +, adică (a) x < +, x A (b) dacă α < +, există x A astfel încât α < x 2. Dacă mulţimea A nu este minorată, vom spune că marginea ei inferioară este şi scriem inf A =, adică (a) x >, x A (b) dacă α >, există x A astfel încât α > x Definiţia 2.9. Mulţimea formată din toate numerele reale, împreună cu + şi, se numeşte dreapta încheiată şi se notează cu R. Definiţia 2.10. 1. Se numeşte vecinătate a lui + o mulţime care conţine un interval deschis şi nemărginit de forma (a, + ) 2. Se numeşte vecinătate a lui o mulţime care conţine un interval deschis şi nemărginit de forma (, a) Observaţie: + este prin definiţie punct de acumulare al oricărei mulţimi nemajorate, iar punct de acumulare al oricărei mulţimi neminorate. Definiţia 2.11. 1. Spunem că + este limita unui şir (a n ) dacă orice vecinătate a lui + conţine toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit dintre ei. Scriem lim a n = + sau a n + n 2. Spunem că este limita unui şir (a n ) dacă orice vecinătate a lui conţine toţi termenii şirului, cu excepţia unui număr finit dintre ei. Scriem lim n a n = sau a n

2.5. DREAPTA ÎNCHEIATĂ. ŞIRURI CU LIMITĂ 17 Teorema 2.16. 1. Un şir are limita + dacă şi numai dacă pentru orice ε R, există N ε N astfel încât oricare ar fi n N ε să avem a n > ε 2. Un şir are limita dacă şi numai dacă pentru orice ε R, există N ε N astfel încât oricare ar fi n N ε să avem a n < ε Şirurile care au limita + sau sunt nemărginite, deci sunt divergente. Aşadar, şirurile convergente sunt doar cele care au limită finită. Teorema 2.17 (Criteriul majorării). N, atunci b n + 1. Dacă a n + şi b n > a n, n 2. Dacă a n şi b n < a n, n N, atunci b n Teorema 2.18. 1. Orice şir crescător şi nemărginit are limita + 2. Orice şir descrescător şi nemărginit are limita 3. Orice şir monoton are limită. Limita este finită dacă şi numai dacă şirul este mărginit. Proprietăţi ale şirurilor cu limită: 1. Dacă un şir are limită, orice subşir al său are aceeaşi limită; 2. Din orice şir se poate extrage un subşir care are limită; 3. Dacă un şir are limită, prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni, obţinem un şir cu aceeaşi limită 4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui şir care are limită, se obţine un şir cu aceeaşi limită 5. Dacă a n +, se poate schimba ordinea termenilor astfel încât să obţinem un şir crescător cu limita + 6. Dacă a n, se poate schimba ordinea termenilor astfel încât să obţinem un şir descrescător cu limita 7. Dacă (a n ) şi (b n ) au aceeaşi limită L R, atunci orice şir format cu termenii şirurilor (a n ) şi (b n ), într-o ordine oarecare, are limita L. Operaţii cu şiruri cu limită 1. Dacă a n + sau a n, atunci a n +

18 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Dacă şirurile (a n ) şi (b n ) au limită şi dacă suma limitelor are sens, atunci şirul (a n + b n ) are limită şi Caz exceptat. lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n n n n 3. Dacă şirul (a n ) are limită şi α R, atunci şirul αa n are limită şi lim (αa n) = α lim a n n n 4. Dacă şirurile (a n ) şi (b n ) au limită şi dacă produsul limitelor are sens, atunci şirul (a n b n ) are limită şi Caz exceptat 0 lim (a nb n ) = lim a n lim b n n n n 5. Dacă şirurile (a n ) şi (b n ) au limită şi dacă raportul limitelor are sens, atunci şirul ( an b n ) are limită şi Cazuri exceptate, 0 0. a n lim = n b n lim n a n lim n b n 6. Dacă şirurile (a n ) şi (b n ) au limită şi dacă ridicarea la putere a limitelor are sens, atunci şirul (a bn n ) are limită şi Cazuri exceptate 1, 0, 0 0. n b n lim n (abn n ) = lim a lim n n Teorema 2.19 (Limite fundamentale). 1. lim n a n = 2. lim n (a k n k + a k 1 n k 1 + + a 1 n + a 0 ) = {, a k > 0, a k < 0 a k n 3. lim k + a k 1 n k 1 + + a 1 n + a 0 = n b m n m + b m 1 n m 1 + + b 1 n + b 0 ( a k b m ), k > m a k b m, k = m 0, k < m 1, a = 1, a > 1 0, a ( 1, 1), a 1

2.6. EXERCIŢII 19 4. lim (1 + 1 x n ) = lim x n ± x (1 + x n xn 0 n) 1 xn ln(1 + x n ) 5. lim = 1 xn 0 x n a 6. lim xn 1 = ln a xn 0 x n (1 + x n ) 7. lim r 1 = r xn 0 x n sin x n 8. lim xn 0 x n 9. lim n n k tg x n = lim xn 0 x n = 0, k N, a > 1. an = e arcsin x n = lim xn 0 x n arctg x n = lim = 1 xn 0 x n Teorema 2.20 (Criteriul Cauchy-D Alembert al raportului). Fie şirul (x n ) cu x n > 0, n N, pentru care există lim. Atunci şirul ( n x n ) are limită şi avem 2.6 Exerciţii lim n x n+1 n x n n x n+1 xn = lim n x n 1. Folosind criteriul de convergenţă cu ε să se arate că lim ( 2n + 3 2n) = 0. n Rezolvare: Pentru orice ε > 0, trebuie să determinăm N ε N astfel încât 2n + 3 2n < ε, n N ε. (2.1) Pentru ε > 0 arbitrar fixat avem: 2n + 3 2n < ε ( 2n + 3 2n)( 2n + 3 + 2n) 2n + 3 + 2n < ε 2n + 3 2n < ε 2n + 3 + 2n 3 2n + 3 + 2n < ε 2n + 3 + 2n > 3 ε Cum 2n + 3 > 2n 2n + 3 + 2n > 2 2n, aşadar inegalitatea de mai sus este satisfăcută dacă 2 2n > 3 ε 8n > 9 ε n > 9 2 8ε deci 2 pentru N ε = [ 9 ] 8ε + 1, (2.1) este satisfăcută. 2

20 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Să se arate că şirul (x n ), x n = cos (n π ) 2, n 0 este divergent. Rezolvare: Avem x 0 = cos 0 = 1 x 1 = cos π 2 = 0 x 2 = cos π = 1 x 3 = cos 3π 2 = 0 x 4 = cos 2π = 1 x 5 = cos 5π 2 = 0 aşadar x 2n+1 = 0, x 4n = 1, x 4n+2 = 1, deci x n are 3 subşiruri convergente la limite diferite. 3. Folosind criteriul majorării să se calculeze limitele şirurilor: a) x n = sin 1+2 sin 2+ +2n 1 sin n 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n ; b) x n = n n, n 2 Rezolvare: a) x n = sin 1+2 sin 2+ +2n 1 sin n 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 = sin 1+2 sin 2+ +2n 1 sin n n 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n 1+2+ +2 n 1 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3, deoarece sin x 1, x R. n Numărătorul 1 + 2 + + 2 n 1 = 2 n 1 < 2 n Numitorul 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n > (n+1)3 n 1 1 (n+1)3. n Înmulţind cele două inegalităţi obţinem sin 1 +2 sin 2 + +2n 1 sin n 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n < 1+2+ +2 n 1 1+2 3+3 3 2 + +(n+1)3 n < 2 n (n+1)3 n = 1 ( 2 n+1 3 )n, aşadar x n < 1 ( 2 n+1 3 )n 0 lim n x n = 0. b) Pentru x n = n n, notăm y n = x n 1 n n = 1 + y n n = (1 + y n ) n În egalitatea de mai sus dezvoltăm membrul drept folosind binomul lui Newton: (a + b) n = n k=0 C k na n k b k = C 0 na n b 0 + C 1 na n 1 b 1 + C 2 na n 2 b 2 + + C n na 0 b n şi obţinem n = (1 + y n ) n = 1 + ny n + n(n 1) 2 yn 2 +... Cum în membrul drept avem o sumă de numere pozitive, fiecare termen al sumei este mai mic decât suma totală, deci putem scrie n(n 1) yn 2 < n yn 2 < 2 2n n(n 1) y n < 2 n 1 0

2.6. EXERCIŢII 21 de unde folosind criteriul majorării obţinem lim y n = 0 lim x n = lim (1 + y n ) = 1. n n n 4. Folosind criteriul cleştelui să se calculeze limita şirurilor: a) x n = [x]+[3x]+ +[(2n 1)x] n 3 Rezolvare: Se ştie că [a] a < [a] + 1, deci a 1 < [a] a, a R. Aplicând această inegalitate pentru a = x, 3x,..., (2n 1)x obţinem sumând, obţinem: x 1 < [x] x 3x 1 < [3x] 3x... (2n 1)x 1 < [(2n 1)x] (2n 1)x {1 + + (2n 1)}x n < [x] + + [(2n 1)x] {1 + + (2n 1)}x Calculând 1 + 3 + + (2n 1) = n 2 şi împărţind prin n 3, obţinem mai departe n 2 x n < x n 3 n n2 x n, 3 de unde, conform criteriului cleştelui, lim x n = 0. n b) z n = y n n, y n = log x 1 x 2... x n, n 1, unde x n este o cifră nenulă. Rezolvare: 10 n 1 x 1 x 2... x n < 10 n log 10 n 1 log x 1 x 2... x n < log 10 n n 1 y n < n n 1 n y n n < n n n 1 n z n < 1 de unde folosind criteriul cleştelui obţinem lim z n = 1. n

22 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE 5. Să se studieze marginirea, monotonia şi convergenţa următoarelor şiruri: 2n 2 n 2 + 1, 2n n 2 + 1, 4 ( 1)n n, sin 1 n, (n!) 2 (2n)!, sin n n 6. Să se calculeze limitele şirurilor: a) 5 2n 3n 7 ; 4 b)n2 n + 5 ; c) n2 n 3 + 1 ; n d)( 1)n n 3 + 1, 2 n + 1 e)n2 1 n 3n ; e n 2 f)en e n + e n g)n sin 1 n n 3 ; h) (n n ) ; i) ( n 1 n n + 1 ) ; j) n + 1 n; k)n n 2 4n 7. Folosind lema lui Stolz să se calculeze limitele şirurilor: (a) x n = 1p + 2 p + + n p n p+1 ; R: lim x n = lim n n 1 p + 1. (b) x n = 1 n n k=1 (n + 1) p = lim (n + 1) p+1 np+1 n k 1 + 2 + 3 + + k ; R: lim n x n = lim n n + 1 1 + 2 + + n + 1 = lim n 8. Să se calculeze limitele şirurilor: (n + 1) p C 1 p+1 np + + C p p+1 n + 1 = 1 n + 2 = 0. (a) x n = ( n+ n+2 2 n+1 )n ; n + n + 2 lim n [ n R: lim x n = e 2 1] n + 1 = e 0 = 1; n (b) x n = sin 2 π n + sin2 π n+1 + + sin2 π 2n ; R: Avem sin 2 π n 0, deci cel mai mare (respectiv cel mai mic) termen al sumei din x n este sin 2 π n (respectiv sin2 π 2n ). Majorând (respectiv minorând) fiecare termen al sumei, găsim Avem (n + 1) sin 2 π 2n < x n < (n + 1) sin 2 π n. lim n (n+1) sin2 π n = lim n (n+1) (π n ) 2 sin2 π n = lim ( π n )2 n π 2 (n + 1) n 2 ( sin π 2 n π ) = 0 1 = 0 n şi analog lim (n+1) sin 2 n rezultă că lim x n = 0; n π 2n = 0 de unde conform criteriului cleştelui

2.6. EXERCIŢII 23 (c) x n = ln(n2 + e n ) ln(n 4 + e 2n ) ; ln e n (1 + n2 e n ) R: lim x n = lim n n ln e 2n (1 + n4 ) = lim n e 2n n [1 + 1 n2 n ln (1 + e )] lim n n n [2 + 1 n4 n ln (1 + )] e 2n (d) x n = ( a n 1 +b n 1 n 2 ) ; R: lim x n = (1 + a 1 n + b 1 n n 2 1 1 lim n e 2 [a n 1 1 n = 1 + 0 ln(1 + 0) 2 + 0 ln(1 + 0) = 1 2 ; 1) n ln e n + ln (1 + n2 e n ) ln e 2n + ln (1 + n4 e 2n ) = lim n n + ln (1 + n2 e n ) 2n + ln (1 + n4 e 2n ) = 1 lim n [a n + b 1 n 2 ] = [(1 + y n ) 1 yn ] nyn n = e 2 = + b 1 n 1 1 ] ln a + ln b n = e 2 = (e ln ab ) 1 2 = ab. 9. Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât lim n(an 2 + bn + cn 2 ) = 1. n R: Amplificând cu conjugata obţinem: n [a 1 = lim 2 n 2 ( 2 + bn + cn 2 )] n an + n [(a = lim 2 c)n 2 bn + 2] 2 + bn + cn 2 n an + n 2 (c + b n 2 ) n 2 (a = lim 2 c)n 3 bn 2 + 2n n a 2 c = b = 0 şi a + c = 2. n (a + c + b n 2 n ) 2 Rezolvăm sistemul = a 2 c = 0 a + c = 2 c = a 2 a + c = 2 a + a 2 = 2 a + a = 2 a = 1. deci a = c = 1 şi b = 0. 10. Să se studieze convergenţa şirului recurent liniar dat prin: x 0 = 0, x n+1 = 1 3 x n + 4 3, n 0. R: Avem x n = 4 (1 3 + 1 3 + + 1 ) 3 = 4 n 1 3 1 1 1 1 3 lim x n = 2. n 3 n = 2 2 3 n, de unde obţinem

24 CAPITOLUL 2. ŞIRURI DE NUMERE REALE

Capitolul 3 Serii de numere reale 3.1 Definiţie. Convergenţă Definiţia 3.1. Se numeşte serie de numere reale o sumă infinită n=1 a n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n +... ; a n se numeşte termenul general al seriei, iar şirul S n = n k=1 se numeşte şirul sumelor parţiale. Exemple de serii: n=1 n=0 a n = a 1 + a 2 + + a n, n 1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 +... (seria armonică) n a n = 1 + a + a 2 + a 3 + + a n +..., a R (seria geometrică) Definiţia 3.2. Spunem că seria n=1 a n este convergentă dacă şirul sumelor parţiale S n corespunzător seriei converge către o valoare finită S R, numită suma seriei. În caz contrar, spunem că seria este divergentă. Proprietăţi ale seriilor: 1. Dacă într-o serie convergentă se schimbă ordinea unui număr finit de termeni, seria obţinută este tot convergentă şi are aceeaşi sumă. 25

26 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE 2. Dacă într-o serie divergentă se schimbă ordinea unui număr finit de termeni, seria obţinută este tot divergentă şi are aceeaşi sumă + sau. 3. Dacă la o serie convergentă adăugăm sau eliminăm un număr finit de termeni, seria obţinută este tot convergentă, dar în general are altă sumă. 4. Dacă la o serie divergentă adăugăm sau eliminăm un număr finit de termeni, seria obţinută este tot divergentă cu aceeaşi sumă + sau. 5. Dacă seria n=1 a n este convergentă, şirul sumelor parţiale este mărginit. 6. Dacă seria n=1 a n este formată din termeni pozitivi, iar şirul sumelor parţiale este mărginit, atunci seria este convergentă. 7. Dacă seria n=1 a n este convergentă, atunci lim n a n = 0. 8. Dacă lim n a n 0, atunci seria este divergentă. Aşadar o condiţie necesară pentru convergenţa unei serii este ca termenul ei general să conveargă către 0. Dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci seria este divergentă. Teorema 3.1. Fie seriile Atunci: (a) (b) n=1 n=1 n=1 a n şi n=1 αa n este convergentă către αa (unde α R); (a n + b n ) este convergentă către A + B; (c) Dacă a n b n, n 1, atunci A B. Observaţii: b n convergente către A, respectiv B. 1. Dacă sumele A şi B sunt + sau, teorema de mai sus este valabilă dacă A + B are sens. 2. Dacă n=1 a n = + şi α 0, atunci seria n=1 αa n este divergentă.

3.2. SERII CU TERMENI POZITIVI 27 Teorema 3.2 (Criteriul general al lui Cauchy). O serie a n este convergentă dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există N ε N astfel încât oricare ar fi n N ε şi oricare ar fi p 1 să avem a n+1 + a n+2 + + α n+p < ε Teorema 3.3 (Criteriul lui Dirichlet). Dacă n=1 n=1 a n este o serie care are şirul sumelor parţiale mărginit şi dacă (b n ) este un şir descrescător de numere pozitive convergent către 0, atunci seria Teorema 3.4 (Criteriul lui Abel). Dacă n=1 a n b n este convergentă. n=1 a n este o serie convergentă şi dacă (b n ) este un şir de numere pozitive monoton şi mărginit, atunci seria a n b n este convergentă. n=1 Definiţia 3.3. Se numeşte serie alternată o serie de forma ( 1) n a n, cu a n 0, n N, aşadar produsul oricăror doi termeni consecutivi este negativ. Teorema 3.5 (Criteriul lui Leibniz). Fie o serie alternată ( 1) n a n. Dacă şirul a n este descrescător si convergent către 0, atunci seria este convergentă. Definiţia 3.4. Spunem că seria modulelor n=1 n=1 a n este convergentă. a n este absolut convergentă dacă seria Teorema 3.6. Orice serie absolut convergentă este convergentă. Reciproca acestei teoreme nu este valabilă. Există serii convergente care nu sunt şi absolut convergente. Astfel de serii se numesc semiconvergente. 3.2 Serii cu termeni pozitivi O serie cu termeni pozitivi este o serie în care termenul general este pozitiv: a n 0, n 1. Pentru astfel de serii avem la dispoziţie un număr de criterii pentru a stabili convergenţa lor, fără însă a putea găsi suma lor. Un prim tip de criterii sunt cele de comparaţie, în care este stabilită natura unei serii cu ajutorul unei alte serii a carei natură este cunoscută:

28 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE Teorema 3.7 (Criteriul 1 de comparaţie). Fie două serii cu termeni pozitivi a n şi b n astfel încât a n b n, n N, unde N N fixat. Atunci: 1. dacă b n este convergentă, atunci şi a n este convergentă; 2. dacă a n este divergentă, atunci şi b n este divergentă. Exemple: n=1 sin 1 n 2 ; n=1 2 + sin n. n Teorema 3.8 (Criteriul 2 de comparaţie). Fie două serii cu termeni pozitivi a n şi b n astfel încât a n+1, n N, unde N N fixat. Atunci: a n b n+1 b n 1. dacă b n este convergentă, atunci şi a n este convergentă; 2. dacă a n este divergentă, atunci şi b n este divergentă. Teorema 3.9 (Criteriul 3 de comparaţie). Fie două serii cu termeni pozitivi a n şi b n astfel încât există limita L = lim n a n bn. Atunci: 1. dacă 0 < L <, atunci cele două serii au aceeaşi natură; 2. dacă L = 0 şi b n convergentă, atunci şi a n este convergentă; 3. dacă L = şi b n divergentă, atunci şi a n este divergentă. Exemple: n=1 sin 1 n ; sin 1 n. 2 Teorema 3.10 (Criteriul de condensare). Fie a n o serie cu termeni pozitivi având şirul termenilor (a n ) descrescător. Considerăm de asemenea şi seria 2 n a 2 n. Dacă una dintre serii este convergentă, atunci şi cealaltă este convergentă. Teorema 3.11. 1. Seria geometrică şi divergentă dacă a 1. 2. Seria armonică generalizată este convergentă dacă p > 1, şi divergentă dacă p 1. n=1 n=1 n=0 1 n p a n este convergentă dacă a (0, 1) În continuare prezentăm câteva criterii de convergenţă în care natura unei serii este găsită prin calculul unor limite:

3.2. SERII CU TERMENI POZITIVI 29 Teorema 3.12 (Criteriul rădăcinii). Fie seria cu termeni pozitivi încât există limita L = lim n n a n. Atunci: 1. dacă L < 1, atunci seria este convergentă; 2. dacă L > 1, atunci seria este divergentă. Exemplu: (1 + 1 n )2n n=1 e n n=1 Teorema 3.13 (Criteriul raportului). Fie seria cu termeni pozitivi astfel încât există limita L = lim a n+1 n a n. Atunci: 1. dacă L < 1, atunci seria este convergentă; 2. dacă L > 1, atunci seria este divergentă. a n astfel a n n=1 Exemple: 1 3 5... (2n 1) n=1 2 5... (3n 1) ; n! n=1 n n Observăm că niciunul din cele două criterii anterioare nu precizează natura seriei dacă limita L = 1. Pentru astfel de situaţii se poate utiliza următorul rezultat: Teorema 3.14 (Criteriul Raabe-Duhamel). Fie seria cu termeni pozitivi n=1 a n astfel încât există limita L = lim n n ( a n a n+1 1). Atunci: 1. dacă L > 1, atunci seria este convergentă; 2. dacă L < 1, atunci seria este divergentă. Exemplu: n=1 1 1 + 1 2 + + 1 n Teorema 3.15 (Criteriul logaritmic). Fie a n o serie cu termeni pozitivi ln 1 a n n astfel încât există limita L = lim ln n. Atunci: 1. dacă L > 1, atunci seria este convergentă; 2. dacă L < 1, atunci seria este divergentă.

30 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE 3.3 Exerciţii 1. Să se arate că seria n=1 1 n(n + 1) este convergentă şi să se calculeze suma ei. 2. Să se arate că n=1 n 2n 1 este divergentă. 3. Seria ( 1) n 1 n este absolut convergentă, iar 2 ( 1) n 1 n n=1 este semiconvergentă. n=1 4. Să se calculeze suma seriilor: a) 1 (3n 2)(3n + 1) R: Descompunem în fracţii simple termenul general al seriei: n=1 1 (3n 2)(3n + 1) = A 3n 2 + B 1 = A(3n + 1) + B(3n 2) 3n + 1 3A + 3B = 0 1 = (3A + 3B)n + A 2B A 2B = 1 A = 1 3 B = 1 3 b) deci este S n = n=1 1 (3n 2)(3n + 1) = 1 3 ( 1 3n 2 1 ). Suma parţială a seriei 3n + 1 n k=1 1 (3k 2)(3k + 1) = 1 3 n k=1 1 ( 3k 2 1 3k + 1 ) = = 1 3 (1 1 1 4 + 1 4 1 7 + 1 7 1 10 + + 1 3n 5 1 3n 2 + 1 3n 2 1 = 1 3 (1 1 3n + 1 ) = ( n + 2 2 n + 1 + n) n 3n + 1 S = lim n S n = lim n n 3n + 1 = 1 3. 3n + 1 ) =

3.3. EXERCIŢII 31 R: Calculăm suma parţială a seriei: S n = n k=1 ( k + 2 2 k + 1 + k) = = 3 2 2 + 1 + + 4 2 3 + 2 + + 5 2 4 + 3 + + n 2 n 1 + n 2 + + n + 1 2 n + n 1 + + n + 2 2 n + 1 + n S n = 1 2 + n + 2 n + 1 = 1 2 + 1 n+2+ n+1 S = 1 2 5. Să se stabilească natura următoarelor serii verificând dacă este indeplinită condiţia necesară pentru convergenţa seriilor: a) b) n=1 n n+ 1 n (n + 1 n )n n R: lim a n = lim n n 1 n = lim n n ( n n (n + 1 n )n n n + 1 n n 1 n 2 + 1 ) = e lim ( 1 n n 2 + 1 ) n = e 0 = 1 seria este diver- 1 lim (1 n gentă. n=1 n n ) = lim n n ( n n2 n n 2 + 1 ) ( n 4 + 3n 2 + 1 n 2 ) 3n R: lim a n = lim 2 + 1 n n n4 + 3n 2 + 1 + n = 3 seria este divergentă. 2 2 6. Folosind criteriul lui Dirichlet, să se determine natura seriilor: (a) n=1 sin nx n, x kπ, k Z R: a n = 1 n n 0; pentru calculul sumei parţiale sin kx folosim formula trigonometrică sin a sin b = 1 2 (cos(a b) cos(a + b)); înmulţind şi împărţind prin sin x 2 obţinem n cos x 2 S n = sin kx = k=1 k=1 (2n+1)x cos 2 2 sin x cos x (2n+1)x 2 + cos 2 2 2 sin x 2 = 1 sin x 2 n N

32 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE (b) de unde rezultă că seria este convergentă. ln n cos nx n n=1 R: a n = ln n n 0; S n = cos kx = n k=1 N seria este convergentă. sin (2n+1)x 2 sin x 2 2 sin x 2 7. Folosind criteriul lui Abel, să se studieze convergenţa seriilor: (a) (b) ( 1) n n n n=2 ln n R: a n = n ( 1) n 1, n n=2 ln n Leibniz seria este convergentă. sin n n ln n + 1 n n=1 convergentă conform exerciţiului an- R: a n = ln n+1 n 0, sin n n=1 n terior seria este convergentă. 1 sin x 2 n convergentă conform criteriului lui 8. Folosind criteriul lui Leibniz, să se studieze natura seriilor: (a) (b) ( 1) n+1 n=1 n ln n 1 R: u n = 0 seria este convergentă n ln n n=1 ( 1) n+1 tg 1 n n R: u n = tg 1 n 0 seria este convergentă n 9. Folosind criteriul 1 de comparaţie să se studieze natura seriilor: (a) (b) (c) n=1 n=1 n=2 1 2 n + 1 ; 3n + 1 n 3 + 1 ; 1 ln n ; R: ln n < n x n = 1 ln n > 1 n, iar cum n=1 x n este divergentă; n=1 1 n este divergentă

3.3. EXERCIŢII 33 (d) (e) 1 n=1 n3 + n R: n 3 +n > n 3 n 3 + n > n 3 1 x n = < 1 = 1 n 3 +n n 3 n=1 n=2 1 n este convergentă 3/2 a n n n!, a > 0 n=1 x n este convergentă; n 3 2, iar cum R: dacă a 1 a n > 1. De asemenea, n! < n n n n! < n 1 n > 1 n! n, aşadar x n = an n = n! an 1 n > 1 1 n! n = 1 n, iar cum divergentă n=1 x n este divergentă; dacă a < 1 avem că n n! = (n!) 1 n > (n!) 0 = 1 1 a n n n! n=1 = a n 1 n n! < a n, iar cum x n este convergentă. n=1 n n! n=1 1 n este < 1 x n = a n este convergentă pentru a < 1 10. Folosind criteriul 2 de comparaţie să se studieze natura seriilor: (a) (b) n=1 1 20n + 9 1 R: u n = 20n + 9, v n = 1 n. u n+1 > v n+1, u n v n este divergentă; 1 n=1 n2 + 7n R: u n = este divergentă; 1 n2 + 7n, v n = 1 n. u n+1 > v n+1, u n v n n=1 n=1 v n divergentă v n divergentă 11. Folosind criteriul 3 de comparaţie să se studieze natura seriilor: (a) (b) n=1 n=1 1 n + 1 ; n + 5 n 3 2n + 3 ; R: x n = n=1 u n n=1 u n n=1 n + 5 n 3 2n + 3, y n = 1 n ; lim x n n = lim 3 + 5n 2 = 1. Cum 2 n y n n n 3 2n + 3 y n este convergentă n=1 x n este convergentă.

34 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE (c) (d) (e) n=1 n 2 e n u n v n conver- R: u n = n 2 e n, v n = 1 n ; lim 2 n v n gentă n=1 u n este convergentă; n=1 (1 cos π n ) R: u n = 1 cos π n, v n = 1 u n n ; lim 2 n v n convergentă n=1 u n este convergentă; n=1 n n ln n R: x n = n n ln n, y n = 1 ln n ; lim Cum n=1 y n divergentă x n n n=1 = lim y n n n = lim 4 n e = 0; n 2n 2 sin 2 π = lim n 1 n 2 n n ln n = lim ln n n x n este divergentă. n=1 = π2 2 ; n n = 1. 12. Folosind criteriul de condensare, să se determine natura seriilor: (a) (b) ln n n=2 n R: u n = ln n n este descrescător, şi avem 2 n u 2 n = n ln 2 divergentă n=2 u n divergentă. n=2 1 n ln 2 n R: u n = 1 n ln 2 n convergentă n=2 n=2 este descrescător, şi avem 2 n u 2 n = n=2 u n convergentă. 13. Folosind criteriul rădăcinii, să se determine natura seriilor: (a) (b) n=1 ( 2n + 3 n + 1 ) 2n+1 R: lim n x n = lim [( 2n + 3 2n+1 n n n + 1 ) ] = 4 > 1 seria este divergentă; n=1 ( n 2 + 2n + 5 n) n2 1 n n=2 = lim ( 2n + 3 2n+1 n n + 1 ) n v n n=1 1 ln 2 2 = n=2 1 n 2

3.3. EXERCIŢII 35 (c) (d) (e) (f) R: n 2 + 2n + 5 n = ( n 2 + 2n + 5 n)( n 2 + 2n + 5 + n) ( n 2 + 2n + 5 + n) 2n + 5 n (2 + 5 n = n 2 (1 + 2 n + ) 1. 5 ) n + n n ( 1 + 2 2 n + 5 n + 1) 2 lim n n xn = lim [( 1 n 2 + 2n + 5 n) n2 n ] n = = = lim n ( n 2 + 2n + 5 n) n = lim (1 + n 2 + 2n + 5 n 1) n = e lim n( n 2 + 2n + 5 n 1) n = n e 2 > 1 seria este divergentă; n=2 n ln n (ln n) n R: lim n x n = lim n e 0 = 0 < 1 n=1 (cos a n ) n 3 (ln n) n ] n [ nln n 1 n R: lim n x n = lim [(cos a n3 n n n ) ] n ln n n n = lim 1 n ln n = lim n (e ln n ) ln n n ln n exp [ lim n 2 ( 2 sin 2 a n 2n )] = exp lim 2n 2 ( a 2 n 2n ) ( sin a a 2n seria este convergentă. 2 n+1 n ; n R: convergentă n=1 ( n n2 n=1 n + 1 ) ; R: divergentă 14. Folosind criteriul raportului, să se determine natura seriilor: (a) n=1 3 n tg π 2 n x n+1 3 n+1 tg π 2 tg π R: lim = lim n+1 2 n x n n 3 n tg π = 3 lim n+1 n π 2 n > 1 seria este divergentă; = 3 2 e ln 2 n n n = lim ln n = = lim (1 + cos a n2 1) = exp [ lim n 2 (cos a n n n n 1)] = 2 n+1 π 2 n tg π 2 n 2n )2 = e a2 2 < 1 π 2 n+1 π 2 n =

36 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE (b) (c) (d) (e) (f) a n n=1 n, a > 0, p R p a n+1 (n+1) p a n n p x n+1 a R: lim = lim = lim n+1 n x n n n (n + 1) np p a = lim a ( n p n n n + 1 ) = a. Dacă 0 < a < 1 seria este convergentă, dacă a > 1 seria este divergentă, iar dacă a = 1 obţinem seria armonică generalizată, a cărei natură este cunoscută. n=1 2 n n! n n x n+1 R: lim n n n n + 1 ) = 2 1 e = 2 < 1 seria este con- e 2 lim n vergentă. n=1 n=1 n=1 9 n n! ; n 5 2 n ; (2n)! (n!) 2 ; x n n n = lim n (n + 1) n = 2 lim 2 n+1 (n+1)! (n+1) n+1 2 n n! n n n ( 2 = lim n+1 (n + 1)! n (n + 1) n n n+1 2 n n! = lim 2(n + 1) n n = n (n + 1) n+1 15. Folosind criteriul Raabe-Duhamel, să se determine natura seriilor: (a) (b) (c) 1 5 9... (4n 3) n=1 4 n n! R: lim n ( u n 1) = 3 n u n+1 4 n=1 1 4 7... (3n + 1) 2 5 8... (3n + 2) 1 2n + 1 R: lim n ( u n 1) = 4 n u n+1 3 n=1 n!n 2 a(a + 1)(a + 2)... (a + n), a > 0 < 1 seria este divergentă; > 1 seria este convergentă; R: lim n n ( u n u n+1 1) = a 2. Dacă a < 3 seria este divergentă, dacă a > 3 seria este convergentă, iar dacă a = 3, obţinem o serie care conform criteriului III de comparaţie are aceeaşi natură cu seria armonică, deci este divergentă. 16. Folosind criteriul logaritmic, să se determine natura seriilor:

3.3. EXERCIŢII 37 (a) (b) (c) n=2 a ln n, a > 0 ln 1 u n n R: lim > 1 seria este ln n = ln 1 a. Dacă 0 < a < 1 e ln 1 a convergentă. Dacă a > 1 e seria este divergentă. Dacă a = 1 e obţinem seria armonică, care este divergentă. n=2 1 ln p n ln 1 u n n R: lim n=1 1 n n ln 1 u n n R: lim ln n = lim n ln n pln(ln n) ln n = 0 < 1 seria este divergentă. = > 1 seria este convergentă. 17. Să se arate că seriile următoare sunt absolut convergente: (a) (b) n=1 R: ( 1) n n 2 + sin n 2 n=1 u n = n=1 are aceeaşi natură cu 1, care conform criteriului III de comparaţie n 2 + sin n2 1, deci convergentă. n2 n=1 sin nx n=1 n 2 R: Avem că u n < 1 n, deci conform criteriului I de comparaţie, 2 u n este convergentă. n=1 n 3 5... (2n + 1) (c) ( 1) n=1 2 5... (3n 1) 3 5... (2n + 1) R: u n = care este convergentă conform criteriului n=1 n=1 2 5... (3n 1) raportului. 18. Să se studieze convergenţa absolută şi semiconvergenţa seriei: sin nx n=1 n p R: Conform criteriului III de comparaţie, seria n=1 u n are aceeasi natura

38 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE cu n=1 1 n p, deci convergentă pentru p > 1 şi divergentă pentru 0 < p 1. Totuşi, pentru 0 < p 1, seria n=1 u n este convergentă conform criteriului lui Dirichlet. In concluzie, seria este absolut convergentă pentru p > 1 şi semiconvergentă pentru 0 < p 1.

Capitolul 4 Limite şi continuitate 4.1 Limita unei funcţii într-un punct Definiţia 4.1. Fie o funcţie f D R şi a R un punct de acumulare al lui D. Spunem că f are limita L când x tinde către a şi scriem lim f(x) = L x a dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 (depinzând de ε) astfel încât x a < δ f(x) L < ε. (4.1) Altfel spus, f(x) se poate apropia oricât de mult de L, dacă x este suficient de aproape de a. În multe cazuri, valoarea acestei limite se evaluează calculând f(a), dacă acesta există. Definiţia 4.2. Fie o funcţie f D R şi a R un punct de acumulare al lui D. Spunem că f are limita la stânga L când x tinde către a şi scriem lim f(x) = L x a dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 (depinzând de ε) astfel încât δ < x a < 0 f(x) L < ε. Definiţia 4.3. Fie o funcţie f D R şi a R un punct de acumulare al lui D. Spunem că f are limita la dreapta L când x tinde către a şi scriem lim f(x) = L x a dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 (depinzând de ε) astfel încât 0 < x a < δ f(x) L < ε. 39

40 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE Teorema 4.1. O funcţie are limita L în punctul a dacă şi numai dacă există ambele limite laterale în a şi sunt egale cu L: lim x a f(x) = L lim f(x) = lim f(x) = L x a x a Teorema 4.2. O funcţie f D R monotonă pe D are limite laterale în orice punct de acumulare al mulţimii D. Următoarea teoremă ajută la calculul limitelor multor tipuri de funcţii atunci când sunt cunoscute cateva limite elementare: Teorema 4.3. Dacă lim x a f(x) = L şi lim x a g(x) = M, iar α este o constantă reală, atunci: 1. lim x a [f(x) + g(x)] = L + M 2. lim x a [f(x) g(x)] = L M 3. lim x a f(x)g(x) = LM 4. lim x a αf(x) = αl f(x) 5. lim x a g(x) = L M dacă M 0 6. lim x a [f(x)] α = L α atunci când ridicarea la putere este posibilă 7. dacă f(x) g(x) pe un interval care îl conţine pe a în interior, atunci L M. Teorema 4.4. Fie P (x) şi Q(x) două funcţii polinomiale şi a R astfel încât Q(a) 0. Atunci: a) lim x a P (x) = P (a) b) lim x a P (x) Q(x) = P (a) Q(a). Teorema 4.5 (teorema cleştelui). Fie funcţiile f, g, h cu proprietatea că f(x) g(x) h(x) pentru orice x într-un interval deschis conţinându-l pe a (eventual mai puţin chiar în x = a). Dacă lim x a atunci de asemenea lim x a g(x) = L. f(x) = lim h(x) = L, x a

4.2. LIMITE LA INFINIT ŞI LIMITE INFINITE 41 4.2 Limite la infinit şi limite infinite Definiţia 4.4. Fie o funcţie f D R, unde D conţine un interval nemărginit la dreapta. Spunem că f are limita L când x tinde către infinit şi scriem lim f(x) = L x dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 (depinzând de ε) astfel încât x > δ f(x) L < ε. Cu alte cuvinte, f(x) se poate apropia oricât de mult de L, dacă x este suficient de mare. În mod similar se defineşte şi limita unei funcţii către : Definiţia 4.5. Fie o funcţie f D R, unde D conţine un interval nemărginit la stânga. Spunem că f are limita L când x tinde către şi scriem lim f(x) = L x dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 (depinzând de ε) astfel încât x < δ f(x) L < ε. Există funcţii ale căror valori pot creşte (sau scade) arbitrar de mult în vecinătatea unui punct (sau la infinit). În astfel de situaţii spunem că funcţia are limita infinit (sau ) în punctul respectiv (sau la infinit). Pentru a obţine o definiţie formală, nu avem decât să înlocuim in definiţiile anterioare f(x) L < ε cu f(x) > ε (respectiv f(x) < ε). Teorema 4.6. Fie f D R, a R un punct de acumulare pentru D şi L R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. lim x a f(x) = L 2. pentru orice vecinătate U a lui L, există o vecinătate V a lui a astfel încât oricare ar fi x V D, x a să avem f(x) U; 3. pentru orice şir x n D, x n a să avem Proprietăţi: lim x n = a lim f(x n ) = L. n n

42 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE 1. Dacă o funcţie f D R are limită în a D, atunci această limită este unică; 2. Dacă lim x a f(x) = L, atunci lim x a f(x) = L ; 3. Dacă funcţiile f, g D R coincid pe o vecinătate a lui a (cu excepţia lui a) şi dacă una dintre ele are limită în a, atunci şi cealaltă funcţie are limită în a, şi limitele sunt egale. 4. Dacă funcţiile f, g, h D R au limită în a şi dacă există o vecinătate V a lui a astfel încât să avem f(x) g(x) h(x) pentru orice x V D, x a, atunci lim x a f(x) lim g(x) lim h(x). x a x a 5. Dacă funcţia f D R are limită în a şi dacă lim x a f(x) > α, atunci există o vecinătate V a lui a astfel încât să avem f(x) > α pentru orice x V D, x a. 6. Dacă funcţia f D R are limită în a şi dacă lim x a f(x) < β, atunci există o vecinătate V a lui a astfel încât să avem f(x) < β pentru orice x V D, x a. 7. Dacă funcţia f D R are limită finită în a şi dacă α < lim x a f(x) < β, atunci există o vecinătate V a lui a astfel încât să avem α < f(x) < β pentru orice x V D, x a. 8. Dacă funcţia f D R are limită finită în a, atunci există o vecinătate V a lui a pe care funcţia f este mărginită. 9. Dacă f, g D R au limite în a şi dacă lim f(x) < lim g(x), atunci x a x a există o vecinătate V a lui a astfel încât f(x) < g(x) pentru orice x V D, x a. Teorema 4.7. Fie P (x) = a m x m + + a 1 x + a 0 şi Q(x) = b n x n + + b 1 x + b 0 două funcţii polinomiale de grade m, respectiv n. Atunci limita (a) 0, dacă m < n; P (x) lim x ± Q(x) este: (b) am b n dacă m = n; (c) ± dacă m > n, semnul fiind dat de semnul raportului am b n lui m n. şi de paritatea

4.3. ASIMPTOTE 43 4.3 Asimptote Definiţia 4.6. Spunem că graficul funcţiei f are asimptota verticală x = a dacă sau ambele. lim x a f(x) = ± sau lim f(x) = ± x a Definiţia 4.7. Spunem că graficul funcţiei f are asimptota orizontală y = L dacă sau ambele. lim f(x) = L sau lim f(x) = L x x Definiţia 4.8. Spunem că graficul funcţiei f are asimptota oblică y = mx + n dacă sau ambele. lim x [f(x) mx n] = 0 sau lim [f(x) mx n] = 0 x În cazul în care există, valorile lui m şi n se calculează ca fiind m = lim x ± 4.4 Limite fundamentale f(x) x, n = lim [f(x) mx] x ± Teorema 4.8. Există următoarele limite fundamentale: sin x 1. lim x 0 x = lim tg x x 0 x = lim arcsin x arctg x = lim = 1 x 0 x x 0 x ln(x + 1) 2. lim = 1 x 0 x a 3. lim x 1 = ln a x 0 x (1 + x) 4. lim a 1 = a x 0 x

44 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE 4.5 Continuitate Definiţia 4.9. Fie f D R şi a D. Se spune că funcţia f este continuă în punctul a dacă pentru orice vecinătate U a lui f(a), există o vecinătate V a lui a astfel încât oricare ar fi x V D să avem f(x) U. Se mai spune că a este punct de continuitate al lui f. Observaţii: ˆ problema continuităţii nu are sens în punctele în care funcţia nu este definită (în particular în ± ); ˆ punctul a D dar nu este în mod necesar punct de acumulare pentru D, ci poate fi şi punct izolat al lui D. Teorema 4.9. O funcţie f D R este continuă în orice punct izolat al domeniului de definiţie. Teorema 4.10. O funcţie f D R este continuă într-un punct de acumulare a D dacă şi numai dacă funcţia are limită în a şi aceasta este egală cu f(a): lim f(x) = f(a). x a Limita unei funcţii într-un punct poate fi infinită. Dacă însă funcţia este continuă în acel punct, limita este finită. Teorema 4.11. Fie o funcţie f D R şi a D. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. f este continuă în a 2. pentru orice şir x n a, x n D, avem f(x n ) f(a) 3. pentru orice ε > 0, există δ > 0 astfel încât x D cu x a < δ, să avem f(x) f(a) < ε 4. pentru orice vecinătate U a lui f(a), există δ > 0 astfel încât x D cu x a < δ, să avem f(x) U 5. pentru orice ε > 0, există o vecinătate V a lui a astfel încât x V D, să avem f(x) f(a) < ε Definiţia 4.10. Fie f D R. Spunem că f este continuă pe D dacă este continuă în orice a D.

4.5. CONTINUITATE 45 Alte exemple de funcţii continue: funcţiile polinomiale, rationale, exponentiale, logaritmice, trigonometrice sunt continue pe domeniile pe care sunt definite. Definiţia 4.11. Fie f D R şi a D. Spunem că 1. f este continuă la stânga în a dacă lim f(x) = f(a) x a 2. f este continuă la dreapta în a dacă lim f(x) = f(a) x a Teorema 4.12. O funcţie este continuă într-un punct dacă şi numai dacă este continuă la stânga şi la dreapta în acel punct. Definiţia 4.12. Fie f D R şi a D. 1. dacă f nu este continuă în a, spunem că f este discontinuă în a, iar a se numeşte punct de discontinuitate al lui f; 2. un punct de discontinuitate a al funcţiei f se numeşte punct de discontinuitate de prima speţă dacă funcţia are limite laterale finite în a; 3. un punct de discontinuitate a al funcţiei f se numeşte punct de discontinuitate de speţa a doua dacă cel puţin una din limitele laterale nu există sau este infinită. Teorema 4.13. Dacă funcţia f D {a} R are limita finită L în a, atunci funcţia f(x), x a f D R, f(x) = L, x = a este continuă în a. Funcţia f se numeşte prelungirea prin continuitate a funcţiei f în punctul a. Teorema 4.14. Fie f, g D R două funcţii ocntinue în a D şi α R. Atunci şi funcţiile: f f + g, f g, fg, αf, g, f α sunt continue în a (în cazul în care acestea sunt bine definite în a).

46 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE Teorema 4.15. Fie funcţiile f A B, g B R şi a A. Dacă f este continuă în a, iar g este continuă în f(a), atunci şi g f este continuă în a. Proprietăţi ale funcţiilor continue 1. dacă funcţia f D R este continuă în a D (sau pe D), atunci funcţia f este continuă în a (sau pe D) 2. dacă funcţiile f, g D R este continue în a D (sau pe D), atunci funcţiile min(f, g) şi max(f, g) sunt continue în a (sau pe D) 3. dacă funcţia f D R este continuă în a D şi dacă α < f(a) < β, atunci există o vecinătate V a lui a astfel încât să avem α < f(x) < β pentru orice x V D 4. dacă funcţia f D R este continuă în a D şi dacă f(a) 0, atunci există o vecinătate V a lui a astfel încât f(x) 0 pentru orice x V D 5. dacă funcţia f D R este continuă în a D şi dacă în orice vecinătate V a lui a există puncte în care f ia valori negative şi puncte în care f ia valori pozitive, atunci f(a) = 0 6. dacă funcţia f D R este continuă în a D, atunci pentru orice ε > 0, există o vecinătate V a lui a astfel încât oricare ar fi punctele x, x V D să avem f(x ) f(x ) < ε Teorema 4.16. Dacă funcţia f este continuă pe un interval I, atunci oricare ar fi punctele a, b I, a < b şi oricare ar fi numărul λ între f(a) şi f(b), există cel puţin un punct c λ [a, b] astfel încât f(c λ ) = λ. Definiţia 4.13. Spunem că o funcţie f definită pe un interval I are proprietatea lui Darboux dacă oricare ar fi punctele a, b I, a < b şi oricare ar fi numărul λ între f(a) şi f(b), există cel puţin un punct c λ [a, b] astfel încât f(c λ ) = λ. Proprietăţi ale funcţiilor cu proprietatea Darboux 1. Orice funcţie continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux 2. Fie funcţia f I R şi a < b două puncte din I. Dacă f are proprietatea lui Darboux şi dacă f(a)f(b) < 0, atunci există cel puţin un punct în (a, b) în care funcţia se anulează 3. Dacă funcţia f I R are proprietatea lui Darboux şi nu se anulează în niciun punct din I, atunci funcţia păstrează acelaşi semn pe tot intervalul I

4.5. CONTINUITATE 47 4. O funcţie care are proprietatea lui Darboux duce un interval tot într-un interval Teorema 4.17. Dacă funcţia f I R are proprietatea lui Darboux şi este injectivă, atunci f este strict monotonă. Corolar 4.5.1. Dacă funcţia f I R este continuă şi injectivă pe I, atunci f este strict monotonă. Teorema 4.18. Dacă funcţia f I R are proprietatea lui Darboux şi dacă există una dintre limitele laterale într-un punct a I, atunci aceasta este egală cu f(a). O funcţie cu proprietatea Darboux nu are discontinuităţi de prima speţă. Teorema 4.19 (Weierstrass). Fie o funcţie f [a, b] R continuă. Atunci există x 1, x 2 [a, b] astfel încât f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [a, b]. m = f(x 1 ) se numeşte valoare minimă a lui f, iar M = f(x 2 ) se numeşte valoare maximă a lui f. O astfel de funcţie, care are proprietatea că C > 0 astfel încât f(x) < C se numeşte mărginită. Aşadar, o funcţie continuă definită pe un interval compact (închis şi mărginit), este mărginită şi îşi atinge marginile. Problemele de maxim şi minim apar foarte des în aplicaţii practice. Teorema anterioară arată existenţa maximului şi minimului unei funcţii, insă nu spune nimic despre cum putem găsi aceste valori, lucru care va fi însă posibil cu ajutorul instrumentelor date de calculul diferenţial. Definiţia 4.14. O funcţie f D R este uniform continuă pe D dacă oricare ar fi ε > 0, există δ > 0 astfel încât oricare ar fi x, x D cu x x < δ, să avem f(x ) f(x ) < ε. Orice funcţie uniform continuă este continuă. Teorema 4.20. O funcţie continuă pe o mulţime compactă este uniform continuă pe această mulţime.

48 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE 4.6 Exerciţii 1. (a) Folosind definiţia cu ε si δ să se arate că lim(2x + 1) = 6. x 5 2 R: Pentru ε > 0 arbitrar, avem f(x) 6 < ε x 5 2 < ε 2, deci pentru δ ε = ε 2 definiţia este verificată. (b) Fie funcţia f R R, f(x) = x x, x 0. Să se arate că f nu are limită în x = 0. R: Presupunem că există l = lim x 0 f(x). Atunci pentru ε = 1 2, există δ ε > 0 astfel încât f(x) l < 1 2, x ( δ ε, δ ε ). Insâ pentru x 1 = δε 2 şi x 2 = δε 2 obţinem 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) l + f(x 2 ) l < 1 2 + 1 2 = 1, deci presupunerea făcută este falsă. 2. (a) Să se analizeze dacă următoarea funcţie are limită în punctele indicate: x f R R, f(x) = 2 x, x Q 2, x R Q, a 1 = 2, a 2 = 1, a 3 = 3. R: Fie şirurile x n Q şi y n R Q, ambele convergente către a. a 2 a = lim xn a f(x n) = lim x a f(x) = lim yn a f(y n) = 2, deci funcţia are limită doar în a 1 = 2. (b) Să se determine constanta α R pentru care următoarea funcţie are limită în punctul indicat: f ( 1 e 2, 2] R, f(x) = α2 2αx ln(xe) + x 2, x ( 1 e 2, 1) α + x 2, x [1, 2], a = 1. R: α 1 = f(1 0) = f(1 + 0) = α + 1 2 α = 1 4. 3. (a) Să se calculeze lim (2 + sin x) ln x. x R: lim (2 + sin x) ln x lim ln x = +. x x (b) Fie f R R cu proprietatea f(x) x x 2, x R. Să se arate că lim f(x) = 0. x 0 R: Se trece la limită în inegalitatea x 2 + x f(x) x 2 + x.

4.6. EXERCIŢII 49 4. Să se calculeze limitele: 1 lim x 0 x, lim 1 x 0 x, lim x 0 1 x 2, 1 lim x x, lim 2x 2 x + 3 x ± 3x 2 + 5, lim x ± 5. Să se calculeze limitele: lim x ± (3x3 x 2 + 2), 5x + 2 2x 3 1, 1 cos x cos 2x... cos nx (a) lim x 0 x 2 n n 1 cos kx k R: L = lim = 2 x 0 k=1 x 2 k=1 2 ln[1 + tg(x + 1)] (b) lim x 1 ln[1 + arcsin3(x + 1)] ln(1 + tgy) R: L = lim y 0 1 3. ln(1 + arcsin3y) = 1 3 lim y 0 ( x 1)( 3 x 1)... ( n x 1) (c) lim x 1 (x 1) n 1 n (1 + y) 1 k 1 R: L = lim = 1 y 0 y n! k=2 (d) lim ( ax 1 + ax 2 + + ax sin x n ), ai > 0 x 0 n x R: L = exp (lim x 0 sin x (e) lim x x x 0 1 lim x ± (x4 5x 3 x), lim x 3 + 1 x ± x 2 + 1, lim x n(n + 1)(2n + 1) =. 12 [ln(1 + tgy) tgy a x 1 + + ax n n ) = exp ( 1 nx n R: L = e lim x ln x x 0 = e lim ln y y y = 1 (f) lim x 1 x x lim x R: L = e ln x x = 1. 6. Sa se determine asimptotele urmatoarelor functii: (a) f(x) = x x 2 5x+4 x x2 + 1 arcsin3y ln(1 + arcsin3y) n i=1 tgy y ln a i ) = n a 1... a n R: y = 0 asimptota orizontala spre ±, x = 1, x = 4 asimptote verticale la stanga si la dreapta. 3y arcsin3y ] =

50 CAPITOLUL 4. LIMITE ŞI CONTINUITATE (b) f(x) = x2 x+5 R: y = x 5 asimptota oblica spre ±, x = 5 asimptota verticala la stanga si la dreapta. 1 (c) x 2 x, x 4 + x 2 x 4 + 1, x 2 + 1 x. 7. Să se studieze continuitatea funcţiilor 1 x, x, [x] pe domeniile lor de definiţie. e 1 (x 2) 8. (a) Să se studieze continuitatea funcţiei f R R, f(x) = 2, x 2 0, x = 2 în a = 2. R: f(2 0) = f(2 + 0) = f(2), deci funcţia este continuă în 2. (b) Să se determine valoarea parametrului real α pentru care funcţia (1 + αx) 1 x, x > 0 f R R, f(x) = este continuă în a = 0. x + e, x 0 R: e = f(0 0) = f(0) = f(0 + 0) = e α α = 1 (c) Să se studieze continuitatea laterală pentru funcţia f R R, 2 x 1 1 x 1 f(x) =, x < 1 în punctul a = 1. ln(1 + x), x 1 R: f(1 0) = f(1) = f(1 + 0) = ln 2, deci funcţia este continuă în 1. 9. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos au proprietatea lui Darboux: sin x x (a) f R R, f(x) =, x 0 1, x = 0 R: Da, deoarece f este continuă. (b) f [ 1, 1] R, f(x) = x [x] R: Nu. Fie a = 1 2 şi b = 1 4. Pentru λ = 1 3 între f(a) şi f(b), nu există c între a şi b astfel încât f(c) = λ. x, x Q (c) f R R, f(x) = x 3, x R Q R: Nu. Fie a = 8 şi b = 10. Pentru λ = 27 între f(a) şi f(b), nu există c între a şi b astfel încât f(c) = λ.

Capitolul 5 Derivabilitate 5.1 Funcţii derivabile 5.1.1 Definiţia derivatei. Derivate laterale Definiţia 5.1. Fie o funcţie f I R, unde I este un interval şi a I. Se numeşte derivată a funcţiei f în a, limita f (a) = lim x a f(x) f(a) x a dacă aceasta există. Dacă limita de mai sus este finită, spunem că f este derivabilă în a. Teorema 5.1. Dacă funcţia f I R este derivabilă în a I, atunci este continuă în a. Derivata unei funcţii intr-un punct, dacă există, este egală cu panta tangentei la graficul funcţiei în acel punct. Aşadar, derivata ne dă o măsură a vitezei cu care creşte (sau scade) funcţia în vecinătatea acelui punct. Definiţia 5.2. Fie f I R şi a I. Se numeşte derivată la stânga (respectiv la dreapta) limita f s(a) f(x) f(a) = lim (respectiv f x a d (a) = lim x a x a f(x) f(a) ) x a dacă aceasta există. Dacă limita este finită, spunem că f este derivabilă la stânga (respectiv la dreapta) în a. Teorema 5.2. Fie f I R şi un punct interior a I. Atunci f are derivată în a dacă şi numai dacă există ambele derivate laterale în a şi sunt egale. 51

52 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE Definiţia 5.3. 1. Dacă f I R are derivate laterale diferite în a I şi cel puţin una dintre ele este finită, atunci punctul M(a, f(a)) se numeşte punct unghiular al graficului; 2. Dacă una din derivatele laterale în a este + iar cealaltă, atunci punctul M(a, f(a)) se numeşte punct de întoarcere al graficului. Definiţia 5.4. Spunem că funcţia f I R este derivabilă pe I dacă este derivabilă în orice a I. Observaţie 1. Dacă funcţia f I R este derivabilă pe I, atunci f este continuă pe I. Definiţia 5.5. Fie f I R derivabilă. Funcţia f I R care asociază fiecărui punct x I valoarea derivatei f (x) se numeşte funcţia derivată a lui f. 5.1.2 Derivatele funcţiilor elementare Teorema 5.3. Următoarele funcţii sunt derivabile şi au următoarele derivate: 1. f R R, f(x) = c, c R; f (x) = 0, x R; 2. f R R, f(x) = x; f (x) = 1, x R; 3. f R R, f(x) = x n, n N; f (x) = nx n 1, x R; 4. f (0, ) R, f(x) = x; f (x) = 1 2, x (0, ); x 5. f R {0} R, f(x) = 1 x ; f (x) = 1 x 2, x 0; 6. f (0, ) R, f(x) = x α, α R; f (x) = αx α 1, x (0, ); 7. f R (0, ), f(x) = e x ; f (x) = e x, x R; 8. f R (0, ), f(x) = a x, a > 0; f (x) = a x ln a, x R; 9. f (0, ) R, f(x) = ln x; f (x) = 1 x, x > 0; 10. f (0, ) R, f(x) = log a x, a > 0, a 1; f (x) = 1 x ln a, x > 0; 11. f R R, f(x) = sin x; f (x) = cos x, x R; 12. f R R, f(x) = cos x; f (x) = sin x, x R; 13. f R {(2k + 1) π 2 } R, f(x) = tg x; f (x) = 1 cos 2 x, x (2k + 1) π 2 ;

5.1. FUNCŢII DERIVABILE 53 14. f [ 1, 1] [ π 2, π] 2, f(x) = arcsin x; f 1 (x) = 1 x, x ( 1, 1); 2 15. f [ 1, 1] [0, π], f(x) = arccos x; f (x) = 1 1 x, x ( 1, 1); 2 16. f R ( π 2, π 2 ), f(x) = arctg x; f (x) = 1 1+x 2, x R; 5.1.3 Operaţii cu funcţii derivabile Teorema 5.4. Fie funcţiile f, g I R derivabile şi α R. Atunci şi funcţiile f ±g, (αf), fg, f/g (pentru g(x) 0) sunt derivabile, iar derivatele lor sunt date de: (f ± g) = f ± g (αf) = αf (fg) = f g + fg ( f g ) = f g fg g 2. Teorema 5.5. Fie funcţiile f I J şi g J R derivabile. Atunci şi funcţia compusă g f I R este derivabilă, iar derivata ei este dată prin: (g f) (x) = g (f(x)) f (x), x I. Teorema 5.6. Fie funcţia f I J strict monotonă şi derivabilă. Atunci există funcţia inversă f 1 J I, este derivabilă, iar derivata ei este dată de: (f 1 ) 1 (y) =, y J. f (f 1 (y)) Aplicaţii: 1. Să se găsească valorile a, b R pentru care funcţia ax + b, x < 0 f R R, f(x) = 2 sin x + 3 cos x, x 0 2. Să se calculeze derivatele funcţiilor: (a) f(x) = 3 3 x 2 2 x 3 (b) f(x) = x (5 x x2 3 ) (c) f(x) = x5 3+x 6 (4+x 2 ) 3

54 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE (d) f(x) = sin x 1+cos x 3. Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie ale axei Ox cu tangentele la graficul funcţiei f(x) = x+1 x 3 care formează unghiul 3π 4 cu axa Ox; 5.2 Aplicaţii ale derivabilităţii 5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie Definiţia 5.6. Fie funcţia f I R şi a I. Spunem că a este un punct de minim (respectiv maxim) local dacă există o vecinătate V a lui a astfel încât f(x) f(a)(respectiv f(x) f(a)), x V I. (5.1) Dacă a este punct de maxim sau minim local al funcţiei f, atunci spunem ca este punct de extrem local al lui f. Dacă una dintre inegalităţile de la (5.1) are loc pentru orice x I, spunem ca este un punct de extrem global al lui f. Teorema 5.7 (Fermat). Fie f I R şi a un punct de extrem local din interiorul lui I. Dacă f are derivată în a, atunci aceasta este nulă: f (a) = 0. Un punct în care derivata funcţiei f se anulează se numeşte punct staţionar (sau critic) al lui f. Reciproca teoremei lui Fermat nu este însă valabilă, în sensul că nu orice punct critic este şi punct de extrem. Teorema 5.8 (Rolle). Fie o funcţie f I R şi două puncte a, b I, a < b. Dacă sunt indeplinite condiţiile: 1. f este continuă pe [a, b]; 2. f este derivabilă pe (a, b); 3. f(a) = f(b), atunci există cel puţin un punct c (a, b) în care derivata se anulează: f (c) = 0. Teorema 5.9 (Lagrange). Fie o funcţie f I R şi două puncte a, b I, a < b. Dacă sunt indeplinite condiţiile:

5.2. APLICAŢII ALE DERIVABILITĂŢII 55 1. f este continuă pe [a, b]; 2. f este derivabilă pe (a, b); atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât să avem: f(b) f(a) b a = f (c) (5.2) Teorema lui Lagrange este o generalizare a teoremei lui Rolle. Formula (5.2) poartă numele de formula creşterilor finite. Observaţii ˆ Teorema lui Lagrange rămâne adevărată dacă se presupune că funcţia f are derivată finită sau infinită pe intervalul deschis; ˆ Punctul intermediar c din formula creşterilor finite depinde atât de funcţia f cât şi de punctele a şi b; ˆ Dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct (cu excepţia eventual a extremităţilor), există cel puţin un punct pe grafic (care nu coincide cu extremităţile), în care tangenta este paralelă cu coarda care uneşte extremităţile. O altă aplicaţie a derivabilităţii, consecinţă a teoremei lui Lagrange, este stabilirea monotoniei unei funcţii: Teorema 5.10. Fie f I R o funcţie derivabilă pe I, unde I este un interval deschis. Atunci avem: 1. dacă f (x) = 0, x I, atunci f este constantă pe I; 2. dacă f (x) > 0, x I, atunci f este strict crescătoare pe I; 3. dacă f (x) < 0, x I, atunci f este strict descrescătoare pe I; 4. dacă f este crescătoare pe I, atunci f (x) 0, x I; 5. dacă f este descrescătoare pe I, atunci f (x) 0, x I. Aşadar studiind semnul derivatei unei funcţii putem trage concluzii asupra punctelor de extrem si a monotoniei acestei funcţii. Teorema 5.11. Dacă f este continuă pe I, derivabilă pe I {x 0 } şi dacă derivata sa f are limită finită sau infinită în punctul x 0, atunci f (x 0 ) există şi f (x 0 ) = lim x x0 f (x 0 ).

56 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE Teorema 5.12. Dacă f are derivată mărginită pe intervalul I, atunci f este uniform continuă pe I. Teorema 5.13. Dacă f este derivabilă pe un interval I, atunci derivata sa f are proprietatea lui Darboux pe acest interval. Următoarea teoremă este o generalizare a teoremei lui Lagrange: Teorema 5.14 (Cauchy). Fie funcţiile f, g I R şi două puncte a, b I, a < b. Dacă sunt indeplinite condiţiile: 1. f şi g sunt continue pe [a, b]; 2. f şi g sunt derivabile pe (a, b); 3. g (x) 0, x (a, b); atunci g(a) g(b) şi există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât să avem: f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). (5.3) Aplicaţie: Folosind rezultatele anterioare referitoare la puncte de extrem şi monotonie, să se schiţeze graficele funcţiilor: 1. f [ 2, 2] R, f(x) = x 4 2x 2 3 2. f R R, f(x) = xe x2 3. f R {0} R, f(x) = x2 +2x+4 2x 4. f R { 2, 2} R, f(x) = x2 1 x 2 4 O altă aplicaţie a derivabilităţii este în calculul unor limite pentru cazurile de nedeterminare 0 0 şi. Teorema 5.15 (Regula lui l Hospital pentru cazul 0 0 ). Fie două funcţii f, g I R derivabile şi c un punct de acumulare al lui I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1. g (x) 0, x I; 2. lim x c f(x) = lim x c g(x) = 0; f 3. există limita lim (x) = L, finită sau infinită; x c g (x)

5.2. APLICAŢII ALE DERIVABILITĂŢII 57 atunci f(x) lim x c g(x) = L. Teorema 5.16 (Regula lui l Hospital pentru cazul ). Fie două funcţii f, g I R derivabile şi c un punct de acumulare al lui I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1. g (x) 0, x I; 2. lim x c g(x) = ± ; f 3. există limita lim (x) = L, finită sau infinită; x c g (x) atunci Observaţii f(x) lim x c g(x) = L. ˆ Regulile lui l Hospital se pot aplica de mai multe ori ˆ Pentru a reduce volumul de calcul este indicat să se combine regulile lui l Hospital cu limitele fundamentale şi cu operaţiile cu limite de funcţii. ˆ în cazul 0 se poate aplica regula lui l Hospital pentru f g = f 1 g ˆ în cazul se poate aplica regula lui l Hospital pentru f g = 1 g 1 f 1 fg ˆ în cazurile 0 0, 0, 1 se poate aplica regula lui l Hospital pentru f g = e g ln f Aplicaţie: Folosind regulile l Hospital, să se calculeze limitele: ln x 1. lim x 1 x 2 1 2 sin x sin 2x 2. lim x 0 2e x x 2 2x 2 x 3. lim 2 x e x 4. lim x 0 x a ln x, unde a > 0 5. lim x (1 + sin 3 x ) x

58 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE 5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor Definiţia 5.7. Fie f I R o funcţie derivabilă. Dacă funcţia derivată f I R este la rândul ei derivabilă pe I, derivata acesteia se numeşte derivata a doua a lui f şi se notează cu f. În mod similar se pot defini derivatele de ordin 3, 4, şi in general derivata de ordin n, notată prin f (n). Aplicaţie: Să se găsească derivatele de ordinul n ale funcţiilor: f(x) = 1 ; g(x) = sin(ax + b). 1 + x Multe probleme inginereşti sunt prea dificile pentru a putea fi rezolvate exact, motiv pentru care în multe situaţii se optează pentru soluţii aproximative cu o toleranţă acceptabilă. O altă aplicaţie a derivatelor este în găsirea unor aproximări polinomiale pentru o funcţie în vecinătatea unui punct dat. Definiţia 5.8. Fie f I R şi a I. Se numeşte linearizare a funcţiei f în vecinătatea lui a, funcţia de gradul 1 definită prin P 1 (x) = f(a) + f (a)(x a) Graficul linearizării în a este de fapt chiar tangenta la graficul funcţiei f în punctul corespunzător lui a. Aşadar, P 1 (x) descrie comportamentul lui f(x) în vecinătatea lui a mai bine decât orice altă funcţie de gradul 1. Aplicaţii: 1. Să se găsească linearizările funcţiilor 1 + x în jurul lui 0 şi 1 x în jurul lui 1 2. 2. Folosind linearizarea lui x în jurul lui 25, să se găsească o valoare aproximativă a lui 26. Dacă funcţia f I R admite derivate de ordin superior în vecinătatea lui a I, atunci putem găsi aproximări mai bune pentru f în vecinătatea lui a, folosind polinoame de grad superior (2,3,...). Astfel, aproximarea de ordinul 2 P 2 (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 2 descrie comportamentul lui f în vecinătatea lui a mai bine decât aproximarea de ordinul 1 (linearizarea) şi decât orice altă funcţie polinomială de gradul 2. Pe cazul general, dacă f admite derivate de ordin n pe un interval deschis conţinându-l pe a, atunci polinomul P n (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) 2! (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n (5.4) n!

5.2. APLICAŢII ALE DERIVABILITĂŢII 59 are proprietatea că derivatele lui calculate în a sunt egale cu cele ale funcţiei f în a: P n (a) = f(a), P n(a) = f (a),..., P n (n) (a) = f (n) (a) şi în consecinţă descrie comportamentul lui f în vecinătatea lui a mai bine decât orice alt polinom de grad n. Polinomul definit de (5.4) se numeşte polinom Taylor de grad n al lui f în a. Aplicaţie: Să se găsească polinomul Taylor de ordinul n corespunzător funcţiei e x în vecinătatea lui 0, şi cu ajutorul acestuia să se aproximeze numărul e. Teorema 5.17 (Formula lui Taylor). Fie f I R o funcţie derivabilă de n + 1 ori şi a I. Atunci pentru orice x I avem: f(x) = f(a) + f (a) (x a) + + f (n) (a) (x a) n + f (n+1 (ξ) (x a)n+1 1! n! (n + 1)! P n(x) E n(x) unde ξ este un număr între a şi x. Cantitatea E n (x) se numeşte restul lui Lagrange şi ne dă o măsură a erorii aproximarii cu ajutorul polinomului Taylor de ordinul n: E n (x) = f(x) P n (x) Teorema 5.18. Fie f I R o funcţie derivabilă de n ori, n 2 într-un a I, astfel încât Atunci: f (a) = 0, f (a) = 0,..., f (n 1) (a) = 0, f (n) (a) 0. 1. Dacă n este par, atunci a este punct de extrem al lui f; dacă f (n) (a) > 0 atunci a este punct de minim, iar dacă f (n) (a) < 0, atunci a este punct de maxim. 2. Dacă n este impar, iar a este punct interior intervalului I, atunci a nu este punct de extrem al funcţiei f. Definiţia 5.9. 1. Funcţia f se numeşte convexă pe intervalul I dacă tangenta dusă în orice punct al graficului se află sub grafic. 2. Funcţia f se numeşte concavă pe intervalul I dacă tangenta dusă în orice punct al graficului se află deasupra graficului.

60 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE Teorema 5.19. Fie f I R o funcţie de două ori derivabilă pe intervalul I. 1. Dacă f (x) 0, x I, atunci funcţia f este convexă pe I. 2. Dacă f (x) 0, x I, atunci funcţia f este concavă pe I. Definiţia 5.10. Se spune că punctul interior x 0 I este punct de inflexiune al funcţiei f dacă funcţia are derivată (finită sau infinită) în punctul x 0, şi dacă funcţia este convexă de o parte a lui x 0 şi concavă de cealaltă parte a lui x 0. Teorema 5.20. Fie f I R şi x 0 I. Dacă f este de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui x 0 şi dacă există α, β V cu x 0 (α, β) astfel încât: (a) f (x 0 ) = 0 (b) f < 0 pe (α, x 0 ) şi f > 0 pe (x 0, β) sau invers, atunci x 0 este punct de inflexiune pentru f. 5.3 Diferenţiale Definiţia 5.11. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul x 0 I, dacă există un număr finit A R şi o funcţie α definită pe I, continuă în x 0 şi nulă în x 0, astfel încât pentru orice x I să avem f(x) f(x 0 ) = A(x x 0 ) + α(x)(x x 0 ). Dacă funcţia este diferenţiabilă în fiecare punct din I, spunem că este diferenţiabilă pe I. Teorema 5.21. Funcţia f este diferenţiabilă într-un punct x 0 I dacă şi numai dacă este derivabilă în x 0. Definiţia 5.12. Fie f I R derivabilă în x 0 I. Funcţia df(x 0 ) R R, df(x 0 )(h) = f (x 0 )h se numeşte diferenţiala funcţiei f în x 0. Diferenţiala df(x 0 ) aproximează diferenţa f(x 0 + h) f(x 0 ) pentru h suficient de mic. Aplicaţie: Să se calculeze diferenţiala functiei f(x) = x 2 + 1+ln x 2 + 1 în punctul x = 1.

5.4. EXERCIŢII 61 5.4 Exerciţii 1. (a) Să se studieze derivabilitatea următoarei funcţii în punctul indicat: R: f s(1) = f d (1) = f R R, f(x) = 3 x 1, x 0 = 1; (b) Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie ale axei Ox cu tangentele la graficul funcţiei f(x) = x+1 x 3, care formează unghiul 3π 4 cu axa Ox. R: Rezolvând ecuaţia f (x) = tg ( 3π) 4 obţinem x 1 = 1 şi x 2 = 5, corespunzătoare tangentelor y = x şi y = x+8, care intersectează axa Ox în punctele de abscise 0 şi 8. 2. (a) Să se stabilească dacă următoarele funcţii au derivate şi dacă sunt derivabile în punctele indicate: f R R, f(x) = x 2 5x + 6, x 0 = 1, x 0 = 2, x 0 = 3; e g R R, g(x) = x 1, x < 0, x 0 = 0. ln(1 + x), x 0 R: f (1) = 3, f s(2) = f s(3) = 1, f d (2) = f d (3) = 1, g s(0) = g d (0) = 1. (b) Să se arate că A(1, 0) si B( 1, 0) sunt puncte de întoarcere pentru graficul funcţiei f R R, f(x) = x 2 1 R: f s( 1) = f s(1) =, f d ( 1) = f d (1) = + (c) Să se determine punctele de derivabilitate ale funcţiei x f R R, f(x) = 3 x 2, x Q 0, x R Q R: f este continuă în 0 şi 1, şi derivabilă doar în 0. 3. Să se calculeze derivatele funcţiilor: (a) f(x) = 3 3 x 2 2 x 3 (b) f(x) = x (5 x x2 3 )

62 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE (c) f(x) = x5 3+x 6 (4+x 2 ) 3 (d) f(x) = sin x 1+cos x 4. (a) Fie funcţiile g, h R R, g(x) = x 2 + 3x + 2, h(x) = x 2. Să se calculeze derivata funcţiei f = h g. R: f (x) = 2(x 2 + 3x + 2)(2x + 3). (b) Fie funcţia f R R, f(x) = x 3 + 2x 2 + 4x + 4. Să se arate că f este bijectivă, (f 1 ) (4) = 1 4 şi că (f 1 ) (y) > 0, y R. R: f (x) = 3x 2 + 4x + 4 > 0 x R, deci f este strict crescătoare. Cum lim x ± f(x) = ±, rezultă că f este bijectivă. (f 1 ) (4) = (f 1 ) (f(0)) = 1 f (0) = 1 4 y R, x R astfel încât f(x) = y, de unde (f 1 ) (y) = 1 f (x) > 0. 5. (a) Dacă a, b, c > 0, a x + b x + c x 3, x R, atunci abc = 1. R: x = 0 este punct de minim al funcţiei f(x) = a x + b x + c x ; (b) Dacă a i > 0, i = 1, n şi n i=1 a x i n i=1 a i, x R, atunci n i=1 a a i i = 1. R: x = 1 este punct de minim al funcţiei f(x) = n i=1 a x i. 6. (a) Să se determine abscisa unui punct c în care tangenta la graficul x+2 funcţiei f R R, f(x) = 2, x 0 să fie paralelă la x + 1, x > 0 coarda care uneşte punctele de abscise x 1 = 4, x 2 = 3. 1 R: f este derivabilă pe R, cu f 2 (x) =, x 0 1 2, x > 0. Se rezolvă x+1 ecuaţia f (c) = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 şi se găseşte c = 13 36. (b) Să se determine a, b R astfel încât funcţiei e f [ 1, 1] R, f(x) = x, x [ 1, 0] ax + b, x (0, 1] să i se poată aplica teorema lui Lagrange şi să se aplice efectiv teorema. R: Punând condiţiile de continuitate şi derivabilitate în 0 obţinem a = b = 1, iar apoi rezolvând ecuaţia f (c) = f(1) f( 1) 2 obţinem c = ln (1 1 ). 2e 7. Aplicând teorema lui Lagrange, să se demonstreze că arctgx > x, x > 0. 1 + x2

5.4. EXERCIŢII 63 8. Folosind monotonia unor funcţii alese convenabil să se demonstreze inegalităţile: (a) 2x 3 + 3x 2 12x + 7 > 0, x > 1 R: Se studiază cu ajutorul derivatei monotonia funcţiei f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 7 pe (1, ); (b) ln x x 1, x > 0. R: Se studiază cu ajutorul derivatei monotonia funcţiei f(x) = ln x x + 1 pe (0, ). 9. Se consideră funcţia f [ 1, 1] R, f (x) = x 2 + mx + n, x [ 1, 0] px 2 + 4x + 4, x (0, 1], m, n, p R. Să se determine parametrii m, n, p a.î. f să satisfacă condiţiile de aplicabilitate ale teoremei lui Rolle pe [ 1, 1] şi să se aplice efectiv această teoremă. R: m = n = 4; p = 7 10. Să se aplice teorema lui Cauchy următoarelor perechi de funcţii pe intervalele specificate, determinând de fiecare dată punctele c: x + 3, x [ 2, 1] (a) f (x) = x + 7, g (x) = x, x [ 2, 5], x (1, 5] 4 R: c = 1 16 (b) f (x) = ln x, g (x) = e, x [1, e] x R: c = e e 1 11. Folosind regula lui l Hospital să se calculeze limitele: (a) lim x 1 sin 2 (x 1) x 3 x 2 x + 1 R: 1 2 (b) lim x (c) lim x 0 ln 3 x x 3 + 2x 2 5 R: 0 x sin x x 2 2x R: 1 3 (d) lim x 0 x arctg x x(1 cos x) R: 2 3

64 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE x sin 2x (e) lim x 0 ln(1 + x 2 ) R: 2 (f) lim x 0 e x2 1 x 3 sin 2 ; R:1 x (g) lim x x [(1 + 1 x ) x e]; R: e 2 (h) lim x 0 ( 1 x 2 ctg2 x); R: 2 3 (i) lim x 0 [ln(x + 1)] x ; R: 1 (j) lim x (1 + x) 1 x ; R: 1

Capitolul 6 Şiruri şi serii de funcţii 6.1 Şiruri de funcţii. Convergenţă Definiţia 6.1. O familie de funcţii (f n ) n N definite pe o aceeaşi mulţime A se numeşte şir de funcţii şi se notează (f n ). Definiţia 6.2. Un punct a A se numeşte punct de convergenţă al şirului de funcţii (f n ) dacă şirul numeric (f n (a)) este convergent. Mulţimea punctelor de convergenţă ale şirului de funcţii se numeşte mulţimea de convergenţă a şirului. Fie (f n ) un şir de funcţii definite pe A şi fie B mulţimea de convergenţă a şirului de funcţii. Definiţia 6.3. Funcţia f(x) definită prin f(x) = lim n f n (x), x B se numeşte funcţie limită pe mulţimea B a şirului de funcţii (f n ). Definiţia 6.4. Spunem că şirul de funcţii (f n ) este simplu convergent (sau punctual convergent) pe A către f dacă pentru orice x A, şirul numeric (f n (x)) este convergent către numărul f(x): x A, ε > 0, N(ε, x) astfel încât f n (x) f(x) < ε n N(ε, x). Scriem f n s f. Definiţia 6.5. Spunem că şirul de funcţii (f n ) este uniform convergent pe A către f dacă: ε > 0, N(ε) astfel încât f n (x) f(x) < ε n N(ε), x A. Scriem f n u f. 65

66 CAPITOLUL 6. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Teorema 6.1 (Criteriul de convergenţă uniformă a lui Cauchy). Şirul de funcţii (f n ) este uniform convergent către o funcţie f dacă şi numai dacă ε > 0, N(ε) astfel încât f n (x) f m (x) < ε, n, m N(ε), x A. Teorema 6.2 (Criteriul majorării). Fie (f n ) şi (ϕ n ) două şiruri de funcţii definite pe A şi f o funcţie definită pe A. Dacă avem şi dacă ϕ n u 0, atunci fn u f. f n (x) f(x) ϕ n (x), n N, x A Corolar 6.1.1. Fie (f n ) un şir de funcţii definite pe o mulţime A şi f o funcţie definită pe A. Dacă există un şir (a n ) de numere pozitive convergent către 0 astfel încât atunci f n u f. f n (x) f(x) a n, n N, x A Teorema 6.3. Fie (f n ) un şir de funcţii uniform convergent pe mulţimea A către funcţia f. Dacă toate funcţiile f n sunt continue într-un punct a A, atunci şi funcţia limită f este continuă în punctul a. Corolar 6.1.2. Un şir (f n ) de funcţii continue pe A, uniform convergent pe A, are limita o funcţie continuă pe A. Teorema 6.4. Fie (f n ) un şir de funcţii definite şi derivabile pe un interval I, uniform convergent către f pe I. Dacă şirul derivatelor (f n) este uniform convergent către o funcţie g pe I, atunci f este derivabilă pe I şi f = g. Teorema 6.5. Fie I un interval mărginit şi (f n ) un şir de funcţii derivabile pe I. Dacă: 1. şirul (f n ) este convergent într-un punct x 0 I 2. şirul derivatelor (f n) este uniform convergent pe I către o funcţie g atunci (i) şirul (f n ) este uniform convergent pe I către o funcţie f (ii) limita f este derivabilă şi f = g

6.2. SERII DE FUNCŢII. CONVERGENŢĂ 67 6.2 Serii de funcţii. Convergenţă Definiţia 6.6. Suma infinită f 1 + f 2 + + f n +... unde (f n ) este un şir de funcţii definite pe aceeaşi mulţime A, se numeşte serie de funcţii şi se notează f n sau f n. Mulţimea punctelor a A pentru care seria f n n=1 este convergentă se numeşte mulţime de convergenţă a seriei de funcţii. Observaţie: Seria f n este convergentă în punctul a A dacă şi numai dacă şirul de funcţii al sumelor parţiale S n = f 1 + + f n este convergent în a. Definiţia 6.7. Fie (f n ) un şir de funcţii definite pe aceeaşi mulţime A şi f o funcţie definită pe o submulţime B A. 1. Spunem că seria de funcţii f n este simplu convergentă pe B către funcţia f dacă şirul sumelor parţiale (S n ) este simplu convergent către funcţia f pentru orice x B 2. Spunem că seria de funcţii f n este uniform convergentă pe B către funcţia f dacă şirul sumelor parţiale (S n ) este uniform convergent către funcţia f pe mulţimea B Funcţia f se numeşte suma seriei pe mulţimea B. Teorema 6.6 (Criteriul lui Cauchy de convergenţă uniformă). O serie de funcţii f n definite pe A este uniform convergentă pe A dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există N(ε) N astfel încât oricare ar fi n N(ε) şi p 1 să avem f n+1 (x) + f n+2 (x) + + f n+p (x) < ε, x A Teorema 6.7. Fie f n şi ϕ n două serii de funcţii definite pe A. Dacă avem f n (x) ϕ n (x), n N, x A iar seria ϕ n este uniform convergentă pe A, atunci şi seria f n este uniform convergentă pe A. Corolar 6.2.1. Fie f n o serie de funcţii definite pe A şi a n o serie convergentă de numere pozitive. Dacă avem f n (x) a n, n N, x A atunci seria f n este uniform convergentă pe A.

68 CAPITOLUL 6. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Teorema 6.8 (Criteriul lui Dirichlet). Fie f n o serie de funcţii definite pe A şi şirul de funcţii (α n (x)). Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1. f n are şirul sumelor parţiale (S n ) egal mărginite pe A: M > 0 astfel încât S n (x) M, x A 2. (α n (x)) este monoton descrescător şi uniform convergent la funcţia nulă pe A atunci seria de funcţii α n f n este uniform convergentă pe A. Teorema 6.9 (Criteriul lui Abel). Fie f n o serie de funcţii definite pe A şi şirul de funcţii (α n (x)). Dacă sunt îndeplinite condiţiile: 1. f n este uniform convergentă pe A 2. (α n (x)) este monoton descrescător şi egal mărginit pe A atunci seria de funcţii α n f n este uniform convergentă pe A. Teorema 6.10. Fie f n o serie de funcţii uniform convergentă pe mulţimea A către funcţia f. Dacă toate funcţiile f n sunt continue într-un punct a A, atunci şi funcţia sumă f este continuă în punctul a. Corolar 6.2.2. O serie f n de funcţii continue pe A, uniform convergentă pe A, are suma o funcţie continuă pe A. Teorema 6.11. Fie f n o serie de funcţii derivabile pe un interval I, uniform convergentă către f pe I. Dacă seria derivatelor f n este uniform convergentă către o funcţie g pe I, atunci f este derivabilă pe I şi f = g. Teorema 6.12. Fie I un interval mărginit şi f n o serie de funcţii derivabile pe I. Dacă: 1. seria f n este convergentă într-un punct x 0 I 2. seria derivatelor f n este uniform convergentă pe I către o funcţie g atunci (i) seria f n este uniform convergentă pe I către o funcţie f (ii) limita f este derivabilă şi f = g Teorema 6.13. Dacă A este mulţimea de convergenţă a seriei f n şi f suma acestei serii, iar B este mulţimea de convergenţă a seriei g n şi g suma sa, atunci: 1. Seria sumă (f n + g n ) este convergentă pe A B şi are suma f + g 2. Seria αf n este convergentă pe A şi are suma αf.

6.3. SERII DE PUTERI 69 6.3 Serii de puteri Definiţia 6.8. 1. Se numeşte serie de puteri o serie de funcţii de forma n=0 a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n +... pentru x R, iar a 1, a 2,..., a n,... constante reale. (a n ) n N se numesc coeficienţii seriei de puteri. Termenii şirului 2. Se numeşte serie de puteri centrată în a o serie de forma n=0 a n (x a) n. Un exemplu de serie de puteri este seria geometrică n=0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 +... care este convergentă pentru orice x ( 1, 1), având suma 1 1 x. Dacă într-o serie de puteri centrată în a facem schimbarea de variabilă x a = y obţinem o serie de forma a n y n. De aceea ne vom ocupa numai de serii de forma a n x n. Teorema 6.14 (Teorema lui Abel). Fie seria de puteri există 0 R + astfel încât : 1. seria este absolut convergentă pe intervalul ( R, R); 2. pentru orice x cu x > R, seria este divergentă; n=0 a n x n. Atunci 3. pentru orice 0 < r < R, seria este uniform convergentă pe intervalul [ r, r] Numărul R se numeşte rază de convergenţă a seriei, iar intervalul ( R, R) se numeşte intervalul de convergenţă al seriei de puteri. Pentru o serie de puteri n=0 a n (x a) n cu raza de convergenţă R, intervalul de convergenţă este (a R, a + R). Teorema 6.15 (Cauchy-Hadamard). Raza de convergenţă a unei serii de puteri n=0 a n x n este R = 1 L, unde L = lim a n+1 sau L = lim n a n. n n Dacă L = atunci R = 0, iar dacă L = 0 atunci R =. a n

70 CAPITOLUL 6. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Definiţia 6.9. Fie f I R şi a I astfel încât f are derivate de orice ordin în a. Atunci seria de puteri n=0 f (n) (a) n! (x a) n = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a) (x a) 2 +... 2! se numeşte seria Taylor asociată funcţiei f în punctul a. Dacă a = 0, atunci seria Taylor corespunzătoare n=0 f (n) (0) x n n! se numeşte seria MacLaurin asociată lui f. Seria are o rază de convergenţă 0 R +, o mulţime de convergenţă A care conţine cel puţin punctul a, şi un interval de convergenţă (a R, a+r) A. Sumele parţiale P n (x) ale seriei Taylor sunt chiar polinoamele Taylor de ordinul n corespunzătoare funcţiei f I R în vecinătatea lui a I. Atunci conform formulei lui Taylor avem: unde E n (x) este restul lui Lagrange. f(x) = P n (x) + E n (x), x I Teorema 6.16. Fie f I R şi a I astfel încât f are derivate de orice ordin în a. Atunci seria Taylor a funcţiei f în punctul a este convergentă într-un punct x A I către valoarea f(x) dacă şi numai dacă valorile în x ale resturilor E n (x) din formula lui Taylor formează un şir convergent către 0. Demonstraţie. Avem: f(x) = P n (x) + E n (x), x I, n N de unde obţinem prin trecere la limită: f(x) = lim n P n (x) + lim n E n (x), x A I aşadar lim n P n(x) = f(x) lim n E n (x) = 0, x A I

6.4. EXERCIŢII 71 6.4 Exerciţii 1. Să se afle mulţimea de convergenţă a seriilor: (a) n=1 ( n+1 n )n2 x n (b) n=1 2 4 6...(2n) 3 5 7...(2n+1) xn 2. Să se dezvolte in serie de puteri funcţiile: (a) 1 1+x (b) 1 1 x (c) 1 1+x 2 (d) arctgx 3. Să se dezvolte în serie de puteri funcţia (1 + x) α, α R N. 4. Să se dezvolte în serie MacLaurin funcţiile: (a) f R R, f(x) = e x ; R: n=0 1 n! xn (b) f R [ 1, 1], f(x) = sin x; R: n=0 ( 1) n (2n+1)! x2n+1 (c) f R [ 1, 1], f(x) = cos x; R: n=0 ( 1) n (2n)! x2n (d) f ( 1, ) R, f(x) = ln(1 + x). R: n=1 x n ( 1) n+1 n 5. Să se dezvolte în serie de puteri, determinând şi mulţimea de convergenţă, următoarele funcţii: (a) x + a 2, a 0; R: f(x) = a + x 2 a + n 1 1 2...(2n 3) n=2( 1) 2 n n! a x n, x [ a 2, a 2 ] 2n 1 (b) 1 1 x+x 2 ; R: f(x) = n=0( 1) n (x 3n +x 3n+1 ) = 2 3 n=0 sin (n+1)π 3 x n, x ( 1, 1) (c) cos 2 x; R: f(x) = 1 2 + n=0( 1) n 2 2n 1 (2n)! x2n, x R (d) 12 5x 6 5x x 2. R: f(x) = n=0 [1 + ( 1 6 )n ] x n

72 CAPITOLUL 6. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 6. Să se determine suma următoarelor serii de puteri: (a) n=0 x4n (4n)! ; R: 1 [ 1 2 2 (ex + e x ) + cos x] (b) n=0(n + 1)x n. R: 1 (1 x) 2, x ( 1, 1) 7. Să se calculeze suma următoarelor serii numerice: (a) n=0 R: e 1 2 n n! ; (b) n=1 2n 1 2 n. R: 3 8. Folosind dezvoltarea în serie MacLaurin, să se calculeze R: 1 12 x 2 lim (cos x e 2.) x4 x 0 1

Capitolul 7 Funcţii de mai multe variabile 7.1 Spaţiul R n Definiţia 7.1. Mulţimea R n = R R R se numeşte spaţiul cu n dimensiuni iar elementele sale x = (x 1, x 2,..., x n ) se numesc puncte. Valo- n ori rile x 1, x 2,..., x n se numesc coordonatele punctului x. Mulţimea R n este un spaţiu vectorial faţă de adunarea şi înmulţirea cu scalari: a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) λa = (λa 1, λa 2,..., λa n ) Punctele a R n se mai numesc şi vectori, iar coordonatele a i se numesc componentele vectorului a. Vectorii e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0, 0,..., 1) formează baza canonică în R n, aşadar pentru a = (a 1, a 2,..., a n ) R n avem a = n i=1 În spaţiul R 3, vectorii bazei canonice e 1, e 2, e 3 se pot identifica cu versorii axelor Ox, Oy, Oz: i, j, k iar pentru a R 3 avem. a i e i a = a1 i + a2 j + a3 k 73

74 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Definiţia 7.2. Fie vectorii a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) R n. Produsul scalar al vectorilor a şi b este numărul Proprietăţi: a, b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n 1. a, a = a 2 1 + a2 2 + + a2 n 0 şi a, a = 0 a = 0 2. a, b = b, a (comutativitate) 3. a, b + c = a, b + a, c, a + b, c = a, c + b, c (distributivitate) 4. λ a, b = λa, b = a, λb (omogenitate) 5. a, b 2 a, a b, b (inegalitatea Cauchy-Schwarz) Vectorii bazei canonice e 1, e 2,..., e n verifică: 1, i = j e i, e j = δ ij = 0, i j (simbolul lui Kronecker) Definiţia 7.3. Fie vectorul a = (a 1, a 2,..., a n ) R n. Se numeşte norma vectorului a numărul real pozitiv Proprietăţi: 1. a 0, a = 0 a = 0 2. λa = λ a 3. a + b a + b a = a, a = a 2 1 + a2 2 + + α2 n Definiţia 7.4. Un spaţiu vectorial pe care s-a definit o normă cu proprietăţile de mai sus se numeşte spaţiu vectorial normat. Definiţia 7.5. Fie punctele a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) R n. Se numeşte distanţa dintre punctele a şi b numărul real pozitiv d(a, b) = a b = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + + (a n b n ) 2 Proprietăţi: 1. d(a, b) 0, d(a, b) = 0 a = b

7.1. SPAŢIUL R N 75 2. d(a, b) = d(b, a) 3. d(a, b) d(a, c) + d(c, b) Definiţia 7.6. O funcţie reală care asociază unei perechi de puncte a, b numărul real d(a, b) cu proprietăţile de mai sus se numeşte metrică sau distanţă. Un spaţiu pe care s-a definit o metrică se numeşte spaţiu metric. Definiţia 7.7. Se numeşte sferă deschisă cu centrul în a şi de rază r mulţimea S r (a) = {x R n x a < r} formată din punctele x a căror distanţă până la punctul a este mai mică decât r. Definiţia 7.8. Se numeşte vecinătate a unui punct a R n orice mulţime care include o sferă deschisă S r (a) cu centrul în a. Fie A o submulţime a lui R n şi a R n. Definiţia 7.9. Spunem că a este punct interior al mulţimii A dacă există o vecinătate V a punctului a conţinută în A. Mulţimea punctelor interioare se numeşte interiorul mulţimii şi se notează cu IntA sau Å. O mulţime formată numai din puncte interioare se numeşte mulţime deschisă. Definiţia 7.10. Spunem că a este punct aderent al mulţimii A dacă pentru orice vecinătate V a punctului a avem V A. Mulţimea punctelor aderente se numeşte aderenţa mulţimii şi se notează cu Ā. Se numeşte mulţime închisă o mulţime care îşi conţine toate punctele aderente, adică este egală cu închiderea sa. Definiţia 7.11. Spunem că a este punct frontieră al mulţimii A dacă pentru orice vecinătate V a punctului a conţine atât puncte ale lui A, cât şi puncte ale complementarei C A, adică este punct aderent atât pentru A cât şi pentru complementara C A. Mulţimea tuturor punctelor frontieră ale lui A se numeşte frontiera lui A şi se notează cu FrA. Definiţia 7.12. Spunem că a este punct de acumulare al mulţimii A dacă orice vecinătate V a punctului a conţine cel puţin un punct x A, x a. Punctele din A care nu sunt puncte de acumulare se numesc puncte izolate. O mulţime A este închisă dacă şi numai dacă îşi conţine toate punctele de acumulare.

76 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Definiţia 7.13. Spunem că o mulţime A este mărginită dacă există o sferă S r (0) cu centrul în origine care include mulţimea A, adică x r, x A. O mulţime închisă şi mărginită se numeşte mulţime compactă. Teorema 7.1 (Weierstrass-Bolzano). Orice mulţime mărginită şi infinită are cel puţin un punct de acumulare. Teorema 7.2 (Borel-Lebesgue). Din orice acoperire cu mulţimi deschise a unei mulţimi compacte A R n se poate extrage o acoperire finită a lui A. Definiţia 7.14. O mulţime A R n se numeşte conexă dacă oricum am descompune-o în două submulţimi A 1 şi A 2 disjuncte şi nevide, oricare din mulţimile A 1 şi A 2 are cel puţin un punct de acumulare în cealaltă. O mulţime deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Într-un domeniu D, oricare ar fi punctele a, b D, există o linie poligonală L D care uneşte punctele a şi b. 7.2 Şiruri de puncte în spaţiul R n Definiţia 7.15. Se numeşte şir de puncte din spaţiul R n o funcţie f N R n. Se notează (a p ) p N sau (a p ). Definiţia 7.16. Un punct a R n se numeşte limita şirului de puncte (a p ) din R n dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui a se află cel mult un număr finit de termeni ai şirului. Se scrie lim a p = a. Un şir de puncte care are p limită se numeşte convergent. Teorema 7.3. Un punct a R n este limita unui şir (a p ) de puncte din R n dacă pentru orice ε > 0, există un număr N ε astfel încât pentru orice p > N ε să avem a p a < ε. Proprietăţi ale şirurilor convergente 1. Un şir convergent are o singură limită. 2. Orice şir convergent este mărginit. 3. Prin schimbarea ordinii termenilor unui şir convergent se obţine un şir convergent către aceeaşi limită. 4. Dacă la un şir convergent se adaugă sau se scoate un număr finit de termeni, şirul obţinut este convergent şi are aceeaşi limită.

7.3. FUNCŢII REALE ŞI FUNCŢII VECTORIALE PE R N 77 Teorema 7.4. Un şir de puncte (a p ) din R n este convergent cu limita a R n dacă şi numai dacă pentru fiecare i = 1, 2,..., n şirul coordonatelor (a pi ) are limita a i. Definiţia 7.17. Un şir de puncte (a p ) se numeşte şir fundamental dacă pentru orice ε > 0, există N ε N astfel încât oricare ar fi m N ε şi p N ε să avem a m a p < ε. Teorema 7.5 (Criteriul general al lui Cauchy). Un şir (a p ) de puncte din R n este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Definiţia 7.18. 1. Un spaţiu metric în care fiecare şir fundamental este convergent se numeşte spaţiu complet. 2. Un spaţiu normat complet se numeşte spaţiu Banach. 3. Un spaţiu Banach în care norma se poate deduce dintr-un produs scalar se numeşte spaţiu Hilbert 4. Un spaţiu Hilbert cu n dimensiuni se numeşte euclidian n-dimensional Teorema 7.6 (Lema lui Cesaro). Orice şir mărginit de puncte din R n conţine cel puţin un subşir convergent. 7.3 Funcţii reale şi funcţii vectoriale pe R n Definiţia 7.19. O funcţie f E R n R m se numeşte funcţie vectorială de variabilă vectorială sau funcţie vectorială de n variabile reale. Valorile funcţiei se scriu astfel: f(x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) Funcţiile f i (x), i = 1, 2,..., m se numesc componentele reale ale funcţiei vectoriale f. În cazul m = 1, funcţia se numeşte funcţie reală de variabilă vectorială sau funcţie reală de n variabile reale Definiţia 7.20. 1. Fie funcţia f I R R 2, f(t) = (f 1 (t), f 2 (t)). Mulţimea punctelor din plan (f 1 (t), f 2 (t)), t I împreună cu o reprezentare x = f 1 (t) parametrică, t I se numeşte curbă plană. Se mai scrie y = f 2 (t) f (t) = f1 (t) i + f 2 (t) j, t I.

78 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 2. Fie funcţia f I R R 3, f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)). Mulţimea punctelor din spaţiu (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)), t I împreună cu o reprezentare x = f 1 (t) parametrică y = f 2 (t), t I se numeşte curbă în spaţiu sau z = f 3 (t) curbă strâmbă. Se mai scrie f (t) = f 1 (t) i +f 2 (t) j +f 3 (t) k, t I. 3. Fie funcţia f I R 2 R 3, f(u, v) = (f 1 (u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)). Mulţimea punctelor din spaţiu (f 1 (u, v), f 2 (u, v), f 3 (u, v)), (u, v) I x = f 1 (u, v) împreună cu o reprezentare parametrică y = f 2 (u, v), (u, v) I se z = f 3 (u, v) numeşte suprafaţă. Se mai scrie f (u, v) = f 1 (u, v) i + f 2 (u, v) j + f 3 (u, v) k, (u, v) I. Mai multe parametrizări parametrice diferite pot defini aceeaşi curbă (plană sau în spaţiu) sau aceeaşi suprafaţă. Definiţia 7.21. Funcţia f I R 3 J R 3, f(x, y, z) = (f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)) se numeşte câmp vectorial definit pe I. Se mai scrie f ( r ) = f 1 (x, y, z) i + f 2 (x, y, z) j +f 3 (x, y, z) k, unde r = x i +y j +z k este vectorul de poziţie X = f 1 (x, y, z) al punctului M(x, y, z). Se mai spune că ecuaţiile Y = f 2 (x, y, z), (x, y, z) Z = f 3 (x, y, z) I realizează o transformare punctuală în spaţiu. Analog se defineşte câmpul vectorial şi transformarea punctuală în plan. Operaţii cu funcţii vectoriale Fie f, g E R n R m şi α R. 1. Funcţiile f + g, αf E R m definite astfel: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α f(x) 2. Produsul funcţiei f cu o funcţie reală ϕ E R este o funcţie ϕf E R m, (ϕf)(x) = ϕ(x)f(x)

7.4. LIMITE ŞI CONTINUITATE PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE79 3. Funcţia reală f, g E R definită prin f, g (x) = f(x), g(x) = 4. Funcţia f R R + definită prin m i=1 f (x) = f(x) f i (x)g i (x) Pentru două funcţii f E R n F R m şi g F R m R p, putem defini funcţia compusă g f E R p, dată prin: g(f(x)) = (g 1 (f(x)), g 2 (f(x)),..., g p (f(x))) = (g 1 (f 1 (x),..., f m (x)),..., g p (f 1 (x),..., f m (x))) Definiţia 7.22. Spunem că funcţia f E R n R m este mărginită dacă mulţimea valorilor f(e) = {f(x) x E} R m este mărginită. Funcţia f E R m este mărginită dacă şi numai dacă există M > 0 astfel încât f(x) M, x E. Funcţia vectorială f este mărginită dacă şi numai dacă toate componentele sale reale f 1, f 2,..., f m sunt mărginite. Astfel studiul funcţiilor vectoriale mărginite se reduce la studiul funcţiilor reale mărginite. 7.4 Limite şi continuitate pentru funcţii de mai multe variabile Fie funcţia f E R n R m şi a un punct de acumulare pentru E. Definiţia 7.23. Spunem că l R m este limita funcţiei f în punctul a dacă pentru orice vecinătate U a lui l în R m există o vecinătate V a lui a în R n astfel încât oricare ar fi x V E, x a să avem f(x) U. Se scrie f(x) = l. lim x a Teorema 7.7. 1. lim x a f(x) = l dacă şi numai dacă x k a, x k E, x k a, avem f(x k ) l

80 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 2. lim x a f(x) = l dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi x a din E cu x a < δ ε, să avem f(x) l < ε. Toate proprietăţile limitelor de funcţii reale, care nu implică relaţia de ordine, se păstrează şi pentru funcţii vectoriale. Teorema 7.8. Fie funcţia f E R n R m şi f 1, f 2,..., f m E R m componentele sale reale. Atunci lim f(x) = l = (l 1, l 2,..., l m ) dacă şi numai x a dacă lim f i (x) = l i, i = 1, 2,..., m. x a Definiţia 7.24. Limitele funcţiei f(x 1, x 2,..., x n ) când x i tind succesiv la a i se numesc limite iterate: l i1 i 2...i n = lim x i1 a i1 lim... lim f(x 1, x 2,..., x n ) x i2 a i2 x in a in unde i 1, i 2,..., i n reprezintă o permutare a numerelor 1, 2,..., n. Teorema 7.9. Dacă există limita funcţiei într-un punct şi una din limitele iterate, atunci aceste limite sunt egale. Fie funcţia f E R n R m şi un punct a E. Definiţia 7.25. Spunem că funcţia f este continuă în punctul a dacă pentru orice vecinătate U a lui f(a) există o vecinătate V a lui a astfel încât oricare ar fi x V E să avem f(x) U. Aşadar funcţia f este continuă în punctul a dacă şi numai dacă lim x a f(x) = f(a). Alte definiţii echivalente sunt: Teorema 7.10. dacă 1. Funcţia f este continuă în punctul a dacă şi numai x k a, x k E, x k a, avem f(x k ) f(a) 2. Funcţia f este continuă în punctul a dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi x E cu x a < δ ε, să avem f(x) f(a) < ε. Proprietăţile funcţiilor reale continue, care nu implică relaţia de ordine, rămân valabile şi pentru funcţii vectoriale continue. Teorema 7.11. Funcţia vectorială f E R n R m este continuă într-un punct a E dacă şi numai dacă fiecare din componentele sale reale f 1, f 2,..., f m E R este continuă în a.

7.4. LIMITE ŞI CONTINUITATE PENTRU FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE81 Definiţia 7.26. Fie o funcţie vectorială f E R n R m şi a = (a 1, a 2,..., a n ) un punct din E. Se numeşte funcţie parţială de o singură variabilă o funcţie f i E i R R m, f i (x i ) = f(a 1, a 2,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) unde mulţimea E i = {x i R (a 1, a 2,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) E}. Definiţia 7.27. Spunem că funcţia f este continuă parţial în raport cu variabila x i în punctul a = (a 1, a 2,..., a n ) dacă funcţia parţială f i este continuă în punctul a i E i. Teorema 7.12. Dacă funcţia f este continuă într-un punct a, atunci este continuă în acest punct în raport cu fiecare variabilă. Definiţia 7.28. Funcţia f este uniform continuă pe E dacă pentru orice număr ε > 0 există δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi punctele x, x E cu x x < δ ε, să avem f(x ) f(x ) < ε. Observaţii: 1. O funcţie vectorială este uniform continuă dacă şi numai dacă toate componentele sale reale sunt uniform continue; 2. Dacă o funcţie este uniform continuă, atunci este uniform continuă în raport cu fiecare variabilă, pentru valori fixate ale celorlalte variabile. Proprietăţi: 1. O funcţie vectorială continuă pe o mulţime compactă este uniform continuă 2. O funcţie vectorială continuă pe o mulţime compactă este mărginită 3. O funcţie vectorială continuă transformă o mulţime compactă tot într-o mulţime compactă 4. O funcţie reală de n variabile, continuă pe o mulţime compactă îşi atinge marginile pe această mulţime 5. Dacă f este o funcţie vectorială continuă pe o mulţime compactă E, atunci există un punct x M E astfel încât f(x M ) = sup f(x) x E

82 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 7.5 Derivate parţiale. Diferenţiabilitate Fie I un interval de numere reale şi funcţia vectorială f I R n având componentele reale f 1, f 2,..., f n. Definiţia 7.29. Funcţia f este derivabilă într-un punct a I dacă există f(x) f(a) limita lim. Această limită se numeşte derivata funcţiei în a şi x a x a se notează cu f (a). Dacă f este derivabilă în fiecare punct din I, spunem că f este derivabilă pe I. Teorema 7.13. Funcţia f este derivabilă în punctul a I dacă şi numai dacă toate componentele sale reale f 1, f 2,..., f n sunt derivabile în a. În acest caz avem f (a) = (f 1 (a), f 2 (a),..., f n(a)). Proprietăţile şi operaţiile funcţiilor reale derivabile, în care nu este implicată relaţia de ordine, ramân adevărate. Teorema 7.14 (Teorema creşterilor finite pentru funcţii vectoriale). Fie f I R n o funcţie şi a < b două puncte din I. Dacă: 1. f este continuă pe intervalul închis [a, b]; 2. f este derivabilă pe intervalul deschis (a, b) atunci f(b) f(a) (b a) sup f (x) a x b Definiţia 7.30. Fie f E R n R o funcţie reală de n variabile reale definită pe mulţimea E R n şi a = (a 1, a 2,..., a n ) un punct interior al lui E. Funcţia f este derivabilă parţial în punctul a în raport cu variabila x k dacă f(a 1, a 2,..., a k 1, x k, a k+1,..., a n ) f(a) lim x k a k x k a k există şi este finită. Valoarea acestei limite se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu x k şi se notează cu f x f k (a), x k (a) sau D xk f(a). Dacă funcţia reală f(x 1, x 2,..., x n ) este derivabilă în raport cu x k în punctul a = (a 1, a 2,..., a n ), atunci f este continuă parţial în raport cu x k în punctul a. Regulile de derivare stabilite pentru funcţii de o variabilă se menţin şi pentru derivarea parţială.

7.5. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIABILITATE 83 Definiţia 7.31. Fie f E R n R m, f = (f 1, f 2,..., f m ) o funcţie vectorială de variabilă vectorială x = (x 1, x 2,..., x n ). Funcţia este derivabilă parţial în punctul a = (a 1, a 2,..., a n ) în raport cu x k dacă toate componentele sale f i, i = 1, 2,..., m au această proprietate. Vectorul derivata parţială a funcţiei f în raport cu x k în punctul a, notat cu f x k (a) este definit de şi are componentele f(a 1, a 2,..., a k 1, x k, a k+1,..., a n ) f(a) lim x k a k x k a k f 1 x k (a), f 2 x k (a),..., f m x k (a) Fie funcţia f E R 2 R şi (a, b) un punct interior al lui E. Definiţia 7.32. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (a, b) dacă există numerele reale λ R şi µ R şi o funcţie ω E R continuă în (a, b) şi nulă în acest punct, adică lim ω(x, y) = ω(a, b) = 0 (x,y) (a,b) astfel încât pentru orice punct (x, y) E să avem egalitatea f(x, y) f(a, b) = λ(x a) + µ(y b) + ω(x, y) (x a) 2 + (y b) 2. Teorema 7.15. Dacă funcţia f este diferenţiabilă în punctul (a, b), atunci f are derivate parţiale în (a, b) şi f x(a, b) = λ, f y(a, b) = µ Egalitatea din definiţia diferenţiabilităţii se rescrie atunci astfel: f(x, y) f(a, b) = f x(a, b)(x a) + f y(a, b)(y b) + ω(x, y)ρ. unde ρ = (x a) 2 + (y b) 2. Proprietăţi: 1. Dacă f este diferenţiabilă pe E, atunci are derivate parţiale f x şi f y pe E. 2. Dacă f este diferenţiabilă în punctul (a, b), atunci este continuă în acest punct.

84 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE 3. Dacă f este diferenţiabilă pe E, atunci este continuă pe E. 4. Dacă f are derivate parţiale f x şi f y într-o vecinătate V a lui (a, b) şi dacă aceste derivate parţiale sunt continue în (a, b), atunci f este diferenţiabilă în (a, b). 5. Dacă derivatele parţiale f x şi f y există şi sunt continue pe E, atunci f este diferenţiabilă pe E. Definiţia 7.33. Fie f E R 2 R o funcţie diferenţiabilă într-un punct interior (a, b) E. Se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul (a, b) următoarea funcţie liniară: df(a, b)(u, v) = f x(a, b)u + f y(a, b)v. Dacă notăm cu dx şi dy diferenţialele funcţiilor ϕ(x, y) = x şi ψ(x, y) = y, obţinem: df = f f dx + x y dy Definiţia 7.34. Fie f E R 3 R şi (a, b, c) un punct interior al lui E. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul (a, b, c) dacă există numerele reale λ, µ, ν R şi o funcţie ω E R continuă în (a, b, c) şi nulă în acest punct, adică lim ω(x, y, z) = ω(a, b, c) = 0 (x,y,z) (a,b,c) astfel încât pentru orice punct (x, y, z) E să avem egalitatea f(x, y, z) f(a, b, c) = λ(x a) + µ(y b) + ν(y b) + ω(x, y, z)ρ unde ρ = (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2. Definiţia 7.35. Fie f E R 3 R o funcţie diferenţiabilă într-un punct interior (a, b, c) E. Se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul (a, b, c) următoarea funcţie liniară: df(a, b, c)(u, v, w) = f x(a, b, c)u + f y(a, b, c)v + f z(a, b, c)w. Dacă notăm cu dx, dy şi dz diferenţialele funcţiilor ϕ(x, y, z) = x, ψ(x, y, z) = y şi θ(x, y, z) = z, obţinem: df = f f f dx + dy + x y z dz

7.5. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIABILITATE 85 Definiţia 7.36. Fie f E R n R şi a = (a 1, a 2,..., a n ) un punct interior al lui E. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul a dacă există numerele reale λ i R şi o funcţie ω E R cu lim ω(x 1, x 2,..., x n ) = ω(a 1, a 2,..., a n ) = 0 x a astfel încât pentru orice punct x E să avem egalitatea f(x 1, x 2,..., x n ) f(a 1, a 2,..., a n ) = unde ρ = n i=1(x i a i ) 2. n i=1 λ i (x i a i ) + ω(x 1, x 2,..., x n )ρ Definiţia 7.37. Fie f E R 3 R o funcţie diferenţiabilă într-un punct interior a = (a 1, a 2,..., a n ) E. Se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul a următoarea funcţie liniară: df(a)(u) = n f (a)u i. i=1 x i Dacă notăm cu dx i diferenţialele funcţiilor ϕ i (x 1, x 2,..., x n ) = x i, obţinem: df = n f dx i i=1 x i Definiţia 7.38. Fie f E R n R m o funcţie vectorială de n variabile. Spunem că funcţia f este diferenţiabilă în punctul interior a E dacă toate componentele sale reale sunt diferenţiabile în a. Definiţia 7.39. Fie f E R n R m. Diferenţiala funcţiei în punctul interior a E se defineşte prin df(a)(u) = n f (a)u i i=1 x i Definiţia 7.40. Dacă există derivatele parţiale ale funcţiilor f x(x, y), f y(x, y), ele se numesc derivate parţiale de ordinul doi ale funcţiei f şi se notează f x 2 = (f x) x = x ( f x ) = 2 f x 2 f xy = (f x) y = y ( f x ) = 2 f y x f yx = (f y) x = x ( f y ) = 2 f x y f y 2 = (f y) y = y ( f y ) = 2 f y 2 Funcţiile f xy, f yx se numesc derivate partiale mixte de ordinul doi.

86 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Observaţii 1. O funcţie de trei variabile poate avea nouă derivate parţiale de ordinul doi f, f x xy, f xz, f yx, f, f 2 y yz, f zx, f zy, f. 2 z 2 2. O funcţie de n variabile f(x 1, x 2,..., x n ) poate avea n derivate parţiale de ordinul întâi şi n 2 derivate parţiale de ordinul doi. 3. Se definesc în mod asemănător derivatele parţiale de ordinul trei, ca fiind derivatele parţiale ale derivatelor parţiale de ordinul doi, şi similar se definesc derivatele parţiale de un ordin oarecare. Teorema 7.16 (Criteriul lui Schwartz). Dacă funcţia f(x, y) are derivate parţiale mixte de ordinul doi într-o vecinătate V a lui (x, y) E şi dacă f xy este continuă în (x, y), atunci f xy = f yx. Teorema 7.17 (Criteriul lui Young). Dacă funcţia f E R 2 R are derivate parţiale mixte de ordinul întâi f x şi f y într-o vecinătate V a lui (a, b) E şi dacă f x şi f y sunt diferenţiabile în (a, b), atunci derivatele parţiale mixte de ordinul doi există în (a, b) şi sunt egale în acest punct: f xy = f yx Definiţia 7.41. Spunem că funcţia f E R 2 R este diferenţiabilă de n ori în punctul interior (a, b) E dacă toate derivatele parţiale de ordinul n 1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui (a, b) şi sunt diferenţiabile în (a, b). Observaţii: ˆ În mod analog se defineşte diferenţiabilitatea de ordinul n pentru funcţii reale sau vectoriale de mai multe variabile; ˆ Rezultate similare criteriilor Schwartz şi Young sunt valabile pentru derivate de ordin superior ale unor funcţii reale sau vectoriale de mai multe variabile; ˆ Folosind criteriul lui Young, rezultă că dacă f este diferenţiabilă de n ori în (a, b), atunci toate derivatele parţiale de ordinul n există în (a, b), iar ordinea de derivare în (a, b) până la ordinul n inclusiv nu are importanţă.

7.5. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIABILITATE 87 Definiţia 7.42. Fie f E R 2 R. Diferenţiala de ordinul n în punctul (a, b) se defineşte prin: d n f(a, b)(u, v) = ( x u + n y v) f(a, b) unde exponentul n înseamnă ordin de derivare pentru f şi putere pentru u şi v. Se poate scrie d n f(x, y) = ( x dx + n y dy) f(x, y) Pentru funcţii de 3 variabile avem: d n f(x, y, z) = ( x dx + y dy + n z dz) f(x, y, z) iar pentru funcţii de k variabile avem: d n k f(x) = ( dx i ) x i i=1 n f(x) Teorema 7.18. Fie f Y R 2 R şi u, v X R R. Dacă funcţiile u(x), v(x) au derivate continue pe X şi dacă funcţia f(u, v) are derivate parţiale continue pe Y, atunci funcţia compusă F X R R, F (x) = f(u(x), v(x)) are derivata continuă pe X, dată de F (x) = f u du dx + f v dv dx Teorema 7.19. Fie f Y R 2 R şi u, v X R 2 R. Dacă funcţiile u(x, y), v(x, y) au derivate parţiale continue pe X şi dacă funcţia f(u, v) are derivate parţiale continue pe Y, atunci funcţia compusă F X R 2 R, F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) are derivate parţiale continue pe X, date de F x = f u u x + f v v x F y = f u u y + f v v y Teorema 7.20 (Formula lui Taylor). Fie f X R 2 R şi fie (a, b) un punct interior lui X. Dacă funcţia f este derivabilă de n + 1 ori pe X cu toate derivatele mixte egale, atunci pentru oricare (x, y) X are loc formula f(x, y) = f(a, b) + 1 ((x a) 1! x + (y b) ) f(a, b)+ y + 1 ((x a) 2! x + (y b) 2 y ) f(a, b) +... + 1 ((x a) n! x + (y b) n y ) f(a, b) + R n

88 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE cu R n = unde 0 < θ < 1. 1 ((x a) (n + 1)! x + (y b) n+1 y ) f(θa + (1 θ)x, θb + (1 θ)y) Teorema 7.21 (Lagrange). Dacă f X R 2 R are derivate parţiale de ordinul întâi pe o vecinătate V a lui (a, b) X, atunci pentru orice (x, y) V există un punct (ξ, η) V cu ξ între a şi x, iar η între b şi y, astfel încât f(x, y) f(a, b) = (x a)f x(ξ, η) + (y b)f y(ξ, η). 7.6 Extreme pentru funcţii de mai multe variabile Definiţia 7.43. Fie o funcţie de n variabile f D R n R. 1. Un punct a = (a 1,..., a n ) D se numeşte minim local al lui f dacă există o vecinătate a lui a astfel încât f(x 1,..., x n ) f(a 1,..., a n ), pentru orice (x 1,..., x n ) V D; 2. Un punct a = (a 1,..., a n ) D se numeşte maxim local al lui f dacă există o vecinătate a lui a astfel încât f(x 1,..., x n ) f(a 1,..., a n ), pentru orice (x 1,..., x n ) V D. Teorema 7.22. Fie o funcţie de n variabile f D R n R şi a = (a 1,..., a n ) un punct interior lui D. Dacă f are în punctul a un extrem local şi admite derivate parţiale de ordinul 1 în acest punct, atunci aceste derivate se anulează în a: f x i (a 1,..., a n ) = 0, i = 1,..., n. Un punct care are proprietatea de mai sus ca derivatele parţiale se anulează, se numeşte punct staţionar (sau critic) al lui f. Teorema anterioară ne spune că punctele de extrem local ale unei funcţii se găsesc printre punctele critice. Teoremele următoare precizează care dintre punctele critice sunt întradevăr şi puncte de extrem: Teorema 7.23. Fie o funcţie de 2 variabile f D R 2 R derivabilă parţial de 3 ori pe D şi (a, b) D un punct staţionar al lui f. Notăm cu Atunci avem: = ( 2 2 f x y (a, b)) 2 f x (a, f 2 b) 2 (a, b). y2

7.7. FUNCŢII IMPLICITE 89 1. Dacă < 0 şi 2 f x 2 (a, b) > 0, atunci (a, b) este punct de minim local; 2. Dacă < 0 şi 2 f x 2 (a, b) < 0, atunci (a, b) este punct de maxim local; 3. Dacă > 0, atunci (a, b) nu este punct de extrem local. Teorema 7.24. Fie o funcţie de n variabile f D R n R derivabilă parţial de 3 ori pe D şi (a 1,..., a n ) D un punct staţionar al lui f. Notăm cu Atunci avem: A ij = 1. Dacă numerele 2 f x i x j (a 1,..., a n ), i, j = 1,..., n. 1 = A 11, 2 = A 11 A 12 A 21 A 22,..., n = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n A n1 A n2... A nn sunt toate pozitive, atunci (a 1,..., a n ) este punct de minim local; 2. Dacă numerele 1 = A 11, 2 = A 11 A 12,..., A 21 A n = ( 1) n 22 A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n A n1 A n2... A nn sunt toate pozitive, atunci (a 1,..., a n ) este punct de maxim local; 7.7 Funcţii implicite Definiţia 7.44. Fie o funcţie vectorială f D R m de n variabile, ale cărei componente f 1, f 2,..., f m admit derivate parţiale în raport cu x 1, x 2,..., x n. Se numeşte matrice Jacobiană a lui f în a = (a 1, a 2,..., a n ) D matricea Df(a) = f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f m x 1 f 1 x n f 2 x n x 2... x 2... f m x 2... unde toate derivatele parţiale sunt calculate în a. f m x n

90 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Teorema 7.25. Fie f R m R n, g R n R p două funcţii vectoriale care admit derivate parţiale. Atunci matricea jacobiană a funcţiei compuse g f R m R p într-un punct x = (x 1, x 2,..., x n ) este D(g f)(x) = Dg(f(x))Df(x). Dacă în definiţia anterioară avem m = n, atunci matricea Jacobiană este pătratică, iar determinantul ei se numeşte Jacobian al lui f: (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) = f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f n x 1 f 1 x n f 2 x n x 2... x 2... f n x 2... f n x n În studiul funcţiilor de o variabilă întâlnim de multe ori funcţii definite implicit ca soluţii ale unor ecuaţii în două variabile de forma F (x, y) = 0. Să presupunem că (a, b) este o soluţie a ecuaţiei anterioare, şi că F are derivate parţiale continue în vecinătatea lui (a, b). Se pune problema existenţei unei soluţii y ca funcţie de x în vecinătatea lui (a, b). Aşadar căutăm o funcţie y(x) definită pe un interval deschis I = (a h, a + h) cu proprietatea că y(a) = b şi astfel încât F (x, y(x)) = 0, x I. (7.1) În cazul în care o astfel de funcţie există, putem calcula derivata acesteia în x = a derivând ecuaţia F (x, y) = 0 implicit în raport cu x şi evaluând rezultatul în (a, b): F x + F dy y dx = 0 de unde obţinem y (a) = F x F y (a, b) (a, b) dacă F y (a, b) 0. În mod asemănător se pot calcula şi derivatele de ordin superior ale funcţiei implicite y(x) calculate în x = a. Aplicaţie: Fie funcţia implicită y(x) dată prin x 3 + y 3 + xy y 2 = 0, y(0) = 1.

7.7. FUNCŢII IMPLICITE 91 Să se găsească y (0), y (0). Un alt caz este acela în care avem o ecuaţie în 3 variabile: F (x, y, z) = 0 (7.2) şi căutăm o funcţie implicită z(x, y) în vecinătatea unui punct (x 0, y 0, z 0 ) care satisface (7.2). Derivând ecuaţia în raport cu x şi cu y obţinem: de unde găsim F F z (x, y, z) + (x, y, z) x z x = 0 F F (x, y, z) + (x, y, z) z y z y = 0 F z x (x x 0, y 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ) F z y (x y 0, y 0 ) = (x 0, y 0, z 0 ) F z (x 0, y 0, z 0 ) dacă F z (x 0, y 0, z 0 ) 0. Aplicaţie: Fie funcţia implicită z(x, y) dată prin (x + y)e z xy z = 0, z(2, 2) = 0. Să se găsească derivatele parţiale de ordinul 1 şi 2 ale lui z(x, y), calculate în (2, 2). Un al treilea caz este acela în care avem un sistem de ecuaţii F (u, v, x, y) = 0 G(u, v, x, y) = 0 şi căutăm funcţiile implicite x(u, v) şi y(u, v) în vecinătatea unui punct (u 0, v 0, x 0, y 0 ) care satisface sistemul anterior. Derivând cele două ecuaţii în raport cu u obţinem: F x x u + F y y u + F u = 0 G x x u + G y y u + G u = 0

92 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE Rezolvând sistemul anterior în necunoscutele x u x u = y u = (F,G) (u,y) (F,G) (x,y) (F,G) (x,u) (F,G) (x,y) şi y u găsim: care pot fi evaluate în (u 0, v 0 ) dacă (F,G) (x,y) (u 0, v 0, x 0, y 0 ) 0. În mod asemănător se găsesc şi derivatele lui x şi y în raport cu v calculate în (u 0, v 0 ). Să enunţăm acum rezultatul general care include toate cele 3 cazuri particulare anterioare: Teorema 7.26 (Teorema funcţiilor implicite). Fie sistemul F 1 (x 1, x 2,..., x m, y 1, y 2,..., y n ) = 0 F n (x 1, x 2,..., x m, y 1, y 2,..., y n ) = 0 şi un punct P 0 = (a 1, a 2,..., a m, b 1, b 2,..., b n ) care satisface sistemul de mai sus. Dacă avem: (i) F 1, F 2,..., F n au derivate parţiale continue în raport cu x 1,..., x m, y 1,..., y n în vecinătatea lui P 0 ; (ii) (F 1,...,F n) (y 1,...,y n) (P 0) 0; Atunci există funcţiile implicite y i (x 1,..., x m ), i = 1,..., n definite pe o vecinătate a lui (a 1,..., a m ) astfel încât : 1. y i (a 1,..., a m ) = b i, i = 1,..., n; 2. F i ((x 1,..., x m, y 1 (x 1,..., x m ),..., y n (x 1,..., x m )) = 0, i = 1,..., n Mai mult, aceste funcţii implicite au derivate parţiale continue în vecinătatea lui (a 1,..., a m ) date prin: y i x j = (F 1,...,F n) (y 1,...,x j,...,y n) (F 1,...,F n) (y 1,...,y j,...,y n)

7.8. EXERCIŢII 93 7.8 Exerciţii 1. Să se calculeze limita R: 5 lim x 0 y 5 sin(xy) x 2. Să se arate că următoarea funcţie nu are limită în punctul indicat: f(x, y) = x 2 y 2, (0, 0). x 2 y 2 + (x y) 2 R: lim n f ( 1 n, 1 n ) = 1 0 = lim n f ( 1 n, 1 2n ) 3. Să se studieze continuitatea funcţiilor: (a) f(x, y) = { (b) f(x, y) = { (c) f(x, y) = { ln(1+x 2 +y 2 ) x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) 1, x = y = 0 sin(xy) x 2 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, x = y = 0 5x 2 y 4x 4 +y 2, (x, y) (0, 0) 0, x = y = 0 R: lim n f ( 1 n, k n ) = 5k k 2 +4 f discontinuă în (0, 0). (d) f(x, y) = { (1 + xy) 1 x+ y, x 0, y 0, x + y 0 1, x = y = 0. ln(1+xy) R: lim (x,y) (0,0) f(x, y) = exp (lim (x,y) (0,0) xy deci f este continuă. (e) f(x, y) = { sin(x 5 +y 5 ) x 4 +y 4, (x, y) (0, 0) 0, x = y = 0 4. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul 1 pentru funcţiile: (a) sin(2x xy) + ln(x 2 + y 2 ); (b) x 3 y xy 2 + 5xy; (c) x y ; (d) sin 2 (ax + by); (e) arctg x+y x y ; xy x+ y ) = 1,

94 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE (f) ln(x 2 + y 2 ); (g) ln (x + x 2 + y 2 ); (h) x 2 y 3 z + cos(3x y + z 2 ); (i) x y 2y z + 3z x ; (j) x y z ; (k) e x2 +3y 2 z 2. 5. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul 1 şi 2 ale funcţiilor (a) f (x, y, z) = y + z2 4y + x2 z + 2 x (b) f (x, y, z) = z sin(x y) + ye x2 z (c) f (x, y, z) = x y 2y z + 3z x 6. Să se calculeze derivatele de ordinul întâi şi doi ale funcţiilor (a) u(x) = f(sin 2x, e 3x ) (b) u(x, y) = f (xy, x y ) 7. Să se arate că funcţia u(x, y) = xy + xf ( y ) x verifică relaţia x u x + y u y = xy + u 8. Să se scrie formula lui Taylor de ordinul 2 corespunzătoare funcţiei f(x, y) = arctg x y în punctul M 0 (1, 1). 9. Să se determine punctele de extrem ale funcţiilor (a) f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 y 2 (b) f (x, y) = x 4 + y 4 4xy (c) f (x, y) = x 4 + y 4 + 4xy 2 (x 2 + y 2 ) (d) f (x, y) = x 3 + y 3 + 12xy + 7 (x 2 + y 2 ) (e) f (x, y) = 2x 3 + 2y 3 + 24xy + 13 (x 2 + y 2 ) + 27;

7.8. EXERCIŢII 95 (f) f(x, y) = 3x 2 y + 36x y 3 15y + 9; (g) f(x, y, z) = y + z2 4y + x2 z + 2, x > 0, y > 0, z > 0. x 10. Să se calculeze y (0), y (0) pentru funcţia implicită y(x) dată prin ce satisface condiţia y(0) = 1. x 3 + y 3 + xy y 2 = 0 11. Să se calculeze dz şi d 2 z pentru funcţia z(x, y) definită implicit de ecuaţia (x + y)e z xy z = 0 în punctul (2, 2, 0).

96 CAPITOLUL 7. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

Partea II Calcul integral 97

Capitolul 8 Integrala definită. Primitive 8.1 Funcţii integrabile Definiţia 8.1. Fie un interval închis şi mărginit [a, b]. 1. Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] o mulţime de puncte = {x 0, x 1,..., x n } [a, b] astfel încât a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. 2. Lungimea celui mai mare subinterval de forma [x i, x i+1 ], i = 0, 1,..., n 1 al unei diviziuni se numeşte norma diviziunii: = max 0 i n 1 (x i+1 x i ) 3. Dacă în fiecare subinterval [x i, x i+1 ] al unei diviziuni alegem câte un punct x i ξ i x i+1, i = 0, 1,..., n 1, aceste puncte se numesc puncte intermediare ale diviziunii. 4. Se numeşte sumă Riemann a funcţiei f [a, b] R corespunzătoare diviziunii şi punctelor intermediare ξ i, i = 0,..., n 1 următoarea sumă: n 1 σ (f) = f(ξ i )(x i+1 x i ) i=0 Din punct de vedere geometric, sumele Riemann corespunzătoare unei funcţii pe un interval aproximează aria subgraficului acestei funcţii atunci când diviziunea este foarte fină (norma este suficient de mică). 99

100 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE Definiţia 8.2. Spunem că funcţia f [a, b] R este integrabilă Riemann pe [a, b] dacă pentru orice şir de diviziuni n cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare ξi n, şirurile corespunzătoare de sume Riemann σ n (f) au o limită finită comună I. Această valoare I se numeşte integrala definită a funcţiei f pe intervalul [a, b] şi se notează cu a b f(x)dx. Dacă f este o funcţie integrabilă pe [a, b], atunci definim b a f(x)dx = a b f(x)dx, având consecinţa imediată că a a f(x)dx = 0. De asemenea, se poate vedea uşor că dacă f este o funcţie constantă f(x) = C pe [a, b], atunci a b f(x)dx = C(b a). Teorema 8.1. Funcţia f este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă există un număr I R cu proprietatea că pentru orice ε > 0, există δ > 0 astfel încât oricare ar fi diviziunea cu < δ şi punctele intermediare corespunzătoare ξ i să avem σ (f) I < ε. În acest caz, I = b a f(x)dx. Teorema 8.2. Fie f [a, b] R. Dacă f este integrabilă pe [a, b], atunci f este mărginită pe [a, b]: m, M R, m = inf f(x), M = sup f(x). a x b a x b Definiţia 8.3. Fie f [a, b] R mărginită şi o diviziune a lui [a, b]. 1. Se numeşte sumă Darboux inferioară corespunzătoare lui f şi diviziunii suma s (f) = n 1 m i (x i+1 x i ), unde m i = inf f(x), i = 0, 1,..., n 1 i=0 x [x i,x i+1 ] 2. Se numeşte sumă Darboux superioară corespunzătoare lui f şi diviziunii suma S (f) = n 1 M i (x i+1 x i ), unde M i = sup f(x), i = 0, 1,..., n 1 i=0 x [x i,x i+1 ]

8.1. FUNCŢII INTEGRABILE 101 Dacă m = inf f(x), M = sup f(x), atunci avem: a x b a x b m(b a) s (f) σ (f) S (f) M(b a) pentru orice puncte intermediare corespunzătoare diviziunii. Teorema 8.3 (Criteriul de integrabilitate Darboux). O funcţie mărginită f este integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0, există δ > 0 astfel încât oricare ar fi diviziunea cu < δ să avem S (f) s (f) < ε. Teorema 8.4 (Integrabilitatea funcţiilor monotone). Fie f [a, b] R. Dacă f este monotonă pe [a, b], atunci este integrabilă pe [a, b]; Demonstraţie. Presupunem că f este crescătoare şi nu este constantă (funcţiile constante sunt integrabile), deci f(a) < f(b). Fie acum o diviziune a intervalului [a, b]. Avem f(x i ) f(x) f(x i+1 ), x i x x i+1, i = 0,..., n 1 deci m i = f(x i ) şi M i = f(x i+1 ). Atunci S s δ = Pentru ε > 0 alegem δ ε = S s δ < n 1 i=0 n 1 i=0 (f(x i+1 ) f(x i ))(x i+1 x i ) ε f(b) f(a) şi obţinem că pentru < δ ε, ε (f(x i+1 ) f(x i )) f(b) f(a) = n 1 ε f(b) f(a) i=0 (f(x i+1 ) f(x i )) = ε de unde conform criteriului lui Darboux rezultă că f este integrabilă. Teorema 8.5 (Integrabilitatea funcţiilor continue). Fie f [a, b] R. Dacă f este continuă pe [a, b], atunci este integrabilă pe [a, b]. Demonstraţie. Fie o diviziune a intervalului [a, b]. Deoarece f este continuă pe intervalul compact [x i, x i+1 ], este mărginită şi îşi atinge marginile, deci există x i, x i [x i, x i+1 ] astfel încât f(x i ) = m i, f(x i ) = M i, pentru i = 0,..., n 1. Atunci S s δ = n 1 i=0 (f(x i ) f(x i))(x i+1 x i ) Fie acum ε > 0. Deoarece f este continuă pe [a, b], este şi uniform continuă pe [a, b], deci există δ ε > 0 astfel încât x x < δ ε f(x ) f(x ) < ε b a

102 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE Dacă alegem diviziunea cu < δ ε, obţinem S s δ < n 1 i=0 ε b a (x i+1 x i ) = ε n 1 b a i=0 (x i+1 x i ) = ε de unde conform criteriului lui Darboux rezultă că f este integrabilă. 8.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile 1. Dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b] şi α, β R, atunci αf + βg este integrabilă pe [a, b] şi a b (αf(x) + βg(x))dx = α a b f(x)dx + β a b g(x)dx; 2. Dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b], atunci şi fg, f g, f g sunt integrabile pe [a, b] (dacă sunt bine definite); 3. Dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b] şi f(x) g(x), x [a, b], atunci a b f(x)dx a b g(x)dx; 4. Dacă f este integrabilă pe [a, b], atunci şi f este integrabilă pe [a, b] şi avem a b f(x)dx a b f(x) dx; 5. Teorema de medie: dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b] şi dacă g 0, atunci există µ [m, M], unde m = inf f(x), M = sup f(x), astfel a x b a x b încât Demonstraţie. Integrând pe [a, b] găsim a b f(x)g(x)dx = µ a b g(x)dx; m f(x) M mg(x) f(x)g(x) Mg(x) a b mg(x)dx a b f(x)g(x)dx a b Mg(x)dx

8.2. PROPRIETĂŢI ALE FUNCŢIILOR INTEGRABILE 103 de unde m b a f(x)g(x)dx b a g(x)dx M µ 6. Dacă f este continuă şi g este integrabilă şi pozitivă pe [a, b], atunci există ξ [a, b] astfel încât a b f(x)g(x)dx = f(ξ) a b g(x)dx 7. Dacă f este continuă pe [a, b], atunci există ξ [a, b] astfel încât a b f(x)dx = f(ξ)(b a) 8. Proprietatea de ereditate: Dacă f este integrabilă pe [a, b], atunci f este integrabilă pe orice subinterval [a, b ] [a, b]; 9. Proprietatea de aditivitate: Dacă f este integrabilă pe [a, b] şi c [a, b], atunci a b f(x)dx = a c f(x)dx + c b f(x)dx; 10. Dacă f este integrabilă pe [a, c] şi [c, b], atunci f este integrabilă pe [a, b]. 11. Dacă f este o funcţie impară integrabilă pe [ a, a], atunci a a f(x)dx = 0; 12. Dacă f este o funcţie pară integrabilă pe [ a, a], atunci a a f(x)dx = 2 0 a f(x)dx. 13. Dacă f şi g sunt egale pe [a, b] cu excepţia unui număr finit de puncte, iar una dintre ele este integrabilă pe [a, b], atunci şi cealaltă este integrabilă pe [a, b] şi integralele lor sunt egale.

104 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE 8.3 Primitive Definiţia 8.4. Fie f I R unde I este un interval de numere reale. Se numeşte primitivă a lui f pe I o funcţie F I R cu proprietatea că este derivabilă şi F (x) = f(x), x I. Următoarea teoremă arată că dacă o funcţie admite o primitivă, atunci aceasta nu este unică: Teorema 8.6. Fie f I R şi F o primitivă a lui f. Atunci oricare ar fi C R, funcţia G I R definită prin G(x) = F (x) + C, x I este de asemenea o primitivă a lui f. Mai mult, orice altă primitivă a lui f pe I este de această formă. Aşadar dacă avem o primitivă a unei funcţii f, putem obţine o infinitate de alte primitive prin adăugarea unei constante arbitrare reale, lucru care este datorat faptului că derivata oricărei funcţii constante este nulă. Definiţia 8.5. Mulţimea tuturor primitivelor unei funcţii f I R se notează cu f(x)dx şi se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f. Din teorema anterioară deducem că f(x)dx = {F (x) + C F primitivă a lui f şi C R} Teorema 8.7. Există următoarele integrale nedefinite: 1. x α dx = xα+1 α+1 + C, x [0, ), α 1; 2. 1 xdx = ln x + C, x R {0}; 3. a x dx = ax ln a + C, x R, a > 0, a 1; 4. e x dx = e x + C, x R; 5. sin xdx = cos x + C, x R; 6. cos xdx = sin x + C, x R;

8.4. METODE DE INTEGRARE 105 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1 cos 2 x dx = tg x + C, x R {(2k + 1) π 2 ; k Z} ; 1 dx = 1 sin 2 x tg x + C, x R {kπ; k Z}; 1 x 2 +a dx = 1 2 a arctg x a + C, x R, a 0; 1 x 2 a 2 dx = 1 2a x a ln x+a + C, x R, a > 0, x a; 1 dx = arcsin x a 2 x 2 a + C, x ( a, a), a > 0; 1 dx = ln(x + x x 2 + a 2 ) + C, x R; 2 +a 2 1 dx = ln x + x x 2 a 2 + C, x (, a) (a, ), a > 0. 2 a 2 În general, orice funcţie continuă admite primitive. Următoarea teoremă arată proprietatea de linearitate a integralei nedefinite, care, împreună cu teorema anterioară, ajută la găsirea primitivelor funcţiilor obţinute prin sumarea sau înmulţirea cu o constantă a funcţiilor elementare. Teorema 8.8. Fie f, g I R şi α, β R. Dacă f şi g admit primitive pe I, atunci şi αf + βg admite primitive pe I şi avem: (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. De asemenea, dacă o funcţie admite primitive, atunci are proprietatea lui Darboux, însă nu este neapărat continuă. În secţiunea următoare prezentăm diverse alte metode de integrare, care împreună cu primitivele funcţiilor elementare ajută la găsirea primitivelor unor funcţii mai complicate. 8.4 Metode de integrare Teorema 8.9 (metoda integrării prin părţi). Fie f, g I R cu derivate de ordinul 1 continue pe I. Atunci: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. Demonstraţie. Din ipoteză avem că funcţiile fg şi f g sunt continue, deci integralele f(x)g (x)dx şi f (x)g(x) au sens. Avem (fg) = f g +fg deci (f (x)g(x) + f(x)g (x)) dx = (f(x)g(x)) dx = f(x)g(x) + C

106 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE deci f(x)g (x)dx = f(x)g(x) + C f (x)g(x)dx = f(x)g(x) ( f (x)g(x)dx C) = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Teorema 8.10 (metoda schimbării de variabilă). Fie funcţiile u I J derivabilă şi f J R care admite primitiva F. Atunci: f(u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C, x I. Demonstraţie. Avem că F este derivabilă, deci funcţia F (u(x)) este derivabilă şi are loc (F (u(x)) = F (u(x))u (x) = f(u(x))u (x) adică funcţia F (u(x)) este o primitivă a lui f(u(x))u (x) deci f(u(x))u (x)dx = F (u(x)) + C Dacă notăm y = u(x), atunci avem dy = u (x)dx, iar integrala devine f(u(x))u (x)dx = f(y)dy = F (y) + C = F (u(x)) + C. Aplicând teorema anterioară funcţiilor elementare din teorema 8.7, obţinem: 1. u(x) α u (x)dx = u(x)α+1 α+1 + C, u(x) [0, ), α 1; 2. 1 u(x) u (x)dx = ln u(x) + C, u(x) R {0}; 3. a u(x) u (x)dx = au(x) ln a 4. e u(x) u (x)dx = e u(x) + C; + C, a > 0, a 1; 5. sin u(x)u (x)dx = cos u(x) + C; 6. cos u(x)u (x)dx = sin u(x) + C; 7. 1 cos 2 u(x) u (x)dx = tg u(x) + C, u(x) R {(2k + 1) π 2 ; k Z} ;

8.4. METODE DE INTEGRARE 107 8. 9. 10. 11. 12. 1 sin 2 u(x) u (x)dx = 1 tg u(x) + C, u(x) R {kπ; k Z}; 1 u(x) 2 +a u (x)dx = 1 u(x) 2 aarctg a + C, a 0; 1 u(x) 2 a u (x)dx = 1 2 2a u(x) a ln u(x)+a + C, a > 0, u(x) a; 1 a 2 u(x) 2 u (x)dx = arcsin u(x) a + C, u(x) ( a, a), a > 0; 1 u(x) 2 +a 2 u (x)dx = ln(u(x) + u(x) 2 + a 2 ) + C; 1 13. u(x) 2 a 2 u (x)dx = ln u(x) + u(x) 2 a 2 + C, u(x) (, a) (a, ), a > 0. 8.4.1 Primitivele funcţiilor raţionale Definiţia 8.6. Se numeşte fracţie simplă (sau ireductibilă) o funcţie raţională de forma A (x a) n, x a sau Ax + B (x 2 + bx + c) n, n N, b2 4c < 0. Teorema 8.11. Fie o funcţie raţională f I R, f(x) = P (x) Q(x) numitor se descompune în factori ireductibili Q(x) = (x a 1 ) k 1... (x a l ) k l (x 2 + b 1 x + c 1 ) m 1... (x 2 + b n x + c n ) mn. al cărei cu b 2 j 4c j < 0, j = 1,..., n. Atunci f(x) se poate descompune în mod unic ca o sumă de fracţii simple de forma: f(x) =R(x) + n + j=1 l i=1 ( A i1 x a i + ( B j1x + C j1 x 2 + b j x + c j + A i2 (x a i ) + + A iki ) + 2 (x a i ) k i B j2 x + C j2 (x 2 + b j x + c j ) 2 + + B jm j x + C jmj (x 2 + b j x + c j ) m j ) unde R(x) este un polinom, mai precis câtul împărţirii lui P (x) la Q(x). Folosind teorema de mai sus şi proprietatea de linearitate a integralei nedefinite, putem scrie orice primitivă a unei funcţii raţionale ca o sumă de primitive de fracţii simple, care pot fi calculate folosind metodele de integrare prezentate in secţiunea anterioară.

108 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE 8.4.2 Schimbări de variabilă uzuale Schimbări de variabilă trigonometrice Fie o primitivă de forma R(sin x, cos x)dx, unde R este o funcţie raţională de două variabile. Pentru astfel de primitive se poate folosi schimbarea de variabilă t = tg x 2, pentru care avem: sin x = 2t 1 t2, cos x = 1 + t2 1 + t, dx = 2 2 1 + t dt. 2 Alte schimbări de variabilă trigonometrice se pot folosi în una din următoarele situaţii: I. Dacă R(sin x, cos x) este impară în sin x, adică R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) atunci se poate folosi schimbarea de variabilă t = cos x. II. Dacă R(sin x, cos x) este impară în cos x, adică R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) atunci se poate folosi schimbarea de variabilă t = sin x. III. Dacă R(sin x, cos x) este pară atât în sin x cât şi în cos x sau se poate scrie sub forma R 1 (tg x), atunci se poate folosi schimbarea de variabilă t = tg x, pentru care avem: sin 2 x = t 2 1 + t 2, cos2 x = 1 1 + t, dx = 1 2 1 + t dt. 2 Integrale binome O integrală binomă este o integrală nedefinită de forma x m (a + bx n ) p dx unde a, b R şi m, n, p Q. Pentru astfel de integrale folosim următoarele schimbări de variabilă: 1. dacă p Z, folosim x = t r unde r este cel mai mic multiplu comun al numitorilor lui m şi n; 2. dacă p Z, dar m+1 n lui p; 3. dacă m+1 n Z, dar m+1 n numitorul lui p. Z, atunci folosim a+bxn = t s unde s este numitorul + p Z, atunci folosim ax n + b = t s unde s este

8.5. METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR DEFINITE 109 Substituţiile lui Euler Primitivele de forma R (x, ax 2 + bx + c) dx unde R este o funcţie raţională de două variabile, se reduc la primitive de funcţii raţionale cu ajutorul uneia din următoarele schimbări de variabilă: 1. ax 2 + bx + c = ax + t dacă a > 0; 2. ax 2 + bx + c = tx + c dacă c > 0; 3. ax 2 + bx + c = t(x λ) unde λ este o rădăcină a lui ax 2 + bx + c, cu b 2 4ac > 0. 8.5 Metode de calcul al integralelor definite Teorema 8.12 (Formula Leibniz-Newton). Fie f [a, b] R o funcţie integrabilă. Dacă F este o primitivă a lui f, atunci a b f(x)dx = F (b) F (a). Demonstraţie. Fie n un şir de diviziuni ale intervalului [a, b] cu n 0. Aplicând teorema lui Lagrange pe fiecare subinterval [x i, x i+1 ], i = 0,..., n 1, avem că există ξ i [x i, x i+1 ] astfel încât F (x i+1 ) F (x i ) = F (ξ i )(x i+1 x i ) = f(ξ i )(x i+1 x i ), i = 0,..., n 1 Atunci suma Riemann corespunzătoare diviziunii n şi punctelor intermediare ξ i este σ n (f) = n 1 n 1 f(ξ i )(x i+1 x i ) = (F (x i+1 ) F (x i )) = F (b) F (a) i=0 i=0 Trecând la limită cu n 0, găsim a b f(x)dx = F (b) F (a).

110 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE Corolar 8.5.1. Fie f [a, b] R o funcţie integrabilă care admite primitive. Atunci funcţia este o primitivă a lui f. G [a, b] R, G(x) = a x f(t)dt Demonstraţie. Fie F o primitivă a lui f. Atunci conform teoremei anterioare avem G(x) = F (x) F (a), de unde prin derivare obţinem deci G este o primitivă a lui f. G (x) = F (x) 0 = f(x) Teorema 8.13 (formula de integrare prin părţi). Dacă f şi g sunt două funcţii care au derivatele de ordin 1 continue pe [a, b], atunci a b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b a a b f (x)g(x)dx. Teorema 8.14 (formula de schimbare de variabilă). Fie f [a, b] R continuă şi u [α, β] [a, b] cu derivată continuă pe [α, β] şi u(α) = a, u(β) = b. Atunci a b f(x)dx = α β f(u(t))u (t)dt. 8.6 Aplicaţii ale integralei definite 1. Fie f [a, b] R integrabilă şi pozitivă. Atunci aria subgraficului lui f este A = a b f(x)dx; 2. Fie f, g [a, b] R două funcţii integrabile astfel încât f(x) g(x), x [a, b]. Atunci aria suprafeţei dintre graficele lui f şi g este A = a b (f(x) g(x))dx; 3. Fie f [a, b] R o funcţie integrabilă pozitivă, cu derivată de ordinul 1 continuă pe [a, b]. Atunci aria suprafeţei obţinute prin rotirea graficului lui f în jurul axei Ox este A = 2π a b f(x) 1 + f 2 (x)dx; 4. Fie f [a, b] R o funcţie integrabilă şi pozitivă. Atunci volumul corpului obţinut prin rotirea graficului lui f în jurul axei Ox este V = π a b f 2 (x)dx.

8.7. EXERCIŢII 111 8.7 Exerciţii 1. Să se calculeze limita şirului R: S n = 1 n n k=1 S n = 1 n 2 1 ( k n )2 = 1 0 n k=1 n2 k 2 1 x2 dx = π 4. 2. Se consideră o funcţie f [0, 1] R integrabilă, astfel încât pentru orice interval deschis (x, x ) [a, b], există cel puţin un punct ξ (x, x ) astfel încât f(ξ) = 1 1+ξ. Să se arate că 1 1 dx R: f(x)dx = = ln 2. 0 0 1 + x 0 1 f(x)dx = ln 2. x, x [0, 1] 3. Se consideră o funcţie f [0, 2] R, f(x) = { x 2 + 1, x (1, 2]. Să se arate că f este integrabilă şi să se calculeze integrala sa. 2 1 2 R: f(x)dx = xdx + (x 2 + 1)dx = 23 0 0 1 6. 4. Să se demonstreze inegalitatea: R: 1 π 6. 1 2 < 0 1 2 1 1 1 1 x 2n 1 x 2 2 = dx 1 x 2n < π 6 0 1 2 dx 0 1 2 dx 1 x 2n 5. Să se calculeze lim (n 4 n+1 xdx n n 1 + x ). 5 R: Din teorema de medie avem că există ξ [n, n + 1] astfel încât I n = n n+1 xdx 1 + x = ξ 5 1 + ξ n 5 5 1 + (n + 1) 5 n4 I n n4 (n + 1) 1 + n 5 de unde conform teoremei cleştelui rezultă lim n n 4 I n = 1. 1 arctgx 6. Să se calculeze dx. 1 e x + e x R: funcţia arctgx e x +e este impară, deci integrala este 0. x 0 1 2 1 1 x 2 =

112 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE 7. (a) Fie f R R o funcţie continuă şi periodică de perioadă T > 0. Să se arate că are loc egalitatea (b) Să se calculeze a a+t 0 2nπ x+t f(x)dx = 0 T sin x dx, n N. f(x)dx, a R. R: Funcţia G(x) = f(t)dt are derivata 0, deci este constantă. x Egalitatea din enunţ corespunde la G(a) = G(0). e 8. Fie g R R, g(x) = { x, x 0, a, b R. Să se determine a, b ax + b, x > 0 astfel încât g să admită primitive pe R. R: Punând condiţia de continuitate în 0, obţinem b = 1, iar a R oarecare. 9. Să se arate că funcţia g [a, b] R, g(x) = { 1, x a+b 2 1, x = a+b 2, este integrabilă dar nu admite primitive. R: g diferă de funcţia constantă 1 pe [a, b] doar în x = a+b 2, deci este integrabilă, însă nu admite primitive deoarece nu are proprietatea lui Darboux. 10. Să se arate că funcţia f(x) = { 2x sin 1 x 2 2 x cos 1 x 2, x [ 1, 0) (0, 1] 0, x = 0 admite primitive dar nu este integrabilă. R: O primitivă a lui f este f(x) = { x2 sin 1 x 2, x [ 1, 0) (0, 1] 0, x = 0 dar f nu este integrabilă deoarece nu este mărginită. 11. Folosind integrarea prin părţi, să se calculeze integralele: (a) ln xdx (b) (x 3 + 5x 2 2)e 2x dx (c) x 2 cos 2xdx

8.7. EXERCIŢII 113 (d) e ax sin bxdx, a, b R (e) x 2 arctg 3xdx R: (a) x ln x x (b) ( 1 2 x3 + 7 4 x2 7 4 x 1 8 ) e2x (c) (2x 2 sin 2x 1) (d) a sin bx b cos bx a 2 +b 2 4 + x e ax cos 2x 2 (e) x3 x2 3 arctg 3x 18 + ln(9x2 +1) 162 12. Să se calculeze integrala I m = R: I m = m 1 m I m 2, I 0 = π 2, I 1 = 1. 0 π 2 sin m xdx, m N 13. Folosind prima metodă de schimbare de variabilă, să se calculeze: (a) xe (x2 +1) dx (b) e 1 x x 2 dx (c) x+arccosx 1 x 2 (d) dx x(1+ln 2 x) (e) cos 2 xdx R: (a) 1 2 e (x2 +1) (b) e 1 x (c) sin t t2 2, t = arccosx (d) arctg t, t = ln x (e) t2 2 + t 2 sin 2t + 1 4 cos 2t, t = x 14. Să se calculeze (a) 3 2 (b) dx x 1 3 4 x 1 x 2 x 2 +x+1 dx

114 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE R: (a) (2t 2 + 12t + 36 ln t 3 ) 4 2 1, t = 4 x 1 (b) ( 1 2 x 3 4 ) x 2 + x + 1 1 8 ln (x + 1 2 + x 2 + x + 1) 15. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii raţionale: (a) 1 (x+a)(x b) (b) x2 5x+9 x 2 5x+6 (c) 1 x 3 +1 (d) 1 (x 2 +1) 2 (e) 1 x(x+1) 2 R: 1 x b (a) a+b ln x+a (b) x + 3 ln x 3 x 2 (c) 1 2 ln(x2 x + 1) 3arctg 2x 1 3 (d) 1 2 (arctg x + (e) ln x x+1 + 1 x+1 x ) x 2 +1 16. Să se calculeze primitivele: (a) sin 2 x cos 3 xdx (b) sin3 x cos 4 x dx 1 (c) dx 1+sin 2 x (d) (e) (f) R: 1 sin x+tgx dx 1 2+sin x cos x dx 1 sin x dx (a) t3 3 t5 5, t = sin x (b) t 1 + t 3 3, t = cos x (c) 2 2 arctg (t 2), t = tg x (d) 1 2 ln t t2 4, t = tg x 2

8.7. EXERCIŢII 115 17. Să se calculeze: ex 2 e 2x + 4 dx R: 1 2 ln t + 1 4 ln(t2 + 4) + 1 2 arctg t 2, t = ex 18. Să se calculeze următoarele integrale binome: (a) x(1 + 3 x) 2 dx (b) x 1+ 3 dx x 2 (c) a2 x 2 dx (d) R: 1 x 4 dx 1+x 2 (a) 6t13 13 + 12t11 11 + 6t9 9, t = 6 x (b) 3t5 5 6t3 3 + 3t, t2 = 1 + x 2 3 (c) a2 2 ( t t 2 +1 arctg t), t2 = a2 x 2 1 19. Să se calculeze primitivele: (a) (b) dx x+ x 2 +x+1 xdx (x 1) 1+x x 2 (c) x x 2 + 4x + 5dx (d) x dx x 2 +3x+4 20. Să se calculeze aria subgraficului funcţiei f [4, 9] R, f(x) = x x 1. R: 7 2 + ln 2. 21. Să se calculeze aria suprafeţei dintre graficele funcţiilor f(x) = e x şi g(x) = e x pentru x [0, 1]. R: e + 1 e 2. 22. Să se afle aria suprafeţei de rotaţie determinată de funcţia f [0, 1 3 ] R, f(x) = 2 1 x 2. R: 2 3 3 π [ 2 + ln(1 + 2)]

116 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITĂ. PRIMITIVE 23. Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de funcţia R: 16π 15 f [0, 2] R, f(x) = 2x x 2

Capitolul 9 Integrale improprii şi cu parametru 9.1 Integrala improprie de primul tip Definiţia 9.1. Fie f [a, ) R o funcţie integrabilă pe orice interval compact de tipul [a, b], b > a. Integrala f(x)dx se numeşte integrala improprie de primul tip. Dacă lim spune că integrala improprie a a b a a b f(x)dx există şi este finită vom f(x)dx este convergentă şi avem f(x)dx = lim b b a f(x)dx Dacă limita de mai sus nu există sau este infinită, atunci integrala improprie f(x)dx este divergentă. a În mod similar se pot defini integralele improprii: f(x)dx = lim a b b a f(x)dx = lim f(x)dx + lim b b a a b b f(x)dx f(x)dx = Teorema 9.1. Fie a > 0. Atunci integrala improprie a 1 x α dx este convergentă pentru α > 1 şi divergentă pentru α 1. 117 a f(x)dx + a f(x)dx

118 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU Demonstraţie. Funcţia f [a, ) R, f(x) = 1 x este continuă pe orice α interval de tipul [a, b], b > 0, deci este integrabilă pe orice astfel de interval. Pentru α < 1 avem: a 1 dx = lim xα b b Pentru α = 1 avem: a a x α dx = lim b x α+1 b α + 1 a = lim b ( b1 α 1 α a1 α 1 α ) = (9.1) 1 b dx = lim x 1 dx = lim b a x ln b x b a = lim (ln b ln a) = (9.2) b Pentru α > 1 avem: a 1 dx = lim xα b b a x α dx = lim b x α+1 b α + 1 a = lim b ( b1 α 1 α a1 α 1 α ) = a1 α α 1 (9.3) Din (9.1), (9.2) şi (9.3) rezultă că integrala este divergentă pentru α 1 şi convergentă pentru α > 1. 9.1.1 Convergenţa integralei în cazul funcţiilor pozitive Dacă funcţia f [a, ) R este pozitivă pe [a, ), atunci integrala Φ(b) = a b f(x)dx este o funcţie monoton crescătoare pe [a, ). Problema existenţei limitei finite lim Φ(b) se reduce atunci la mărginirea acestei funcţii (fiind crescătoare, b limita există, ea fiind sau finită în cazul în care funcţia este mărginită). Astfel, pentru convergenţa integralei a f(x)dx, unde f 0 pe [a, ), este necesar şi suficient ca integrala Φ(b) să fie mărginită superior: a b f(x)dx M, b (a, ) Dacă această condiţie nu este îndeplinită, atunci integrala improprie dată are valoarea. Pe aceasta se bazează următorul criteriu de comparaţie pentru integrale improprii de primul tip din funcţii pozitive: Teorema 9.2. Fie f, g [a, ) R două funcţii astfel încât f, g 0 pe [a, ). Dacă există limita atunci: f(x) lim = l [0, ] x g(x)

9.1. INTEGRALA IMPROPRIE DE PRIMUL TIP 119 1. Dacă l < şi integrala improprie a şi a f(x)dx este convergentă 2. Dacă l > 0 şi integrala improprie a f(x)dx este divergentă a g(x)dx este convergentă, atunci g(x)dx este divergentă, atunci şi Corolar 9.1.1. Dacă în condiţiile teoremei de mai sus obţinem 0 < l <, atunci cele două integrale au aceeaşi natură. Alegând în particular funcţia g [a, ) R, a > 0, g(x) = 1 x α următorul criteriu de convergenţă: obţinem Teorema 9.3. Fie f [a, ) R astfel încât f 0 pe [a, ). Atunci 1. Dacă α > 1 astfel încât lim x α f(x) <, atunci x a f(x)dx este convergentă 2. Dacă α 1 astfel încât lim x α f(x) > 0, atunci x a f(x)dx este divergentă 9.1.2 Convergenţa integralei în cazul general Teorema 9.4 (Criteriul lui Abel). Fie f, g [a, ) R două funcţii astfel încât 1. Integrala improprie a f(x)dx este convergentă 2. Funcţia g este monotonă şi mărginită. Atunci integrala improprie a f(x)g(x)dx este de asemenea convergentă. Teorema 9.5 (Criteriul lui Dirichlet). Fie f, g [a, ) R două funcţii astfel încât 1. Funcţia f este integrabilă pe [a, b], b > a şi a b f(x)dx M, a < b < 2. Funcţia g este monotonă şi lim x g(x) = 0. Atunci integrala improprie a f(x)g(x)dx este convergentă.

120 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU 9.2 Integrala improprie de al doilea tip Definiţia 9.2. Fie f [a, b) R o funcţie integrabilă pe orice interval compact de tipul [a, c], c (a, b) şi pentru care lim f(x) =. Integrala x b b a f(x)dx se numeşte integrala improprie de al doilea tip. Dacă lim f(x)dx este conver- există şi este finită vom spune că integrala improprie b a gentă şi avem a b f(x)dx = lim c c b a f(x)dx c b c Dacă limita de mai sus nu există sau este infinită, atunci integrala improprie f(x)dx este divergentă. b a Definiţia 9.3. Fie f (a, b] R o funcţie integrabilă pe orice interval compact de tipul [c, b], c (a, b) şi pentru care lim f(x) =. Integrala x a b a f(x)dx se numeşte integrala improprie de al doilea tip. Dacă lim c există şi este finită vom spune că integrala improprie b a f(x)dx este convergentă şi avem a b f(x)dx = lim b c a c f(x)dx a c a b Dacă limita de mai sus nu există sau este infinită, atunci integrala improprie f(x)dx este divergentă. b a Teorema 9.6. Integrala improprie a b 1 (b x) λ dx este convergentă pentru λ < 1 şi divergentă pentru λ 1. 1 Demonstraţie. Funcţia f [a, b) R, f(x) = este continuă pe orice (b x) λ interval de tipul [a, c], c (a, b), deci este integrabilă pe orice astfel de interval. Pentru λ < 1 avem: f(x)dx f(x)dx a b 1 dx = lim (b x) λ c b c a (b x) λ (b x) dx = lim λ+1 c b λ 1 (b c)1 λ = lim ( c b λ 1 c a = (b a)1 λ (b a)1 λ ) = λ 1 1 λ (9.4)

9.2. INTEGRALA IMPROPRIE DE AL DOILEA TIP 121 a Pentru λ = 1 avem: b 1 c dx = lim b x 1 dx = lim c b a b x ln(b c b x) c a = lim ( ln(b c) + ln(b a)) = c b (9.5) Pentru λ > 1 avem: a b 1 dx = lim (b x) λ c b c a (b x) λ (b x) dx = lim λ+1 c b λ 1 (b c)1 λ = lim ( c b λ 1 c (b a)1 λ ) = (9.6) λ 1 Din (9.4), (9.5) şi (9.6) rezultă că integrala este convergentă pentru λ < 1 şi divergentă pentru λ 1. Criteriul de comparaţie pentru integrale improprii de al doilea tip se enunţă la fel ca şi cel de la integrale improprii de primul tip, înlocuind cu 1 b. Aplicând acest criteriu pentru g(x) = obţinem: (b x) λ Teorema 9.7. Fie f [a, b) R astfel încât f(x) 0, x [a, b). Atunci 1. Dacă λ < 1 astfel încât lim(b x) λ f(x) < atunci x b b a f(x)dx este convergentă 2. Dacă λ 1 astfel încât lim(b x) λ f(x) > 0 atunci x b b a f(x)dx este divergentă În mod asemănător se găsesc rezultatele: Teorema 9.8. Integrala improprie a b 1 (x a) λ dx este convergentă pentru λ < 1 şi divergentă pentru λ 1. Teorema 9.9. Fie f (a, b] R astfel încât f(x) 0, x (a, b]. Atunci 1. Dacă λ < 1 astfel încât lim(x a) λ f(x) < atunci x a b a f(x)dx este convergentă 2. Dacă λ 1 astfel încât lim(x a) λ f(x) > 0 atunci x a b a f(x)dx este divergentă a =

122 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU 9.3 Metode de integrare Teorema 9.10 (Teorema de integrare prin părţi). Fie f, g [a, b) R derivabile cu derivata continuă pe intervalul [a, b) unde b poate fi şi. Dacă există şi este finită lim f(x)g(x), atunci dacă una din integralele x b b a f(x)g (x)dx, b a f (x)g(x)dx este convergentă, rezultă că şi cealaltă este convergentă şi a b f(x)g (x)dx = lim f(x)g(x) f(a)g(a) x b a b f (x)g(x)dx Teorema 9.11 (Teorema de schimbare de variabilă). Fie u [a, b) [α, β) (unde b şi β pot fi şi ) cu u(a) = α, lim u(x) = β şi f [α, β) R. x b Dacă f este continuă şi u este strict crescătoare, derivabilă şi cu derivata continuă pe [a, b), atunci dacă una din integralele β α f(t)dt, b a f(u(x))u (x)dx este convergentă, atunci şi cealaltă este convergentă şi cele două integrale sunt egale: α β f(t)dt = a b f(u(x))u (x)dx 9.4 Integrale cu parametru Definiţia 9.4. Fie f [a, b] Y R şi funcţiile α(y), β(y) Y [a, b]. Dacă integrala funcţia β(y) α(y) f(x, y)dx există pentru orice y Y, atunci spunem că I Y R, I(y) = se numeşte integrală cu parametru. β(y) α(y) f(x, y)dx Teorema 9.12. Fie funcţia f [a, b] Y R continuă pe [a, b], y Y. Dacă există g(x) = lim y y0 f(x, y), unde y 0 este un punct de acumulare al lui Y şi dacă f(x, y) converge uniform către g(x) pe [a, b] în punctul y 0, atunci b y y0 a lim I(y) = lim y y 0 f(x, y)dx = a b [ lim f(x, y)] dx = y y0 a b g(x)dx. Teorema 9.13. Fie funcţia f [a, b] [c, d] R continuă de ambele variabile. Atunci integrala I(y) = b a f(x, y)dx este o funcţie continuă pe [c, d]. Teorema 9.14. Fie funcţia f [a, b] [c, d] R continuă de ambele variabile cu derivata parţială f y(x, y) continuă de ambele variabile pe [a, b] [c, d].

9.4. INTEGRALE CU PARAMETRU 123 Dacă funcţiile α(y), β(y) [c, d] [a, b] au derivate continue pe [c, d] atunci funcţia I(y) = I (y) = β(y) α(y) β(y) α(y) f(x, y)dx este derivabilă pe [c, d] şi f y (x, y)dx + β (y)f(β(y), y) α (y)f(α(y), y) Corolar 9.4.1. Dacă α(y), β(y) sunt funcţiile constante a şi b, atunci I (y) = a b f (x, y)dx y Teorema 9.15. Fie funcţia f [a, b] [c, d] R continuă în raport cu ambele variabile. Atunci avem: c d [ a b f(x, y)dx] dy = a b [ c d f(x, y)dy] dx Demonstraţie. Vom demonstra egalitatea mai generală c t b [ f(x, y)dx] dy = a F (y) a b t [ f(x, y)dy] dx c G(x,t) pentru t [c, d]. Vom considera ambii membri ai egalităţii de mai sus ca funcţii de t şi le vom deriva în raport cu t. Întrucât f este continuă în raport cu ambele variabile, din teorema 9.13 rezultă că funcţiile F (y) şi G(x, t) sunt continue în raport cu y, respectiv x. Derivând membrul stâng în raport cu t, obţinem: d dt ( c t F (y)dy) = F (t) = a b f(x, t)dx (9.7) Derivând membrul drept în raport cu t şi aplicând teorema 9.14, obţinem: d dt ( a b G(x, t)dx) = a b G t (x, t)dx = a b f(x, t)dx (9.8) Din (9.7) şi (9.8) rezultă că cele două funcţii de variabila t diferă doar printr-o constantă, iar cum pentru t = c ambele sunt nule, rezultă că sunt egale pentru orice t [c, d].

124 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU 9.4.1 Integrale improprii cu parametru Definiţia 9.5. Fie f [a, ) [c, d] R. Spunem că integrala cu parametru I(y) = a f(x, y)dx, y [c, d] este (simplu) convergentă dacă există limita b lim b a f(x, y)dx. Dacă limita de mai sus are loc uniform în raport cu y [c, d], spunem că integrala este uniform convergentă. Teorema 9.16. Fie f [a, ) [c, d] şi g [a, ) R astfel încât 1. f(x, y) g(x), x [a, ), y [c, d] 2. a g(x)dx < Atunci a f(x, y)dx este uniform convergentă. Teorema 9.17. Fie f [a, ) [c, d] R o funcţie continuă de ambele variabile. Dacă integrala I(y) = a f(x, y)dx este uniform convergentă, atunci I(y) este o funcţie continuă pe [c, d]. Teorema 9.18. Fie f [a, ) [c, d] R continuă de ambele variabile, cu f y(x, y) continuă de ambele variabile, şi cu proprietăţile 1. I(y) = a f(x, y)dx uniform convergentă 2. a f y (x, y)dx uniform convergentă Atunci I(y) este derivabilă şi I (y) = a f (x, y)dx y Teorema 9.19. Fie f [a, ) [c, d] R continuă de ambele variabile cu proprietăţile 1. a f(x, y)dx uniform convergentă 2. a Atunci avem: ( d c f(x, y)dy) dx convergentă a ( c d f(x, y)dy) dx = c d ( a f(x, y)dx) dy

9.4. INTEGRALE CU PARAMETRU 125 9.4.2 Integralele lui Euler Definiţia 9.6. Integralele cu parametru Γ(p) = 0 x p 1 e x dx B(p, q) = se numesc integralele lui Euler. 0 1 x p 1 (1 x) q 1 dx Teorema 9.20. Integralele lui Euler sunt convergente pentru p, q > 0 şi satisfac următoarele proprietăţi: 1. Γ(1) = 1, Γ ( 1 2 ) = π 2. Γ(p + 1) = pγ(p) 3. B(p, q) = B(q, p) 4. B ( 1 2, 1 2 ) = π 5. B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) Următoarele integrale pot fi reduse la integrale Euler: 1. 0 x p e ax dx 2. 0 x 2n e x2 dx π 2 3. 0 sinm x cos n xdx 4. 1 0 5. 0 dx (1 x m ) 1 n x m 1 (1+x) n dx

126 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU 9.5 Exerciţii 1. Să se studieze convergenţa integralelor: (a) 0 (b) 1 (c) 1 x 3 1+x 2 dx; arctg x x dx; dx ; 2x+(x 2 +1) 3 1 +5 (h) 0 (i) 2 0 (j) 1 0 dx x 2 + 3 x 4 +1 dx x ; 2 x dx 3 ; 1 x 2 (d) 0 (e) 1 (f) 0 (g) 0 x 5 2 1+x dx 2 dx x ; 1+x 2 dx 1+x ; 4 xdx (x 5 +1) 1 2 ; (k) 1 0 (l) 1 0 (m) π 2 0 (n) 2 1 2. Să se calculeze următoarele integrale improprii: (a) 0 (b) 0 (c) (d) 1 0 (e) 0 1 (f) 1 1 dx 1+x ; 2 dx 1+x ; 2 dx 1+x ; 2 1 dx; 1 x 2 1 dx; 1 x 2 1 dx; 1 x 2 (g) 0 (h) (i) 1 (j) 1 (k) 1 dx 4 1 x 4 dx x 3 +3x ; 2 ctg xdx; dx ln x arctg x 1+x 2 ; dx x 2 +4x+9 ; dx x ln x ; x (1+x) 2 dx; dx x ; x 2 +1 (l) 0 e ax sin bxdx, a > 0 3. Să se calculeze dx (x+1), arătând mai întâi că este convergentă. x 2 1 0 R: 2. 4. Să se calculeze: b b x (a) x a dx; a R: (b a)π 2. (b) 2π 0 R: 2π 3. dx 2 sin x+3 cos x+4.

9.5. EXERCIŢII 127 5. Să se calculeze π 0 să se calculeze π R: 0 π dx a+cos x = 6. Să se calculeze 0 dx a+cos x, a > 0 şi apoi, considerând pe a ca parametru, dx (a+cos x). 2 π ; π a 2 1 0 dx (a+cos x) 2 = πa(a 2 1) 3 2 0 1 x b x a ln x dx folosind egalitatea b a dy 1 0 x y dx = 1 0 dx b a x y dy. R: ln 1+b 1+a.

128 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII ŞI CU PARAMETRU

Capitolul 10 Integrala curbilinie 10.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe Definiţia 10.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. 1. Se numeşte curbă plană o mulţime de puncte din R 2 ale căror coordonate sunt date parametric prin x = x(t) (C) y = y(t), t [a, b]; 2. Se numeşte curbă în spaţiu o mulţime de puncte din R 3 ale căror coordonate sunt date parametric prin x = x(t) (C) y = y(t) z = z(t), t [a, b]. Dacă funcţiile x(t), y(t), z(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentările parametrice de mai sus se numesc drumuri. O curbă poate fi dată prin mai multe parametrizări, deci poate fi imaginea mai multor drumuri echivalente. De exemplu, un cerc cu centrul în origine şi de rază R are reprezentarea parametrică x = R cos t, y = R sin t, t [0, 2π]. În acelaşi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat şi prin x = t, y = R 2 t 2, t [ R, R]. 129

130 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE Definiţia 10.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t [a, b] un drum în plan. Spunem că acest drum este: 1. închis dacă x(a) = x(b), y(a) = y(b); 2. simplu dacă r(t) este o funcţie injectivă. Aşadar curba corespunzătoare nu are puncte multiple, nu se autointersectează; 3. neted dacă x(t), y(t) au derivată continuă şi nu există nicio valoare t [a, b] pentru care x (t) = y (t) = 0. În mod similar se pot defini noţiunile de mai sus şi pentru curbe în spaţiu. Un punct corespunzător unei valori t 0 [a, b] cu proprietatea că x (t 0 ) = y (t 0 ) = 0 se numeşte punct singular al curbei. Pentru astfel de puncte, tangenta la curbă nu există. Aşadar, un drum neted are proprietatea că admite tangentă în orice punct. Definiţia 10.3. Fie C 1 şi C 2 două curbe date prin reprezentările parametrice (C 1 ) r 1 (t) = (x 1 (t), y 1 (t)), t [a, b] (C 2 ) r 2 (t) = (x 2 (t), y 2 (t)), t [b, c] cu proprietatea că r 1 (b) = r 2 (b). Se numeşte juxtapunerea curbelor C 1 şi C 2 următoarea curbă: r 1 (t), dacă t [a, b] C 1 C 2 r(t) = r 2 (t), dacă t [b, c]. Definiţia 10.4. Un drum se numeşte neted pe porţiuni dacă este juxtapunerea unui număr finit de drumuri netede. Să considerăm acum o curbă dată prin şi o diviziune (C) r(t) = (x(t), y(t)), t [a, b] a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n 1 < t n = b a intervalului [a, b]. Notăm cu M 0, M 1, M 2,..., M n punctele de pe curbă corespunzătoare punctelor diviziunii, aşadar M i (x(t i ), y(t i )), i = 0, 1,..., n. Aceste puncte definesc o diviziune a lui C, pe care o vom nota cu C. Numim normă a diviziunii C numărul C = max M im i+1, i=0,...,n 1

10.2. INTEGRALA CURBILINIE DE PRIMA SPEŢĂ 131 unde prin M i M i+1 înţelegem lungimea segmentului M i M i+1, mai precis M i M i+1 = (x(t i+1 ) x(t i )) 2 + (y(t i+1 ) y(t i )) 2, i = 0, 1,..., n 1 Diviziunea C a lui C defineşte o linie poligonală M 0 M 1 M 2... M n 1 M n înscrisă în C, a cărei lungime este l C = n 1 n 1 M i M i+1 = (x(t i+1 ) x(t i )) 2 + (y(t i+1 ) y(t i )) 2 i=0 i=0 Definiţia 10.5. O curbă C se numeşte rectificabilă dacă există şi este finită limita lungimilor liniilor poligonale înscrise în C când norma diviziunii tinde către 0. Valoarea acestei limite se numeşte lungimea curbei C. L = lim C 0 l C Teorema 10.1. Fie o curbă netedă dată prin x = x(t) (C) y = y(t), t [a, b]; Atunci lungimea acestei curbe este L = a b x (t) 2 + y (t) 2 dt. Cantitatea ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt se numeşte elementul de arc pe curba C. În mod similar se definesc lungimea unei curbe şi elementul de arc pentru curbe în spaţiu: L = a b x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt ds = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt 10.2 Integrala curbilinie de prima speţă Fie din nou o curbă plană netedă dată prin x = x(t) (C) y = y(t), t [a, b]

132 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE şi o diviziune C = {M 0, M 1, M 2,..., M n } corespunzătoare diviziunii a = t 0 < t 1 < t 2 < < t n a intervalului [a, b]. Considerăm acum pe fiecare dintre arcele de curbă M i M i+1 punctele intermediare P i corespunzătoare valorilor t = θ i [t i, t i+1 ], i = 0, 1,..., n 1. Notăm prin t i+1 s i = x (t) 2 + y (t) 2 dt, i = 0, 1,..., n 1 t i lungimile arcelor de curbă M i M i+1 corespunzătoare diviziunii C. Definiţia 10.6. Fie f D R o funcţie de două variabile, unde domeniul D include curba C. Se numeşte sumă integrală a funcţiei f corespunzătoare diviziunii C a curbei C şi punctelor intermediare P i suma σ C (f) = n 1 n 1 f(p i )s i = f(x(θ i ), y(θ i ))s i. i=0 i=0 Definiţia 10.7. Fie funcţia de două variabile f D R şi o curbă C inclusă în domeniul D. Spunem că f este integrabilă pe curba C dacă pentru orice şir de diviziuni C cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare P i, şirurile corespunzătoare de sume integrale σ C (f) au o limită finită comună I: lim σ C (f) = I c 0 Această valoare I se numeşte integrala curbilinie de prima speţă a funcţiei f pe curba C şi se notează cu C f(x, y)ds. Teorema 10.2. Fie o curbă netedă C dată parametric prin x = x(t) (C) y = y(t), t [a, b] şi o funcţie f D R, unde domeniul D include curba C. Dacă funcţia compusă f(x(t), y(t)) este integrabilă pe [a, b], atunci f este integrabilă pe C şi avem C f(x, y)ds = a b f(x(t), y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt.

10.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPEŢA A DOUA 133 Teorema 10.3. Fie C = C 1 C 2... C p un drum neted pe porţiuni şi f o funcţie integrabilă pe fiecare C i, i = 1,..., p. Atunci f este integrabilă pe C şi avem C f(x, y)ds = p i=1 Ci f(x, y)ds. În mod similar se defineşte integrala curbilinie de prima speţă a unei funcţii de trei variabile pe o curbă netedă în spaţiu, şi avem: C f(x, y, z)ds = a b f(x(t), y(t), z(t)) x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt. 10.3 Integrala curbilinie de speţa a doua Fie o curbă plană netedă C pe care alegem un sens de parcurgere, şi o diviziune C = {M 0, M 1, M 2,..., M n }, unde M i (x i, y i ), i = 0,..., n. Considerăm acum pe fiecare dintre arcele de curbă M i M i+1 punctele intermediare P i (α i, β i ), i = 0, 1,..., n 1. Definiţia 10.8. Fie f D R o funcţie de două variabile, unde domeniul D include curba C. I. Se numeşte sumă integrală în raport cu x a funcţiei f corespunzătoare diviziunii C şi punctelor intermediare P i suma σ x C (f) = n 1 f(α i, β i )(x i+1 x i ). i=0 II. Se numeşte sumă integrală în raport cu y a funcţiei f corespunzătoare diviziunii C şi punctelor intermediare P i suma σ y C (f) = n 1 f(α i, β i )(y i+1 y i ). i=0 Definiţia 10.9. Fie f D R o funcţie de două variabile, unde domeniul D include curba C. I. Spunem că f este integrabilă pe C în raport cu x dacă pentru orice şir de diviziuni C cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare P i, şirurile corespunzătoare de sume integrale σ x C (f) au o limită finită comună I x : lim C 0 σx C (f) = I x

134 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE Această valoare I x se numeşte integrala curbilinie de speţa a doua în raport cu x a funcţiei f pe curba C şi se notează cu C f(x, y)dx. II. Spunem că f este integrabilă pe C în raport cu y dacă pentru orice şir de diviziuni C cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare P i, şirurile corespunzătoare de sume integrale σ y C (f) au o limită finită comună I y : lim C 0 σy C (f) = I y Această valoare I y se numeşte integrala curbilinie de speţa a doua în raport cu y a funcţiei f pe curba C şi se notează cu C f(x, y)dy. Observăm că dacă C este aceeaşi curbă dar parcursă în sens opus, atunci sumele integrale corespunzătoare aceleiaşi diviziuni îşi schimbă semnul, aşadar avem C f(x, y)dx = C f(x, y)dx; C f(x, y)dy = C f(x, y)dy. Definiţia 10.10. Fie o curbă netedă orientată C R 2 şi P, Q D R 2 R, unde D include curba C. Dacă P este integrabilă pe C în raport cu x, iar Q este integrabilă pe C în raport cu y, atunci integrala C P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C P (x, y)dx + C Q(x, y)dy se numeşte integrală curbilinie de speţa a doua sub forma generală. Teorema 10.4. Fie o curbă netedă orientată x = x(t) C y = y(t), t [a, b] şi P, Q D R 2 R, unde D include curba C. Dacă funcţiile compuse P (x(t), y(t)) şi Q(x(t), y(t)) sunt continue pe [a, b], atunci avem C P (x, y)dx + Q(x, y)dy = a b [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt.

10.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPEŢA A DOUA 135 Demonstraţie. Fie o diviziune {A = A 0, A 1,..., A n = B} a curbei C corespunzătoare valorilor a = t 0 < t 1 < < t n = b şi punctele intermediare M i (t = τ i ), τ i [t i, t i+1 ] i = 1,..., n. Atunci suma integrală corespunzătoare funcţiei P este σ x = n 1 n 1 P (x(τ i ), y(τ i ))(x(t i+1 ) x(t i )) = i=0 Pe de altă parte, I = de unde rezultă că a b σ x I = P (x(t), y(t))x (t)dt = n 1 i=0 t i t i+1 n 1 i=0 i=0 t i t i+1 P (x(τ i ), y(τ i )) t i t i+1 P (x(t), y(t))x (t)dt [P (x(τ i ), y(τ i )) P (x(t), y(t))] x (t)dt x (t)dt Deoarece funcţia P (x(t), y(t)) este continuă, rezultă că pentru orice ε > 0, dacă diviziunea este suficient de fină avem P (x(τ i ), y(τ i )) P (x(t), y(t)) < ε. De asemenea, deoarece funcţia continuă x (t) este mărginită, avem x (t) < M, de unde deducem σ x I < εm b a Trecând la limită cu norma diviziunii tinzând către 0, obţinem În mod analog se arată că (AB) P (x, y)dx = (AB) Q(x, y)dy = a a b b P (x(t), y(t))x (t)dt Q(x(t), y(t))y (t)dt În mod similar se defineşte integrala curbilinie de speţa a doua pentru curbe în spaţiu, iar teorema de mai sus se transcrie: C P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = = a b [P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + P (x(t), y(t), z(t))z (t)] dt. Dacă C = C 1 C 2 este o curbă netedă pe porţiuni, atunci avem: C P dx + Qdy + Rdz = C1 P dx + Qdy + Rdz + C2 P dx + Qdy + Rdz

136 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE 10.4 Independenţa de drum a unei integrale curbilinii Definiţia 10.11. 1. Un sistem de coordonate xoy se numeşte orientat drept dacă axa Oy se obţine din axa Ox prin rotirea acesteia cu 90 o în sens trigonometric (contrar acelor de ceasornic) 2. Într-un plan orientat drept, se numeşte sens pozitiv de parcurgere al unei curbe simple închise, acela în care partea cea mai apropiată de observator a mulţimii mărginite de curbă este situată la stânga observatorului. Prin convenţie, dacă drumul de integrare C este o curbă închisă simplă şi dacă nu există nicio indicaţie asupra sensului de parcurgere al conturului, prin C P dx + Qdy se înţelege o integrală luată în sensul pozitiv. Definiţia 10.12. 1. O mulţime D se numeşte mulţime conexă dacă oricum am descompune-o în două mulţimi D 1 şi D 2 disjuncte şi nevide, cel puţin una dintre acestea are un punct de acumulare în cealaltă 2. O mulţime D deschisă şi conexă se numeşte domeniu. Într-un domeniu D, oricare ar fi punctele A, B D, există o linie poligonală L D care uneşte punctele A şi B. Teorema 10.5. Fie C = (AB) o curbă netedă pe porţiuni conţinută într-un domeniu D. Dacă funcţiile P (x, y) şi Q(x, y) sunt continue pe D, atunci condiţia necesară şi suficientă pentru ca integrala curbilinie I = (AB) P dx + Qdy să nu depindă de drum în D este să existe o funcţie V (x, y) diferenţiabilă pe D astfel încât să avem dv = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, (x, y) D (10.1) O astfel de funcţie V se numeşte primitivă a expresiei de sub integrală. Observaţii: 1. Din condiţia (10.1) rezultă V x = P (x, y), V y = Q(x, y) Derivând aceste relaţii în raport cu y, respectiv x, obţinem P y = Q, (x, y) D x în ipoteza că P şi Q admit derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D.

10.4. INDEPENDENŢA DE DRUM A UNEI INTEGRALE CURBILINII137 2. Integrala curbilinie (AB) P dx+qdy nu depinde de drum într-un domeniu D dacă şi numai dacă este nulă pe orice curbă închisă conţinută în D. 3. Dacă integrala (AM) P dx + Qdy nu depinde de drum, alegând un drum particular paralel cu axele de coordonate A(a, b) N(x, b) M(x, y) se obţine pentru primitiva V (x, y) formula V (x, y) = (AM) P dx + Qdy = a x P (t, b)dt + b y Q(x, t)dt deci integrala pe orice drum ce uneşte punctele A şi B are valoarea iar cum V (A) = 0, putem scrie adică formula lui Leibniz-Newton. (AB) P dx + Qdy = V (B) (AB) P dx + Qdy = V (B) V (A) Teorema 10.6. Fie C = (AB) o curbă netedă pe porţiuni conţinută într-un domeniu D. Dacă funcţiile P (x, y, z), Q(x, y, z) şi R(x, y, z) sunt continue pe D, atunci condiţia necesară şi suficientă pentru ca integrala curbilinie I = (AB) P dx + Qdy + Rdz să nu depindă de drum în D este să existe o funcţie V (x, y, z) diferenţiabilă pe D astfel încât să avem dv = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz, (x, y, z) D (10.2) Observaţii: 1. Din condiţia (10.2) rezultă V x = P (x, y, z), V y = Q(x, y, z), V z = R(x, y, z) Derivând aceste relaţii în raport cu x, y, z, obţinem P y = Q x, Q z = R y, R x = P, (x, y, z) D z în ipoteza că P, Q şi R admit derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D.

138 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE 2. Integrala curbilinie (AB) P dx + Qdy + Rdz nu depinde de drum întrun domeniu D dacă şi numai dacă este nulă pe orice curbă închisă conţinută în D. 3. Dacă integrala (AM) P dx+qdy +Rdz nu depinde de drum, alegând un drum particular paralel cu axele de coordonate A(a, b, c) N(x, b, c) P (x, y, c) M(x, y, z) se obţine pentru primitiva V (x, y, z) formula V (x, y, z) = a x P (t, b, c)dt + b y Q(x, t, c)dt + c z R(x, y, t)dt deci integrala pe orice drum ce uneşte punctele A şi B are valoarea (AB) P dx + Qdy + Rdz = V (B) Definiţia 10.13. 1. Un domeniu plan D se numeşte simplu conex dacă orice contur C închis şi simplu din D delimitează un domeniu conţinut în întregime în D. 2. Un domeniu D din spaţiu se nnumeşte simplu conex dacă pentru orice curbă C închisă şi simplă din D există cel puţin o suprafaţă S mărginită de C situată în întregime în D. 3. Un domeniu care nu este simplu conex se numeşte multiplu conex. Un astfel de domeniu în plan conţine goluri, iar în spaţiu conţine tuburi Teorema 10.7. Presupunem că funcţiile P şi Q sunt continue împreună cu derivatele lor parţiale într-un domeniu multiplu conex D şi care îndeplinesc condiţia P y = Q x pe D. Fie C 1 şi C 2 două contururi care înconjoară un gol G al acestui domeniu. Atunci avem C1 P dx + Qdy = C2 P dx + Qdy Pentru o integrală independentă de drum, pe orice curbă închisă care înconjoară un gol G, integrala are aceeaşi valoare numită constantă ciclică. Teorema 10.8. Presupunem că funcţiile P, Q şi R sunt continue împreună cu derivatele lor parţiale într-un domeniu multiplu conex D R 3 şi care îndeplinesc condiţiile P y = Q x, Q z = R y, R x = P z pe D. Fie C 1 şi C 2 două contururi care înconjoară un tub T al acestui domeniu. Atunci avem C1 P dx + Qdy + Rdz = C2 P dx + Qdy + Rdz Pentru o integrală independentă de drum, pe orice curbă închisă care înconjoară un tub T, integrala are aceeaşi valoare numită constantă ciclică.

10.5. APLICAŢII ALE INTEGRALEI CURBILINII 139 10.5 Aplicaţii ale integralei curbilinii ˆ Masa unui corp filiform: unde ρ este densitatea de masă. m(c) = C ρ(x, y, z)ds ˆ Coordonatele centrului de greutate al unui corp filiform: x G = C xρds C ρds, y G = C yρds C ρds, z G = C zρds C ρds unde ρ este densitatea de masă. ˆ Aria unui domeniu plan: A(D) = 1 2 C xdy ydx unde D este domeniul plan delimitat de curba închisă netedă (sau netedă pe porţiuni) C. ˆ Lucrul mecanic al unui câmp de forţe: L = C F d r = C P dx + Qdy + Rdz unde P, Q şi R sunt componentele forţei F care acţionează asupra unui corp care se deplasează de-a lungul curbei C. 10.6 Exerciţii 1. Să se calculeze lungimea unui cerc de rază R. 2. Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de prima speţă: (a) xyds, unde (C) y = x 2, x [ 1, 1]; (C) R: 0; (b) (C) y 5 ds, unde (C) x = y4 4, y [0, 2]; R: 1 9 (65 3 2 1).

140 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE (c) C xyds, C fiind porţiunea din primul cadran a elipsei x2 a 2 + y2 b 2 = 1. R: ab(a2 +ab+b 2 ) 3(a+b). (d) xyzds, unde curba (C) este dată prin (C) R: 16 2 143. x = t (C) y = 3 1 8t 3, t [0, 1]. z = 1 2 t2 (e) C (x + y + z)ds, unde C este elicea circulară x = r cos t, y = r sin t, z = ht, t [0, 2π]. 3. Să se calculeze C xdx + dy xzdz, unde curba C este juxtapunerea curbelor C 1, C 2 şi C 3 parcursă în sensul precizat pe figura: 4. Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de al doilea tip: (a) (x 2 + y 2 )dx; (C) y = x 2, x [0, 2] (C) R: 136 15 (b) (x 2 + y 2 )dy; (C) y = x 2, x [0, 2] (C) R: 88 3 (c) 2xydx+x 2 dy; (C) 1) y = x, 2) y = x 2, 3) x = y 2, 4) y = x 3, x [0, 1] (C) R: 1

10.6. EXERCIŢII 141 (d) y 2 dx x 2 dy; (C) 1) x = cos t, y = sin t, 2) x = 1+cos t, y = 1 + sin t, (C) t [0, 2π] R: 0, 4π (e) xdx + xydy + xyzdz; (C) x = e t, y = e t, z = 2t, t [0, 1] (C) R: e2 1 2 + 1 e 5. Să se calculeze următoarele integrale curbilinii, constatând în prealabil că sunt independente de drum. S-au specificat numai capetele curbei de integrare. (a) ydx + xdy, A(2, 1), B(1, 3) (C) R: 1 (b) yzdx + xzdy + xydz, A(1, 1, 0), B(2, 3, 1) (C) R: 6 6. Să se afle constanta ciclică a integralei (C) (0, 0). R: π 3 dy ydx 9x 2 +4y 2 referitor la punctul 7. Să se afle masa segmentului curbei y = ln x cuprins între punctele de abscise x 1 şi x 2, dacă densitatea liniară a curbei în fiecare punct este egală cu pătratul abscisei punctului. R: 1 3 [(1 + x2 2 ) 3 2 (1 + x 2 1 ) 3 2 ] 8. Să se calculeze masa firului material cu densitatea ρ şi care este imaginea curbei (C) x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, t [0, a], ρ = R: k 3 2 (1 e a ) k x 2 + y 2 + z 2 9. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate ale următoarelor fire materiale omogene (ρ = 1): (a) (C) x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t [0, π 2 ], a > 0 (b) (C) x = π t cos t, y = π t sin t, z = t, t [0, π] (c) (C) x = e t cos t, y = e t sin t, z = e t, t (, 0]

142 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE 10. Să se calculeze aria elipsei cu semiaxele a şi b. R: πab 11. Să se calculeze aria astroidei: x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t [0, 2π]; R: 3a2 π 8 12. Să se calculeze lucrul mecanic al forţei F, când punctul de aplicaţie se deplasează pe curba (C): (a) F = k(x i + y j ); (C) x = a cos 3 t, y = b sin 3 t, t [0, π 2 ] R: k 2 (a2 b 2 ) (b) F = k(x i +y j +z k ) z x 2 +y 2 +z 2 ; (C) x = at, y = bt, z = ct, t [1, 2]; R: k c a2 + b 2 + c 2 ln 2

Capitolul 11 Integrala dublă 11.1 Definirea integralei duble Fie D R 2 o mulţime de puncte din plan. Se numeşte diametru al mulţimii D marginea superioară a distanţelor dintre două puncte din D: d(d) = sup AB. A,B D Spunem că o mulţime de puncte din plan este mărginită dacă diametrul ei este finit. Definiţia 11.1. Fie o mulţime mărginită D R 2. Se numeşte diviziune a mulţimii D o mulţime finită de submulţimi ale lui D, fără puncte interioare comune, a căror reuniune este D: = {D 1, D 2,..., D n }, D i D, i = 1,..., n, n i=1 D i = D. Pentru o diviziune a domeniului D, notăm cu d i şi ω i diametrul, respectiv aria submulţimii D i, şi alegem câte un punct intermediar P i (α i, β i ) D i, i = 1,..., n. Definim de asemenea norma diviziunii. = max i=1,...,n d i Definiţia 11.2. Fie f D R o funcţie de două variabile. Se numeşte sumă Riemann a funcţiei f corespunzătoare diviziunii a mulţimii D şi punctelor intermediare P i următoarea sumă: σ (f) = n i=1 f(p i )ω i = 143 n i=1 f(α i, β i )ω i.

144 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ Definiţia 11.3. Spunem că funcţia f D R este integrabilă pe D dacă pentru orice şir de diviziuni ale lui D cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare P i, şirurile corespunzătoare de sume Riemann σ (f) au o limită finită comună I: lim σ (f) = I 0 Această valoare I se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D şi se notează cu D f(x, y)dxdy. Dacă funcţia f este mărginită, atunci putem defini m i = inf f(x, y), M i = sup f(x, y), i = 1,..., n. (x,y) D i (x,y) D i Definiţia 11.4. Fie f D R mărginită şi o diviziune a lui D. Sumele s = n i=1 m i ω i, S = n i=1 M i ω i se numesc sume Darboux inferioară, respectiv superioară corespunzătoare funcţiei f şi diviziunii. Avem următoarea inegalitate: unde m = mω s σ (f) S MΩ inf f(x, y), M = sup f(x, y) şi Ω este aria domeniului D. (x,y) D (x,y) D Teorema 11.1 (Criteriul de integrabilitate Darboux). Funcţia f D R este integrabilă pe D dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0, există δ > 0 astfel încât pentru orice diviziune cu < δ să avem S s < ε. Teorema 11.2. Fie f D R continuă pe domeniul închis şi mărginit D. Atunci F este integrabilă pe D. Demonstraţie. Deoarece funcţia f este continuă pe domeniul închis şi mărginit D, rezultă că este şi uniform continuă pe acest domeniu, deci pentru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât pe orice subdomeniu al lui D cu diametrul mai mic decât δ, variaţia funcţiei este mai mică decât ε Ω, unde Ω este aria lui D. Dacă alegem o diviziune a lui D astfel încât < δ, avem M i m i < ε, i = 1,..., n Ω

11.2. PROPRIETĂŢI ALE FUNCŢIILOR INTEGRABILE 145 de unde S s = n i=1(m i m i )ω i < ε Ω n i=1 ω i = ε de unde conform criteriului de integrabilitate Darboux rezultă că f este integrabilă pe D. Teorema 11.3. Dacă mulţimea tuturor punctelor de discontinuitate ale funcţiei f D R constă dintr-un număr finit de curbe netede, atunci f este integrabilă. Aşadar, dacă se modifică în mod arbitrar valorile funcţiei f integrabilă pe D, de-a lungul unui număr finit de curbe netede, iar funcţia modificată rămâne mărginită, atunci noua funcţie este de asemenea integrabilă pe D, iar integrala ei este aceeaşi cu integrala lui f. 11.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile 1. Dacă f este o funcţie constantă f(x, y) = c, (x, y) D, atunci D f(x, y)dxdy = ca(d) unde A(D) este aria domeniului D. În particular, pentru c = 1 găsim A(D) = D dxdy; 2. Dacă f şi g sunt integrabile pe D şi α, β R, atunci αf + βg este integrabilă pe D şi D (αf(x, y) + βg(x, y)) dxdy = α D f(x, y)dxdy+β D g(x, y)dxdy; 3. Dacă f şi g sunt integrabile pe D şi f(x, y) g(x, y), (x, y) D, atunci D f(x, y)dxdy D g(x, y)dxdy; 4. Dacă f este integrabilă pe D, atunci şi f este integrabilă pe D şi avem D f(x, y)dxdy D f(x, y) dxdy;

146 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ 5. Teorema de medie: dacă f şi g sunt integrabile pe D şi dacă g 0, atunci există µ [m, M], unde m = f(x, y), M = sup f(x, y), astfel încât inf (x,y) D D f(x, y)g(x, y)dxdy = µ D g(x, y)dxdy; (x,y) D 6. Dacă f este continuă pe D iar g este integrabilă şi pozitivă pe D, atunci există (ξ, η) D astfel încât D f(x, y)g(x, y)dxdy = f(ξ, η) D g(x, y)dxdy; 7. Dacă f este integrabilă pe D, atunci există o valoare µ [m, M], unde m = f(x, y), M = sup f(x, y), astfel încât inf (x,y) D (x,y) D D f(x, y)dxdy = µa(d); 8. Dacă f este continuă pe D, atunci există (ξ, η) D astfel încât D f(x, y)dxdy = f(ξ, η)a(d); 9. Proprietatea de aditivitate: Dacă f este integrabilă pe D, care este împărţit în două subdomenii D 1 şi D 2 printr-o curbă netedă (eventual pe porţiuni), atunci f este integrabilă pe D 1 şi D 2, şi avem D f(x, y)dxdy = D1 f(x, y)dxdy + D2 f(x, y)dxdy; 11.3 Metode de calcul pentru integrale duble 11.3.1 Integrarea pe domenii dreptunghiulare Teorema 11.4. Fie o funcţie f integrabilă pe domeniul dreptunghiular D = {(x, y) R 2 a x b, c y d} astfel încât pentru orice x [a, b] există integrala I(x) = d c există şi integrala b a I(x)dx şi avem D f(x, y)dxdy = a b [ c d f(x, y)dy] dx. f(x, y)dy. Atunci

11.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE DUBLE 147 Demonstraţie. Considerăm diviziunile x a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b y c = y 0 < y 1 < < y m 1 < y m = d ale intervalelor [a, b], respectiv [c, d]. descompune în Fie Corespunzător, dreptunghiul D se = {D ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i = 1,..., n, j = 1,..., m} m ij = Pentru x = ξ i [x i 1, x i ] fixat avem: inf f(x, y), M ij = sup f(x, y) (x,y) D ij (x,y) D ij m ij f(ξ i, y) M ij, y [y j 1, y j ] Integrând în raport cu y pe [y j 1, y j ], obţinem: y j m ij (y j y j 1 ) f(ξ i, y)dy M ij (y j y j 1 ), j = 1,..., m y j 1 Sumând acum după indicele j = 1,..., m găsim m j=1 m ij (y j y j 1 ) c d f(ξ i, y)dy = I(ξ i ) m j=1 M ij (y j y j 1 ) Înmulţind această dublă inegalitate cu (x i x i 1 ) şi sumând după indicele i = 1,..., n avem: n m m ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) i=1 j=1 adică n i=1 n m I(ξ i )(x i x i 1 ) M ij (x i x i 1 )(y j y j 1 ) s σ x (I(x), ξ i ) S i=1 j=1 Trecând acum la limită cu x 0 şi y 0 obţinem D f(x, y)dxdy = a b I(x)dx Teorema 11.5. Fie o funcţie f integrabilă pe domeniul dreptunghiular D = {(x, y) R 2 a x b, c y d} astfel încât pentru orice y [c, d] există integrala I(y) = b a există şi integrala d c I(y)dy şi avem D f(x, y)dxdy = c d [ a b f(x, y)dx] dy. f(x, y)dx. Atunci

148 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ 11.3.2 Integrarea pe domenii simple Definiţia 11.5. Un domeniu plan mărginit de două drepte verticale x = a şi x = b şi de graficele a două funcţii continue y = g 1 (x) şi y = g 2 (x) D = {(x, y) R 2 a x b, g 1 (x) y g 2 (x)} se numeşte simplu în raport cu axa Oy. Pentru un astfel de domeniu avem: Teorema 11.6. Fie o funcţie f integrabilă pe domeniul D simplu în raport cu Oy astfel încât pentru orice x [a, b] există integrala F (x) = g 2(x) g 1 (x) f(x, y)dy. Atunci există şi integrala b a F (x)dx şi avem D f(x, y)dxdy = a b [ g 2 (x) g 1 (x) f(x, y)dy] dx. Demonstraţie. Acoperim domeniul D cu dreptunghiul D = [a, b] [c, d] unde c = min a x b g 1(x), d = max a x b g 2(x) şi definim pe acest dreptunghi funcţia f D R, f f(x, y), (x, y) D (x, y) = 0, (x, y) D D Funcţia f este integrabilă pe D şi avem D f (x, y)dxdy = D f(x, y)dxdy De asemenea, f este integrabilă şi pe D D deoarece este funcţie constantă (f (x, y) = 0) şi are integrala D D f (x, y)dxdy = 0 Deci f este integrabilă pe tot dreptunghiul D (valorile de pe frontiera lui D nu joacă niciun rol) şi avem D f (x, y) = D f(x, y)dxdy.

11.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE DUBLE 149 Pentru x [a, b] fixat avem c d f (x, y)dy = = c g 1 (x) g 2 (x) g 1 (x) Acum, conform teoremei 11.4 f (x, y)dy + f(x, y)dy g 2 (x) g 1 (x) D f(x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy = = a b [ g 2 (x) g 1 (x) f (x, y)dy + a b [ f(x, y)dy] dx. c d d g 2 (x) f (x, y)dy f (x, y)dy] dx = Definiţia 11.6. Un domeniu plan mărginit de două drepte orizontale y = c şi y = d şi de graficele a două funcţii continue x = h 1 (y) şi x = h 2 (y) D = {(x, y) R 2 c y d, h 1 (y) x h 2 (y)} se numeşte simplu în raport cu axa Ox. Pentru un astfel de domeniu avem: Teorema 11.7. Fie o funcţie f integrabilă pe domeniul simplu în raport cu Ox astfel încât pentru orice y [c, d] există integrala G(y) = h 2(y) h 1 (y) f(x, y)dx. Atunci există şi integrala d c G(y)dy şi avem D f(x, y)dxdy = c d [ h 2 (y) h 1 (y) f(x, y)dx] dy. 11.3.3 Continuitatea şi derivabilitatea integralei duble funcţie de limitele de integrare Teorema 11.8. Dacă funcţia f D R este integrabilă pe D, atunci funcţia este continuă pe D. F (x, y) = a x [ b y f(u, v)dv] du

150 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ Teorema 11.9. Dacă funcţia f D R este continuă pe D, atunci funcţia F (x, y) = a x [ b y f(u, v)dv] du are derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D, date prin F x = b y f(x, v)dv, F y = a x f(u, y)du. În plus, derivatele de ordinul doi mixte există şi sunt date prin 11.3.4 Formula lui Green 2 F x y = 2 F = f(x, y) y x Teorema 11.10 (Formula lui Green). Fie D un domeniu plan închis, mărginit de o curbă C închisă şi netedă (pe porţiuni), şi astfel încât atât paralelele la axa Ox cât şi paralelele la axa Oy intersectează curba C numai în două puncte. Fie P, Q D R două funcţii de 2 variabile, continue, astfel încât P are derivată parţială continuă în raport cu y şi Q are derivată parţială continuă în raport cu x. Atunci avem: C P (x, y)dx + Q(x, y)dy = D ( Q x P y ) dxdy unde sensul de parcurgere al curbei C este ales astfel încât domeniul D să rămână în stânga. Demonstraţie. Presupunem mai întâi că domeniul D este simplu în raport cu Oy, mărginit de curbele (M 1 N 1 ) y = g 1 (x), (M 2 N 2 ) y = g 2 (x), a x b şi segmentele M 1 M 2, N 1 N 2 paralele cu axa Oy. Conform teoremei 11.4, avem P D y dxdy = a b [ g 2 (x) g 1 (x) P y dy] dx = a b P (x, g 2 (x))dx = P (x, y)dx (N2 P (x, y)dx M 2 ) (M1 N 1 ) a b P (x, g 1 (x))dx Adăugând integralele (N1 N 2 ) P (x, y)dx şi (M2 M 1 ) P (x, y)dx care sunt nule, obţinem D P y dxdy = C P (x, y)dx (11.1) Dacă domeniul nu este simplu în raport cu Oy, îl putem descompune într-un număr finit de domenii simple în raport cu Oy, şi sumând integralele pe aceste domenii găsim că (11.1) este valabilă în general.

11.4. APLICAŢII ALE INTEGRALEI DUBLE 151 În mod asemănător se obţine D Q x dxdy = C Q(x, y)dy (11.2) descompunând domeniul într-un număr finit de domenii simple în raport cu Ox. Din (11.1) şi (11.2) se obţine formula din enunţ. 11.3.5 Schimbare de variabilă Teorema 11.11. Fie două domenii plane D şi D mărginite de curbe închise netede (eventual pe porţiuni), şi o funcţie vectorială bijectivă ϕ D D, ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), (u, v) D ale cărei componente admit derivate parţiale continue în raport cu x şi y. Atunci aria domeniului D este unde D(x,y) x D(u,v) = u y u x v y v A(D) = D D(x, y) D(u, v) dudv este jacobianul transformării ϕ. Teorema 11.12. Fie f D R continuă şi transformarea ϕ definită mai sus. Atunci avem: D f(x, y)dxdy = D D(x, y) f(x(u, v), y(u, v)) D(u, v) dudv. 11.4 Aplicaţii ale integralei duble ˆ Masa unei plăci plane: unde ρ este densitatea de masă. m(d) = D ρ(x, y)dxdy ˆ Coordonatele centrului de greutate al unei plăci plane: unde ρ este densitatea de masă. x G = D xρdxdy D ρdxdy, y G = D yρdxdy D ρdxdy

152 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ ˆ Momente de inerţie: momentul de inerţie faţă de originea axelor: I O = (x 2 + y 2 )ρ(x, y)dxdy D momentul de inerţie faţă de axele de coordonate: I Ox = y 2 ρ(x, y)dxdy, I Oy = D x 2 ρ(x, y)dxdy D unde ρ este densitatea de masă. 11.5 Exerciţii 1. Să se calculeze următoarele integrale duble: (a) D (5x 2 y 2y 3 )dxdy, unde D = {(x, y) R 2 2 x 5, 1 y 3} R: 660 (b) D x 2 1 + y 2 dxdy, unde D = {(x, y) R2 0 x 1, 0 y 1} R: π 12 (c) D xe x+y dxdy, unde D = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1} R: e 1 (d) D (1 x)(1 xy)dxdy, unde D = {(x, y) R 2 1 x 3, 0 y 1} R: 1 3 (e) D xydxdy unde D este triunghiul determinat de punctele O(0, 0), A(1, 0), B(1, 2). D (g) (f) (2x + y)dxdy, unde D este triunghiul mărginit de axele de coordonate şi dreapta x + y = 3 R: 27 2 D x 2 y 2 dxdy, unde D este domeniul mărginit de dreptele x = 2, y = x şi hiperbola xy = 1 R: 9 4 (h) xydxdy, unde D este domeniul limitat de parabola y = x 2 şi de D dreapta y = 2x + 3 R: 53 + 1 3

11.5. EXERCIŢII 153 2. Să se calculeze schimbând ordinea de integrare integrala iterată 1 dx e 0 e x R: e 1 3. Folosind o schimbare de variabile convenabilă, să se calculeze următoarele integrale duble: (a) xydxdy, unde D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2, x > 0, y > 0} D R: R4 8 (b) D (c) D (d) D (x 2 + y 2 )dxdy, unde D = {(x, y) R 2 x x 2 + y 2 2x} R: 45π 32 dxdy 1+xy, unde D = {(x, y) R2 1 xy 2, x y 3x} R: ln 3 2 ln 3 2 e ( x 2 a 2 + y2 b 2 ) dxdy unde D este exteriorul elipsei x2 a + y2 2 b 1 = 0 2 R: πab e 4. Să se calculeze folosind formula lui Green următoarele integrale curbilinii: (a) 2(x 2 + y 2 )dx + (x + y) 2 dy, unde (C) este linia poligonală cu (C) vârfurile A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3) R: 4 3 (b) ( ydx + xdy), unde (C) x 2 + y 2 = 1 (C) R: 2π 5. Să se calculeze aria domeniului mărginit de curba x 2 3 +y 2 3 = a 2 3 (astroida). R: 3 8 πa2 6. Să se afle aria domeniului plan mărginit de curbele xy = 12, x 2 + y 13 = 0 situat în primul cadran dy ln y R: 52 3 12 ln 3 7. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unui dreptunghi de laturi a şi b dacă densitatea variază direct proporţional cu pătratul distanţei de la punct la unul din vârfurile dreptunghiului. R: x G = a(3a2 +2b 2 ) 4(a 2 +b 2 ), y G = a(2a2 +3b 2 ) 4(a 2 +b 2 )

154 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLĂ 8. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al domeniului plan mărginit de x 2 + y 2 = ax, x 2 + y 2 = bx, b > a cu densitatea ρ = k. R: x G = a2 +ab+b 2 4(a+b), y G = 0 9. Să se calculeze coordonatele centrelor de greutate pentru următoarele domenii plane: (a) 0 y sin x, 0 x π 4, ρ = 1; (b) x 2 + y 2 a 2, x 0, ρ = a 2 + x 2 + y 2 10. Să se calculeze momentele de inerţie în raport cu axele de coordonate ale domeniului plan determinat de de densitate ρ = 1 + xy. R: I x = I y = 11 120 x + y 1, x 0, y 0 11. Folosind integrala dublă improprie să se calculeze integrala Euler- Poisson R: π 2 I = 0 e x2 dx

Capitolul 12 Integrala de suprafaţă 12.1 Elemente de teoria suprafeţelor Definiţia 12.1. 1. Fie D un domeniu mărginit şi închis din R 2 şi funcţia F D R 3, F (u, v) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v)) Mulţimea S = {M(f(u, v), g(u, v), h(u, v)); (u, v) D} se numeşte suprafaţă dată prin reprezentarea parametrică x = f(u, v) (S) y = g(u, v) z = h(u, v) 2. Dacă funcţiile f, g, h sunt continue cu derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D şi dacă determinanţii funcţionali D(g, h) D(h, f) D(f, g),, D(u, v) D(u, v) D(u, v) nu se anulează simultan pe D, suprafaţa se numeşte suprafaţă netedă 3. Parametrii u şi v se numesc coordonate curbilinii ale unui punct de pe suprafaţa S. Curbele de pe suprafaţa S date prin u = u 0 şi v = v 0 se numesc curbe de coordonate Fie o suprafaţă netedă S. Prin punctul P 0 (u 0, v 0 ) trec curbele de coordonate u = u 0 şi v = v 0. Parametrii directori ai tangentei la curba u = u 0 în P 0 sunt f v (u 0, v 0 ), g v (u 0, v 0 ), h v (u 0, v 0 ) 155

156 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ iar ai tangentei la curba v = v 0 în P 0 sunt f u (u 0, v 0 ), g u (u 0, v 0 ), h u (u 0, v 0 ) Cosinuşii directori ai tangentelor corespunzătoare sunt unde f v ± G, g v ± G, h v ± G şi f u ± E, g u ± E, h u ± E E = (f u) 2 + (g u) 2 + (h u) 2 G = (f v) 2 + (g v) 2 + (h v) 2 toate derivatele fiind calculate în P 0. Unghiul θ dintre cele două curbe de coordonate este dat de cos θ = ± f uf v + g ug v + h uh v = ± F EG EG unde F = f uf v + g ug v + h uh v. Elementul lungime de arc al unei curbe oarecare de pe suprafaţa S este ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 expresie numită şi prima formă fundamentală a suprafeţei S. Cosinuşii directori ai normalei n la suprafaţă în punctul P 0 sunt A cos α = ± A2 + B 2 + C, cos β = ± B 2 A2 + B 2 + C, cos γ = ± C 2 A2 + B 2 + C 2 unde A = D(g, h) D(h, f) D(f, g), B =, C = D(u, v) D(u, v) D(u, v) În fiecare punct al suprafeţei S avem doi vectori normali la suprafaţă, de sensuri opuse. O astfel de suprafaţă se spune că are două feţe. Între A, B, C şi E, F, G avem identitatea: A 2 + B 2 + C 2 = EG F 2 Pentru vectorii tangenţi r u şi r v la curbele de coordonate în P 0 avem: r 2 u = E, r 2 v = G, ( r u, r v ) = F

12.2. ARIA UNEI SUPRAFEŢE 157 iar pentru versorul normalei n la suprafaţă avem n = ± r u r v r u r v Ecuaţia planului tangent la suprafaţă în P 0 este A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 unde x 0, y 0, z 0 sunt coordonatele carteziene ale lui P 0. 12.2 Aria unei suprafeţe Fie suprafaţa x = f(u, v) (S) y = g(u, v), (u, v) D z = h(u, v) unde D este un domeniu închis şi mărginit din R 2. Fie = {D 1, D 2,..., D p } o diviziune a domeniului D. Dreptelor u = u i, i = 1,..., m şi v = v j, j = 1,..., n care formează diviziunea le corespund pe suprafaţa S o reţea de curbe de coordonate care la rândul lor determină o diviziune S = {S 1,..., S p } a suprafeţei S. Reciproc, la o diviziune S a suprafeţei S formată dintr-o reţea de curbe de coordonate, corespunde pe domeniul D o diviziune formată din paralele la axele de coordonate. La fel ca şi în cazul suprafeţelor plane, definim şi norma diviziunii S : d k = sup A,B S k d(a, B) S = max k=1,...,p d k Considerăm un domeniu elementar D k = {(u, v) D u [u i, u i+1 ], v [v j, v j+1 ]} Acestui domeniu îi corespunde pe S suprafaţa S k mărginită de curbele de coordonate u = u i, u = u i+1, v = v j, v = v j+1. În planul tangent la suprafaţă în punctul P (u i, v j ) considerăm paralelogramul determinat de vectorii tangenţi (u i+1 u i ) r u şi (v j+1 v j ) r v, şi vom aproxima aria suprafeţei S k cu aria acestui paralelogram: σ k = r u r v (u i+1 u i )(v j+1 v j ) sin θ = EG F 2 (u i+1 u i )(v j+1 v j )

158 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ Aria suprafeţei S se aproximează atunci cu A A S = p k=1 σ k = EG F 2 (u i, v j )(u i+1 u i )(v j+1 v j ) i,j care este suma Riemann corespunzătoare funcţiei EG F 2, diviziunii a lui D şi punctelor intermediare (u i, v j ). Dacă funcţia EG F 2 este integrabilă pe D, atunci trecând acum la limită cu S 0 obţinem lim S 0 A S = D EG F 2 dudv. Definiţia 12.2. 1. Spunem că suprafaţa S are arie dacă integrala dublă D EG F 2 dudv există şi este finită. Valoarea acestei integrale duble reprezintă aria suprafeţei S. 2. Forma diferenţială ds = EG F 2 dudv = A 2 + B 2 + C 2 dudv se numeşte elementul de arie al suprafeţei S. Dacă suprafaţa S este dată prin ecuaţia carteziană folosind parametrizarea z = f(x, y), (x, y) D, x = u y = v z = f(u, v), (u, v) D atunci găsim E = 1 + p 2, G = 1 + q 2, F = pq unde p = f x, q = f y. Elementul de arie va fi iar aria suprafeţei este ds = 1 + p 2 + q 2 dudv A = D 1 + p2 + q 2 dudv Teorema 12.1. Aria unei suprafeţe S este independentă de reprezentarea parametrică a suprafeţei.

12.3. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMUL TIP 159 Demonstraţie. Considerăm schimbarea de variabile u = u(ū, v) v = v(ū, v), (ū, v) D Suprafaţa va avea reprezentarea parametrică x = f(ū, v) y = ḡ(ū, v) z = h(ū, v), (ū, v) D Dacă notăm cu J = D(u, v) D(ū, v) jacobianul transformării, din proprietăţile determinanţilor funcţionali rezultă Ā = AJ, B = BJ, C = CJ iar conform formulei de schimbare de variabile pentru integrale duble avem D A2 + B 2 + C 2 dudv = D A2 + B 2 + C 2 J dūd v = D Ā2 + B 2 + C 2 dūd v 12.3 Integrala de suprafaţă de primul tip Fie suprafaţa x = x(u, v) (S) y = y(u, v) z = z(u, v), (u, v) D R 2 cu două feţe, netedă (sau netedă pe porţiuni), mărginită de un contur neted (pe porţiuni) şi fie funcţia f S R. Descompunem suprafaţa S cu ajutorul unei reţele de curbe netede pe porţiuni alese în mod arbitrar în S = {S 1,..., S n }. Pentru punctele intermediare arbitrare M i (x i, y i, z i ) S i, i = 1,..., n se defineşte suma integrală σ S (f) = n i=1 unde A i este aria lui S i, i = 1,..., n. f(x i, y i, z i )A i

160 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ Definiţia 12.3. Dacă există şi este finită limita lim S 0 σ S (f) indiferent de alegerea diviziunii şi a punctelor intermediare, atunci această limită se numeşte integrala de suprafaţă de primul tip a funcţiei f pe suprafaţa S şi se notează cu S f(x, y, z)ds. Teorema 12.2. Dacă suprafaţa S este simplă, netedă şi neînchisă, iar funcţia f S R este mărginită, atunci avem S f(x, y, z)ds = D f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) EG F 2 dudv în ipoteza că cel puţin una din aceste integrale există. Demonstraţie. Descompunem suprafaţa S în S = {S 1,..., S n } cu ajutorul unor curbe netede pe porţiuni şi corespunzător domeniul D în = {D 1,..., D n }. Alegem punctele intermediare (x i, y i, z i ) S i corespunzătoare punctelor (u i, v i ) D i, i = 1,..., n: x i = x(u i, v i ) y i = y(u i, v i ), i = 1,..., n z i = z(u i, v i ) Suma integrală pentru integrala de suprafaţă este: σ S (f) = n i=1 f(x i, y i, z i )A i. Conform definiţiei ariei unei suprafeţe avem: A i = Di EG F 2 dudv, i = 1,..., n Aplicând teorema de medie pentru integrale duble obţinem A i = EG F 2 (ū i, v i )A(D i ), i = 1,..., n unde (ū i, v i ) D i, iar suma integrală σ S (f) devine σ S (f) = n i=1 f(x(u i, v i ), y(u i, v i ), z(u i, v i )) EG F 2 (ū i, v i )A(D i ) (12.1)

12.4. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ DE AL DOILEA TIP 161 iar suma integrală pentru integrala dublă din membrul drept al formulei din enunţ este σ = n i=1 f(x(u i, v i ), y(u i, v i ), z(u i, v i )) EG F 2 (u i, v i )A(D i ) (12.2) Pentru ε > 0 arbitrar, în virtutea continuităţii uniforme a funcţiei EG F 2, daca diametrele d(d i ), i = 1,..., n sunt suficient de mici avem EG F 2 (ū i, v i ) EG F 2 (u i, v i ) ε Scăzând ecuaţiile (12.1) şi (12.2) şi folosind mărginirea funcţiei f: găsim f(x, y, z) M, (x, y, z) S σ S (f) σ < εma(d) şi trecând la limită cu S 0, 0 se obţine formula din enunţ. Observaţii: 1. Teorema de mai sus rămâne valabilă dacă funcţia f este continuă pe S. 2. Dacă suprafaţa S este dată prin ecuaţia carteziană explicită atunci avem z = z(x, y) S f(x, y, z)ds = D f(x, y, z(x, y)) 1 + p 2 + q 2 dxdy unde D este proiecţia suprafeţei S pe planul xoy. 12.4 Integrala de suprafaţă de al doilea tip Fie S o suprafaţă cu două feţe, netedă (eventual pe porţiuni) de ecuaţie z = z(x, y), (x, y) D unde D este un domeniu plan mărginit de o curbă închisă netedă pe porţiuni. Dacă pe suprafaţă s-a ales una din cele două feţe, spunem că s-a ales o orientare pe suprafaţă sau că suprafaţa este orientată. Dacă se alege pe

162 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ S faţa superioară (cos γ > 0), atunci dacă o curbă închisă de pe suprafaţă este parcursă în sens pozitiv, atunci privită de pe faţa inferioară curba este parcursă în sens negativ. Fie acum o diviziune S = {S 1,..., S n } a suprafeţei S. Proiectând fiecare din suprateţele S i pe planul xoy obţinem o diviziune = {D 1,..., D n } a lui D. Sensul de parcurgere al lui S i va determina sensul de parcurgere al lui D i. Astfel, pe faţa superioară sensul de parcurgere se alege pozitiv, iar aria proiecţiei se consideră cu semnul plus, în timp ce pe faţa inferioară sensul de parcurgere se alege negativ, iar aria proiecţiei se consideră cu semnul minus. Definiţia 12.4. Considerăm funcţia reală f definită pe un domeniu din R 3 care include suprafaţa S, şi punctele intermediare M i (x i, y i, z i ) S i, i = 1,..., n. Se numeşte sumă integrală a lui f corespunzătoare diviziunii S şi punctelor intermediare M i următoarea sumă: σ S (f) = n i=1 f(x i, y i, z i )A(D i ) unde semnul ariei A(D i ) se alege conform regulii de mai sus. Definiţia 12.5. Dacă există şi este finită limita sumelor integrale σ S (f) atunci când norma lui S tinde către zero, indiferent de alegerea diviziunii şi a punctelor intermediare, atunci această limită se numeşte integrala de suprafaţă de al doilea tip a funcţiei f pe faţa aleasă a suprafeţei S şi se notează cu f(x, y, z)dxdy = lim σ S (f) S S 0 Dacă se înlocuieşte faţa considerată a suprafeţei cu faţa opusă, integrala îşi schimbă semnul. În mod similar (proiectând pe planele yoz şi zox) se obţin integralele de suprafaţă S f(x, y, z)dydz, S f(x, y, z)dzdx Combinaţia celor trei integrale de suprafaţă de al doilea tip ne dă forma generală a integralei de suprafaţă de al doilea tip: S P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy Teorema 12.3. Dacă S este o suprafaţă netedă, simplă, neînchisă, cu două feţe, de ecuaţie z = z(x, y), (x, y) D

12.4. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ DE AL DOILEA TIP 163 şi dacă funcţia f este mărginită, atunci avem S f(x, y, z)dxdy = S f(x, y, z) cos γds unde cos γ este cosinusul director al normalei cu axa Oz, în ipoteza că există cel puţin una din aceste integrale. Observaţii: 1. Dacă funcţia f este continuă, atunci ambele integrale din teorema anterioară există. 2. Înlocuind faţa superioară cu cea inferioară, se schimbă semnul membrului stâng al egalităţii. În acelaşi timp, din normala la suprafaţă schimbându-şi orientarea, se schimbă semnul lui cos γ şi o dată cu el şi semnul integralei din membrului drept al egalităţii. 3. Deoarece cos γ = 1 1+p 2 +q 2 şi ds = 1 + p 2 + q 2 dxdy, integrala de suprafaţă de al doilea tip considerată se reduce la o integrală dublă: S f(x, y, z)dxdy = D f(x, y, z(x, y))dxdy 4. Dacă suprafaţa S este dată parametric, avem cos γ = ± C A 2 +B 2 +C 2 ds = A 2 + B 2 + C 2 dudv, de unde şi S f(x, y, z)dxdy = ± D f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))cdudv unde D este domeniul în care se află parametrii u, v. 5. În mod similar se obţine forma generală: S P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds unde cos α, cos β, cos γ sunt cosinusurile directoare ale normalei, orientată în concordanţă cu faţa aleasă a suprafeţei. 6. Dacă suprafaţa S este dată parametric, avem forma generală: S P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ± D(P A + QB + RC)dudv 7. Rezultatele de mai sus se aplică şi în cazul mai general al unei suprafeţe închise formată dintr-un număr finit de părţi netede simple şi neînchise, adiacente una la alta.

164 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ Teorema 12.4. Dacă S este o suprafaţă închisă care delimitează un domeniu V R 3, atunci volumul acestui domeniu este dat de V(V ) = 1 3 xdydz + ydzdx + zdxdy = 1 S 3 cos α + y cos β + z cos γ)ds S(x integrala luându-se pe faţa exterioară a suprafeţei. Teorema 12.5 (Formula lui Stokes). Fie S o suprafaţă orientată, netedă, simplă, neînchisă dată prin x = f(u, v) y = g(u, v) z = h(u, v), (u, v) D, mărginită de o curbă C netedă pe porţiuni, funcţiile f, g, h având derivatele parţiale de ordinul doi continue. Alegem faţa suprafeţei S astfel încât un observator situat pe acea faţă să vadă conturul C parcurs în sens direct. Dacă P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) sunt funcţii continue cu derivate de ordinul întâi continue într-un domeniu din spaţiu care conţine suprafaţa S, atunci are loc egalitatea C P dx+qdy+rdz = S ( R y Q z ) dydz+( P z R x ) dzdx+( Q x P y ) dxdy Observaţii: 1. Formula se poate aplica şi la suprafeţe netede pe porţiuni, scriind formula pentru fiecare porţiune netedă şi adunând membru cu membru. 2. Dacă suprafaţa S este situată în planul xoy (z = 0) se obţine formula lui Green: P dx + Qdy = C ( Q D x P y ) dxdy 3. Egalând cu 0 cei trei termeni din membrul drept al formulei lui Stokes, se obţine condiţia necesară şi suficientă pentru independeţa de drum a unei integrale curbilinii de speţa a doua în spaţiu: Q x = P y, P z = R x, R y = Q z

12.5. APLICAŢII ALE INTEGRALELOR DE SUPRAFAŢĂ 165 12.5 Aplicaţii ale integralelor de suprafaţă 1. Aria unei suprafeţe S: A(S) = ds = S EG F 2 dudv = D 1 + p2 + q 2 dxdy D după cum suprafaţa este dată parametric sau explicit. 2. Masa unei suprafeţe: m = ρ(x, y, z)ds S unde ρ este densitatea de masă. 3. Coordonatele centrului de greutate al unei suprafeţe: x G = 1 m S xρds y G = 1 m S yρds z G = 1 m S zρds 4. Momentele de inerţie ale unei suprafeţe: (a) în raport cu planele de coordonate: I yz = S x 2 ρds I zx = S y 2 ρds I xy = S z 2 ρds (b) în raport cu axele de coordonate: I x = S (y 2 + z 2 )ρds I y = S (x 2 + z 2 )ρds I z = S (x 2 + y 2 )ρds (c) în raport cu originea: I O = (x 2 + y 2 + z 2 )ρds S

166 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ 12.6 Exerciţii 1. Să se calculeze următoarele integrale de suprafaţă de primul tip: (a) I = (x+y+z)ds, unde (S) este suprafaţa x 2 +y 2 +z 2 = R 2, z 0. (S) R: πr 3 (b) I = (x+y+z) 1 ds, unde (S) este porţiunea din planul x+y+z = a (S) decupată de planele de coordonate; R: a 3 2 (c) I = zds, unde (S) este porţiunea din paraboloidul z = x2 +y 2 2 (S) decupată de cilindrul x 2 + y 2 = 8. R: 596 15 π 2. Să se calculeze integrala I = x 2 y 2 zdxdy, unde (S) este faţa superioară a jumătăţii inferioare a sferei x 2 + y 2 + z 2 = R 2. (S) R: 2π 105 R7 3. Să se calculeze integrala I = x 3 dydz pe faţa superioară a jumătăţii (S) superioare a elipsoidului x2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 R: 2 5 πa3 bc 4. Să se calculeze integrala de suprafaţă I = xdydz + ydzdx + 2zdxdy, (S) unde (S) este faţa exterioară a sferei x 2 + y 2 + z 2 = a 2 situată în primul octant. R: 2π 3 a3 5. Să se calculeze aria porţiunii din paraboloidul x 2 + y 2 = 2z mărginit de planul z = 2. R: 2π 3 (5 5 1) 6. Să se afle aria părţilor sferei x 2 +y 2 +z 2 = R 2 decupate din ea de cilindrul x 2 + y 2 = Rx R: 4R 2 ( π 2 1) 7. Să se afle masa suprafeţei unei emisfere, dacă densitatea sa superficială în fiecare punct este egală cu distanţa de la acest punct la diametrul vertical. R: π2 R 3 2

12.6. EXERCIŢII 167 8. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei porţiuni omogene din suprafaţa sferei x 2 + y 2 + z 2 = a 2, pentru x 0, y 0, z 0. R: G ( a 2, a 2, a 2 ) 9. Suprafaţa materială 2z = x 2 + y 2, 0 z 2, are densitatea ρ(x, y, z) = 1 + 2z. (a) Să se calculeze aria suprafeţei; R: 2π 3 (5 5 1) (b) Să se calculeze momentul de inerţie al suprafeţei în raport cu planul xoz; R: 2π 35 (1 + 225 5) (c) Să se calculeze momentul de inerţie în raport cu axa Oz; R: 4π 35 (1 + 225 5) (d) Să se calculeze momentul de inerţie în raport cu originea. R: π 315 (14200 5 + 32)

168 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ

Capitolul 13 Integrala triplă 13.1 Definirea integralei triple Fie D R 3 o mulţime de puncte din spaţiu. Se numeşte diametru al mulţimii D marginea superioară a distanţelor dintre două puncte din D: d(d) = sup AB. A,B D Spunem că o mulţime de puncte din spaţiu este mărginită dacă diametrul ei este finit. Definiţia 13.1. Fie o mulţime mărginită D R 3. Se numeşte diviziune a mulţimii D o mulţime finită de submulţimi ale lui D, fără puncte interioare comune, a căror reuniune este D: = {D 1, D 2,..., D n }, D i D, i = 1,..., n, n i=1 D i = D. Pentru o diviziune a domeniului D, notăm cu d i şi V i diametrul, respectiv volumul submulţimii D i, şi alegem câte un punct intermediar P i (α i, β i, γ i ) D i, i = 1,..., n. Definim de asemenea norma diviziunii. = max i=1,...,n d i Definiţia 13.2. Fie f D R o funcţie de trei variabile. Se numeşte sumă Riemann a funcţiei f corespunzătoare diviziunii a mulţimii D şi punctelor intermediare P i următoarea sumă: σ (f) = n i=1 f(α i, β i, γ i )V i. 169

170 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ Definiţia 13.3. Spunem că funcţia f D R este integrabilă pe D dacă pentru orice şir de diviziuni ale lui D cu norma tinzând către 0 şi orice alegere a punctelor intermediare corespunzătoare P i, şirurile corespunzătoare de sume Riemann σ (f) au o limită finită comună I: lim σ (f) = I 0 Această valoare I se numeşte integrala triplă a funcţiei f pe domeniul D şi se notează cu f(x, y, z)dxdydz. D Dacă funcţia f este mărginită, atunci putem defini m i = inf f(x, y, z), M i = sup f(x, y, z), i = 1,..., n. (x,y,z) D i (x,y,z) D i Definiţia 13.4. Fie f D R mărginită şi o diviziune a lui D. Sumele s = n i=1 m i V i, S = n i=1 M i V i se numesc sume Darboux inferioară, respectiv superioară corespunzătoare funcţiei f şi diviziunii. Avem următoarea inegalitate: unde m = inf f(x, y, z), M = sup f(x, y, z) şi V este volumul domeni- (x,y,z) D (x,y,z) D ului D. mv s σ (f) S MV Teorema 13.1 (Criteriul de integrabilitate Darboux). Funcţia f D R este integrabilă pe D dacă şi numai dacă oricare ar fi ε > 0, există δ > 0 astfel încât pentru orice diviziune cu < δ să avem S s < ε. Teorema 13.2. Fie f D R continuă pe domeniul închis şi mărginit D. Atunci f este integrabilă pe D. Demonstraţie. Deoarece funcţia f este continuă pe domeniul închis şi mărginit D, rezultă că este şi uniform continuă pe acest domeniu, deci pentru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât pe orice subdomeniu al lui D cu diametrul mai mic decât δ, variaţia funcţiei este mai mică decât ε V, unde V este volumul lui D. Dacă alegem o diviziune a lui D astfel încât < δ, avem M i m i < ε, i = 1,..., n V

13.2. PROPRIETĂŢI ALE FUNCŢIILOR INTEGRABILE 171 de unde S s = n i=1(m i m i )V i < ε V n i=1 V i = ε de unde conform criteriului de integrabilitate Darboux rezultă că f este integrabilă pe D. Teorema 13.3. Dacă mulţimea tuturor punctelor de discontinuitate ale funcţiei f D R constă dintr-un număr finit de suprafeţe netede, atunci f este integrabilă. Aşadar, dacă se modifică în mod arbitrar valorile funcţiei f integrabilă pe D, de-a lungul unui număr finit de suprafeţe netede, iar funcţia modificată rămâne mărginită, atunci noua funcţie este de asemenea integrabilă pe D, iar integrala ei este aceeaşi cu integrala lui f. 13.2 Proprietăţi ale funcţiilor integrabile 1. Dacă f este o funcţie constantă f(x, y, z) = c, (x, y, z) D, atunci D f(x, y, z)dxdydz = cv(d) unde V(D) este volumul domeniului D. În particular, pentru c = 1 găsim V(D) = D dxdydz; 2. Dacă f şi g sunt integrabile pe D şi α, β R, atunci αf + βg este integrabilă pe D şi D (αf + βg) dxdydz = α D f(x, y, z)dxdydz+β D g(x, y, z)dxdydz; 3. Dacă f şi g sunt integrabile pe D şi f(x, y, z) g(x, y, z), (x, y, z) D, atunci D f(x, y, z)dxdydz D g(x, y, z)dxdydz; 4. Dacă f este integrabilă pe D, atunci şi f este integrabilă pe D şi avem D f(x, y, z)dxdydz D f(x, y, z) dxdydz;

172 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ 5. Teorema de medie: Dacă f este integrabilă pe D, atunci există o valoare µ [m, M], unde m = inf f(x, y, z), M = sup f(x, y, z), astfel (x,y,z) D (x,y,z) D încât f(x, y, z)dxdydz = µv(d); D 6. Dacă f este continuă pe D, atunci există (x, y, z ) D astfel încât D f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z )V(D); 7. Proprietatea de aditivitate: Dacă f este integrabilă pe D, care este împărţit în două subdomenii D 1 şi D 2 printr-o suprafaţă netedă (eventual pe porţiuni), atunci f este integrabilă pe D 1 şi D 2, şi avem D f(x, y, z)dxdydz = D1 f(x, y, z)dxdydz+ D2 f(x, y, z)dxdydz; 8. Dacă f este integrabilă pe D, atunci funcţia F (x, y, z) = a x du b y dv c z f(u, v, w)dw este continuă pe D şi are următoarele derivate parţiale continue: F x = y z dv f(x, v, w)dw b c F y = x z du f(u, y, w)dw a c F z = x y du f(u, v, z)dv a b 2 F x y = z f(x, y, w)dw c 2 F y z = x f(u, y, z)du a 2 F z x = y f(x, v, z)dv b 3 F = f(x, y, z) x y z

13.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE TRIPLE 173 13.3 Metode de calcul pentru integrale triple 13.3.1 Integrarea pe un paralelipiped Teorema 13.4. Fie o funcţie f integrabilă pe paralelipipedul D = {(x, y, z) R 3 a x b, c y d, s z t} astfel încât pentru orice x [a, b] există integrala I(x) = f(x, y, z)dydz, R unde R = [c, d] [s, t]. Atunci există şi integrala b a I(x)dx şi avem D f(x, y, z)dxdydz = Demonstraţie. Considerăm diviziunile a b [ R f(x, y, z)dydz] dx. x a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b y c = y 0 < y 1 < < y m 1 < y m = d z s = z 0 < z 1 < < z l 1 < z l = t ale intervalelor [a, b], [c, d], respectiv [s, t]. Corespunzător, paralelipipedul D se descompune în = {D ijk = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] [z k 1, z k ], i = 1,..., n, j = 1,..., m, k = 1,..., l} iar dreptunghiul se descompune în Fie R = {R jk = [y j 1, y j ] [z k 1, z k ], j = 1,..., m, k = 1,..., l} m ijk = Pentru x = ξ i [x i 1, x i ] fixat avem: inf f(x, y, z), M ijk = sup f(x, y, z) (x,y,z) D ijk (x,y,z) D ijk m ijk f(ξ i, y, z) M ijk, (y, z) R jk Integrând în raport cu y şi z pe R jk, obţinem: m ijk y j z k Rjk f(ξ i, y, z)dydz M ijk y j z k, j = 1,..., m, k = 1,..., l Sumând acum după indicii j = 1,..., m, k = 1,..., l găsim m l m ijk y j z k f(ξ i, y, z)dydz = I(ξ i ) M ijk y j z k R j=1 k=1 m l j=1 k=1

174 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ Înmulţind această dublă inegalitate cu x i şi sumând după indicele i = 1,..., n avem: adică n m l m ijk x i y j z k i=1 j=1 k=1 n i=1 n m l I(ξ i ) x i M ijk x i y j z k s σ x (I(x), ξ i ) S i=1 j=1 k=1 Trecând acum la limită cu x 0 y 0 şi z 0 obţinem D f(x, y, z)dxdydz = a b I(x)dx Dacă se mai presupune şi existenţa integralei simple t s f(x, y, z)dz pentru orice x [a, b] şi orice y [c, d], se poate înlocui integrala dublă din enunţ cu o integrală iterată şi se obţine D f(x, y, z)dxdydz = a b dx c d dy 13.3.2 Integrarea pe domenii cilindrice s t f(x, y, z)dz Fie acum un domeniu cilindric D cu generatoarele paralele cu Oz şi mărginit de două suprafeţe z = g 1 (x, y) şi z = g 2 (x, y) definite pentru (x, y) D R 2 : D = {(x, y, z) R 3 g 1 (x, y) z g 2 (x, y), (x, y) D} Pentru un astfel de domeniu avem: Teorema 13.5. Fie o funcţie f integrabilă pe D astfel încât pentru orice (x, y) D există integrala F (x, y) = g 2(x,y) g 1 (x,y) f(x, y, z)dz. Atunci există şi integrala D F (x, y)dxdy şi avem D f(x, y, z)dxdydz = D dxdy g 2 (x,y) g 1 (x,y) f(x, y, z)dz. Demonstraţia are la baza aceeaşi idee ca şi la integrale duble: se defineşte funcţia f f(x, y, z), (x, y, z) D (x, y, z) = 0, (x, y, z) D şi se aplică teorema 13.4 pe un domeniu paralelipipedic care conţine pe D. În mod similar se pot calcula integralele triple pe domenii cilindrice cu generatoarele paralele cu Ox, respectiv Oy.

13.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE TRIPLE 175 13.3.3 Schimbarea de variabile la integrale triple Fie D şi două domenii din R 3, închise şi mărginite de suprafeţe netede pe porţiuni. Considerăm o funcţie continuă şi bijectivă de la la D, dată prin x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w), (u, v, w) (13.1) Dacă funcţiile de mai sus admit derivate parţiale de ordinul întâi continue pe, atunci jacobianul transformării este J(u, v, w) = D(x, y, z) D(u, v, w) = Exemplu: Coordonatele sferice ale unui punct M(x, y, z) sunt ρ, ϕ, θ, unde ρ este lungimea segmentului OM, ϕ este unghiul făcut de OM cu axa Oz iar θ este unghiul făcut de OM 0 cu axa Ox, M 0 fiind proiecţia lui M pe planul xoy. Avem: x u y u z u x v y v z v x w y w z w x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sin ϕ sin θ z = ρ cos ϕ, ρ [0, ), ϕ [0, π], θ [0, 2π) Jacobianul transformării este J(ρ, ϕ, θ) = ρ 2 sin ϕ. Teorema 13.6. Fie transformarea (13.1) între domeniile şi D cu jacobianul J(u, v, w) nenul pe. Presupunem că funcţiile x, y, z admit şi derivate parţiale de ordinul 2 continue pe. Atunci volumul domeniului D este V(D) = J(u, v, w) dudvdw. Observaţie: Aplicând teorema de medie integralei din teorema anterioară obţinem: V(D) = J(u, v, w ) V( ) (13.2) unde (u, v, w ). Teorema 13.7. Fie transformarea (13.1) între domeniile şi D cu jacobianul J(u, v, w) nenul pe. Presupunem că funcţiile x, y, z admit şi

176 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ derivate parţiale de ordinul 2 continue pe. Considerăm funcţia f D R continuă. Atunci avem: D f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw Demonstraţie. Considerăm diviziunea {D 1,..., D n } a lui D, şi corespunzător diviziunea { 1,..., n } a lui. Conform observaţiei anterioare avem V(D i ) = J(u i, v i, w i ) V( i ) unde (u i, v i, w i ) i. Alegem acum punctele intermediare M i (x i, y i, z i ), unde x i = x(u i, v i, w i ) y i = y(u i, v i, w i ). z i = z(u i, v i, w i ) Suma Riemann corespunzătoare integralei triple din membrul stâng este: n σ = f(x i, y i, z i )V(D i ) = = i=1 n i=1 f(x(u i, v i, w i ), y(u i, v i, w i ), z(u i, v i, w i )) J(u i, v i, w i ) V( i ) care este o sumă Riemann pentru integrala din membrul drept. Făcând normele diviziunilor lui D şi să tindă la 0, obţinem egalitatea din enunţ. 13.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski Teorema 13.8. Fie D R 3 un domeniu închis şi mărginit de o suprafaţă S netedă pe porţiuni. Presupunem că orice paralelă la axele de coordonate intersectează suprafaţa S în două puncte. Dacă funcţiile P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) sunt continue pe D şi au derivatele parţiale P x, Q y, R z continue pe D, atunci avem: D ( P x + Q y + R z ) dxdydz = S P dydz + Qdzdx + Rdxdy, unde integrala din membrul drept se aplică pe faţa exterioară. Demonstraţie. Vom presupune mai întâi că D este un domeniu cilindric cu generatoarele paralele cu axa Oz şi mărginit de suprafeţele S 1 z = g 1 (x, y), S 2 z = g 2 (x, y), (x, y) D R 2

13.5. APLICAŢII ALE INTEGRALEI TRIPLE 177 Conform teoremei 13.5, avem: D R z dxdydz = D [ g 2 (x,y) g 1 (x,y) R dz] dxdy z = R(x, y, g 2 (x, y))dxdy D R(x, y, g 1 (x, y))dxdy D = S2 R(x, y, z)dxdy + S1 R(x, y, z)dxdy Generatoarele fiind paralele cu axa Oz, normala la suprafaţa laterală S 3 este perpendiculară pe Oz, deci cos γ = 0, de unde obţinem că aşadar S3 R(x, y, z)dxdy = 0, D R z dxdydz = S Rdxdy. (13.3) Dacă D este un domeniu mărginit de o suprafaţă oarecare netedă pe porţiuni, il descompunem în subdomenii cilindrice ca mai sus, iar formula (13.3) rămâne valabilă. În mod analog se obţin: D P x dxdydz = S P dydz. (13.4) D Q y dxdydz = S Qdzdx. (13.5) Adunând acum (13.3), (13.4) şi (13.5), obţinem formula din enunţ. 13.5 Aplicaţii ale integralei triple ˆ Masa unui corp: unde ρ este densitatea de masă. m(d) = D ρ(x, y, z)dxdydz ˆ Coordonatele centrului de greutate al unui corp: x G = D xρdxdydz D ρdxdydz, y G = D yρdxdydz D ρdxdydz, z G = D zρdxdydz D ρdxdydz unde ρ este densitatea de masă.

178 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ ˆ Momentele de inerţie ale unui corp: 1. în raport cu planele de coordonate: I yz = D x 2 ρdxdydz I zx = D y 2 ρdxdydz I xy = D z 2 ρdxdydz 2. în raport cu axele de coordonate: 3. în raport cu originea: 13.6 Exerciţii I x = D (y 2 + z 2 )ρdxdydz I y = D (x 2 + z 2 )ρdxdydz I z = D (x 2 + y 2 )ρdxdydz I O = D (x 2 + y 2 + z 2 )ρdxdydz 1. Să se calculeze următoarele integrale triple: (a) D (b) D (c) D (xy 2 + z 3 )dxdydz, D = {(x, y, z) 0 x a, 0 y b, 0 z c} (1 + 2x 3y)dxdydz, D = {(x, y, z) x a, y b, z c} xyzdxdydz, D = {(x, y, z) 0 x 1, 2 y 0, 1 z 4} 2. Să se calculeze integrala (V ) de planele x = 0, y = 0, z = 0 şi x + y + z = 1. R: 1 2 (ln 2 5 8 ) dxdydz (1+x+y+z) 3, unde (V ) este tetraedrul mărginit 3. Să se calculeze integrala zdxdydz, unde (V ) este corpul mărginit de (V ) suprafaţa conică z 2 = h2 R (x 2 + y 2 ) şi de planul z = h. 2 R: πr2 h 2 4 4. Să se calculeze volumul corpului mărginit de suprafaţa R: 8 (S) z = 4 y 2, z = 2 + y 2, 1 x 2.

13.6. EXERCIŢII 179 5. Folosind formula lui Gauss-Ostrogradski să se calculeze următoarea integrală de suprafaţă: (S) x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy unde (S) este faţa exterioară a sferei x 2 + y 2 + z 2 = a 2. R: 12πa5 5 6. Să se determine masa şi coordonatele centrului de greutate ale segmentului cilindric definit de de densitate constantă ρ 0. R: m = 2ρ 0a 3 b 3, G (0, 3π 3π 16 a, 32 ab) x 2 + y 2 a 2, z by, z 0(b > 0) 7. Să se calculeze momentul de inerţie faţă de planul xoz al solidului omogen x 2 a + y2 2 b + z2 1, x 0, y 0, z 0 2 c2 π R: 30 ab3 c 8. Să se determine momentul de inerţie în raport cu axa Oz a corpului omogen mărginit de suprafeţele R: 14 45 z = x 2 + y 2, x + y = ±1, x y = ±1, z = 0 9. Să se calculeze momentul de inerţie în raport cu originea pentru porţiunea de sferă (V ) x 2 + y 2 + z 2 a 2, x 0, y 0, z 0, densitatea de masă fiind ρ(x, y, z) = z. R: π 24 a6

180 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLĂ

Capitolul 14 Ecuaţii diferenţiale 14.1 Generalităţi Definiţia 14.1. 1. Fie F (x, y, y,..., y (n) ) o funcţie reală definită pe domeniul [a, b] Y, Y R n+1 având argumentele variabila reală x [a, b] şi funcţia reală y împreună cu derivatele ei y, y,..., y (n). Ecuaţia F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 (14.1) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, dacă se cere să se determine funcţiile y = ϕ(x) definite pe intervalul [a, b], având derivate până la ordinul n inclusiv, în orice punct al intervalului [a, b] astfel încât să avem F (x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x)) = 0, x [a, b] 2. Funcţiile reale ϕ(x) care îndeplinesc condiţiile de mai sus se numesc soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (14.1) 3. Dacă n = 1, ecuaţia se numeşte de ordinul întâi şi poate avea fie forma implicită F (x, y, y ) = 0 fie forma explicită y = f(x, y). Definiţia 14.2. 1. Funcţia y = ϕ(x, C) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul întâi F (x, y, y ) = 0 pe domeniul D R 2 dacă ϕ este soluţie a ecuaţiei în D şi dacă prin alegerea convenabilă a constantei C, funcţia ϕ(x, C) se transformă în orice soluţie a ecuaţiei al cărei grafic se află în D. 2. Se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei F (x, y, y ) = 0 o funcţie y = ϕ 0 (x), x [a, b] care se obţine din soluţia generală y = ϕ(x, C) dând o valoare particulară constantei arbitrare C. 181

182 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE 3. O soluţie a unei ecuaţii diferenţiale care nu se obţine pentru o valoare particulară a constantei arbitrare C se numeşte soluţie singulară. 4. O soluţie generală scrisă sub forma implicită ψ(x, y, C) = 0 se numeşte integrală generală. 5. Graficul unei soluţii particulare a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este o curbă plană, numită curbă integrală. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale poate fi dată şi parametric x = ϕ(t, C), t [a, b] y = ψ(t, C) Definiţia 14.3. Problema determinării soluţiei y = ϕ(x) a ecuaţiei y = f(x, y) care pentru x = x 0 ia valoarea dată y = y 0 se numeşte problema lui Cauchy. Condiţia ϕ(x 0 ) = y 0 se numeşte condiţia lui Cauchy. 14.2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sub forma explicită 14.2.1 Ecuaţii diferenţiale care provin din anularea unei diferenţiale totale Considerăm ecuaţia P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (14.2) unde P şi Q sunt funcţii continue pe un domeniu D R 2. O astfel de ecuaţie se poate scrie sub forma explicită dacă se împarte la Q(x, y) 0. Reciproc, orice ecuaţie explicită y = f(x, y) se poate scrie sub forma (14.2) în felul următor: dy y)q(x, y) = f(x, dx Q(x, y) P (x, y) =, Q(x, y) 0 Q(x, y) Teorema 14.1. Fie ecuaţia diferenţială (14.2) unde P (x, y) şi Q(x, y) sunt funcţii continue cu derivatele parţiale de ordinul întâi continue în domeniul D, care verifică pentru orice (x, y) D relaţia Integrala generală a ecuaţiei (14.2) este dată de x 0 x P y = Q x. (14.3) y P (t, y 0 )dt + Q(x, t)dt = C, (x 0, y 0 ) D. (14.4) y 0

14.2. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI SUB FORMA EXPLICITĂ183 Un caz particular al ecuaţiei (14.2) este ecuaţia diferenţială P (x)dx + Q(y)dy = 0 unde P (x) este continuă pe [a, b] şi Q(y) este continuă pe [c, d]. O astfel de ecuaţie se numeşte ecuaţie cu variabile separate. Deoarece P şi Q îndeplinesc condiţia (14.3) pentru orice (x, y) [a, b] [c, d], integrala generală este dată de x 0 x P (t)dt + y 0 y Q(t)dt = C, (x 0, y 0 ), (x, y) [a, b] [c, d]. Dacă P dx+qdy nu este diferenţială totală în D, se caută o funcţie µ(x, y) astfel încât expresia µ(x, y)[p dx + Qdy] să fie o diferenţială totală în D. Impunând condiţia (14.3), obţinem pentru µ ecuaţia µ ( Q x P y ) + Q µ x P µ y = 0 (14.5) Funcţia µ(x, y) definită în D şi cu derivate parţiale de ordinul întâi continue în D şi care verifică ecuaţia (14.5) se numeşte factor integrant al ecuaţiei (14.2). Dacă se caută un factor integrant µ(x), ecuaţia (14.5) se scrie Dacă 1 Q ( P y Q x 1 dµ µ dx = 1 Q ( P y Q x ) ) este funcţie numai de x, obţinem ln µ = 1 Q ( P y Q x ) dx În mod analog, dacă se caută un factor integrant µ(y), obţinem ln µ = 1 P ( Q x P y ) dy 14.2.2 Ecuaţii omogene şi ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene Definiţia 14.4. O funcţie f(x, y) se numeşte omogenă de grad m în x, y dacă f(tx, ty) = t m f(x, y).

184 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE Dacă punem t = 1 x obţinem pentru o funcţie omogenă relaţia f(x, y) = x m f (1, y x ) Definiţia 14.5. O ecuaţie diferenţială de forma dy P (x, y) = dx Q(x, y) (14.6) unde P şi Q sunt funcţii omogene de acelaşi grad m, se numeşte ecuaţie diferenţială omogenă. Avem P (x, y) = x m P (1, y ), x Q(x, y) = xm Q (1, y ), x iar (14.6) devine dy dx = P (1, y ) x Q (1, y ) = f (y x ). (14.7) x Teorema 14.2. Dacă în ecuaţia omogenă (14.7) facem schimbarea de funcţie y = zx, ecuaţia se transformă în ecuaţia cu variabile separate dz f(z) z = dx x. (14.8) Dacă z 0 este o rădăcină a ecuaţiei f(z) z = 0, atunci z = z 0 este de asemenea o soluţie a ecuaţiei (14.8), adică dreapta y = z 0 x este o soluţie singulară a ecuaţiei (14.7). Considerăm acum ecuaţiile de forma unde a, b, c, a, b, c R. Avem următoarele situaţii: 1. Dacă c = c = 0, atunci ecuaţia (14.9) devine care este o ecuaţie omogenă. dy ax + by + c = f ( dx a x + b y + c ) (14.9) dy ax + by = f ( dx a x + b y ) 2. Dacă c = c 0 şi ab a b 0, facem schimbarea de variabilă şi de funcţie u = x x 0, v = y y 0, unde (x 0, y 0 ) este o soluţie a sistemului ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0

14.2. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI SUB FORMA EXPLICITĂ185 iar ecuaţia (14.9) devine care este o ecuaţie omogenă. dv au + bv = f ( du a u + b v ) 3. Dacă c = c 0 şi ab a b = 0, ecuaţia (14.9) devine dy dx = f ( ax + by + c k(ax + by) + c ) unde k = a a = b b, ecuaţie care prin schimbarea de funcţie z = ax + by se reduce la ecuaţia cu variabile separate dz bf ( z+c ) kz+c + a = dx. 14.2.3 Ecuaţii liniare de ordinul întâi şi ecuaţii reductibile la ecuaţii liniare de ordinul întâi Definiţia 14.6. O ecuaţie de forma dy + P (x)y + Q(x) = 0 (14.10) dx unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval [a, b], se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi. Dacă Q(x) = 0 în (14.10), ecuaţia se numeşte ecuaţie liniară omogenă. Teorema 14.3. Soluţia generală a ecuaţiei liniare (14.10) este dată de y = e P (x)dx [C Q(x)e P (x)dx dx], x [a, b]. Definiţia 14.7. O ecuaţie de forma y + P (x)y + Q(x)y α = 0, α R, α 1 unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval [a, b], se numeşte ecuaţie Bernoulli Teorema 14.4. O ecuaţie Bernoulli se transformă într-o ecuaţie liniară cu ajutorul schimbării de funcţie y 1 α = z.

186 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE Definiţia 14.8. O ecuaţie de forma y + P (x)y 2 + Q(x)y + R(x) = 0 unde P, Q, R sunt funcţii continue pe un interval [a, b], se numeşte ecuaţie Riccati. Teorema 14.5. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară y 1 a unei ecuaţii Riccati, prin schimbarea de funcţie y = y 1 + 1 z, ecuaţia se transformă într-o ecuaţie liniară. 14.3 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sub formă implicită 1. Ecuaţii de forma y = f(y ) Notăm y = p şi obţinem soluţia generală parametrică x = 1 p f (p)dp + C y = f(p) 2. Ecuaţii de forma x = f(y ) Notăm y = p şi obţinem soluţia generală parametrică x = f(p) y = pf (p)dp + C 3. Ecuaţii de forma F (y, y ) = 0 Dacă se cunoaşte o reprezentare parametrică u = ϕ(t) v = ψ(t), t [a, b] a curbei F (u, v) = 0, atunci obţinem soluţia generală parametrică x = ϕ (t) ψ(t) dt + C y = ϕ(t)

14.3. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI SUB FORMĂ IMPLICITĂ187 4. Ecuaţii de forma F (x, y ) = 0 Dacă se cunoaşte o reprezentare parametrică u = ϕ(t) v = ψ(t), t [a, b] a curbei F (u, v) = 0, atunci obţinem soluţia generală parametrică 5. Ecuaţii Lagrange sau împărţind prin B(y ) 0: x = ϕ(t) y = ϕ (t)ψ(t)dt + C A(y )x + B(y )y + C(y ) = 0 y = ϕ(y )x + ψ(y ) Notăm y = p şi după derivare în raport cu x se obţine ecuaţia liniară dacă ϕ(p) p 0. 6. Ecuaţii Clairaut dx dp + ϕ (p) ϕ(p) p x + y = xy + ψ(y ) ψ (p) ϕ(p) p = 0 care este o ecauţie Lagrange particulară, pentru ϕ(p) = p. Procedând ca mai sus se obţine (x + ψ (p)) dp dx = 0 care are soluţia generală y = Cx + ψ(c) şi soluţia singulară x = ψ (p) y = pψ (p) + ψ(p)

188 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE 14.3.1 Existenţă şi unicitate Pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi avem următoarea teoremă de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy corespunzătoare: Teorema 14.6. Fie ecuaţia diferenţială de ordinul întâi y = f(x, y), unde f are derivată parţială în raport cu y continuă pe un domeniu dreptunghiular D = {(x, y) R 2 a x b, c y d} şi fie (x 0, y 0 ) un punct în interiorul lui D. Atunci există δ > 0 şi o unică funcţie ϕ (x 0 δ, x 0 + δ) R cu derivata continuă astfel încât ϕ(x 0 ) = y 0 şi ϕ (x) = f(x, ϕ(x)), x (x 0 δ, x 0 + δ). 14.4 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior Definiţia 14.9. 1. Funcţia y = ϕ(x, C 1, C 2,..., C n ) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale de ordinul n F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 pe domeniul D R 2 dacă ϕ este soluţie a ecuaţiei în D şi dacă prin alegerea convenabilă a constantelor C 1, C 2,..., C n, funcţia ϕ(x, C 1, C 2,..., C n ) se transformă în orice soluţie a ecuaţiei al cărei grafic se află în D. 2. Se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei F (x, y, y ) = 0 o funcţie y = ϕ 0 (x), x [a, b] care se obţine din soluţia generală y = ϕ(x, C 1, C 2,..., C n ) dând valoari particulare constantelor arbitrare C 1, C 2,..., C n. 3. O soluţie generală scrisă sub forma implicită ψ(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0 se numeşte integrală generală. 4. Graficul unei soluţii particulare a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este o curbă plană, numită curbă integrală. Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale poate fi dată şi parametric x = ϕ(t, C 1, C 2,..., C n ) y = ψ(t, C 1, C 2,..., C n ), t [a, b] Definiţia 14.10. Problema determinării soluţiei y = y(x) a ecuaţiei F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 astfel încât pentru x = x 0 funcţia y(x) şi derivatele ei y,..., y (n) să ia valorile y(x 0 ) = a 0, y (x 0 ) = a 1,..., y (n 1) (x 0 ) = a n 1 (14.11) se numeşte problema lui Cauchy. Condiţiile (14.11) se numesc condiţii iniţiale.

14.4. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 189 14.4.1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare Definiţia 14.11. 1. O ecuaţie de forma a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = f(x) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n liniară şi neomogenă; 2. O ecuaţie de forma a 0 (x)y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = 0 se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n liniară şi omogenă. Definiţia 14.12. Fie y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) funcţii reale pe un interval [a, b]. Spunem că aceste funcţii sunt liniar independente pe [a, b] dacă λ 1 y 1 (x) + λ 2 y 2 (x) + + λ n y n (x) = 0, x [a, b] λ 1 = λ 2 = = λ n = 0. Definiţia 14.13. Fie y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) funcţii reale pe un interval [a, b], cu derivate continue până la ordinul n 1 inclusiv. Determinantul W (y 1, y 2,..., y n ) = y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) se numeşte determinantul lui Wronski sau wronskianul funcţiilor y 1, y 2,..., y n. Teorema 14.7. Dacă funcţiile y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) cu derivate continue până la ordinul n 1 inclusiv pe [a, b] sunt liniar dependente pe [a, b], atunci wronskianul lor este nul în orice punct din [a, b]. Teorema 14.8. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n omogenă y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = 0 (14.12) cu a 1 (x),..., a n (x) funcţii continue pe [a, b]. Considerăm y 1, y 2,..., y n soluţii ale acestei ecuaţii, definite pe [a, b]. Dacă wronskianul funcţiilor y 1, y 2,..., y n nu este identic nul pe [a, b], atunci orice soluţie a ecuaţiei (14.12) pe [a, b] este de forma y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + + C n y n, x [a, b] (14.13) unde C 1, C 2,..., C n sunt constante. Funcţia dată de (14.13) se numeşte soluţia generală a ecuaţiei (14.12) pe [a, b].

190 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE Un sistem de soluţii y 1, y 2,..., y n ale ecuaţiei (14.12) cu W (y 1, y 2,..., y n ) 0 pe [a, b] se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (14.12). Teorema 14.9. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n neomogenă y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = f(x). (14.14) Soluţia generală a acestei ecuaţii se obţine adăugând la soluţia generală a ecuaţiei omogene corespunzătoare o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene: y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + + C n y n + y p, x [a, b] (14.15) Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare cu coeficienţi constanţi Fie ecuaţia a 0 y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y + a n y = 0 (14.16) cu a 0, a 1,..., a n R, a 0 0. Pentru o astfel de ecuaţie se caută soluţii de forma Ce rx, C 0. Înlocuind în ecuaţie obţinem pentru r ecuaţia a 0 r n + a 1 r n 1 + + a n 1 r + a n = 0 numită ecuaţia caracteristică a ecuaţiei (14.16). Teorema 14.10. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile reale distincte r 1, r 2,..., r n, atunci funcţiile y 1 = e r 1x, y 2 = e r 2x,..., y n = e rnx, x R formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (14.16). Teorema 14.11. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe simple atunci funcţiile r k = α k + iβ k, r k = α k iβ k, k = 1,..., m, n = 2m y k = e α kx cos β k x, y k = eα kx sin β k x, k = 1,..., m formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (14.16). Teorema 14.12. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcina reală r = α multiplă de ordinul n, atunci funcţiile y 1 = e αx, y 2 = xe αx,..., y n = x n 1 e αx, x R formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (14.16).

14.4. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 191 Teorema 14.13. Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcina complexă r = α + iβ multiplă de ordinul m, atunci funcţiile y k = x k 1 e α kx cos β k x, y k = xk 1 e α kx sin β k x, k = 1,..., m formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (14.16). Observaţie Din teoremele anterioare rezultă care sunt soluţiile din sistemul fundamental de soluţii corespunzător fiecărei rădăcini a ecuaţiei caracteristice. Apoi se scrie soluţia generală a ecuaţiei omogene ca o combinaţie liniară a soluţiilor din sistemul fundamental. Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene a 0 y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y + a n y = f(x) (14.17) se poate folosi metoda variaţiei constantelor. În unele cazuri este convenabil să se folosească metoda coeficienţilor nedeterminaţi: a) Dacă f(x) este un polinom de grad m, soluţia particulară se caută de forma unui polinom de grad m, y p = Q m (x) dacă a n 0. Dacă a n = 0, a n 1 = 0,..., a n k+1 = 0, a n k 0 se alege un polinom de grad m + k y p = Q m+k (x). b) Dacă f(x) = e αx P m (x), soluţia particulară se caută de aceeaşi formă y p = e αx Q m (x). Dacă α este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei caracteristice, atunci se ia y p = x k e αx Q m (x) c) Dacă f(x) = P m (x) cos αx + Q m (x) sin αx, soluţia particulară se caută de aceeaşi formă y p = P m(x) cos αx + Q m(x) sin αx. Dacă iα este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei caracteristice, atunci se ia y p = x k P m(x) cos αx + x k Q m(x) sin αx d) Dacă f(x) = P m (x)e αx cos βx + Q m (x)e αx sin βx, soluţia particulară se caută de aceeaşi formă y p = P m(x)e αx cos βx + Q m(x)e αx sin βx. Dacă α + iβ este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei caracteristice, atunci se ia y p = x k P m(x)e αx cos βx + x k Q m(x)e αx sin βx

192 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE 14.5 Exerciţii 1. Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile: (a) y = x(2 ln x+1) sin y+y cos y (b) y xy = y 2 + y (c) y = e 2x 3y (d) xyy = 1 + x + y + xy (e) yy x = 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 (f) e y (1 + x 2 )y 2x(1 + e y ) = 0 2. Să se rezolve următoarele probleme Cauchy: (a) (b) (c) (y 2 + 1)xdx + (x + 1)ydy = 0 y(0) = 1 3e x 1+e dx + 2 x sin 2y dy = 0 y(0) = π 4 (1 + x 3 )dy x 2 ydx = 0 y(1) = 2 3. Să se rezolve următoarele ecuaţii cu diferenţială totală: (a) (2xy 2y 3 )dx + (x 2 6xy 2 )dy = 0 (b) (5x 4 + 3x 2 y 2 2xy 3 )dx + (2x 3 y 3x 2 y 2 5y 4 )dy = 0 (c) (y cos x + 1)dx + sin xdy = 0 4. Folosind un multiplicator µ(x) să se integreze ecuaţia (x sin y + y cos y)dx + (x cos y y sin y)dy = 0 R: e x [(x 1) sin y + y cos y] = C 5. Determinând mai întâi un factor integrant funcţie numai de y, să se integreze ecuaţia R: x 3 + x sin y = C (1 + 3x 2 sin y)dx xctgydy = 0

14.5. EXERCIŢII 193 6. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă R: ln y + x y = C 7. Să se integreze ecuaţia diferenţială ydx + (2 xy x)dy = 0 dy x 2y + 1 = 2 dx 5x y 4, 5x y 4 0 şi să se afle curba care trece prin punctul (1, 2). R: (x + y 2) 2 = C(2x y 1); C = 1 8. Să se integreze ecuaţia R: x 3y + 8 ln x 2y + 1 = C dy dx = x 2y + 9, 3x 6y + 19 0 3x 6y + 19 9. Să se rezolve următoarele ecuaţii diferenţiale liniare: (a) x(1 x 2 )y + (2x 2 1)y = x 3 (b) dy dx + y x = x3 3 (c) x ln x dy dx + y = 2 ln x (d) cos 2 xy + y = tg x (e) (1 + x 3 )y + 6x 2 y = 1 + x 2 (f) x 2 y = 3x 2 2xy + 1 y (g) + yctg x = 4x sin x y ( π) 2 = 0

194 CAPITOLUL 14. ECUAŢII DIFERENŢIALE

Partea III Algebră liniară 195

Capitolul 15 Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare 15.1 Matrice. Determinanţi Definiţia 15.1. Se numeşte matrice reală cu m linii şi n coloane o funcţie care asociază fiecărei perechi (i, j), i = 1,..., m, j = 1,..., n un unic număr real a ij. Se foloseşte notaţia A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn. Mulţimea tuturor matricelor reale cu m linii şi n coloane o vom nota prin M m,n (R). Numerele a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n se numesc elementele matricei. După cum sunt numerele m şi n, putem defini următoarele tipuri de matrice: ˆ dacă m = n, matricea se numeşte matrice pătratică ˆ dacă m = 1, matricea se numeşte matrice linie ˆ dacă n = 1, matricea se numeşte matrice coloană Se numeşte matrice nulă o matrice care are toate elementele 0. Matricea pătratică 1 0... 0 0 1... 0 I n = 0 0... 1 197

198CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE se numeşte matrice unitate de ordinul n. Definiţia 15.2. Prin suma a două matrice A, B M m,n (R) înţelegem o nouă matrice C = A+B M m,n (R) ale cărei elemente sunt suma elementelor corespunzătoare din cele două matrice: c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Definiţia 15.3. Prin produsul matricei A M m,n (R) cu scalarul α R se înţelege o nouă matrice, de aceleaşi dimensiuni, obţinută prin înmulţirea tuturor elementelor lui A cu scalarul α: αa = αa 11 αa 12... αa 1n αa 21 αa 22... αa 2n αa m1 αa m2... αa mn. Teorema 15.1. Fie A, B, C M m,n (R) şi α, β R. Atunci avem: a. A + B = B + A; b. (A + B) + C = A + (B + C); c. A + 0 = A; d. α(a + B) = αa + αb; e. (α + β)a = αa + βa; f. α(βa) = (αβ)a. Definiţia 15.4. Prin produsul matricelor A M m,n (R) şi B M n,p (R) se înţelege o nouă matrice C = AB, ale cărei elemente sunt date prin: c ij = n k=1 a ik b kj, i = 1,..., m, j = 1,..., p. Teorema 15.2. Fie A M m,n (R), B, C matrice ale căror dimensiuni să permită efectuarea operaţiilor indicate, şi α R. Atunci avem: a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC; c. (B + C)A = BA + CA; d. α(ab) = (αa)b = A(αB);

15.1. MATRICE. DETERMINANŢI 199 e. I m A = AI n. Definiţia 15.5. Pentru o matrice A M m,n (R), se numeşte transpusa lui A, matricea obţinută prin interschimbarea liniilor şi coloanelor lui A: A T = a 11 a 21... a m1 a 12 a 22... a m2 a 1n a 2n... a mn M n,m (R) Teorema 15.3. Fie A, B două matrice ale căror dimensiuni să permită efectuarea operaţiilor indicate, şi α R. Atunci avem: 1. (A T ) T = A; 3. (αa) T = αa T ; 2. (A + B) T = A T + B T ; 4. (AB) T = B T A T. O matrice pătratică A care are proprietatea că A = A T se numeşte matrice simetrică. Definiţia 15.6. Fie o matrice pătratică A M n (R). Se numeşte determinant al matricei A, şi se notează cu det A, un număr real definit recurent în felul următor: (i) dacă n = 2, atunci (ii) dacă n > 2, atunci det A = n i=1 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 ; ( 1) 1+i a 1i D 1i = a 11 D 11 a 12 D 12 + + ( 1) 1+n a 1n D 1n unde D 1i este determinantul matricei pătratice de ordinul n 1 obţinută prin eliminarea primei linii si a coloanei i din matricea A, pentru i = 1, 2,..., n. Pentru n = 3 se obţine regula lui Sarrus: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 a 13 a 22 a 31 a 23 a 32 a 11 a 33 a 12 a 21.

200CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Numărul A ij = ( 1) i+j D ij se numeşte complement algebric corespunzător liniei i şi coloanei j, pentru i, j = 1,..., n. Folosind complemenţii algebrici corespunzători unei linii sau unei coloane, putem calcula determinantul unei matrice printr-o formulă asemănătoare celei din definiţie, dezvoltând după o linie sau coloană oarecare a matricei. Teorema 15.4. Fie A M n (R). avem: n Atunci pentru i, j {1, 2,..., n} fixaţi det A = a ik A ik = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in = k=1 n k=1 a kj A kj = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj. Teorema 15.5. Fie A, B M n (R). Atunci: 1. det A T = det A; 2. det AB = det A det B. Teorema 15.6. Fie A M n (R). Atunci avem: (i) dacă matricea B este obţinută prin adăugarea la o linie a lui A a unei alte linii înmulţită cu o constantă, atunci det B = det A; (ii) dacă matricea B este obţinută prin interschimbarea a două linii ale lui A, atunci det B = det A; (iii) dacă matricea B este obţinută prin înmulţirea unei linii a lui A cu o constantă α R, atunci det B = α det A. Observaţie 2. Aceleaşi proprietăţi rămân valabile dacă operaţiile de mai sus se efectuează asupra coloanelor matricii A. Definiţia 15.7. O matrice pătratică A M n (R) se numeşte nesingulară dacă are determinantul nenul, şi se numeşte singulară dacă det A = 0. Definiţia 15.8. Fie A M n (R) o matrice nesingulară. Se numeşte matrice inversă a lui A o matrice A 1 M n (R) cu proprietatea că AA 1 = A 1 A = I n.

15.2. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 201 Teorema 15.7. Fie A M n (R) o matrice nesingulară. acesteia este dată prin: Atunci inversa A 1 = 1 det A Matricea de mai sus se notează cu A = şi se numeşte matrice adjunctă a lui A. A 11 A 21... A n1 A 12 A 22... A n2 A 1n A 2n... A nn A 11 A 21... A n1 A 12 A 22... A n2 A 1n A 2n... A nn Definiţia 15.9. Fie A M m,n (R) şi p min(m, n).. I. Se numeşte minor de ordinul p al matricii A, orice determinant al unei matrice obţinute prin intersectarea a p linii şi p coloane din A; II. Se numeşte rangul matricei A, ordinul maxim al minorilor nenuli ai lui A. Operaţiile care păstrează rangul unei matrice se numesc transformări elementare şi sunt următoarele: - înmulţirea unei linii cu o constantă nenulă - interschimbarea a două linii - adunarea unei linii înmulţită cu o constantă la o altă linie precum şi operaţiile analoage pe coloane. 15.2 Sisteme de ecuaţii liniare Se numeşte sistem de ecuaţii liniare un sistem de forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (S) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (15.1)

202CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Matricele formate cu ajutorul coeficienţilor sistemului A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn, Ā = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2 a m1 a m2... a mn b m se numesc matricea sistemului, respectiv matricea extinsă a sistemului. ˆ Dacă toţi termenii liberi sunt nuli (b 1 = b 2 = = b m = 0), sistemul se numeşte omogen. ˆ Rangul matricei A se numeşte rangul sistemului. ˆ Dacă există x 1, x 2,..., x n R care verifică (15.1), spunem că sistemul este compatibil, iar valorile care satisfac ecuaţiile sistemului se numesc soluţii. ˆ A rezolva un sistem de ecuaţii înseamnă a găsi soluţii (x 1, x 2,..., x n ) R n. ˆ În cazul în care numărul ecuaţiilor este egal cu numărul necunoscutelor (m = n), pentru rezolvarea sistemului se poate folosi regula lui Cramer Teorema 15.8 (Regula lui Cramer). Fie sistemul cu n ecuaţii şi n necunoscute a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (S) a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n Dacă det A 0, atunci sistemul este compatibil şi are soluţia unică x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D n D unde D = det A, iar D i este determinantul matricei obţinută prin înlocuirea în matricea A a coloanei i cu coloana termenilor liberi, pentru i = 1, 2,..., n. Sistemul (15.1) poate fi rescris în forma matriceală a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m

15.3. EXERCIŢII 203 sau pe scurt Ax = b, unde x = ( x 1 x 2... x n ) T M n,1 (R) şi b = ( b 1 b 2... b m ) T M m,1 (R). Dacă A este matrice pătratică nesingulară, atunci soluţia sistemului este dată de x = A 1 b. Teorema 15.9 (Kronecker-Capelli). Sistemul (15.1) este compatibil dacă şi numai dacă matricele A şi Ā au acelaşi rang. Observaţii: ˆ Întrucât matricea extinsă Ā este obţinută prin adăugarea unei coloane la matricea A, în general avem că rang(ā) rang(a). Aşadar un sistem este incompatibil dacă prin adăugarea coloanei termenilor liberi se măreşte rangul matricei. ˆ Fie un sistem compatibil, r =rang(ā) =rang(a) şi un minor nenul de ordin r al matricei A. Necunoscutele corespunzătoare coloanelor acestui minor le vom numi necunoscute principale, iar celelalte se vor numi necunoscute secundare. De asemenea, ecuaţiile corespunzătoare liniilor acestui minor le vom numi ecuaţii principale. ˆ Soluţiile sistemului se obţin parametrizând necunoscutele secundare şi rezolvând sistemul format din ecuaţiile principale şi necunoscutele principale. 15.3 Exerciţii 1. Să se efectueze diverse operaţii cu matricele: A = ( 2 0 1 4 5 2 ), B = 7 1 5 4 1 3 D = ( 3 5 1 4 ), E = ( 5 3 ), C = ( 1 2 2 1 ), 2. a) Fie A = ( 2 5 3 1 BA. ), B = ( 4 5 3 k ). Calculaţi k astfel încât AB =

204CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE b) Fie A = ( 2 3 4 6 ), B = ( 8 4 5 5 că AB = AC, deşi B C. ) şi C = ( 5 2 3 1 ). Să se verifice 3. Să se calculeze determinanţii: a) 1 0 0 1 2 3 4 7 3 4 5 9 4 5 6 1 ; b) R: a) 216; b) -106; c) -11 4. Să se calculeze rangul matricelor: a) 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 R: a) 3; b) 2; c) 5 ; b) 3 1 5 2 2 0 7 0 3 1 2 0 5 4 1 2 2 1 3 1 3 1 2 0 1 3 4 2 4 3 1 1 ; c) ; c) 5. Să se calculeze inversele următoarelor matrice: 2 3 4 2 4 6 a) 0 1 1 ; b) 4 2 8 ; c) 2 2 1 1 3 5 d) R: a) 1 8 c) 2 3 4 5 3 3 4 5 4 4 4 5 5 5 5 5 3 11 1 2 10 2 2 2 2 1 1 2 4 0 1 0 1 1 1 3 6 2 1 6 10 ; b) 1 16 ; d) 3 2 0 1 0 2 2 1 1 2 3 2 0 1 2 1 14 2 20 12 4 8 10 2 12 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 4 5 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 0 2 1 2 3 0 0 2 1 2 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 ; ; 6. Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii liniare: 2x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 11 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + x 4 = 12 a) ; b) x 1 + x 2 + 5x 3 = 7 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 13 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 14 4x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 14 ;

15.3. EXERCIŢII 205 x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 4 (3 2λ)x 1 + (2 λ)x 2 + x 3 = λ x 2 x 3 + x 4 = 3 c) ; d) (2 λ)x 1 + (2 λ)x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 3x 4 = 1 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 3 x 1 + x 2 + (2 λ)x 3 = 1 R: a) (1, 2, 2); b) (2, 1, 1, 1); c) ( 8, 3 + α, 6 + 2α, α), α R. d) Matricea sistemului şi matricea extinsă sunt A = 3 2λ 2 λ 1 2 λ 2 λ 1 1 1 2 λ, Ā = 3 2λ 2 λ 1 λ 2 λ 2 λ 1 1 1 1 2 λ 1 det A = (3 2λ)(2 λ) 2 + (2 λ) + (2 λ) (2 λ) (3 2λ) (2 λ) 3 = (2 λ) 2 (3 2λ 2 + λ) + λ 1 = (2 λ) 2 (1 λ) (1 λ) = = (1 λ)[(2 λ) 2 1] = (1 λ)(λ 2 4λ + 3) = (1 λ)(1 λ)(3 λ) = (1 λ) 2 (3 λ). Distingem următoarele cazuri: I. λ R {1, 3} det A 0 II. λ = 1 det A = 0 III. λ = 3 det A = 0 Cazul I: Dacă λ R {1, 3} det A 0, deci sistemul este compatibil determinat, soluţia unică fiind găsită cu regula lui Cramer: x 1 = x 2 = x 3 = 1 det A 1 det A 1 det A λ 2 λ 1 1 2 λ 1 1 1 2 λ 3 2λ λ 1 2 λ 1 1 1 1 2 λ 3 2λ 2 λ λ 2 λ 2 λ 1 1 1 1 = = (1 λ)2 (λ 3) (1 λ) 2 (3 λ) = 1 = = (1 λ)2 (4 λ) (1 λ) 2 (3 λ) = 4 λ 3 λ = = (1 λ) 2 (1 λ) 2 (3 λ) = 1 3 λ (3 2λ)x 1 + (2 λ)x 2 + x 3 = λ Cazul II: Dacă λ = 1, sistemul iniţial (2 λ)x 1 + (2 λ)x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + (2 λ)x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 devine x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1

206CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANŢI. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE Avem ranga =rangā = 1, deci sistemul este compatibil dublu nedeterminat. Alegem x 1 necunoscută principală şi x 2 = α, x 3 = β necunoscute secundare. Se obţine x 1 = 1 α β, deci mulţimea soluţiilor este S = {(x 1, x 2, x 3 ) = (1 α β, α, β) R 3 α, β R} Cazul III: Dacă λ = 3, sistemul iniţial devine 3x 1 x 2 + x 3 = 3 3 1 1 3 x 1 x 2 + x 3 = 1, matricea extinsă Ā = 1 1 1 1 x 1 + x 2 x 3 = 1 1 1 1 1 are rangul 3, iar ranga = 2, deci sistemul este incompatibil.

Capitolul 16 Spaţii vectoriale 16.1 Definiţii şi exemple Definiţia 16.1. O mulţime nevidă V se numeşte spaţiu vectorial real dacă pe V sunt definite două operaţii: ˆ o operaţie internă (adunarea): + V V V ; (x, y) x + y ˆ o operaţie externă (înmulţirea cu scalari): care satisfac următoarele axiome: R V V ; (α, x) α x 1. (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z V 2. 0 V V astfel încât x + 0 V = 0 V + x = x, x V 3. x V, x V x + ( x) = ( x) + x = 0 V 4. x + y = y + x, x, y V 5. α(βx) = (αβ)x, α, β R, x V 6. α(x + y) = αx + αy, α R, x, y V 7. (α + β)x = αx + βx, α, β R, x V 8. 1 x = x, x V 207

208 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE Proprietăţi: ˆ Elementele unui spaţiu vectorial se numesc vectori; ˆ Numerele reale cu care operăm asupra vectorilor le vom numi scalari; ˆ Vectorul 0 V se numeşte vectorul nul; ˆ Vectorul x se va numi opusul vectorului x. Din axiomele definiţiei spaţiului vectorial, rezultă următoarele consecinţe: 1. 0 x = 0 V, x V 2. α 0 V = 0 V, α R 3. ( 1) x = x, x V 4. αx = 0 V α = 0 sau x = 0 V, α R, x V 5. αx = βx α = β, α, β R, x V {0 V } 6. αx = αy x = y, α R {0}, x, y V Exemple de spaţii vectoriale reale: 1. R n, împreună cu operaţiile: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ) 2. R n [X], mulţimea polinoamelor de grad cel mult n, împreună cu adunarea polinoamelor şi înmulţirea polinoamelor cu scalari; 3. M m,n (R) împreună cu adunarea matricelor şi înmulţirea matricelor cu scalari 4. C 0 [a,b], mulţimea funcţiilor reale continue definite pe intervalul [a, b], împreună cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea funcţiilor cu scalari

16.2. SUBSPAŢII VECTORIALE 209 16.2 Subspaţii vectoriale Definiţia 16.2. Fie V un spaţiu vectorial. O submulţime nevidă U V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă 1. u + v U, u, v U; 2. αv U, α R, v U. Teorema 16.1. Fie V un spaţiu vectorial. O submulţime nevidă U V este subspaţiu vectorial al lui V dacă şi numai dacă αu + βv U, α, β R, u, v U. Mulţimea V şi mulţimea {0 V } sunt subspaţii vectoriale. Exemplu: Mulţimea U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 x 2 + x 3 = 0} este un subspaţiu vectorial al lui R 3. Demonstraţie: Fie x, y U şi α, β R. Vom arăta că αx + βy U. x = (x 1, x 2, x 3 ) U x 1 x 2 + x 3 = 0 y = (y 1, y 2, y 3 ) U y 1 y 2 + y 3 = 0 αx + βy = (αx 1, αx 2, αx 3 ) + (βy 1, βy 2, βy 3 ) = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) Verificăm dacă vectorul αx + βy îndeplineşte condiţia din definiţia lui U: (αx 1 + βy 1 ) (αx 2 + βy 2 ) + (αx 3 + βy 3 ) = αx 1 αx 2 + αx 3 + βy 1 βy 2 + βy 3 = α(x 1 x 2 + x 3 ) + β(y 1 y 2 + y 3 ) = α 0 + β 0 = 0. Teorema 16.2. Fie U 1 şi U 2 două subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial V. Atunci U 1 U 2 este subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie: Deoarece 0 V U 1 şi 0 V U 2, rezultă că 0 V U 1 U 2, aşadar U 1 U 2. Fie x, y U 1 U 2 şi α, β R. Cum U 1 şi U 2 sunt subspaţii vectoriale, avem x, y U 1 αx + βy U 1 de unde rezultă că αx + βy U 1 U 2. x, y U 2 αx + βy U 2

210 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE Observaţie 3. Reuniunea U 1 U 2 nu este subspaţiu vectorial al lui V. Definiţia 16.3. Fie U 1 şi U 2 două subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial V. Mulţimea U 1 + U 2 = {v V v = v 1 + v 2, v 1 U 1, v 2 U 2 } se numeşte suma subspaţiilor U 1 şi U 2. Teorema 16.3. Suma U 1 +U 2 a subspaţiilor U 1 şi U 2 ale unui spaţiu vectorial V este de asemenea subspaţiu vectorial al lui V. Demonstraţie: Fie u, v U 1 + U 2 şi α, β R. Atunci avem: u = u 1 + u 2, cu u 1 U 1 şi u 2 U 2 v = v 1 + v 2, cu v 1 U 1 şi v 2 U 2 U 1 şi U 2 fiind subspaţii vectoriale ale lui V, rezultă că αu 1 + βv 1 U 1 şi αu 2 + βv 2 U 2. Deci αu + βv = α(u 1 + u 2 ) + β(v 1 + v 2 ) = = (αu 1 + βv 1 ) + (αu 2 + βv 2 ) U 1 + U 2 adică U 1 + U 2 este subspaţiu vectorial al lui V. Definiţia 16.4. Fie U 1 şi U 2 două subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial V. Dacă U 1 U 2 = {0 V }, atunci U 1 + U 2 se numeşte sumă directă a subspaţiilor U 1 şi U 2, şi se notează cu U 1 U 2. Dacă în plus U 1 U 2 = V, atunci spunem că U 1 şi U 2 sunt subspaţii complementare. Definiţia 16.5. Spunem că un vector v V este o combinaţie liniară a vectorilor v 1, v 2,..., v n V dacă există scalarii α 1, α 2,..., α n R astfel încât v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n Teorema 16.4. Fie vectorii v 1, v 2,..., v n V. Atunci mulţimea tuturor combinaţiilor liniare ale acestor vectori Sp{v 1,..., v n } = {v = n i=1 α i v i α i R, i = 1,..., n} este un subspaţiu al lui V şi se numeşte subspaţiul generat de v 1, v 2,..., v n.

16.3. DEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZĂ. DIMENSIUNE 211 Definiţia 16.6. Spunem că vectorii v 1, v 2,..., v n V formează un sistem de generatori pentru V dacă subspaţiul generat de aceşti vectori coincide cu V. Cu alte cuvinte, Exemple: v V, α 1,..., α n R astfel încât v = α 1 v 1 + + α n v n 1. În R3, vectorii e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) formează un sistem de generatori. 2. În R n[x], vectorii 1, X, X 2,..., X n constituie un sistem de generatori Exemplu: Sistemul de vectori S = {v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1)} formează un sistem de generatori pentru R 3. Demonstraţie: Fie x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3. Trebuie să arătăm că există scalarii α 1, α 2, α 3 R astfel încât x = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (0, 1, 1) + α 3 (0, 0, 1) sau (x 1, x 2, x 3 ) = (α 1, α 1 + α 2, α 1 + α 2 + α 3 ). Rezolvând sistemul α 1 = x 1 α 1 + α 2 = x 2 α 1 + α 2 + α 3 = x 3 obţinem α 1 = x 1, α 2 = x 2 x 1, α 3 = x 3 x 2. 16.3 Dependenţă liniară. Bază. Dimensiune Definiţia 16.7. Spunem că vectorii v 1, v 2,..., v n V sunt liniar independenţi dacă are loc implicaţia: α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 V α 1 = α 2 = = a n = 0. În caz contrar, dacă există scalarii α 1, α 2,..., α n nu toţi nuli astfel încât α 1 v 1 + + α n v n = 0 V, spunem că v 1, v 2,..., v n sunt liniar dependenţi. Observaţie 4. Dacă o mulţime de vectori sunt liniar independenţi, atunci orice submulţime din aceşti vectori sunt de asemenea linear independenţi. Orice mulţime formată dintr-un singur vector este linear independentă, iar orice mulţime care conţine vectorul nul este linear dependentă.

212 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE Definiţia 16.8. Spunem că sistemul de vectori B = {e 1, e 2,..., e n } este o bază a spaţiului vectorial V dacă vectorii e 1, e 2,..., e n sunt liniar independenţi şi formează un sistem de generatori pentru V. Teorema 16.5. Un sistem de vectori B = {e 1, e 2,..., e n } este bază a lui V dacă şi numai dacă orice vector x V se exprimă în mod unic ca o combinaţie liniară de vectorii din B: x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n, x i R, i = 1,..., n. Scalarii x 1, x 2,..., x n se numesc componentele sau coordonatele vectorului x în baza B. Teorema 16.6. Dacă B = {e 1, e 2,..., e n } este o bază a spaţiului vectorial V, atunci orice submulţime a lui V care conţine mai mult de n vectori este liniar dependentă. De asemenea, orice altă bază a lui V are exact n vectori. Definiţia 16.9. Se numeşte dimensiune a spaţiului vectorial V şi se notează dim V, numărul vectorilor dintr-o bază oarecare a lui V. Exemple: 1. Baza canonică în R n este B = {e 1, e 2,..., e n }, unde e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1), deci dim R n = n; 2. Baza canonică în R n [X] este B = {1, X, X 2,..., X n }, deci dim R n [X] = n + 1; 3. Baza canonică în M 2 (R) este B = {E 1 = ( 1 0 0 0 ), E 2 = ( 0 1 0 0 ), E 3 = ( 0 0 1 0 ), E 4 = ( 0 0 0 1 )}, deci dim M 2 (R) = 4. Teorema 16.7. Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază a spaţiului vectorial real V, şi un sistem de vectori v 1, v 2,..., v p V. Considerăm S M n,p (R) matricea care are pe coloane componentele în baza B ale vectorilor v 1, v 2,..., v p. Atunci: a) vectorii v 1, v 2,..., v p sunt liniar independenţi dacă şi numai dacă rangul matricei S este p; b) dim Sp{v 1,..., v n } = rang(s). Teorema 16.8 (Grassman). Dacă U 1, U 2 sunt subspaţii vectoriale ale spaţiului vectorial V, atunci dim(u 1 + U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 dim(u 1 U 2 ).

16.4. SCHIMBĂRI DE BAZE 213 16.4 Schimbări de baze Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional şi B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {f 1, f 2,..., f n } două baze în V. Fiecare vector din B poate fi scris în mod unic în baza B astfel: sau pe scurt f 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + + a n1 e n f 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + + a n2 e n f n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + + a nn e n f j = n i=1 a ij e i, j = 1,..., n. Definiţia 16.10. Se numeşte matrice de trecere de la baza B la baza B matricea care are pe coloane componentele vectorilor din B în baza B: S BB = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a n1 a n2... a nn M n (R). Teorema 16.9. Fie B = {e 1, e 2,..., e n }, B = {f 1, f 2,..., f n } două baze în spaţiul vectorial V, şi fie vectorul v V, scris în bazele B şi B astfel: Atunci avem: v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = y 1 f 1 + y 2 f 2 + + y n f n. x 1 x 2 x n = S BB y 1 y 2 y n, unde S BB este matricea de trecere de la B la B. Teorema 16.10. Fie B, B două baze ale spaţiului vectorial V. Atunci matricea de trecere de la B la B este nesingulară şi avem S B B = S 1 BB 16.5 Spaţii euclidiene Definiţia 16.11. Fie V un spaţiu vectorial. Se numeşte produs scalar pe V o funcţie, V V R

214 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE care asociază fiecărei perechi de vectori din V un număr real u, v şi care satisface condiţiile: 1. u, v = v, u, u, v V 2. u 1 + u 2, v = u 1, v + u 2, v, u 1, u 2, v V 3. λu, v = λ u, v, λ R, u, v V 4. u, u 0, u V ; u, u = 0 u = 0 V. Din cele patru proprietăţi de mai sus, se mai pot deduce următoarele: 1. u, v 1 + v 2 = u, v 1 + u, v 2, u, v 1, v 2 V 2. u, λv = λ u, v, λ R, u, v V 3. 0 V, v = v, 0 V = 0, v V Demonstraţie: 1. u, v 1 + v 2 = v 1 + v 2, u = v 1, u + v 2, u = u, v 1 + u, v 2 2. u, λv = λv, u = λ v, u = λ u, v 3. 0 V, v = u u, v = u, v u, v = 0 Definiţia 16.12. Un spaţiu vectorial înzestrat cu un produs scalar, se numeşte spaţiu euclidian. Exemple: 1. Pe spaţiul vectorial R n definim produsul scalar standard x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n unde x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, y = (y 1, y 2,..., y n ) R n 2. Pe spaţiul vectorial al matricelor pătratice M n (R) definim produsul scalar A, B = Tr(A T B), A, B M n (R) 3. Pe spaţiul vectorial C 0 [a,b] definim produsul scalar f, g = a b f(x)g(x)dx, f, g [a, b] R continue.

16.5. SPAŢII EUCLIDIENE 215 Teorema 16.11 (Cauchy-Schwarz-Buniakovski). Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Atunci are loc inegalitatea u, v u, u v, v Demonstraţie: Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu u, v 2 u, u v, v Pentru u = 0 V sau v = 0 V, inegalitatea devine egalitate. Dacă u, v V {0 V }, considerăm combinaţia liniară u + λv V, unde λ R este un scalar arbitrar. Din proprietăţile produsului scalar avem că u + λv, u + λv 0, λ R (16.1) Aplicând proprietăţile produsului scalar, membrul stâng al inegalităţii devine u + λv, u + λv = u, u + λv + λv, u + λv = u, u + u, λv + λv, u + λv, λv = u, u + λ u, v + λ v, u + λ 2 v, v = u, u + 2λ u, v + λ 2 v, v Notând cu A = v, v, B = u, v, C = u, u, inegalitatea (16.1) devine Aλ 2 + 2Bλ + C 0, λ R Cum A > 0, inegalitatea de mai sus are loc pentru orice λ real doar dacă discriminantul = 4B 2 4AC 0 aşadar B 2 AC, adică u, v 2 u, u v, v Definiţia 16.13. Se numeşte normă pe spaţiul vectorial V o funcţie care satisface condiţiile: V R 1. v 0, v V ; v = 0 v = 0 V 2. λv = λ v, λ R, v V 3. u + v u + v, u, v V Definiţia 16.14. Un spaţiu vectorial înzestrat cu o normă se numeşte spaţiu normat.

216 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE Teorema 16.12. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Atunci funcţia V R, v = v, v, v V este o normă pe V, numită norma euclidiană indusă de produsul scalar. Demonstraţie: Vom arăta că funcţia din enunţ satisface axiomele normei: 1. v = v, v 0 deoarece v, v 0 v = 0 v, v = 0 v = 0 V 2. λv = λv, λv = λ 2 v, v = λ v, v = λ v 3. Pentru a demonstra că u+v u + v, u, v V folosim inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovski şi proprietăţile produsului scalar: u + v 2 = u + v, u + v = u, u + v + v, u + v = aşadar u + v u + v. = u, u + u, v + v, u + v, v = = u 2 + 2 u, v + v 2 u 2 + 2 u, v + v 2 u 2 + 2 u, u v, v + v 2 = = u 2 + 2 u v + v 2 = ( u + v ) 2 ˆ Din teorema anterioară rezultă că orice spaţiu vectorial euclidian este un spaţiu normat cu norma indusă de produsul scalar; ˆ într-un spaţiu vetorial normat, inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovski se poate rescrie sub forma u, v u v 1 u, v u v 1 Definiţia 16.15. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi u, v V {0 V }. Numărul θ [0, π] definit prin cos θ = u, v u v se numeşte unghiul dintre vectorii u şi v. Definiţia 16.16. Un vector se numeşte versor (sau vector unitar) dacă norma sa este 1.

16.5. SPAŢII EUCLIDIENE 217 Orice vector v V {0 V } are un vector unitar corespunzător, pe care îl notăm cu v 0 şi care poate fi obţinut astfel: v 0 = 1 v v Definiţia 16.17. Se numeşte distanţă sau metrică pe mulţimea nevidă M o funcţie d M M R care satisface condiţiile: 1. d(x, y) 0, x, y M; d(x, y) = 0 x = y 2. d(x, y) = d(y, x), x, y M 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y, z M Definiţia 16.18. O mulţime M înzestrată cu o distanţă (metrică) d se numeşte spaţiu metric. Observaţie: Orice spaţiu vectorial normat este spaţiu metric cu distanţa euclidiană d(u, v) = u v. Definiţia 16.19. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Doi vectori u, v V se numesc ortogonali dacă produsul lor scalar u, v = 0. Definiţia 16.20. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian şi o mulţime de vectori U V. Mulţimea tuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din U: U = {v V u, v = 0, u U} se numeşte complementul ortogonal al lui U şi este un subspaţiu vectorial al lui V. Teorema 16.13. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Dacă vectorii v 1, v 2,..., v n V {0 V } sunt ortogonali doi câte doi: atunci sunt liniar independenţi. v i, v j = 0, i, j {1, 2,..., n}, i j Demonstraţie: Considerăm combinaţia liniară nulă α 1 v 1 + + α n v n = 0 V α 1 v 1 + + α n v n, v 1 = 0 V, v 1 = 0 α 1 v 1, v 1 + α 2 v 2, v 1 + + α n v n, v 1 = 0 α 1 v 1 2 = 0 α 1 = 0 Făcând produsul scalar al combinaţiei liniare cu vectorii v 2,..., v n obţinem de asemenea α 2 = = α n = 0.

218 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE Definiţia 16.21. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional şi o bază B = {e 1, e 2,..., e n }. 1. Baza B se numeşte ortogonală dacă e 1,..., e n sunt ortogonali doi câte doi: e i, e j = 0, i, j {1, 2,..., n}, i j 2. Baza B se numeşte ortonormată dacă este ortogonală şi toţi vectorii din B au norma 1: e i, e j = { 1, dacă i = j 0, dacă i j, i, j {1, 2,..., n} Teorema 16.14 (Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt). Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional şi o bază B = {u 1, u 2,..., u n }. Atunci se poate construi o bază ortonormată {e 1, e 2,..., e n } pornind de la baza B. Demonstraţie: Construim mai întâi o bază ortogonală pornind de la baza B, iar apoi considerând versorii corespunzători se obţine baza ortonormată căutată. Pasul 1: Definim v 1 = u 1. Pasul 2: Definim v 2 = u 2 + α 21 v 1, unde scalarul α 21 se determină punând condiţia ca v 2 să fie ortogonal pe v 1 : 0 = v 2, v 1 = u 2 + α 21 v 1, v 1 = u 2, v 1 + α 21 v 1, v 1 de unde rezultă α 21 = u 2, v 1 v 1, v 1 Pasul 3: Definim v 3 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2, unde scalarii α 31, α 32 se determină punând condiţia ca v 3 să fie ortogonal pe v 1 şi v 2 : 0 = v 3, v 1 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2, v 1 = u 3, v 1 + α 31 v 1, v 1 + α 32 v 2, v 1 de unde observând că v 2, v 1 = 0 rezultă α 31 = u 3, v 1 v 1, v 1. 0 = v 3, v 2 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2, v 2 = u 3, v 2 + α 31 v 1, v 2 + α 32 v 2, v 2 de unde observând că v 1, v 2 = 0 rezultă α 32 = u 3, v 2 v 2, v 2. După n paşi se obţine baza ortogonală B = {v 1,..., v n }. Considerând versorii corespunzători vectorilor din B se obţine baza ortonormată B 0 = {e 1,..., e n }, unde e i = 1 v i v i, i = 1,..., n.

16.6. EXERCIŢII 219 16.6 Exerciţii 1. Care din următoarele submulţimi sunt subspaţii în R 3? a) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 0} b) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 1} c) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 x 2 = 0} d) {(0, 0, 0)} e) {α(1, 1, 0) + β(2, 0, 1) α, β R} f) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 3 x 2 + 3x 1 = 0} g) {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 + x 2 + x 3 = 1} 2. Să se studieze dependenţa liniară a următorilor vectori: a) v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (2, 0, 1), v 3 = (1, 3, 2) R 3 b) v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (1, 0, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1), v 4 = (0, 1, 0, 1) R 4 c) v 1 = (2, 1, 3, 1), v 2 = (1, 2, 0, 1), v 3 = ( 1, 1, 3, 0) R 4 d) v 1 = (2, 1, 3, 1), v 2 = ( 1, 1, 3, 1), v 3 = (4, 5, 3, 1), v 4 = (1, 5, 3, 1) e) u 1 = v 1 + v 2, u 2 = v 1 + v 3, u 3 = v 2 + v 3, unde v 1, v 2, v 3 sunt liniar independenţi Rezolvare: a) Verificăm independenţa liniară cu definiţia: α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 (α 1, α 1, 0) + (2α 2, 0, α 2 ) + (α 3, 3α 3, 2α 3 ) = 0 (α 1 + 2α 2 + α 3, α 1 3α 3, α 2 + 2α 3 ) = (0, 0, 0) α 1 + 2α 2 + α 3 = 0 α 1 3α 3 = 0 α 2 + 2α 3 = 0 ; 1 2 1 1 0 3 0 1 2 = 0 sistemul are soluţii nenule deci vectorii sunt liniar dependenţi. 1 2 rang 1 0 = 2 deci vectorii v 1, v 2 sunt independenţi, iar v 3 se poate 0 1 scrie ca o combinaţie liniară de v 1, v 2 astfel: v 3 = 3v 1 + 2v 2 b) Scriind vectorii pe coloanele unei matrice obţinem: 1 1 0 0 1 0 0 1 rang = 3 < 4 deci vectorii sunt liniari dependenţi. 0 1 1 0 0 0 1 1

220 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE De asemenea observăm că rang 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 = 3 deci vectorii v 1, v 2, v 3 sunt liniar independenţi, iar v 4 se poate scrie ca o combinaţie liniară de v 1, v 2, v 3 astfel: v 4 = v 1 v 2 + v 3 3. Să se găsească o bază în subspaţiul liniar al soluţiilor sistemelor omogene: a) b) x 1 x 2 3x 3 x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 3x 4 = 0 x 1 + x 2 x 3 2x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 3 2x 5 = 0 1 1 3 1 Rezolvare: a) matricea sistemului ( ) are rangul 2, 1 1 1 3 alegem necunoscutele secundare x 3 = α, x 4 = β şi rezolvând sistemul x 1 x 2 = 3α + β în necunoscutele principale obţinem x 1 + x 2 = α + 3β S = {(α+2β, 2α+β, α, β) α, β R} = {(α, 2α, α, 0)+(2β, β, 0, β) α, β} = {α(1, 2, 1, 0) + β(2, 1, 0, 1) α, β R} = Sp{(1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 1)}, iar cum aceşti doi vectori sunt şi liniar independenţi, formează o bază în S. 4. Să se arate că B este o bază în spaţiul liniar corespunzător şi să se scrie coordonatele vectorului v în această bază: a) B = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)} R 3, v = (6, 9, 14) b) B = {(2, 1, 3), (3, 2, 5), (1, 1, 1)} R 3, v = (6, 2, 7) c) B = {(1, 2, 1, 2), (2, 3, 0, 1), (1, 2, 1, 4), (1, 3, 1, 0)} R 4, v = (7, 14, 1, 2) d) B = {( 1 1 1 0 ), ( 1 1 0 1 ), ( 1 0 1 1 ), ( 0 1 1 1 )}, v = ( 2 3 4 5 ) Rezolvare: a) 1 1 1 1 1 2 1 2 3 0 B este o bază în R 3.

16.6. EXERCIŢII 221 α 1 + α 2 + α 3 = 6 v = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 1, 2) + α 3 (1, 2, 3) α 1 + α 2 + 2α 3 = 9 α 1 + 2α 2 + 3α 3 = 14 α 1 = 1, α 2 = 2, α 3 = 3 5. Să se găsească matricele de trecere între următoarele baze: a) B 1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, B 2 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}; b) B 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, B 2 = {(1, 1, 0), ( 1, 0, 0), (0, 0, 1)}; c) B 1 = {(1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 7, 1)}, B 2 = {(3, 1, 4), (5, 2, 1), (1, 1, 6)}; d) B 1 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 3, 2, 3)}, B 2 = {(1, 0, 3, 3), ( 2, 3, 5,, 4), (2, 2, 5, 4), ( 2, 3, 4, 4)} în R 4 ; e) B 1 = {1, t, t 2, t 3 }, B 2 = {1, t + 1, (t + 1) 2, (t + 1) 3 } în spaţiul P 3 [t] al polinoamelor de grad 3; Rezolvare: a) Notăm cu e 1, e 2, e 3, f 1, f 2, f 3 vectorii din cele două baze. f 1 = 1 e 1 + 1 e 2 + 0 e 3 1 1 0 Avem f 2 = 1 e 1 + 0 e 2 + 1 e 3 deci 1 0 1 este matricea de f 3 = 0 e 1 + 1 e 2 + 1 e 3 0 1 1 trecere de la B 1 la B 2. Pentru a găsi matricea de trecere de la B 2 la B 1 aflăm coordonatele vectorilor e 1, e 2, e 3 în baza B 2 : e 1 = α 1 f 1 + α 2 f 2 + α 3 f 3 α 1 + α 2 = 1 (1, 0, 0) = (α 1, α 1, 0) + (α 2, 0, α 2 ) + (0, α 3, α 3 ) α 1 + α 3 = 0 α 2 + α 3 = 0 α 1 = α 2 = 1 2, α 3 = 1 2 α 1 + α 2 = 0 (0, 1, 0) = (α 1, α 1, 0) + (α 2, 0, α 2 ) + (0, α 3, α 3 ) α 1 + α 3 = 1 α 2 + α 3 = 0 α 1 = α 3 = 1 2, α 2 = 1 2 α 1 + α 2 = 0 (0, 0, 1) = (α 1, α 1, 0) + (α 2, 0, α 2 ) + (0, α 3, α 3 ) α 1 + α 3 = 0 α 2 + α 3 = 1 α 2 = α 3 = 1 2, α 1 = 1 2, deci matricea de trecere este 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2.

222 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE 6. Fie P spaţiul vectorial al tuturor polinoamelor reale definite pe [ 1, 1]. Să se arate că P este un spaţiu euclidian în raport cu aplicaţia definită prin: 7. Să se arate că aplicaţia este o normă pe R n. 8. Să se arate că aplicaţia este o distanţă pe R +. p, q = 1 1 p(x) q(x)dx 2 R n R +, dată prin x 2 = n i=1 x i d R + R + R +, dată prin d(x, y) = ln x y 9. În R4 considerăm vectorii x = ( 2, 5, 1, 3), y = ( 1, 2, 3, 2), z = ( 2, 1, 2, 3). Să se calculeze x, y, x, z, y, z, x, y, z, 2x y, 3z + x, d(2x + y, x + 3z), x 2y + z. Rezolvare: x, y = ( 2) ( 1) + 5 ( 2) + 1 3 + 3 2 = 1 x, z = 20; y, z = 12 x = ( 2) 2 + 5 2 + 1 2 + 3 2 = 39; y = 18 = z 2x y, 3z + x = 6 x, z + 2 x, x 3 y, z y, x = 161 d(2x + y, x + 3z) = (2x + y) ( x + 3z) = 3x + y 3z = = ( 1, 10, 0, 2) = 105 x 2y + z = 117 10. În R4 considerăm vectorii v 1 = (2, 1, 1, 2), v 2 = ( 2, 3, 5, 1). Să se calculeze v 1, v 2, v 1, v 2, 2v 1 v 2, v 1, v 1 + 2v 2. 11. În R6 considerăm vectorii v 1 = (1, 2, 3, 4, 0, 1), v 2 = (1, 2, 3, 1, 2, 4). Să se calculeze v 1, v 2, v 1, v 2, (v 1, v 2 ), d(v 1, v 2 ). 12. Să se verifice inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru vectorii: a) x = (1, 1, 1, 1, 1, 2), y = (2, 2, 3, 3, 2, 1) în R 6

16.6. EXERCIŢII 223 b) v 1 = (2, 1, 1, 2), v 2 = ( 2, 3, 5, 1) în R 4 Să se afle versorii vectorilor de mai sus. Rezolvare: x, y = 8, x = 3, y = 31, iar 8 < 3 31. x 0 = 1 x x = 1 3 (1, 1, 1, 1, 1, 2); y0 = 1 (2, 2, 3, 3, 2, 1). 31 13. În spaţiul euclidian R3 găsiţi un vector v de normă 1 şi ortogonal pe vectorii: a) u 1 = (2, 1, 0), u 2 = ( 3, 2, 0) b) u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (2, 1, 3) c) u 1 = (1, 3, 4), u 2 = (2, 3, 4) Rezolvare: Fie v = (x 1, x 2, x 3 ). Obţinem: v, u 1 = 0 2x 1 + x 2 = 0 a) x 1 = x 2 = 0 v = (0, 0, 1) sau v, u 2 = 0 3x 1 + 2x 2 = 0 v = (0, 0, 1). v, u 1 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 b) v = ( 4α, 5α, α). Punând v, u 2 = 0 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 condiţia v = 1 42α 2 = 1 α = ± 1. 42 14. Să se construiască o bază ortonormată pornind de la baza: (a) {(1, 0, 2), (2, 1, 1), (0, 1, 1)} în R 3 Rezolvare: Notăm cu u 1 = (1, 0, 2), u 2 = (2, 1, 1), u 3 = (0, 1, 1). Pasul 1: Definim v 1 = u 1 = (1, 0, 2). Pasul 2: Definim v 2 = u 2 + α 21 v 1. v 2, v 1 = 0 0 = u 2 + α 21 v 1, v 1 = u 2, v 1 + α 21 v 1, v 1 α 21 = u 2, v 1 v 1, v 1 = 4 5 v 2 = (2, 1, 1) 4 5 (1, 0, 2) = ( 6 5, 1, 3 5 ) Pasul 3: Definim v 3 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2. v 3, v 1 = 0 0 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2, v 1 = u 3, v 1 + α 31 v 1, v 1 + α 32 v 2, v 1 α 31 = u 3, v 1 v 1, v 1 = 2 5. v 3, v 2 = 0 0 = u 3 + α 31 v 1 + α 32 v 2, v 2 = u 3, v 2 + α 31 v 1, v 2 + α 32 v 2, v 2 α 32 = u 3, v 2 v 2, v 2 = 1 7 v 3 = (0, 1, 1) 2 5 (1, 0, 2) 1 7 (6 5, 1, 3 5 ). Am obţinut baza ortogonală formată din vectorii v 1 = (1, 0, 2),

224 CAPITOLUL 16. SPAŢII VECTORIALE v 2 = ( 6 5, 1, 3) 5 = 1 5 (6, 5, 3), v 3 = ( 4 7, 6 7, 2) 7 = 2 7 ( 2, 3, 1). Baza ortonormată căutată este formată din versorii acestor vectori: e 1 = e 2 = e 3 = v 1 v 1 = 1 (1, 0, 2) = ( 1 2, 0, ) 5 5 5 v 2 v 2 = 1 70 (6, 5, 3) = ( 6 70, v 3 v 3 = 1 14 ( 2, 3, 1) = ( 2 14, 5 70, 3 14, 3 70 ) 1 14 ) (b) {(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)} în R 3 (c) {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} în R 3 (d) {( 1, 0, 2), (1, 1, 1), (2, 1, 0)} în R 3 (e) {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} în R 4 (f) {1, X, X 2 } în R 2 [X] 15. Să se găsească complementele ortogonale ale următoarelor subspaţii din R 3 : a) U 1 =Sp{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} b) U 2 =Sp{(1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 0)} c) U 3 =Sp{(1, 2, 1), (3, 6, 3)} Rezolvare: Punând condiţia ca vectorul v = (x 1, x 2, x 3 ) să fie ortogonal pe generatorii subspaţiului se obţine: x 1 = 0 a) U1 = {(0, 0, α) α R} =Sp{(0, 0, 1)} x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 b) x 3 = 0 U2 = {( α, α, 0) α R} =Sp{( 1, 1, 0)} x 1 + x 2 = 0

Capitolul 17 Transformări liniare 17.1 Definiţii şi proprietăţi Definiţia 17.1. Fie V şi W două spaţii vectoriale reale. O funcţie T V W se numeşte transformare liniară (sau operator liniar, sau aplicaţie liniară, sau morfism de spaţii vectoriale) dacă îndeplineşte următoarele condiţii: 1. T (u + v) = T (u) + T (v), u, v V 2. T (αu) = αt (u), α R, u V ˆ Dacă aplicaţia liniară T este bijectivă, se numeşte izomorfism de spaţii vectoriale. ˆ Dacă V = W, atunci T se numeşte endomorfism al lui V. ˆ Un endomorfism bijectiv se numeşte automorfism. Vom nota cu L(V, W ) mulţimea aplicaţiilor liniare de la V la W şi cu L(V ) mulţimea endomorfismelor lui V. Propoziţia 17.1.1. O funcţie T V W este transformare liniară dacă şi numai dacă T (αu + βv) = αt (u) + βt (v), α, β R, u, v V. (17.1) Demonstraţie: Presupunem că T este liniară. Pentru α, β R, u, v V oarecare avem: T (αu + βv) = T (αu) + T (βv) = αt (u) + βt (v) Presupunem că (17.1) este satisfăcută. Punând α = β = 1 se obţine prima condiţie din definiţia transformării liniare, iar punând β = 0 se obţine cea de a doua. 225

226 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Exemplu: T R 3 R 3, T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2, x 1 x 3, x 2 + 2x 3 ) este o transformare liniară. Propoziţia 17.1.2. Pentru o transformare liniară T V W avem: a) T (0 V ) = 0 W b) T ( v) = T (v), v V n c) T ( α i v i ) = i=1 n i=1 α i T (v i ), α i R, v i V, i = 1,..., n. Teorema 17.1. Mulţimea transformărilor liniare L(V, W ) împreună cu adunarea şi înmulţirea funcţiilor cu scalari formează un spaţiu vectorial real. Teorema 17.2. Dacă U, V, W sunt trei spaţii vectoriale reale, şi T 1 L(U, V ), T 2 L(V, W ), atunci T 2 T 1 L(U, W ). Teorema 17.3. Fie T L(V, W ). Atunci avem: 1. Dacă U este un subspaţiu vectorial al lui V, atunci T (U) = {w W u U, T (u) = w} W este un subspaţiu vectorial al lui W. 2. Dacă Ū este un subspaţiu vectorial al lui W, atunci 1 T (Ū) = {v V T (v) Ū} V este un subspaţiu vectorial al lui V. Definiţia 17.2. Fie T L(V, W ). 1. Mulţimea se numeşte nucleul lui T. 2. Mulţimea se numeşte imaginea lui T. ker T = {v V T (v) = 0} V im T = {w W v V, T (v) = w} W

17.2. MATRICEA UNEI TRANSFORMĂRI LINIARE 227 Nucleul şi imaginea unei aplicaţii liniare T L(V, W ) sunt subspaţii vectoriale ale lui V, respectiv W. Dimensiunile acestor subspaţii se numesc rangul, respectiv defectul lui T, şi între ele există următoarea relaţie: unde n este dimensiunea lui V. rang T + def T = n Teorema 17.4. Fie T L(V, W ). Atunci: 1. T este injectivă dacă şi numai dacă kert = {0 V } 2. T este surjectivă dacă şi numai dacă imt = W. Teorema 17.5. 1. Dacă T L(V, W ) este un izomorfism de spaţii vectoriale, atunci şi aplicaţia inversă T 1 W V este o aplicaţie liniară. 2. Spaţiile vectoriale V şi W sunt izomorfe dacă şi numai dacă dim V = dim W. 17.2 Matricea unei transformări liniare Fie V şi W două spaţii vectoriale de dimensiuni n, respectiv m, şi T V W o transformare liniară. Considerăm de asemenea bazele B = {e 1,..., e n } în V şi B = {f 1,..., f m } în W. Vectorii T (e 1 ),..., T (e n ) din W pot fi scrişi în baza B astfel: T (e 1 ) T (e 2 ) T (e n ) = a 11 f 1 + a 21 f 2 + + a m1 f m = a 12 f 1 + a 22 f 2 + + a m2 f m = a 1n f 1 + a 2n f 2 + + a mn f m Definiţia 17.3. Matricea A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn M m,n (R) care are pe coloane componentele vectorilor T (e 1 ),..., T (e n ) în baza B se numeşte matricea lui T în raport cu bazele B şi B.

228 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Exemplu: Matricea transformării liniare T R 3 R 3, T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2, x 1 x 3, x 2 + 2x 3 ) în baza canonică din R 3 este 2 1 0 1 0 1 0 1 2 Teorema 17.6. Fie T L(V, W ), B = {e 1,..., e n } bază în V, B = {f 1,..., f m }. bază în W, şi A matricea lui T în raport cu bazele B şi B. Dacă x = şi y = T (x) = m i=1 y i f i, atunci avem: y 1 y 2 y m = A x 1 x 2 x n. Exemplu: Pentru T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2, x 1 x 3, x 2 + 2x 3 ), avem 2 1 0 1 0 1 0 1 2 x 1 x 2 x 3 = 2x 1 + x 2 x 1 x 3 x 2 + 2x 3. n i=1 Teorema 17.7. Fie T L(V, W ), B, B două baze în V, B, B două baze în W, şi A matricea lui T în raport cu bazele B şi B. Atunci matricea lui T în raport cu bazele B şi B este: Ā = S 1 B B AS B B unde S B B este matricea de trecere de la B la B şi S B B este matricea de trecere de la B la B. Exemplu: Pentru transformarea liniară T R 3 R 3, T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2, x 1 x 3, x 2 + 2x 3 ), considerăm B = B baza canonică din R 3 şi B = B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} Matricea de trecere de la B la B 1 1 0 este S B B = 1 0 1, iar inversa aces- 0 1 1 teia este S 1 B B = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 x i e i. Conform teoremei anterioare, matricea

17.3. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 229 transformării T în baza B este Ā = S 1 B B AS B B = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 3 de unde se obţine Ā = 2 0 3 2 3 5 2 2 2. 1 1 2 0 2 Verificare: T (1, 0, 1) = (2, 0, 2) = 2 (1, 0, 1). 17.3 Valori şi vectori proprii Definiţia 17.4. Fie V un spaţiu vectorial şi T L(V ) un endomorfism. 1. Un vector v V, v 0 V se numeşte vector propriu al lui T dacă există un scalar λ R astfel încât T (v) = λv. 2. Un scalar λ R pentru care există v V {0 V } astfel încât T (v) = λv se numeşte valoare proprie a lui T. 3. Mulţimea tuturor valorilor proprii ale unui endomorfism poartă denumirea de spectrul lui T şi se notează cu σ(t ). Definiţia 17.5. Fie V un spaţiu vectorial şi T L(V ) un endomorfism. Un subspaţiu vectorial U V se numeşte subspaţiu invariant în raport cu T dacă T (U) U. Teorema 17.8. Fie V un spaţiu vectorial şi T L(V ) un endomorfism al lui V. Dacă λ este o valoare proprie a lui T, atunci mulţimea vectorilor proprii corespunzători lui λ V λ = {v V T (v) = λv} este un subspaţiu vectorial invariant în raport cu T, numit subspaţiu propriu asociat valorii proprii λ. Teorema 17.9. Vectorii proprii ai lui T corespunzători la valori proprii distincte sunt liniar independenţi.

230 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Fie V un spaţiu vectorial, B = {e 1, e 2,..., e n } o bază în V, T L(V ) un endomorfism, şi λ σ(t ). Considerăm A matricea lui T în baza B, şi v V λ. În baza B, vectorul v se scrie iar egalitatea T (v) = λv devine A x 1 x 2 x n v = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = λ x 1 x 2 x n (A λi n ) x 1 x 2 x n = Cum v 0 V, rezultă că sistemul de mai sus admite soluţii nebanale, deci det(a λi n ) = 0. Definiţia 17.6. Polinomul cu coeficienţi reali p(λ) = det(a λi n ) se numeşte polinomul caracteristic al lui T. Ecuaţia det(a λi n ) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a lui T. Polinomul caracteristic al unui endomorfism T L(V ) nu depinde de baza în care este scrisă matricea A a lui T, iar rădăcinile reale ale acestui polinom sunt chiar valorile proprii ale lui T. Ordinul de multiplicitate (ca rădăcină a polinomului caracteristic) al unei valori proprii λ σ(t ) se numeşte multiplicitate algebrică a lui λ, iar dimensiunea subspaţiului de vectori proprii corespunzător lui λ σ(t ) se numeşte multiplicitate geometrică a lui λ. Teorema 17.10. Fie V un spaţiu vectorial real, T L(V ), şi λ σ(t ). Atunci multiplicitatea geometrică a lui λ este cel mult egală cu multiplicitatea algebrică a lui λ. Exemplu: Fie T R 3 R 3, dată prin 0 0 0 T (x 1, x 2, x 3 ) = (4x 1 x 2 + x 3, x 1 + 3x 2 x 3, x 2 + x 3 ) Valorile proprii ale lui T se găsesc rezolvând ecuaţia caracteristică, sau echivalent aflând rădăcinile polinomului caracteristic.

17.3. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 231 Matricea transformării T în baza canonică din R 3 este A = Polinomul caracteristic este: 4 λ 1 1 p(λ) = det(a λi 3 ) = 1 3 λ 1 = 0 1 1 λ = (4 λ)(3 λ)(1 λ) + 1 + (4 λ) + (1 λ) = = (4 λ)(3 λ)(1 λ) + 2(3 λ) = = (3 λ)(λ 2 5λ + 6) = = (3 λ) 2 (2 λ) 4 1 1 1 3 1 0 1 1 aşadar valorile proprii ale lui T sunt λ 1,2 = 3 şi λ 3 = 2. Vectorii proprii se găsesc înlocuind pe λ cu valorile proprii găsite în 4 λ 1 1 1 3 λ 1 0 1 1 λ x 1 x 2 x 3 = şi rezolvând sistemul omogen corespunzător. 1 1 1 x 1 0 x 1 x 2 + x 3 = 0 λ 1,2 = 3 1 0 1 x 2 = 0 x 1 x 3 = 0 0 1 2 x 3 0 x 2 2x 3 = 0 x 3 = α x 1 = α, x 2 = 2α V λ1,2 = {(α, 2α, α) α R} = Sp{(1, 2, 1)} 2 1 1 x 1 0 2x 1 x 2 + x 3 = 0 λ 3 = 2 1 1 1 x 2 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 0 1 1 x 3 0 x 2 x 3 = 0 x 3 = α x 1 = 0, x 2 = α V λ3 = {(0, α, α) α R} = Sp{(0, 1, 1)} Definiţia 17.7. Un endomorfism T L(V ) se numeşte diagonalizabil dacă există o bază a lui V astfel încât matricea lui T în această bază să fie diagonală. Teorema 17.11. Un endomorfism T L(V ) este diagonalizabil dacă şi numai dacă există o bază a lui V formată numai din vectori proprii ai lui T. În cazul în care este diagonalizabil, matricea endomorfismului T L(V ) are pe diagonală valorile proprii corespunzătoare vectorilor proprii din bază. Teorema 17.12. Un endomorfism T L(V ) este diagonalizabil dacă şi numai dacă orice valoare proprie λ σ(t ) are multiplicităţile algebrică şi geometrică egale. 0 0 0.

232 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Exemplu: Fie endomorfismul T R 3 R 3, T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 1 + x 2 ). Matricea lui T în baza canonică din R 3 este A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0. λ 1 1 p(λ) = det(a λi 3 ) = 1 λ 1 = λ 3 + 3λ + 2 = (2 λ)(1 + λ) 2 1 1 λ 2 1 1 x 1 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 λ 1 = 2 1 2 1 x 2 = 0 x 1 2x 2 + x 3 = 0 1 1 2 x 3 0 x 1 + x 2 2x 3 = 0 x 3 = α x 1 = α, x 2 = α V λ1 = {(α, α, α) α R} = Sp{(1, 1, 1)} 1 1 1 x 1 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 λ 2,3 = 1 1 1 1 x 2 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 1 1 1 x 3 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 = α, x 3 = β x 1 = α β V λ2,3 = {( α β, α, β) α, β R} = = {( α, α, 0) + ( β, 0, β) α, β R} = = {α( 1, 1, 0) + β( 1, 0, 1) α, β R} = = Sp{( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1)} Notăm cu v 1 = (1, 1, 1), v 2 = ( 1, 1, 0), v 3 = ( 1, 0, 1) vectorii proprii care generează subspaţiile proprii şi observăm că B = {v 1, v 2, v 3 } este o bază în R 3. Pentru a găsi matricea endomorfismului T în această bază scriem: T (v 1 ) = λ 1 v 1 = 2 v 1 + 0 v 2 + 0 v 3 T (v 2 ) = λ 2,3 v 2 = 0 v 1 + ( 1) v 2 + 0 v 3 T (v 3 ) = λ 2,3 v 3 = 0 v 1 + 0 v 2 + ( 1) v 3 A B = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 este matricea lui T în baza B. 17.4 Endomorfisme pe spaţii euclidiene Definiţia 17.8. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian şi T L(V ). Transformarea liniară T V V se numeşte adjuncta transformării T

17.4. ENDOMORFISME PE SPAŢII EUCLIDIENE 233 dacă: T (u), v = u, T (v), u, v V. Definiţia 17.9. Endomorfismul T L(V ) se numeşte autoadjunct dacă T = T, adică satisface relaţia T (u), v = u, T (v), u, v V. Teorema 17.13. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian şi B = {e 1, e 2,..., e n } o bază ortonormată a lui V. Atunci endomorfismul T L(V ) este autoadjunct dacă şi numai dacă matricea lui T în raport cu baza B este simetrică. Demonstraţie: Fie A matricea lui T în raport cu baza B. Atunci avem T (e i ) = n k=1 a ki e k Cum T este autoadjunct iar baza B este ortonormată, avem T (e i ), e j = e i, T (e j ) a ki e k, e j = e i, a kj e k n k=1 a ki e k, e j = n k=1 n k=1 n k=1 a kj e i, e k a ji = a ij, i, j = 1,..., n Fie A matricea lui T în raport cu baza B. Dacă A este simetrică, atunci a ij = a ji, i, j = 1,..., n Făcând raţionamentul anterior în sens invers obţinem T (e i ), e j = e i, T (e j ), i, j = 1,..., n Fie acum u, v V având în baza B coordonatele u = n i=1 x i e i şi v = n j=1 Folosind proprietăţile produsului scalar obţinem n y j e j T (u), v = T ( x i e i ), y j e j = x i y j T (e i ), e j = n n i=1 n j=1 n n i=1 j=1 = x i y j e i, T (e j ) = x i e i, T ( y j e j ) = u, T (v) i=1 j=1 n i=1 n j=1

234 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Teorema 17.14. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Dacă endomorfismul T L(V ) este autoadjunct, atunci vectorii proprii ai lui T corespunzători la valori proprii diferite sunt ortogonali. Demonstraţie: Fie λ 1, λ 2 σ(t ) valori proprii distincte şi v 1, v 2 vectori proprii corespunzători, deci Cum T este autoadjunctă, obţinem T (v 1 ) = λ 1 v 1 şi T (v 2 ) = λ 2 v 2 T (v 1 ), v 2 = v 1, T (v 2 ) λ 1 v 1, v 2 = λ 2 v 1, v 2 aşadar iar cum λ 1 λ 2 rezultă (λ 1 λ 2 ) v 1, v 2 = 0 v 1, v 2 = 0 Teorema 17.15. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Dacă endomorfismul T L(V ) este autoadjunct, atunci există o bază ortonormată B formată din vectori proprii ai lui T. Corolar 17.4.1. Dacă matricea endomorfismului T L(V ) într-o bază ortonormată este simetrică, atunci T este diagonalizabil. Demonstraţie: Dacă matricea endomorfismului T L(V ) într-o bază ortonormată este simetrică, atunci T este un endomorfism autoadjunct, iar conform teoremei anterioare există o bază ortonormată B formată din vectori proprii ai lui T, de unde rezultă că T este diagonalizabil. Definiţia 17.10. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian. Endomorfismul T L(V ) se numeşte ortogonal (sau transformare ortogonală) dacă păstrează produsul scalar, adică: T (u), T (v) = u, v, u, v V Propoziţia 17.4.1. Un endomorfism ortogonal T L(V ) păstrează norma vectorilor, distanţele şi unghiurile dintre vectori. Demonstraţie: Cum T este ortogonal, pentru v = u obţinem T (u), T (u) = u, u T (u) = u, u V

17.4. ENDOMORFISME PE SPAŢII EUCLIDIENE 235 Pentru u = x y obţinem T (x y) = x y T (x) T (y) = x y adică d (T (x), T (y)) = d(x, y), deci T păstrează distanţa între vectori. Dacă θ este unghiul dintre vectorii x şi y avem cos θ = x, y x y = unde ϕ este unghiul dintre T (x) şi T (y). T (x), T (y) T (x) T (y) = cos ϕ Teorema 17.16. Fie (V ;, ) un spaţiu vectorial euclidian şi endomorfismul T L(V ). Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. T este o transformare ortogonală 2. T transformă orice bază ortonormată a lui V tot într-o bază ortonormată. 3. Dacă A este matricea lui T într-o bază ortonormată B, atunci A T = A 1, sau A A T = A T A = I n Definiţia 17.11. O matrice A M n (R) se numeşte matrice ortogonală dacă este inversabilă şi A 1 = A T. Propoziţia 17.4.2. Dacă A M n (R) este matrice ortogonală, atunci det A = ±1 Demonstraţie: A matrice ortogonală A A T = I n. Aplicând proprietăţile determinanţilor obţinem: det(a A T ) = det I n det A det A T = 1 (det A) 2 = 1 aşadar det A = ±1. Exemplu: Fie transformarea T R 3 R 3 definită prin T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 4x 2 8x 3, 4x 1 + 7x 2 4x 3, 8x 1 4x 2 + x 3 ) Notăm cu e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) vectorii bazei canonice, care este o bază ortonormată. Găsim T (e 1 ) = (1, 4, 8), T (e 2 ) = ( 4, 7, 4), T (e 3 ) = ( 8, 4, 1),

236 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE 1 4 8 deci matricea lui T în baza canonică este A = 4 7 4, aşadar T este 8 4 1 o transformare autoadjunctă, deci este diagonalizabilă. Pentru a găsi forma diagonală calculăm valorile şi vectorii proprii. det(a λi 3 ) = 1 λ 4 8 4 7 λ 4 8 4 1 λ = = (λ 9) 2 (λ + 9) aşadar valorile proprii sunt λ 1,2 = 9 şi λ 3 = 9. 8 4 8 x 1 0 λ 1,2 = 9 4 2 4 x 2 = 0 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 8 4 8 x 3 0 x 1 = α, x 3 = β x 2 = 2α 2β V λ1,2 = Sp{(1, 2, 0), (0, 2, 1)} 10 4 8 x 1 0 5x 1 2x 2 4x 3 = 0 λ 1,2 = 9 4 16 4 x 2 = 0 x 1 4x 2 + x 3 = 0 8 4 10 x 3 0 4x 1 2x 2 + 5x 3 = 0 x 2 = α x 1 = x 3 = 2α V λ3 = Sp{(2, 1, 2)} Notăm vectorii proprii care generează cele 2 subspaţii proprii cu u 1 = (1, 2, 0), u 2 = (0, 2, 1), u 3 = (2, 1, 2) şi construim o bază ortonormată pornind de la aceşti vectori. 1. v 1 = u 1 = (1, 2, 0) 2. v 2 = u 2 + λ 21 v 1 = (0, 2, 1) 4 5 (1, 2, 0) = 1 (4, 2, 5) 5 3. v 3 = u 3 = (2, 1, 2) (u 3 este vector propriu corespunzător unei valori proprii diferite, deci este deja ortogonal pe v 1 şi v 2 ). Versorii corespunzători acestor 3 vectori: f 1 = ( 1 5, 2 5, 0), f 2 = ( 4 3 5, 2 3 5, 5 3 5 ), f 3 = ( 2 3, 1 3, 2 3 ) formează o bază ortonormată din vectori proprii. Transformarea ortogonală care transformă baza canonică B = {e 1, e 2, e 3 } din R 3 în baza ortonormată B = {f 1, f 2, f 3 } va avea matricea care are pe coloane coordonatele lui f 1, f 2 şi f 3, adică matricea de trecere de la baza B

17.5. EXERCIŢII 237 la baza B: S = 1 4 5 3 5 2 5 2 3 5 0 5 3 5 deci expresia analitică a acestei transformări ortogonale este 2 3 1 3 2 3 T (x 1, x 2, x 3 ) = ( x 1 5 + 4x 2 3 5 + 2x 3 3, 2x 1 5 + 2x 2 3 5 + x 3 3, 5x 2 3 5 + 2x 3 3 ). 17.5 Exerciţii 1. Fie T R 4 R 2, T (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 + x 2, x 3 x 4 ) a) Să se arate că T este liniară b) Să se scrie matricea lui T în bazele canonice din R 4 şi R 2. c) Să se găsească ker T şi imt Rezolvare: a) Fie x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ), y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) R 4, α, β R. T (αx + βy) = T (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3, αx 4 + βy 4 ) = = (αx 1 + βy 1 + αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 αx 4 βy 4 ) = = (αx 1 + αx 2, αx 3 αx 4 ) + (βy 1 + βy 2, βy 3 βy 4 ) = = α(x 1 + x 2, x 3 x 4 ) + β(y 1 + y 2, y 3 y 4 ) = αt (x) + βt (y). b) Fie B 1 = {e 1, e 2, e 3, e 4 }, B 2 = {f 1, f 2 } bazele canonice din R 4 şi R 2. T (e 1 ) = T (1, 0, 0, 0) = (1, 0) = 1 f 1 + 0 f 2 T (e 2 ) = T (0, 1, 0, 0) = (1, 0) = 1 f 1 + 0 f 2 T (e 3 ) = T (0, 0, 1, 0) = (0, 1) = 0 f 1 + 1 f 2 T (e 4 ) = T (0, 0, 0, 1) = (0, 1) = 0 f 1 + ( 1) f 2 ( 1 1 0 0 ) este matricea lui T în bazele canonice. 0 0 1 1 x c) ker T = {x R 4 1 + x 2 = 0 T (x) = 0}. Se obţine sistemul omogen x 3 x 4 = 0.

238 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE Avem rang ( 1 1 0 0 ) = 2. Alegem necunoscutele secundare 0 0 1 1 x 2 = α, x 3 = β şi găsim x 1 = α, x 4 = β, deci ker T = {( α, α, β, β) α, β R} = imt = {y R 2 x R 4, T (x) = y} = {( α, α, 0, 0) + (0, 0, β, β) α, β R} = = {α( 1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 1) α, β R} = = Sp{( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}. x 1 + x 2 = y 1 T (x) = y x 3 x 4 = y 2 aşadar imt este mulţimea vectorilor (y 1, y 2 ) pentru care sistemul anterior este compatibil. Cum rangul matricei sistemului este 2 iar adăugând coloana termenilor liberi rangul matricei extinse nu creşte, sistemul anterior este compatibil pentru orice (y 1, y 2 ) R 2, deci imt = R 2. 2. Fie {e 1, e 2, e 3, e 4 } baza canonică din R 4 şi transformarea liniară T R 4 R 4 definită prin T (e 1 ) = e 2 +e 3, T (e 2 ) = e 3 +e 4, T (e 3 ) = e 4 +e 1, T (e 4 ) = e 1 + e 2. Să se găsească: a) T (1, 2, 3, 4) b) matricea lui T în baza canonică c) ker T şi imt Rezolvare: a) b) Avem: T (1, 2, 3, 4) = T (e 1 + 2e 2 + 3e 3 + 4e 4 ) = = T (e 1 ) + 2T (e 2 ) + 3T (e 3 ) + 4T (e 4 )) = = e 2 + e 3 + 2(e 3 + e 4 ) + 3(e 4 + e 1 ) + 4(e 1 + e 2 ) = = 7e 1 + 5e 2 + 3e 3 + 5e 4 = = (7, 5, 3, 5). T (e 1 ) = e 2 + e 3 = 0 e 1 + 1 e 2 + 1 e 3 + 0 e 4 T (e 2 ) = e 3 + e 4 = 0 e 1 + 0 e 2 + 1 e 3 + 1 e 4 T (e 3 ) = e 4 + e 1 = 1 e 1 + 0 e 2 + 0 e 3 + 1 e 4 T (e 4 ) = e 1 + e 2 = 1 e 1 + 1 e 2 + 0 e 3 + 0 e 4

17.5. EXERCIŢII 239 deci matricea lui T în baza canonică este 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 x 1 0 x 3 + x 4 = 0 1 0 0 1 x c) T (x) = 0 2 0 x 1 + x 4 = 0 =. 1 1 0 0 x 3 0 x 1 + x 2 = 0 0 1 1 0 x 4 0 x 2 + x 3 = 0 Rangul matricei este 3, alegem necunoscuta secundară x 4 = α şi obţinem x 1 = α, x 2 = α, x 3 = α, deci. ker T = {( α, α, α, α) R 4 α R} = Sp{( 1, 1, 1, 1)}. 0 0 1 1 x 1 y 1 0 0 1 y 1 1 0 0 1 x T (x) = y 2 y = 2 1 0 0 y 2 = 0 1 1 0 0 x 3 y 3 1 1 0 y 3 0 1 1 0 x 4 y 4 0 1 1 y 4 y 1 y 2 + y 3 y 4 = 0 ImT =Sp{(1, 1, 0, 0), ( 1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}. 3. Fie transformările liniare T 1 R 3 R 2, T 2 R 2 R 4 definite prin: T 1 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 1 + x 2 x 3 ) T 2 (y 1, y 2 ) = (y 1 + y 2, y 1, y 2, 2y 1 y 2 ) Să se găsească matricele lui T 1, T 2 şi T 2 T 1 în bazele canonice, precum şi nucleele acestor aplicaţii. Rezolvare: A T1 = ( 1 0 1 1 1 1 ), A T 2 = 1 1 1 0 0 1 2 1 T 2 T 1 (x 1, x 2, x 3 ) = T 2 (T 1 (x 1, x 2, x 3 )) = T 2 (x 1 + x 3, x 1 + x 2 x 3 ) = = (x 1 + x 3 + x 1 + x 2 x 3, x 1 + x 3, x 1 + x 2 x 3, 2(x 1 + x 3 ) (x 1 + x 2 x 3 )) = = (2x 1 + x 2, x 1 + x 3, x 1 + x 2 x 3, x 1 x 2 + 3x 3 ) şi obţinem A T2 T 1 = 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 3 x 1 + x 3 = 0 T 1 (x) = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 = A T2 A T1., rang( 1 0 1 1 1 1 ) = 2,

240 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE x 3 = α x 1 = α, x 2 = 2α ker T 1 =Sp{( 1, 2, 1)} y 1 + y 2 = 0 y 1 = 0 T 2 (y) = 0 ker T 2 = {(0, 0)} y 2 = 0 2y 1 y 2 = 0 2x 1 + x 2 = 0 2 1 0 x 1 + x 3 = 0 1 0 1 T 2 T 1 (x) = 0, rang = 2 x 1 + x 2 x 3 = 0 1 1 1 x 1 x 2 + 3x 3 = 0 1 1 3 x 3 = α x 1 = α, x 2 = 2α ker T 2 T 1 =Sp{( 1, 2, 1)}. 4. Fie în R 3 baza B 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} şi transformarea liniară 1 2 1 T R 3 R 3 care are în baza B 1 matricea 2 0 1. Să se găsească 0 1 1 expresia analitică a lui T (x), x R 3, precum şi matricea lui T în baza B 2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Rezolvare: Notăm f 1 = (1, 1, 1), f 2 = (0, 1, 1), f 3 = (0, 0, 1)}. Avem: T (f 1 ) = 1 f 1 + 2 f 2 + 0 f 3 = (1, 3, 3) T (f 2 ) = 2 f 1 + 0 f 2 + 1 f 3 = (2, 2, 3) T (f 3 ) = 1 f 1 + 1 f 2 + ( 1) f 3 = (1, 2, 1) Aflăm coordonatele unui vector x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 în baza B 1 : α 1 = x 1 x = α 1 f 1 + α 2 f 2 + α 3 f 3 α 1 + α 2 = x 2 α 1 + α 2 + α 3 = x 3 α 1 = x 1 α 2 = x 2 x 1 α 3 = x 3 x 2 T (x) = T (α 1 f 1 + α 2 f 2 + α 3 f 3 ) = α 1 T (f 1 ) + α 2 T (f 2 ) + α 3 T (f 3 ) = = x 1 (1, 3, 3) + (x 2 x 1 ) (2, 2, 3) + (x 3 x 2 ) (1, 2, 1) Se obţine T (x) = ( x 1 + x 2 + x 3, x 1 + 2x 3, 2x 2 + x 3 ). Notăm g 1 = (1, 0, 0), g 2 = (1, 1, 0), g 3 = (1, 1, 1)}. Avem: T (g 1 ) = T (1, 0, 0) = ( 1, 1, 0) T (g 2 ) = T (1, 1, 0) = (0, 1, 2) T (g 3 ) = T (1, 1, 1) = (1, 3, 3). Matricea în baza B 2 va avea pe coloane coordonatele acestor vectori în baza B 2

17.5. EXERCIŢII 241 α 1 + α 2 + α 3 = 1 α 1 g 1 + α 2 g 2 + α 3 g 3 = ( 1, 1, 0) α 2 + α 3 = 1 α 3 = 0 α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 = 1 α 1 + α 2 + α 3 = 1 α 2 + α 3 = 1 α 2 = 1 ; α 2 + α 3 = 3 α 3 = 2 α 3 = 2 α 3 = 3 2 1 2 Aşadar matricea lui T în baza B 2 este 1 1 0 0 2 3 α 1 = 2 α 2 = 1 α 3 = 0 α 1 = 2 α 2 = 0 α 3 = 3 5. Fie transformarea liniară T R 3 R 3 astfel încât T (0, 0, 1) = (2, 3, 5), T (0, 1, 1) = (1, 0, 0), T (1, 1, 1) = (0, 1, 1). Care este matricea lui T în baza canonică din R 3? 6. Fie baza {1, X, X 2,..., X n } în spaţiul vectorial R n [X] şi transformarea liniară T R n [X] R n [X] definită prin T (P (X)) = P (X + 1) P (X) Să se scrie matricea lui T în baza de mai sus. 7. Determinaţi valorile şi vectorii proprii pentru transformările liniare având următoarele matrice în baza canonică din R 3 : a) 2 1 2 5 3 3 1 0 2 d) ; b) 1 3 3 2 6 13 1 4 8 0 1 0 4 4 0 2 1 2 ; e) ; c) 1 3 4 4 7 8 6 7 7 R: a) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1, Sp{(1, 1, 1)}; b) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 2, Sp{(1, 2, 0), (0, 0, 1)}; c) λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 0, Sp{(1, 1, 1)}, Sp{(1, 2, 3)}; d) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1, Sp{(3, 1, 1)}; e) λ 1 = 3, λ 2 = λ 3 = 1, Sp{(1, 2, 2)}, Sp{(1, 2, 1)} 4 5 2 5 7 3 6 9 4 ; ; 8. Să se reducă la forma diagonală matricele următoare, specificând şi bazele în care au această formă: a) 2 2 0 2 1 2 0 2 0 ; b) 1 2 0 2 2 2 0 2 3 ; c) 3 2 0 2 4 2 0 2 5

242 CAPITOLUL 17. TRANSFORMĂRI LINIARE R: a) λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 4, B = {(2, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 1)}; b) λ 1 = 1, λ 2 = 5, λ 3 = 2; c) λ 1 = 1, λ 2 = 7, λ 3 = 4; 9. Determinaţi care din următoarele transformări liniare (date prin matricele lor în baza canonică) pot fi diagonalizate: a) 1 3 1 3 5 1 3 3 1 d) ; b) 4 3 1 2 5 8 5 4 6 12 8 5 1 3 2 2 6 5 3 3 2 2 2 2 0 ; e) ; c) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 R: a) λ 1 = 1, λ 2 = λ 3 = 2, B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 3)} b) nu poate fi diagonalizată c) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 2, λ 4 = 2, B = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1)} d) nu poate fi diagonalizată e) λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = λ 4 = 1, B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0), ( 1, 0, 0, 1)} 10. Să se verifice care dintre următoarele transformări sunt autoadjuncte: (a) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 + x 3, x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) (b) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2, x 1 + x 2 + x 3, x 2 + x 3 ) (c) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3, x 1 x 2, x 2 + x 3 ) 11. Să se verifice care dintre următoarele transformări sunt ortogonale: (a) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, 1 3 3 2 x 2 2 x 3, 2 x 2 + 1 2 x 3) (b) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) (c) T (x 1, x 2, x 3 ) = ( 2 3 x 1 + 2 3 x 2 1 3 x 3, 2 3 x 1 1 3 x 2 + 2 3 x 3, 1 3 x 1 + 2 3 x 2 + 2 3 x 3)

Capitolul 18 Forme biliniare. Forme pătratice 18.1 Forme biliniare Definiţia 18.1. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n. O aplicaţie F V V R se numeşte formă biliniară pe V dacă satisface condiţiile: 1. F (x + y, z) = F (x, z) + F (y, z), x, y, z V 2. F (αx, y) = αf (x, y), α R, x, y V 3. F (x, y + z) = F (x, y) + F (x, z), x, y, z V 4. F (x, αy) = αf (x, y), α R, x, y V Cele patru condiţii din definiţia unei forme biliniare sunt echivalente cu următoarele două: F (αx + βy, z) = αf (x, z) + βf (y, z), α, β R, x, y, z V F (x, αy + βz) = αf (x, y) + βf (x, z), α, β R, x, y, z V Exemple 1. Orice produs scalar este o formă biliniară 2. Fie F R 2 R 2 R definită prin F (x, y) = x 1 y 2 x 2 y 1, x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2. 243

244 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE Pentru x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), z = (z 1, z 2 ) R 2 şi α, β R 2 avem: F (αx + βy, z) = F ((αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ), (z 1, z 2 )) = În mod analog se arată că = (αx 1 + βy 1 )z 2 (αx 2 + βy 2 )z 1 = = α(x 1 z 2 x 2 z 1 ) + β(y 1 z 2 y 2 z 1 ) = = αf (x, z) + βf (y, z). F (x, αy + βz) = αf (x, z) + βf (y, z). Să considerăm acum un spaţiu vectorial V, o bază B = {e 1,..., e n } în V şi forma biliniară F V V R. Fie de asemenea doi vectori oarecare x, y V exprimaţi în baza B astfel: x = y = n i=1 n i=1 x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n, x i R, i = 1,..., n y i e i = y 1 e 1 + y 2 e 2 + + y n e n, y i R, i = 1,..., n Folosind proprietăţile de liniaritate ale lui F obţinem: n F (x, y) = F ( x i e i, y j e j ) = x i y j F (e i, e j ) = a ij x i y j (18.1) i=1 n j=1 unde a ij = F (e i, e j ), i, j = 1, 2,..., n. n n i=1 j=1 n n i=1 j=1 Definiţia 18.2. Fie F V V R o formă biliniară pe spaţiul vectorial V şi B = {e 1,..., e n } o bază în V. Matricea A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a n1 a n2... a nn unde a ij = F (e i, e j ), i, j = 1, 2,..., n, se numeşte matricea formei biliniare F în baza B. Exemplu: Pentru forma biliniară F R 2 R 2 R, F (x, y) = x 1 y 2 x 2 y 1 în baza canonică din R 2 avem: a 11 = F (e 1, e 1 ) = 1 0 0 1 = 0 a 12 = F (e 1, e 2 ) = 1 1 0 0 = 1 a 21 = F (e 2, e 1 ) = 0 0 1 1 = 1 a 22 = F (e 2, e 2 ) = 0 1 1 0 = 0

18.1. FORME BILINIARE 245 deci matricea formei biliniare este ( 0 1 1 0 ). Dacă introducem notaţiile X = x 1 x 2 x n, Y = y 1 y 2 y n atunci (18.1) devine F (x, y) = X T AY. Teorema 18.1. Fie F V V R o formă biliniară pe spaţiul vectorial V şi două baze B = {e 1,..., e n }, B = {f1,..., f n } în V. Fie S B B matricea de trecere de la B la B şi A, Ā matricele formei biliniare F în raport cu bazele B, respectiv B. Atunci avem: Ā = S T B B AS B B Demonstraţie: Expresia formei biliniare F în bazele B şi B este F (x, y) = X T A Y = X T Ā Ȳ unde X şi Y sunt matricele coloană ale coordonatelor vectorilor x şi y în baza B, iar X şi Ȳ matricele coloană ale coordonatelor vectorilor x şi y în baza B. Avem: X = S B B X şi Y = SB BȲ Înlocuind în expresia lui F (x, y) obţinem F (x, y) = (S B B X) T A S B BȲ = X T (S T B B AS B B) Ȳ = X T Ā Ȳ de unde rezultă că Ā = S T B B AS B B Definiţia 18.3. O formă biliniară F V V R pe spaţiul vectorial V se numeşte simetrică dacă Exemple: F (x, y) = F (y, x), x, y V. ˆ orice produs scalar este o formă biliniară simetrică ˆ forma biliniară F R 2 R 2 R, F (x, y) = x 1 y 2 x 2 y 1 nu este simetrică

246 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE Teorema 18.2. O formă biliniară F V V R pe spaţiul vectorial V este simetrică dacă şi numai dacă există o bază B a lui V în raport cu care matricea asociată lui F este simetrică. Demonstraţie: Presupunem că F este simetrică. Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază a lui V şi A matricea lui F în această bază. Avem: a ij = F (e i, e j ) = F (e j, e i ) = a ji, i, j = 1,..., n deci A este o matrice simetrică. Presupunem că matricea lui F într-o bază B este simetrică, deci A = A T. Considerăm doi vectori oarecare x, y V şi X, Y matricele coloană ale coordonatelor acestor vectori în baza B. Avem: F (x, y) = X T A Y = X T A T Y = (A X) T Y = Y T A X = F (y, x) deci F este o formă biliniară simetrică. 18.2 Forme pătratice Definiţia 18.4. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n. O aplicaţie Φ V R se numeşte formă pătratică pe V dacă există o formă biliniară simetrică F V V R astfel încât Φ(x) = F (x, x), x V. Aşadar oricărei forme biliniare simetrice îi putem asocia o formă pătratică. Reciproc, dacă avem o formă pătratică Φ, atunci forma biliniară din care provine aceasta este F V V R dată prin F (x, y) = 1 [Φ(x + y) Φ(x) Φ(y)], x, y V. 2 Să considerăm acum o bază B = {e 1,..., e n } în spaţiul vectorial V, o formă pătratică Φ V R şi forma biliniară simetrică F V V R din care provine Φ. Fie de asemenea vectorul oarecare x V exprimat în baza B astfel: x = n i=1 x i e i = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n, x i R, i = 1,..., n

18.2. FORME PĂTRATICE 247 Folosind proprietăţile de liniaritate ale lui F obţinem: unde X = n Φ(x) = F (x, x) = F ( x i e i, x j e j ) = a ij x i x j = X T AX x 1 x 2 x n i=1 n j=1 n n i=1 j=1 iar A este matricea asociată lui F în baza B. Exemplu Fie forma biliniară F R 3 R 3 R dată prin F (x, y) = x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + 3x 3 y 3, x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3 Notăm vectorii din baza canonică din R 3 cu e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). Avem: a 11 = F (e 1, e 1 ) = 1 1 + 2 0 0 + 3 0 0 = 1 a 22 = F (e 2, e 2 ) = 0 0 + 2 1 1 + 3 0 0 = 2 a 33 = F (e 3, e 3 ) = 0 0 + 2 0 0 + 3 1 1 = 3 a 12 = F (e 1, e 2 ) = 1 0 + 2 0 1 + 3 0 0 = 0 = a 21 a 13 = F (e 1, e 3 ) = 1 0 + 2 0 0 + 3 0 1 = 0 = a 31 a 23 = F (e 2, e 3 ) = 0 0 + 2 1 0 + 3 0 1 = 0 = a 32 1 0 0 Matricea formei biliniare F în baza canonică este A = 0 2 0. 0 0 3 Fie baza B formată din vectorii f 1 = (1, 1, 1), f 2 = (1, 1, 1), f 3 = (1, 1, 1). Avem: ā 11 = F (f 1, f 1 ) = 1 1 + 2 1 1 + 3 1 1 = 6 ā 22 = F (f 2, f 2 ) = 1 1 + 2 1 1 + 3 ( 1) ( 1) = 6 ā 33 = F (f 3, f 3 ) = 1 1 + 2 ( 1) ( 1) + 3 ( 1) ( 1) = 6 ā 12 = F (f 1, f 2 ) = 1 1 + 2 1 1 + 3 1 ( 1) = 0 = ā 21 ā 13 = F (f 1, f 3 ) = 1 1 + 2 1 ( 1) + 3 1 ( 1) = 4 = ā 31 ā 23 = F (f 2, f 3 ) = 1 1 + 2 1 ( 1) + 3 ( 1) ( 1) = 2 = ā 32 6 0 4 Aşadar matricea formei biliniare F în baza B este 0 6 2. 4 2 6 F este simetrică deoarece F ( x, ȳ) = F (ȳ, x), x, ȳ R 3.

248 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE Matricea de trecere de la baza canonică la baza B este S = Se verifică uşor că S T A S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 0 4 0 6 2 4 2 6 Forma pătratică asociată este Φ R 3 R, Φ(x) = F (x, x) = x 2 1 + 2x2 2 + 3x2 3. Expresia formei pătratice Φ în baza B este. Φ(x) = XT Ā X = ( x 1 x 2 x 3 ) 6 0 4 0 6 2 4 2 6 x 1 x 2 x 3 = = 6 x 2 1 + 6 x 2 2 + 6 x 2 3 8 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 Definiţia 18.5. Matricea A asociată formei biliniare simetrice F (din care provine forma pătratică Φ) în baza B se numeşte matricea formei pătratice Φ în baza B. Definiţia 18.6. Spunem că o formă pătratică Φ V R este redusă la forma canonică dacă se determină o bază B = {f 1,..., f n } a lui V în raport cu care expresia lui Φ să fie de forma Φ(x) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + + λ n y 2 n unde λ i R, i = 1,..., n iar y 1,..., y n sunt componentele vectorului x V în baza B. Teorema 18.3 (Gauss). Fie Φ V R o formă pătratică. Atunci există cel puţin o bază în V în raport cu care expresia lui Φ are o formă canonică. Demonstraţie: Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază în V şi n Φ(x) = a ij x i x j, n i=1 j=1 unde x 1, x 2,..., x n sunt coordonatele vectorului x în baza B. Dacă Φ = 0 atunci teorema este evident adevărată. Dacă Φ 0 distingem două cazuri: 1. există cel puţin un indice i {1,..., n} astfel încât a ii 0;

18.2. FORME PĂTRATICE 249 2. a ii = 0, i {1,..., n}, adică Φ(x) = 2a ij x i x j. 1 i<j n Cazul 1. Vom demonstra că există o bază în care Φ are formă canonică folosind inducţia matematică după n = dim V. Pentru n = 1, orice bază este formată dintr-un singur vector, deci vectorii au o singură coordonată, aşadar Φ este în forma canonică Φ(x) = a 11 x 2 1. Presupunem teorema adevărată pentru orice formă pătratică definită pe un spaţiu de dimensiune n 1 şi demonstrăm că este adevărată pentru orice formă pătratică definită pe un spaţiu de dimensiune n. Putem presupune fără a reduce generalitatea că a 11 0. Grupând toţi termenii care conţin pe x 1 şi formând un pătrat perfect, obţinem: Φ(x) = a 11 x 2 1 + 2a 12x 1 x 2 + + 2a 1n x 1 x n + Φ(x 2, x 3,..., x n ) = = 1 a 11 (a 2 11 x2 1 + 2a 11a 12 x 1 x 2 + + 2a 11 a 1n x 1 x n ) + Φ(x 2, x 3,..., x n ) = = 1 a 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n ) 2 + Φ 1 (x 2, x 3,..., x n ) unde Φ 1 este o formă pătratică în x 2,..., x n. Construim baza B 1 = {f 1, f 2,..., f n } în V cu ajutorul schimbării de coordonate: y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n y 2 = x 2, y n = x n unde y 1, y 2,..., y n sunt coordonatele vectorului x în baza B 1, deci matricea de trecere de la baza B 1 la baza B este S B1 B= a 11 a 12... a 1n 0 1... 0 0 0... 1 S BB1 = f 1 = 1 a 11 e 1 f 2 = a 12 a deci vectorii bazei B 1 sunt 11 e 1 + e 2 f n = a 1n a 11 e 1 + e n În noua bază B 1 forma pătratică Φ devine Φ(x) = 1 a 11 y 2 1 + Φ 1 (y 2,..., y n ), unde x = 1 a 11 a 12 a 11... a 1n a 11 0 1... 0 0 0... 1 n i=1 y i f i.

250 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE şi aplicând ipoteza de inducţie, există o bază în care Φ are formă canonică. Cazul 2. Dacă a ii = 0, i = 1,..., n şi Φ 0, există cel puţin un coeficient a ij 0. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că a 12 0. Efectuăm schimbarea de coordonate: corespunzătoare matricei de trecere x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 y 2 x k = y k, k = 3,..., n 1 1 0... 0 1 1 0... 0 0 0 1... 0 0 0 0... 1 Aşadar în baza B = {f 1, f 2,..., f n } dată prin f 1 = e 1 + e 2 f 2 = e 1 e 2 f 3 = e 3 f n = e n expresia formei pătratice devine: Φ(x) = 2a 12 x 1 x 2 + Φ(x) = 2a 12 (y 2 1 y 2 2) + Φ(x) deci în baza B forma pătratică Φ se încadrează în cazul 1. Prin aplicarea repetată, de cel mult n ori a unuia din cele 2 cazuri descrise anterior, aşadar prin schimbări repetate de baze, se obţine o bază în raport cu care Φ are o formă canonică. Teorema 18.4 (Jacobi). Fie Φ V R o formă pătratică având în baza B = {e 1,..., e n } matricea sociată A cu proprietatea că toţi minorii principali i = a 11... a 1i a i1... a ii, i = 1,..., n sunt nenuli. Atunci există o bază B = {f 1,..., f n } a lui V în care Φ are forma canonică Φ(x) = 0 y1 2 + 1 y2 2 + + n 1 yn 2 1 2 n unde 0 = 1 iar y 1,..., y n sunt componentele vectorului x în baza B.

18.2. FORME PĂTRATICE 251 Teorema 18.5. Fie V un spaţiu vectorial euclidian şi Φ V R o formă pătratică. Atunci există o bază ortonormată în V astfel încât matricea lui Φ în această bază să fie diagonală. Demonstraţie: ˆ Fie B = {e 1, e 2,..., e n } o bază ortonormată în V şi A matricea formei pătratice Φ în baza B; ˆ Cum Φ corespunde unei forme biliniare simetrice, matricea A este o matrice simetrică; ˆ Fie T L(V ) endomorfismul care are matricea A în baza B, adică este definit prin T (e i ) = n j=1 a ji e j ˆ Cum matricea A este simetrică iar baza B este ortonormată, atunci T este o transformare autoadjunctă; ˆ Aşadar există o bază ortonormată formată din vectori proprii B = {f 1, f 2,..., f n } în care matricea endomorfismului T devine diagonală: D = λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 0 0... λ n unde λ 1,..., λ n sunt valorile proprii ale lui T ; ˆ Dacă S este matricea de trecere de la baza B la baza B, atunci avem D = S 1 A S ˆ Construim endomorfismul T L(V ) dat prin T (e i ) = f i, i = 1,..., n ˆ Avem T (e i ) = f i = n j=1 s ji e j, i = 1,..., n, aşadar matricea endomorfismului T în baza B este chiar matricea S

252 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE ˆ Cum transformarea T duce o bază ortonormată tot într-o bază ortonormată, T este o transformare ortogonală, deci S 1 = S T ˆ Pentru un vector oarecare x V, notăm cu X = x 1 x 2 x n, Y = matricele coloană ale coordonatelor lui x în bazele B, respectiv B; y 1 y 2 y n ˆ Cum S este matricea de trecere de la B la B, avem X = S Y ˆ Expresia formei pătratice Φ(x) în baza B devine Φ(x) = n a ij x i x j = X T AX = (SY ) T A SY = Y T (S T AS)Y i,j=1 = Y T (S 1 AS)Y = Y T DY = n i=1 Algoritmul de reducere la forma canonică a unei forme pătratice prin metoda transformărilor ortogonale constă din următorii paşi: 1. Se determină valorile proprii λ i, i = 1,..., n ale matricei formei pătratice, precum şi subspaţiile de vectori proprii corespunzătoare V λi, i = 1,..., n 2. λ i y 2 i În fiecare subspaţiu propriu se construieşte o bază ortonormată folosind procedeul Gram-Schmidt, reuniunea acestor baze fiind baza B în care avem forma canonică 3. Se scrie forma canonică Φ(x) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + + λ n y 2 n unde y 1, y 2,..., y n sunt coordonatele vectorului x în baza B 4. Se scriu relaţiile dintre coordonatele iniţiale şi cele în care avem forma canonică X = S Y unde S este matricea de trecere de la baza iniţială la baza B

18.2. FORME PĂTRATICE 253 Exemplu Fie forma pătratică Φ R 3 R dată prin Φ(x) = 5x 2 1 + 6x 2 2 + 4x 2 3 4x 1 x 2 4x 1 x 3 Matricea formei pătratice Φ în baza canonică din R 3 este A = 5 2 2 2 6 0 2 0 4 1. Determinăm valorile şi vectorii proprii ai lui A: 5 λ 2 2 2 6 λ 0 = (5 λ)(6 λ)(4 λ) 4(6 λ) 4(4 λ) = 2 0 4 λ (5 λ)(λ 2 10λ+24) 8(5 λ) = (5 λ)(λ 2 10λ+16) = (5 λ)(2 λ)(8 λ) λ 1 = 2 3 2 2 2 4 0 2 0 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 3x 1 2x 2 2x 3 = 0 2x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 + 2x 3 = 0 x 2 = α x 1 = x 3 = 2α V λ1 = {(2α, α, 2α) α R} = Sp{(2, 1, 2)} λ 2 = 5 0 2 2 2 1 0 2 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 x 1 = α x 2 = 2α, x 3 = 2α V λ2 = Sp{(1, 2, 2)} λ 1 = 8 3 2 2 2 2 0 2 0 4 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 x 3 = α x 1 = 2α, x 2 = 2α V λ3 = Sp{( 2, 2, 1)} 2x 2 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 = 0 2x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 2 2x 3 = 0 2x 1 2x 2 = 0 2x 1 4x 3 = 0 2. Vectorii v 1 = (2, 1, 2), v 2 = (1, 2, 2), v 3 = ( 2, 2, 1) sunt deja ortogonali. Baza ortonormată din vectori proprii va fi formată din versorii corespunzători acestor vectori : f 1 = 1 v 1 v 1 = 1 3 (2, 1, 2) = (2 3, 1 3, 2 3 ) f 2 = 1 v 2 v 2 = 1 3 (1, 2, 2) = (1 3, 2 3, 2 3 ) f 3 = 1 v 3 v 3 = 1 3 ( 2, 2, 1) = ( 2 3, 2 3, 1 3 )

254 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 3. Expresia formei pătratice Φ în baza B = {f 1, f 2, f 3 } este Φ(x) = λ 1 y 2 1 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 2 3 = 2y 2 1 + 5y 2 2 + 8y 2 3 4. Matricea de trecere de la baza canonică la baza B are pe coloane componentele vectorilor f 1, f 2, f 3 : S = 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 3 3 1 3 iar legăturile dintre coordonatele iniţiale şi cele în care avem forma canonică sunt x 1 x 2 x 3 = 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 3 3 1 3 y 1 y 2 y 3 x 1 = 2 3 y 1 + 1 3 y 2 2 3 y 3 x 2 = 1 3 y 1 + 2 3 y 2 + 2 3 y 3 x 3 = 2 3 y 1 2 3 y 2 + 1 3 y 3 Teorema 18.6 (Sylvester). Fie Φ V R o formă pătratică. Atunci numărul termenilor pozitivi şi al celor negativi dintr-o formă canonică a lui Φ nu depinde de baza în care este obţinută aceasta. Fie p şi q numărul termenilor pozitivi, respectiv negativi din forma canonică a unei forme pătratice Φ. Evident, p + q n. În funcţie de valorile acestor constante, avem următoarea clasificare a formelor pătratice: ˆ Φ este pozitiv definită dacă p = n ˆ Φ este negativ definită dacă q = n ˆ Φ este pozitiv semidefinită dacă q = 0 şi p < n ˆ Φ este negativ semidefinită dacă p = 0 şi q < n ˆ Φ este nedefinită dacă pq 0 18.3 Exerciţii 1. Să se reducă la forma canonică prin metoda Jacobi următoarele forme pătratice: a) Φ(x) = x 2 1 + x2 2 + x2 3 + 2x 1x 3 + 2x 2 x 3

18.3. EXERCIŢII 255 b) Φ(x) = 3x 2 1 + 3x2 2 + 3x2 3 + 2x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 3 x 1 c) Φ(x) = x 2 1 + x2 3 + x 1x 2 + x 3 x 4 d) Φ(x) = x 2 1 + x2 4 + x 1x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 1 Rezolvare: a) Matricea formei pătratice este 1 0 1 0 1 1 1 1 1. Avem 1 = 1, 2 = 1 0 1 0 1 0 1 = 1, 3 = 0 1 1 = 1. 1 1 1 Forma canonică a lui h dată de metoda Jacobi este: Φ(x) = 1 y1 2 + 1 y2 2 + 2 y3 2 = 1 2 3 = y1 2 + y2 2 y3 2 unde y 1, y 2, y 3 sunt coordonatele vectorului x în baza în care avem forma canonică. b) 1 = 3, 2 = 3 1 3 1 1 1 3 = 8, 3 = 1 3 1 = 20. 1 1 3 Φ(x) = 1 3 y2 1 + 3 8 y2 2 + 2 5 y2 3 c) 1 = 1, 2 = 1 1 2 1 2 0 = 1 4, 3 = 1 16 Φ(x) = y2 1 4y2 2 + y2 3 4y2 4 1 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 = 1 4 4 = 1 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 1 2 0 2. Să se reducă la forma canonică prin metoda Gauss următoarele forme pătratice: a) Φ(x) = 5x 2 1 + 6x2 2 + 4x2 3 4x 1x 2 4x 1 x 3 Rezolvare: Φ(x) = 5x 2 1 4x 1x 2 4x 1 x 3 + 6x 2 2 + 4x2 3 = 5 (x2 1 4 5 x 1x 2 4 5 x 1x 3 ) + +6x 2 2 + 4x2 3 = 5 (x2 1 2 x 1 2x 2 5 2 x 1 2x 3 5 + 4 25 x2 2 + 4 25 x2 3 2 2x 2 5 2x 3 5 ) 4 5 x2 2 4 5 x2 3 8 5 x 2x 3 + 6x 2 2 + 4x2 3 = 5 (x 1 2 5 x 2 2 5 x 3) 2 + 26 5 x2 2 + 16 5 x2 3 8 5 x 2x 3 = y1 2 + 26 5 y2 2 + 16 5 y2 3 8 5 y 2y 3 = = 5y1 2 + 26 5 (y2 2 5 26 8 5 y 2y 3 ) + 16 5 y2 3 = 5y2 1 + 26 5 (y2 2 2 y 2 2y 3 13 + 4y2 3 169 ) 26 5 4 169 y2 3 + 16 5 y2 3 = 5y2 1 + 26 5 (y 2 2 13 y 3) 2 + 40 13 y2 3 = 5z2 1 + 26 5 z2 2 + 40 13 z2 3 =

256 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE b) Φ(x) = x 2 1 + 5x2 2 4x2 3 + 2x 1x 2 4x 1 x 3 c) Φ(x) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 d) Φ(x) = 4x 2 1 + x2 2 + x2 3 4x 1x 2 + 4x 1 x 3 3x 2 x 3 3. Să se reducă la forma canonică prin metoda valorilor şi vectorilor proprii următoarele forme pătratice, specificând şi baza în care avem această formă canonică: Φ(x) = 2x 2 1 + x 2 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 Φ(x) = 3x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + 2x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1 x 3 Φ(x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 2x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 Φ(x) = 2x 1 x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 3 x 1

Capitolul 19 Vectori liberi 19.1 Spaţiul vectorilor liberi Considerăm în spaţiul geometric tridimensional E 3 un segment orientat AB. Punctul A se numeşte originea segmentului, iar B se numeşte extremitatea segmentului. Dacă A B, atunci dreapta determinată de cele două puncte se numeşte dreapta suport a segmentului. În cazul în care originea şi extremitatea coincid, se obţine segmentul orientat nul. Două segmente orientate au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport coincid sau sunt paralele. Un segment orientat AB determină în mod unic pe dreapta AB un sens de parcurgere a acesteia. Două segmente orientate nenule, de aceeaşi direcţie, au acelaşi sens dacă extremităţile lor se află în acelaşi semiplan determinat de dreapta care uneşte originile segmentelor în planul dreptelor suport paralele. În caz contrar, spunem că cele două segmente orientate (de aceeaşi direcţie) au sensuri opuse. Lungimea unui segment orientat AB se defineşte ca fiind distanţa dintre punctele A şi B, şi se notează cu AB. Un segment orientat are lungimea 0 dacă şi numai dacă este segmentul nul. Două segmente orientate care au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime se numesc echipolente. Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă, ale cărei clase de echivalenţă se numesc vectori liberi. Aşadar, prin vectorul liber corespunzător segmentului orientat AB înţelegem mulţimea tuturor segmentelor orientate care au aceeaşi direcţie, sens şi lungime cu AB. Direcţia, sensul şi lungimea comune reprezentanţilor unui vector liber v se vor numi direcţia, sensul şi lungimea vectorului liber v. Vectorul liber de lungime 0 se numeşte vectorul nul, iar un vector liber de lungime 1 se numeşte versor. 257

258 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI Doi vectori liberi se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcţie. Doi vectori liberi coliniari care au aceeaşi lungime dar sensuri opuse se numesc vectori opuşi. Opusul vectorului v se notează cu v. Doi vectori liberi sunt egali dacă reprezentantii lor sunt segmente orientate echipolente. Trei sau mai mulţi vectori liberi nenuli care au reprezentanţii paraleli cu acelaşi plan se numesc vectori coplanari. Mulţimea tuturor vectorilor liberi se notează cu V 3. Să considerăm acum un punct oarecare O E 3. Oricărui punct M E 3 îi corespunde un unic vector liber r V 3 al cărui reprezentant este OM. Reciproc, oricărui vector liber r îi corespunde un unic punct M E 3 astfel încât OM să fie reprezentant al lui r. Vectorul liber r = OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M faţă de originea O. Definiţia 19.1. Fie a, b V 3, OA un reprezentant al lui a şi AB un reprezentant al lui b. Vectorul liber c care are ca reprezentant segmentul orientat OB se numeşte suma vectorilor a şi b. Observaţii: - Vectorii a, b şi c = a + b sunt coplanari. - Regula de mai sus pentru obţinerea sumei a doi vectori liberi se numeşte regula triunghiului. - De asemenea, suma a doi vectori liberi poate fi definită şi folosind regula paralelogramului, ca fiind diagonala paralelogramului determinat de doi reprezentanţi ai celor doi vectori având aceeaşi origine. Definiţia 19.2. Fie λ R şi v V 3. Prin înmulţirea vectorului v cu scalarul λ înţelegem vectorul liber λ v definit astfel: ˆ dacă v 0 şi λ 0, atunci λ v este vectorul care are aceeaşi direcţie cu v, acelaşi sens cu v dacă λ > 0 şi sens opus dacă λ < 0, iar lungimea lui este λ v = λ v ; ˆ dacă v = 0 sau λ = 0, atunci λ v = 0. Teorema 19.1. Mulţimea vectorilor liberi V 3 împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire cu scalari definite mai sus formează un spaţiu vectorial real.

19.2. COLINIARITATE ŞI COPLANARITATE 259 19.2 Coliniaritate şi coplanaritate Teorema 19.2. Fie a, b V 3 doi vectori liberi nenuli. 1. Dacă a şi b sunt coliniari, atunci există un unic λ R astfel încât b = λ a. 2. Mulţimea tuturor vectorilor coliniari cu a este un subspaţiu vectorial de dimensiune 1, generat de a : V 1 = { v V 3 λ R, v = λ a }. 3. Vectorii a şi b sunt necoliniari dacă şi numai dacă sunt liniar independenţi. Teorema 19.3. Fie a, b, c V 3, cu a, b necoliniari. 1. Dacă a, b, c sunt coplanari, atunci există α, β R unici astfel încât c = α a + β b. 2. Mulţimea tuturor vectorilor coplanari cu a, b este un subspaţiu vectorial de dimensiune 2, generat de a şi b : V 2 = { v V 3 α, β R, v = α a + β b }. Teorema 19.4. Fie a, b, c V 3 necoplanari şi un vector oareacare v V 3. Atunci există α, β, γ R unici astfel încât v = α a + β b + γ c. Fie versorii i, j, k V 3 necoplanari, ale căror direcţii sunt perpendiculare două câte două, şi OA, OB, OC trei reprezentanţi ai acestor versori având originea comună O. Conform teoremei anterioare, orice vector liber v V3 poate fi scris în mod unic ca o combinaţie liniară de i, j, k : v = x i + y j + y k. Expresia de mai sus se numeşte expresia analitică a vectorului v, iar scalarii x, y, z se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului v. Dacă OM este un reprezentant al lui v cu originea în O, atunci expresia anterioară devine OM = x OA + y OB + z OC.

260 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI Sistemul {O; i, j, k } se numeşte reper cartezian ortogonal în V 3, iar x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctului M în reperul {O; i, j, k }. Dacă M, N E 3 şi OM = x M i + ym j + zm k, iar ON = x N i + yn j + zn k atunci MN = ON OM = (x N x M ) i + (y N y M ) j + (z N z M ) k Fie a, b V 3 { 0 }. Numărul ϕ [0, π] ce reprezintă unghiul dintre dreptele suport ale vectorilor a şi b se numeşte unghiul dintre vectorii a şi b. Dacă unghiul dintre doi vectori este π 2, atunci vectorii se numesc ortogonali. 19.3 Produse cu vectori liberi 19.3.1 Produsul scalar Definiţia 19.3. Fie a, b V 3 şi ϕ [0, π] unghiul dintre a şi b dacă a, b V3 { 0 }. Se numeşte produs scalar al vectorilor a, b numărul real definit prin: Proprietăţi a b = a b cos ϕ, dacă a, b 0 0, dacă a = 0 sau b = 0 1. a b = b a, a, b V 3 ; 2. λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ), a, b V 3, λ R; 3. a ( b + c ) = a b + a c, a, b, c V 3 ; 4. a a > 0, a V 3 ; a a = 0 a = 0 ; 5. a, b V 3 sunt ortogonali a b = 0; 6. dacă a = a 1 i + a2 j + a3 k şi b = b1 i + b2 j + b3 k, atunci expresia analitică a produsului scalar este iar lungimea lui a este a b = a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3, a = a 2 1 + a2 2 + a2 3

19.3. PRODUSE CU VECTORI LIBERI 261 7. dacă a, b V 3 { 0 } şi ϕ [0, π] unghiul dintre a şi b, atunci cos ϕ = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 2 1 + a 2 2 + a2 3 b 2 1 + b2 2 + b2 3 19.3.2 Produsul vectorial Definiţia 19.4. Fie a, b V 3 şi ϕ [0, π] unghiul dintre a şi b dacă a, b V3 { 0 }. Se numeşte produs vectorial al vectorilor a şi b vectorul a b = a b sin ϕ e unde e este versorul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori şi orientat după regula burghiului, adică sensul de înaintare a unui burghiu când a se roteşte către b printr-un unghi minim. Dacă a = a 1 i + a2 j + a3 k şi b = b1 i + b2 j + b3 k, atunci expresia analitică a produsului vectorial este a b = (a2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k = Proprietăţi i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 1. b a = ( a b ), a, b V 3 ; 2. (λ a ) b = λ( a b ) = a (λ b ), λ R, a, b V 3 3. ( a + b ) c = a c + b c, a, b, c V 3 4. a a = 0, a V 3 5. a b 2 = a 2 b 2 ( a b ) 2, a, b V 3 6. aria paralelogramului determinat de vectorii a şi b este A paralelogram = a b 7. aria triunghiului determinat de vectorii a şi b este A triunghi = 1 2 a b 8. a b = 0 dacă a = 0 sau b = 0 sau a, b sunt coliniari.

262 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI 19.3.3 Produsul mixt Definiţia 19.5. Se numeşte produs mixt al vectorilor a, b, c V 3 numărul real care este egal cu produsul scalar dintre vectorii a şi b c : ( a, b, c ) = a ( b c ) Dacă a = a 1 i +a2 j +a3 k, b = b1 i +b2 j +b3 k şi c = c1 i +c2 j +c3 k, atunci expresia analitică a produsului mixt este Proprietăţi ( a, b, c ) = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 1. ( a, b, c ) = ( b, c, a ) = ( c, a, b ) 2. ( a, b, c ) = ( a, c, b ) = ( c, b, a ) = ( b, a, c ) 3. ( a, b, c ) = 0 dacă cel puţin unul dintre vectorii a, b, c este 0 sau dacă cei trei vectori sunt coplanari; 4. volumul paralelipipedului determinat de vectorii a, b, c este V paralelipiped = ( a, b, c ) 5. volumul tetraedrului determinat de vectorii a, b, c este V tetraedru = 1 6 ( a, b, c ) 6. (α a + β b, c, d ) = α( a, c, d ) + β( b, c, d ) 19.3.4 Dublul produs vectorial Definiţia 19.6. Se numeşte dublul produs vectorial al vectorilor a, b, c V 3 vectorul d = a ( b c ) Proprietăţi:

19.4. EXERCIŢII 263 1. a ( b c ) este un vector coplanar cu b şi c şi avem a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c = b a b c a c 2. a ( b c ) + b ( c a ) + c ( a b ) = 0 3. ( a b ) ( c d ) = a c b c a d b d 4. ( a b ) [ a ( b c )] = ( a b )( a, b, c ) 19.4 Exerciţii 1. a) Demonstraţi că vectorii a = 5 i j, b = i + j, c = i + 2 j sunt liniar dependenţi şi determinaţi scrierea vectorului a în funcţie de b şi c. R: a = 3 b 2 c b) Demonstraţi că vectorii a = i + j + k, b = i 2 j + 3 k, c = 1 11 i j + k sunt liniar dependenţi şi determinaţi scrierea vectorului c în funcţie de a şi b. 4 4 R: c = 1 3 a + b. 2 4 2. Se dau vectorii a = i + j, b = j + k, c = i + 2 j + 3 k a) Demonstraţi că { a, b, c } este o bază; b) Determinaţi scrierea vectorului v = i 3 j +2 k în baza { a, b, c }. R: v = 2 a 7 b + 3 c 3. Se dau vectorii a = 2 i + j k, b = i + 1 2 a) Demonstraţi că { a, b, c } este o bază; j +3 k, 1 c = i 5 j k 4 b) Determinaţi scrierea vectorului v = i 18 j + k în baza { a, b, c }. R: v = a + 2 b + 4 c

264 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI 4. Se dau vectorii OA = 12 i 4 j + 3 k, OB = 3 i + 12 j 4 k, OC = 2 i + 3 j 4 k. a) Demonstraţi că AOB este isoscel, iar AOC este dreptunghic; b) Calculaţi perimetrul triunghiului ABC şi măsura unghiului A. Rezolvare: OA = 12 2 + ( 4) 2 + 3 2 = 13 = OB, deci triunghiul AOB este isoscel; OA OC = 12 2 + ( 4) 3 + 3 ( 4) = 0 vectorii OA şi OC sunt perpendiculari, deci triunghiul AOC este dreptunghic. AB = OB OA = 9 i + 16 j 7 k AB = 386 AC = OC OA = 10 i + 7 j 7 k AC = 198 BC = OC OB = i 9 j AB = 82 Perimetrul triunghiului ABC este 386 + 198 + 82. AB AC cos  = AB 251 =  = arccos ( 251 ) AC 386 198 386 198 5. Se dau vectorii a = 2 i k, b = j +2 k, c = 3 i +3 j. Determinaţi numerele reale λ şi µ astfel încât vectorul v = a + 2λ b + 2µ c să fie: a) perpendicular pe planul yoz b) egal înclinat faţă de axele Ox, Oy, Oz. Rezolvare: v = 2 i k + 2λ( j + 2 k ) + 2µ( 3 i + 3 j ) v = (2 6µ) i + ( 2λ + 6µ) j + ( 1 + 4λ) k a) v j v yoz v k v j = 0 v k = 0 2λ + 6µ = 0 1 + 4λ = 0 λ = 1 4, µ = 1 12 b) cos( v, i ) = cos( v, j ) = cos( v v i, k ) v i = v k = v v i = v j = v k k 2 6µ = 2λ + 6µ = 1 + 4λ λ = 2 5, µ = 7 30 v j v j =

19.4. EXERCIŢII 265 6. Se dau vectorii a şi b despre care se ştie că a = 3, b = 2, ( a, b ) = π 3. Se consideră apoi vectorii c = 2 a 3 b şi d = a + b. Calculaţi: a) a b, c, ( a, c ) b) aria paralelogramului determinat de vectorii c şi d Rezolvare: a) a b = a b cos π 3 = 3 c 2 = c c = (2 a 3 b ) (2 a 3 b ) = 4 a a 6 a b 6 b a +9 b b = 4 a 2 12 a b + 9 b 2 = 36 c = 6 cos( a, a c c ) = a c = 1 a (2 1 a 3 b ) = 18 18 (2 a 2 3 a b ) = 1 2 b) c d = (2 a 3 b ) ( a + b ) = 2 a a +2 a b 3 b a 3 b b = = 5 a b A = c d = 5 a b = 5 a b sin π 3 = 15 3 7. Fie a = u 3 v, b = u + 2 v, u = 3, v = 2 şi unghiul dintre vectorii u şi v este θ = π 4. Să se calculeze a b, lungimile diagonalelor paralelogramului determinat de cei doi vectori, şi unghiul dintre ele. 8. Determinaţi scalarii λ, µ R astfel încât punctele A(2, λ, 1), B(3, 7, 5), C(µ, 10, 9) să fie coliniare. Rezolvare: AB = i + (7 λ) j + 4 k, BC = (µ 3) i + 3 j + 4 k AB i j k BC = 1 7 λ 4 = 0 µ 3 3 4 (16 4λ) i + (4µ 16) j + (24 3λ 7µ + λµ) k = 0 λ = µ = 4. 9. Se consideră punctele: i. A(2, 3, 1), B(4, 1, 2), C(6, 3, 7), D( 5, 4, 8) ii. A(1, 1, 3), B(2, 1, 1), C(3, 3, 1), D( 1, 4, 2) iii. A(2, 1, 1), B(5, 5, 4), C(3, 2, 1), D(4, 1, 3) Pentru fiecare din cazurile de mai sus, calculaţi: a) Perimetrul, unghiurile, aria şi înălţimile triunghiului ABC. b) Volumul, aria totală şi înălţimile tetraedrului ABCD.

266 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI 10. Se dau vectorii a = 2 i +(λ+2) j +3 k, b = i +λ j k, c = 4 j +2 k unde λ R. a) Determinaţi valoarea parametrului λ astfel încât vectorii să fie coplanari b) Pentru valoarea găsită anterior, descompuneţi vectorul a după direcţiile vectorilor b şi c şi calculaţi aria paralelogramului determinat de vectorii b şi c.

Partea IV Geometrie analitică şi diferenţială 267

Capitolul 20 Planul şi dreapta în spaţiu 20.1 Planul Fie {O; i, j, k } un reper cartezian ortogonal în V 3 şi un plan p în spaţiul geometric tridimensional E 3. Definiţia 20.1. Un vector nenul N se numeşte vector normal la planul p dacă dreapta suport a unui reprezentant al său este perpendiculară pe planul p. Dacă N este un vectori normal la planul p, atunci şi λ N, λ R este tot un vector normal la planul p. Definiţia 20.2. Doi vectori necoliniari a şi b ai căror reprezentanţi au dreptele suport paralele cu planul p se numesc vectori directori ai planului p. Fie un plan p, un punct M 0 (x 0, y 0, z 0 ) în acest plan, şi N = A i +B j +C k un vector normal la planul p. Deoarece N este un vector nenul, rezultă că A, B, C nu sunt simultan nuli, adică A 2 + B 2 + C 2 > 0. Un punct oarecare M(x, y, z) p M 0 M N M 0 M N = 0 Cum M 0 M = (x x 0 ) i +(y y 0 ) j +(z z 0 ) k, folosind expresia analitică a produsului scalar obţinem A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 (20.1) aşadar coordonatele oricărui punct din planul p verifică ecuaţia anterioară, care se numeşte ecuaţia normală a planului. Ecuaţia (20.1) se rescrie Ax + By + Cz Ax 0 By 0 Cz 0 = 0 269

270 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU iar notând cu D = Ax 0 By 0 Cz 0 obţinem Ax + By + Cz + D = 0 (20.2) care se numeşte ecuaţia generală a planului. Ecuaţia unui plan nu este unică. Dacă înmulţim (20.2) cu λ R obţinem λax + λby + λcz + λd = 0 ecuaţie care este de asemenea verificată de coordonatele oricărui punct din planul p. Orice altă ecuaţie a planului p are coeficienţii proporţionali cu A, B, C, D. Fie un plan p, punctul M 0 (x 0, y 0, z 0 ) p şi v 1 = l 1 i + m1 j + n1 k, v 2 = l 2 i + m2 j + n2 k doi vectori directori (deci necoliniari) ai planului p. Un punct oarecare M(x, y, z) p vectorii M 0 M, v 1, v 2 sunt coplanari, adică dacă şi numai dacă produsul mixt ( M 0 M, v 1, v 2 ) = 0. Cum M 0 M = (x x 0 ) i +(y y 0 ) j +(z z 0 ) k, folosind expresia analitică a produsului mixt obţinem x x 0 y y 0 z z 0 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0 (20.3) aşadar coordonatele oricărui punct din planul p verifică ecuaţia anterioară, care se numeşte ecuaţia planului determinat de un punct şi doi vectori directori. Fie un plan p, punctele M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) p şi v = l i +m j + n k un vector cu dreapta suport paralelă cu p. Un punct oarecare M(x, y, z) p vectorii M 1 M, M 1 M 2, v sunt coplanari, adică dacă şi numai dacă produsul mixt ( M 0 M, M 1 M 2, v ) = 0. Folosind expresia analitică a produsului mixt obţinem x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 l m n = 0 (20.4) aşadar coordonatele oricărui punct din planul p verifică ecuaţia anterioară, care se numeşte ecuaţia planului determinat de două puncte şi un vectori director.

20.2. DREAPTA 271 Fie un plan p şi punctele M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), M 3 (x 3, y 3, z 3 ) în planul p. Un punct oarecare M(x, y, z) p vectorii M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3 sunt coplanari, adică dacă şi numai dacă produsul mixt ( M 0 M, M 1 M 2, M 1 M 3 ) = 0. Folosind expresia analitică a produsului mixt obţinem x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0 (20.5) aşadar coordonatele oricărui punct din planul p verifică ecuaţia anterioară, care se numeşte ecuaţia planului determinat de trei puncte. Observaţii ˆ Ecuaţia planului xoy este z = 0, iar ecuaţia unui plan paralel cu xoy este z = z 0 ; ˆ Ecuaţia planului xoz este y = 0, iar ecuaţia unui plan paralel cu xoz este y = y 0 ; ˆ Ecuaţia planului yoz este x = 0, iar ecuaţia unui plan paralel cu yoz este x = x 0 ; ˆ Proiecţiile punctului M 0 (x 0, y 0, z 0 ) pe planele de coordonate sunt punctele de coordonate (x 0, y 0, 0), (x 0, 0, z 0 ), (0, y 0, z 0 ) ˆ Simetricele punctului M 0 (x 0, y 0, z 0 ) faţă de planele de coordonate sunt punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) 20.2 Dreapta Fie d o dreaptă în spaţiul geometric tridimensional E 3. Definiţia 20.3. 1. Vectorul nenul v = l i +m j +n k ai cărui reprezentanţi au dreapta suport paralelă cu dreapta d, se numeşte vector director al dreptei d;

272 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU 2. Numerele reale l, m, n se numesc parametrii directori ai dreptei d; 3. v 0 = 1 v v se numeşte versor director al dreptei d. 4. Numerele cos α, cos β, cos γ, unde α, β, γ sunt unghiurile făcute de vectorul v cu versorii i, j şi k, se numesc cosinusuri directoare ale dreptei d. Cosinusurile directoare se calculează în funcţie de parametrii directori astfel: v i cos α = v i = v j cos β = v j = v k cos γ = v = k l l2 + m 2 + n 2 m l2 + m 2 + n 2 n l2 + m 2 + n 2 Parametrii directori l, m, n ai unei drepte nu sunt unici. Pentru orice λ 0, numerele λl, λm, λn sunt de asemenea parametri directori deoarece vectorul λ v este coliniar cu v deci este de asemenea vector director al dreptei d. Fie o dreaptă d, un punct M 0 (x 0, y 0, z 0 ) pe această dreaptă, şi v = l i + m j + n k un vector director al dreptei d. Un punct oarecare M(x, y, z) d M 0 M, v coliniari λ R astfel încât M 0 M = λ v. Cum M 0 M = (x x 0 ) i + (y y 0 ) j + (z z 0 ) k, obţinem x x 0 = λl y y 0 = λm z z 0 = λn x = x 0 + λl y = y 0 + λm z = z 0 + λn (20.6) care se numesc ecuaţiile parametrice ale dreptei, sau echivalent x x 0 l = y y 0 n = z z 0 n (20.7) care se numesc ecuaţiile canonice ale dreptei. Fie o dreaptă d şi punctele M 1 (x 1, y 1, z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ) pe dreapta d. Vectorul M 1 M 2 este un vector director al dreptei d şi avem v = M 1 M 2 = (x 2 x 1 ) i + (y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k

20.2. DREAPTA 273 Înlocuind în (20.7) coordonatele punctului M 1 şi componentele vectorului director v obţinem: x x 1 = y y 1 = z z 1 (20.8) x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 ecuaţii care sunt verificate de fiecare punct de pe dreapta d şi se numesc ecuaţiile dreptei prin două puncte. Teorema 20.1. Fie planele neparalele p 1 şi p 2 având ecuaţiile (p 1 ) A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (p 2 ) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Atunci ecuaţiile canonice ale dreptei de intersecţie a celor două plane sunt x x 0 l = y y 0 n = z z 0 n unde (x 0, y 0, z 0 ) este o soluţie a sistemului format din ecuaţiile celor două plane, iar parametrii directori sunt l = B 1 C 1 B 2 C 2, m = C 1 A 1 C 2 A 2, n = A 1 B 1 A 2 B 2. Demonstraţie: Deoarece planele p 1 şi p 2 sunt neparalele, vectorii normali N 1 = A 1 i + B1 j + C1 k N 2 = A 2 i + B2 j + C2 k sunt necoliniari, deci matricea ( A 1 B 1 C 1 ) are rangul 2, aşadar sistemul A 2 B 2 C 2 format din ecuaţiile celor două plane este compatibil. Dreapta de intersecţie este perpendiculară pe vectorii normali N 1 şi N 2, i j k deci un vector director al acestei drepte poate fi ales v = N 1 N 2 = de unde obţinem parametrii directori din enunţ. Observaţii A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2, ˆ Ecuaţiile axei Ox sunt y = 0 z = 0 ; x = 0 ˆ Ecuaţiile axei Oy sunt z = 0 ;

274 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU x = 0 ˆ Ecuaţiile axei Oz sunt y = 0 ; ˆ Proiecţiile punctului M 0 (x 0, y 0, z 0 ) pe axele de coordonate sunt punctele de coordonate (x 0, 0, 0), (0, y 0, 0), (0, 0, z 0 ) ˆ Simetricele punctului M 0 (x 0, y 0, z 0 ) faţă de axele de coordonate sunt punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) 20.3 Unghiuri şi distanţe 20.3.1 Unghiul a două drepte Fie dreptele d 1, d 2 date prin ecuaţiile: d 1 x x 1 = y y 1 = z z 1 l 1 m 1 n 1 d 2 x x 2 = y y 2 = z z 2 l 2 m 2 n 2 Atunci unghiul θ dintre cele două drepte este dat de unghiul dintre vectorii directori ai celor două drepte v 1 = l 1 i +m1 j +n1 k şi v 2 = l 2 i +m2 j +n2 k : cos θ = v 1 v 2 v 1 v 2 = l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 l 2 1 + m 2 1 + n2 1 l2 2 + m2 2 + n2 2 20.3.2 Unghiul a două plane Fie planele p 1, p 2 date prin ecuaţiile: p 1 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 p 2 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Presupunem că planele nu coincid şi nu sunt nici paralele (cazuri în care unghiul dintre plane este 0). Unghiul diedru dintre cele două plane este egal cu unghiul plan obţinut prin secţionarea planelor cu un plan perpendicular pe dreapta de intersecţie a celor două plane, care este egal cu unghiul dintre normalele la cele două plane N 1 = A 1 i + B1 j + C1 k şi N 2 = A 2 i + B2 j + C 2 k : N 1 N 2 cos θ = N 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = N 2 A 2 1 + B1 2 + C2 1 A 2 2 + B2 2 + C2 2

20.3. UNGHIURI ŞI DISTANŢE 275 20.3.3 Unghiul dintre o dreaptă şi un plan Fie dreapta d şi planul p date prin ecuaţiile: d x x 0 l = y y 0 m = z z 0 n p Ax + By + Cz + D = 0 Fie v = l i +m j +n k un vector director al dreptei d şi N = A i +B j +C k un vector normal la planul p. Unghiul θ dintre dreapta d şi planul p este prin definiţie unghiul dintre dreapta d şi proiecţia acesteia pe planul p, care este egal cu complementul unghiului dintre dreapta d şi normala la planul p: sin θ = cos ( π 2 θ) = N v N v = Al + Bm + Cn A2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2 20.3.4 Distanţa de la un punct la un plan Teorema 20.2. Fie punctul M 0 (x 0, y 0, z 0 ) şi planul p dat prin ecuaţia p Ax + By + Cz + D = 0 Atunci distanţa de la punctul M 0 la planul p este dist(m 0, p) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Demonstraţie: Scriem ecuaţiile perpendicularei din M 0 pe planul p: d x x 0 A = y y 0 B = z z 0 C Fie {M 1 } = d p. Atunci distanţa de la M 0 la p este lungimea segmentului M 0 M 1. x = x 0 + λa Ecuaţiile parametrice ale lui d sunt y = y 0 + λb. z = z 0 + λc Înlocuind în ecuaţia planului p obţinem A(x 0 + λa) + B(y 0 + λb) + C(z 0 + λc) + D = 0 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D + λ(a 2 + B 2 + C 2 ) = 0 λ 1 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2

276 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU Vectorul M 0 M 1 = λ 1 A i + λ 1 B j + λ 1 C k are lungimea M 0 M 1 = λ 2 1 (A2 + B 2 + C 2 ) = λ 1 A 2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 20.3.5 Distanţa de la un punct la o dreaptă Teorema 20.3. Fie punctul M 0 (x 0, y 0, z 0 ) şi dreapta d dată prin ecuaţiile d x x 1 l = y y 1 m = z z 1 n Atunci distanţa de la punctul M 0 la dreapta d este dist(m 0, d) = M 1 M 0 v v unde M 1 (x 1, y 1, z 1 ) d, iar v = l i + m j + n k. Demonstraţie: Fie M proiecţia lui M 0 pe d şi θ unghiul dintre M 1 M 0 şi v. Avem dist(m 0, d) = M 0 M = M 1 M 0 sin θ = M 1 M 0 v sin θ v M 1 M 0 v. v 20.3.6 Perpendiculara comună. Distanţa dintre două drepte Fie două drepte necoplanare date prin ecuaţiile d 1 d 2 x x 1 = y y 1 = z z 1 l 1 m 1 n 1 x x 2 = y y 2 = z z 2 l 2 m 2 n 2 Există o dreaptă unică d perpendiculară pe d 1 şi d 2 care şi intersectează cele două drepte, numită perpendiculara comună. Notăm cu M 1 (x 1, y 1, z 1 ) d 1, M 2 (x 2, y 2, z 2 ) d 2 iar v 1 = l 1 i +m1 j +n1 k, v 2 = l 2 i +m2 j +n2 k vectori directori ai celor două drepte. Atunci un vector director al perpendicularei comune este vectorul v = v 1 v 2 = l i + m j + n k, =

20.4. EXERCIŢII 277 iar ecuaţiile perpendicularei comune sunt obţinute prin intersectarea planelor p 1 care conţine d 1 şi d, şi p 2 care conţine d 2 şi d. p 1 x x 1 y y 1 z z 1 l 1 m 1 n 1 l m n = 0 x x 2 y y 2 z z 2 p 2 l 2 m 2 n 2 = 0 l m n Avem d = p 1 p 2, iar distanţa dintre cele două drepte este lungimea perpendicularei comune, care este egală cu înălţimea paralelipipedului construit pe vectorii v 1, v 2 şi M 1 M 2, considerând ca bază paralelogramul construit pe vectorii v 1 şi v 2 : 20.4 Exerciţii dist(d 1, d 2 ) = ( M 1 M 2, v 1, v 2 ) v 1 v 2 1. Se consideră punctul A( 1, 2, 4) dreapta (d) x 2 = y 1 1 = z+1 3 şi planul (p) x + 2y 2z = 4. Se cer: (a) vectorul OA, un vector director al dreptei d notat cu v şi un vector normal la planul p notat cu N ; analizaţi dacă OA, v şi N sunt coplanari. (b) ecuaţiile dreptei prin A paralelă cu d (c) ecuaţia planului prin A paralel cu planul p (d) ecuaţia planului prin d care este perpendicular pe xoz (e) simetricele punctului A faţă de planele şi axele de coordonate (f) ecuaţiile canonice ale dreptei de intersecţie dintre planele p şi xoy 2. Fie punctele A(1, 0, 2), B(0, 1, 3) şi planul (p) 2x y + 3z 5 = 0. Să se determine (a) vectorul AB, normala planului N şi produsul vectorial dintre AB şi N (b) ecuaţiile dreptei prin A, paralelă cu Ox

278 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU (c) ecuaţia planului prin B şi paralel cu p (d) ecuaţiile dreptei AB (e) ecuaţia planului prin A şi B, care este ortogonal pe p (f) simetricul lui B faţă de Oz, xoy şi p 3. Se consideră punctele A(1, 0, 1), B(0, 1, 2) şi vectorul v = i + k. Să se determine (a) ecuaţia planului prin A şi perpendicular pe v (b) ecuaţiile dreptei AB (c) proiecţia lui B în planul xoz şi simetricul lui B faţă de Oz (d) dist (A, yoz) (e) ecuaţiile dreptei prin A paralelă cu Ox (f) ecuaţia planului ce conţine axa Ox şi punctul B x + y z = 1 4. Se consideră punctul A(0, 1, 3), dreapta (d) şi 2x + z 5 = 0 planul (p) x y + 3z = 1. Notăm cu v vectorul director al dreptei şi cu N normala planului. Se cer: (a) ecuaţiile canonice ale dreptei d (b) determinaţi un vector ortogonal pe OA şi N şi stabiliţi dacă vectorii OA, v şi N sunt coplanari. (c) ecuaţia planului prin A perpendicular pe dreapta d (d) proiecţia lui A în planul xoz, simetricul lui A faţă de Oz (e) ecuaţiile dreptei prin A paralelă cu Ox şi ecuaţia planului prin A paralel cu xoy (f) ecuaţia planului ce conţine dreapta d şi este perpendicular pe planul p 5. Să se afle coordonatele simetricului punctului M(4, 1, 6) faţă de dreapta x y 4z + 12 = 0 (d) 2x + y 2z + 3 = 0

20.4. EXERCIŢII 279 6. Se dau dreapta şi planul Să se determine: (d) x 1 2 = y 1 3 = z 1 (p) x + y + z + 1 = 0. (a) ecuaţiile proiecţiei dreptei d pe planul p; (b) ecuaţiile simetricei dreptei d faţă de planul p. 7. Fie planele dreptele (p 1 ) 2x y z 2 = 0 (p 2 ) x + 2y + 2z + 1 = 0, (d 1 ) x 9 4 (d 2 ) x 2 = y + 7 şi punctul M(5, 1, 1). Să se găsească: (a) unghiul dintre planele p 1 şi p 2 (b) unghiul dintre dreptele d 1 şi d 2 = y + 2 3 = z 1 = z 2 9 2 (c) unghiul dintre dreapta d 2 şi planul p 1 (d) distanţa de la M la planul p 2 (e) distanţa de la M la dreapta d 1 (f) ecuaţiile perpendicularei comune dreptelor d 1 şi d 2 (g) distanţa dintre dreptele d 1 şi d 2

280 CAPITOLUL 20. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU

Capitolul 21 Conice 21.1 Dreapta în plan Fie {O, i, j } un reper cartezian ortogonal în plan. Ecuaţia canonică a dreptei determinată de punctul M 0 (x 0, y 0 ) şi de vectorul director v = l i + m j (cu l 2 + m 2 > 0) este sau echivalent x x 0 l = y y 0 m mx ly mx 0 + ly 0 = 0 Notând a = m, b = l şi c = mx 0 + ly 0, obţinem ecuaţia ax + by + c = 0 cu a 2 +b 2 > 0, ecuaţie care se numeşte ecuaţia generală a dreptei în plan. Dacă egalăm rapoartele din ecuaţia dreptei cu λ: x x 0 l = y y 0 m = λ se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei: x = x 0 + λl y = y 0 + λm De asemenea ecuaţia canonică a dreptei determinată de două puncte M 1 (x 1, y 1 ) şi M 2 (x 2, y 2 ) este: x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 281

282 CAPITOLUL 21. CONICE ecuaţie care se poate rescrie Cazuri particulare x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 = 0 ˆ Ecuaţia axei Ox: y = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Ox: y = y 0 ˆ Ecuaţia axei Oy: x = 0 ˆ Ecuaţia unei drepte paralele cu Oy: x = x 0 ˆ Ecuaţia primei bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia celei de-a doua bisectoare: y = x ˆ Ecuaţia dreptei prin tăieturi: Fie o dreaptă care nu trece prin origine şi nu este paralelă cu axele de coordonate şi fie A(a, 0), B(0, b) punctele de intersecţie ale dreptei cu axele de coordonate, cu a b 0. Obţinem: Fie o dreaptă d de ecuaţie x a 0 a = y 0 b 0 bx + ay ab = 0 x a + y b 1 = 0. ax + by + c = 0, a 2 + b 2 > 0 Atunci şi λax + λby + λc = 0, λ R este o ecuaţie a dreptei d, deci o dreaptă are o infinitate de ecuaţii. Două ecuaţii reprezintă aceeaşi dreaptă dacă şi numai dacă au coeficienţii proporţionali. Dacă dreapta d nu este paralelă cu Oy (deci b 0), ecuaţia dreptei se poate rescrie: y = a b x c b Notănd m = a b, n = c b obţinem y = mx + n care se numeşte ecuaţia explicită a dreptei d. Coeficientul m se numeşte panta dreptei, iar n este ordonata intersecţiei dreptei cu axa Oy.

21.2. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 283 Fie A(x A, y A ) şi B(x B, y B ) două puncte distincte pe dreapta d. Dreapta nefiind paralelă cu Oy, avem că x A x B. Punând condiţia ca cele două puncte să verifice ecuaţia dreptei obţinem Scăzând cele două ecuaţii obţinem y A = mx A + n şi y B = mx B + n. y B y A = m(x B x A ) m = y B y A x B x A = tg θ unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Ox şi semidreapta de pe dreapta d situată deasupra axei Ox. Avem: ˆ m > 0 θ unghi ascuţit ˆ m < 0 θ unghi obtuz ˆ m = 0 dreapta este paralelă cu Ox Observaţii 1. Dreapta d care are ecuaţia explicită y = mx + n trece prin punctele de coordonate (0, n) şi (1, m + n), deci ecuaţia canonică a dreptei este x 1 = y n m, aşadar un vector director al dreptei este v = 1 i + m j 2. O dreaptă este unic determinată de un punct M 0 (x 0, y 0 ) şi de panta m. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreaptă avem m = y y 0 x x 0 y y 0 = m(x x 0 ) 3. Două drepte d 1 şi d 2 neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m 2 sunt paralele dacă şi numai dacă m 1 = m 2. 4. Două drepte d 1 şi d 2 neparalele cu Oy având pantele m 1 şi m 2 sunt perpendiculare dacă şi numai dacă m 1 m 2 = 1. 21.2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţia 21.1. Se numeşte conică o curbă plană definită în reperul cartezian ortonormat {O; i, j } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, unde a ij R, i, j {1, 2, 3}, a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0 (adică cel puţin unul dintre coeficienţii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordonatele euclidiene în reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.

284 CAPITOLUL 21. CONICE Conicele se mai numesc şi curbe de gradul al doilea. Exemple de conice: cercul, elipsa, hiperbola, parabola. 21.2.1 Cercul Definiţia 21.2. Fie un punct fixat C(a, b) şi r > 0 un număr real fixat. Se numeşte cerc de centru C şi rază r este locul geometric al punctelor M(x, y) care satisfac egalitatea CM = r. (21.1) Avem CM = (x a) i + (y b) j, deci (21.1) se rescrie (x a)2 + (y b) 2 = r sau echivalent (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 (21.2) care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(a, b) şi rază r. Efectuând calculele în ecuaţia (21.2) obţinem: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0. Notând m = a, n = b şi p = a 2 + b 2 r 2, ecuaţia se rescrie x 2 + y 2 + 2mx + 2ny + p = 0, care se numeşte ecuaţia generală a cercului. Ecuaţia (21.2) este de asemenea echivalentă cu ecuaţiile x = a + r cos t y = b + r sin t, t [0, 2π) numite ecuaţiile parametrice ale cercului. 21.2.2 Elipsa Definiţia 21.3. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte elipsă. MF + MF = 2a

21.2. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 285 ˆ Punctele F, F se numesc focarele elipsei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = 2c < 2a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia elipsei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Din definiţia elipsei, punctul M(x, y) aparţine elipsei dacă şi numai dacă (x c)2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a (x + c)2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2 x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + x 2 2cx + c 2 + y 2 a (x c) 2 + y 2 = a 2 cx a 2 (x 2 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 cx + c 2 x 2 (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Notând b 2 = a 2 c 2, ecuaţia anterioară devine b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 a 2 + y2 b 2 = 1, ecuaţie care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a elipsei. Observaţii ˆ Dacă M(x, y) este un punct pe elipsă, atunci şi simetricul lui faţă de Ox, punctul de coordonate (x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Ox este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de Oy, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci Oy este axă de simetrie a elipsei. ˆ Simetricul lui M faţă de O, punctul de coordonate ( x, y) verifică ecuaţia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei. ˆ Intersecţiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b) se numesc vârfurile elipsei. ˆ OA = a şi OB = b se numesc semiaxa mare şi respectiv semiaxa mică a elipsei.

286 CAPITOLUL 21. CONICE ˆ Raportul e = c a < 1 se numeşte excentricitatea elipsei. Avem: e 2 = c2 a 2 = a2 b 2 a 2 = 1 ( b a ) 2 b a = 1 e 2 deci excentricitatea caracterizează forma elipsei. ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a cos t y = b sin t, t [0, 2π) numite ecuaţiile parametrice ale elipsei. ˆ Ecuaţia tangentei la elipsă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe elipsă se obţine prin dedublare: 21.2.3 Hiperbola xx 0 a 2 + yy 0 b 2 1 = 0. Definiţia 21.4. Fie F, F două puncte în plan şi a > 0. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea se numeşte hiperbolă. MF MF = 2a ˆ Punctele F, F se numesc focarele hiperbolei ˆ Dreapta F F se numeşte axă focală. ˆ Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală: F F = 2c > 2a ˆ distanţele MF şi MF se numesc raze focale Pentru a găsi ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei alegem ca axă a absciselor axa focală F F, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului F F. Originea reperului este mijlocul segmentului F F, deci focarele au

21.2. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 287 coordonatele F (c, 0) şi F ( c, 0). Prin definiţie, punctul M(x, y) aparţine hiperbolei dacă şi numai dacă (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = ±2a (x + c)2 + y 2 = (x c) 2 + y 2 ± 2a x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = x 2 2cx + c 2 + y 2 ± 4a (x c) 2 + y 2 + 4a 2 Observaţii ±a (x c) 2 + y 2 = cx a 2 a 2 (x 2 2cx + c 2 + y 2 ) = a 4 2a 2 cx + c 2 x 2 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 = a 2 b 2 x2 a 2 y2 b 2 = 1. ˆ Axele Ox şi Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei; ˆ Intersecţiile hiperbolei cu axa Ox, punctele A(a, 0), A ( a, 0), se numesc vârfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeşte axa transversă a hiperbolei; ˆ Dreptele de ecuaţii y = ± b x sunt asimptotele hiperbolei şi se obţin ca a asimptote oblice ale funcţiilor f 1 (x) = b a x2 a 2 şi f 2 (x) = b a x2 a 2 ; ˆ Dacă a = b, hiperbola are ecuaţia x 2 y 2 = a 2 şi se numeşte hiperbolă echilateră, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x şi y = x; ˆ O ecuaţie de forma xy = ±a 2 reprezintă tot o hiperbolă echilateră, având ca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoarele axelor. ˆ Raportul e = c a < 1 se numeşte excentricitatea hiperbolei. Avem: e 2 = c2 a 2 = a2 + b 2 a 2 = 1 + ( b a ) 2 b a = e 2 1 deci excentricitatea caracterizează forma hiperbolei.

288 CAPITOLUL 21. CONICE ˆ Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile x = a ch t y = b sh t, t R numite ecuaţiile parametrice ale hiperbolei. ˆ Ecuaţia tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe hiperbolă se obţine prin dedublare: 21.2.4 Parabola xx 0 a 2 yy 0 b 2 1 = 0. Definiţia 21.5. Fie o dreaptă fixă d în plan şi un punct fix F d. Locul geometric al punctelor M din plan cu proprietatea că distanţa la punctul F este egală cu distanţa la dreapta d se numeşte parabolă. ˆ Punctul F se numeşte focar; ˆ Dreapta d se numeşte dreaptă directoare; ˆ Distanţa de la focar la dreapta directoare se numeşte parametrul parabolei şi se notează cu p. Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem ca axă a absciselor perpendiculara dusă prin F la d, care intersectează dreapta d în punctul A şi are sensul pozitiv de la directoare către focar, iar axa ordonatelor este mediatoarea segmentului AF. Focarul F are coordonatele ( p 2, 0), iar prin definiţie un punct oarecare M(x, y) se află pe parabolă dacă şi numai dacă MF = MB unde B este proiecţia lui M pe dreapta d şi are coordonatele ( p 2, y). Obţinem: (x p 2 2 ) + y 2 = x + p 2 x2 px + p2 4 + y2 = x 2 + px + p2 4 de unde se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei: y 2 = 2px Axa Ox se numeşte axa parabolei (sau axa transversă a parabolei) şi este axă de simetrie pentru parabolă, iar punctul O(0, 0) se numeşte vârful parabolei. Observaţii

21.3. SCHIMBĂRI DE REPERE CARTEZIENE 289 ˆ Ecuaţia carteziană a parabolei este echivalentă cu ecuaţiile x = t2 2p y = t, t R numite ecuaţiile parametrice ale parabolei; ˆ Ecuaţia tangentei la parabolă dusă printr-un punct M 0 (x 0, y 0 ) de pe parabolă se obţine prin dedublare: yy 0 = p(x + x 0 ); ˆ Ecuaţia y 2 = 2px, p > 0 reprezintă tot o parabolă cu axa transversă Ox, vârful în origine, dar situată în semiplanul din stânga axei Oy; ˆ Ecuaţiile x 2 = 2py şi x 2 = 2py, cu p > 0 reprezintă parabole având axa transversă Oy şi vârful în origine. 21.3 Schimbări de repere carteziene 21.3.1 Rotaţia Fie {O; i, j } un reper cartezian ortonormat obţinut prin rotirea reperului {O; i, j } cu un unghi θ [0, π). Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul rotit. Avem: OM = x i + y j = x i + y j Înmulţind scalar această egalitate cu i, respectiv j, obţinem: x i i + y j i = x i i + y j i x i j + y j j = x i j + y j j Avem i i = j j = 1 şi i j = j i = 0, deci x = x i i + y j i y = x i j + y j j (21.3) Avem i i = cos θ, j i = cos (θ + π 2 ) = sin θ i j = cos ( π 2 θ) = sin θ, j j = cos θ

290 CAPITOLUL 21. CONICE şi înlocuind în (21.3) găsim sau echivalent ( x y x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ). Matricea C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) este o matrice ortogonală (C 1 = C T ), deci rotaţia în plan de unghi θ este o transformare ortogonală. 21.3.2 Translaţia Fie reperul {O; i, j }, un punct A(x 0, y 0 ) şi considerăm reperul cartezian ortonormat {A; i, j }. Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare M din plan în reperul iniţial şi cu (x, y ) coordonatele aceluiaşi punct în reperul nou. Avem: OM = OA + AM x i + y j = x 0 i + y0 j + x i + y j de unde obţinem x = x 0 + x. y = y 0 + y Prin compunerea unei translaţii cu o rotaţie se obţine rototranslaţia de ecuaţii x = x 0 + X cos θ Y sin θ, y = y 0 + X sin θ + Y cos θ unde (X, Y ) sunt coordonatele punctului M în {A; i, j }. 21.4 Reducerea conicelor la forma canonică Fie o conică de ecuaţie a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Prin schimbarea reperului, se schimbă şi coordonatele punctelor de pe conică, deci se schimbă şi ecuaţia pe care o verifică acestea. Vom căuta reperul în care ecuaţia conicei are o formă particulară (de elipsă, hiperbolă sau parabolă), numită formă canonică.

21.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICĂ 291 21.4.1 Invarianţii unei conice Definiţia 21.6. Fie o conică de ecuaţie a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, (21.4) f(x,y) cu a ij R, i, j {1, 2, 3}, a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0. Numerele reale I = a 11 + a 22, δ = a 11 a 12 a 12 a 22, = se numesc invarianţii conicei. a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 Teorema 21.1. Invarianţii I, δ, nu se schimbă la translaţii sau rotaţii. Demonstraţie: x = x 0 + x Înlocuind ecuaţiile translaţiei y = y 0 + y în (21.4) obţinem a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2a 13x + 2a 23y + a 33 = 0, (21.5) a 13 = a 11x 0 + a 12 y 0 + a 13 unde a 23 = a 12x 0 + a 22 y 0 + a 23, deci coeficienţii termenilor de grad 2 nu se a 33 = f(x 0, y 0 ) modifică, aşadar I şi δ rămân neschimbaţi. Efectuând operaţii pe coloane în avem: = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 C 3 x 0 C 1 = C 3 y 0 C 2 Efectuând operaţii pe linii în avem : a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 Fie acum o rotaţie de unghi θ. Avem: L 3 x 0 L 1 = L 3 y 0 L 2 a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 =. x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ ( x y ) = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) ( x y ) X = CX,

292 CAPITOLUL 21. CONICE unde C = ( cos θ sin θ sin θ cos θ ), X = ( x y ), X = ( x y ). Introducem de asemenea notaţiile A = ( a 11 a 12 a 12 a 22 ), B = ( a 13 a 23 ). Ecuaţia conicei se rescrie matriceal X T AX + 2BX + a 33 = 0. Înlocuind ecuaţiile rotaţiei X = CX în ecuaţia matriceală anterioară obţinem X T (C T AC)X + 2B(CX ) + a 33 = 0 Matricea C fiind ortogonală, A şi C T AC au acelaşi polinom caracteristic, iar coeficienţii acestuia fiind chiar I şi δ, deducem că aceştia nu se schimbă la efectuarea unei rotaţii. Introducem notaţiile Ā = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33, C = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1, Ā = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 Considerăm forma pătratică având matricea Ā în baza canonică din R3. Atunci Ā este matricea aceleiaşi forme pătratice în baza dată de matricea C, deci avem = det Ā = det( C T Ā C) = det C T det Ā det C = det Ā =. 21.4.2 Forma canonică a conicelor cu centru Fie conica de ecuaţie a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, (21.6) f(x,y) cu a ij R, i, j {1, 2, 3}, a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0. Căutăm o translaţie de ecuaţii x = x 0 + x astfel încât în noile coordonate ecuaţia conicei y = y 0 + y a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + 2a 13x + 2a 23y + a 33 = 0, (21.7) a 13 să nu conţină termeni de grad 1, adică = a 11x 0 + a 12 y 0 + a 13 = 0 a 23 = a. 12x 0 + a 22 y 0 + a 23 = 0 Caz 1. Dacă δ 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + f(x 0, y 0 ) = 0, (21.8)

21.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICĂ 293 Dacă punctul de coordonate (x, y ) verifică (21.8), atunci şi punctul de coordonate ( x, y ) verifică (21.8), deci O este centru de simetrie pentru conică, iar coordonatele lui sunt: a 13 a 12 a 23 a 22 x 0 =, y 0 = δ a 11 a 13 a 12 a 23 Termenul liber f(x 0, y 0 ) din (21.8) se rescrie astfel: δ (21.9) f(x 0, y 0 ) = a 11 x 2 0 + 2a 12 x 0 y 0 + a 22 y0 2 + 2a 13 x 0 + 2a 23 y 0 + a 33 = (a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 )x 0 + (a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 )y 0 + +a 13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 = a 13 x 0 + a 23 y 0 + a 33 a 11 a 12 a 13 Avem = a 12 a 22 a 23 = a 13 x 0 δ + a 23 y 0 δ + a 33 δ = δf(x 0, y 0 ) a 13 a 23 a 33 Ecuaţia (21.8) devine a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + δ = 0, (21.10) Dacă a 12 = 0, atunci (21.10) este formă canonică. Dacă a 12 0, considerăm forma pătratică Φ R 2 R, Φ(x, y ) = a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2, având matricea A = ( a 11 a 12 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 12 a 22 λ 1 X 2 + λ 2 Y 2, unde λ 1 şi λ 2 sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 12 a 12 a 22 λ = 0 λ2 Iλ + δ = 0. În noile coordonate ecuaţia conicei (21.10) devine λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + δ = 0, (21.11) deci are formă canonică. Putem presupune că baza { v 1, v 2 } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ

294 CAPITOLUL 21. CONICE v (0, π), 2 aşadar 1 = cos θ i + sin θ j v 2 = sin θ i + cos θ j corespunzători matricei A obţinem:. Cum v 1 şi v 2 sunt vectori proprii ( a 11 a 12 ) ( cos θ a 12 a 22 sin θ ) = λ 1 ( cos θ sin θ ) λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 12 sin θ ( a 11 a 12 ) ( sin θ a 12 a 22 cos θ ) = λ 2 ( sin θ cos θ ) λ 2 sin θ = a 11 sin θ + a 12 cos θ Înmulţind prima relaţie cu sin θ, pe a doua cu cos θ şi sumându-le obţinem (λ 1 λ 2 ) sin θ cos θ = a 12 Cum a 12 0 şi θ (0, π 2 ), deducem că λ 1 λ 2 şi λ 1 λ 2 are acelaşi semn cu a 12. Din cele două formule anterioare se poate obţine unghiul θ: λ 1 cos θ = a 11 cos θ + a 12 sin θ tg θ = λ 1 a 11 a 12 λ 2 sin θ = a 11 sin θ + a 12 cos θ tg θ = a 11 λ 2 Legătura între coordonatele iniţiale x, y şi coordonatele X, Y în care avem forma canonică sunt: a 12 x = x 0 + X cos θ Y sin θ y = y 0 + X sin θ + Y cos θ. Coeficienţii formei canonice λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 + δ = 0 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice λ 2 Iλ + δ = 0, distingem următoarele cazuri: 1. δ > 0, I > 0, < 0 λ 1 > 0, λ 2 > 0, δ < 0 elipsă 2. δ > 0, I > 0, = 0 λ 1 > 0, λ 2 > 0, δ = 0 un punct 3. δ > 0, I > 0, > 0 λ 1 > 0, λ 2 > 0, δ > 0 4. δ > 0, I < 0, < 0 λ 1 < 0, λ 2 < 0, δ < 0 5. δ > 0, I < 0, = 0 λ 1 < 0, λ 2 < 0, δ = 0 un punct 6. δ > 0, I < 0, > 0 λ 1 < 0, λ 2 < 0, δ > 0 elipsă 7. δ < 0, 0 hiperbolă

21.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICĂ 295 8. δ < 0, = 0 două drepte concurente Dacă 0 conica se numeşte nedegenerată, iar dacă = 0 conica se numeşte degenerată. Caz 2. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 12 a 13 a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 = 0 ) = 1, sistemul a 12 a 22 a 23 a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 = 0 are o infinitate de soluţii, deci conica are o infinitate de centre. Dacă (x 0, y 0 ) este o soluţie a sistemului anterior, atunci în reperul translatat cu centrul în O (x 0, y 0 ) ecuaţia conicei este a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 + f(x 0, y 0 ) = 0, (21.12) unde f(x 0, y 0 ) = a 13 x 0 + a 23 y 0 + a 33. Distingem cazurile: 1. Dacă a 12 = 0, cum a 11 a 22 = a 2 12 a 11 = 0 sau a 22 = 0, deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă. 2. Dacă a 12 0, cum a 11 a 22 = a 2 12 a 11 şi a 22 au acelaşi semn. Înmulţind eventual ecuaţia (21.12) cu 1, putem presupune că a 11 > 0 şi a 22 > 0, iar (21.12) devine ( a 11 x ± a 22 y ) 2 ± f(x 0, y 0 ) = 0 deci conica degenerează în două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă. 21.4.3 Forma canonică a conicelor fără centru Fie din nou conica de ecuaţie a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0, (21.13) f(x,y) cu a ij R, i, j {1, 2, 3}, a 2 11 + a2 12 + a2 22 > 0. Caz 3. Dacă δ = 0 şi rang( a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 ) = 2, sistemul a 11 x 0 + a 12 y 0 + a 13 = 0 a 12 x 0 + a 22 y 0 + a 23 = 0 este incompatibil, deci nu există o translaţie în urma căreia să dispară termenii de grad 1 din ecuaţie, altfel spus conica nu are centru de simetrie. Dacă a 12 0, considerăm forma pătratică Φ R 2 R, Φ(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2,

296 CAPITOLUL 21. CONICE având matricea A = ( a 11 a 12 ) în baza canonică. Există o bază ortonormată formată din vectori proprii ai lui A în care Φ are forma canonică a 12 a 22 λ 1 x 2 + λ 2 y 2, unde λ 1 şi λ 2 sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinile ecuaţiei caracteristice: a 11 λ a 12 a 12 a 22 λ = 0 λ2 Iλ + δ = 0 Cum δ = 0 λ 1 λ 2 = 0. Presupunem λ 1 = 0, λ 2 = I 0 (dacă ambele valori proprii ar fi nule, ar rezulta a 11 = a 12 = a 22 = 0). În noile coordonate x, y ecuaţia conicei devine Iy 2 + 2a 13x + 2a 23y + a 33 = 0 (21.14) Putem presupune că baza { v 1, v 2 } în care avem forma canonică se obţine din baza { i, j } printr-o rotaţie de unghi θ (0, π ), 2 aşadar v 1 = cos θ i + sin θ j v 2 = sin θ i + cos θ j x = x cos θ y sin θ y = x sin θ + y cos θ Cum v 1 este vector propriu corespunzător valorii proprii 0 obţinem: ( a 11 a 12 ) ( cos θ a 12 a 22 sin θ ) = ( 0 0 ) a 11 cos θ + a 12 sin θ = 0 tg θ = a 11 a 12 a 13 Prin calcul se obţine de asemenea = a 13 cos θ + a 23 sin θ a 23 = a 13 sin θ + a 23 cos θ Dacă a 13 = 0 a 13 = tg θ = a 11 rang ( a 11 a 12 a 13 ) = 1, deci a a 23 a 12 a 12 a 22 a 13 0 23 în Iy 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Grupând corespunzător termenii în ecuaţia anterioară obţinem I (y + a 2 23 I ) + 2a 13 (x + c ) = 0 a 23 unde c = a 33 a 2 23 I. Efectuând translaţia X = x + c a 23 Y = y + a 23 I ecuaţia conicei devine IY 2 + 2a 13X = 0

21.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICĂ 297 Cum este invariant la rotaţii şi translaţii, avem = deci găsim forma canonică 0 0 a 13 0 I 0 a 13 0 0 Y 2 = ±2pX, unde p = = a 2 13I a 2 13 = I I 3. Semnul ± în ecuaţia anterioară se alege în funcţie de poziţia parabolei faţă de axele de coordonate ale reperului iniţial, intersectând parabola cu aceste axe. Ecuaţia axei de simetrie a parabolei este a 11 (a 11 x + a 12 y + a 13 ) + a 12 (a 12 x + a 22 y + a 23 ) = 0 iar coordonatele vârfului parabolei se obţin intersectând parabola cu axa de simetrie, deci rezolvând sistemul format din ecuaţia anterioară şi ecuaţia iniţială a conicei. Dacă a 12 = 0, din δ = 0 a 11 = 0 sau a 22 = 0. Pentru a 11 = 0, ecuaţia conicei devine a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0 a 13 = 0 conică degenerată. a 13 0 parabolă (făcând o translaţie ca mai sus). Exemplu: Fie conica de ecuaţie x 2 4xy + 4y 2 6x + 2y + 1 = 0. ˆ coeficienţii a 11 = 1, a 22 = 4, a 12 = 2, a 13 = 3, a 23 = 1, a 33 = 1; 1 2 3 1 2 ˆ invarianţii I = 5, δ = 2 4 = 0, = 2 4 1 3 1 1 deci conica este o parabolă nedegenerată ˆ p = I = 1 forma canonică Y 2 = ± 2 X 3 5 5 = 25 ˆ axa de simetrie: a 11 (a 11 x + a 12 y + a 13 ) + a 12 (a 12 x + a 22 y + a 23 ) = 0 x 2y 1 = 0 x ˆ vârful 2 4xy + 4y 2 6x + 2y + 1 = 0 x 2y 1 = 0 V ( 1 5, 2 5 )

298 CAPITOLUL 21. CONICE ˆ intersecţia parabolei cu axa Ox: x 2 4xy + 4y 2 6x + 2y + 1 = 0 y = 0 x 1,2 = 6 ± 32 2 parabola 4 3 2 y 1 0 1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x Concluzii: În funcţie de semnul invarianţilor distingem cazurile: δ Forma canonică Tip X 2 0 a + Y 2 > 0 2 b 1 = 0 elipsă 2 X 2 a + Y 2 2 b + 1 = 0 2 X = 0 2 a + Y 2 2 b = 0 punct 2 X 0 2 < 0 a Y 2 2 b 1 = 0 hiperbolă 2 X = 0 2 a Y 2 = 0 două drepte concurente 2 b2 0 Y 2 2pX = 0 parabolă Y = 0 2 a 2 = 0 două drepte paralele = 0 Y 2 = 0 două drepte confundate Y 2 + a 2 = 0

21.5. EXERCIŢII 299 21.5 Exerciţii 1. Să se scrie ecuaţiile cercurilor determinate de: (a) centrul în C(2, 3) şi raza r = 7 (b) centrul în C(1, 1) şi o tangetă la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0 (c) extremităţile unui diametru sunt A(3, 2) şi B( 1, 6) (d) trece prin punctele M 1 ( 1, 5), M 2 ( 2, 2), M 3 (5, 5) (e) trece prin origine şi are centrul C(2, 0) 2. Să se determine centrul şi raza următoarelor cercuri; să se scrie ecuaţiile parametrice şi să se reprezinte grafic: (a) x 2 + y 2 6x 4y + 9 = 0 (b) x 2 + y 2 4x + 2y 4 = 0 (c) x 2 + y 2 2x = 0 (d) x 2 + y 2 y = 0 (e) x 2 + y 2 4x + 3 = 0 (f) x 2 + y 2 2x 2y = 0 3. Să se determine intersecţia cercului cu dreapta: (a) (C) x 2 + y 2 2y = 0, (d) x + y = 1 (b) (C) x 2 + y 2 x = 0, (d) x = y 4. Să se scrie ecuaţiile elipselor date prin elementele: (a) F ( 1, 0), F (1, 0) şi semiaxa mare 5 (b) axa mare 10 şi distanţa dintre focare 8 (c) axa mică 16 şi F (3, 0) (d) semiaxele 4 şi 2 (e) distanţa dintre focare 6 şi semiaxa mare 5 (f) semiaxa mare 25 şi excentricitatea 0, 6 5. Să se determine semiaxele, focarele şi excentricitatea elipselor, şi să se scrie ecuaţiile lor parametrice: (a) x2 9 + y2 4 1 = 0

300 CAPITOLUL 21. CONICE (b) 9x 2 + 25y 2 = 225 (c) 3x 2 + 4y 2 = 12 (d) x 2 + 2y 2 6 = 0 (e) 25x 2 + 169y 2 = 225 6. Să se afle punctele de intersecţie ale elipsei cu dreapta: (a) x2 4 + y2 1 = 0, 2x + 2y 3 = 0 (b) 5x 2 + 8y 2 77 = 0, x + 2y 7 = 0 7. Să se scrie ecuaţia tangentei la elipsa 2x 2 +y 2 6 = 0 în punctul M(2, 3) de pe elipsă 8. Să se scrie ecuaţiile hiperbolelor având focarele pe axa Ox şi cunoscând următoarele elemente: (a) semiaxele sunt 4 şi 3 (b) distanţa dintre vârfuri 6 iar distanţa între focare 10 (c) semiaxa transversă este 12 şi e = 5 4 (d) F (0, 10), F (0, 10) şi distanţa între vârfuri 8 9. Să se afle semiaxele, focarele, excentricitatea şi asimptotele hiperbolelor (a) 16x 2 25y 2 = 400 (b) x2 9 y2 16 = 1 (c) 2x 2 5y 2 10 = 0 10. Să se reprezinte hiperbolele şi asimptotele lor: (a) x 2 y 2 = 1 (b) x 2 4y 2 4 = 0 (c) 4y 2 9x 2 36 = 0 (d) xy = 2; xy = 2 (e) x2 25 y2 49 1 = 0 11. Să se scrie ecuaţia tangentei la hiperbola în punctul M 0 (5, 4) x 2 5 y2 4 = 1

21.5. EXERCIŢII 301 12. Să se scrie ecuaţiile tangentelor duse din M 0 (2, 1) la hiperbola şi să se afle punctele de contact. x 2 4y 2 1 = 0 13. Să se scrie ecuaţia unei parabole cu vârful în originea reperului ştiind că: (a) focarul este F (1, 0) (b) focarul este F (0, 2) (c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0, 5, situată în semiplanul stâng (d) axa de simetrie este Oy, p = 3 şi situată în semiplanul inferior 14. Să se determine focarul, axa de simetrie, şi să se reprezinte grafic parabolele: (a) y 2 = 2x (b) y 2 = 4x (c) x 2 = 5y (d) x 2 = y 15. Să se scrie ecuaţia tangentei şi ecuaţia normalei la parabola y 2 = 3x în punctul de abscisă x = 3 16. Să se recunoască şi să se reprezinte grafic curbele: (a) 4x 2 5y 2 = 20 (b) x 2 + y 2 9 = 0 (c) y 2 x = 0 (d) x 2 + y 2 2x = 0 (e) 2x 2 + y 2 4 = 0 x = 2 cos t (f), t [0, 2π] y = sin t (g) y + 2x 2 = 20 (h) 16x 2 9y 2 + 144 = 0 (i) 2x 2 + 2y 2 1 = 0 x = 1 + 2 cos t (j), t [0, 2π] y = 2 sin t (k) y 2 + 4x = 0 x = 3 cos t (l), t [0, 2π] y = 2 sin t

302 CAPITOLUL 21. CONICE 17. Să se reprezinte domeniile din plan mărginite de curbele: y a) 2 = x x 2 = y y = x b) 2 y = 1 y = x c) y = x x = 2 18. Să se reprezinte domeniile din plan determinate de: x 2 + y 2 2y a) y x 2 x 0 x 2 + y 2 4 b) x 2 + y2 4 1 x 0 x c) 2 + y 2 4 x 2 + y 2 2x x 2 + y 2 2 x y d) 2 x y 2 y 0 19. Să se aducă la forma canonică şi să se reprezinte grafic conicele: (a) 5x 2 + 8xy + 5y 2 18x 18y + 9 = 0 R: X2 1 + Y 2 9 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (b) 5x 2 + 6xy + 5y 2 16x 16y 16 = 0 R: X2 4 + Y 2 16 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (c) x 2 xy + y 2 5x + y 2 = 0 R: X2 18 + Y 2 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (d) 3x 2 2xy + 3y 2 4x 4y 36 = 0 R: X2 20 + Y 2 10 1 = 0, C(1, 1), α = π 4. (e) 5x 2 8xy + 5y 2 12x + 6y = 0 R: X2 9 + Y 2 1 1 = 0, C(2, 1), α = π 4. (f) x 2 xy + y 2 5x + y 2 = 0 R: X2 18 + Y 2 6 1 = 0, C(3, 1), α = π 4. (g) 3x 2 + 10xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0 R: X2 1 Y 2 4 1 = 0, C(2, 1), α = π 4. (h) x 2 8xy + 7y 2 + 6x 6y + 9 = 0 R: X2 9 Y 2 1 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 1 2. (i) 3xy + 6x y 8 = 0 R: X2 4 Y 2 4 1 = 0, C( 1 3, 2), α = π 4. (j) 6xy + 8y 2 12x 26y + 11 = 0 1 = 0, C( 1, 2), α = arctg 3. R: X2 1 Y 2 9 (k) 5x 2 + 12xy 22x 12y 19 = 0 R: X2 4 Y 2 9 1 = 0, C(1, 1), α = arctg 2 3.

21.5. EXERCIŢII 303 (l) 5x 2 6xy + 5y 2 + 2x 14y + 21 = 0 R: X2 4 + Y 2 + 1 = 0 (m) 5x 2 2xy + 5y 2 + 12x 12y + 12 = 0 R: 2X 2 + 3Y 2 = 0, C( 1, 1) (n) 2x 2 + 3xy + y 2 x 1 = 0 R: y = x + 1, y = 2x 1. (o) 3x 2 7xy + 2y 2 4x + 3y + 1 = 0 R: x 2y 1 = 0, 3x y 1 = 0 (p) x 2 2xy + y 2 10x 6y + 25 = 0 R: = 64, Y 2 = 4 2X, x y 1 = 0, V (2, 1). (q) x 2 + 4xy + 4y 2 + 2x y 1 = 0 R: = 25 4, Y 2 = 1 5 X, x + 2y = 0, V ( 2 5, 1 5 ). (r) x 2 4xy + 4y 2 4x 2y + 10 = 0 R: = 25, Y 2 = 2 5 X, x 2y = 0, V (2, 1). (s) x 2 4xy + 4y 2 26x 38y + 25 = 0 R: = 2025, Y 2 = 18 5 X, x 2y + 5 = 0, V ( 1, 2). (t) 4x 2 4xy + y 2 8x 8y + 4 = 0 R: = 144, Y 2 = 24 5 23 X, 10x 5y 4 = 0, V ( 5 50, 3 ). 25 (u) x 2 + 4xy + 4y 2 + x + 2y 2 = 0 R: x + 2y = 1, x + 2y = 2. (v) x 2 4xy + 4y 2 + 10x 20y + 25 = 0 R: x 2y + 5 = 0. (w) x 2 4xy + 4y 2 + 3x 6y + 2 = 0 R: x 2y + 1 = 0, x 2y + 2 = 0.

304 CAPITOLUL 21. CONICE

Capitolul 22 Cuadrice Definiţia 22.1. Se numeşte cuadrică o suprafaţă în spaţiu definită în reperul cartezian ortonormat {O; i, j, k } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz + 2a 14 x + 2a 24 y + 2a 34 z + a 44 = 0, unde a ij R, i, j {1, 2, 3, 4}, j i, iar coeficienţii termenilor de gradul al doilea a 11, a 22, a 33, a 12, a 13, a 23 nu sunt toţi nuli. Aşadar o cuadrică este o mulţime de puncte în spaţiu ale căror coordonate (x, y, z) verifică o ecuaţie de gradul al doilea de forma celei de mai sus. ˆ cuadricele se mai numesc şi suprafeţe algebrice de ordinul al doilea ˆ exemple de cuadrice: sferă, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi 22.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse 22.1.1 Sfera Definiţia 22.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) şi R > 0 un număr real fixat. Sfera de centru C şi rază R este locul geometric al punctelor M(x, y, z) care satisfac egalitatea CM = R. (22.1) Avem CM = (x a) i + (y b) j + (z c) k, deci (22.1) se rescrie (x a)2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 305

306 CAPITOLUL 22. CUADRICE sau echivalent (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 (22.2) care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru C(a, b, c) şi rază R. Efectuând calculele în ecuaţia (22.2) obţinem: x 2 + y 2 + z 2 2ax 2by 2cz + d = 0, (22.3) unde d = a 2 + b 2 + c 2 R 2. Se pune problema dacă orice ecuaţie de forma (22.3) reprezintă ecuaţia unei sfere. Cum (22.3) este echivalentă cu distingem următoarele cazuri: (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 d, 1. dacă a 2 + b 2 + c 2 d > 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (22.3) reprezintă sfera cu centrul C(a, b, c) şi rază R = a 2 + b 2 + c 2 d; 2. dacă a 2 + b 2 + c 2 d = 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (22.3) se reduce la punctul de coordonate (a, b, c); 3. dacă a 2 + b 2 + c 2 d < 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (22.3) este mulţimea vidă. Ecuaţia (22.3) în care a 2 + b 2 + c 2 d > 0 se numeşte ecuaţia generală a sferei. Fie M(x, y, z) un punct din spaţiu şi M (x, y, 0) proiecţia lui M pe planul xoy. Introducem notaţiile: ˆ ρ = OM - distanţa de la M la origine ˆ θ [0, π] - unghiul dintre Oz şi OM ˆ ϕ [0, 2π) - unghiul dintre Ox şi OM Numerele reale ρ, θ, ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M. Relaţiile de legătură între coordonatele carteziene şi coordonatele sferice ale punctului M sunt: x = ρ sin θ cos ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos θ, ρ 0, θ [0, π], ϕ [0, 2π).

22.1. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 307 Considerând coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonate cu centrul în C(a, b, c) şi axele paralele cu cele iniţiale, obţinem ecuaţiile parametrice ale sferei cu centrul în C şi rază R: x = a + R sin θ cos ϕ y = b + R sin θ sin ϕ z = c + R cos θ, θ [0, π], ϕ [0, 2π). Considerăm un plan (p) şi notăm cu d distanţa de la C la acest plan. Avem următoarele situaţii posibile: ˆ d > R intersecţia dintre plan şi sferă este vidă, deci planul este exterior sferei; ˆ d = R intersecţia dintre plan şi sferă este un punct, deci planul este tangent la sferă; ˆ d < R intersecţia dintre plan şi sferă este un cerc, deci planul este secant la sferă. 22.1.2 Elipsoidul Definiţia 22.3. Se numeşte elipsoid o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică unde a > 0, b > 0, c > 0. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1 = 0, Fie M(x 0, y 0, z 0 ) un punct pe elipsoid. Atunci: ˆ punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) aparţin elipsoidului, deci planele xoy, xoz, yoz sunt plane de simetrie ale elipsoidului; ˆ punctele de coordonate (x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ), ( x 0, y 0, z 0 ) aparţin elipsoidului, deci axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului; ˆ punctul de coordonate ( x 0, y 0, z 0 ) aparţine elipsoidului, deci O este centru de simetrie al elipsoidului. Intersecţiile elipsoidului de ecuaţie x2 a + y2 2 b + z2 1 = 0 cu planele şi axele 2 c2 de coordonate sunt:

308 CAPITOLUL 22. CUADRICE ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x2 a 2 + z2 c 2 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 b 2 + z2 c 2 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 a 2 1 = 0 A(a, 0, 0), A ( a, 0, 0) ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 b 2 1 = 0 B(0, b, 0), B (0, b, 0) ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z2 c 2 1 = 0 C(0, 0, c), C (0, 0, c) Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Dacă a = b = c, elipsoidul este o sferă. Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt: x = a sin θ cos ϕ y = b sin θ sin ϕ z = c cos θ, θ [0, π], ϕ [0, 2π).

22.1. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 309 22.1.3 Hiperboloidul cu o pânză Definiţia 22.4. Se numeşte hiperboloid cu o pânză o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a + y2 2 b z2 2 c 1 = 0, 2 unde a > 0, b > 0, c > 0. Ca şi în cazul elipsoidului, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot hiperboloizi cu o pânză sunt şi cuadricele de ecuaţii x 2 a y2 2 b + z2 x2 1 = 0 sau 2 c2 a y2 2 b z2 2 c + 1 = 0. 2 Intersecţiile hiperboloidului cu o pânză de ecuaţie x2 a + y2 2 b z2 2 c 1 = 0 cu 2 planele şi axele de coordonate sunt:

310 CAPITOLUL 22. CUADRICE ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 elipsă ˆ intersecţia cu xoz(y = 0) : x2 a 2 z2 c 2 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 b 2 z2 c 2 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 a 2 1 = 0 A(a, 0, 0), A ( a, 0, 0) ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 b 2 1 = 0 B(0, b, 0), B (0, b, 0) ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z2 c 2 1 = 0 ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): elipsă x 2 a 2 + y2 b 2 z2 0 c 2 + 1 = 0 22.1.4 Hiperboloidul cu două pânze Definiţia 22.5. Se numeşte hiperboloid cu două pânze o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a + y2 2 b z2 2 c + 1 = 0, 2 unde a > 0, b > 0, c > 0.

22.1. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 311 Ca şi în cazurile anterioare, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot hiperboloizi cu două pânze sunt şi cuadricele de ecuaţii x 2 a y2 2 b + z2 x2 + 1 = 0 sau 2 c2 a y2 2 b z2 2 c 1 = 0. 2 Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze de ecuaţie x2 a + y2 2 b z2 2 c + 1 = 0 2 cu planele şi axele de coordonate sunt: ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a 2 + y2 b 2 + 1 = 0 ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x2 a 2 z2 c 2 + 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 b 2 z2 c 2 + 1 = 0 hiperbolă ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 a 2 + 1 = 0 ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 b 2 + 1 = 0 ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z2 c 2 + 1 = 0 C(0, 0, c), C (0, 0, c) ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): elipsă sau punct sau x 2 a 2 + y2 b 2 z2 0 c 2 + 1 = 0 22.1.5 Conul Definiţia 22.6. Se numeşte con o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică unde a > 0, b > 0, c > 0. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0,

312 CAPITOLUL 22. CUADRICE Ca şi în cazurile anterioare, avem: ˆ planele de coordonate sunt plane de simetrie ˆ axele de coordonate sunt axe de simetrie ˆ originea este centru de simetrie Tot conuri sunt şi cuadricele de ecuaţii x 2 a y2 2 b + z2 x2 = 0 sau 2 c2 a y2 2 b z2 2 c = 0. 2 Intersecţiile conului de ecuaţie x2 a + y2 2 b z2 2 c 2 coordonate sunt: = 0 cu planele şi axele de ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a + y2 = 0 O(0, 0, 0) 2 b2 ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x2 a z2 = 0 două drepte 2 c2 ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 b z2 = 0 două drepte 2 c2

22.1. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 313 ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 = 0 O(0, 0, 0) a2 ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 = 0 O(0, 0, 0) b2 ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): z2 = 0 O(0, 0, 0) c2 ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): x2 a 2 + y2 b 2 z2 0 c 2 = 0 elipsă 22.1.6 Paraboloidul eliptic Definiţia 22.7. Se numeşte paraboloid eliptic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a + y2 2 b = 2z, 2 unde a > 0, b > 0. Avem: ˆ planele xoz şi yoz sunt plane de simetrie ˆ axa Oz este axă de simetrie Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii x 2 a + z2 y2 = 2y sau 2 c2 b + z2 2 c = 2x. 2

314 CAPITOLUL 22. CUADRICE Intersecţiile paraboloidului eliptic de ecuaţie x2 a + y2 2 b 2 axele de coordonate sunt: ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a + y2 = 0 O(0, 0, 0) 2 b2 ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x2 = 2z parabolă a2 ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 = 2z parabolă b2 ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 = 0 O(0, 0, 0) a2 ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 = 0 O(0, 0, 0) b2 ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0 O(0, 0, 0) = 2z cu planele şi ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): (pentru z 0 > 0) x 2 a + y2 2 b 2 = 2z 0 elipsă 22.1.7 Paraboloidul hiperbolic Definiţia 22.8. Se numeşte paraboloid hiperbolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a y2 2 b = 2z, 2 unde a > 0, b > 0. Avem: ˆ planele xoz şi yoz sunt plane de simetrie ˆ axa Oz este axă de simetrie Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii x 2 a z2 y2 = 2y sau 2 c2 b z2 2 c = 2x. 2 Intersecţiile paraboloidului hiperbolic de ecuaţie x2 a y2 = 2z cu planele 2 b2 şi axele de coordonate sunt:

22.1. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 315 ˆ intersecţia cu xoy(z = 0): x2 a y2 = 0 două drepte 2 b2 ˆ intersecţia cu xoz(y = 0): x2 = 2z parabolă a2 ˆ intersecţia cu yoz(x = 0): y2 = 2z parabolă b2 ˆ intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2 = 0 O(0, 0, 0) a2 ˆ intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2 = 0 O(0, 0, 0) b2 ˆ intersecţia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0 O(0, 0, 0) ˆ intersecţia cu plane paralele cu xoy(z = z 0 ): x2 a 2 y2 b 2 = 2z 0 hiperbolă 22.1.8 Cilindri Definiţia 22.9. 1. Se numeşte cilindru eliptic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a + y2 1 = 0, unde a > 0, b > 0. 2 b2

316 CAPITOLUL 22. CUADRICE 2. Se numeşte cilindru hiperbolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică x 2 a y2 1 = 0, unde a > 0, b > 0. 2 b2 3. Se numeşte cilindru parabolic o cuadrică pentru care există un reper ortogonal în spaţiu în raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică y 2 = 2px, unde p R.