ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI CU DERIVATE PARŢIALE PRIN EXERCIŢII ŞI PROBLEME

Codruţa Stoica ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI CU DERIVATE PARŢIALE PRIN EXERCIŢII ŞI PROBLEME Ediţia a II-a rvăută şi compltată Editura MIRTON Timişoara

v CUPRINS Capitolul. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL..... Coidraţii tortic...... Ecuaţii cu variabil parabil...... Ecuaţii difrţial omog...... Ecuaţii difrţial liiar d ordiul...... Ecuaţii d tip Broulli.....5. Ecuaţii d tip Riccati.....6. Ecuaţii cu difrţială totală actă...5..7. Ecuaţii implicit...5.. Problm rolvat...9.. Problm propu...6 Capitolul. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR..... Coidraţii tortic...... Ecuaţii difrţial d ordi uprior itgrabil pri cuadraturi...... Ecuaţii difrţial d ordi uprior car admit rducra ordiului...... Ecuaţii difrţial d ordi uprior liiar...6... Ecuaţii difrţial d tip Eulr...9.. Problm rolvat...9.. Problm propu...6 Capitolul. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE...68.. Coidraţii tortic...68... Rducra la o igură cuaţi d ordi uprior...68... Sitm imtric, combiaţii itgrabil...69... Sitm difrţial liiar...7... Sitm d cuaţii difrţial liiar cu coficiţi cotaţi...7..5. Stabilitata oluţiilor itmlor...7.. Problm rolvat...76.. Problm propu...9

vi Capitolul. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL.. Coidraţii tortic...... Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul liiar şi omog...... Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul liiar şi omog..... Problm rolvat..... Problm propu... Capitolul 5. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL DOI. ECUAŢIILE FIZICII MATEMATICE...5 5.. Problm propu...5 Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul d tip hiprbolic...5 Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul d tip parabolic...7 Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul d tip liptic... Ecuaţii cu drivat parţial d ordiul d tip mit...7 5.. Problm rolvat...5 Capitolul 6. METODE OPERAŢIONALE PENTRU REZOLVAREA UNOR ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE...6 6.. Coidraţii tortic...6 6.. Problm rolvat lgat d traformara Laplac dirctă şi d traformara Laplac ivră...6 6.. Problm propu î a căror rolvar foloşt traformara Laplac...7 6.. Rolvara problmi Cauch ptru cuaţii difrţial liiar...8 6.5. Rolvara problmi Cauch ptru itm d cuaţii difrţial liiar...8 6.6. Ecuaţii cu argumt îtâriat...86 6.7. Ecuaţii cu drivat parţial...88 6.8. Problm propu...9

vii Capitolul 7. METODE OPERAŢIONALE DISCRETE. ECUAŢII CU DIFERENŢE FINITE...99 7.. Coidraţii tortic...99 7.. Problm rolvat... 7.. Problm propu...5 Aa. Traformatl Laplac al uor fucţii uual... Aa. Traformatl al uor fucţii uual... BIBLIOGRAFIE...5

. Ecuaţii difrţial d ordiul Capitolul. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL.. Coidraţii tortic S umşt cuaţi difrţială ordiară cu o fucţi cuocută d ori drivabilă : I R, I itrval, o rlaţi F (, (, (,..., ( ( d îtr variabila idpdtă şi (, (,..., ( ( d d d ud F: D R, D R. Rlaţia mai cri F(,,,..., ( şi umşt forma implicită a cuaţii difrţial. Dacă rlaţia d dfiiţi rapar drivata d ordiul a fucţii, acata fiid drivata d cl mai mar ordi fctiv prtă, pu că t o cuaţi difrţială d ordiul. O fucţi f: I R, I R, d ori drivabilă p I ptru car F(, f(, f (,..., f ( ( umşt oluţi a cuaţii difrţial. Dacă oluţia f( a cuaţii difrţial rprită grafic î plaul O, curba obţiută umşt curbă itgrală a cuaţii difrţial. Dtrmiara tuturor oluţiilor ui cuaţii difrţial umşt itgrara cuaţii. D mult ori cuaţia difrţială poat cri ub forma ( ( ϕ(, (, (,..., (- (, ϕ: D R, D R. Acata umşt forma ormală au plicită a cuaţii difrţial.

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Î mult problm practic t cară dtrmiara ui oluţii a ui cuaţii difrţial, car îdplişt aumit codiţii dat, umit codiţii iiţial. Problma rolvării cuaţii dat ştiid că î puctul I avm (, (,..., (- ( (- umşt problma lui Cauch rlativă la cuaţia difrţială. Ecuaţiil difrţial a căror rolvar rduc la calculul câtorva itgral dfiit umc cuaţii itgrabil pri cuadraturi. Vom trata î act capitol cuaţiil difrţial d ordiul itgrabil pri cuadraturi, împruă cu mtodl lor d itgrar.... Ecuaţii cu variabil parabil Ecuaţiil difrţial d forma d f(g( d î car fucţiil f: [a, b ] R şi g: [a, b ] R ut itgrabil, umc cuaţii difrţial cu variabil parabil. S pară variabill î mmbri difriţi după cum urmaă: şi pri itgrar obţi d f(d g( dt g( t ud, [ a, b ] şi, [a, b ]. Notâd: G( dt g( t f ( d,, F( f ( d şi φ(, G( - F(, oluţia cuaţii va fi dfiită implicit pri rlaţia: φ(,.

. Ecuaţii difrţial d ordiul... Ecuaţii difrţial omog Ecuaţiil difrţial d forma f(, ud f t fucţi omogă î şi umc cuaţii difrţial omog. O fucţi f: R R t omogă î şi dacă ptru oric t R ar loc rlaţia f(t, t f(,. Ptru rolvar traformă cuaţia dată î şi ubtitui apoi f(, u. S obţi o cuaţi cu variabil parabil. ud -a otat du [ φ(u u], d φ(u f(, u, φ fiid coidrată cotiuă ptru u [α, β]. Dacă φ(u u î [α, β], adică f(,, rultă: u u dt ϕ( t t d, u, u D aici obţi u şi apoi oluţia cuaţii omog dat.... Ecuaţii difrţial liiar d ordiul Ecuaţiil difrţial d forma P( Q( ud P, Q:[a, b] R ut fucţii cotiu, umc cuaţii difrţial liiar d ordiul.

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Dacă Q(, atuci cuaţiil umc liiar omog. Câd Q(, cuaţiil umc liiar omog. Soluţiil gral ut dat d rlaţia P( d P( t dt ( [ C Q( t dt ], C cotat. t... Ecuaţii difrţial d tip Broulli Ecuaţiil difrţial d forma P( Q( α î car P, Q:[a, b] R ut fucţii cotiu p domiul lor d dfiiţi, iar α R umc cuaţii difrţial d tip Broulli. Ptru α au α cuaţiil dvi liiar. Vom trata î cotiuar cauril α, α. Evidt, fucţia cotată t o oluţi a cuaţii. Fi o oluţi poitivă a cuaţii dat p u itrval [a, b ] [a, b]. S fac chimbara d fucţi u( [(] - α şi obţi cuaţia difrţială liiară d ordiul : u ( ( αp(u( ( αq(...5. Ecuaţii difrţial d tip Riccati Ecuaţiil difrţial d forma P( Q( R( ud P, Q, R:[a, b] R ut fucţii cotiu p [a, b] umc cuaţii difrţial d tip Riccati. Î gral, cuaţia difrţială d act tip u poat itgra pri cuadraturi. Î caul î car cuoaşt o oluţi particulară ( fac chimbara d fucţi ( (. u(

. Ecuaţii difrţial d ordiul 5 După ubtituţiil adcvat, fucţia u va dtrmia di cuaţia difrţială liiară u ( [P(u( Q(]u( P(...6. Ecuaţii cu difrţială totală actă Ecuaţiil difrţial d forma P(, d Q(, d cu P, Q: D R cotiu p domiul D R, umc cuaţii cu difrţială totală actă dacă ită o fucţi U(, atfl îcât U P, U Q. Dacă fucţiil P şi Q admit drivat parţial d ordiul, atuci codiţia ca pria ă fi o difrţială totală actă t ud P(, d Q(, d P Q. Î act ca oluţia cuaţii va fi dată implicit d U(, C, C cotat, cu M(, D covabil al. U(, P( t, dt Q(,t dt,..7. Ecuaţii difrţial implicit Ecuaţiil difrţial d ordiul implicit ut d forma F(,, ud F: D R, D R, atfl îcât cuaţia u t rolvabilă î raport cu. Acată cuaţi itgraă pri mtoda Sophu Li atfl: ataşăm cuaţii uprafaţa

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm obţiută îlocuid variabila cu. F(,, Ui oluţii ϕ( a cuaţii îi ataşăm curba (C d p uprafaţa dfiită atrior avîd cuaţiil paramtric: D-a lugul curbi (C ar loc (C ϕ ( ϕ' ( d d. Rciproc, dacă p uprafaţa F(,, ită o curbă (C rprtată pri cuaţiil paramtric (C ϕ ( ψ ( d-a lugul căria ar loc galitata d d, atuci proicţia acti curb î plaul O furiaă o oluţi a cuaţii difrţial dat. Prupuâd că cuoaşt o rprtar paramtrică a uprafţi d forma obţim f(u,v g(u,v, (u, v Ω R, h(u,v g g f f du dv h( u,v ( du dv. u v u v dv du Rolvăm acată cuaţi î raport cu au cu. du dv Prupum că am obţiut atfl dv G(u, v, (u, v Ω. du Dacă v w(u t o oluţi a acti cuaţii, atuci oluţia corpuătoar a cuaţii dat t

. Ecuaţii difrţial d ordiul 7 Cauri particular: ud f: Ω R, Ω R. f ( u,w( u. g( u,w( u. Ecuaţii car pot plicita î raport cu ub forma f(,, Î act ca mtoda Sophu Li coduc la uprafaţa cu rprtara paramtrică f (, p p Codiţia d d t î act ca pd, (, p Ω R. f f d dp p şi coduc la cuaţia difrţială plicită d G(, p, dp ud G(, p f p f p. Ecuaţia difrţială a lui Lagrag t d forma A( B( ud A, B ut fucţii dpiâd umai d. Dacă A(, codiţia d pd dvi d dp car t liiară î ca fucţi d p. A' ( p B' ( p, A( p p A( p p Notâd oluţia grală a acti cuaţii ϕ(p, c, c cotat,.

8 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm rultă că mulţima oluţiilor cuaţii lui Lagrag î fucţi d paramtrul p ar forma ϕ( p,c, c R. A( p ϕ( p,c B( p Dacă A(p p ar rădăciă rală p p, atuci fucţia p B(p rprtâd o draptă t o oluţi igulară a cuaţii lui Lagrag.. Ecuaţia difrţială a lui Clairaut t Codiţia d pd coduc la d ud rultă familia d fucţii A( dp [ A (p] d c A(c, c R D A, car t oluţia grală a cuaţii lui Clairaut. D ama, fucţia dfiită paramtric pri A' ( p pa' ( p A( p t o oluţi igulară a cuaţii lui Clairaut, fiid îfăşurătoara familii d drpt.

. Ecuaţii difrţial d ordiul 9.. Problm rolvat... Să itgr cuaţia: d, R. d Soluţi: Ecuaţia t chivaltă cu mmbri avm dt t ( l l d d. Itgrâd ambii d, dci oluţia dfişt implicit pri iar plicit pri (.... Să rolv problma Cauch: d d ( Soluţi: Ecuaţia t chivaltă cu d d dt d dci ar loc şi atuci l t lc l. Pri t urmar t C, C cotat. Dacă ptru avm t obţi C, dci oluţia implicită t. Acata a fot rolvara lui Cauch rlativă la problma dată. Obrvăm că poat îlocui itgrara dfiită, atuci câd cr rolvara ui problm Cauch, cu itgrara dfiită, problma Cauch rvid la citata dtrmiării cotati arbitrar C car rultă pri itgrar.

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm... Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch: d d ( Soluţi: Ecuaţia t chivaltă cu d ud, pri itgrar, rultă Pri urmar, d d, C, C cotat. ( ( C. Codiţia ( impu C - şi obţira oluţii ( (.... Să rolv cuaţia: Soluţi: Obrvăm că. ( ( dci cuaţia t omogă. Facm ubtituţia idicată u, d ud u u d rultă u u, dci u ( u adică du. u u Itgrâd cuaţia cu variabil parabil obţim dci arctgu ( u du u l( d ud, rvid la, dduc u d l lc

. Ecuaţii difrţial d ordiul arctg car dcri implicit oluţia cuaţii...5. Să rolv cuaţia: C, C cot,. Soluţi: Ecuaţia cri ub forma chivaltă: au ( Făcâd ubtituţia u, d ud u u, obţi u u adică o cuaţi cu variabil parabil du d u obţi - l (u l l C şi mai dpart C. u Soluţia implicită a cuaţii dat t C, C cotat şi dcri o famili d crcuri tagt î origi la O...6. Rolvaţi cuaţia: ( 5 d ( d. u, u. Pri itgrar Soluţi: Ecuaţia difrţială, rductibilă la o cuaţi omogă, poat fi criă ub forma: - 5. Drptl d cuaţi - 5 şi itrctaă î puctul M(-,, ca c impu chimbara d variabil u - şi v, car va coduc la cuaţia omogă dv du u v. u v Î cotiuar, făcâd chimbara d fucţi v u, cu v u, obţi cuaţia cu variabil parabil

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm d car ar oluţia Cu, C cotat. Rvid la chimbăril d ( fucţii făcut, rultă oluţiil cuaţii iiţial du u C(, C R...7. Dtrmiaţi oluţiil cuaţii: ( -. Soluţi: Pri ubtituţia u m, m R, cuaţia dată t rductibilă la o cuaţi omogă. Dtrmiăm valoara lui m, după cum urmaă, pri îlocuir î cuaţia iiţială: m u m u u m. Di codiţia m m rultă m, dci chimbara d fucţi car impu t u, a coducîd la cuaţia omogă uu u, căria, î urma fctuării chimbării d fucţi u, i dtrmiă oluţia, C >. lc Rvid la chimbăril d fucţii fctuat obţi oluţiil cuaţii dat: (..8. Să rolv cuaţia: ( lc (. Soluţi: Obţim forml chivalt d ( d,,,c >. d d d, d( d(,

. Ecuaţii difrţial d ordiul d ud rultă oluţia implicită a cuaţii C, C cotat. Obrvaţi: Problma mai puta fi oluţioată şi pri rducra i la o cuaţi omogă, ţiâd cot d procdul prtat î rciţiul atrior, pri chimbara d variabilă u...9. Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch ( d d ( ( Soluţi: Ecuaţia poat cri ub forma d d, fiid o cuaţi liiară omogă cu P(. Acata poat fi privită ca o cuaţi cu variabil parabil au poat fi rolvată dirct pri d ( C. Ţiâd cot şi d codiţia ( obţi oluţia problmi Cauch (... Să rolv cuaţia:, cotat. Soluţi: S obrvă că t o cuaţi liiară omogă, cu P( - şi Q( -..

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Ecuaţia liiară omogă ataşată t chivaltă cu dci d d d şi avm l l l c, d ud c, c cotat. Căutăm acum oluţia cuaţii omog variid cotata c pri mtoda lui Lagrag, dci d forma c(. Obţim c c şi îlocuid î cuaţia iiţială avm c c c, dci c - şi pri urmar c -. Itgrâd, rultă c - q şi oluţiil ut - q, ud şi q ut cotat.... Să rolv problma Cauch: ' ( ( Soluţi: Ecuaţia t liiară omogă, avâd P( şi Q( Rolvâd cuaţia liiară omogă ataşată obţim o cuaţi cu variabil parabil d cu oluţia l l( lc, dci c(, c cotată. Ptru aflara oluţii cuaţii omog, aplicăm mtoda lui Cauch d variaţi a cotati: d ( c(( şi obţim ( c(. Di codiţia ( rultă că. d c, iar oluţia problmi Cauch t (. Problma mai poat fi oluţioată şi pri utiliara formuli ptru oluţia grală a cuaţii liiar d ordiul.

. Ecuaţii difrţial d ordiul 5... Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch: d d ( Soluţi: Ecuaţia poat cri ub forma d d, fiid o cuaţi liiară omogă cu P( şi Q(. Soluţiil vor fi dat d ( [ C ( d ], d ud rultă ( ( C. Ţiâd cot d codiţia (, obţim oluţia problmi Cauch (... Să rolv cuaţia: (.. Soluţi: Schimbâd rolul variabillor, coidrâd dci cuaţia î d cuocuta ( obţim, car t o cuaţi liiară d omogă cu P( şi Q (. Obţim oluţiil C, C cotat.... Dtrmiaţi fucţia f: R R atfl îcât tagta î puctul M (, al graficului fucţii ă itrct aa O îtr-u puct d ordoată. Soluţi: Ţiâd cot d cuaţia tagti îtr-u puct M (, al graficului ui fucţii f ( ( şi d faptul că puctul d itrcţi cu aa O t A(, - obţim următoara rlaţi f ( f (, R. Pri rolvara acti cuaţii difrţial d ordiul liiar şi omog obţi fucţia f: R R dată d f( (C l, C cotat.

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm..5. Să rolv cuaţia:. Soluţi: Cum α, făcâd chimbara d fucţi u obţim u şi, pri urmar, uu, d ud avm uu u u şi u(u u. Doarc t oluţi şi obţi ptru u, coidrăm caul u u, dci u u, car t cuaţi liiară omogă cu oluţia iar oluţia cuaţii Broulli va fi u(..6. Să rolv cuaţia: d, ( [u(].. Soluţi: Ecuaţia t d tip Broulli cu α. Făcâd chimbara du d fucţi u obţim u u u, dci cuaţia liiară d omogă u - u u cu P( şi Q(. Soluţia acti cuaţii t u ( l C, d ud ( l C, C cotat.

. Ecuaţii difrţial d ordiul 7..7. Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch: d d ( Soluţi: Ecuaţia cri ub forma d d. Cum α -, facm chimbara d fucţi u, d ud u. d du Atuci şi pri îlocuir î cuaţia dată obţi d u d du u, adică o cuaţi liiară omogă cu P( şi d Q (. Soluţia acti cuaţii t u( C, C cotat. Pri urmar, oluţia grală a cuaţii Broulli va fi ( C. Ţiâd cot că ( rultă C, d ud rultă oluţia problmi Cauch ( (...8. Dtrmiaţi oluţia cuaţii d tip Broulli c trc pri puctul M(,5: l. Soluţi: Cum α fac chimbara d fucţi coduc la o cuaţi liiară omogă u - u( ( C l, C cotat. u u l, cu oluţia, ca c

8 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Atuci (. ( C l Di ( 5 rultă oluţia problmi Cauch ( [ ( 5l..9. Să rolv cuaţia difrţială a b α ştiid că ab < şi că fucţia, ud α t rădăciă a cuaţii aα α b, vrifică cuaţia dată. - Soluţi: Facm chimbara d fucţi u u ' α. Atuci ]. α, d ud obţim u u' u α a u aα α a u b şi ţiâd ama că α vrifică cuaţia dată rultă u Ecuaţia t liiară omogă cu oluţiil a u ( c aα aα u - a. aα d ud obţim oluţiil cuaţii Riccati aα aα P( şi Q( a avâd a, c cotat, ( aα α( aα c (. aα [( aα c a ]

. Ecuaţii difrţial d ordiul 9... Să rolv cuaţia:, cuocâd că admit o oluţi particulară d forma uui poliom d gradul I. Soluţi: Ecuaţia t d tip Riccati cu P(, Q(, R(. Soluţia particulară fiid u poliom d gradul I, d forma a b, car vrifică cuaţia, obţi a şi b -, dci oluţia particulară t. Facm chimbara d fucţi şi obţim cuaţia u difrţială liiară omogă Soluţiil vor fi dat d u ( u -. ( c d, c cotat.... Rolvaţi următoara cuaţi difrţială, ştiid că admit oluţia particulară p. Soluţi: Ecuaţia t d tip Riccati cu P(, Q (, u' R (. S fac chimbara d fucţi d ud ' şi u u 5 pri urmar ajug la o cuaţi liiară omogă u - u, car ar oluţiil u( C 5, C cotat. Soluţiil cuaţii dat vor fi 5 d forma 5 ( 5C 5.

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm... Rolvaţi cuaţia d 5. d Soluţi: Ecuaţia t d tip Riccati cu P( -, Q(, R( 5. Căutăm oluţii particular ub forma uui poliom d gradul, ( a b. Pri îlocuir î cuaţi rultă a şi b. S fac chimbara d fucţi u -. Ecuaţia dată dvi o cuaţi cu variabil parabil C cu oluţiil u( C iiţial vor fi u du d, u, C cotat. Pri urmar oluţiil cuaţii C ( C... Să itgr cuaţia difrţială ( i d i d. Soluţi: Obţim P(, i şi Q(, - i. P Q i co dci cuaţia t cu difrţială totală actă. Soluţia va fi dată d fucţia U(, ( t i dt şi va prima implicit pri... Să rolv cuaţia:. i tdt co C, C cotat. ( d d. co Soluţi: Avm P(, şi Q(,. Atuci P Q,

. Ecuaţii difrţial d ordiul dci cuaţia t cu difrţială totală actă. Soluţia va fi dată d fucţia U (, ( t t dt tdt, şi va prima implicit pri C, C cotat...5. Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch: ( m d ( ( d, m, N m Soluţi: Cum P(,, Q(, P Q şi, cuaţia t cu difrţială totală actă. Soluţiil vor fi dat d rlaţia ( t m t dt ( t t t dt C, C cotat. t Avâd îă î vdr codiţia (, adică şi, obţi oluţia implicită a problmi Cauch m m..6. Să itgr cuaţia l. ( d ( ( d, căutâd u factor itgrat fucţi d, d forma μ(. Soluţi: Ptru P(, ( şi Q(, ( ( P Q avm. Pri urmar va dtrmia u factor itgrat μ( car ă îdpliacă codiţiil: Rlaţia μ [ μ ( ( ] [ μ( ] şi

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm μ ( ( μ( ( μ( μ( dμ d coduc la cuaţia difrţială cu variabil parabil cu μ oluţiil μ, cotat. Pri urmar factorul itgrat al ( cuaţii poat fi coidrat μ (. Îmulţid cuaţia dată cu ( factorul itgrat dtrmiat, obţi cuaţia cu difrţial total act Soluţia t dată d d ( t ( t t ( dt d. ( t dt C. Luâd obţim ca oluţii al cuaţii iiţial curbl itgral d cuaţi ( C(, C cotat...7. Să rolv cuaţia: Soluţi: Avm A( ' ' Lagrag. Obţim forma chivaltă otăm d pd au p şi obţim ( p Avm două poibilităţi, şi aum p ( p ' şi B(, cuaţia fiid d tip ' '. Cum A(, ( ' p. Pri drivar rultă ( p dp d. a. p (doarc p, pri urmar obţi oluţia igulară ;

. Ecuaţii difrţial d ordiul b. dp p d, d ud c(p-, c cotat. Soluţiil gral al cuaţii l crim ub forma paramtrică c(p, cp, p R \ {}...8. Dtrmiaţi oluţia cuaţii difrţial π car itrctaă aa O ub u ughi d măură. ' Soluţi: Ecuaţia poat cri ub forma ', fiid o ' cuaţi d tip Lagrag cu A( - şi B( -. Cum A(, d otaă d pd au p şi obţi cuaţia, dp p cuaţi liiară î ca fucţi d p. Atuci va rulta dp dp p p dp C ( C, d ud p, C cotat. p Pri urmar, cuaţiil paramtric al curblor itgral ut C p p p. C p 6 Curba itgrală car tai aa O ub u ughi d măură π obţi ptru C 6 şi ar cuaţiil paramtric..9. Să rolv cuaţia: p p 6 p p p, p R. 6

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm ' '. Soluţi: Ecuaţia t d tip Clairaut cu A( '. Notâd dp d pd, obţi ( p, d ud rultă oluţia d grală ub formă paramtrică p p,, p R. p p... Rolvaţi cuaţia (i. Soluţi: Ecuaţia, car mai cri ub forma i, t d tip Clairaut cu A( i. Notăm d pd şi obţim dp cuaţia ( p i p, d ud rultă itgrala grală a cuaţii d lui Clairaut C C ic, C R au oluţia grală ub formă paramtrică - i p pco p, - p co p, p R.... Să rolv cuaţia: (. Soluţi: Ecuaţia t d forma F(, şi rolvă pri d mtoda Sophu Li. Notăm şi obţim. Cum d rultă d d d, d ud Soluţiil gral al cuaţii ut d C, C cotat., arctg C, R.... Dtrmiaţi oluţiil cuaţii:

. Ecuaţii difrţial d ordiul 5 Soluţi: Ecuaţia fiid d forma F(,, mtoda Sophu Li coduc la uprafaţa cu rprtara paramtrică ud p p p, (, p R d. Pri urmar, otaă p şi obţi cuaţia d p p. dp Drivâd rultă pp p p - p, adică ( p (. d S obţi două cauri, şi aum: a. p, p, p R, car rprită oluţia igulară a cuaţii; b. dp, d ud p C, C cotat şi atuci C C, d car t oluţia grală a cuaţii.... Să rolv cuaţia: l. Soluţi: Ecuaţia t d tipul F(, şi rolvă pri mtoda Sophu Li, puâd p. S obţi cuaţia p lp, d ud pri drivar î raport cu (coidrăm şi p fucţi d, rultă p dp dp p. d p d Î cotiuar obţi o cuaţi liiară î, omogă d dp p, p p cu oluţia ( C arci p, p (-,. Soluţia grală a p cuaţii iiţial va fi atuci:

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm p ( C arci p l p p, p (-,, C cotat. ( C arci p p.. Problm propu Să rolv următoarl cuaţii difrţial şi problm Cauch:... ' l, >, ( Răpu: l.... ' ( Răpu:... c( (, c cotat. ' co co Răpu: l tg co c, c cotat.... Răpu:..5. ( tg. d d i π ( ' Răpu: l c, c cotat...6. Răpu: l(...7. ( ' (

. Ecuaţii difrţial d ordiul 7 Răpu: ( (. ' ( (..8. ( d d Răpu: ( l( c, c cotat...9. '. Răpu: c, c cotat. c..., Răpu: c(, c cotat.... ' 6 Răpu: c 5 (, c cotat.... Dtrmiaţi oluţia cuaţii 5, car trc pri puctul M(,. Răpu: l 5l 6 5l5.... d d Răpu: ( ( c(, c cotat. '... ( i co ( co i Răpu: co c, c cotat...5. ( 5 d ( d Răpu: 5 c, c cotat.

8 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm..6. ' tg co Răpu: i cco, c cotat...7. Răpu: ' c, c cotat...8. ' co i co Răpu: cco i co, c cotat...9. ' ( Răpu: c, c cotat.... ' tg co c i Răpu:,c cot. co co... ( ' c Răpu: c cot.... ' co i co i Răpu: c i,c cot.... ' i co Răpu: Ctg,C cot. co... ' ( Răpu:.

. Ecuaţii difrţial d ordiul 9..5. co Răpu: ( ' (..6. ' l Răpu: ( c l,c cot...7. Răpu:. ' (..8. ' ( co Răpu:,c cot. i c..9. Să rolv cuaţia difrţială ' co i i tg ştiid că admit oluţia particulară p. co co Răpu:,c cot. co c co... Să rolv cuaţia difrţială ' ştiid că o oluţi particulară t. Răpu:,c cot. c p

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm... Rolvaţi cuaţia difrţială ' 6 dacă admit ca oluţi u poliom d gradul. Răpu:,c cot. ( c d... ( d ( d Răpu: c,c cot.... ( ( d d d d Răpu: ( ( c,c cot.... d d d Răpu: c,c cot...5. d ( ( d d Răpu: c,c cot...6. ( Răpu: 8. d ( ( d..7. ( co i d ( i co d Răpu: ( i co i c...8. d ( d d( Răpu: ( c,c cot...9. ' ( '

. Ecuaţii difrţial d ordiul Răpu: Soluţia grală c,c cot. au oluţi igulară c dfiită paramtric,, p R *. p p... ' l ' Răpu: Itgrala grală c l c,c cot. au itgrala igulară dată paramtric, l p, p >. p... ' i ' Răpu: Soluţia igulară dfiită paramtric ( c co p i p,c cot, p R * p... ( ' ( ' c i p co p, p p p Răpu: p p c, p p,c cot. şi au..... ' 5 ( ' Răpu:, c c,c cot. 5... Răpu:..5. p p p c, ' ' p p,c cot, p R ( ' ' ( Răpu: c l,c cot...6. Răpu: Soluţi paramtrică i l i p l p p i p co p p C

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm p R, p >, C cotat...7. Arătaţi că poliomul P ( C atifac o aumită cuaţi difrţială d ordiul car va fi dtrmiată. Răpu: P ( ' ' P ( P (. S foloşt idtitata C ( C(, N*...8. Dtrmiaţi fucţiil f: R R drivabil p R car atifac rlaţia Răpu: f( şi f( -. f ( f(-, R...9. Fi a, b umr ral dat. Dtrmiaţi fucţiil f: R R drivabil p R car atifac rlaţia Răpu: f( f ( bf( - a. [ ] b ( a.!..5. Dtrmiaţi cuaţia curbi di pla atfl îcât lugima gmtului dtrmiat p tagta la curbă îtr-u puct oarcar al actia d al d coordoat ă fi gală cu. Răpu:.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior Capitolul. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR.. Coidraţii tortic Fi cuaţia difrţială d ordiul F(,,,..., ( ud F:D R, D R, :[a, b] R drivabilă d ori p [a, b].... Ecuaţii difrţial d ordi uprior itgrabil pri cuadraturi Ecuaţiil difrţial d ordiul a căror oluţi grală poat dtrmia pri ua au mai mult itgrări umc itgrabil pri cuadraturi.. Ecuaţii difrţial d forma ( f( ud f:[a, b] R t o fucţi cotiuă. Pri itgrări ucciv obţi: ( t dt dt ud c i, i {,,, - } ut cotat.. Ecuaţii difrţial d forma t c c... f ( t dt... (! (! ( ( f (. c Notâd (, cuaţia aduc la forma f(

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm car t o cuaţi d ordiul cu variabil parabil.. Ecuaţii d forma ( ( f (. Notăm (- şi î ipota ( cuaţia dvi S obţi ( ' ( ' ' ' car t o cuaţi d tipul atrior. f ( ( ( ( ( ( Φ (,,.... Ecuaţii difrţial d ordi uprior car admit rducra ordiului. Ecuaţii difrţial î car mmbrul tâg t drivata î raport cu a ui cuaţii difrţial ud F(,,,..., ( d ( F(,,,..., ( Φ (,, ',..., d D aici rultă că Φ (,, ',..., ( c, c cotat şi dci itgrara cuaţii d ordiul rduc la itgrara ui cuaţii d ordiul -.. Ecuaţii difrţial d forma Notâd ( ( p ( p ( f (,,...,, ud p <. obţim o cuaţi d ordi ( - p (p ( - p f(,,,..., ( p -.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 5. Ecuaţii difrţial car u coţi variabilă idpdtă Pri ubtituţia obţi Ecuaţia dvi: ( f(,,..., ( -. d '' ' d d d d d ''' ( ş.a.m.d. d d d d dci ordiul a căut cu o uitat. al d d F(,,,...,, d d. Ecuaţii difrţial omog î raport cu fucţia şi cu drivatl Ecuaţia difrţială ud f atifac rlaţia f(,,,..., ( f(,,,..., ( m f(,,,..., ( ptru oric R umşt omogă î raport cu fucţia şi drivatl i. Făcâd ubtituţia obţi pri calcul ' d d " d ' d ''' d d " ' şi î cotiuar o cuaţi d ordiul -. 5. Ecuaţii difrţial omog î,, d, d,..., d. Ecuaţia difrţială f(,, d, d, d,... d

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm î car f(,, d, d,... m f(,, d, d, d,... ptru oric R umşt cuaţi difrţială omogă î,, d, d, d,..., d. obţim Făcâd ubtituţiil t, u t d t dt d (du udt t d [d u dudt u(dt ] t Rultă o cuaţi car u coţi plicit p t, dci căria i poat dimiua ordiul.... Ecuaţii difrţial d ordi uprior liiar Ecuaţia difrţială d forma ( a ( (-... a ( f(, ud a, a,..., a, f: [a, b] R ut fucţii cotiu, umşt cuaţi difrţială liiară d ordiul. Dacă f cuaţia umşt omogă. Dacă f cuaţia umşt omogă. Soluţia grală a cuaţii difrţial liiar şi omog t c c... c ud c, c,..., c ut cotat arbitrar, iar,,..., t itm fudamtal d oluţii al cuaţii dat. Ptru a itgra cuaţia difrţială şi omogă foloşt mtoda variaţii cotatlor a lui Lagrag. Vom căuta oluţia cuaţii ub forma c ( c (... c (. P lâgă codiţia ca fucţia ă vrific cuaţia car coţi fucţii cuocut c (, c (,..., c (, vom mai impu - codiţii car vor fac ca î calculul drivatlor,,..., (- ă u figur drivatl fucţiilor c, c,..., c, dci

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 7 c ' c ( ' c ' ' S obţi următoarl rlaţii c c c (... c... c... c... c c ' ' ' c ( ( ( ' ud,,..., ut cotat oarcar. f f f... ' ' ' ' ( d ( d ( d Soluţia grală a cuaţii omog t (... f ( d... f ( d, adică uma ditr oluţia grală a cuaţii omog corpuătoar şi o oluţi particulară a cuaţii omog. Vom prta o mtodă d găir a uui itm fudamtal d oluţii î caul cuaţiilor difrţial liiar şi omog cu coficiţi cotaţi. O atfl d cuaţi t d forma ( a (-... a, ud a, a,..., a ut umr ral au compl. Actia i ataşaă cuaţia caractritică r a r -... a. Fucţia r t oluţi a cuaţii difrţial dacă şi umai dacă r t o oluţi a cuaţii caractritic. Sut poibil mai mult cauri. a. Rădăciil r, r,..., r ut impl şi ral. Atuci ( r,..., ( r rprită u itm fudamtal d oluţii. Itgrala grală a cuaţii t r r r c... c c, ud c, c,..., c ut cotat. b. Cl puţi o rădăciă implă t complă. Fi acata r abi. Câd coficiţii cuaţii ut rali, atuci şi r a - bi t oluţi.

8 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Fucţiil a co b şi a i b vor fi oluţii ral al cuaţii difrţial, car, împruă cu cl găit ptru oluţiil ral al cuaţii caractritic, formaă tot u itm fudamtal d oluţii. c. Dacă o rădăciă r R t multiplă d ordiul p atuci acti rădăcii îi vor corpud oluţiil di itmul fudamtal r r r r p,,,..., p p-. d. Dacă o rădăciă r a bi C t multiplă d ordiul p, atuci î itmul fudamtal vom obţi oluţiil p a a... p co b co b a co b p a a... p i b i b a i b Itgrala grală a ui atfl d cuaţii va fi combiaţia liiară a itgrallor itmului fudamtal, coficiţii fiid cotatl c, c,..., c. Ecuaţia liiară şi omogă cu coficiţi cotaţi rolvă pri mtoda variaţii cotatlor. Dacă trmul libr t d forma f ( α [P( co β Q( i β], ud α, β R, iar P( şi Q( ut polioam, atuci cuaţia liiară şi omogă admit o oluţi patriculară d forma p ( α [P ( co β Q ( i β] q, ud P ( şi Q ( ut polioam atfl îcât grad P ( grad Q ( ma { grad P(, grad Q(}, iar q t ordiul d multiplicitat al rădăciii α iβ a cuaţii caractritic a cuaţii difrţial.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 9... Ecuaţii difrţial d tip Eulr O cuaţi difrţială d forma a ( a - (-... a - a f( ud a, a,..., a ut cotat, a, umşt cuaţi d tip Eulr. Notâd t şi obrvâd pri calcul că d d d d, dt d d d (,..., dt dt după îlocuir cuaţia traformă îtr-o cuaţi liiară cu coficiţi cotaţi Aalog, ptru cuaţia b d d b... b dt dt f ( t d d a ( a a( a... a d d f (, practică chimbara d variabilă a t ptru a obţi o cuaţi liiară cu coficiţi cotaţi... Problm rolvat... Să tudi mişcara p o draptă a uui mobil cu maa uitară, ştiid că l t rpi faţă d u puct fi cu o forţă proporţioală cu ditaţa la act puct fi. Soluţi: Luâd puctul fi drpt origi, iar (t fucţia dcriid ditaţa d la puct la mobil, cuaţia difrţială a mişcării t, >. Îmulţid ambii mmbri cu dt d, rultă dt d d ud, d itgrâd, obţim ' c, iar mai dpart dt. c Ptru c dducm l( ( t t, t cotat. Di acată rlaţi avm ( tt şi ( tt

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm ptru că îmulţid mmbru cu mmbru act două galităţi obţim o idtitat. Pri aduara lor rultă car t lga d mişcar căutată. h ( t t... Să rolv problma Cauch ''' l, > ( ' ( '' ( Soluţi: Pri itgrări ucciv obţi drivatl d ordiul şi al fucţii, dat d următoarl rlaţii, l C, ' l C C, d ud l C C C. 6 6 Di codiţiil iiţial obţi următoarl valori al cotatlor C, 9 C, C. Pri urmar, oluţia problmi Cauch t 8 l 6 6... Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch ''' " ( ' ( "( 9 8 Soluţi: Notâd, obţi cuaţia cu variabil parabil d d, cu oluţiil l( C, C cotat, d ud ( C C. Rultă au h( C. Rvid C la otaţia făcută obţim h(c, d ud pri itgrări ucciv.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior rultă h( C C C. Di codiţiil iiţial obţi valoril cotatlor C C C. Soluţia problmi Cauch va fi h.... Să rolv cuaţia ( 5 Soluţi: Notâd ( obţi cuaţia cu variabil parabil ' cu oluţia C -. Pri urmar ( C - şi î cotiuar, pri itgrări ucciv, rultă oluţia grală ( C C C C5 C 6..5. Să rolv cuaţia ( ( 9 ( ''', C, C, C, C, C 5 cotat. Soluţi: Coidrăm paramtriara ht şi ( cht. Atuci, di ( d d(, rultă cht d cht dt şi apoi obţi cuaţia cu variabil parabil d dt cu oluţia t C. Pri urmar ''' h( C. Pri itgrări ucciv obţi oluţia grală a cuaţii iiţial C C C 6 ch( C, C, C, C, C cotat. 7..6. Rolvaţi cuaţia difrţială. Soluţi: Fi paramtriara cot şi it. Atuci, di rlaţia d - d( obţi cuaţia cu variabil parabil dt - d, car ar oluţia t - C. Pri urmar co(- C, d ud, pri itgrar, rultă oluţia grală a cuaţii dat - i(- C C, cu C, C cotat.

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm..7. Să rolv cuaţia difrţială Soluţi: Pri îmulţir cu cuaţia dvi cu codiţia cot. Dar acată rlaţi mai cri d ( ', dci ' t o cuaţi chivaltă cu d prima, dar avâd ordiul mai mic cu o uitat...8. Să rolv cuaţia " ( " Soluţi: Notâd t, obţi t - t şi d ( t - tdt. Î cotiuar, pri itgrări ucciv, rultă t t t ' " d t( t dt t t C, C cotat, t t t ' d ( t t C ( t dt, d ud rultă oluţia cuaţii, ub formă paramtrică, ( t t cu t R, C, C cotat. ( t..9. Rolvaţi cuaţia t t C ( t t t 5 Soluţi: Coidrăm rprtara paramtrică ',''' t t,t. 5 C t C Di rlaţia d '' d' rultă d d - tdt, dci " C t, ''' '' C cotat. Cum " d dt obţi d dt, d ud t t C t

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior dt dt C. Atuci ' d C, cu C, C t C t t C t cotat. Familia d curb dfiit paramtric pri rlaţiil obţiut ptru şi rprită oluţia grală a cuaţii iiţial. O... Să itgr cuaţia difrţială a parabollor di plaul ( 5 ''' '', cu codiţia Soluţi: Coidrăm două cauri: a. Dacă, pri itgrări ucciv rultă oluţia grală a cuaţii dat C C C, ud C, C, C cotat. S-au obţiut cuaţiil parabollor cu al d imtri parall cu aa O. b. Dacă, cuaţia iiţială poat cri ub forma următoari rlaţii ( ''' 5 ''', d ud ''' C'', C cotată. '' Notâd obţi cuaţia cu varibil parabil oluţiil ±, C, C cotat. ( C C 5 5d Cd, cu Rvid la chimbara d variabil fctuată, cuaţia difrţială " ( C C coduc pri itgrări ucciv la oluţia grală iar cuaţia ( C C C C C, C " la oluţia grală C C C C C, ud C, C, C, C ut cotat. C

Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Soluţiil gral obţiut rprită cuaţiil parabollor di plaul O al căror a d imtri u ut parall cu aa O.... Să rolv cuaţia difrţială ''' Soluţi: Făcâd ubtituţia, cuaţia rduc la ' car ar oluţia C, C cot. Îlocuid p rultă cuaţia C car, după două cuadraturi ucciv, ar oluţia C ( ( [ ( ] C( C, 6 ud C, C, C ut cotat. "... Să rolv problma Cauch " l ' ' ( 6,( Soluţi: Notăm şi obţim, pri îlocuir î cuaţia iiţială, rlaţia l, car t o cuaţi cu variabil parabil, putâd fi l criă ub forma d d. Pri itgrar rultă l C, C C cotată, d ud obţi mai dpart '. Soluţiil gral al cuaţii dat ut C ( C C ± C şi ( C C. Ţiâd îă cot d codiţiil iiţial obţi oluţia problmi Cauch (.... Să rolv cuaţia difrţială d Soluţi: Facm ubtituţia şi obţim, dci o d cuaţi d ordiul cu variabil parabil. Soluţia a t C

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 5 şi apoi îlocuid avm ' C cu oluţia t dt C C, C, C cotat.... Să rolv cuaţia difrţială Soluţi: Fi p, atuci dp d p dp " p şi ''' p[ p ( ]. d d d d p dp dp Îlocuid î cuaţia dată obţi p[ p ( ] p. d d d Avm pri urmar două cauri: a. p, d ud oluţia cuaţii va fi C, C cotat; dp dp b. p, ca c coduc la ( p ' ( p. Notâd d d dp u' u p obţi u u, d ud. Pri itgrar rultă d u C C lu - l lc, C cotat, apoi u şi ". Rvid la C otaţia u pp' ( p ' obţi ( p ' şi, itgrâd, rultă p - C - C, C cotat, adică p ± C C. Cum p, rlaţia atrioară coduc la cuaţia cu variabil parabil ' ±, cu oluţia implicită ± C C C, C C C C cotat, d ud rultă oluţia cuaţii iiţial C C C ( C, C, C, C cotat...5. Să itgr cuaţia ( Soluţi: Notâd, obţi (, d ud rultă ' cuaţia cu variabil parabil cu oluţia C, (

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm C cotat. Pri urmar, C ( -, d ud pri itgrar obţi oluţiil cuaţii iiţial C ( - - C, C, C cotat...6. Rolvaţi cuaţia difrţială Soluţi: Ecuaţia mai poat fi criă ub forma ( (, d ud, pri itgrar obţi C, C cotat, ca c coduc la ' cuaţia difrţială cu variabil parabil. S ditig tri C cauri, rlativ la valoril poibil al cotati C: a. dacă C >, oluţiil cuaţii iiţial vor fi d forma arctg C b. dacă C, obţim C, C cotat; C, C cotat; c. dacă C <, otăm C - C > şi oluţiil cuaţii dat vor fi dat implicit pri C l C C C C..7. Să rolv problma Cauch " ' ' (, (, C cotat. Soluţi: Dacă otaă, obţi cuaţia liiară omogă ', cu oluţiil ( C d, C cotat, iar mai dpart C. Ţiâd cot că (, rultă (, dci C. Atuci şi ', d ud pri itgrar C. Cum (, obţim C, d ud oluţia problmi Cauch t.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 7..8. Dtrmiaţi oluţia problmi Cauch " ' (,' ( Soluţi: Notâd p obţi cuaţia dată rultă dp d p p dp " p şi pri îlocuir î d, car t o cuaţi d tip Broulli î p ca fucţi d, cu P( -, Q( şi α -. S impu atuci chimbara d variabilă p u, d ud Broulli dvi u' u au u u cuaţi liiară şi omogă, cu oluţia u ( C u' p ' Ecuaţia d tip u u ' u, car t o, C cotat. Pri urmar p ± C. Ţiâd cot d rlaţia p şi d codiţiil iiţial, rultă C -, d ud obţi cuaţia cu variabil parabil d ± d au ( d ± d, avâd oluţiil arcco ± C. Di codiţia ( rultă C, d ud oluţia problmi Cauch t (co - au c...9. Să rolv cuaţia difrţială, Soluţi: Împărţid cuaţia pri ' obţi ", rlaţi car mai poat fi criă şi ub forma ( ' '. Itgrâd

8 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm obţi ' C, adică o cuaţi liiară omogă cu oluţiil ( C C d, d ud rultă şi oluţiil cuaţii iiţial C C, C, C cotat.... Să itgr cuaţia difrţială " ' ( ' " ' Soluţi: Ecuaţia poat fi criă şi ub forma ' au d(l ' l l, d ud pri itgrar rultă d C l ' l ' lc au ' C. Pri urmar, rolvara cuaţii cu variabil parabil d coduc la oluţiil implicit al cuaţii iiţial C C, C, C cotat.... Să rolv cuaţia difrţială ( Soluţi: Ecuaţia t omogă î,,. Făcâd chimbara d variabilă u, obţi cuaţia d ordiul liiară şi omogă u u car mai poat fi criă şi ub forma u ' u şi car ar oluţia C,C, C... Să rolv cuaţia C cotat. " ' ' Soluţi: Ecuaţia t omogă î raport cu,, şi. Facm ubtituţia u, car coduc la u u (u u, şi pri îlocuir î cuaţia dată la (u u u u, chivaltă cu cuaţia d tip Broulli u' u u cu P(, Q( - şi α.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 9 S impu chimbara d fucţi u au, d ud obţim u ( C, C d C. Pri cuaţia liiară omogă ', cu oluţiil cotată. D aici u şi mai dpart d C itgrar rultă oluţia cuaţii iiţial C C, C, C cotat.... Să rolv cuaţia " ' 5' Soluţi: Ecuaţia t omogă î,, şi. S fac chimbara d variabilă d, d ud d d ' şi " ( '. Atuci cuaţia dată dvi d d, d d ( ' 5 5 pri urmar o cuaţi d tip Riccati ' cu P( -, 5 Q(, R( -. S obrvă că o oluţi particulară a cuaţii Riccati t. Vom căuta oluţii d forma, cu u ' ' u. Ecuaţia va dvi u ' u, liiară şi omogă, cu u oluţii d forma u ( C, C cotată, d ud obţi u ( C şi pri urmar. Atuci obţim C ( d C iar oluţiil cuaţii iiţial vor fi d forma C C, C, C cotat.... Să rolv cuaţia difrţială

5 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm 5 6 Soluţi: Ecuaţii difrţial liiar şi omog d ordiul, cu coficiţi cotaţi, i aociaă cuaţia caractritică r - 5r 6, car ar rădăcii ral şi ditict r şi r. Atuci oluţiil cuaţii iiţial vor fi d forma C C, C, C cotat...5. Rolvaţi cuaţia difrţială ( Soluţi: Ecuaţia difrţială d ordiul t liiară şi omogă, avâd cuaţia caractritică r, cu rădăciil r, şi r, i. Soluţiil cuaţii dat ut atuci d forma C - C C co C i, C, C, C, C cotat...6. Să itgr cuaţia 6 Soluţi: Ecuaţia caractritică ataşată cuaţii liiar şi omog d ordiul t r r - r 6 şi ar rădăciil r - şi r, 7 ± i. Soluţiil cuaţii iiţial ut 7 C ( C co C i..7. Să rolv cuaţia 7 (, C, C, C cotat. Soluţi: Ecuaţia caractritică t r r r şi ar rădăciil r, şi r,. Atuci, cuaţia iiţială ar oluţiil d forma C C C C, C, C, C, C cotat...8. Dtrmiaţi oluţiil cuaţii difrţial " co Soluţi: Ecuaţia t liiară şi omogă, d ordiul, cu coficiţi cotaţi, şi dtrmiara oluţiilor prupu parcurgra a două tap: a. rolvă cuaţia omogă ataşată, car ar oluţiil d forma C co C i, C, C cotat;

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 5 b. aplică mtoda variaţii cotatlor a lui Lagrag şi aum dtrmiă oluţii d forma ( C ( co C ( i ptru cuaţia omogă. Fucţiil C şi C obţi di rlaţiil ' C co C i ' ' C i C co co i Pri urmar C ' şi C ', d ud C ( l co, co C, şi cotat. Soluţia cuaţii iiţial va fi d forma ( l co co ( i...9. Să rolv cuaţia difrţială - ( - Soluţi: Ecuaţia t liiară şi omogă, d ordiul, cu coficiţi cotaţi. Ecuaţia omogă ataşată - ar oluţiil d forma C C, C, C cotat. Aplicâd mtoda variaţii cotatlor, căutăm ptru cuaţia omogă oluţii d forma C ( C (. Fucţiil C şi C dtrmiă di rlaţiil C ' ' ' ' C C ' C ' ' S obţi atuci C şi C, d ud rultă C l( şi C arctg. Soluţiil cuaţii iiţial vor fi d forma [ l( ] (arctg,, cotat.... Rolvaţi cuaţia difrţială

5 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Soluţi: Ptru dtrmiara oluţiilor cuaţii d ordiul, liiar şi omog, cu coficiţi cotaţi, parcurg următorii paşi: a. rolvă cuaţia liiară omogă aociată, căria i dtrmiă oluţiil d forma C C, C, C cotat. b. Ţiâd cot d forma trmului libr al cuaţii omog, f(, caută ptru cuaţia omogă o oluţi particulară d forma p (A B, avâd î vdr că cuaţia caractritică a cuaţii omog ar rădăcii ditict, r şi r -. Coficiţii A şi B calculaă pri mtoda coficiţilor dtrmiaţi, după cum urmaă: îlocuic î cuaţia iiţială p, p (A B A, p (A B A şi obţi 5A 7A 5B. Pri 8 idtificara coficiţilor rultă A şi B -. Soluţia particulară 5 5 a cuaţii omog dat t p 8 (, 5 5 iar oluţia i grală poat fi criă ub forma ( C C ( 5... Rolvaţi cuaţia 5 8, C, C cotat. 5 Soluţi: Ecuaţia omogă ataşată 5 admit oluţiil C C C 5, C, C, C cotat. Cum trmul libr al cuaţii omog t f(, oluţia particulară a cuaţii dat t d forma p (A B, adică p A B. Pri mtoda coficiţilor dtrmiaţi, obţi A şi B, d ud 5 oluţiil cuaţii omog iiţial ut ( C C C 5 - (, C, C, C cotat. 5... Să rolv cuaţia

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 5 Soluţi: Ecuaţia omogă ataşată ar oluţiil C C, C, C cotat. Î cotiuar caută ptru cuaţia omogă o oluţi particulară d forma p (A B, avâd î vdr că cuaţia caractritică ataşată cuaţii omog ar rădăcia cu ordiul d multiplicitat. Aplicâd mtoda coficiţilor dtrmiaţi, obţi A şi B. Atuci p, d ud oluţia grală a cuaţii iiţial t ( C C, C, C cotat.... Să rolv cuaţia co Soluţi: Soluţiil cuaţii omog ataşat ut (C co C i, C, C cotat. Trmul libr al cuaţii omog t f( co, pri urmar dtrmiă ptru cuaţia omogă o oluţi particulară d forma Atuci şi p (A Bco (C Di. p (C A Dco (-A - B Ci p (-A B Cco - (C A Di. Pri îlocuir î cuaţia iiţială şi pri idtificara coficiţilor obţi itmul cu oluţiil A A C A B C D A C A B C D,B,C,D, d ud 5 5 5 5 şi atuci cuaţia dată ar oluţiil p ( co - ( i 5 5 5 5 (C co C i ( co - ( i 5 5 5 5

5 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm ud C, C ut cotat.... Să itgr cuaţia - (i co 8 Soluţi: Ecuaţia caractritică r r a cuaţii omog ataşat ar oluţiil r, - şi r, dci C - C - C, C, C, C cotat. Trmul libr t f( (i co 8, dci p (A Bi (C Dco E F G H va fi forma oluţii particular a cuaţii omog dat. Pri îlocuir î cuaţi şi după idtificara coficiţilor rultă A 5 7, B -, C 5, D -, E, F -8, G 5, H -69. Atuci oluţiil cuaţii iiţial vor fi d forma C - C - C ( 5 7 - i ( 5 - co - 8 5 69, C, C, C cotat...5. Să vrific dacă fucţiil şi formaă u itm fudamtal d oluţii p oric itrval c u coţi origia şi ă cotruiacă cuaţia difrţială liiară şi omogă cu oluţiil particular şi. Soluţi: S vrifică liiar idpdţa itmului d fucţii, pri codiţia ca wroiaul lor ă u fi ul p oric itrval c u coţi origia. w[, ] ptru, d ud rultă că fucţiil dat formaă u itm fudamtal d oluţii. Ecuaţia car ar ca oluţii particular fucţiil şi t w[,, ], chivaltă cu 6 ' '' d ud obţi cuaţia difrţială d ordiul, liiară şi omogă, cu coficiţi variabili 6.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 55 Soluţiil gral al acti cuaţii ut d forma C C, C şi C fiid cotat...6. Să itgr cuaţia 6 Soluţi: Ptru a dtrmia oluţiil acti cuaţii difrţial d ordiul, liiar şi mog, cu coficiţi variabili, rolvă mai îtâi cuaţia omogă ataşată 6. Coform problmi atrioar, oluţiil acti cuaţii ut d forma C C, C şi C fiid cotat. Î cotiuar, aplicâd mtoda variaţii cotatlor, caută oluţii d forma C ( C (. Fucţiil C şi C dtrmiă di rlaţiil C C C C. Rultă atuci că C - - şi C -, d ud C -l şi C. Soluţiil cuaţii dat vor fi d forma (l, şi fiid cotat...7. Să dtrmi cuaţia liiară şi omogă car admit ca oluţii particular fucţiil, co, - i. Soluţi: S arată că itmul d fucţii t liiar idpdt, d ud rultă că t itm fudamtal d oluţii al cuaţii w[,,, ], car t wroiaul fucţiilor,,,. Ecuaţia va fi chivaltă cu co co co co i i i i co co co i i i ' '' ''', obţiâdu- î fial cuaţia difrţială d ordiul, liiară şi omogă 5. Soluţiil gral al acti cuaţii ut d forma C - (C co C i, C, C, C cotat...8. Să itgr cuaţia

56 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Soluţi: S coidră cuaţia omogă ataşată, car " mai poat fi criă şi ub forma şi car coduc pri două ' itgrări ucciv la oluţia C l C. Ptru a dtrmia oluţiil cuaţii omog dat aplică mtoda variaţii cotatlor. Luăm C ( l C (, fucţiil C şi C obţiâdu- di rlaţiil C l C C '. Rultă că C şi C l, d ud C şi C l. Pri urmar, oluţiil cuaţii iiţial ut 9 ( l l 9, şi cotat...9. Rolvaţi cuaţia difrţială ( 9 Soluţi: Făcâd chimbara d variabilă cot (au it cuaţia rduc la o cuaţi liiară omogă. Pri urmar d -it, d d dt d ' şi d dt d it dt d d dt cot d d " (. dt it dt d dt i t i t dt Îlocuid î cuaţia dată obţi cuaţia difrţială d ordiul, liiară şi omogă, d 9, dt cu oluţiil C cot C it. Atuci, oluţiil cuaţii iiţial ut C co(arcco C i(arcco, C, C cotat.... Să itgr cuaţia difrţială

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 57 " ' ( Soluţi: Făcâd chimbara d fucţi ' ' şi rultă ( " ' ( ' ". Pri îlocuir î cuaţia dată obţi cuaţia difrţială d ordiul, liiară şi omogă,, cu oluţiil C co C i. Rvid la chimbara d fucţi făcută, rultă oluţiil cuaţii iţial ( C co C i, C, C cotat.... Să rolv cuaţia difrţială ( ( ştiid că admit o oluţi particulară d forma p r, r R. Soluţi: Ptru îcput dtrmiăm oluţia particulară, pri calculara valorii lui r. Avm r r, r r şi pri îlocuir î cuaţia dată obţi rlaţia (r r r, d ud, idtificâd coficiţii, rultă r. Dci p t oluţia particulară a cuaţii dat. Î cotiuar, făcâd chimbara d fucţi, rultă,, iar pri îlocuir î cuaţia dată obţi cuaţia (, car mai " d' poat fi criă au ( d şi car ar oluţia ' ' C -. Atuci C( C, d ud oluţiil cuaţii 9 iiţial vor fi C 9 ( C... Să rolv cuaţia (l -, ştiid că admit oluţia particulară p., C, C cotat. Soluţi: Cuocâd o oluţi particulară a cuaţii, fac chimbara d fucţi p, î caul d faţă. Atuci

58 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm şi. Îlocuid î cuaţia dată, obţi cuaţia difrţială cu variabil parabil (l - (l - au " ' l. (l l După o prima itgrar obţi ' C, car t tot o cuaţi cu variabil parabil, d ud, pri itgrar, rultă î cotiuar că C l C, cu C, C R. Rvid la chimbara d fucţi fctuată, oluţia cuaţii iiţial va fi C l C, C, C cotat.... Rolvaţi cuaţia difrţială Soluţi: S fac chimbara d variabilă t. S obţi rlaţiil d dt t d d d dt dt d t d dt d dt d d. dt d dt t t dt După îlocuira actora î cuaţia dată rultă cuaţia liiară omogă d ordiul cu coficiţi cotaţi d dt - avâd oluţia grală (t C t C -t, C, C cotat. Atuci oluţia grală a cuaţii dat va fi ( C C, C, C cotat.... Dtrmiaţi fucţia f: R R drivabilă p R atfl îcât f( f (-, R. Soluţi: S drivaă rlaţia dată d două ori şi ubtitui pri. Ţiâdu- cot d galitata dată ajug la cuaţia liiară omogă d ordiul cu coficiţi cotaţi f ( ( f(

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 59 cu oluţiil f( C C - C co C i, C, C, C, C cotat. Pri îlocuir î rlaţia dată obţi C C şi C. Fucţiil căutat vor fi f: R R, f( ( - i,, cotat...5. Să rolv problma Cauch ' ( ' (,' ( Soluţi: Dacă otăm, obţim d d d au d. Atuci d d d d d d d şi (. Ecuaţia dvi (. d d d d d d d Facm chimbara d variabilă - d d, d ud (. d d d Pri urmar obţim. Cum d d dp p, rultă p d d d d. Atuci dp p, car t o cuaţi cu variabil parabil, cu oluţia implicită d p C, C cotat. Di codiţiil iiţial rultă C, d ud obţi p d d au (, şi mai dpart ±. Atuci d d l l C, C cotat. Dar, d ud. Rultă atuci C l. Di codiţiil iiţial, cum (, obţim C. Soluţia problmi Cauch va fi. ( l..6. Să rolv cuaţia difrţială 5, > Soluţi: S fac chimbara d variabilă, cu l şi d d d d d Avm atuci şi (. Ecuaţia iiţială va d d d d d

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm d d cri ub forma 5 au 5, car t o d d cuaţi d ordiul, liiară şi omogă, cu coficiţi cotaţi, cu oluţia ( C co C i, d ud rultă oluţia cuaţii dat (C co l C i l, C, C cotat...7. Să itgr cuaţia " ' ' Soluţi: Fi d şi l. Atuci, cum ' şi d d d d d d " (, obţi (. Dacă otăm d d d d d dp dp p, atuci " p şi cuaţia dvi p p p. d d Ditigm două cauri: a. dacă p rultă cotat; dp dp b. dacă p atuci p au ( p, d d d dp ud rultă p, car t o cuaţi liiară omogă, cu d oluţia p ( C. D aici rultă cuaţia cu variabil parabil ' d, cu oluţiil l( C C, d ud, ţiâd cot d C chimbara d variabilă făcută, obţim oluţiil implicit al cuaţii iiţial..8. Să rolv cuaţia C C, C, C cotat. 5 l, > Soluţi: S îmulţşt cuaţia cu şi otaă. S obţi d d d d d d l şi ', " (, ''' (. d d d d d d Ecuaţia iiţială va dvi o cuaţi difrţială d ordiul, liiară şi omogă, d forma

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 6 d d d au, d d d cu oluţia grală ( C C - C -. O oluţi particulară t d forma p (A B, d ud pri îlocuir î cuaţi rultă A,B, dci p (. Atuci, oluţia cuaţii dat t l C C C (l, C, C, C cotat...9. Să rolv cuaţia difrţială ( 7( - 6 8 Soluţi: Facm chimbara d variabilă, d ud d d şi. Atuci obţi ' şi d d 9 d d " (. Îlocuid î cuaţia dată rultă cuaţia d ( d d d d ordiul, liiară şi omogă 9 6. Ecuaţia d d liiară omogă ataşată 9 ar oluţia C C, iar o oluţi particulară a cuaţii omog t d forma p A BC. Pri îlocuir î cuaţia omogă şi idtificara coficiţilor obţi A -, B 5 şi C, d ud rultă că oluţia cuaţii liiar şi omog va fi C C 5. Rvid la chimbara d variabilă făcută, obţim oluţia cuaţii iiţial C C( 5l..5. Rolvaţi cuaţia difrţială., C, C cotat. Soluţi: Drivâd cuaţia iiţială rultă, d ''' ' ud obţi şi mai dpart rlaţia C, C >, car " t o cuaţi difrţială d ordiul, liiară şi omogă, cu coficiţi cotaţi, şi al cări oluţii ut

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm C C C C, C, C cotat. Îlocuid oluţiil obţiut î cuaţia iiţială, obţi următoara rlaţi îtr cotat C C C, d ud rultă CC C CC C, C, C cotat... Problm propu Să rolv următoarl cuaţii difrţial şi problm Cauch:... ( Răpu: l c c,c,c cot.... (5 - ( Răpu: c c c c c5,c,c,c,c,c5 6... ( Răpu:... 7 t t t t c, c c c,c,c,c,c 5 8 Răpu:. 5 ( (,' ( "(,''' (..5. ( Răpu: 9 t 8 7 t t 9 5 t ( c 6..6. h Răpu: t t c ht t t t ht cht ht 8 6 t c c t c cot. cot. t R, c,c cot. t R, c,c cot.

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 6..7. [ ( ] c Răpu: ± arci c,c,c cot...8. Răpu:. " ' l ' ' (, (..9. Să itgr cuaţia difrţială a crcurilor di plaul O ' " ''' Răpu: c ( c c,c,c,c cot. ' (... Dtrmiaţi itgrala grală a cuaţii difrţial a hiprbollor di plaul O ( IV c Răpu: c c,c,c,c,c cot. c... Fi cuaţia difrţială ( (. Dtrmiaţi curba itgrală di plaul O, c trc pri puctul O(, şi t tagtă la drapta d cuaţi. Răpu:, - -.... 6 Răpu: ( c c d,c,c cot.... Răpu: c i(l c,c,c cot.... Răpu: c ( c (,c,c cot...5. ( ( ( Răpu: ( c c l ( (,c,c..6. ( " ( ' cot.

6 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Răpu: ( ( c l c,c,c cot...7. Răpu: ( c c,c,c cot...8. Răpu: c c c, c, c, c cot...9. ω, ω > Răpu: c coω c iω, c, c cot.... Răpu: - " ' ' (, (... " ' tg i Răpu: c i i c,c,c cot.... ",co > co co Răpu: c co c i co,c,c cot.... 7 Răpu: - (c co 6 c i 6,c, c cot.... ( 8 6 Răpu: (c c co (c c i..5. 9 " 6 ' 9 6 Răpu: ( c c,c,c cot...6. Răpu: (c c c, c, c, c cot...7. 5

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 65 Răpu: ( c co c i,c,c cot...8. ''' ' Răpu: ( c c l c l,c,c,c cot,...9. ''' Răpu: c ( c co c i 5,c,c,c... ( Răpu: c c c II IV l c c c c,c,c,c,c III cot. cot.... Să vrific dacă fucţiil şi formaă u itm fudamtal d oluţii p oric itrval c u coţi origia şi ă cotruiacă cuaţia difrţială liiară şi omogă cu oluţiil particular şi. Răpu:...., Răpu: c c l( -, c, c cot.... Să dtrmi cuaţia liiară şi omogă car admit ca oluţii particular fucţiil: Răpu: a. ; a. i, co ; b.. b., -,.... Răpu: c c, c, c cot...5. ω A i q, ω >, A, q R Răpu: a. dacă q ω, atuci c coω c iω - c cot; A coω, c, ω

66 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm A b. dacă q ω, atuci c coω c iω iq, ω q c, c cot. π..6. " ' 5, R { π, Z } co Răpu: ( c co c i (co l co i,c,c..7. i Răpu: c co c i co i,c,c..8. - h Răpu: (c (c -, c, c cot...9. ( co Răpu: cot. cot. c c - c co c i i, 5 8 5... c, c cot. " ' (,' ( Răpu: l( l, >.... i Răpu: (.... Răpu: ( l, >. " ' co i π (,' ( " ' (,' (...

. Ecuaţii difrţial d ordi uprior 67 Răpu: ( c co c i, c, c cot.... Răpu:..5. (. Răpu: ( i tg co. ''' " ' (,' ( " co ' i (,' (..6. Răpu: c (l - c c, c, c, c cot...7. 8 9 Răpu: ( co c i, c, c cot. c..8. ( - ştiid că admit oluţia particulară -. Răpu: c ( c -, c, c cot...9. ( ( ( 6 l( Răpu: ( ( - [c c l( l ( ], c, c cot...5. Fi cuaţia difrţială - - a, a R. Dtrmiaţi valoara paramtrului a atfl îcât cuaţia ă admită ca oluţi baală u poliom. Rolvaţi cuaţia ştiid că admit u poliom d gradul I ca oluţi particulară. Răpu: a şi ( c c c, c, c cot.

68 Ecuaţii difrţial şi cu drivat parţial pri rciţii şi problm Capitolul. SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE.. Coidraţii tortic Sitmul d cuaţii d f d d f d d f d (, (,... (,,,,,...,,...,,..., ud f, f,..., f : D R ut fucţii cotiu p D, D R fiid u domiu, iar fucţiil cuocut,,..., : [a, b] R ut drivabil p domiul lor d dfiiţi umşt itm d cuaţii difrţial d ordiul.... Rducra la o igură cuaţi d ordi uprior Fi itmul d f d d f d d f d (, (,... (,,,,,...,,...,,..., şi prupum că fucţiil f, f,..., f au drivat parţial cotiu pâă la ordiul î raport cu toat argumtl. Pri drivări ucciv şi rotări al fucţiilor ou obţiut rultă

. Sitm d cuaţii difrţial 69 d f(,,,..., d d F (,,,..., d... d F (,,,..., d Coidrăm itmul î cuocutl,,..., şi dtrmiăm d d d act cuocut î fucţi d,,,...,. Sutm d d d coduşi la d d Φ (, d, d d,..., d dci fucţia atifac o cuaţi difrţială d ordiul.... Sitm imtric, combiaţii itgrabil Fi itmul d cuaţii difrţial d i d f (,,,...,, i,,..., i O combiaţi itgrabilă a itmului t o cuaţi difrţială car t o cociţă a cuaţiilor itmului dar car t itgrabilă, au car pritr-o chimbar d variabilă dvi itgrabilă. Ea prmit ca pri itgrar ă obţiă o cuaţi Φ(,,,..., c, c cotat car umşt itgrală primă a itmului. Dacă prupum că am dtrmiat combiaţii itgrabil al itmului, l-am itgrat şi am obţiut itgrall prim Φ (,,,..., c Φ (,,,..., c... Φ (,,,..., c.