MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE Note de curs
. REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Itroducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liiare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea determiaţilor, iversarea matriceală, calculul valorilor şi vectorilor proprii) sut icluse î domeiul algebrei liiare implicată î diverse probleme ştiiţifice, de exemplu: problemele care depid de u umăr fiit de grade de libertate, reprezetate pri ecuaţii difereţiale ordiare sau cu derivate parţiale sut trasformate, cu ajutorul difereţelor fiite, î sisteme de ecuaţii liiare; problemele eliiare sut frecvet soluţioate (aproximate) pri procese de liiarizare; programarea liiară implică rezolvarea uor sisteme de ecuaţii algebrice liiare; foarte multe probleme igiereşti di domeiul reţelelor electrice, aaliza structurilor, proiectarea clădirilor, vapoarelor, avioaelor, trasportul lichidelor şi gazelor pri coducte etc. ecesită, petru soluţioare, rezolvarea uor sisteme liiare. Formularea problemei. Fie A R x (o matrice reală cu liii şi coloae), b R (u vector matrice coloaă cu compoete reale) şi vectorul ecuoscut x R. Atuci u sistem de ecuaţii liiare se scrie sub ua di formele: ax + ax +... + a x = b... a x + a x +... + a x = b sau matriceal: Ax = b sub formă compactă şi a a... a x b a a... a x b............ = () M M a a... a x b sub formă dezvoltată. O ultimă variată de scriere a uui sistem liiar este:
j= a ij x j = b, i =,,..., i Observaţii.. U sistem liiar () este cosistet dacă are cel puţi o soluţie şi icosistet dacă u are ici o soluţie. Orice sistem liiar cosiderat î cotiuare poate avea soluţie uică (compatibil determiat), ici o soluţie (icompatibil) sau o ifiitate de soluţii (compatibil edetermiat) u există alte posibilităţi. Bieîţeles că iteresează primul caz.. Sistemele () se pot clasifica şi după vectorul b, î: a) sisteme omogee dacă b = 0. Orice sistem omoge de forma Ax = 0 este u sistem cosistet (deoarece are soluţia x = 0 eiteresată). U sistem omoge are o soluţie ebaală dacă şi umai dacă det A = 0 (adică A este sigulară). Î această situaţie soluţia depide de cel puţi u parametru. b) sisteme eomogee dacă b 0. Sistemul () este compatibil determiat petru ( ) b 0 dacă şi umai dacă sistemul omoge Ax=0 u are decât soluţia baală (adică A este esigulară). 3. Î sistemele obţiute di aplicaţiile fizice, umerele ce costituie matricea A şi vectorul b sut afectate de erori ierete (proveite di măsurători) sau erori de rotujire (/7 u poate fi reprezetat exact pe ici u calculator electroic care are lugime fixă a cuvâtului deoarece reprezetarea lui î biar are o ifiitate de biţi). Dacă erorile mici î cadrul coeficieţilor lui A şi b, sau î procesul de calcul au u efect redus asupra vectorului, soluţie, u astfel de sistem este bie codiţioat, iar dacă efectul este cosiderabil, u astfel de sistem este slab codiţioat. Metodele umerice de rezolvare a sistemului liiar () sut de două tipuri: directe şi iterative. Rezolvarea directă a sistemelor de ecuaţii liiare Metodele directe costau î reducerea sistemului (), îtr-u umăr fiit de etape, la u sistem echivalet, (cu aceeaşi soluţie) direct rezolvabil pri substituţie directă sau iversă. Aceste metode furizează soluţia exactă x a sistemului () î cazurile (ideale) î care erorile de rotujire sut absete şi ecesită, î 3
acest scop, efectuarea uui umăr de operaţii aritmetice elemetare de ordiul 3. Di acest motiv, metodele directe se utilizează petru rezolvarea sistemelor uzuale, de dimesiue 00. Î cotiuare vom prezeta câteva metode directe de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liiare... Metoda Gauss. Tehici de pivotare Procedura de reducere a sistemului () la u sistem echivalet are la bază o schemă de elimiare succesivă a ecuoscutelor, itrodusă de Gauss î 83, pri care se efectuează triagularizarea superioară a matricei sistemului pri trasformări elemetare. Trasformările elemetare di metoda Gauss sut de tipul: - schimbarea a două liii ître ele; - aduarea uei liii, îmulţite cu u umăr, la altă liie şi se efectuează asupra matricei extise (A b) astfel îcât î - etape î locul matricei A să avem o matrice superior triughiulară. Observaţie. Trasformările elemetare de tipul celor de mai sus sut permise umai asupra liiilor deoarece u iflueţează obţierea soluţiei (se referă la ecuaţiile sistemului care pri schimbare sau aduare multiplicate cu u umăr u iflueţează soluţia). Îcercăm prezetarea algoritmică (pe paşi) a metodei Gauss: - la primul pas se foloseşte prima ecuaţie a sistemului la elimiarea ecuoscutei x di celelalte - ecuaţii obţiâdu-se u ou sistem A () x = b () (ude A () = A şi b () = b); - la al doilea pas se foloseşte a doua ecuaţie trasformată (deci di sistemul aterior A () x = b () ) petru elimiarea ecuoscutei x di ultimele - ecuaţii, obţiâdu-se sistemul A (3) x = b (3) ş.a.m.d. 4
Astfel, petru k =,,..., -, avem: (k) a ij, i k, i j (k+ ) a ij = 0, j k, j + i (k) (k) a ik (k) a ij a kj, k + i, j (k) a kk () (k) bi, i k (k+ ) b = (k) i (k) a ik (k) bi b k, k + i (k) a kk Petru k = -, îseamă că ecuoscuta x - a fost elimiată di ultima ecuaţie, obţiâdu-se u sistem sub formă triughiulară. () () () () () a x + a x +... + ak x k +... + a x = b () () () () a x +... + a k x k +... + a x = b... (3) () () () a kk x k +... + a k x = bk... () () a x = b sau A () x = b () Observaţii:. A () este o matrice superior triughiulară.. Sistemul A () x = b () este echivalet cu sistemul (). Sistemul triughiular (3) este sistemul cel mai simplu di şirul de trasformări; petru rezolvarea lui se foloseşte procesul de elimiare (substituţie) iversă, descris astfel: 5
() b x = () a (4) () () bi a ij x j j= i+ x i =, i = -, -,..., () a ii Observaţii.. Formulele () pot fi completate astfel îcât sistemul (3) obţiut să aibă forma: () () () x + a x +... + a x = b () () x +... + a x = b,... () x = b ceea ce îseamă că î relaţiile (4) dispar umitorii, sau formulele () pot fi modificate astfel îcât sistemul (3) să aibă forma matriceală: () 0... 0 x b () 0... 0 x b............ = M M 0 0... x () b ceea ce îseamă că relaţiile (4) devi: () x i = b i, i Această modificare a metodei Gauss este cuoscută sub umele de metoda Gauss-Jorda. (k ). Ultimele di formulele (), petru a +, k+ i, j (k ) b + şi i, k+ i sut cuoscute şi sub umele de regula dreptughiului. (k) a kk (k) a ik (k) a kj (k) a ij ij 6
a (k+ ) ij a = (k) ij a (k) (k) kk a ik (k) a kk a (k) kj.. Metoda factorizării LR x Defiiţia. Fie A R. O relaţie de forma: A = L R (5) ude L R x este o matrice iferior triughiulară iar R este o matrice superior triughiulară, se umeşte factorizare LR a lui A. Precizare: o matrice T R x se umeşte superior (iferior) triughiulară dacă t ij = 0 petru i > j (t ij = 0 petru i < j) ude T = (t ij ), i, j. Î cotextu l defiiţiei, sistemul liiar () devie: LRx = b care coduce la rezolvarea directă a două sisteme liiare cu matrice triughiulare şi aume: Ly = b (6) Rx = y (7) Observaţii:. Sistemul (6) are soluţia itermediară y ale cărei compoete se obţi pri substituţie directă (îaite) datorită formei matricei L iferior triughiulară.. Sistemul (7) are soluţia fială x ale cărei compoete se obţi pri substituţie iversă (îapoi) datorită formei matricei R superior triughiulară. Petru simplificarea referirilor ulterioare, otăm pri A k = ( a ij ), i, j k submatricele lider pricipale de ordiul k ale lui A, k =,,..., şi itroducem codiţia: i) submatricele A k sut esigulare (evidet A = a, iar A = A) Observaţie. Codiţia i) altfel exprimată este: toţi miorii diagoali pricipali ai matricei A sut euli. a 0, a a a a 0, ş.a.m.d. det A 0 7
(de fapt toţi primii miori diagoali de fiecare ordi sut euli) Este valabilă următoarea: Teoremă. Dacă matricea A satisface codiţia i), atuci există o factorizare LR a lui A, î care matricea L este esigulară. O factorizare LR a lui A poate fi calculată direct pritr-o aşase utilizează două tipuri de factorizări: umită procedură compactă, î care cele egalităţi scalare, di (5), se rezolvă succesiv î raport cu elemetele ecuoscute l ik, i k şi r kj, k j ale matricilor L şi respectiv R. Uicitatea procedurii este asigurată precizâd apriori elemetele diagoale ale matricei L sau elemetele diagoale ale matricei R. Di acest puct de vedere, î practică a) Factorizarea Doolittle impue L cu diagoala uitate, adică l kk =, k =,,...,. b) Factorizarea Crout impue R cu diagoala uitate, adică r kk =, k =,,...,. Ne vom ocupa de detalierea acestei factorizări, astfel: l r... r r Pasul. Fie L =............ l l... şi R = l l... l...... Explic itâd egalitatea A = L R, sub forma: mi(i,j) k= a = l r, i, j =,,..., ij ik kj elemetele matricilor L şi R se obţi astfel: l i = a i, i prima coloaă di L aj rj =, j prima liie di R l k l ik = a ik l ih rhk, k i h= k r = kj < a kj l kh rhj l kk, k j h= Justificarea formulelor (8): (8) 8
- a ik se obţie îmulţid liia i di matricea L cu coloaa k di matricea R; - dacă i > k, atuci (l i l i... l i,k- l ik... l ii 0... 0) r k rk M rk 0 M 0 a a,k ik ik = a ik k ih h= l r + l ; hk ik rk rk M rk - dacă i = k, atuci (l i l i... l i,k- l ii 0... 0) 0 M 0 = k l ih h= r hk + l ii ; deci am regăsit formulele (8) petru i k;,k a ik 9
- dacă k < j, atuci (l k l k... l k,k- l kk 0... 0) 0 0 r r kj,j k j M M, deci am regăsit formulele (8) petru k < j. Pasul. Se rezolv............... l l l l b b y y M M cu formulele de substituţie directă (îaite) r r j kj k h kk hj kh kj r r a = + = l l ă sistemul (6): l l = y b l = = = =,..., k, y b y b y kk k j j kj k k l l (9) Pasul 3. Se rezolvă sistemul (7): y y x x...... r... r M M cu formulele de substituţie iversă (îapoi) = y x r... 0
x x k = y = y k kj j= k+ r x,k =,,..., j (0).4. Rezolvarea iterativă a sistemelor de ecuaţii liiare. Metodele Jacobi şi Seidel Gauss Itroducere Metodele iterative costau î costrucţia uui şir x (k), (evidet x (k) R ) k = 0,,..., coverget către soluţia exactă x a sistemului: Ax = b, ude A R x, b R Oprirea procesului iterativ, adică truchierea şirului x (k), are loc la u idice s, determiat pe parcursul calculului î fucţie de precizia impusă, astfel îcât termeul curet x (s) să costituie o aproximaţie satisfăcătoare a soluţiei căutate x. Metoda Seidel-Gauss (metoda iteraţiilor succesive) costă î costrucţia şirului x (k+), k = 0,,... astfel: x (0) R arbitrar, iar i (k+ ) (k+ ) (k) x i = bi = a ijx j a ijx j,i,, ude a ii j= j= i+ (k+ ) = (k) x b ajx (7) j ai j= (k+ ) (k+ ) x = b a jx j a j= Se observă că iteraţia ouă foloseşte iteraţii vechi, umai dacă u există iteraţii oi calculate. Observaţii: Codiţia suficietă petru ca şirul x (k+) să coveargă la soluţia x este ca A să fie diagoal domiată pe liii (6) sau pe coloae a jj > a ij, j =,. i= i j
. Pot exista sisteme petru care codiţia amitită u este îdepliită, dar algoritmul Seidel-Gauss să coveargă. Utilizâd orme vectoriale adecvate se poate obţie o codiţie ecesară şi suficietă de covergeţă, calculele depăşid cadrul prezetei lucrări. Petru detalii vezi [9] sau [8]. 3. Practic, iteraţiile se opresc atuci câd petru u ε, impus de utilizator, avem îdepliite codiţiile: x (k+ ) i x (k) i < ε, i =, (8) (sau trecâd la maxim d(x (k+), x (k) ) < ε). Am putea determia di teorema Baach, idicele la care e putem opri, î fucţie de q. Î acest caz, vom defii ca soluţie vectorul x (k+). Metoda Jacobi (metoda iteraţiilor simultae) costă î costrucţia şirului x (k+), k = 0,,... astfel (k+ ) (k) x i = bi aijxi, i =, ; x (0) R arbitrar (9) aii j= j i Observaţii:. Sut valabile observaţiile precedete.. Se observă că iteraţia ouă foloseşte toate compoetele iteraţiei vechi ceea ce face ca formula să fie mai simplă, dar metoda Jacobi este mai let covergetă decât metoda Seidel-Gauss î aceleaşi codiţii iiţiale (x (0), ε).
. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE.. Metoda bisecţiei Fiid dată fucţia f : [ a, b] R şi ecuaţia f(x) = 0 metoda bisecţiei se bazează pe proprietatea fucţiei f de a fi cotiuă pe [a, b] şi f(a) f(b) 0. Atuci f are pe [a, b] u umăr impar de zerouri. a + b a + b Dacă f = 0, x = este soluţie. Dacă u, se a + b a + b a + b otează a = a şi b = şi f(a) f < 0 sau a = şi a + b b = b î cazul f f(b) < 0. Cotiuâd, se obţie succesiuea de itervale: [a, b ], [a, b ]... [a, b ] cu proprietatea că: f(a ) f(b ) < 0, =,, 3,... cu b a = (b a). Obţiem astfel (a ) şir crescător şi (b ) şir descrescător cu: x N = lim a = lim b N Î ipoteza că au fost separate mai multe zerouri, algoritmul expus poate fi aplicat petru determiarea fiecărei soluţii separate. Metoda îjumătăţirii itervalului este cea mai simplă (dar şi cea mai slab covergetă) metodă petru determiarea uei soluţii a ecuaţiei f(x) = 0. Algoritmul poate fi aplicat î două variate: a) Au fost separate ua sau mai multe soluţii; b) Nu a fost separată ici o soluţie. Î această situaţie se otează cu a =, b = 0 dacă f ( ) f(0) < 0 sau a = 0, b = + 3
dacă f(0)f ( ) < 0, î practică simbolul fiid îlocuit cu u umăr foarte mare... Metoda secatei Cosiderăm di ou ecuaţia f(x) = 0, x [a, b] () cu f cotiuă şi derivabilă de două ori pe [a, b] şi î plus f(a) f(b) < 0, adică a fost separată o soluţie a ecuaţiei î acest iterval, iar f (x ) păstrează sem costat pe [a, b]. Vom prezeta î cotiuare metoda secatei petru aproximarea acestei soluţii, otată cu x. Petru a obţie o primă aproximaţie x petru x vom scrie ecuaţia dreptei care trece pri puctele (a, f(a)) şi (b, f(b)): x a y f (a) = () b a f (b) f (a) Aproximaţia x va fi dată de abscisa puctului î care dreapta taie axa Ox, adică petru y = 0, relaţia () se scrie sub forma: f (a)(b a) x = a (3) f (b) f (a) Vom costrui di ou o dreaptă similară cu () folosid u puct: (x, f(x )) şi u al doilea puct î fucţie de itervalul î care se află soluţia, (a, x ) sau (x, b). Dacă f(a) f(x ) < 0 atuci al doilea puct al dreptei va fi (a, f(a)) şi sutem coduşi la formula geerală: f (x )(x a) x + = x (4) f (x ) f (a) şir descrescător (di costrucţie) şi mărgiit, deci coverget. Dacă f(x ) f(b) < 0, al doilea puct va fi (b, f(b)) şi formula iterativă va fi: 4
f (x )(b x ) x + = x (5) f (b) f (x ) obţiâd pri costrucţie u şir crescător şi mărgiit. Î ambele cazuri şirul dat de (4) sau (5) va avea ca limită soluţia căutată, adică: x = lim x Trecâd la limită î oricare di relaţia de recureţă (4) sau (5) se obţie: f (x) = 0.3. Metoda Newto (tagetei).3.. Metoda Newto petru sisteme eliiare Pri metoda lui Newto se costruieşte u şir de aproximaţii x () ale soluţiei sistemului (6), cuoscâd că acest sistem are o soluţie x şi avâd o aproximaţie iiţială x (0) a acestei soluţii. Î defiirea acestui şir de aproximaţii itervie derivata F (x) a operatorului F. Di relaţia (7) rezultă că umărătorul tide la 0 mai repede decât h. Petru h suficiet de mic, putem face aproximarea F(x+h) F(x) F (x)h 0 Să aplicăm această relaţie petru o aproximaţie x () a soluţiei ecuaţiei () şi petru h = x x (). Obţiem: F( x) F(x () ) F (x () )( x x () ) 0, şi cum: F( x ) = 0 căci x este soluţia ecuaţiei (6), obţiem: F(x () ) + F (x () )( x-x () ) 0 Datorită aproximării, rezolvâd această ecuaţie u vom obţie soluţia exactă (x ), ci o valoare x (+), care o defiim ca aproximaţie de ordiul +. F(x () ) + F (x () )(x (+) x () ) = 0 Aproximaţia x (+), presupuâd că există [F (x () )] -, este de forma: 5
x (+) = x () [F (x () )] - F(x () ) (8) Procesul iterativ defiit de (8) poartă umele de metoda lui Newto. Observaţie. Î particular, metoda lui Newto, se poate aplica petru rezolvarea ecuaţiilor de forma: f(x) = 0 ude f : R R este o fucţie derivabilă, cu derivata eulă îtr-u aumit iterval care coţie o soluţie x a acestei ecuaţii. Şirul (8) devie, î acest caz: x (+) = x () () f (x ) ' () f (x ) şi metoda admite următoarea iterpretare geometrică: x (+) este abscisa puctului de itersecţie cu axa Ox a tagetei la graficul fucţiei f(x) î puctul (x (), f(x () ). Di acest motiv, metoda lui Newto se mai umeşte şi metoda tagetei. Observaţie. Metoda Newto se poate aplica şi î cazul sistemelor eliiare: f(x, x,..., x m ) = 0 f (x, x,..., x m ) = 0... f m (x, x,..., x m ) = 0 ude F : R m R m, cu F = (f, f,..., f m ) t. Î exemplul dat am costatat că dacă f i au derivate parţiale de ordiul I cotiue, atuci există derivata lui F şi F (x) = f i (x), matricea iacobiaă. x j 6
3. POLINOM CARACTERISTIC. VECTORI ŞI VALORI PROPRII Prelimiarii (oţiui geerale). Defiiţia. Dacă matricea A R x, atuci poliomul defiit pri: p A (λ) = det(λi A) () se umeşte poliomul caracteristic al matricei A. Precizări:. Poliomul p A este u poliom uitar, de grad, cu coeficieţi reali şi ecuaţia caracteristică de forma: p A (λ) = 0 λ + c λ - + c λ - +...+ c - λ + c = 0 ( ) are cel mult rădăcii disticte (reale sau complexe).. Dacă λ este o rădăciă a lui p A, atuci, di det(λi A) = 0, îseamă că sistemul liiar omoge defiit pri (A λi) x = 0 (vectorul ul di R ) () are şi soluţii ebaale. Î cotiuare vom studia rădăciile lui p A şi soluţiile ebaale ale sistemului (). Defiiţia. Dacă p A este poliomul caracteristic al matricei A, rădăciile lui p A se umesc valori proprii (sau valori caracteristice) ale matricei A. Dacă λ este o valoare proprie a lui A şi x 0 verifică sistemul () atuci x se umeşte vector propriu (sau vector caracteristic) al lui A corespuzător valorii proprii λ. Observaţie. Egalitatea () coduce la: Ax = λx (3) Defiiţia 3. Mulţimea σ(a) = { λ, λ,..., λ } se umeşte spectrul lui A, iar umărul ρ(a) = max λ i se umeşte raza i spectrală a lui A. Coseciţă. Orice matrice A R x are cel puţi u vector propriu x, mai precis, fiecărei valori proprii λ i σ(a) îi corespude cel puţi u vector propriu x i Ker(λI A). 7
Metodele umerice petru calculul valorilor şi vectorilor proprii se împart î două clase astfel: I. Metode petru calcularea poliomului caracteristic, î care determiarea coeficieţilor lui p A (λ) se face î mod direct. Deci o cale posibilă petru a calcula valorile proprii este să obţiem îtâi coeficieţii poliomului caracteristic: p A (λ) = λ + c λ - +... + c şi apoi să rezolvăm ecuaţia caracteristică p A (λ) = 0, folosid î acest scop orice metodă aproximativă de rezolvare a ecuaţiilor algebrice eliiare. Totuşi, u trebuie să procedăm astfel decât î cazurile câd matricea A este de ordi foarte mic şi soluţiile ecuaţiei caracteristice sut bie separate. Motivul este că valorile proprii sut foarte sesibile la perturbaţiile coeficieţilor c, c,..., c, datorate erorilor de rotujire ierete. II. Metode petru determiarea valorilor şi vectorilor proprii ai matricei A, fără a dezvolta î prealabil poliomul caracteristic. Aceste metode sut î eseţă proceduri iterative de aducere a matricei A la aumite forme simple ( caoice ) pri trasformări de asemăare sau pri trasformări de asemăare ortogoală (forma diagoală, forma tridiagoală, forma superior triughiulară, forma superior Hesseberg). 3.. Calculul poliomului caracteristic cu ajutorul miorilor diagoali Dacă A R x este de forma A = (a ij ), i, j, atuci poliomul ei caracteristic se poate scrie: p A (λ) = det(λδ ij a ij ) Elemetele fiecărei coloae a determiatului de mai sus sut sume algebrice de câte două elemete. Deci p A (λ) se descompue îtr-o sumă de determiaţi. Fie Δ uul ditre aceşti determiaţi şi să otăm cu j, j,..., j m coloaele lui Δ care coţi umai elemete ale matricei A. Toate celelalte coloae coţi λ la itersecţia cu diagoala pricipală şi î rest 0. 8
Dezvoltâd succesiv Δ după coloaele care coţi λ şi scoţâd factor comu pe celelalte coloae, se obţie: Δ = ( ) m λ -m M ude M j j... jm j j... jm este miorul diagoal al matricei A format cu elemetele care se află la itersecţia liiilor şi coloaelor de idici j, j,..., j m. Dacă î dezvoltarea lui p A (λ) se grupează termeii după puterile lui λ, se obţie: p A (λ) = λ σ λ - + σ λ -... + ( ) σ, ude: σ = a ii (σ este suma miorilor diagoali de ordiul uu); σ = i= a a ii a a ij i< j ji jj (σ este suma miorilor diagoali de ordiul doi); ş.a.m.d. σ = deta (σ reprezită sigurul mior diagoal de ordiul ); 3.. Metoda Leverrier Dacă A R x, atuci poliomul său caracteristic este: p A (λ) = λ σ λ - + σ λ - -... + ( ) σ Petru a-i determia coeficieţii procedăm astfel: ) Determiăm s k = Tr(A k ), k. ) σ = s σ k = (s σ k- s σ k- +... + ( ) k+ s k )/k, k. Algoritmul lui Leverrier se programează fără dificultate şi prezită u grad mare de geeralitate (u există cazuri particulare). Petru mare, calculele sut dificile (trebuie calculate puterile matricei date) şi se măreşte timpul de răspus. 9
3.3. Metoda Krylov Este o metodă petru calculul poliomului caracteristic bazată pe teorema lui Cayley-Hamilto. Fie A R x şi p A (λ) = λ + c λ - + +... + c - λ + c, poliomul caracteristic al matricei A. Trebuie să determiăm coeficieţii c, c,..., c. Coform teoremei amitite, avem: p A (A) = A + c A - +... + c - A + c I = O (7) Fie y (0) R, oarecare, eul. Di relaţia (7) rezultă: A y (0) + c A - y (0) +... + c - Ay (0) + c y (0) = 0 (8) Dacă se otează A k y (0) = y (k), k =,,..., (9) atuci relaţia (8) se mai scrie: c y (-) + c y (-) +... + c - y () + c y (0) = y () (0) Scrisă pe compoete, relaţia (0) reprezită u sistem de ecuaţii liiare cu ecuoscute c, c,..., c. Dacă determiatul sistemului (0) este eul, atuci soluţia uică reprezită coeficieţii poliomului caracteristic. Această soluţie se poate obţie pri ua di metodele de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liiare. Dacă determiatul sistemului (0) este ul, atuci trebuie reluate calculele cu u alt vector iiţial y (0). Observaţie. Relaţia (9) petru obţierea vectorilor y (), y (),..., y () coduce la calcule simplificate dacă este scrisă sub forma echivaletă: y (k) =Ay (k-), k =,,..., () Dacă poliomul caracteristic are rădăcii disticte, atuci vectorii y (0), y (),..., y (-) obţiuţi mai sus permit determiarea simplă şi a vectorilor proprii. Fie λ, λ,..., λ valorile proprii disticte şi x (), x (),... x () vectorii proprii corespuzători care formează o bază. Fie: y (0) = b x () + b x () +... + b x () () expresia vectorului iiţial î această bază. Observaţie. Meţioăm faptul că vectorul iiţial a codus la obţierea coeficieţilor c, c,..., c ai poliomului caracteristic. Î cotiuare, di (9) sau () şi defiiţia vectorilor proprii, obţiem: 0
() (k) y = b kλ k x k=... ( ) (k) y = λ b k k x k= Să otăm: p A ( λ) q j (λ) = = λ + q λ λ j jλ +... + q, j (3), j =,,...,. (4) Î ipoteza făcută (valori proprii disticte), avem. q j( λ k ) = 0, k j (5) q j( λ j) 0 şi di relaţiile de mai sus deducem: y (-) + q j y (-) +... + q -,j y (0) = b q j (λ )x () + b q j (λ )x () +... + + b j q j (λ j )x (j) +... + b q j (λ )x () = b j q j (λ j )x (j) Dacă b j 0, atuci b j q j (λ j )x (j) este de asemeea u vector propriu corespuzător valorii proprii λ j, deci y (-) + q j y (-) +... + q -,j y (0) (6) este u vector propriu corespuzător valorii proprii λ j. 3.4. Metoda Fadeev Este o metodă, care porid de la relaţia (7), cu u efort miim, permite obţierea atât a coeficieţilor poliomului caracteristic al matricei date A R x, cât şi a iversei acesteia A -. Algoritmul metodei Fadeev este caracterizat de relaţiile: A = A; c = Tr(A); B = A + ci A = AB; c = Tr(A ); B = A + ci (8)......... A = = = + AB ; c Tr(A ); B A ci Se demostrează uşor următoarele afirmaţii:
B A = O ; = c B, dacă c 0 3.5. Metoda Dailevski Fie A R x. Ne propuem să obţiem p A. Defiiţia 7. Spuem că matricea F R x are forma ormală Frobeius, dacă: f f... f f 0... 0 0 F = (9)............... 0 0... 0 Proprietatea. p F (λ) = λ f λ - f λ - f - λ f (0) (deci o matrice cu formă ormală Frobeius are î prima liie opuşii coeficieţilor poliomului său caracteristic). Observaţie. Demostrarea relaţiei (0) se face dezvoltâd determiatul matricei (λi F) după prima liie. Metoda lui Dailevski, petru aflarea poliomului caracteristic al matricei date, A, costă î aducerea matricei A, la forma ormală Frobeius pri procedee de asemăare. Acest lucru se realizează î - etape, la fiecare etapă, obţiâd câte o liie di matricea F, dată de (9), de la ultima liie pâă la prima. Astfel: Etapa. Presupuem a,- 0 petru a realiza ultima liie di matricea F. Observaţie. Cazul a,- = 0 (posibil practic) va fi tratat la cazuri particulare. Cu presupuerea a,- 0, vom prelucra matricea A astfel: - împărţim elemetele coloaei - pri a,-
- apoi, di fiecare coloaă j, j, j vom scădea coloaa (obţiută aterior) îmulţită cu a j. Adică: a' i, = a i, / a,, i, () a' ij = a ij a' i, a j, j, j, i. Observaţie. Liia a matricei A se îlocuieşte cu ultima liie di F, adică 0 0... 0 (vezi formulele () petru i = ). Observaţie. Trasformările () sut echivalete cu îmulţirea la dreapta a matricei A cu matricea: 0... 0 0 0... 0 0 M - =............... () a a a... liia a, a, a, a, 0 0... 0 Deci, matricea M - diferă de matricea uitate de ordiul, doar î liia, cu compoeţa di (). Observaţie. Dacă otăm cu B - = A M -, atuci ultima liie a matricei B - este 0 0... 0 şi elemetele celorlalte liii i, i se calculează cu ajutorul relaţiilor (). Observaţie. Matricea M - este iversabilă şi 0... 0 0 0... 0 0 M =............... (3) a a... a, a liia 0 0... 0 M Deci, matricea diferă de matricea uitate de ordiul doar î liia - care este ultima liie di matricea A. Cu toate aceste precizări făcute, î prima etapă se obţie matricea C - = M B -, adică C - = M A M -, care este asemeea cu matricea A(A ~ C - ). 3
Observaţie. Cu excepţia liiei, matricele C - şi B - au aceleaşi elemete. Elemetele liiei di matricea C - se obţi îmulţid elemetele liiei di matricea M, (3), cu elemetele fiecărei coloae di B -. Obţiem, astfel, relaţiile: a ' a a', j (4) =,j i i= ij Relaţiile (4) se referă la liia di matricea C -, restul liiilor matricei C - fiid preluate di B -, fără ici-o modificare. Etapa. Î etapa a doua se reiau calculele bazate pe relaţiile () + (4), presupuâd ' 0 ( a este elemet di C - ). a, ', Cu alte cuvite se costruieşte matricea: C - = M C - M -, asemeea cu matricea C -, deci asemeea cu A (relaţia de asemăare fiid relaţie de echivaleţă). Î plus, ultimele două liii di C - sut idetice cu ultimele două liii di F. Observaţie. Putem scrie C - = ( A M - ) M - = M M = ( M M ) A (M - M - ) folosid asociativitatea produsului matricelor. Deci A ~ C -. Observaţie. Matricele M -, se calculează asemăător matricelor M -, M M di () respectiv (3), folosid liia di C - petru a obţie liia - di M -, respectiv liia di M - este: a', a', a', a'... a' a' a' a' a',, Aalog, liia di ', M, este:, M,,. Adică, a... a a ş.a.m.d. a', ', ', a', M Etapa -. Î etapa - se obţie matricea C = C M (î ipoteza c 0, c fiid elemet di C ), A ~ C, C avâd forma (9) deoarece se obţi ultimele - liii di (9). Relaţia ditre C şi A este dată de: 4
M C = ( M... M ) A (M - M -... M ) Notâd S = M - M -... M C = S - A S. 4. APROXIMAREA FUNCŢIILOR Itroducere Vom îcerca î cele ce urmează să prezetăm pe scurt, procesul de aproximare a uei fucţii cuoscută pritr-u umăr fiit de valori. Pritr-u aumit procedeu, utilizarea uor aparate de măsură de exemplu, putem cuoaşte valorile uei fucţii (temperatură, tesiui sau itesităţile electrice, magetism, etc.) cu expresie ecuoscută petru aumite valori ale variabilei. Vom ota cu x 0, x,..., x valorile petru care au avut loc măsurătorile şi cu f 0, f,..., f valorile măsurate, adică: f i = f(x i ), i = 0,. Există situaţii î care este ecesară cuoaşterea valorii fucţiei f îtr-u puct x, x [x 0, x ], x x i, i = 0,, care u a făcut deci parte di setul de măsurători iiţiale. Dacă reluarea măsurătorilor petru determiarea valorii f( x) u mai este posibilă di diverse motive, de exemplu acela că feomeul u se mai poate repeta, sutem evoiţi ca pe baza datelor acumulate să căutăm o aproximare petru f( x). Avâd î vedere faptul că pot exista mai multe valori de geul x, vom căuta u aproximat petru fucţia f pe itervalul studiat [x 0, x ], care să aproximeze de fiecare dată valorile f( x ), petru x dat. Vom expue î cadrul acestui capitol două metode de costrucţie a aproximatului: a) ca poliom de iterpolare (câd este mic!); 5
b) ca elemet de cea mai buă aproximare obţiut pri metoda celor mai mici pătrate (câd este mare!). Aproximaţii costruiţi pot de asemeea îlocui fucţia î operaţii de itegrare şi derivare aproximativă aşa cum se va prezeta î capitolele următoare. Aproximarea fucţiilor pri iterpolare Fie + pucte disticte, x i, i = 0, (umite oduri) pe u iterval I R, şi f (x ot i ) = f i, i = 0, valorile date ale fucţiei reale f î aceste pucte (f : R R). Să determiăm u poliom de grad cel mult egal cu, otat P care să treacă pri puctele (x i, f i ), i = 0,. U asemeea poliom îl umim poliom de iterpolare, iar despre f spuem că se aproximează poliomial pe I. Se pu următoarele îtrebări: a) dacă există, care este expresia poliomului de iterpolare î fucţie de x i şi f i, i = 0,? b) cât de bie aproximează poliomul de iterpolare fucţia f pe I? Să îcercăm să răspudem la aceste îtrebări. 4.. Poliomul de iterpolare Lagrage 4... Costruirea poliomului Calea directă de determiare a poliomului de iterpolare ar fi folosirea expresiei geerale a poliomului de gradul, coeficieţii lui (î umăr de +) urmâd să rezulte di cele + codiţii. P (x i ) = f i, i = 0, () Adică, fie P (x) = a 0 x + a x - +... + a. Astfel () reprezită u sistem liiar cu + ecuaţii (deci cele + codiţii ()) şi + ecuoscute a 0, a,..., a (coeficieţii poliomului de iterpolare). Determiatul matricei acestui sistem este determiatul Vadermode V(x 0, x,..., x ) 0, deoarece odurile sut disticte. Rezultă soluţia uică a 0, a,..., a. 6
Deci poliomul de iterpolare există şi este uic, expresia sa fiid depedetă de x i, f i, i = 0,. Fiid destul de laborioasă această cale, vom prefera o altă cale care coduce direct la expresia poliomului de iterpolare. Să otăm cu l k, k = 0,, u poliom de grad petru care l k ( x j ) = δ (simbolul lui Kroecker), ( ) j = 0,. Aşadar l k kj x x j ( x) =, k = 0, () x j= 0 x k j k j (x x0)...(x kk )(x xk )...(x x) adică l k (x) = + (xk x0)...(x k xk )(xk xk+ )...(x k x ), k= 0, Observaţie. Polioamele de grad, defiite de () se umesc polioame fudametale Lagrage (justificarea otaţiei). Este valabilă următoarea proprietate: Proprietatea. Poliomul P (x) = f k k= 0 l k (x) este poliom de iterpolare (umit poliom de iterpolare Lagrage). Aşadar, poliomul de iterpolare Lagrage: x x j P (x) = f k (3) x x k= 0 j= 0 k j k j este u poliom de iterpolare petru datele (x i, f i ), i = 0,. Proprietatea. Poliomul de iterpolare corespuzător la + pucte disticte, există şi este uic (sau poliomul de iterpolare Lagrage costituie sigurul poliom de grad cel mult ce iterpolează datele (x i, f i ), i = 0, ). 4.. Poliomul de iterpolare Newto 4... Difereţe divizate 7
Fie + pucte disticte x i, i = ot 0, (umite oduri) pe u iterval I R şi f(x i ) = f i, i = 0, valorile date ale fucţiei reale f î aceste pucte. Defiiţia. Defiim difereţele divizate de ordi k, k = 0,, recursiv astfel: difereţele divizate de ordi zero coicid cu valorile f i, ale fucţiei f î odurile x i, i = 0, (deci sut + difereţe divizate de ordi 0). Le otăm f(x i ); difereţele divizate de ordi uu se defiesc pri egalitatea f (x i+ ) f (x i ) f(x i ; x i+ ) =, 0 i -, x i+ x i adică f(x 0 ; x ), f(x ; x ),..., f(x -, x ) (deci sut difereţe divizate de ordi ); difereţele divizate de ordi k, se obţi di difereţe divizate de ordi k- după formula: f (x;x ;...; x k ) f (x 0; x;...; x k ) f(x 0 ; x ;...; x k ) = (7) x k x 0 Observaţie. Există o sigură difereţă divizată de ordiul şi f (x;x ;...; x ) f (x 0; x;...; x ) aume f(x 0 ; x ;..., x ) =. x x 0 Observaţie. Di defiiţia rezultă că putem trece difereţele divizate (de toate ordiele) îtr-u tablou astfel: x i dif.div. de ord.0 dif.div. de ord. ord.... ord. x 0 x x M x - x - x f(x 0 ) = f 0 f(x ) = f f(x ) = f M f(x - ) = f - f(x - ) = f - f(x ) = f f(x 0 ; x ) f(x ; x ) f(x ; x 3 ) M f(x - ; x - ) f(x - ; x ) f(x 0 ; x ; x ) f(x ; x ; x 3 ) f(x ; x 3 ; x 4 ) M f(x - ; x - ; x ) folosid formulele (7). Deci otâd d ij, elemetele acestui tablou d i0 = f i, i = 0, f(x 0 ; x ;...;x ) M 8
d d ij = x i+, j j+ i d x i, j i, j =, ; i = 0, j Observaţie. Se poate demostra, pri iducţie după m, că m f (x ) f(x 0 ;...; x m ) = m j= 0 i= 0 i j j j (x x ) ceea ce arată că difereţele divizate sut simetrice î argumete. i (8) Poliomul otat k 0 k+ j) k= 0 j= 0 N (x) = f(x 0 ) + f (x ;...; x ) (x x () se umeşte poliomul lui Newto de iterpolare cu difereţe divizate. Di (9), combiâd cu (5), deducem: (+ ) f ( ξ) f(x; x 0 ;...; x ) =, ( + )! ξ este itermediar puctelor x, x 0,..., x. Observaţii:. Poliomul de iterpolare Lagrage, cu exprimarea (3) este idetic cu poliomul de iterpolare al lui Newto cu exprimarea ().. Di tabloul difereţelor divizate, se observă că e iteresează doar prima liie. 4.4. Aproximarea cu fucţii splie cubice 4.4.. Costrucţia aproximatului splie cubic Dacă gradul poliomului este 3 vom spue că aproximăm cu splie cubic, defiit pri codiţiile de mai jos:. S(x i ) = f i, 0 i ;. S, S', S'' cotiue pe [a, b]; 9
3. S poliom de gradul trei pe fiecare subiterval [x i-,x i ], i. Notăm: S i resticţia lui S pe [x i-, x i ] adică S i (x) = S(x), x [x i-, x i ]. u i = S''(x i ), 0 i, deci u i = S'' i (x i ) cot = S '' i+ (x i ). Forma geerala a ramurii i a splie-ului cubic este 3 3 ui (x xi ) + ui (xi x) h i x x i S i (x) = + fi u i 6h i 6 + h i h i xi x + fi u i 6, () hi Se observă cotiuitatea lui S. Î cotiuare, vom impue codiţiile de cotiuitate şi petru S', adică S' i (x i ) = S' i+ (x i ), i de ude avem: h i h i + h i h u i + u + i+ fi+ fi fi fi i + u i+ = (3) 6 3 6 h i+ h i i Relaţiile (3) reprezită u sistem de - ecuaţii cu + ecuoscute u 0, u,..., u, petru a căror determiare există două cazuri practice: I. S''(a) = S''(b) = 0, adică u 0 = u = 0. Rezultă ecuaţii cu ecuoscute: u, u,..., u -, adică am redus umărul de ecuoscute. şi ot S'(a) = f '(a) = f ' 0 II. ot S'(b) = f '(b) = f ' u h 6 u h f ' u h h f f + u (4) 0 0 = f ' 0 3 6 h f f + =, (5) 3 h 30
adică mărim umărul de ecuaţii şi deci (4) + (3) + (5) reprezită u sistem de + ecuaţii cu + ecuoscute: u 0, u,..., u. Î ambele cazuri I şi II sistemele obţiute sut tridiagoale simetrice cu diagoala pricipală domiată. 4.5. Metoda celor mai mici pătrate cazul fucţiilor tabelate 4.5.. Costrucţia elemetului de cea mai buă aproximare Fiid dată o fucţie f : [a, b] R vom spue că este tabelată atuci câd se cuosc valorile f(x i ) = f i ale fucţiei f pe u sistem de oduri echidistate sau u: a = x < x <... < x = b. Metoda celor mai mici pătrate (m.c.m.m.p.) îşi propue ca petru fucţiile tabelate să determie u aproximat care să aproximeze suficiet de bie fucţia î orice puct di itervalul [a, b], fără să coicidă cu fucţia î mod expres î vreu puct. Alegerea aproximatului se va face ditr-o familie de fucţii liiar idepedetă, umită sistem de geeratori sau fucţii stadard şi evidet forma lui va depide de familia di care face parte. Cea mai comodă alegere petru aproximat va fi de formă poliomială. Elemetul de cea mai buă aproximare î sesul celor mai mici pătrate se va determia di codiţia de miimizare a abaterii ditre fucţia f şi aproximatul g: ude: f g = f (x ) g(x ) (33) i= i= i f = f. i i 3
Aproximatul g va fi geerat de o familie fiită de fucţii liiar idepedete: ϕ, ϕ,..., ϕ m adică g va avea forma: m g(x) = c ϕ (x (34) i= i i ) Coeficieţii c i R îi vom determia di codiţia de miimizare a erorii de aproximare: m mi R(c, c,..., c m ) = mi f (x j ) ci i (x j) ϕ j= i= (35) echivaletă cu rezolvarea sistemului liiar: R R R = 0 ; = 0 ;... c c c m = 0 (36) sau m i ϕk (x j) ϕi (x j) = ϕk (x j)f (x j) i= j= j= c, k =, m (37) elemetului de cea mai buă aproximare petru o fucţie dată. 4.5.. Aproximarea fucţiilor pri metoda celor mai mici pătrate utilizâd polioame algebrice Vom alege fucţiile stadard ca polioame algebrice, o primă posibilitate fiid ca: ϕ (x) = ; ϕ i (x) = x i-, i, m (4) Ecuaţiile sistemului (37) (care se mai umesc şi ecuaţii ormale) vor devei: m i c + ci x j = f j i= j= j= m i ci x j = x jf j i= j= j= (4)... m m+ i m ci x j = x j f j i= j= j= 3
ude x, x,..., x sut puctele î care se cuoaşte feomeul fizic a cărui modelare se studiază. 5. EVALUAREA NUMERICĂ A INTEGRALELOR Itroducere Vom studia î cotiuare metode de evaluare aproximativă a itegralelor defiite b a f (x)dx petru o fucţie f itegrabilă a cărei primitivă este dificil de evaluat. Aproximarea itegralei defiite se va face cu formule de forma: b a f (x)dx = c f (x + E(ƒ), i= 0 i i ) () ude: c i sut coeficieţi, x i sut oduri echidistate alcătuid o diviziue a itervalului [a, b] iar E(f) este restul metodei de aproximare umerică. Petru fiecare metodă restul (eroarea) este specific, iar coeficieţii c i şi odurile x i se aleg astfel îcât restul să fie ul atuci câd fucţia se îlocuieşte cu u poliom de u aumit grad m. Există o varietate de metode de aproximare a itegralelor cuoscute şi sub umele de formule de cvadratură, clasificarea acestora făcâdu-se î fucţie de modul de obţiere. a) Dacă petru obţierea formulei de cvadratură () odurile echidistate x 0, x,..., x sut fixate şi se determiă coeficieţii c i, astfel îcât E(f) să fie ul petru orice f poliom cu gradul cel mult egal cu m, ordiul de exactitate va fi m. Câteva exemple de metode pe care le vom prezeta î cotiuare di cadrul acestei familii sut: metoda trapezului, metoda Simpso, metoda lui Newto, cuoscute î geeral sub deumirea de formule de tip Newto-Côtes. 33
Aceste metode permit şi evaluarea itegralelor di fucţii a căror expresie u este cuoscută dar avem acces pri măsurători la valorile care e iteresează. b) Dacă î formula () toţi coeficieţii c i sut egali: c i = c, i = 0, şi se determiă odurile x i astfel îcât restul E(f) să fie ul petru orice f poliom de gradul m, atuci se obţie o formulă de tip Cebîşev: b a f (x)dx = c i= 0 f (x ) + E(f i ) de ordiul m. c) Dacă î formula () se determiă atât coeficieţii c i cât şi valorile x i iar restul va fi ul petru orice f poliom de grad maxim m obţiem formule de cvadratură de tip Gauss avâd ordiul de exactitate m. Formulele de tip Newto-Côtes vor fi expuse î cotiuare iar cele de tip Cebîşev şi Gauss vor fi expuse î capitolul 7. 5.. Metoda trapezului Se obţie aproximâd fucţia de itegrat cu u poliom de iterpolare Lagrage costruit pe odurile a şi b. Deci b b a f (x)dx [ f (a) + f (b)] a Geometric, membrul drept reprezită aria trapezului cu bazele ƒ(a), ƒ(b) şi îălţimea b a care se obţie aproximâd curba dată pe [a, b] pritr-o dreaptă (de aici deumirea metodei). De la iterpolarea Lagrage ştim că f"( ξ ) ƒ(x) = L(x) + (x a)(x b), î codiţia ƒ C [a, b], ξ (a, b) Deci b b a f (x)dx = [ f (a) + f (b)] + E T (ƒ), a b cu E T (ƒ) = f"( ξ) (x a)(x b) dx a 34
eroarea de aproximare î formula trapezului. De aceea vom cosidera o diviziue a itervalului [a, b], pri puctele echidistate (petru comoditatea formulei pe care o vom b a stabili) x i = x o + ih, i = 0,, ude x 0 = a, x = b, iar pasul h =. Obtiem: b h f (x)dx = f (x 0 ) + f (x i ) + f (x ) + ET (f ), a i= 3 h. Cum ƒ este cotiuă rezultă că ( ) ξ (a, b) astfel îcât ude E T (ƒ) = [ f"( ξ ) +... + f"( ξ )] f f ƒ (ξ) = "( ξ ) +... + "( ξ ) şi rezultă că 3 3 h h ( b a) E T (ƒ) = f "( ξ) = ( b a) f "( ξ) = f "( ξ) Notâd cu M = max f "( x), obţiem: x [ a, b] 3 ( b a) M E T (ƒ), deci putem mărgii eroarea î formula trapezului. 6. APROXIMAREA NUMERICĂ A SOLUŢIILOR ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Ecuaţiile difereţiale ordiare sau cu derivate parţiale costituie modelele matematice petru majoritatea problemelor igiereşti: studiul eforturilor la care sut supuse elemetele de rezisteţă: bare, grizi, plăci subţiri, groase, coducte; studiul problemelor de câmp electric î dielectrici, câmp magetic, câmp termic, propagarea udelor de toate felurile şi lista poate cotiua. Odată stabilit feomeul fizico-tehic şi ecuaţiile difereţiale care îl guverează, ca formă, coeficieţi, codiţii la limită (pe frotieră) rămâe de rezolvat ultima problemă: rezolvarea acestui 35
model matematic. Di diverse motive: eomogeităţile fizice, frotiere cu geometrie dificilă, umăr de ecuoscute, etc., rezolvarea o vom face căutâd o soluţie aproximativă cu ajutorul uui calculator. Vom expue î cadrul acestui capitol pricipalele metode aproximative care se pretează la implemetarea pe calculator petru rezolvarea ecuaţiilor difereţiale. Petru ecuaţii difereţiale ordiare acestea se pot clasifica î două mari tipuri: - metode uipas (Euler, Ruge-Kutta) î care determiarea soluţiei î fiecare puct se va obţie direct; - metode multipas, sau predictor-corector î care valoarea soluţiei î fiecare puct se va predicta şi apoi se va corecta iterativ. Evidet este vorba de soluţii aproximative pe care u avem cum să le comparăm cu o soluţie exactă, deoarece practic aceasta este imposibil de găsit. De aceea î practică trebuie să procedăm cu ateţie petru alegerea algoritmilor cei mai potriviţi petru problema cocretă de rezolvat. 6.. METODE DE TP EULER 6... Metoda Euler Se cosideră ecuaţia difereţială: y = ƒ(x, y) () cu codiţia iiţială: y(x 0 ) = y 0, () ude fucţia ƒ este defiită îtr-u domeiu D di plaul xoy. 36
Metoda lui Euler propue aproximarea soluţiei pritr-o liie poligoală î care fiecare segmet are direcţia data de capatul sau stag. Astfel se cosideră odurile echidistate x i = x 0 + ih, i = 0,. Cosiderâd cuoscută aproximarea y i a soluţiei problemei ()+() î x i, procedeul de aproximare Euler, poate fi acum rezumat astfel: f i = f (x i, yi ); x i+ = x i + h; yi+ = yi + hfi ; (4) Neglijarea termeilor de ordi superior î (4) face ca metoda să fie comodă î calcul, dar puţi precisă, erorile cumulâdu-se la fiecare pas. Metoda se poate aplica şi dacă odurile x i u sut echidistate, avâd la fiecare iteraţie alt pas, h î acest caz. 6... Metoda Euler modificată Cosiderăm pe [x i, x i+ ] ca direcţie a segmetului M i M i+ direcţia defiită de puctul de la mijlocul segmetului (u de extremitatea stâgă ca î formula iiţială) se obţie metoda Euler modificată. Dacă x i, y i sut valori calculate, procesul iterativ este următorul: h x i = x 0 + ih; fi = f (x i, yi ); x = x i + ; i+ y i+ = y i + h f i ; f i+ = f x i+ 6..4. Metoda Euler Heu, y i+ ; y i+ = y i + hf i+ ; Vom îcheia trecerea î revistă a variatelor Euler petru rezolvarea ecuaţiilor de tipul () prezetâd o ultimă variată de ordiul doi a metodei lui Euler şi aume aceea propusă de Heu, [6]. 37
Presupuâd calculată valoarea y i la pasul x i, se propue petru calcularea soluţiei la pasul x i+ expresia: h yi + = yi + f ( xi, yi ) + 3 f xi + h, yi + hf ( xi, yi. 4 3 3 6.. Metode de tip Ruge-Kutta (R-K) petru problema Cauchy Itroducere Dacă metodele de tip Euler prezetate aterior au mai mult u caracter didactic petru familiarizarea cititorului cu problematica, metodele de tip Ruge Kutta pe care le vom expue î cotiuare pot fi utilizate cu succes î rezolvarea problemelor cocrete di practica igierească. Metodele Ruge-Kutta au trei proprietăţi disticte [30]:. Sut metode directe, adică petru determiarea aproximării soluţiei la pasul i+ avem evoie de iformaţiile existete î puctul precedet x i, y i.. Sut idetice cu seriile Taylor pâă la termeii h, ude h este pasul curet iar este diferit petru metode diferite di această familie şi defieşte ordiul metodei. Metodele de tip Euler pot fi şi ele icluse î familia Ruge- Kutta şi putem astfel observa că metoda Euler este o metodă R-K de ordiul îtâi iar metodele Euler-Cauchy şi Euler-Heu sut metode R-K de ordiul. 3. Metodele de tip R-K ecesită î procesul de calcul doar evaluarea fucţiei di membrul drept î diferite pucte u şi a derivatelor ei. Aceasta este, alături de precizia buă a metodelor de ordi 3, 4, 5 motivul pricipal al utilizării lor frecvete î practică. Oricum şi petru metodele di această familie, formulele de evaluare a erorii păstrează doar u caracter teoretic eputâd fi aplicate î practică decât petru exemple simple cu caracter didactic. O formulă Ruge-Kutta de ordiul : 38
y(x + h) = y(x) + (k + 3k ) 4 k = hf (x, y) k = hf x + h, y + k 3 3 cuoscută ca formula Euler-Heu. (0 ) O formulă de ordiul 3 este următoarea: y(x+h) = y(x) + 4 (k + 3k 3 ) k = hf(x,y) h k k = hf x +, y + 3 3 h k k 3 = hf x +, y + 3 3 Formule Ruge-Kutta de ordiul 4: y(x+h) = y(x) + 6 (k +k + k 3 + k 4 ) k = hf(x,y) h k k = hf x +, y + h k k 3 = hf x +, y + k 4 = hf(x + h, y + k 3 ) formula propriu-zisă Ruge-Kutta şi y(x+h) = y(x) + 8 (k +3k + 3k 3 + k 4 ) k = hf k = hf(x,y) h k +, y + 3 3 x 39
h k k 3 = hf x +, y + k 3 3 k 4 = hf(x + h, y + k k + k 3 ) formula Kutta-Simpso Rezolvarea sistemelor de ecuaţii difereţiale cu metoda Ruge-Kutta Metodele Ruge-Kutta, prezetate petru ecuaţii difereţiale, se pot extide cu uşuriţă şi la sisteme de ecuaţii difereţiale. Fie sistemul de ecuaţii difereţiale: y = f(x, y,..., y ),... () y = f (x, y..., y ) şi urmărim să determiăm soluţia care satisface codiţiile iiţiale: y i (x 0 ) = y i,0, i =, (3) Presupuâd că dispuem de soluţia problemei () + (3) la pasul i: y,i,..., y,i metoda Ruge-Kutta de ordiul 4 calculează soluţia î pasul i+ cu formulele: y,i+ = y,i + Δy,i... (4) y,i+ = y,i + Δy,i Corecţiile: Δy,i, Δy,i,..., Δy,i care itervi î formulele (4) se calculează cu ajutorul relaţiilor: Δy,i = k + k + k 3 + k 4 ; 6 3 3 6... Δy,i = k + k + k 3 + k 4 ; 6 3 3 6 iar coeficieţii k,...,k 4,...,k,..., k 4 au următoarea formă: j k = hf j(x i, y,i..., y, i ), j =, ; 40
j h k k k = hf j x i +, y,i +,..., y,i +, j =, ; j h k k k = 3 hf j x i +, y,i +,..., y,i +, j =, ; ( x + h, y + k,..., y ) j 4 hf j i,i 3,i k 3 k = +, j =, ; 6.3. Metoda difereţelor fiite petru probleme Sturm- Liouville Cosiderăm problema bilocală (Sturm-Liouville) dată de ecuaţia: u(x)y (x) + v(x)y (x) + w(x)y(x) = f(x) (4) şi codiţiile de limită y(a) = α (5) y(b) = β ude x [a, b] şi presupuem că u, v, w, f sut cotiue pe [a, b], u(x) > 0, w(x) < 0 ( ) x [a, b] iar (4)+(5) are soluţie uică pe [a,b]. Fie Δ o diviziue echidistată de pas h a lui [a, b], x 0 = a, x i = a + ih, 0 i cu x = b. Dacă î ecuaţia (4) facem x = x i, i şi folosim diferetele fiite cetrate petru aproximarea operatorilor diferetiali avem i+ ) y(x i ) + y(x y(x i ) ) y(x ) u(x i ) + + h h +w(x i )y(x i ) = f(x i ) y(x 0 ) = α Iar codiţiile (5) devi y(x ) = β Notâd simplificat u i = u(x i ), v i = v(x i ), w i = w(x i ), f i = f(x i ), y i = y(x i ), 0 i, avem y 0 = α, y = β, iar y(x i+ i v(x i ) 4
sau u i y i+ yi + h y i + yi+ yi +w i y i = f i, i - h vi u i vi u i u i vi y i + w i y i + + yi+ = f i, (8) h h h h h i -, care reprezită u sistem liiar de - ecuaţii şi - ecuoscute y, y,..., y -, matricea sistemului fiid tridiagoală domiat diagoală. 4