Capitolul 6 INTEGRALA TRIPLĂ

Capitolul 6 INTEGRALA TRIPLĂ Pentru introducerea noţiunii de integrală triplă a unei funcţii definite pe un domeniu de integrare din R 3, vom revizui construcţia utilizată pentru definiţia integralei duble, trecând de la domenii plane (bidimensionale) la domenii spaţiale (tridimensionale). In acest capitol, prin domeniu de integrare vom înţelege un domeniu închis şi mărginit (de o suprafaţă netedă pe porţiuni) din R 3, care are volum, din nou fără a intra în detalii asupra noţiunii de volum (practic, asupra măsurării" volumului). Trecerea de la integrala dublă la cea triplă se va face în principal înlocuind, în diverse noţiuni şi procedee, noţiunea de arie cu cea de volum. Împărţirea domeniului de integrare în subdomenii Diviziuni (partiţii) ale unui domeniu de integrare Fie R 3 un domeniu de integrare. om spune că o mulţime ordonată de domenii de integrare { 1,,..., n } reprezintă o diviziune (sau partiţie) a lui dacă 1.. n i. i1 i j, pentru orice 1 i, j n, i j. Altfel spus, se poate scrie ca reuniunea tuturor subdomeniilor 1,,..., n, iar aceste subdomenii pot avea comune, două câte două, cel mult suprafeţe de pe frontieră, întrucât au două câte două interioarele disjuncte. Notaţie Mulţimea diviziunilor unui domeniu de integrare se notează D. 188

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 189 Diametrul unui domeniu de integrare Fie R 3 un domeniu de integrare. Numim diametru al lui, notat δ(), distanţa maximă dintre două puncte ale lui. Normă a unei partiţii Fiind dată o diviziune { 1,,..., n }, vom numi normă a diviziunii, notată, valoarea maximă a diametrelor δ( 1 ), δ( ),..., δ( n ), adică max 1 i n δ( n). Sisteme de puncte intermediare asociate Fiind dată o diviziune { 1,,..., n }, vom numi sistem de puncte intermediare asociat diviziunii o mulţime ordonată de puncte C {M 1, M,..., M n }, astfel încât M i i pentru 1 i n (în fiecare subdomeniu se află câte un punct intermediar). Sume Riemann Fiind date un domeniu de integrare, o funcţie f : R, o diviziune { 1,,..., n } a domeniului de integrare şi C {M 1, M,..., M n } un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii, M i M i (α i, β i.γ i ), 1 i n, vom numi sumă Riemann asociată diviziunii şi sistemului de puncte intermediare C suma σ ( f, C) n f (α i, β i, γ i ) vol(d i ) i1 f (α 1, β 1, γ 1 ) vol(d 1 ) + f (α, β, γ ) vol(d ) +...

19 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) + f (α n, β n, γ n ) vol(d n ) (valoarea funcţiei în fiecare punct intermediar se înmulţeşte cu volumul subdomeniului din care punctul intermediar face parte, adunându-se rezultatele). Consideraţii asupra interpretării geometrice a noţiunii de sumă Riemann Interpretarea geometrică a noţiunii de sumă Riemann nu mai este la fel de intuitivă ca şi cea a noţiunilor similare pentru integrala definită sau cea dublă, în principal datorită faptului că în situaţiile anterioare interpretarea geometrică se făcea cu ajutorul unei noţiuni cu o dimensiune în plus" faţă de mulţimea pe care urma a se defini integrala. În speţă, o sumă Riemann a unei funcţii definite pe un interval putea fi interpretată cu ajutorul unei arii, iar o sumă Riemann a unei funcţii definite pe un domeniu de integrare din R putea fi interpretată cu ajutorul unui volum. Acum, o sumă Riemann a unei funcţii definite pe un domeniu de integrare din R 3 ar trebui interpretată cu ajutorul unor noţiuni referitoare la spaţiul R 4, adică nu la un spaţiu fizic, ci la un spaţiu abstract. Funcţii integrabile Riemann Definiţie. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R. om spune că f este integrabilă Riemann pe (pe scurt, f este integrabilă pe ) dacă există un număr real I astfel încât oricare ar fi ε > există δ ε > cu proprietatea că oricare ar fi diviziunea D cu < δ ε şi oricare ar fi sistemul de puncte intermediare C asociat lui, are loc inegalitatea Integrala triplă σ ( f, C) I < ε. Numărul I de mai sus se numeşte integrala triplă a funcţiei f pe domeniul spaţial şi se notează f (x, y, z)dxdydz. Să observăm şi că I, dacă există, este unic determinat. Mulţimea se numeşte domeniu de integrare, funcţia f se numeşte integrand, iar variabilele x, y, z se numesc variabile de integrare. Expresia dxdydz se numeşte element de volum, notat uneori şi cu d. Definiţie alternativă Are loc următoarea echivalenţă, cea de-a doua afirmaţie putând fi utilizată de asemenea ca definiţie a integrabilităţii Riemann.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 191 Teorema 6.1. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie o funcţie f : R. Următoarele afirmaţii sunt echivalente. 1. f este integrabilă pe.. Oricare ar fi un şir de diviziuni ( n ) n ale lui cu n, împreună cu un şir de sisteme de puncte intermediare asociate (C n ) n, şirul sumelor Riemann (σ n ( f, C n )) n este convergent. Din nou, se poate demonstra că limita unui astfel de şir de sume Riemann nu depinde nici de alegerea şirului de diviziuni ( n ) n, nici de alegerea şirului de sisteme depuncte intermediare asociate (C n ) n. aloarea (comună) a limitelor reprezintă f (x, y, z)dxdydz. Domeniu de integrare cu volum nul. Integrala funcţiei nule Cu ajutorul definiţiei, ţinând cont de faptul că toate sumele Riemann asociate sunt nule, putem obţine următoarele proprietăţi. 1. Fie R 3 un domeniu de integrare cu volum nul şi fie f : R integrabilă. Atunci f (x, y, z)dxdydz.. Fie un domeniu de integrare. Atunci dxdydz. Interpretare geometrică: volum Fie R 3 un domeniu de integrare. Conform definiţiei, se obţine că 1dxdydz vol(). La fel ca şi în cazul integralei definite şi al celei duble, integrându-l pe 1 pe o mulţime obţinem măsura" acelei mulţimi, în acest caz volumul. Legătura între integrabilitate şi alte proprietăţi ale funcţiilor Din nou, funcţiile continue pe un domeniu spaţial R 3 sunt integrabile. De asemenea, funcţiile integrabile pe un astfel de domeniu sunt mărginite.

19 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Teorema 6.. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f continuă pe. Atunci f este integrabilă pe. Teorema 6.3. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f integrabilă pe. Atunci f este mărginită pe. 6.1 Operaţii cu funcţii integrabile Fiind obţinută printr-un acelaşi tip de procedeu, integrala triplă păstrează toate proprietăţile integralei duble, atât pe cele în raport cu intervalul cât şi pe cele în raport cu funcţia. Teorema 6.4. Fie un domeniu de integrare, R 3, f, g : R, f, g integrabile pe, şi c R. Au loc următoarele proprietăţi. 1. Proprietatea de aditivitate Funcţiile f + g şi f g sunt integrabile pe, iar ( f (x, y, z) + g(x, y, z))dxdydz f (x, y, z)dxdydz + g(x, y, z)dxdydz (integrala sumei este egală cu suma integralelor), respectiv ( f (x, y, z) g(x, y, z))dxdydz f (x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz (integrala diferenţei este egală cu diferenţa integralelor).. Proprietatea de omogenitate Funcţia c f este integrabilă pe, iar c f (x, y, z)dxdydz c f (x, y, z)dxdydz,

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 193 (o constantă cu care se înmulţeşte poate fi trecută de sub integrală înaintea integralei). Condensat, formulele de mai sus pot fi scrise sub forma următoare. Teorema 6.5. Fie un domeniu de integrare, f, g : R, f, g integrabile pe şi c 1, c R. Atunci c 1 f + c g este integrabilă pe şi (c 1 f (x, y, z) + c g(x, y, z))dxdydz c 1 f (x, y, z)dxdydz + c g(x, y, z)dxdydz. 6. Proprietăţi ale integralei triple 6..1 Proprietăţi în raport cu domeniul Restrângerea domeniului de integrare Teorema 6.6. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f integrabilă pe. Atunci f este integrabilă pe orice subdomeniu 1. Extinderea domeniului de integrare. Aditivitatea în raport cu domeniul Teorema 6.7. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R. Dacă domeniile de integrare 1,,..., n formează o diviziune a lui, iar f este integrabilă pe 1,,..., n, atunci f este integrabilă pe întreg, iar f (x, y, z)dxdydz f (x, y, z)dxdydz + f (x, y, z)dxdydz +... 1 + f (x, y, z)dxdydz n 6.. Proprietăţi în raport cu funcţia Păstrarea inegalităţilor între funcţii om observa în cele ce urmează că şi integrala triplă păstrează semnul funcţiei de integrat şi inegalităţile nestricte între funcţii. În plus, inegalitatea strictă într-

194 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) un punct comun de continuitate al funcţiilor de integrat atrage inegalitatea strictă pentru integrale. Teorema 6.8. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f, g : R, f, g integrabile pe. 1. Dacă f (x, y, z), pentru orice (x, y, z), atunci f (x, y, z)dxdydz.. Dacă f (x, y, z) g(x, y, z), pentru orice (x, y, z), atunci f (x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz. 3. Dacă f (x, y, z) g(x, y, z), pentru orice (x, y, z), şi există (x, y, z ) astfel ca f (x, y, z ) > g(x, y, z ), iar f, g sunt continue în (x, y, z ), atunci f (x, y, z)dxdydz > g(x, y, z)dxdydz. Corolar 6.8.1. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f integrabilă pe. Dacă m f (x, y, z) M, pentru orice (x, y, z), atunci m vol() f (x, y, z)dxdydz M vol(). Corolar 6.8.. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f integrabilă pe. Atunci f este integrabilă pe, iar f (x, y, z)dxdydz f (x, y, z) dxdydz. Teorema de medie Teorema de medie pentru integrala triplă are o interpretare similară celei obţinute pentru integrala dublă, aria domeniului fiind înlocuită însă de volumul acestuia.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 195 Teorema 6.9. Fie un domeniu de integrare, R 3, şi fie f : R, f continuă pe. Atunci există M(c 1, c, c 3 ) astfel încât f (x, y, z)dxdydz f (c 1, c, c 3 ) vol(). 6.3 Calculul integralelor triple Reamintim că, pentru calculul integralelor duble, una dintre posibilele metode de lucru era de a reduce calculul integralei duble la calculul succesiv a două integrale definite, utilizând pe rând cele două variabile ca variabile de integrare. În acest scop, se realizau o proiecţie şi o secţiune, domeniul numindu-se simplu în raport cu axa paralelă cu domeniul de secţiune în anumite condiţii cu suport geometric. Ideea de a determina valoarea a unei integrale de ordin superior prin calculul succesiv al unor integrale de ordin mai mic se păstrează şi pentru integrala triplă. Acum, proiecţia se va realiza pe unul dintre planele de coordonate (şi deci integrala de proiecţie" va fi o integrală dublă), iar secţiunea se va realiza paralel cu una dintre axe (şi deci integrala de secţiune" va fi o integrală simplă). 6.3.1 Domenii simple în raport cu axa Oz Fie R 3 un domeniu de integrare. se numeşte simplu în raport cu Oz dacă 1. Proiecţia lui pe planul xoy este un domeniu de integrare D în R.. Există ϕ 1, ϕ : D R continue astfel ca se poate scrie sub forma {(x, y, z); ϕ 1 (x, y) z ϕ (x, y), (x, y) D}. Cea de-a doua condiţie reprezintă faptul că orice paralelă la axa Oz prin M(x, y) din proiecţia lui pe planul xoy taie frontiera domeniului în cel mult două puncte, ϕ 1 (x, y) fiind coordonata z (cota) punctului de intrare, iar ϕ (x, y) fiind cota punctului de ieşire. Cele două puncte pot eventual şi coincide. Analog se definesc noţiunile de domeniu simplu în raport cu Ox şi de domeniu simplu în raport cu Oy. Teorema 6.1. Fie un domeniu simplu în raport cu axa Oz şi fie f : R

196 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLA (rezumat) integrabila pe. Daca I : D R, ˆ ϕ ( x,y) I ( x, y) f ( x, y, z)dz, pentru ( x, y) D, ϕ1 ( x,y) este bine definita s i integrabila pe D, atunci ш f ( x, y, z)dz f ( x, y, z)dxdydz é ϕ ( x,y) D dxdy. ϕ1 ( x,y) La fel ca s i în cazul integralei duble, ordinea de scriere a integralelor nu este ordinea de calcul. Astfel, mai întâi se calculeaza integrala interioara (cea în raport cu z), iar abia apoi cea exterioara (cea în raport cu perechea de variabile ( x, y)). În particular, ipotezele asupra lui I sunt satisfa cute daca f este funct ie continua. Corolar 6.1.1. Fie un domeniu simplu în raport cu axa Oz s i fie f : R continua pe. Atunci ш f ( x, y, z)dxdydz é ϕ ( x,y) f ( x, y, z)dz D dxdy. ϕ1 ( x,y) Formule de calcul similare celor enunt ate mai sus au loc s i pentru domenii simple în raport cu Ox sau Oy. În situat ia în care domeniul de integrare este simplu în raport cu mai multe axe, alegerea uneia dintre formule se poate face pe

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 197 considerente geometrice asupra formei domeniului sau pe baza formei particulare a funct iei. Exemplu. Determinat i volumul corpului determinat de paraboloidul de rotat ie z x + y s i planul z 4. Solut ie. Avem ca vol( ) 1dxdydz. Domeniul este simplu în raport cu toate cele trei axe. Deoarece este un corp de rotat ie în jurul lui Oz, iar proiect ia lui pe xoy este un disc (convenabil descris cu ajutorul coordonatelor polare), vom folosi faptul ca este simplu în raport cu Oz. Discul D de proiect ie are raza egala cu cea a cercului de intersect ie între paraboloid s i planul z 4, paralel cu planul xoy. Determina m acum raza cercului de intersect ie. Urmeaza ca z x + y z 4 x + y 4, deci raza cercului de intersect ie este R, iar doua dintre coordonatele centrului C sunt xc s i yc. Cea de-a treia coordonata este zc 4, întrucât cercul de

198 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) intersecţie este conţinut în planul z 4. Discul de proiecţie D are deci rază şi centru O (proiecţia lui C). Pentru a determina domeniul de secţiune, ducem o paralelă la axa Oz printrun punct oarecare (x, y) din domeniul de proiecţie. Observăm că punctul de intrare" în al paralelei este situat pe paraboloidul z x + y, în timp ce punctul de ieşire" este situat în planul z 4. Urmează că vol() 1dxdydz D (ˆ 4 Calculăm mai întâi integrala interioară, obţinând că ˆ 4 x +y 1dz z x +y 1dz ) 4 4 (x + y ). x +y dxdy. Atunci vol() D (4 (x + y ))dxdy. Întrucât D este un disc centrat în origine, pentru calculul integralei duble vom folosi coordonatele polare, sub forma x ρ cos θ, ρ [, ], θ [, π], dxdy ρdρdθ. y ρ sin θ Urmează că vol() [,] [,π] [,] [,π] [,] [,π] (ˆ (4 ρ )ρdρ (4 (ρ cos θ + ρ sin θ))ρdρdθ (4 ρ (cos θ + sin θ))ρdρdθ (4 ρ )ρdρdθ ) (ˆ π ) 1dθ I 1 I. Deoarece I 1 ˆ (4 ρ )ρdρ ˆ (4ρ ρ 3 )dρ ˆ ˆ 4ρdρ ρ 3 dρ

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL ρ 4 ρ4 4 4 iar ˆ I 16 4, 4 π π 1dθ θ 199 π, urmeaza ca vol( ) 4 π 8π. Exemplu. Determinat i ( x + y + z)dxdydz, unde este domeniul ma rginit de planele x, y, z s i x + y + z 1. Solut ie. Domeniul, reprezentat în figura, este tetraedrul OABC, cu vârfuri O(,, ), A(1,, ), B(, 1, ), C (,, 1). El este simplu în raport cu toate axele de coordonate. Pentru calculul integralei, vom folosi faptul ca este simplu în raport cu Oz.

Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Domeniul de proiecţie este triunghiul OAB, împreună cu interiorul acestuia, domeniu notat în continuare cu D. Pentru a determina domeniul de secţiune, ducem o paralelă la axa Oz prin M(x, y) oarecare din domeniul de proiecţie. Deoarece punctul de intrare al paralelei se află în planul xoy, obţinem că z intrare. Deoarece punctul de ieşire al paralelei se află în planul x + y + z 1, obţinem că z ieşire 1 x y. Avem atunci (x + y + z)dxdydz D (ˆ 1 x y Calculăm mai întâi integrala interioară. Urmează că I 1 x xz ˆ 1 x y ˆ 1 x y z1 x y z (x + y + z)dz ˆ 1 x y 1dz + y + yz z1 x y z ˆ 1 x y 1dz + z + z x(1 x y) + y(1 x y) + (x + y + z)dz ˆ 1 x y xdz + 1 x y z1 x y z (1 x y) 1 (1 x y)(1 + x + y) 1 (1 (x + y) ). De aici, 1 (x + y + z)dxdydz D (1 (x + y) )dxdy 1 ñ ô 1dxdy (x + y) dxdy 1 ñ aria(d) D D ) dxdy. ˆ 1 x y ydz + zdz D ô (x + y) dxdy. D Cum D este un triunghi dreptunghic isoscel cu catete de lungimi egale cu 1, avem că aria(d) 1. Rămâne deci să calculăm (x + y) dxdy. În acest scop, să observăm că domeniul de integrare D este simplu în raport cu ambele axe. Pentru calculul integralei duble, vom folosi faptul că el este simplu în raport cu Oy. Domeniul de proiecţie (pe Ox) este intervalul [, 1], deoarece abscisa punctului A este 1, iar cea a punctului O este. Pentru a determina domeniul de secţiune, ducem o paralelă printr-un punct oarecare din domeniul de proiecţie la Oy. Deoarece punctul de intrare al paralelei se află pe axa Ox, urmează că

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 1 y intrare. Punctul de ieşire al paralelei se află pe dreapta AB, a cărei ecuaţie este x x A y y A, sau x 1 y, adică x + y 1. Urmează că x B x A y B y A 1 1 y ieşire 1 x. De aici, ˆ 1 (ˆ 1 x ) (x + y) dxdy (x + y) dy dx. D Calculăm mai întâi integrala interioară. Avem că ˆ 1 x y1 x (x + y) (x + y)3 dy 13 3 3 x3 3 1 3 (1 x3 ). Atunci D ˆ 1 y (x + y) 1 dxdy 3 (1 x3 )dx 1 3 1 Ç 1 1 å 1 3 4 4. ˆ 1 (1 x 3 )dx 1 3 ( x x4 4 ) 1 De aici, (x + y + z)dxdydz 1 ñ 1 1 ô 1 4 8. 6.3. Domenii paralelipipedice La fel ca şi în cazul integralelor duble, formulele de calcul pentru integralele triple se simplifică în mod considerabil atunci când domeniul de integrare este un

Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) paralelipiped cu laturile paralele cu axele de coordonate, nemaifiind necesară determinarea domeniului de secţiune. Un astfel de paralelipiped poate fi scris ca un produs cartezian de intervale sub forma [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ], unde [a 1, b 1 ], [a, b ], [a 3, b 3 ], reprezintă intervalele de valori pentru abscisele, respectiv ordonatele şi cotele punctelor din. În această situaţie, este simplu în raport cu toate cele 3 axe de coordonate. Corolar 6.1.. Fie f : [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ] R, f continuă. Atunci (ˆ b3 ) f (x, y, z)dxdydz f (x, y, z)dz dxdy [a 1,b 1 ] [a,b ] [a 3,b 3 ] (ˆ b [a 1,b 1 ] [a 3,b 3 ] a (ˆ b1 [a,b ] [a 3,b 3 ] a 1 f (x, y, z)dy f (x, y, z)dx ) ) dxdz dydz. [a 1,b 1 ] [a,b ] 6.3.3 Domenii paralelipipedice şi funcţii separabile ca produse Dacă domeniul de integrare este un paralelipiped cu laturile paralele cu axele de coordonate, iar integrandul f se poate scrie ca produs între o funcţie care depinde doar de variabila x, o funcţie care depinde doar devariabila y şi o funcţie care depinde doar de variabila z, atunci integrala triplă f (x, y, z)dxdydz se poate scrie ca un produs de integrale simple. a 3

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 3 Teorema 6.11. Fie f : [a 1, b 1 ] [a, b ] [a 3, b 3 ] R, f (x, y) f 1 (x) f (y) f 3 (z), unde f 1, f, f 3 sunt funcţii continue. Atunci f (x, y, z)dxdydz [a 1,b 1 ] [a,b ] [a 3,b 3 ] f 1 (x) f (y) f 3 (z)dxdydz [a 1,b 1 ] [a,b ] [a 3,b 3 ] (ˆ b1 ) (ˆ b a 1 Exemplu. Determinaţi f 1 (x)dx a f (y)dy ) (ˆ b3 a 3 [, π ] [,π] [,1] sin x cos ydxdydz. f 3 (y)dy Soluţie. Domeniul de integrare este un paralelipiped cu laturile paralele cu axele de coordonate, iar integrandul se separă ca un produs între o funcţie doar de variabila x, o funcţie doar de variabila y şi o funcţie constantă, sub forma Urmează că sin x cos y sin x cos y 1. ˆ π ˆ π sin xdx ˆ 1 sin x cos ydxdydz cos ydy 1dz [, π ] [,π] [,1] π π 1 ( cos x) sin y z 1 1. 6.3.4 Formula de schimbare de variabilă în integrala triplă În unele situaţii, fie funcţia de integrat, fie forma geometrică a domeniului se simplifică după schimbări de variabile. Schimbări de variabilă (transformări regulate) Fie 1 un domeniu de integrare mărginit de suprafaţa închisă netedă pe porţiuni S 1 şi un domeniu de integrare mărginit de suprafaţa închisă netedă pe ).

4 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLA (rezumat) port iuni S. Spunem ca se transforma în 1 prin schimbarea de variabila (sau transformarea regulata ) x x (u, v, w) T : y y(u, v, w), (u, v, w), z z (u, v, w) daca 1. T este bijectiva ca funct ie de la la 1.. Funct iile x x (u, v, w), y y(u, v, w) s i z y(u, v, w) au derivatele part iale de ordinul 1 s i derivatele part iale mixte de ordinul al doilea continue. 3. Determinantul funct ional (numit determinant jacobian) x u D ( x, y, z) y D (u, v, w) u z u x v y v z v x w y w z w este nenul pentru (u, v, w). Formula de schimbare de variabila Teorema 6.1. Fie 1 un domeniu de integrare ma rginit de suprafat a închisa neteda pe port iuni S1 s i un domeniu de integrare ma rginit de suprafat a închisa neteda pe port iuni S, astfel încât se transforma în 1 prin schimbarea de variabila

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 5 (sau transformarea regulată) x x(u, v, w) T : y y(u, v, w), (u, v, w). z z(u, v, w) Fie de asemenea f : 1 R o funcţie continuă. Atunci f (x, y, z)dxdydz 1 D(x, y, z) f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) D(u, v, w) dudvdw. În prima parte a membrului drept, variabilele vechi x, y şi z se înlocuiesc în funcţie de variabilele noi u, v şi w. Cea de-a doua parte a membrului drept reprezintă formula de transformare a elementului de volum, care poate fi scrisă sub forma D(x, y, z) dxdydz D(u, v, w) dudvdw. 6.3.5 Coordonate sferice şi sferice generalizate Coordonate sferice Fiind dat un reper cartezian Oxyz în spaţiu, putem preciza poziţia unui punct M Oz atât prin coordonatele sale carteziene (x, y, z), cât şi prin coordonatele sale sferice (ρ, ϕ, θ), unde 1. ρ reprezintă distanţa între M şi O;. ϕ reprezintă unghiul neorientat între raza vectoare OM şi semiaxa Oz; 3. θ reprezintă unghiul orientat între Ox şi OM 1, M 1 fiind proiecţia lui M pe planul xoy, măsurat în sens trigonometric. În aceste condiţii, legătura între coordonatele carteziene (x, y, z) şi coordonatele sferice (ρ, ϕ, θ) este dată de formulele x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ, ρ >, ϕ [, π], θ [, π). z ρ cos ϕ

6 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) De asemenea, D(x, y, z) D(ρ, ϕ, θ) x x x ρ ϕ θ y y y ρ ϕ θ z z z ρ ϕ θ (ρ sin ϕ cos θ) (ρ sin ϕ cos θ) (ρ sin ϕ cos θ) ρ ϕ θ (ρ sin ϕ sin θ) (ρ sin ϕ sin θ) (ρ sin ϕ sin θ) ρ ϕ θ (ρ cos ϕ) (ρ cos ϕ) (ρ cos ϕ) ρ ϕ θ sin ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ cos ϕ ρ sin ϕ ρ sin ϕ cos ϕ cos θ + ρ sin 3 ϕ sin θ + ρ sin ϕ cos ϕ sin θ + ρ sin 3 ϕ cos θ. Grupând termenii doi câte doi, obţinem D(x, y, z) D(ρ, ϕ, θ) ρ sin ϕ cos ϕ(cos θ + sin θ) + ρ sin 3 ϕ(sin θ + cos θ) ρ sin ϕ cos ϕ + ρ sin 3 ϕ ρ sin ϕ(cos ϕ + sin ϕ)

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 7 ρ sin ϕ. Formula de transformare a elementului de volum De aici, obţinem următoarea formulă de transformare a elementului de volum pentru trecerea de la coordonate carteziene la coordonate sferice Utilitatea coordonatelor sferice dxdydz ρ sin ϕdρdϕdθ. Coordonatele sferice sunt utilizate în special pentru integrarea pe domenii sferice (bile sferice), sau porţiuni din aceste domenii, mai ales când aceste domenii sunt centrate în origine. Din nou, în practică, atât pentru ρ cât şi pentru θ vor fi folosite intervalele corespunzătoare închise, întrucât închiderea intervalelor adaugă la domeniu mulţimi de volum nul, ceea ce nu modifică valorile integralelor. Exemplu. Determinaţi dxdydz» x + y + z, unde este domeniul spaţial mărginit de sferele (S1) : (S) : x + y + z 4. x + y + z 1 şi Soluţie. Sfera (S1) are centrul în origine şi rază R 1 1, în vreme ce sfera (S)

8 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) are centrul tot în origine şi rază R. om folosi coordonate sferice, sub forma x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ dxdydz ρ sin ϕdρdϕdθ,, ρ [1, ], ϕ [, π], θ [, π], valorile maximă şi respectiv minimă ale lui ρ fiind deduse din faptul că, întrucât domeniul este mărginit de cele două sfere, distanţa dintre un punct al său şi origine este minimă şi egală cu 1 când punctul se află pe (S1), respectiv maximă şi egală cu când punctul se află pe (S). Atunci» x + y + z ρ sin ϕ cos θ + ρ sin ϕ sin θ + ρ cos ϕ ρ sin ϕ(cos θ + sin θ) + ρ cos ϕ ρ sin ϕ + ρ cos ϕ ρ (sin ϕ + cos ϕ)» ρ ρ. Altfel, se putea observa direct că» x + y + z reprezintă distanţa între punctul curent M(x, y, z) şi originea O(,, ), prin definiţie egală cu ρ. Urmează că dxdydz» x + y + z [1,] [,π] [,π] ˆ ˆ π 1 6π. ρdρ sin ϕdϕ 1» x + y + z dxdydz 1 ρ ρ sin ϕdρdϕdθ ˆ π 1dθ ρ ρ sin ϕdρdϕdθ [1,] [,π] [,π] π π ( cos ϕ) θ 3 π 1 Exemplu. Determinaţi» x + y + z dxdydz, unde este domeniul spaţial definit prin (x, y, z); x + y + z 4z.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 9 Soluţie. Să observăm că x + y + z 4z x + y + z 4z + 4 4 x + y + (z ), ceea ce înseamnă că este o bilă sferică cu centrul în A(,, ) şi de rază. Putem folosi următoarea schimbare de variabilă, similară coordonatelor sferice, dar care ia în calcul şi poziţia centrului Atunci x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ z + ρ cos ϕ D(x, y, z) D(ρ, ϕ, θ), ρ [, ], ϕ [, π], θ [, π]. x ρ y ρ z ρ x ϕ y ϕ z ϕ x θ y ρ sin ϕdρdϕdθ, θ z θ la fel ca şi în cazul coordonatelor sferice, întrucât adăugarea constantei nu modifică valorile derivatelor parţiale utilizate în calculul determinantului jacobian.

1 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Deoarece» x + y + z» (ρ sin ϕ cos θ) + (ρ sin ϕ sin θ) + ( + ρ cos ϕ) ρ (sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ) + 4ρ cos ϕ + 4 ρ (sin ϕ(cos θ + sin θ) + cos ϕ) + 4ρ cos ϕ + 4 ρ (sin ϕ + cos ϕ) + 4ρ cos ϕ + 4» ρ + 4ρ cos ϕ + 4, urmează că Deoarece» x + y + z dxdydz [,] [,π] [,π] [,] [,π] Lj π» ρ + 4ρ cos ϕ + 4 ρ sin ϕdρdϕdθ» ρ + 4ρ cos ϕ + 4 ρ sin ϕdϕå dρdθ. ϕ (ρ + 4ρ cos ϕ + 4) 4ρ sin ϕ, această din urmă derivată putând fi pusă în evidenţă sub integrală, este avantajos să integrăm mai întâi în raport cu ϕ şi să folosim metoda de schimbare de variabilă. Pentru calculul integralei I 1 ˆ π vom folosi deci schimbarea de variabilă ceea ce conduce la I 1 ρ 6 ˆ ρ 4ρ+4 ρ +4ρ+4» ρ + 4ρ cos ϕ + 4 ρ sin ϕdϕ, u ρ + 4ρ cos ϕ + 4 du 4ρ sin ϕdϕ, Å u ρ ã du ρ ˆ (ρ+) ρ u 3 udu 4 4 (ρ ) 4 3 (» (ρ + )6» (ρ ) 6) ρ 6 Ä (ρ + ) 3 (ρ ) 3 ä. (ρ+) ρ 6 (ρ ) u 3 Deoarece ρ [, ], urmează că ρ <, iar (ρ ) 3 ( ρ) 3. De aici I 1 ρ 6 Ä (ρ + ) 3 ( ρ) 3ä ρ 6 (4ρ + ρ3 ) 4ρ + ρ4 3. (ρ+) (ρ )

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 11 Atunci» x + y + z dxdydz (ˆ ( 4ρ + ρ4 3 ) dρ ) [,] [,π] ) (ˆ π 1dθ Alternativ, se pot utiliza coordonatele sferice ( ) 4ρ + ρ4 dρdθ 3 ( ) 4ρ 3 3 + ρ5 15 π 18π 5. x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ, θ [, π]. Să observăm însă că de această dată ϕ [, π ], domeniul aflându-se în întregime deasupra planului xoy. Să determinăm transformarea inegalităţii care defineşte domeniul şi să determinăm de aici valorile lui ρ. x + y + z 4z ρ 4ρ cos ϕ ρ 4 cos ϕ, Domeniul se transformă atunci în domeniul 1 definit prin 1 ß(ρ, ϕ, θ); ρ 4 cos ϕ, ϕ [, π ], θ [, π].

1 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Urmează că» (ˆ 4 cos ϕ ) x + y + z dxdydz ρ 3 sin ϕdρ dϕdθ [, π ] [,π] ρ [, 4 ρ4 cos ϕ π ] [,π] sin ϕdϕdθ 64 cos 4 ϕ sin ϕdϕdθ 4 ρ [, π ш ] [,π] é π (ˆ π ) 64 cos 4 ϕ sin ϕdϕ dθ 64I 1 π. Cu schimbarea de variabilă se obţine că de unde I 1 u cos ϕ du sin ϕdϕ, ˆ Coordonate sferice generalizate 1 u 4 ( du) ˆ 1 u 4 du u5 5 1 1 5,» x + y + z dxdydz 18π 5. Pentru domenii mărginite de elipsoizi centraţi în origine, sau porţiuni ale acestora, se pot folosi coordonatele sferice generalizate. Astfel, pentru un domeniu mărginit de elipsoidul de ecuaţie carteziană (E) : x a + y b + z 1, vor fi folosite c coordonatele (ρ, ϕ, θ) legate de cele carteziene prin relaţiile x aρ sin ϕ cos θ y bρ sin ϕ sin θ z cρ cos ϕ, ρ [, 1], ϕ [, π], θ [, π). Printr-un calcul asemănător celui de mai sus se poate deduce că, în acest caz, D(x, y, z) D(ρ, ϕ, θ) abcρ sin ϕ dxdydz abcρ sin ϕdρdϕdθ.

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 13 Exemplu. Determinaţi volumul domeniului definit prin { (x, y, z); x 9 + y 16 + z 5 1; z }. Soluţie. Domeniul este jumătatea superioară a corpului eliptic mărginit de elipsoidul x 9 + y 16 + z 5 1, de semiaxe 3, 4, 5. Avem că vol() 1dxdydz. om folosi coordonatele sferice generalizate, date de x 3ρ sin ϕ cos θ y 4ρ sin ϕ sin θ z 5ρ cos ϕ, ρ [, 1], ϕ [, π ], θ [, π], intervalul de valori pentru ϕ fiind dat de faptul că este jumătatea superioară (pentru cea inferioară ar fi trebuit ϕ [ π, π]). În acest caz, dxdydz 3 4 5ρ sin ϕdρdϕdθ 6ρ sin ϕdρdϕdθ.

14 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Atunci vol() 1 6ρ sin ϕdρdϕdθ [,1] [, π ] [,π] ˆ 1 ˆ π ˆ 6 ρ π dρ sin ϕdϕ 1dθ 6 ρ3 3 6 1 1 π 4π. 3 1 π ( cos ϕ) θ π 6.3.6 Coordonate cilindrice Fiind dat un reper cartezian Oxyz în spaţiu, putem preciza poziţia unui punct M Oz şi prin coordonatele sale cilindrice (ρ, θ, z), unde 1. ρ reprezintă distanţa între proiecţia M 1 a lui M pe planul xoy şi O;. θ reprezintă unghiul orientat între Ox şi OM 1, măsurat în sens trigonometric. 3. z îşi păstrează semnificaţia. Altfel spus, coordonatele cilindrice ale unui punct sunt coordonatele polare ale proiecţiei acelui punct pe planul xoy, la care se adaugă coordonata z iniţială. De

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 15 remarcat faptul că, pentru coordonatele cilindrice, ρ are o semnificaţie diferită faţă de cea avută pentru coordonatele sferice. În aceste condiţii, legătura între coordonatele carteziene (x, y, z) şi coordonatele cilindrice (ρ, θ, z) este dată de formulele x ρ cos θ y ρ sin θ z z, ρ >, θ [, π), z R. De asemenea, D(x, y, z) D(ρ, ϕ, θ) x x x (ρ cos θ) ρ θ z ρ y y y (ρ sin θ) ρ θ z ρ z z z ρ θ z ρ (z) cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ ρ, 1 (ρ cos θ) θ (ρ sin θ) θ θ (z) (ρ cos θ) z (ρ sin θ) z z (z) deci Utilitatea coordonatelor cilindrice dxdydz ρdρdϕdθ. Coordonatele cilindrice sunt utilizate în special pentru integrarea pe domenii cilindrice sau pe domenii de rotaţie în jurul lui Oz (de exemplu, interioarele unor conuri sau paraboloizi de rotaţie). Din acelaşi motiv ca şi în cazul coordonatelor sferice, în practică, atât pentru ρ cât şi pentru θ vor fi folosite intervalele corespunzătoare închise. Exemplu. Determinaţi xzdxdydz, unde este domeniul tridimensional definit de (x, y, z); 4 x + y 9; x, y, z. Domeniul poate fi privit ca un cilindru cu rază a bazei 3, generatoarea paralelă cu Oz şi înălţime, din care se extrage un cilindru de acelaşi tip, dar cu rază a

16 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) bazei, iar din rezultat se păstrează doar partea din primul octant. om folosi coordonate cilindrice, date de x ρ cos θ y ρ sin θ, ρ [, 3], θ [, π ], z [, ], dxdydz ρdρdθdz. z z Atunci xzdxdydz ρ cos θz ρdρdθdz [,3] [, π ] [,] ˆ 3 ˆ π ˆ ρ dρ cos θdθ zdz ρ3 3 π sin θ 3 38 3. z 19 3 1 Exemplu. Determinaţi z dxdydz, unde este domeniul tridimensional definit de (x, y, z); x + y z, z 1. Soluţie. Domeniul este un con de rotaţie în jurul lui Oz, cu vârful în origine. Deşi nu este un cilindru, coordonatele cilindrice sunt potrivite pentru reprezentarea lui, datorită caracteristicii acestuia de a fi corp de rotaţie în jurul lui

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 17 Oz. om folosi deci coordonate cilindrice, date de x ρ cos θ y ρ sin θ z z, θ [, π], z [, 1], dxdydz ρdρdθdz. Rămâne deci să determinăm intervalul de valori pentru ρ. Condiţia x + y z se transformă atunci în (ρ cos θ) + (ρ sin θ) z ρ (cos θ + sin θ) z ρ z. Ţinând seama că z 1, ρ, ultima condiţie este echivalentă cu ρ z. Atunci z dxdydz z ρdρdθdz, 1 {(ρ, θ, z); θ [, π], ρ z, z 1}. 1 Deoarece domeniul 1 este simplu în raport cu Oz, urmează că (ˆ 1 ) z ρdρdθdz ρz dz dρdθ 1 [,1] [,π] ρ 1 [,1] [,π] 3 ρ(1 ρ3 )dρdθ 1 (ˆ 1 (ρ ρ 4 )dρ 3 1 ( ) ρ 3 ρ5 1 π π 5 5. 6.4 Aplicaţii ale integralei triple 6.4.1 Centrul de masă al unui corp Corpuri neomogene ρ z3 z1 [,1] [,π] 3 zρ ) (ˆ π ) 1dθ dρdθ Teorema 6.13. Fie un corp neomogen, asimilabil unui domeniu de integrare, cu densitate variabilă ρ(x, y, z). Atunci masa corpului este m ρ(x, y, z)dxdydz

18 Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) iar coordonatele centrului de masă al corpului sunt x CM 1 xρ(x, y, z)dxdydz, y CM 1 m m z CM 1 zρ(x, y, z)dxdydz. m Corpuri omogene yρ(x, y, z)dxdydz, Pentru corpuri omogene, cu ρ(x, y, z) ρ constant, urmează că m ρdxdydz ρ 1dxdydz ρ vol(), şi similar xdxdydz xdxdydz x CM, y vol() CM 1dxdydz zdxdydz zdxdydz z CM. vol() 1dxdydz D ydxdydz 1dxdydz ydxdydz vol() Exemplu. Determinaţi coordonatele centrului de masă al corpului omogen definit prin (x, y, z); x + y + z R ; z, unde R >. Soluţie. Corpul respectiv este jumătatea superioară a bilei sferice cu rază R centrată în origine. Atunci xdxdydz ydxdydz zdxdydz x CM, y CM, z CM, 1dxdydz 1dxdydz 1dxdydz pentru calculul acestor integrale putând fi folosite coordonate sferice, date de x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ, ρ [, R], ϕ [, π ], θ [, π], z ρ cos ϕ

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 19 dxdydz ρ sin ϕdρdϕdθ. Com volumul lui este jumătate din volumul unei bile sferice de rază R, adică 1 4πR3 3 4πR3 6, urmează că ρ sin ϕ sin θ ρ sin ϕdρdϕdθ [,R] [,π] [,π] x CM 4πR 3 6 6 ˆ R ˆ π 4πR 3 ρ 3 dρ sin ϕdϕ ˆ π sin θdθ. Deoarece ˆ π π sin θdθ ( cos θ), urmează că x CM. Cu un raţionament similar, putem obţine că y CM. De fapt, la aceste concluzii se puteau obţine şi observând că axa Oz este axă de simetrie pentru. Atunci şi centrul de masă se află pe această axa, deci x CM, y CM, întrucât toate punctele de pe Oz au abscisa şi ordonata nulă. De asemenea, ρ cos ϕ ρ sin ϕdρdϕdθ [,R] [,π] [,π] z CM 4πR 3 6 6 ˆ R 4πR 3 3 πr 3 ρ4 4 ˆ π ρ 3 dρ R ˆ π 3 πr 3 R4 4 1 ( cos ϕ) 6πR4 ( cos ϕ) 16πR3 ˆ π sin ϕ cos ϕdϕ 1 sin ϕdϕ θ π π π π 3R 8 1 3R 8. 6.4. Momentele de inerţie ale unui corp 1dθ

Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) Teorema 6.14. Fie un corp neomogen, asimilabil unui domeniu de integrare, cu densitate variabilă ρ(x, y, z). Atunci momentele de inerţie ale corpului în raport cu axele de coordonate sunt I x (y + z )ρ(x, y, z)dxdydz, I y (x + z )ρ(x, y, z)dxdydz I z (x + y )ρ(x, y, z)dxdydz, momentele de inerţie ale corpului în raport cu planele de coordonate sunt I xoy z ρ(x, y, z)dxdydz, I yoz x ρ(x, y, z)dxdydz I xoz y ρ(x, y, z)dxdydz, iar momentul de inerţie al corpului în raport cu originea este I O (x + y + z )ρ(x, y, z)dxdydz. Aplicaţii 6.1. Reprezentaţi grafic următoarele mulţimi 1) (x, y, z); x + y + z 5 ; ) (x, y, z); 9 x + y + z 16 ; 3) (x, y, z); x + y 9 ; 4) (x, y, z); 1 x + y 4 ; 5) (x, y, z); z x + y ; 6) (x, y, z); z x + y ; 7) { (x, y, z); z» x + y } ; 8) { (x, y, z); z» x + y }. 6.. Determinaţi valorile următoarelor integrale pe domenii paralelipipedice 1) xy ln x e y3 cos zdxdydz; ) [,1] [1,] [, π ] [1,e] [,3] [,1] x yez dxdydz; 3) sin x cos ydxdydz. [, π ] [, π 4 ] [,1] 6.3. Determinaţi valorile următoarelor integrale pe domenii paralelipipedice 1 1) dxdydz; ) sin(x + y + z)dxdydz. [,1] [1,] [1,3] (x + y + z) 3 [, π ] [, π ] [, π ]

Paul Georgescu, ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 1 6.4. Determinaţi zdxdydz, unde este corpul prismatic mărginit de planele de coordonatele şi de planele (P 1 ) : z h şi (P ) : x + y R, unde h, R >. 6.5. Determinaţi z» x + y dxdydz, unde este domeniul mărginit de paraboloidul (P) : z x + y şi sfera (S) : x + y + z 6.» 6.6. Determinaţi y + z dxdydz, unde este corpul mărginit de paraboloidul (P) : x y + z şi planul (P 1 ) : x 9. 6.7. Cu ajutorul coordonatelor sferice, determinaţi 1. xyzdxdydz, (x, y, z); x + y + z 9, x, y, z.. 3. (» x + y + zdxdydz, (x, y, z); 1 x + y + z 4, z. (x + y)dxdydz, unde este domeniul mărginit de sfera (S) : x + y + z 4 şi conul (C) : z» x + y. 4. 3 + (x + y + z ) 3 dxdydz, unde este bila sferică cu centrul în origine şi rază 1. 6.8. Cu ajutorul coordonatelor cilindrice, determinaţi 1. zdxdydz, (x, y, z); 1 x + y 9, x, y, z 1.. z 3 dxdydz, fiind domeniul mărginit de conul (c) : z» x + y şi planul (P) : z 4. 3. xy(1 z)dxdydz, fiind domeniul mărginit de cilindrul (C) : x + y 1, paraboloidul (P) : z x + y şi planul (P 1 ) : z. 4. xydxdydz, fiind domeniul mărginit de paraboloizii (P 1 ) : z x + y şi (P ) : z 8 x y.

Capitolul 5 INTEGRALA TRIPLĂ (rezumat) 6.9. Determinaţi zdxdydz, { (x, y, z); x 9 + y 4 + z 1, z 1. folosind faptul că domeniul este simplu în raport cu Oz;. folosind coordonatele sferice generalizate. 6.1. Determinaţi z dxdydz, (x, y, z); x + y z, z. 1. folosind faptul că domeniul este simplu în raport cu Oz;. folosind coordonatele cilindrice. 6.11. Determinaţi volumul corpului mărginit de sfera (S) : x + y + z 8 şi paraboloidul (P) : x + y z, situat deasupra planului xoy. 6.1. Determinaţi volumul corpului mărginit de paraboloizii (P 1 ) : z x + y şi (P ) : z x + y. 6.13. Determinaţi coordonatele centrelor de greutate ale următoarelor corpuri omogene 1. Tetraedrul cu vârfurile O(,, ), A(1,, ), B(, 1, ), C(,, 1).. Corpul mărginit de paraboloidul (P) : z x + y şi planul (P 1 ) : z 4. 3. Corpul mărginit de paraboloidul (P) : z x + y şi sfera (S) : x + y + z 6, situat deasupra planului xoy. }.