Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Σχετικά έγγραφα
Matematika 1 { fiziqka hemija

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

Elementi spektralne teorije matrica

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Operacije s matricama

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

Dijagonalizacija operatora

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

1 Pojam funkcije. f(x)

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

Teorijske osnove informatike 1

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektori. 28. studenoga 2017.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

Drugi deo (uvoda) Vektori

Analitička geometrija

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

5. Karakteristične funkcije

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

1 Promjena baze vektora

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

Analitička geometrija i linearna algebra

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

radni nerecenzirani materijal za predavanja

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

7 Algebarske jednadžbe

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

18. listopada listopada / 13

Glava 1. Trigonometrija

Uvod i vektorski prostori

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

Sli cnost trouglova i Talesova teorema

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

VEKTORI. Opera u Sidneju, Australija

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Racionalni algebarski izrazi

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

10 Afina preslikavanja ravni

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

MATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru

Transcript:

UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac,

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet.

Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet. B #«Y v D #«A #«v v X C Slika 1: Ekvivalentne usmerene dui

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile...

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori

Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori skup svih vektora V, odnosno V n

Operacije sa vektorima C #«v #«u + #«v B A #«u Slika 2: Sabira e vektora

Operacije sa vektorima #«u α #«u, α > 0 α #«u, α < 0 Slika 3: Mnoe e vektora skalarom

Operacije sa vektorima #«v #«u #«u #«v ( 1) #«v Slika 4: Razlika vektora

Operacije sa vektorima α k #«v k α 1 #«v 1 +... + α k #«v k #«v k #«v k 1 #«v 2 α #«2 v 2 #«v 1 α #«k 1 v k 1 α #«1 v 1 Slika 5: Linearna kombinacija vektora

Operacije sa vektorima #«u #«1 v = #«#«u u Slika 6: Jediniqni vektor

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0. U suprotnom, ako postoji i n-torka (α 1,..., α n ) u kojoj je bar jedan od brojeva α i razliqit od nule, vektori se nazivaju linearno zavisnim.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna.

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna. Teorema 1.3 U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka qetiri vektora su linearno zavisna.

Primeri Primer 1 C A # «AB + # «BC + # «CA = #«0 Slika 7: Vektori odreeni stranicama trougla su linearno zavisni B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 8: Da li su vektori AC # «1 i BD # «kolinearni? B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 9: Da li su vektori BC # «1, A # «1 D 1 i CD # «koplanarni? B

Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 10: Da li su vektori BC # «1, CD # «i D # «1 B koplanarni? B

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( #«e 1, #«e 2 ) baza vektorskog prostora V 2.

Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( e #«1, e #«2 ) baza vektorskog prostora V 2. Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da su brojevi x 1, x 2 R jedinstveni.

Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2

Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2 Lako se uopxtava na proizvo nu dimenziju.

Primer Primer 3 Dat je paralelogram ABCD. Neka je E sredixte stranice BC i S presek dijagonala AC i BD. Odrediti koordinate vektora BE # «( # «u bazi e = AE, AS) # «. D C S E A B Slika 11: [ # «] BE = e ( 1 2 )

Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.

Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E. Definicija 2.1 Koordinate taqke X E u reperu Oe definixemo kao koordinate vektora OX # «u bazi e: [X] Oe := [ # «OX] e. (1)

Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N."

Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe.

Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe. Primer 4 Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 u reperu Ae.

Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ),

Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ), Primene skalarnog proizvoda: Duine: #«v = #«v #«v ; Uglovi: ( #«v, #«u ) = arccos #«v #«u #«v #«u

Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( #«e 1,..., #«e n ) : #«e i #«e j = δ ij.

Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e

Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e Primer 5 Dati su vektori #«v = (1, 2, 2) i #«u = ( 3, 0, 4) iz V 3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: (a) #«v ; (b) ( #«v, #«u ).

Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom.

Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C

Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C Baza e = ( OA, # «OB) # «je pozitivne orijentacije, ako je trougao OAB pozitivne orijentacije.

Orijentacija prostora Baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) je pozitivne orijentacije ako vai pravilo ruke: ako isprueni kaiprst ruke predstav a vektor e #«1, sred i prst vektor e #«2, a palac vektor e #«3, onda je baza e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) pozitivne orijentacije".

Primer Primer 6 Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Odrediti orijentaciju ortonormirane baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ), e #«1 = A # «1 B 1, e #«2 = A # «1 D 1, e #«3 = A # «( # «1 A ako je baza f = BD, BA, # «BC # «) 1 pozitivne orijentacije. A 1 B 1 #«e 3 A #«e 2 D 1 D #«e 1 #«f 2 #«f 1 B #«f 3 C 1 Slika 13: Orijentacija prostora C

Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima: Intenzitet: #«w = #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: #«w #«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, #«w) je pozitivne orijentacije.

Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := w, #«gde je w #«vektor koji ima: Intenzitet: w #«= #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: w #«#«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, w) #«je pozitivne orijentacije. #«u h = #«u sin φ φ #«v Slika 14: #«v #«u = P ( #«v, #«u )

Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0

Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0 #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 #«v #«u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e #«1 + (v 3 u 1 v 1 u 3 ) e #«2 + (v 1 u 2 v 2 u 1 ) e #«3 e #«1 e2 #«e3 #«= v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3

Matriqna reprezentacija vektorskog mnoe a Mnoe e vektorom #«p, [ #«p ] e = (p 1, p 2, p 3 ): #«p #«v := p [ #«v ] e = 0 p 3 p 2 p 3 0 p 1 p 2 p 1 0 v 1 v 2 v 3

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 A, B, C { kolinearne D ABC = 0; e #«3 =: D #«ABC e3.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0.

Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0. Primer 7 Odrediti povrxinu ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da li je trougao pozitivne orijentacije?

Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B

Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B Primer 8 Da li taqka P (3, 2) pripada ABC iz Primera 7?

Primene vektorskog proizvoda Taqke C i D sa iste strane prave p ako i samo ako su trouglovi ABC i ABD, A, B p, istih orijentacija: sign(d ABC ) = sign(d ABD ). D E p B A Slika 16: Taqke sa iste/raznih strane prave C

Mexoviti proizvod Definicija 3.3 (Mexoviti proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : [ #«v, #«u, #«w] := ( #«v #«u ) #«w. #«v #«u # «w #«w #«u φ B #«v Slika 17: [ #«v, #«u, #«w] = V ( #«v, #«u, #«w)

Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3

Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0.

Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0. Posledica 3.2 Vektori ( #«v, #«u, #«w) prostora, qine bazu pozitivne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] > 0, a negativne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] < 0.

Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina

Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina Primer 9 Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0), B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).

Arhimedov zakon poluge

Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T

Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T O { proizvo na taqka Centar masa taqaka A(m 1 ) i B(m 2 ): # «OT = 1 ( # «m 1 m 1 + m 2 # «) OA + m 2 OB

Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 )

Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A)

Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 # «) OB + m 3 OC

Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC

Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC Za m 1 = m 2 = m 3 = m: centar masa = teixte trougla!

Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 7 A(2) B(3)

Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 3 A 1(10) 7 7 A(2) 3 C 1(5) 2 B(3)

Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 5 C(7) 3 A(2) 3 7 T 10 7 3 C 1(5) 2 A 1(10) 7 9 2 B(3)

Primeri Primer 11 Dat je ABC i na egovim ivicama taqke A 1 i B 1 takve da AB 1 : B 1 C = 3 : 4, BA 1 : A 1 C = 2 : 5. a) Ako je {P } = AA 1 BB 1, u kom odnosu P deli AA 1 i BB 1? b) Ako je {C 1 } = CP AB, u kom odnosu C 1 deli AB? C 4 5 3 B 1?? P? A 1? 2 A? C 1? B

Baricentriqke koordinate A 3 M(m 1 : m 2 : m 3) (λm 1 : λm 2 : λm 3), λ 0 A 1 A 2 1 # «# «# «(m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + m 3 OA 3) m 1 + m 2 + m 3 O Slika 19: Homogene baricentriqke koordinate

Baricentriqke koordinate A 3 A 2 M(m 1, m 2, m 3), m 1 + m 2 + m 3 = 1 A 1 m 1 # «OA 1 + m 2 # «OA 2 + m 3 # «OA 3 O Slika 19: Nehomogene baricentriqke koordinate

Smisao baricentriqkih koordinata Odrediti baricentriqke koordinate taqke M znaqi odrediti mase koje treba staviti u temena A 1 A 2 A 3 da bi centar mase tog sistema bila taqka M. Primer 12 Za ABC baricentriqke ( koordinate teixta su T (1 : 1 : 1) 1 (homogene), tj. T 3, 1 3 3), 1 (nehomogene).

Primer - centar upisanog kruga Primer 13 Odrediti koordinate centra upisanog kruga u ABC. C Q S r P A Slika 20: Krug upisan u ABC R B

Transformacije koordinata vektora e = ( #«e 1,..., #«e n ) { stara baza f = ( #«f 1,..., # «f n ) { nova baza C = C e f { matrica prelaska = matrica qije su kolone koordinate vektora nove baze f u staroj bazi e, redom. [ #«v ] e = C[ #«v ] f

Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = Cx + q x = [X] Oe = (x 1, x 2 ) T

Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C x + q x = [X] Qf = (x 1, x 2) T

Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C C = C e f x + q q = [Q] Oe = (q 1, q 2 ) T

Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C linearni deo x + q translatorni deo

Primeri Primer 14 C E B #«f 2 e#«#«1 e2 O #«f 1 Slika 22: Odrediti koordinate temena paralelograma u starom reperu Ae i novom reperu Of. Odrediti vezu izmeu koordinata. A

Transformacije ortonormiranih repera ravni φ #«e2 #«f2 #«f2 #«f1 #«f1 φ Q Slika 23: Ortonormirani reperi istih orijentacija O e1 #«( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica rotacije

Transformacije ortonormiranih repera ravni #«e2 #«f1 #«f1 φ Q O e1 #«#«f2 #«f2 Slika 24: Ortonormirani reperi razliqitih orijentacija ( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica refleksije

Primeri Primer 15 D 4 C #«e 2 #«f 2 S #«f 1 3 A #«e1 φ Slika 25: Odrediti vezu koordinata kao i koordinate temena pravougaonika u novom reperu. B