UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017
Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti
Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac,
Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer
Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet.
Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju isti pravac, smer i intentzitet. B #«Y v D #«A #«v v X C Slika 1: Ekvivalentne usmerene dui
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile...
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori
Osnovni pojmovi i oznake primeri vektorskih veliqina: brzina, ubrza e, sila, moment sile... vektor predstavnik nula vektor #«0 suprotan vektor kolinearni vektori koplanarni vektori skup svih vektora V, odnosno V n
Operacije sa vektorima C #«v #«u + #«v B A #«u Slika 2: Sabira e vektora
Operacije sa vektorima #«u α #«u, α > 0 α #«u, α < 0 Slika 3: Mnoe e vektora skalarom
Operacije sa vektorima #«v #«u #«u #«v ( 1) #«v Slika 4: Razlika vektora
Operacije sa vektorima α k #«v k α 1 #«v 1 +... + α k #«v k #«v k #«v k 1 #«v 2 α #«2 v 2 #«v 1 α #«k 1 v k 1 α #«1 v 1 Slika 5: Linearna kombinacija vektora
Operacije sa vektorima #«u #«1 v = #«#«u u Slika 6: Jediniqni vektor
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Definicija 1.2 Vektori v #«1,..., v #«n su linearno nezavisni ako relacija: α 1 #«v1 + + α n # «vn = #«0 vai samo za α 1 = = α n = 0. U suprotnom, ako postoji i n-torka (α 1,..., α n ) u kojoj je bar jedan od brojeva α i razliqit od nule, vektori se nazivaju linearno zavisnim.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna.
Linearna zavisnost i nezavisnost vektora Teorema 1.1 Nenula vektori #«u i #«v su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. Teorema 1.2 U ravni postoje dva linearno nezavisna vektora, a svaka tri vektora ravni su linearno zavisna. Teorema 1.3 U prostoru postoje tri linearno nezavisna vektora, a svaka qetiri vektora su linearno zavisna.
Primeri Primer 1 C A # «AB + # «BC + # «CA = #«0 Slika 7: Vektori odreeni stranicama trougla su linearno zavisni B
Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 8: Da li su vektori AC # «1 i BD # «kolinearni? B
Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 9: Da li su vektori BC # «1, A # «1 D 1 i CD # «koplanarni? B
Primeri Primer 2 D 1 C 1 A 1 B 1 D C A Slika 10: Da li su vektori BC # «1, CD # «i D # «1 B koplanarni? B
Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora.
Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze.
Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva.
Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( #«e 1, #«e 2 ) baza vektorskog prostora V 2.
Baza i dimenzija vektorskog prostora Baza vektorskog prostora = maksimalan skup linearno nezavisnih vektora. Dimenzija vektorskog prostora = broj elemenata baze. Posledica 2.1 Dimenzija vektorskog prostora vektora ravni V 2 je dva. Svaki vektor #«v V 2 moe da se napixe u obliku: #«v = x1 #«e1 + x 2 #«e2, gde je e = ( e #«1, e #«2 ) baza vektorskog prostora V 2. Posledica linearne nezavisnosti vektora baze je da su brojevi x 1, x 2 R jedinstveni.
Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2
Koordinate vektora Baza e = (e 1, e 2 ) vektorskog prostora V 2. Koordinate vektora #«v V 2 u bazi e: [ #«v ] e = ( ) x1 x 2 Lako se uopxtava na proizvo nu dimenziju.
Primer Primer 3 Dat je paralelogram ABCD. Neka je E sredixte stranice BC i S presek dijagonala AC i BD. Odrediti koordinate vektora BE # «( # «u bazi e = AE, AS) # «. D C S E A B Slika 11: [ # «] BE = e ( 1 2 )
Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E.
Koordinate taqke Baza e = (e 1,..., e n ) vektorskog prostora V. Fiksirana taqka O E naziva se koordinatni poqetak. O e se naziva koordinatnim sistemom ili reperom prostora E. Definicija 2.1 Koordinate taqke X E u reperu Oe definixemo kao koordinate vektora OX # «u bazi e: [X] Oe := [ # «OX] e. (1)
Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N."
Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe.
Veza koordinata vektora i taqaka U praksi se qesto koristi qi enica da se koordinate vektora MN # «dobijaju oduzima em koordinate taqke M od koordinata taqke N." Korektnost: [ MN] # «e = [ MO # «+ ON] # «e = [ ON] # «e [ OM] # «e = [N] Oe [M] Oe. Primer 4 Odrediti koordinate temena paralelograma iz Primera 3 u reperu Ae.
Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ),
Skalarni proizvod Definicija 3.1 (Skalarni proizvod) #«v, #«u V : #«v #«u := #«v #«u cos ( #«v, #«u ), Primene skalarnog proizvoda: Duine: #«v = #«v #«v ; Uglovi: ( #«v, #«u ) = arccos #«v #«u #«v #«u
Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( #«e 1,..., #«e n ) : #«e i #«e j = δ ij.
Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e
Skalarni proizvod u ortonormiranoj bazi Ortonormirana baza = baza e = ( e #«1,..., e #«n ) : e #«i e #«j = δ ij. #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 +... + v n e n, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 +... + u n e n : #«v #«u = v1 u 1 + v 2 u 2 +... + v n u n = (v 1,..., v n ) u 1. u n = [ #«v ] T e [ #«u ] e Primer 5 Dati su vektori #«v = (1, 2, 2) i #«u = ( 3, 0, 4) iz V 3 svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Odrediti: (a) #«v ; (b) ( #«v, #«u ).
Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom.
Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C
Orijentacija ravni Pojam orijentacije uvodimo intuitivno. Stvar je dogovora xta nazivamo pozitivnom, a xta negativnom orijentacijom. A + C B B A Slika 12: Trougao pozitivne i negativne orijentacije C Baza e = ( OA, # «OB) # «je pozitivne orijentacije, ako je trougao OAB pozitivne orijentacije.
Orijentacija prostora Baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) je pozitivne orijentacije ako vai pravilo ruke: ako isprueni kaiprst ruke predstav a vektor e #«1, sred i prst vektor e #«2, a palac vektor e #«3, onda je baza e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) pozitivne orijentacije".
Primer Primer 6 Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Odrediti orijentaciju ortonormirane baze e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ), e #«1 = A # «1 B 1, e #«2 = A # «1 D 1, e #«3 = A # «( # «1 A ako je baza f = BD, BA, # «BC # «) 1 pozitivne orijentacije. A 1 B 1 #«e 3 A #«e 2 D 1 D #«e 1 #«f 2 #«f 1 B #«f 3 C 1 Slika 13: Orijentacija prostora C
Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := #«w, gde je #«w vektor koji ima: Intenzitet: #«w = #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: #«w #«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, #«w) je pozitivne orijentacije.
Vektorski proizvod Definicija 3.2 (Vektorski proizvod) #«v, #«u V 3 : #«v #«u := w, #«gde je w #«vektor koji ima: Intenzitet: w #«= #«v #«u sin ( #«v, #«u ); Pravac: w #«#«v, #«u; Smer: Baza ( #«v, #«u, w) #«je pozitivne orijentacije. #«u h = #«u sin φ φ #«v Slika 14: #«v #«u = P ( #«v, #«u )
Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0
Vektorski proizvod u ortonormiranoj bazi e = ( e #«1, e #«2, e #«3 ) { ortonormirana baza pozitivne orijentacije e #«#«1 e2 e3 #«e #«#«1 0 e3 #«e #«2 e #«2 e #«#«3 0 e1 #«e #«#«3 e2 e #«#«1 0 #«v = v1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, #«u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 #«v #«u = (v2 u 3 v 3 u 2 ) e #«1 + (v 3 u 1 v 1 u 3 ) e #«2 + (v 1 u 2 v 2 u 1 ) e #«3 e #«1 e2 #«e3 #«= v 1 v 2 v 3. u 1 u 2 u 3
Matriqna reprezentacija vektorskog mnoe a Mnoe e vektorom #«p, [ #«p ] e = (p 1, p 2, p 3 ): #«p #«v := p [ #«v ] e = 0 p 3 p 2 p 3 0 p 1 p 2 p 1 0 v 1 v 2 v 3
Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3.
Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 A, B, C { kolinearne D ABC = 0; e #«3 =: D #«ABC e3.
Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0.
Primene vektorskog proizvoda A, B, C E 2 : A(a 1, a 2, 0), B(b 1, b 2, 0), C(c 1, c 2, 0): Vai: # «AB AC # «= P ABC = 1 2 D ABC ; b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 e #«3 =: D #«ABC e3. A, B, C { kolinearne D ABC = 0; ABC { pozitivno orijentisan ako D ABC > 0. Primer 7 Odrediti povrxinu ABC, A(1, 3), B(4, 0), C(2, 3). Da li je trougao pozitivne orijentacije?
Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B
Primene vektorskog proizvoda Teorema 3.1 Taqka P pripada trouglu ABC ako i samo ako: sign(d ABP ) = sign(d BCP ) = sign(d CAP ). C P A Slika 15: Taqka unutar trougla B Primer 8 Da li taqka P (3, 2) pripada ABC iz Primera 7?
Primene vektorskog proizvoda Taqke C i D sa iste strane prave p ako i samo ako su trouglovi ABC i ABD, A, B p, istih orijentacija: sign(d ABC ) = sign(d ABD ). D E p B A Slika 16: Taqke sa iste/raznih strane prave C
Mexoviti proizvod Definicija 3.3 (Mexoviti proizvod) #«v, #«u, #«w V 3 : [ #«v, #«u, #«w] := ( #«v #«u ) #«w. #«v #«u # «w #«w #«u φ B #«v Slika 17: [ #«v, #«u, #«w] = V ( #«v, #«u, #«w)
Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3
Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0.
Raquna e i primene mexovitog proizvoda Mexoviti proizvod u ortonormiranoj bazi: [ #«v, #«u, w] #«v 1 v 2 v 3 = u 1 u 2 u 3. w 1 w 2 w 3 Posledica 3.1 Vektori #«v, #«u, #«w su linearno nezavisni ako i samo ako: [ #«v, #«u, #«w] 0. Posledica 3.2 Vektori ( #«v, #«u, #«w) prostora, qine bazu pozitivne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] > 0, a negativne orijentacije ako je [ #«v, #«u, #«w] < 0.
Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina
Primene mexovitog proizvoda Zapremina tetraedra ABCA 1 jednaka je xestini zapremine paralelepipeda odreenog vektorima AB, # «AC # «i AA # «1. C1 C1 C1 C1 A1 B1 A1 B1 A1 B1 B1 B1 C C C C A B A B A A B A Slika 18: Podela trostrane prizme na tri piramide istih zapremina Primer 9 Odrediti zapreminu tetraedra qija su temena A(1, 0, 0), B(3, 4, 6), C(0, 1, 0), D(1, 1, 3).
Arhimedov zakon poluge
Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T
Centar masa taqaka AT : T B = m 2 : m 1 m 1 # «T A + m 2 # «T B = #«0 A(m 1 ) B(m 2 ) T O { proizvo na taqka Centar masa taqaka A(m 1 ) i B(m 2 ): # «OT = 1 ( # «m 1 m 1 + m 2 # «) OA + m 2 OB
Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 )
Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A)
Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 # «) OB + m 3 OC
Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC
Teixte i centar mase trougla A(m 1 ), B(m 2 ), C(m 3 ) A 1 { centar masa taqaka B, C: AA 1 { teixna du (iz A) T { centar masa taqaka A, B, C: # «OT = 1 ( # «# «m 1 OA + m 2 m 1 + m 2 + m 3 Teorema 4.1 Teixne dui se seku u centru masa. # «) OB + m 3 OC Za m 1 = m 2 = m 3 = m: centar masa = teixte trougla!
Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 7 A(2) B(3)
Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 C(7) 3 A 1(10) 7 7 A(2) 3 C 1(5) 2 B(3)
Primeri Primer 10 Date su taqke sa masama A(2), B(3), C(7). Odrediti u kom odnosu centar mase deli teixne dui ABC. B 1(9) 2 5 C(7) 3 A(2) 3 7 T 10 7 3 C 1(5) 2 A 1(10) 7 9 2 B(3)
Primeri Primer 11 Dat je ABC i na egovim ivicama taqke A 1 i B 1 takve da AB 1 : B 1 C = 3 : 4, BA 1 : A 1 C = 2 : 5. a) Ako je {P } = AA 1 BB 1, u kom odnosu P deli AA 1 i BB 1? b) Ako je {C 1 } = CP AB, u kom odnosu C 1 deli AB? C 4 5 3 B 1?? P? A 1? 2 A? C 1? B
Baricentriqke koordinate A 3 M(m 1 : m 2 : m 3) (λm 1 : λm 2 : λm 3), λ 0 A 1 A 2 1 # «# «# «(m 1 OA 1 + m 2 OA 2 + m 3 OA 3) m 1 + m 2 + m 3 O Slika 19: Homogene baricentriqke koordinate
Baricentriqke koordinate A 3 A 2 M(m 1, m 2, m 3), m 1 + m 2 + m 3 = 1 A 1 m 1 # «OA 1 + m 2 # «OA 2 + m 3 # «OA 3 O Slika 19: Nehomogene baricentriqke koordinate
Smisao baricentriqkih koordinata Odrediti baricentriqke koordinate taqke M znaqi odrediti mase koje treba staviti u temena A 1 A 2 A 3 da bi centar mase tog sistema bila taqka M. Primer 12 Za ABC baricentriqke ( koordinate teixta su T (1 : 1 : 1) 1 (homogene), tj. T 3, 1 3 3), 1 (nehomogene).
Primer - centar upisanog kruga Primer 13 Odrediti koordinate centra upisanog kruga u ABC. C Q S r P A Slika 20: Krug upisan u ABC R B
Transformacije koordinata vektora e = ( #«e 1,..., #«e n ) { stara baza f = ( #«f 1,..., # «f n ) { nova baza C = C e f { matrica prelaska = matrica qije su kolone koordinate vektora nove baze f u staroj bazi e, redom. [ #«v ] e = C[ #«v ] f
Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = Cx + q x = [X] Oe = (x 1, x 2 ) T
Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C x + q x = [X] Qf = (x 1, x 2) T
Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C C = C e f x + q q = [Q] Oe = (q 1, q 2 ) T
Transformacije koordinata taqaka #«e 2 X #«f 2 O Q(q 1, q 2) #«e 1 Slika 21: Transformacije koordinata taqaka #«f 1 x = C linearni deo x + q translatorni deo
Primeri Primer 14 C E B #«f 2 e#«#«1 e2 O #«f 1 Slika 22: Odrediti koordinate temena paralelograma u starom reperu Ae i novom reperu Of. Odrediti vezu izmeu koordinata. A
Transformacije ortonormiranih repera ravni φ #«e2 #«f2 #«f2 #«f1 #«f1 φ Q Slika 23: Ortonormirani reperi istih orijentacija O e1 #«( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica rotacije
Transformacije ortonormiranih repera ravni #«e2 #«f1 #«f1 φ Q O e1 #«#«f2 #«f2 Slika 24: Ortonormirani reperi razliqitih orijentacija ( x y ) = ( cos φ sin φ sin φ cos φ ) ( x y ) + ( q1 q 2 ). matrica refleksije
Primeri Primer 15 D 4 C #«e 2 #«f 2 S #«f 1 3 A #«e1 φ Slika 25: Odrediti vezu koordinata kao i koordinate temena pravougaonika u novom reperu. B