Spinorové pole. Diracova rovnica ver

Σχετικά έγγραφα
Ekvačná a kvantifikačná logika

u R Pasívne prvky R, L, C v obvode striedavého prúdu Činný odpor R Napätie zdroja sa rovná úbytku napätia na činnom odpore.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Termodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)

Einsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije

pismeni br.4 4.2: Izračunati yds, gdje je K luk parabole y 2 = 2 px od ishodišta to točke

Vektorové a skalárne polia

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

12. Základy kvantovej fyziky

Obvod a obsah štvoruholníka

2. Α ν ά λ υ σ η Π ε ρ ι ο χ ή ς. 3. Α π α ι τ ή σ ε ι ς Ε ρ γ ο δ ό τ η. 4. Τ υ π ο λ ο γ ί α κ τ ι ρ ί ω ν. 5. Π ρ ό τ α σ η. 6.

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

Príklady na precvičovanie Fourierove rady

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Výpočet. grafický návrh

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

1. písomná práca z matematiky Skupina A

HONDA. Έτος κατασκευής

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

AerobTec Altis Micro

Elektromagnetické pole

r r t r r t t r t P s r t r P s r s r r rs tr t r r t s ss r P s s t r t t tr r r t t r t r r t t s r t rr t Ü rs t 3 r r r 3 rträ 3 röÿ r t

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

x x x2 n

Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R

Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.

2. Analytické riešenie prechodných javov

Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Kaskadna kompenzacija SAU

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

Radio détection des rayons cosmiques d ultra-haute énergie : mise en oeuvre et analyse des données d un réseau de stations autonomes.

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

Spojité rozdelenia pravdepodobnosti. Pomôcka k predmetu PaŠ. RNDr. Aleš Kozubík, PhD. 26. marca Domovská stránka. Titulná strana.

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava


5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

Tomáš Madaras Prvočísla

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

met la disposition du public, via de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

Microscopie photothermique et endommagement laser

E.E. Παρ. Ill (I) 429 Κ.Δ.Π. 150/83 Αρ. 1871,

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Hydromechanika II. Viskózna kvapalina Povrchové napätie Kapilárne javy. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre EF Dušan PUDIŠ (2013)

ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:

Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

18. listopada listopada / 13

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky


7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

Obrada signala

ο ο 3 α. 3"* > ω > d καΐ 'Ενορία όλις ή Χώρί ^ 3 < KN < ^ < 13 > ο_ Μ ^~~ > > > > > Ο to X Η > ο_ ο Ο,2 Σχέδι Γλεγμα Ο Σ Ο Ζ < o w *< Χ χ Χ Χ < < < Ο


m i N 1 F i = j i F ij + F x

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Ján Buša Štefan Schrötter

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

1 Kinematika hmotného bodu

= k2 x Y = k 2 + kx 2 Y. = k2 y

Transcript:

Snorové ole. Dracova rovnca ver.. 7 Dracova rovnca nám osje klascké snorové ole, ktorého kvantam sú častce so snom ½. Analogcky ako otóny sú kvantam elektromagnetckého oľa. Takéto častce s ½ charakterzjeme : x t, x, E., s,, e z -vektor olohy hybnosť rojekca sn náboj Forma D: m Ψ x a kde Ψ Ψ x + m Ψ x b σ σ Ψx je -komonentný snor a σ σ σ σ,,, t Ψ Ψ + sú Palho matce vď. Dolnok A. je drakovský zdržený snor a Prúdová hstota a rovnca kontnty Prúdová hstota re častc so snom ½ a nábojom e je daná vzťahom: j x eψ x Ψ x A latí reň rovnca kontnty: j x ešene D re voľnú častc s hybnosťo a snom / je možné vyjadrť v tvare Ψ x ex x 5 Kde -komonentný snor sĺňa rovnc m 6 Pre voľnú častc s hybnosťo má rovnca 6 nezávslé rešena : dve rešena s E > a dve rešena s E <.

ešena s kladno energo E > : ϕ N σ ϕ E + m, ϕ ϕ ešena so záorno energo E < : σ χ N E + m, χ χ χ Kde N je normovaca konštanta dáva hstot častíc vď.. + m Interretáca rešena: v stave s hybnosťo nadobúda častca energ ±E E zodovedá antčastc, rtom v oboch ríadoch sn môže byť orentovaný v smere ohyb častce alebo rot nem. 7a 7b O rešenach D Prvé rešena Drhé rešena, e, e x x osjú elektrón s energo E a hybnosťo. so záorno energo zodovedajú oztrón Avšak oztrón s energo E a hybnosťo bde oísaný rešením re elektrón s E a, reto latí, x, x e v e 7. Zmena orada ndexov:,, vylýva z toho, že zmena smer sn a hybnost nemení šrálnosť σ. Keďže zmena orada ndexov mení smer sn, ostrón bde mať orot elektrón nelen oačnú hybnosť ale aj sn ak robíme zámen a, teda oba bdú mať rovnakým sôsobom denovanú šrálnosť helct. D re snory a v zjavne latí: ˆ m, ˆ + m v kde ˆ 7.

Normovane snorových nkcí má význam re rčene vzťah medz účnným rerezom a amltúdo roces zvyčajne sa robí na častc v jednotkovom objeme E častíc v jednotkovom objeme, Čo vede k následovným hodnotám normovacej konštanty N: ntvol E N E m ρ dv + dv + + N E + m E 7. Vzťahy úlnost. Teto vzťahy sú veľm dôležté r výočte amltúd: s, s, ˆ + s s + m ˆ s s v v m 7. Weylova rerezentáca -matíc a rešena D Štrktúra -matíc v tejto rerezentác je nasledovná: σ 5, 7.5 σ Fnkca oľa s zaíšeme: 7.6 L Kde a sú -komonentné snory. L D má v tomto ríade tvar: m + σ m, 7.7 σ m L a dáva nasledovné rešena: L + σ L m σ m

Zajímavým je ríad: m. V tomto ríade a sú vlastným stavm σ - oerátora úmerný rojekc sn do smer ohyb: σ a σ L L L V relatvstckom ríade latí: je veľké je veľké L L re σ > L re σ < a > a > V ltrarelatvstckom ríade je σ σ oerátorom šrálnost a ndexy a L sa vzťahjú na ravé res. ľavé rešene D. Interakca častce so snom ½ s el-mag oľom ovnc re ohyb častce so snom ½ v el-mag ol dostaneme z Dracovej rovnce zámeno: QeA, kde Q je náboj častce vyjadrený v elementárnych nábojoch e re elektrón Q. Pre elektrón dostávame:, m V V e A 8 je vydelené z V, aby sme r rechode k nerelatvstckém ríad dostal Schrodngerov rovnc. ovnc 8 rešme, analogcky ako v ríade častce so snom, ožtím orchovej metódy. ešene v rvom ráde orchovej teóre redemonštrjeme na ríade eroztyl. oztyl e e Uvažjme roztyl e s -hybnosťo k na móne so -hybnosťo vď. Obr.. Porchová metóda re elemnet rechod z očatočného do do konečného stav. + dáva: T x V x dx e x A x dx Keď sa na roblém dívame tak, že elektrón sa roztyľje v ol otencál vytvoreného mónom, re e-roztyl dostávame:

Počatočný stav: ks, s Konečný stav: k s, s Amltúda rechod: 9 e T j x j m x dx π δ k + k M kde j e e l x Obr. : oztyl elektrón na móne Prtom amltúda M o dosadení výraz re rúd do 9 je: M e k, s k, s, s, s A bdeme sa zajímať o neolarzovaný účnný rerez, t.j. bdeme redokladať, že v očatočnom stave bde elektrón a món s rovnako ravdeodobnosťo nadobúdať obe hodnoty rojekce sn a M sremerjeme cez očatočné a resmjeme cez konečné snové stavy. e m M L el L Kde L el k, s k, s k, s k, s ss Tr k ˆ + m k ˆ + m, k ˆ k α α Sktočne latí k, s a k, s *, že + + + + + * lebo + vď. vlastnost -matíc.

ˆ ˆ L k + m el ss s ˆ k + m k + m j j j s j s ˆ ˆ k m k m Tr kˆ m kˆ + + + + m j j Kde sme vyžl vzťahy úlností ˆ k + m. s, Analogcký výraz latí re m L. Pre výočet amltúdy roces je treba vyočítať stoy súčn -matíc. ˆ ˆ k k α β α β m L el Tr k k + m Tr + Tr Vyžjúc vzťahy re stoy -matíc vď dolnok A: Tr g g g g + g g, Tr g α β α β αβ α β dostávame: L k k k k g + k k + m g el A úlne analogcky re mónový tenzor dostávame L g + + M g 5 mon Čo na základe vede k výsledk [ k k + k k m M k k m M ] 8e M + 6 kde m M je hmotnosť elektrón món. ecet na zostavene amltúdy Amltúd e-roztyl s môžeme vyjadrť nasledovne: g M k, s e k, s, s e, s 7

Ak jednotlvým častam dagram e-roztyl rradíme aktory ako je kázané na obr., otom amltúd roces ľahko nájdeme. Teda re konštrkc anltúdy otrebjeme rradť: Interakčný vertex e Vstná častca so snom ½, s Výstná častca so snom ½, s g Proagátor otón oztyl e e v laboratórnej sústave Uvažjme e roztyl v laboratórnej sústave LS ako je kázané na Obr..

Obr. : oztyl e v laboratórnej sústave V LS je món v kľde: M,, oznáme ohybový stav ncdentného E, k a exermentálne elektrón merame energ výstného elektrón E a hol jeho odklon od ôvodného smer θ. Keď vychádzame zo všeobecnej ormly re e-roztyl 6 a zanedbáme členy úmerné m m hmotnosť elektrón a ožjeme rblížene: cosθ k k EE EE sn 8 θ A re kvadrát modl amltúdy M máme: 8 e θ θ M cos sn M EE 9 M Pre účnný rerez dostávame: kde αe dσ θ θ cos sn δ + de dω M M αe /π, E E. Alebo keď nás zajíma ba hol roztyl elektrón : dσ α dω E sn E cos θ E θ M Formly re účnný rerez bodového roztyl a sú veľm dôležté, retože odklon od zákona bodového roztyl okazje na rítomnosť nebodovej štrktúry, teda oskytje normác o štrktúre. sn θ Poznámka. Ak by sme namesto món zobral bodovú častc so snom, otom re účnný rerez roztyl elektrón na hol θ je: dσ α dω E sn E cos θ E θ

z orovnana vzťahov a je zrejme, že člen obsahjúc sn θ/ v vznká v dôsledk roztyl elektrón na sne magnetckom momente món. Porovnane roztyl častce so snom a ½ Amltúda roztyl je v v oboch ríadoch daná tým stým vzťahom: T dx j x A x ozdel je v štrúktúre el-mag. tok. Častce so snom nteragjú s el-mag oľom výlčne rostredníctvom náboja e a štrktúra tok rechod častce zo stav ϕ do stav ϕ je j x + e x en N V ríade častce so snom ½ je štrkúra tok nasledovná: Požjúc Gordonov rozvoj: e x x e e j + σ e, σ m m 5 vdíme, že v ríade častce so snom ½ je okrem nterakce rostredníctvom náboja ~ + je rítomná aj nterakca zodovedajúca člen σ nterakc rostredníctvom magnetckého moment elektrón:. Tento člen osje e e σ g S 6 m m Kde S σ a g je gyromagnetcký aktor. Teda elektrón častca so snom / nteragje s el-mag oľom nelen rostredníctvom náboja ale tež rostredníctvom magnetckého moment! Poznámka. Pre ochoene toho, že drhý člen v 5 redstavje nterakc magnetckého moment je s treba vedomť: v dôsledk zachovana energe E E k σ restorová časť σ j jk je σ ε, j,, k σ brať len vrchné komonenty nkc x ex x a x.

Dolnok A: Algebra -matíc - základné vlastnost -matíc Fndamentálny ant-komtátor: { } g, g metrcký tenzor, A. -matce v štandardnej rerezentác: σ σ Kde σ, σ, σ, σ 5 σ σ σ Z deníce 5 res. z exlctného vyjadrena vylýva: { }, A tež latí: 5 5 A. A., A. ρ σ ε ρσ,! 5 ρσ ε + árne kombnáce neárne kombnáce,,,,,, a vac zhodých ndexov Pr výočte Fenmannovych dagramov je treba často vyžť nasledovné vlastnost stô súčnov -matíc: Tr 5 5 g Tr g g + g g g g Tr ρ σ ρ σ σ ρ ρσ ε ρ σ ρσ Tr Tr σ nearné A.5 A.6 a lata vzťahy aˆ a : aˆ ab ˆ ˆ abc ˆ ˆ ˆ aˆ a b cba ˆ ˆ ˆ ab ˆ ˆ ab ba ˆ ˆ A.7

Dolnok B: Gordonov rozvoj Elektromagnetcký rúd sôsobený rechodom elektrón zo stav do stav Je možné rozložť na komonenty: + σ e e B. m m kde σ Vychádzajme z. σ V + V + V V Výrazy V a V môžeme ľahko ravť ožtím Dracovej rovnce: m ˆ m ˆ B. V B. m ˆ m ˆ V B. Pre výrazy V a V je treba ožť : V V + g + g m + g m B.5 B.6 Teda re B. na základe A-6 dostávame: V + V + V + V m σ + B.7 Z čoho dostávame B.

Elektromagnetcké ole - otón Pohybovým rovncam elmag oľa sú Maxwellové rovnce: ~ F j a Kde F ~ F F ε σρ A F F je tenzor elmag oľa, oľa. Exlctné vyjadrene alebo F E E E E B B A E B B E B B A ϕ, A je -otencál a F ~ je dálny tenzor elmag vede k Maxwellovej rovnc re -otencál: A j A λ λ g A j Potencál A vykazje kalbračnú slobod, ktorá sočíva v tom, že yzkálne sú merateľné ntenzta elektrckého a magnetckého oľa, E res. B, ktoré sú denované nasledovne: Velčny A E ϕ, B A 5 t E, B sa nezmena, ak robíme kalbračnú transormác -otencál A : A 6 A A + χ kde χ je ľbovoľná nkca derencovateľná v. dervácách. Teda celá treda otencálov vede k tej stej kongrác elmag oľa. To nám možňje vybrať A tak, že latí: A j r A 7 Lorentzova odmenka Dolnková sloboda. Ak otencál A sĺňa Lorentzov odmenk ne je toto odmenko rčený jednoznačne. Ak rejdeme k ném otencál

A 8 A A + Λ kde Λ sĺňa odmenk Λ. Je jasne, že ak A sĺňa Lorentzov odmenk, otom j sĺňa aj A. Teda aj o slnení Lorentzovej odmenky je ešte voľnosť vo výbere re os elmag oľa. Uvažjme teraz elektromagnetcké ole bez nábojových zdrojov voľné ole - voľný otón ešene re voľné ole je: A A 9 x ε ex x kde ε je -vektor olarzáce a -hybnosť nášaná oľom otónom. Dôležté momenty: Pre rešene z 9 vylýva:, čo odovedá nlovej hmotnost otón. Lorentzova odmenka ε a dolnková sloboda 8 možňjú vybrať otencál A tak, že re vektor olarzáce bde latť: ε a teda latí: ε Elektromagnetcké ole je olarzované rečne a vektor olarzáce má dve nezávslé komonenty, t.j. báza vektora olarzáce obsahje elementy : ε λ, λ,. kde ω, Vo všeobecnost je voľné elmag ole oísané otencálom: d A x x e λ x + a e + a ε λ λ π ω λ a dva členy v zodovedajú rešen s kladno a záorno energo rekvenco: ± ± ω teda ω je denované kladne.

Energa elektromagnetckého oľa [ ] + + + + + ω ω π λ λ λ λ λ a a a a d A A x d B E x d H t kde redstavje hstot otónov vĺn s energo rekvenco ω v systéme elektromagnetckého oľa. Záver. Elektromagnetcké ole je možné nterretovať: Prostredníctvom B E a ntenzta elektrckého a magnetckého oľa Ako systém otónov kvánt oľa.