Snorové ole. Dracova rovnca ver.. 7 Dracova rovnca nám osje klascké snorové ole, ktorého kvantam sú častce so snom ½. Analogcky ako otóny sú kvantam elektromagnetckého oľa. Takéto častce s ½ charakterzjeme : x t, x, E., s,, e z -vektor olohy hybnosť rojekca sn náboj Forma D: m Ψ x a kde Ψ Ψ x + m Ψ x b σ σ Ψx je -komonentný snor a σ σ σ σ,,, t Ψ Ψ + sú Palho matce vď. Dolnok A. je drakovský zdržený snor a Prúdová hstota a rovnca kontnty Prúdová hstota re častc so snom ½ a nábojom e je daná vzťahom: j x eψ x Ψ x A latí reň rovnca kontnty: j x ešene D re voľnú častc s hybnosťo a snom / je možné vyjadrť v tvare Ψ x ex x 5 Kde -komonentný snor sĺňa rovnc m 6 Pre voľnú častc s hybnosťo má rovnca 6 nezávslé rešena : dve rešena s E > a dve rešena s E <.
ešena s kladno energo E > : ϕ N σ ϕ E + m, ϕ ϕ ešena so záorno energo E < : σ χ N E + m, χ χ χ Kde N je normovaca konštanta dáva hstot častíc vď.. + m Interretáca rešena: v stave s hybnosťo nadobúda častca energ ±E E zodovedá antčastc, rtom v oboch ríadoch sn môže byť orentovaný v smere ohyb častce alebo rot nem. 7a 7b O rešenach D Prvé rešena Drhé rešena, e, e x x osjú elektrón s energo E a hybnosťo. so záorno energo zodovedajú oztrón Avšak oztrón s energo E a hybnosťo bde oísaný rešením re elektrón s E a, reto latí, x, x e v e 7. Zmena orada ndexov:,, vylýva z toho, že zmena smer sn a hybnost nemení šrálnosť σ. Keďže zmena orada ndexov mení smer sn, ostrón bde mať orot elektrón nelen oačnú hybnosť ale aj sn ak robíme zámen a, teda oba bdú mať rovnakým sôsobom denovanú šrálnosť helct. D re snory a v zjavne latí: ˆ m, ˆ + m v kde ˆ 7.
Normovane snorových nkcí má význam re rčene vzťah medz účnným rerezom a amltúdo roces zvyčajne sa robí na častc v jednotkovom objeme E častíc v jednotkovom objeme, Čo vede k následovným hodnotám normovacej konštanty N: ntvol E N E m ρ dv + dv + + N E + m E 7. Vzťahy úlnost. Teto vzťahy sú veľm dôležté r výočte amltúd: s, s, ˆ + s s + m ˆ s s v v m 7. Weylova rerezentáca -matíc a rešena D Štrktúra -matíc v tejto rerezentác je nasledovná: σ 5, 7.5 σ Fnkca oľa s zaíšeme: 7.6 L Kde a sú -komonentné snory. L D má v tomto ríade tvar: m + σ m, 7.7 σ m L a dáva nasledovné rešena: L + σ L m σ m
Zajímavým je ríad: m. V tomto ríade a sú vlastným stavm σ - oerátora úmerný rojekc sn do smer ohyb: σ a σ L L L V relatvstckom ríade latí: je veľké je veľké L L re σ > L re σ < a > a > V ltrarelatvstckom ríade je σ σ oerátorom šrálnost a ndexy a L sa vzťahjú na ravé res. ľavé rešene D. Interakca častce so snom ½ s el-mag oľom ovnc re ohyb častce so snom ½ v el-mag ol dostaneme z Dracovej rovnce zámeno: QeA, kde Q je náboj častce vyjadrený v elementárnych nábojoch e re elektrón Q. Pre elektrón dostávame:, m V V e A 8 je vydelené z V, aby sme r rechode k nerelatvstckém ríad dostal Schrodngerov rovnc. ovnc 8 rešme, analogcky ako v ríade častce so snom, ožtím orchovej metódy. ešene v rvom ráde orchovej teóre redemonštrjeme na ríade eroztyl. oztyl e e Uvažjme roztyl e s -hybnosťo k na móne so -hybnosťo vď. Obr.. Porchová metóda re elemnet rechod z očatočného do do konečného stav. + dáva: T x V x dx e x A x dx Keď sa na roblém dívame tak, že elektrón sa roztyľje v ol otencál vytvoreného mónom, re e-roztyl dostávame:
Počatočný stav: ks, s Konečný stav: k s, s Amltúda rechod: 9 e T j x j m x dx π δ k + k M kde j e e l x Obr. : oztyl elektrón na móne Prtom amltúda M o dosadení výraz re rúd do 9 je: M e k, s k, s, s, s A bdeme sa zajímať o neolarzovaný účnný rerez, t.j. bdeme redokladať, že v očatočnom stave bde elektrón a món s rovnako ravdeodobnosťo nadobúdať obe hodnoty rojekce sn a M sremerjeme cez očatočné a resmjeme cez konečné snové stavy. e m M L el L Kde L el k, s k, s k, s k, s ss Tr k ˆ + m k ˆ + m, k ˆ k α α Sktočne latí k, s a k, s *, že + + + + + * lebo + vď. vlastnost -matíc.
ˆ ˆ L k + m el ss s ˆ k + m k + m j j j s j s ˆ ˆ k m k m Tr kˆ m kˆ + + + + m j j Kde sme vyžl vzťahy úlností ˆ k + m. s, Analogcký výraz latí re m L. Pre výočet amltúdy roces je treba vyočítať stoy súčn -matíc. ˆ ˆ k k α β α β m L el Tr k k + m Tr + Tr Vyžjúc vzťahy re stoy -matíc vď dolnok A: Tr g g g g + g g, Tr g α β α β αβ α β dostávame: L k k k k g + k k + m g el A úlne analogcky re mónový tenzor dostávame L g + + M g 5 mon Čo na základe vede k výsledk [ k k + k k m M k k m M ] 8e M + 6 kde m M je hmotnosť elektrón món. ecet na zostavene amltúdy Amltúd e-roztyl s môžeme vyjadrť nasledovne: g M k, s e k, s, s e, s 7
Ak jednotlvým častam dagram e-roztyl rradíme aktory ako je kázané na obr., otom amltúd roces ľahko nájdeme. Teda re konštrkc anltúdy otrebjeme rradť: Interakčný vertex e Vstná častca so snom ½, s Výstná častca so snom ½, s g Proagátor otón oztyl e e v laboratórnej sústave Uvažjme e roztyl v laboratórnej sústave LS ako je kázané na Obr..
Obr. : oztyl e v laboratórnej sústave V LS je món v kľde: M,, oznáme ohybový stav ncdentného E, k a exermentálne elektrón merame energ výstného elektrón E a hol jeho odklon od ôvodného smer θ. Keď vychádzame zo všeobecnej ormly re e-roztyl 6 a zanedbáme členy úmerné m m hmotnosť elektrón a ožjeme rblížene: cosθ k k EE EE sn 8 θ A re kvadrát modl amltúdy M máme: 8 e θ θ M cos sn M EE 9 M Pre účnný rerez dostávame: kde αe dσ θ θ cos sn δ + de dω M M αe /π, E E. Alebo keď nás zajíma ba hol roztyl elektrón : dσ α dω E sn E cos θ E θ M Formly re účnný rerez bodového roztyl a sú veľm dôležté, retože odklon od zákona bodového roztyl okazje na rítomnosť nebodovej štrktúry, teda oskytje normác o štrktúre. sn θ Poznámka. Ak by sme namesto món zobral bodovú častc so snom, otom re účnný rerez roztyl elektrón na hol θ je: dσ α dω E sn E cos θ E θ
z orovnana vzťahov a je zrejme, že člen obsahjúc sn θ/ v vznká v dôsledk roztyl elektrón na sne magnetckom momente món. Porovnane roztyl častce so snom a ½ Amltúda roztyl je v v oboch ríadoch daná tým stým vzťahom: T dx j x A x ozdel je v štrúktúre el-mag. tok. Častce so snom nteragjú s el-mag oľom výlčne rostredníctvom náboja e a štrktúra tok rechod častce zo stav ϕ do stav ϕ je j x + e x en N V ríade častce so snom ½ je štrkúra tok nasledovná: Požjúc Gordonov rozvoj: e x x e e j + σ e, σ m m 5 vdíme, že v ríade častce so snom ½ je okrem nterakce rostredníctvom náboja ~ + je rítomná aj nterakca zodovedajúca člen σ nterakc rostredníctvom magnetckého moment elektrón:. Tento člen osje e e σ g S 6 m m Kde S σ a g je gyromagnetcký aktor. Teda elektrón častca so snom / nteragje s el-mag oľom nelen rostredníctvom náboja ale tež rostredníctvom magnetckého moment! Poznámka. Pre ochoene toho, že drhý člen v 5 redstavje nterakc magnetckého moment je s treba vedomť: v dôsledk zachovana energe E E k σ restorová časť σ j jk je σ ε, j,, k σ brať len vrchné komonenty nkc x ex x a x.
Dolnok A: Algebra -matíc - základné vlastnost -matíc Fndamentálny ant-komtátor: { } g, g metrcký tenzor, A. -matce v štandardnej rerezentác: σ σ Kde σ, σ, σ, σ 5 σ σ σ Z deníce 5 res. z exlctného vyjadrena vylýva: { }, A tež latí: 5 5 A. A., A. ρ σ ε ρσ,! 5 ρσ ε + árne kombnáce neárne kombnáce,,,,,, a vac zhodých ndexov Pr výočte Fenmannovych dagramov je treba často vyžť nasledovné vlastnost stô súčnov -matíc: Tr 5 5 g Tr g g + g g g g Tr ρ σ ρ σ σ ρ ρσ ε ρ σ ρσ Tr Tr σ nearné A.5 A.6 a lata vzťahy aˆ a : aˆ ab ˆ ˆ abc ˆ ˆ ˆ aˆ a b cba ˆ ˆ ˆ ab ˆ ˆ ab ba ˆ ˆ A.7
Dolnok B: Gordonov rozvoj Elektromagnetcký rúd sôsobený rechodom elektrón zo stav do stav Je možné rozložť na komonenty: + σ e e B. m m kde σ Vychádzajme z. σ V + V + V V Výrazy V a V môžeme ľahko ravť ožtím Dracovej rovnce: m ˆ m ˆ B. V B. m ˆ m ˆ V B. Pre výrazy V a V je treba ožť : V V + g + g m + g m B.5 B.6 Teda re B. na základe A-6 dostávame: V + V + V + V m σ + B.7 Z čoho dostávame B.
Elektromagnetcké ole - otón Pohybovým rovncam elmag oľa sú Maxwellové rovnce: ~ F j a Kde F ~ F F ε σρ A F F je tenzor elmag oľa, oľa. Exlctné vyjadrene alebo F E E E E B B A E B B E B B A ϕ, A je -otencál a F ~ je dálny tenzor elmag vede k Maxwellovej rovnc re -otencál: A j A λ λ g A j Potencál A vykazje kalbračnú slobod, ktorá sočíva v tom, že yzkálne sú merateľné ntenzta elektrckého a magnetckého oľa, E res. B, ktoré sú denované nasledovne: Velčny A E ϕ, B A 5 t E, B sa nezmena, ak robíme kalbračnú transormác -otencál A : A 6 A A + χ kde χ je ľbovoľná nkca derencovateľná v. dervácách. Teda celá treda otencálov vede k tej stej kongrác elmag oľa. To nám možňje vybrať A tak, že latí: A j r A 7 Lorentzova odmenka Dolnková sloboda. Ak otencál A sĺňa Lorentzov odmenk ne je toto odmenko rčený jednoznačne. Ak rejdeme k ném otencál
A 8 A A + Λ kde Λ sĺňa odmenk Λ. Je jasne, že ak A sĺňa Lorentzov odmenk, otom j sĺňa aj A. Teda aj o slnení Lorentzovej odmenky je ešte voľnosť vo výbere re os elmag oľa. Uvažjme teraz elektromagnetcké ole bez nábojových zdrojov voľné ole - voľný otón ešene re voľné ole je: A A 9 x ε ex x kde ε je -vektor olarzáce a -hybnosť nášaná oľom otónom. Dôležté momenty: Pre rešene z 9 vylýva:, čo odovedá nlovej hmotnost otón. Lorentzova odmenka ε a dolnková sloboda 8 možňjú vybrať otencál A tak, že re vektor olarzáce bde latť: ε a teda latí: ε Elektromagnetcké ole je olarzované rečne a vektor olarzáce má dve nezávslé komonenty, t.j. báza vektora olarzáce obsahje elementy : ε λ, λ,. kde ω, Vo všeobecnost je voľné elmag ole oísané otencálom: d A x x e λ x + a e + a ε λ λ π ω λ a dva členy v zodovedajú rešen s kladno a záorno energo rekvenco: ± ± ω teda ω je denované kladne.
Energa elektromagnetckého oľa [ ] + + + + + ω ω π λ λ λ λ λ a a a a d A A x d B E x d H t kde redstavje hstot otónov vĺn s energo rekvenco ω v systéme elektromagnetckého oľa. Záver. Elektromagnetcké ole je možné nterretovať: Prostredníctvom B E a ntenzta elektrckého a magnetckého oľa Ako systém otónov kvánt oľa.