12. Základy kvantovej fyziky

Transcript

1 1. Základy kvantovej fyzky 1.1 Úvod Fyzka na rozhraní 19. a 0. storoča na jednej strane trumfovala Maxwellovou teórou elektromagnetzmu, objavom elektrónu a röntgenového žarena, termodynamkou a knetckou teórou plynov, ale na druhej strane sa hromadl javy, ktoré dovtedajša fyzka nevedela vysvetlť. Bola to napríklad konštantná rýchlosť svetla a ďalše problémy, ktoré vysvetlla až Albertom Enstenom v roku 1905 formulovaná špecálna teóra relatvty. Teóra relatvty zametla dovtedy platné predstavy o absolútnom prestore a čase. Druhou oblasťou, v ktorej sa hromadl pozorovana nevysvetlteľné klasckou fyzkou, bola rozvíjajúca sa oblasť atómovej fyzky. Klasckou fyzkou nebolo možné vysvetlť zákony vyžarovana absolútne černeho telesa, fotoelektrcký jav, zmenu vlnovej dĺžky pr rozptyle svetla - Comptonov jav, spektrá atómov a molekúl, dfrakcu elektrónov a ďalše javy. Vysvetlene týchto javov vedlo k zásadnej prestavbe fyzkálneho pohľadu na mkrosvet a k formulovanu kvantovej mechanky. Počínajúc rokom 1900, kedy Max Planck ako prvý zavedol predstavu kvánt energe, nastalo búrlvé obdobe v rozvoj fyzky. Vedlo k formulovanu dosaľ najvšeobecnejšej fyzkálnej teóre - kvantovej fyzky. Jej myšlenky bol tak prevratné, že až do súčasnost pretrvávajú pokusy ch vysvetlť z ných prncípov. Nebol však úspešné a kvantová teóra atómov a molekúl poskytla fyzkom teoretcké nástroje na pochopene a predpovedane mnohých vlastností materálov. Ctát z práce tvorcu relatvstckej kvantovej mechanky P.A.M. Draca, publkovanej v roku 199, ktorý uvádzame v orgnálnej forme je dodnes plne pravdvý. The underlyng physcal laws necessary for the mathematcal theory of a large part of physcs and the whole of chemstry are thus completely known, and the dffculty s only that the exact applcaton of these laws leads to equatons much too complcated to be soluble. It therefore becomes desrable that approxmate practcal methods of applyng quantum mechancs should be developed, whch can lead to an explanaton of the man features of complex systems wthout too much computaton. P. A. M. Drac, Proceedngs of the Royal Socety (London) Vol. 13, 714 (199). Rozvoj výpočtovej technky v súčasnost výrazne posunul oblasť rešteľnost spomínaných rovníc. Rozvnula sa napríklad nová oblasť v chém počítačová chéma, ktorej základom je kvantová mechanka. Z rešena Schrődngerovej rovnce pre molekuly dokáže vysvetlť a predpovedať ch štruktúru a vlastnost. 1. Žarene absolútne černeho telesa Z každodennej skúsenost veme, že zahrate teleso svojím povrchom vyžaruje energu. Zvyšovaním teploty telesa sa zväčšuje ntenzta vyžarovanej energe a mení sa spektrálne rozložene vyžarovanej energe, a to smerom ku kratším vlnovým dĺžkam. Každý už ste pozoroval, že zvyšovaním teploty kovu sa jeho farba mení z tmavočervenej na žltú až belu. Tepelný pohyb atómov alebo molekúl telesa je spojený so zrýchleným pohybom elektrckých nábojov a z teóre elektromagnetzmu vyplýva, že elektrcký náboj, ktorý koná zrýchlený pohyb, vyžaruje elektromagnetcké vlnene. Vyžarovane energe zahratym telesom môžeme charakterzovať nasledovne: 164

2 Tepelné žarene je elektromagnetcké vlnene, spektrum tepelného žarena je spojté, zvyšovaním teploty raste celková telesom vyžarená energa a mení sa jej spektrálne zložene. Žarvý tok Φ(T) je celková energa vyžarená povrchom telesa teploty T za sekundu. Jednotkou je 1 watt. Spektrálny žarvý tok Φ ( T ) je energa vyžarená povrchom telesa teploty T za jednotku času v ntervale vlnových dĺžok <, + d>. Intenzta vyžarovana M(T) je defnovaná ako energa vyžarená jednotkou plochy za sekundu a jej jednotkou je W m -. Žarvý tok súvsí s ntenztou vyžarovana vzťahom d Φ ( T ) MT ( ) = (1.1) ds Spektrálne rozdelene vyžarovanej energe charakterzuje spektrálna koncentráca (hustota) ntenzty vyžarovana M (T). Jednotkou je Wm 3. Spektrálna koncentráca ntenzty vyžarovana je energa vyžarená jednotkou plochy povrchu telesa teploty T za sekundu a to v ntervale vlnových dĺžok <, + d>. Intenzta vyžarovana súvsí s spektrálnou koncentrácou ntenzty vyžarovana vzťahom MT ( ) = M( T)d. (1.) 0 Telesá nelen vyžarujú, ale aj absorbujú tepelné žarene. Vyžarovane a schopnosť telesa absorbovať tepelné žarene spolu súvsa. Podel energe pohltenej telesom a energe dopadajúcej na teleso za jednotku času sa volá absorptanca (pohltvosť) Φpohl. ( T ) α( T ) =. (1.3) Φdop. ( T ) Podel energe absorbovanej telesom v ntervale vlnových dĺžok <, +d> a dopadajúcej energe v tom stom ntervale je spektrálna pohltvosť α d Φ,pohl.( T ) α ( T ) =. (1.4) d Φ ( T ),dop. Termodynamckým štúdom rovnováhy medz vyžarenou a absorbovanou energou Krchhoff v roku 1860 formuloval zákony, podľa ktorých pre všetky telesá a povrchy, nezávsle od úpravy povrchu, je podel M(T) /α(t) pre každé teleso rovnakou funkcou teploty a podel M (T)/α (T) je pre všetky telesá určtou funkcou teploty a vlnovej dĺžky. MT ( ) M ( T) = f ( T) = f(, T). (1.5) α( T) α ( T) Nezávslosť od druhu telesa, farby povrchu a pod. je dôsledkom toho, že teleso, ktoré slnejše pohlcuje určté žarene, bude toto žarene aj slnejše vyžarovať a naopak. Maxmálna hodnota α a α sa rovná jednej a takéto teleso nazývame absolútne černe teleso. Je to teleso, ktoré absorbuje všetku dopadajúcu energu. Túto vlastnosť žadne reálne teleso nemá, ale veľm sa mu svojm vlastnosťam prblžuje začernená dutna s malým otvorom na obr Lúč, ktorý vnkne do dutny, sa početným odrazm praktcky pohltí a otvor sa chová ako teleso pohlcujúce všetko dopadajúce žarene. Ak steny dutny majú teplotu T potom Obr. 1.1 Model absolútne černeho telesa skúmaním žarena vychádzajúceho z takejto dutny určujeme práve funkce f(t) a f(,t). 165

3 Na základe expermentálnych meraní a zo zákonov termodynamky a elektromagnetzmu bolo možné odvodť dva zákony pre vyžarovane absolútne černeho telesa a to: Stefanov-Boltzmannov zákon (1879) M = σt σ = 5, W m K (1.6) kde σ je Stefanova-Boltzmannova konštanta a Wenov posuvný zákon (1893), podľa ktorého vlnová dĺžka max, pr ktorej je spektrálna koncentráca ntenzty vyžarovana maxmálna, je nepramo úmerná absolútnej teplote b 3 max =, b =, m K. (1.7) Μ W.m ( -) ) T 1 >T 5 T 1 T T 3 b max = T T 4 (nm) Obr.1. Expermentálne závslost M (T) pre rôzne teploty T 5 T Posun maxma spektrálnej koncentráce ntenzty vyžarovana je zrejmý z obr. 1.. Čím je teplota telesa vyšša, tým je vlnová dĺžka, pr ktorej je spektrálna koncentráca ntenzty vyžarovana maxmálna, menša. Expermentálne závslost zobrazené na obr. 1. nebolo možné teoretcky zdôvodnť zákonm klasckej fyzky. Jednoduchý model absolútne černeho telesa pozostával z dutny, na ktorej stenách bol nabté harmoncké osclátory, kmtajúce okolo rovnovážnych polôh. Podľa zákonov klasckej fyzky energa harmonckého osclátora sa mohla spojte menť a harmoncký osclátor mohol nadobúdať akúkoľvek energu. Nabtý harmoncký osclátor emtuje elektromagnetcké žarene a tež absorbuje elektromagnetcké žarene nachádzajúce sa vo vnútr dutny. Vznkne elektromagnetcké pole žarena, ktoré bude v energetckej rovnováhe so stenam dutny udržavanej na určtej teplote. Teoretcky získaná závslosť pre spektrálnu koncentrácu ntenzty vyžarovana súhlasla s výsledkam meraní ba v oblast nízkych frekvencí (veľké vlnové dĺžky) a nak bola úplne v rozpore s expermentálnym výsledkam. Problém vyžarovana absolútne černeho telesa vyrešl Max Planck v roku 1900 a toto vysvetlene ho uroblo zakladateľom kvantovej fyzky. Základnú Planckovu myšlenku je možno formulovať nasledovne: Elektromagnetcké žarene je emtované v kvantách energe a energa týchto kvánt je pramo úmerná frekvenc žarena f E = hf, (1.8) kde konštanta úmernost h je Planckova konštanta. (Max Planck ( ), nemecký fyzk, Nobelova cena za fyzku v roku 1918). Planckova konštanta má hodnotu h = 6, J s. Planckova konštanta je základnou prírodnou konštantou, podobne ako napr. rýchlosť svetla. Jej rozmer je rovnaký ako rozmer momentu hybnost a ako uvdíme neskôr, vlastný moment hybnost elementárnych častíc spn, má veľkosť, ktorá je násobkom Planckovej konštanty. Z Planckovej hypotézy vyplýva, že energa je kvantovaná a energetcké hladny harmonckého osclátora sú od seba rovnako vzdalené. 166

4 Energetcké stavy harmonckého osclátora môžu byť ba celočíselným násobkom základného kvanta energe: E0 = 0 E1 = hf E = hf (1.9) En = nhf Neskorší vývoj kvantovej fyzky ukázal, že najnžša možná energa harmonckého osclátora 1 ne je rovná nule, ale E 0 = hf a o túto energu sú všetky hladny energe posunuté 1 En = ( n+ ) hf, n= 0,1,,.... Planckov vyžarovací zákon bol získaný Maxom Planckom za predpokladu kvantovana energe a má tvar πf hf M f ( T) =, (1.10) hf c kt e 1 kde h je Planckova konštanta, k je Boltzmannova konštanta, c je rýchlosť svetla a T je absolútna teplota. Planckov zákon žarena absolútne černeho telesa súhlasl s výsledkam expermentálnych meraní pre celú oblasť frekvencí a teplôt. Ak vyjadríme Planckov zákon pomocou vlnovej dĺžky žarena, má tvar πhc M ( T) = (1.11) hc 5 kt (e 1) Upozorňujeme, že vzťah (1.11) nedostaneme ba jednoduchým dosadením do (1.10) za frekvencu f = c /. Pre vyžarovací zákon musí platť M f df = M d a musíme ešte c zohľadnť, že df = d. Expermentálne, resp. termodynamcké zákony formulované pre vyžarovane absolútne černeho telesa možno odvodť z Planckovho zákona. Wenov posuvný zákon vyplýva z Planckovho zákona ak vyjadríme podmenku pre maxmum Planckovej funkce (1.11), teda d M ( T ) 0 b = max =. (1.1) d T Integrácou Planckovho zákona cez všetky vlnové dĺžky, resp. frekvence žarena dostaneme Stefanov-Boltzmannov zákon. 5 4 π k 4 4 M ( T) d = T = σt. (1.13) 3 15ch 0 Prevratný prínos Plancka k formulovanu kvantovej fyzky spočíva v tom, že ako prvý prpustl pre určtú sústavu len možnosť dskrétnych kvánt energe a vytvorl tak základ pre vznk kvantovej fyzky. Planckova hypotéza nebola hneď všeobecne akceptovaná. Skôr sa na ňu hľadelo ako na určtú umelú matematckú konštrukcu, ktorú bude možné nak vysvetlť a nebude potrebné sa vzdať možnost spojtých energí. Veľkú podporu Planckovej hypotéze poskytol v roku 1907 A. Ensten, keď pomocou Planckovej hypotézy kvantovana energe harmonckého osclátora vysvetll teplotnú 167

5 závslosť tepelnej kapacty tuhých látok a ešte dva roky predtým, v roku 1905, keď hypotézou svetelných kvánt vysvetll fotoelektrcký jav. Príklad 1.1 Za predpokladu, že Slnko a Zem žara ako absolútne černe telesá, vypočítajte na akú teplotu by sa zohrala naša Zem pod vplyvom slnečného žarena. Teplota povrchu Slnka je T S = 5800 K, polomer Slnka je R S = 6, m a stredný polomer obežnej dráhy Zeme je r SZ = 1, m. Rešene: 4 Tok vyžarený povrchom Slnka, t.j. energa za jednu sekundu, je Φ = σts 4π RS. Vo 4 Φ σ TS 4π RS 4 RS vzdalenost r SZ dopadne na jednotkovú plochu energa = = σ T S. 4π rsz 4π rsz rsz 4 RS Na povrch Zeme dopadne žarvý tok (energa za jednu sekundu) Φ1 = σts π R Z, kde R Z je rsz polomer planéty. Zem ako absolútne černe teleso súčasne vyžaruje celým svojím povrchom 4 tokφ = σtz 4π RZ, kde T Z je teplota povrchu Zeme. Pr tepelnej rovnováhe platí Φ 1 = Φ, z 8 RS 6,96 10 čoho vyjadríme teplotu povrchu Zeme TZ = TS = 5800 = 80,3 K. 11 r 1,49 10 Príklad 1. Teleso zohrate na teplotu T 1 = 500 K postupne chladne. Vlnová dĺžka svetla, na ktorú prpadá relatívne najvac energe v spektre žarena tohto telesa sa zmení o Δ = 0,8 μm. Vypočítajte, na akú teplotu T sa teleso ochladlo za predpokladu, že žar ako absolútne černe teleso. Rešene: b b Z Wenovho posuvného zákona pre vlnové dĺžky dostaneme 1m = a m =. Pre zmenu T1 T b b vlnovej dĺžky môžeme napísať rovncu Δ = m 1m =, z ktorej následne vyjadríme T T1 3 bt1, T = = 6 3 hľadanú teplotu Δ T1 + b 0, ,9 10 = 1479,6 K. SZ 1.3 Fotoelektrcký jav Hertz v roku 1887 zstl, že ak osvetlíme kov svetlom dostatočne krátkej vlnovej dĺžky, svetlo uvoľňuje z kovu elektróny. Fotoelektrcký jav (fotoefekt) môžeme expermentálne vyšetrovať pokusom schematcky zobrazeným na obr.1.3. V evakuovanej trubc je umestnená kovová elektróda (K) emtujúca elektróny, na ktorú cez okenko dopadá svetlo. Ak má zberná elektróda (A) oprot elektróde (K) kladný potencál, elektróny vyrazené z kovu sú touto elektródou odsávané a ampérmetrom merame pretekajúc elektrcký prúd. Zmenou polohy bežca na 168

6 potencometr je možné na zbernej elektróde menť elektrcký potencál. Ak má zberná elektróda dostatočné záporné napäte oprot elektróde (K), knetcká energa vyrazených elektrónov nestačí na prekonane Dopadajúce svetlo rozdelu potencálov a elektrcký prúd zankne. Krtcké napäte, pr ktorom prúd K dosahne nulovú hodnotu voláme - A brzdné napäte, a vtedy Elektróny 1 b mv eu kde m je hmotnosť elektrónu a e je veľkosť náboja elektrónu. As podobné expermentálne zaradene mal k dspozíc bratslavský Potencometer rodák, fyzk Flp Lenard ( ), ktorý v roku 190 pozoroval pr fotoelektrckom jave nasledovné zákontost: 1. Pre každý kov exstuje maxmálna vlnová dĺžka, pr ktorej ešte nastane fotoefekt. Ak je vlnová dĺžka použtého svetla väčša ako táto hrančná vlnová dĺžka, fotoefekt Obr. 1.3 Zapojene fotoelektrckého expermentu nenastane.. Knetcká energa vyrazených elektrónov, t.j. potrebné brzdné napäte, nezávsí od ntenzty svetla, ba od jeho vlnovej dĺžky. 3. Elektróny sú pr osvetlení uvoľňované okamžte a od ntenzty svetla závsí ba veľkosť nasýteného elektrckého prúdu. An jednu z uvedených vlastností fotoelektrckého javu nebolo možné vysvetlť na základe klasckej teóre elektromagnetzmu, teda svetla ako elektromagnetckého vlnena. Elektrón sa môže uvolnť z kovu, ak sa mu dodá dostatočná energa. (Bolo už známe, že z rozžeraveného kovu sú uvoľňované elektróny jav, ktorý voláme termoemsa). Ak sa pozeráme na svetlo ako na elektromagnetcké vlnene, tak svetlo môže odovzdať energu elektrónu prostredníctvom nterakce elektrónu s vektorom ntenzty elektrckého poľa elektromagnetckej vlny. Elektrón sa v kove tým vacej rozkmtá, čím bude ampltúda ntenzty elektrckého poľa väčša, teda čím bude väčša ntenzta osvetlena. Takáto závslosť sa však nepozorovala, knetcká energa elektrónov nezávsela od ntenzty osvetlena. Z pohľadu klasckej fyzky by sa ďalej očakávalo, že ak je ntenzta osvetlena malá, tak na "rozkmtane" elektrónu bude potrebný určtý čas. Toto sa tež nepozorovalo a ak bola vlnová dĺžka použtého svetla dostatočná, aj pr najmenšej ntenzte svetla bol elektróny pr osvetlení kovu vyrazené okamžte. Od ntenzty svetla závsel ba nasýtený elektrcký prúd. Vysvetlene fotoelektrckého javu našel A. Ensten v r. 1905, keď navrhol hypotézu, podľa ktorej pr ems alebo absorbc svetla sa energa neodovzdáva spojte, ale po kvantách. Ensten v tejto hypotéze zašel ďalej ako M. Planck, lebo kvantové vlastnost procesu vyžarovana a absorpce prsúdl svetlu všeobecne. Podľa tejto hypotézy svetlo pozostáva z 169

7 kvánt - častíc, ktoré sa pohybujú prestorom. Ak elektromagnetcká vlna má frekvencu f, tak energa kvanta svetla takejto frekvence je hc E = hf =, (1.15) kde h je Planckova konštanta a c je rýchlosť svetla. Takéto elementárne kvantum elektromagnetckého žarena voláme fotón. Fotón má energu a hybnosť. Hybnosť fotónu je hf h p = c =. (1.16) Fotón sa pohybuje rýchlosťou svetla a preto nemôže mať pokojovú hmotnosť. Energ hf podľa Enstenovho vzťahu E = mc však prslúcha hmotnosť m= E/ c. Táto hmotnosť fotónu sa aj prejavla, napr. pr ohybe svetla v gravtačnom pol, alebo pr tzv. červenom posune v spektrách masívnych hvezd. Fotón, podobne ako aj né elementárne častce, má vlastný moment hybnost - spn. Spnové kvantové číslo pre fotón je 1. Elektrón v kove sa nachádza v potencálovej jame. Na uvoľnene elektrónu je treba dodať elektrónu energu, ktorú voláme výstupná práca. Výstupná práca závsí od druhu kovu. Fotón, ktorý dopadne na elektrón kovu odovzdá elektrónu energu hf. Časť tejto energe sa spotrebuje na uvoľnene elektrónu a zvyšnú časť získa elektrón vo forme knetckej energe. Blancu energe pr fotoefekte vyjadruje Enstenova rovnca pre fotoefekt hf = W + E k,max (1.17) kde E k,max je maxmálna knetcká energa, ktorú môže získať elektrón. Pomocou brzdného napäta je určená vzťahom Ek,max = eub. (1.18) Energetcká blanca je zobrazená na obr. 1.4 Dopadajúce Maxmálna vlnová dĺžka, pr ktorej ešte svetlo môže byť elektrón z kovu uvoľnený, je vlnová dĺžka, pre ktorú sa energa fotónu (1.15) práve hf E rovná výstupnej prác k hc = W. (1.19) max W Meraním závslost brzdného napäta od frekvence dopadajúceho svetla môžeme pomerne jednoducho určť Planckovu konštantu. Obr. 1.4 Blanca energe pr fotoefekte Potrebujeme k tomu zmerať brzdné napäte pr mnmálne troch rôznych vlnových dĺžkach 1 hc 1 W a určť parametre funkce Ub= Ub =. e e Zo smernce tejto pramky určíme Planckovu konštantu. Výstupná práca je najmenša pre alkalcké kovy a maxmálna vlnová dĺžka pre teto kovy je ešte vo vdteľnej oblast spektra. Pre väčšnu kovov je v ultrafalovej oblast. K javu podobnému fotoefektu dochádza pr osvetlení polovodčov. Nejde v tomto prípade o uvoľňovane elektrónov, ale o zvýšene počtu vodvostných elektrónov a zvýšene vodvost. Tento jav nazývame vnútorný fotoefekt. Hrančná vlnová dĺžka je väčša a zasahuje až do nfračervenej oblast spektra elektromagnetckého žarena. 170

8 Vysvetlene fotoelektrckého javu bolo dôležtým dôkazom kvantovana energe a Albertov Enstenov bola za vysvetlene fotoelektrckého javu udelená Nobelova cena za fyzku v roku 191. Príklad 1.3 Brzdné napäte platnovej elektródy ožarenej UV svetlom je U b1 = 3,7 V. Po ožarení nej kovovej elektródy je brzdné napäte U b = 6,0 V. Vypočítajte výstupnú prácu elektrónov z druhej elektródy. Rešene: hc Enstenova rovnca pre obdva prípady má tvar W1 eub1 = + a hc W eub = +, kde výstupná práca elektrónov z platny je W 1 = 6,3 ev. Z porovnana pravých strán rovníc vyplýva pre výstupnú prácu elektrónov z druhej elektródy vzťah W = W1+ e( Ub1 Ub) = 4 ev. Príklad 1.4 Výstupná práca elektrónov pr uvoľnení z katódy je W = 4,5 ev. Aká je maxmálna vlnová dĺžka m svetla, pr ktorej ešte nastane fotoemsa? Akú maxmálnu rýchlosť v m môže získať elektrón emtovaný po ožarení svetlom vlnovej dĺžky = 180 nm? Rešene: Z Enstenovej rovnce pre fotoefekt vyplýva, že maxmálna vlnová dĺžka svetla, pr ktorej 1 nastane fotoefekt zodpovedá nulovej knetckej energ elektrónov Ek = mv = 0. Preto 34 8 hc hc 6, W =, a teda m = = = 76,5 nm. V prípade ožarena systému 19 m W 4,5 1,60 10 svetlom vlnovej dĺžky ( < m ) knetcká energa elektrónov už ne je nulová 1 hc hc Ek = mv = W. Po úprave získame v m = W, m teda v 6, m = ( 4,5 1,60 10 ) = 9, , m s 1. y Dopadajúc fotón Nehybný elektrón RTG žarene mv = 0 kg.m.s -1 x Počatočný stav Výsledný stav Obr. 1.5 Comptonov rozptyl y Rozptýlený fotón RTG žarene ϕ Θ x Pohybujúc sa elektrón m.v 0 kg.m.s Comptonov jav Fotoelektrcký jav bol dôkazom kvantovana výmeny energe medz žarením a látkou. Comptonov jav je dôkazom, že energa sa naozaj šír po kvantách a že fotón má hybnosť. Compton pozoroval, že pr rozptyle svetla na parafíne svetelné lúče rozptýlené pod uhlom menším ako 90 majú väčšu vlnovú dĺžku. Comptonov vzťah pre zmenu vlnovej dĺžky má tvar 171

9 h ϕ Δ =, (1.0) sn mc kde m je hmotnosť elektrónu a ϕ je odklon svetla od prameho smeru (obr. 1.5). Ak elektrón, na ktorom dochádza k rozptylu považujeme za voľný, potom pr zrážke fotónu s elektrónom sa uplatna dva zákony zachovana. Zákon zachovana celkovej energe a zákon zachovana hybnost. Nech počatočná knetcká energa elektrónu je zanedbateľná, vlnová dĺžka dopadajúceho svetla je a rozptýleného je '. Zákon zachovana energe pre zrážku fotónu s takýmto elektrónom bude mať tvar hc hc = + E ' k, (1.1) kde E k je v relatvstckom tvare vyjadrená knetcká energa elektrónu. Pr rozptyle fotónu musí platť aj zákon zachovana hybnost: p = p + p (1.) f e f Ak veľkosť hybnost fotónu je p = h/, potom z rovníc (1.1) a (1.) sa dá odvodť Comptonov vzťah pre zmenu vlnovej dĺžky rozptýleného svetla. Kvantum žarena fotón sa šír prestorom ako častca, ktorej hybnosť bude tým väčša, čím je menša vlnová dĺžka elektromagnetckej vlny. Príklad 1.5 Výbojka vyžaruje svetlo vlnovej dĺžky = 590 nm. Výkon výbojky je P = 60 W. Koľko fotónov vyžar výbojka za sekundu? Rešene: hc Energa fotónu danej vlnovej dĺžky je E = hf =. Energa W vyžarená výbojkou výkonu P za čas t bude W = Pt. Počet fotónov vyžarených za sekundu sa rovná 9 W Pt Pt N = = = = = 5,96 10 fotónov E hc hc 6, Vlnové vlastnost častíc, de Broglove vlny Fotoefekt ukázal, že svetlo môže mať aj častcové vlastnost, nelen vlnové, ktoré sa dovtedy pozoroval pr nterferenc svetla. V roku 194 francúzsky fyzk Lous de Brogle zovšeobecnl vzťah p = h/ známy pre fotón na všetky častce a postuloval, že každej častc s veľkosťou hybnost p prnáleží materálová vlna, alebo tež de Broglova vlna. Túto hypotézu podporl argumentam zo špecálnej teóre relatvty. Vlnová dĺžka de Broglovej vlny častce, ktorá má hybnosť veľkost p, je h = (de Broglova vlnová dĺžka) (1.3) p frekvenca tejto vlny súvsí s energou častce a rovná sa E f =. (1.4) h Táto hypotéza bola expermentálne potvrdená v roku 197 C.D.Davssonom a L.H. Germerom pr dfrakc elektrónov na kryštál nklu a G.P.Thomsonom dfrakcou elektrónov 17

10 Dopadajúc zväzok RTG žarena alebo elektróny Terč - práškový hlník Dfrakčný krúžok Obr. 1.6 Dfrakca elektrónov na tenkej fól. Fotografcký flm na tenkej zlatej alebo hlníkovej fól. Thomsonov experment je zobrazený na obr Zdôrazňujeme, že dfrakca je jav charakterstcký pre vlnene. Dfrakčné a nterferenčné javy spojené so svetlom vedl napríklad k výlučne vlnovej predstave o svetle, hoc napríklad I. Newton pokladal svetlo za prúd častíc. Úplne analogcký dfrakčný obraz ako získal Thomson pre elektróny sa získa aj dfrakcou röntgenového žarena na tenkej zlatej fól. Neskôr sa nterferenčný obraz pozoroval aj pr dfrakc elektrónov na dvoch štrbnách a bol úplne analogcký známej dfrakc svetla na dvoch štrbnách. Pr makroskopckých častcach vlnové vlastnost nepozorujeme. Príčna je veľm jednoduchá, vlnová dĺžka je vzhľadom na veľkú hybnosť makroskopckej častce nesmerne malá. Príklad 1.6 Vypočítajte vlnovú dĺžku de Broglovej vlny elektrónu urýchleného napätím 0 kv! Rešene: 1 p Vo výraze vyjadrujúcom knetckú energu častce Ue= mv = nahradíme hybnosť m elektrónu výrazom p = h /. Po jednoduchej úprave = h/ mv získame vzťah: 34 h 6,63 10 = = = 8, 7 pm meu 9, , Hesenbergove vzťahy neurčtost V klasckej mechanke je stav častce určený zadaním jej polohy, hybnost a energe. Klascká fyzka nepozná prncpálne prekážky, ktoré by bránl poznať teto velčny s ľubovoľnou presnosťou. S mkročastcam, elementárnym častcam, atómam, alebo molekulam je stuáca ná. Ne je možné poznať súčasne všetky teto velčny s ľubovoľnou presnosťou. Hrance, v ktorých teto velčny môžeme poznať, postuloval v roku 197 nemecký fyzk Werner Hesenberg. Podľa Hesenbergovho prncípu častc nemôžeme súčasne prradť polohu a hybnosť s neobmedzenou presnosťou. Pre súčasné určene hybností a súradníc plata obmedzena ΔpxΔx (1.5a) ΔpyΔy (1.5b) ΔpzΔz, (1.5c) 173

11 kde napr. Δ px a Δ x sú neurčtost určena zložky hybnost a súradnce v os x a = h /π. Žadnym meraním ne je prncpálne možné ch súčasne určť presnejše. Ak budeme presnejše poznať polohu, tak nemôžeme poznať presne hybnosť a opačne. Súčn neurčtostí týchto velčín nkdy nemôže byť menší ako /. Takéto obmedzena ale neplata pre súčasné určene zložek hybnost a polohy v rôznych smeroch súradných osí, napr. x a y. Teda ΔpxΔ y = 0. Podobný vzťah neurčtost platí aj medz energou systému a časom ΔEΔt. (1.6) V tomto vzťahu sa však jedná o neurčtosť v určení energe systému, ktorého doba žvota je Δ t. Pod dobou žvota rozumeme napr. trvane exctovaného stavu atómu, alebo molekuly. Ak je veľm krátka, tak bude veľká neurčtosť ΔE a tým aj neurčtosť frekvence vyžareného fotónu. Prncíp neurčtost s objasníme na nasledovnom myšlenkovom expermente. Nech elektrón s hybnosťou p dopadá na štrbnu šírky Δy (obr.1.7). Pred dopadom na štrbnu je zložka hybnost v os y rovná nule a tež Δp y = 0. Prechodom elektrónu štrbnou dôjde k dfrakc elektrónu a pre prvé dfrakčné mnmum platí Δ ysnϕ =. Elektrón sa vychýll z prameho smeru a musel preto získať p' p' hybnosť v os y. Bez nej by sa vychýlť Δ p ϕ nemohol. Zo zobrazena vektorov na obr. ϕ 1.7 je zrejmé, že zložka hybnost v smere Δ p y p p Δ y os y je Δ py = psnϕ. Po dosadení za vlnovú dĺžku z de Broglovho vzťahu dostávame: Δ h p Δ y y = psnϕ h sn ϕ = =. Obr. 1.7.: Hesenbergov myšlenkový experment Hesenbergove vzťahy neurčtost predstavujú lmty pre použte klasckých pojmov ako sú dráha alebo rýchlosť vo fyzke mkročastíc. Majú základný význam v kvantovej fyzke. Ich dôsledkom je napr. fakt, že energa častce lokalzovanej v nejakom prestore nemôže byť nulová. Dôsledkom vzťahov neurčtost je napr. energa nulových kmtov harmonckého osclátora, ale aj to, že elektrón nemôže "spadnúť" na atómové jadro. Ak by elektrón spadol na bodové atómové jadro, mal by presnú polohu a nulovú hybnosť a to by bolo v rozpore so vzťahm neurčtost. Hesenbergove vzťahy majú hlboký súvs s vlnovým vlastnosťam častíc. Vlna určtej vlnovej dĺžky nemôže byť lokalzovaná v bode Prncíp komplementarty Čím presnejše merame polohu objektu, tým je menša neurčtosť Δx a tým vac môžeme tvrdť o objekte, že je častcou. Podľa Hesenbergových vzťahov ak Δx 0, potom Δp. Vlnovú dĺžku = h/ p, ktorá je základnou charakterstkou vlny, potom vôbec nebudeme môcť určť. Na druhej strane, ak presne merame vlnovú dĺžku, potom presne poznáme aj hybnosť a Δp 0. Z Hesenbergových vzťahov však Δx a predstava o častc, ako lokalzovanom objekte je úplne nepresná. Čo je teda vlastne hmota (alebo aj 174

12 svetlo): vlna, alebo častca? Podľa Bohra je to zle postavená otázka, pretože mplkuje ba jednu z možností. Svetlo aj častce majú súčasne vlnové aj častcové vlastnost. Hovoríme tomu vlnovo-častcový dualzmus. Záleží na expermente, ktoré z týchto dvoch vlastností sa prejava. Vlnové a korpuskulárne aspekty sa vzájomne dopĺňajú, ne sú nezlúčteľné, ale komplementárne. Príklad Vlnová dĺžka sa dá určť s relatívnou presnosťou Δ = 10. Aká je neurčtosť polohy Δx fotónu s vlnovou dĺžkou = 0,1 nm, ak súčasne určujeme polohu aj vlnovú dĺžku? Rešene: h d h Pretože p =, potom pre Δp platí, že Δ p p = d Δ = Δ. Z Hesenbergových vzťahov 10 h h ďalej vyplýva, že Δx 4πΔp 4πhΔ 4π Δ. Teda 10 6 Δx 7,96 10 m. 6 4π10 Príklad 1.8 Elektrón sa pohybuje v oblast, ktorej veľkosť je a = 0,1 nm. Pomocou Hesenbergových vzťahov neurčtost odhadnte jeho najmenšu možnú knetckú energu! Rešene: 1 px Knetckú energu elektrónu vyjadríme vzťahom E = mv x =, kde p x predstavuje m hybnosť elektrónu a m jeho hmotnosť. Najmenša hybnosť elektrónu môže byť rovná neurčtost hybnost p x Δp x, ktorú odhadneme z Hesenbergových vzťahov neurčtost h Δpx. V prípade pohybu elektrónu v oblast veľkost a, neurčtosť jeho polohy určíme 4 πδ x ako Δx 0,5 a. Pre mnmálnu knetckú energu potom platí 34 ( Δpx ) h (6,63 10 ) 19 Ek = = = = 6,11 10 J = 3,8 ev m 8π ma 8π 9, Príklad 1.9 Odhadnte šírku čary Δ a rozptyl frekvence Δf pre svetelný mpulz rubínového lasera, ktorého doba trvana je t = 1 ns a vlnová dĺžka = 630 nm. Rešene: K odhadu použjeme vzťah medz neurčtosťou v určení energe pre systém, ktorého doba žvota je Δt v tvare ΔE Δt h/π. Neurčtosť v čase Δt odhadneme, že je rádovo rovná dobe trvana mpulzu lasera (Δt t). Neurčtosť energe E = h c / vyjadríme pomocou Δ, resp. Δf: Δ de hc E = d Δ = Δ, resp. de Δ E = Δ f = hδ f. df Potom 7 hc h (6,3 10 ) Δt Δ, Δ 0,105 pm. 4 π 8 9 4πcΔt 4π h ΔthΔf, Δf 7,96 10 s 1. 4 π 9 4πΔt 4π

13 1.7 Pravdepodobnostná nterpretáca nterferenčných javov S nterferencou a dfrakcou vlnena, konkrétne svetla, sme sa stretl vo fyzkálnej optke a vedel sme teto javy vysvetlť superpozícou vlnení od elementárnych zdrojov na štrbne, alebo štrbnách mrežky. Výsledkom takejto superpozíce bola ampltúda výsledného vlnena v danom meste. Intenzta osvetlena v danom meste tendla bola potom určená druhou mocnnou ampltúdy svetelnej vlny. V tejto čast sa budeme snažť spojť dva pohľady na nterferenčné javy Experment so svetlom Dopadajúce svetlo Svetlo dfraktované na štrbnách Tendlo Obr. 1.8.: Dfrakca svetla na dvoch štrbnách Interferenčný obraz Ak rovnná svetelná vlna dopadá na dfrakčnú mrežku, dochádza k dfrakc svetla, svetlo sa odchýl z pôvodného smeru a na tendle pozorujeme nterferenčné maxmá a mnmá. Teto vznkajú nterferencou svetelných lúčov z jednotlvých štrbín mrežky. Najjednoduchším prípadom nterference je nterferenca na dvoch štrbnách, zobrazená na obr Rovnná vlna dopadá na dve štrbny a za štrbnam na tendle pozorujeme nterferenčný obraz. Interferenca svetla a ohyb (dfrakca) svetla bol hlavným dôkazm vlnového charakteru svetla. Z fotoelektrckého javu a Comptonovho rozptylu zase vyplynulo, že svetlo je prúd častíc - fotónov. Bolo potrebné nájsť vysvetlene tejto ne jednoduchej dlemy. Vlnový pohľad vyžaduje vlnu, ktorá súčasne dopadá na obdve štrbny. Špecálne postavený experment ukázal, že k nterferenčnému javu dochádza aj vtedy, keď je v expermentálnom zaradení v danom čase ba jeden jedný fotón (robl sa expermenty s takou slabou ntenztou svetla). Interferenca sa však pozorovala ba vtedy, ak bol otvorené obdve štrbny. Po dostatočne dlhom čase sa na detektore objavl nterferenčné maxmá a mnmá. Ak bol v danom čase v zaradení ba jeden jedný fotón, ako potom mohol byť naraz v dvoch štrbnách? Predstava, že fotón sa pr prechode zaradením nejakým spôsobom rozdelí a nterferuje sám so sebou sa ukázala nereálna. Ak budeme merať energu po prechode štrbnou, teda energu jednej z predpokladaných zložek rozdeleného fotónu, odmerame ba celý fotón alebo nč. Navac, nterferenčný obraz sa pozoroval aj v analogckom expermente s elektrónm. Nkto nepozoroval rozdelený elektrón. Pr klasckom vlnovom popse nterference svetlo prchádzajúce do daného bodu môže ísť lúčm, ktorým podľa jednotlvých otvorov zodpovedajú vlnové funkce ϕ 1, resp. ϕ. Svetlo môže do daného bodu na tendle prechádzať obdvom otvorm. Výsledná vlnová funkca je podľa prncípu superpozíce ϕ = ϕ1+ ϕ. Intenzta osvetlena sa rovná I = ϕ1+ ϕ a tejto ntenzte zodpovedá aj nterferenčný obraz. Ak sa pozreme na svetlo ako na prúd častíc, tak k nterferenc bude dochádzať ba vtedy, ak každému jednotlvému fotónu sú dostupné dve funkce ϕ 1, resp. ϕ. Teto funkce, ako uvedeme ďalej, budú súvseť s ampltúdam pravdepodobnost výskytu fotónu. 176

14 1.7. Experment s hmotným častcam, dfrakca elektrónov De Broglove vlny spojené s Štrbna Tendlo Tendlo pohybujúcm sa častcam sa p 1 p 1 prejava nterferenčným obrazom v prncpálne rovnakom expermente, v akom bola pozorovaná dfrakca 1 svetla. Elektróny emtované elektrónovým delom môžu dopadať cez dve štrbny na tendlo, kde sú vhodným detektorom analyzované (obr.1.9 ). Pokaľ je otvorený len otvor A p Klascké rozdelene B č. 1, resp. č., tak počet elektrónov dopadajúcch na detektor za Obr. 1.9.: Dfrakčný obraz pre elektróny. jednotku času je úmerný krvkám p 1, resp. p. Ak sú otvorené obdva otvory, pozoruje sa krvka p 1 a nterferenčný obraz úplne analogcký maxmám a mnmám pr dfrakc svetla na dvoch štrbnách. Dfrakčný obraz sa pozoroval aj vtedy, ak zaradením prechádzal v danom čase ba jeden elektrón, ale bol otvorené obdve štrbny. Nemáme prestor na to, aby sme sa mohl týmto expermentom zaoberať podrobnejše. Zdôrazňujeme však, že ak by sme pr dvoch otvorených štrbnách nštaloval akékoľvek zaradene, dovoľujúce určť ktorou z otvorených štrbín elektrón prešel, nterferenčný obraz zankne. Dopadajúce elektŕóny Interferenčné obrazce Interpretáca expermentov V maxme nterferujúcch vĺn je osvetlene maxmálne. Z vlnového pohľadu to znamená, že v danom bode tendla alebo detektora má maxmum štvorec ampltúdy svetelnej vlny, konkrétne druhá mocnna ampltúdy vektora ntenzty výsledného elektrckého poľa. Ak v expermentálnom zaradení bol v danom čase ba jedný fotón a po dostatočne dlhom pozorovaní sa objavl maxmá (napríklad sčernane fotografckej platne), tak z častcového pohľadu to znamená, že do daného bodu postupne za uvedený dlhý čas dopadlo najvac častíc svetla - fotónov. Ak ch dopadlo najvac, znamená to, že v danom bode bola najväčša pravdepodobnosť dopadu fotónov. Z tejto úvahy vyplýva nasledovné prepojene uvedených prístupov: Druhá mocnna ampltúdy vektora elektrckej ntenzty svetelnej vlny v určtom bode tendla je pramo úmerná pravdepodobnost dopadu fotónov do daného mesta. Každému bodu na tendle môžeme prradť pravdepodobnosť, že za jednotku času môže byť v malom okolí daného bodu zaregstrovaný fotón. Táto pravdepodobnosť bude závseť okrem ného od toho, aká je sústava cez ktorú svetlo prechádza. Bude ná, ak je otvorená ba jedna zo štrbín, alebo ak sú otvorené obdve štrbny. Podobne sa dá nterpretovať experment s elektrónm. V mestach, do ktorých dopadalo najvac elektrónov, je najväčša pravdepodobnosť výskytu elektrónu. Rešene dlemy však tým ešte ne je ukončené. Je potrebné nájsť matematcký aparát, ktorý bude schopný spojť častcový a vlnový charakter dfrakčných javov. Východskom sa ukázala byť vlnová funkca a pravdepodobnostná nterpretáca vlnovej funkce. 177

15 1.8 Vlnová funkca Vlnovou funkcou pr popse mechanckého vlnena v pružnom prostredí sme vyjadrl výchylku elementu prostreda z rovnovážnej polohy v danom čase a meste. Vlnová funkca pre elektromagnetckú vlnu zas vyjadrovala vektor elektrckej ntenzty alebo magnetckej ndukce elektromagnetckého poľa v určtom čase a meste prestoru. Takéto vlnové funkce mal pramy fyzkálny význam a vyjadroval hodnotu nektorej pramo merateľnej fyzkálnej velčny. Vlnová funkca v kvantovej mechanke je tež funkca súradníc a času ψ ( x, yzt,, ). Častc v danom meste a čase prraďuje ampltúdu pravdepodobnost, prčom pravdepodobnosť nájsť častcu v čase t v bode x, y, z je úmerná ψ ( x, yzt,, ). Vlnová funkca je vo všeobecnost komplexná funkca, preto musíme uvažovať mocnnu absolútnej hodnoty. Vlnová funkca voľnej častce má formálne vlastnost klasckej vlny, preto dostala názov vlnová funkca. Je tu však podstatný rozdel vo význame. Pokaľ vlnová funkca v mechanke predstavovala expermentálne merateľnú velčnu, napr. výchylku struny, alebo v elektromagnetzme ntenztu elektrckého poľa, ampltúda vlnovej funkce ψ ( x, yzt,, ) nepredstavuje žadnu reálne exstujúcu merateľnú velčnu. S výsledkom expermentu a s realtou súvsí ba ψ ( x, yzt,, ). Ak môže určtý jav (dopad častce na detektor) nastať dvom navzájom sa vylučujúcm cestam (prechod cez štrbnu 1, alebo ) potom ampltúda pravdepodobnost javu je súčtom jednotlvých ampltúd pravdepodobnost ψ = ψ1 + ψ (prncíp superpozíce). (1.7) Prncíp superpozíce pre ampltúdy pravdepodobnost je formálne zhodný so skladaním vlnových funkcí pr nterferenc svetla. V predchádzajúcej čast sme konštatoval, že: - ntenzta osvetlena tendla pr dfrakc svetla súvsí s druhou mocnnou ampltúdy výslednej svetelnej vlny - ntenzta osvetlena tendla pr dfrakc svetla súvsí s pravdepodobnosťou dopadu, teda výskytu fotónu v danom meste. Ak má častca vlnové vlastnost, potom štvorec ampltúdy vlnovej funkce vyjadrujúcej stav častce je možné spojť s pravdepodobnosťou výskytu častce v danom meste. Toto spojene vedlo k pravdepodobnostnej nterpretác vlnovej funkce Vlastnost a nterpretáca vlnovej funkce Vlnová funkca charakterzuje stav určtého fyzkálneho systému (častce, atómu, molekuly). Ak má vlnová funkca charakterzovať stav určtého systému, musí byť rešením príslušnej Schrödngerovej rovnce (pozr časť 1.1). Z matematckého hľadska musí mať teto vlastnost: - musí byť jednoznačná, - musí byť spojtá a mať spojté aj prvé derváce - musí byť normovateľná. Normovateľnosť vlnovej funkce znamená, že ntegrál súčnu ψ ψ cez celý defnčný prestor vlnovej funkce je konečné číslo a vlnovú funkcu môžeme násobť vhodnou konštantou (normovacou konštantou) tak, aby pre výslednú funkcu platlo 178

16 + ψ ψdτ = 1. (1.8) Ak vlnová funkca charakterzuje stav sústavy vacerých častíc (napr. atómu, alebo molekuly), je funkcou súradníc všetkých častíc a vo všeobecnost aj času. Ak je systém staconárny, t.j. jeho energa je konštantná, vlnová funkca je ba funkcou prestorových súradníc. Hustota pravdepodobnost, že častca sa nachádza v bode so súradncam (x, y, z), je určená súčnom ψ ( x, yz, ) ψ ( xyz,, ), (1.9) kde ψ ( x, yz, ) je komplexne združená funkca k funkc ψ ( x, yz, ). Pravdepodobnosť, že častca sa nachádza v nekonečne malom okolí dτ bodu (x, y, z) sa rovná ( ) ( ) d P= ψ ( xyz,, ) d τ = ψ xyz,, ψ xyz,, dτ. (1.30) Poznámka: Túto nterpretácu vlnovej funkce zavedol Max Born a volá sa tež Bornova nterpretáca vlnovej funkce Vlnová funkca voľnej častce V mechanke sme ukázal, že vlnová funkca harmonckej vlny postupujúcej v smere os x, je daná funkcou π uxt (, ) = u0cos( ωt kx) = u0cos( kx ωt) = u0cos( x ωt). ( Pozn :cosα = cos( α)) Táto funkca je reálna časť komplexnej vlnovej funkce π ( ) uxt ˆ(, ) u0e x ω = t. (1.31) Dosaďme teraz za vlnovú dĺžku a frekvencu z de Broglových vzťahov h E h =, ω=, prčom =. Po malej úprave dostávame p π 0 ( Et px) ψ ( xt, ) ψ e =. (1.3) Pre hustotu pravdepodobnost ψ ψ dostávame, že je v každom meste na os x rovnaká: ( Et px) ( Et px) ψ ( xt, ) ψ( xt, ) = ψ e ψ e = ψ (1.33) Tento výsledok je v plnom súlade s Hesenbergovým vzťahm neurčtost. Ak má častca presne určenú hybnosť a v našom prípade má hybnosť p, tak neurčtosť v hybnost Dp = 0 a neurčtosť v jej polohe Dx bude nekonečne veľká. Nemôžeme potom nč povedať o lokalzác častce, môže sa nachádzať kdekoľvek na os x. Častca je voľná, nepôsobí na ňu žadna sla a vzhľadom na jej pohyb v os x ne sú kladené žadne obmedzena. Hybnosť a tež energa takejto častce ne je kvantovaná a môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty. Ako uvdíme ďalej v čast 13.1, ak na pohyb častce budú kladené ohrančujúce podmenky, jej energe už budú kvantované. 179

17 1.9 Úvod do formálneho aparátu kvantovej mechanky - operátory Analógou s mechankou a využtím de Brogleho vzťahov sme našl vlnovú funkcu pre voľnú častcu, ktorá má hybnosť p a energu E. Ukážeme s teraz ako z tejto vlnovej funkce možno získať hybnosť častce. Dervácou vlnovej funkce podľa x dostávame ( Et px) ( Et px) ψ( xt, ) = ψ0e = pψ0e (1.34) x x Ak dervácu vynásobíme tak pôsobením operátora na vlnovú funkcu ψ ( x, t) x dostávame ( Et px) ( x, t) = p e = p ( x, t). (1.35) 0 x ψ ψ ψ Operátor je matematcký predps, ktorý určuje operácu, ktorú máme urobť s funkcou, nasledujúcou za operátorom. Hybnosť častce bola obsahnutá vo vlnovej funkc. Operátor hybnost sa pre nás stal akýms nástrojom, ktorým sme mohl hybnosť z vlnovej funkce získať. Môžeme teda konštatovať, že je operátor zložky hybnost v os x. Ak x by sme chcel z vlnovej funkce získať p tak aplkujeme dvakrát dervácu podľa x. ( Et px) p ( Et px) p ψ ( xt, ) = ψ 0e = ψ 0e = ψ x x a operátor, ktorým z vlnovej funkce získame p teda bude ˆp =. x (1.36) 1.10 Súhrn a zovšeobecnena Pozorovateľná velčna je velčna, ktorú je prncpálne možné merať. V klasckej fyzke dynamcké pozorovateľné velčny sú určté funkce súradníc a času. V kvantovej fyzke pozorovateľným velčnám zodpovedajú operátory fyzkálnych velčín. Súradnc, resp. funkc súradníc prnáleží operátor, ktorým je znovu súradnca, resp. funkca súradníc. Hybnost už ale prnáleží operátor derváce. Súhrn nektorých operátorov je uvedený v nasledovnej tabuľke 1.1. Nech  je operátor určtej fyzkálnej velčny. Ak pôsobením operátora na vlnovú funkcu získame tú stú funkcu násobenú číslom, potom hovoríme, že vlnová funkca je vlastnou funkcou daného operátora. Platí Âψ = aψ (1.37) a číslu a hovoríme, že je vlastnou hodnotou operátora Â. Operátory a ch vlastné funkce majú rôzne vlastnost. V rozsahu nášho kurzu ba zdôraznme, že vlastné hodnoty operátorov pozorovateľných velčín sú reálne čísla. 180

18 Velčna Klascké vyjadrene Operátor velčny Poloha x, y, z x, y, z Hybnosť p x x p y y p z z p = px + py + pz + + x y z Knetcká energa p Ek = ˆ Ek = m + + m x y z Potencálna energa Ep = f ( x, y, z) E ˆ p = f ( x, y, z) Moment hybnost L = Lx + Ly + Lz Lˆ = Lˆ ˆ ˆ x + Ly + Lz Lx = ypz zp Lˆx = y z y z y Ly = zpx xp L z ˆy = z x x z Lz = xpy ypx Lˆz = x y y x Tab Operátory fyzkálnych velčín 1.11 Stredná hodnota fyzkálnej velčny Ak vo fyzke chceme určť nejaký dĺžkový rozmer, tak vykonáme vacero meraní a z nch potom určíme strednú hodnotu meranej velčny. Pr vacerých meranach môžeme defnovať pravdepodobnosť P určtej hodnoty výsledku merana x. Potom stredná hodnota je daná vzťahom x = Px= P( x) xdx, (1.38) kde posledný ntegrál platí pre prípad, že máme spojté rozdelene možných hodnôt x. Použme formálnu analógu s meraním strednej hodnoty na určene strednej hodnoty polohy častce, ak poznáme vlnovú funkcu. Nech vlnová funkca je ba funkcou polohy ψ ( x). Dostaneme x = Pxx ( ) d x= ψ ( x) ψ( xx ) d x= ψ ( xx ) ψ( x) dx. (1.39) je hustota pravdepodobnost, že častca sa nachádza v meste ktorého súradnca je x. Pre stredné hodnoty nej fyzkálnej velčny, napr. hybnost takýto postup nemôžeme použť, lebo ψ ψ nesúvsí s pravdepodobnosťou, že častca má určtú hybnosť. Možno však Túto analógu sme mohl použť, pretože sa jednalo o polohu a veme, že ψ ( x) ψ ( x) 181

19 ukázať, že stredná hodnota ľubovoľnej fyzkálnej velčny, ktorej operátor je Ωˆ je určená vzťahom Ω = ψ ˆ Ωψdτ, (1.40) kde ntegráca prebeha cez celý prestor, v ktorom je defnovaná vlnová funkca y. 1.1 Schrödngerova rovnca Rakúsky fyzk Erwn Schrödnger formuloval v roku 196 rovncu, ktorá odráža fyzkálne vlastnost kvantovej sústavy, a ktorej rešením je vlnová funkca. Túto rovncu ne je možné odvodť z prncípov mechanky. Je to jedna z najvšeobecnejších fyzkálnych rovníc. Určté charakterstky tejto rovnce vyplývajú zo všeobecných podmenok, ktoré musí spĺňať. Je to napríklad prncíp superpozíce pre vlnovú funkcu. Túto vlastnosť majú rešena lneárnych homogénnych dferencálnych rovníc. Z požadavky, aby vývoj stavu systému bol určený z počatočného stavu vyplýva, že to musí byť rovnca prvého rádu vzhľadom na čas. Výklad v nasledujúcej čast nemožno chápať ako odvodene tejto rovnce, ale ba o jej navodene a určté prblížene. Pokúsme sa o to najprv nájdením rovnce, ktorej rešením bude už známa vlnová funkca voľnej častce Časová Schrödngerova rovnca ( Et px) Z vlnovej funkce získame energu, ak na vlnovú funkcu ψ ( xt, ) ψ 0e = budeme pôsobť operátorom. t ( Et px) ( Et px) 0e E 0e t ψ ψ =. (1.41) Voľná častca nemá potencálnu energu a jej energa je ba knetcká energa. Operátor knetckej energe pre pohyb v os x je ˆ Ek =. (1.4) m x Energu voľnej častce E v rovnc (1.41) môžeme nahradť operátorom knetckej energe pôsobacm na vlnovú funkcu. Dostávame rovncu ( Et px) ( Et px) ψ0e = ψ 0e. (1.43) t m x Rovnca (1.43) je jednorozmerná Schrödngerova rovnca pre voľnú častcu. V klasckej mechanke funkca, ktorá vyjadruje celkovú energu, sa volá Hamltonova funkca. Keď príslušné klascké velčny v tejto funkc nahradíme operátorm klasckých velčín, dostávame operátor celkovej energe - Hamltonov operátor (krátko "Hamltonán"). Rovncu (1.43) pomocou Hamltonovho operátora môžeme zapísať v tvare ψ ( xt, ) = Hˆ ψ ( x, t) (1.44) t kde Hamltonán voľnej častce ˆ H =. (1.45) m x 18

20 Ak častca ne je voľná, ale sa pohybuje v slovom pol s potencálnou energou E p = E p (x,t), potom ˆ H = + E (, p x t). (1.46) m x ψ = ψ x, yz, a Pre pohyb v prestore ( ) ˆ (,,, H = E ) (,, p x y z t = + Ep x y z). (1.47) m x y z m Rovncu ψ ( xyzt,,, ) = Hˆ ψ ( x, y, z, t) (1.48) t voláme časová Schrödngerova rovnca Nečasová Schrödngerova rovnca Ak energa systému nezávsí od času, hovoríme, že systém je staconárny. V takomto prípade Hamltonov operátor ne je funkcou času a vlnovú funkcu môžeme vyjadrť ako súčn prestorovej funkce a funkce času. Prestorová časť vlnovej funkce je určená rešením nečasovej Schrödngerovej rovnce. Ukážme s, ako získame nečasovú Schrödngerovu rovncu pre jednorozmerný pohyb. H ˆ = Hˆ x. V takomto Nech Hamltonov operátor závsí ba od súradnce x a teda ( ) prípade vlnovú funkcu v Schrödngerovej rovnc môžeme vyjadrť ako súčn funkce ϕ ( x), závslej len od súradnce x a funkce γ ( t), závslej ba od času t: ψ ( x, t) = ϕ( x) γ ( t). Po dosadení do časovej Schrödngerovej rovnce (1.48) dostávame ( x) ( t) Hˆ ( x) ( x) ( t) t ϕ γ = ϕ γ. (1.49) 1 Rovncu môžeme vynásobť a po úprave dostávame ϕ x γ t ( ) ( ) ( ) γ () t () 1 1 Hˆ ( x) ϕ ( x) =. (1.50) ϕ x γ t t V rovnc (1.50) sú na pravej a ľavej strane rôzne a nezávslé premenné. Ak sa zmení premenná x nemusí sa zmenť premenná t. Rovnca preto môže platť len vtedy, ak sa obdve strany rovnce rovnajú konštante. Označme túto konštantu E, lebo ako vdeť z nasledujúcej rovnce, táto konštanta je práve vlastnou hodnotou operátora celkovej energe. Platí 1 H ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ϕ x = E H ˆ ϕ x = Eϕ x (1.51a) ϕ x Pre premennú t dostávame 1 γ () t γ ( t) = E = Eγ () t γ () t t t (1.51b) Posledná rovnca má jednoduché rešene γ () t e Et = a celková vlnová funkca má tvar 183

21 ( xt) ϕ ( x) Et ψ, = e. (1.5) Rovnca Ĥϕ x = Eϕ x (1.53) ( ) ( ) je nečasová Schrödngerova rovnca. Rovnaký tvar má Schrödngerova rovnca aj pre pohyb v prestore, ba Hamltonov operátor a vlnová funkca budú závseť od súradníc x, y, z. V úvode ku kaptole sme v ctáte z roku 199 uvedl, že rovnce, z ktorých kvantová fyzka ve určť štruktúru a vlastnost aj zložtých sústav, sú známe, len ch rešene je komplkované. Naozaj je jednoduché napísať Schrödngerovu rovncu. Klascký výraz pre celkovú energu v danom systéme, napr. molekule, nahradíme príslušným kvantovomechanckým operátorm a získame Hamltonov operátor. Rešene zodpovedajúcej Schrödngerovej rovnce - vlnová funkca - musí spĺňať určté okrajové podmenky, t.j. vlnová funkca musí byť jednoznačná, spojtá, mať spojtú prvú dervácu a musí byť konečná, t.j. normovateľná. Okrem toho musí vyhovovať aj špecálnym okrajovým podmenkam daného problému. Z týchto podmenok vyplyne aj kvantovane energe. Analytcké rešene Schrödngerovej rovnce je však možné len pre jednoduché sústavy. 184