2. Analytické riešenie prechodných javov

Transcript

1 . Analycké rešene prechodných javov V ejo kapole kážeme analycký spôsob rešena prechodných javov (.z. príslšných dferencálnych rovníc) na príklade jednodchých elekrckých obvodov. Na ýcho príkladoch vysvelíme základné pojmy a vlasnos rešena prechodných javov. Nevyhneme sa prom časočném opakovan poznakov z predmeov maemackej analýzy (predpokladáme však, že s rešením lneárnych dferencálnych rovníc sa čaeľ ž oboznáml)... Prechodný jav v obvode važjme jednodchý elekrcký obvod pozosávajúc zo zdroja saconárneho napäa, rezsora a kapacora (obr..). V čase = prpojíme kapacor k zdroj napäa. Úloho je nájsť časový prebeh napäa na kapacore a prúd v obvode. = Obr.. Ide o najjednodchší prípad prechodného jav v elekrckom obvode: rešene nabíjana deálneho kapacora zdrojom saconárneho napäa. ezsor prom reprezenje napr. vnúorný odpor zdroja a odpor prívodných vodčov. Pr rešení vychádzame z II. Krchhoffovho zákona pre napäa na jednolvých prvkoch obvod. Pre čas > plaí: ( ) + ( ) = (.) Vzťah (.) môžeme prepísať bď ako: alebo = ( dξ ) + ξ 44 ( ) d + d = (.) (.3) ovnca (.) predsavje negráln rovnc a na rešene ne je prílš vhodná. Naopak, rovnca (.3) je jedno z najjednodchších dferencálnych rovníc a ďalej sa bdeme zaobarť ba ňo. Keďže de o nehomogénn D (na pravej srane ne je ), jej rešene (všeobecne) hľadáme napr. pomoco zv. meódy varáce konšán. V našom prípade je však na pravej

2 srane ba konšana a preo môžeme požť jednodchší spôsob. Zrejme plaí, že ak nájdeme rešene (oo rešene označme napr. ) homogénnej D: d ( ) + d = (.4) poom rešene nehomogénnej rovnce (.3) bde mať var ( ) ( ) = (.5) + ešene pre hľadajme v vare λ ( ) = K (.6) Po dosadení (.6) do (.4) dosaneme zv. charakersckú rovnc: λ + = (.7) z korej rčíme λ: λ = (.8) elkové rešene rovnce (.3) má eda var + = K (.9) Porebné je nájsť eše konšan K, korú rčíme z počaočnej podmenky pre napäe. Nech = (kapacor nebol pred prpojením zdroja nabý). Poom z (.9) pre = plaí: a hľadané rešene pre > je = + K K = (.) = e e (.) = τ kde sme pre jednodchosť označl τ =. Teno súčn má rozmer [s] (seknda) a nazývame ho časovo konšano. Úloha: Nájde rešene pre, ak. Prúd môžme vypočíať dvoma spôsobm: ( ) ( ) = = (.a) Keďže nehomogénna rovnca yp d y τ + y = f d sa časo vyskyje pr rešení lneárnych obvodov, vedeme aj jej všeobecné rešene: = τ τ y = K τ, kde K K + f ξ ξ d ξ K rčíme z počaočnej podmenky pre y. Vysvelene, prečo práve v akomo vare, nájdee v každej čebnc č prírčke vyššej maemaky (súvsí s ypom dferencálnej rovnce).

3 alebo d ( ) = (.b) d V oboch prípadoch dosaneme rovnaký výsledok: (.3) = τ Prebeh napäa a prúd je na obrázk.a pre rôzne hodnoy rezsora. Slovný komenár je nasledovný: Po prpojení zdroja saconárneho napäa na sérový obvod sa napäe na kapacore mení spoje z počaočnej hodnoy na hodno. Táo zmena je pre lneárny obvod exponencálna, prčom jej rýchlosť rčje súčn (časová konšana obvod). Prúd v obvode sa prom v čase prpojena = ) mení nespoje (a ďalej akso exponencálne). Všmne s, že ak znžjeme hodno odpor, okamžá hodnoa prúd rase a zároveň sa zmenšje časová konšana, čím pre nadobúda prúd kapacorom charaker zv. Dracovej fnkce 3 δ (obr..b). Pre = vlasne vnúme nespojú (skokovú) zmen napäa na kapacore v čase =, čoho dôsledkom je náras prúd v čase =. a) 3 > > 3 3 b) τ = τ = Obr.. ešme eraz nasledjúc problém: deálny kapacor je nabý na napäe a v čase = ho prpojíme na rezsor (obr..3). = Obr..3 Z II. Krchhoffovho zákona pre čas > enokrá dosaneme: ( ) d τ + = (.4) d 3 Pozr aj dodaok. 3

4 kde pre časovú konšan znov plaí τ =. ovnc (.4) opäť rešme podobným spôsobom ako rovnc (.3) (rešene je jednodchše, preože de o homogénn D). Pr poží počaočnej podmenky pre napäe na kapacore = dosaneme pre > : a = τ = τ (.5) (.6) Ako vyplýva z (.6), prúd eče v obvode opačným smerom (de o vybíjací prúd kapacora). Okamžý výkon na kapacore p = je po celý čas záporný a kapacor sa správa v obvode ako zdroj. robme energeckú blanc pr vybíjaní kapacora. Ak s položíme oázk Aká je energa W sporebovaná na rezsore pr vybíjaní kapacora v časovom nervale (, )?, odpoveďo zrejme msí byť: W = (.7) čo bola energa akmlovaná na kapacore pred vybím (pre = ). Vypočíajme eraz úo energ presne: W = p d = = e d = = e d = e d = Úloha: O málo zložejša je energecká blanca pr nabíjaní kapacora. robe j!.. Prechodný jav v obvode (.8) ovnakým spôsobom rešme aj prechodný jav v obvode po prpojení zdroja saconárneho napäa, obr..4. = Obr..4 Z II. Krchhoffovho zákona dosaneme ( ) + ( ) = (.9) 4

5 a po úprave ( ) d + = (.) d ( ) d τ + = (.) d kde enokrá je časová konšana τ = /. ovnca (.) pre prúd je rovnaká ako rovnca (.3) pre. Preo s prhladním na (.) a (.3) môžeme pramo písať rešene pre > : a e (.) = τ = τ (.3) Časové prebehy a sú poom zrejmé..3. ozpojene a obvod važjme prípad, kedy sérový, resp. obvod je prpojený na zdroj saconárneho napäa dosaočne dlho (obr..5) a nachádza sa v sálenom save. V omo sálenom save plaí: : : ( ) = ( ) = = = = I (.4) = = = = = = I Obr..5 ozpojme eraz obvod rozopním deálneho spínača. Po zosavení a vyrešení rovníc zsíme, že v prípade obvod sa po rozpojení nč nezmení (prúd zosane aj naďalej nlový a kapacor bde nabý na napäe ). V obvode je však sáca zložejša. Keďže vnúme skokovú zmen prúd ndkorom z hodnoy I na nl (v rozpojenom obvode nemôže ecť prúd), napäe na ndkore ( ) = d ( ) d bde v čase rozpojena eorecky nekonečné (bde mať var δ fnkce). V reálnom prípade vznkne medz konakam spínača elekrcký oblúk, korý spôsobí spojú zmen prúd a napäe obmedzí na konečnú hodno. V každom prípade oo ndkované napäe môže byť naoľko veľké, že može vesť k poškoden ndkora (cevky) prerazom zoláce vna, príp. môže ohrozť osoby v blízkos cevky (oo je nebezpečné napr. pr náhodnom preršení prúdového okrh ransformáorov, elekromagneov aď. s veľkým hodnoam ndkčnosí a prúdov). Preo sa 5

6 paralelne k vn ýcho cevok prpája kapacor, resp. rezsor, korý slmí počaočný napäťový mplz na cevke..4. Prechodný jav v obvode (obvod. rád) kážeme ďalej posp pr rešení prechodného jav po prpojení zdroja saconárneho napäa na sérový obvod, obr..6. V omo prípade bde obvod opísaný dferencálno rovnco. rád. Znov vychádzame z II. Krchhoffovho zákona pre > : ( ) + ( ) + ( ) = (.5) = Obr..6 ovnc (.5) môžeme pravť dvoma spôsobm..) Najprv j napíšme ako: + ξ ( ) d d ξ + d odkaľ dervovaním podľa čas a po úprave dosaneme 4 : ( ) d ( ) = (.6) d + + = (.7) d d d.) Drho možnosťo úpravy rovnce (.5) je vyjadrť prúd ako =, odkaľ d a po úprave d d d + + = (.8) d d d d d ( ) d ( ) ( ) + = + (.9) d Všmne s, že sme v oboch prípadoch dosal prakcky zhodné dferencálne rovnce (. rád) pre prúd ndkorom alebo napäe na kapacore. Predým, než začneme eo rovnce rešť (posp je jednoznačný, ale roch zdĺhavý), predskjme, aké výsledky môžeme očakávať. Dferencálna rovnca yp: 4 Teno spôsob je maemacky roch komplkovanejší; po vyrešení rovnce (.7) msíme eše dokázať, že jej rešene vyhovje aj rovnc (.6) s dano počaočno podmenko pre. Týmo maemackým dealam sa však nebdeme ďalej zaoberať. 6

7 d ( ) d y( ) d y + β + ω y d = (.3) sa časo vyskyje vo fyzkálnych sysémoch a popsje zv. harmoncký oscláor (ak β aj ω sú reálne čísla). Ak koefcen β =, de o nelmený harmoncký oscláor (rešením je harmoncká fnkca yp sn(ω + ϕ), ϕ je dané počaočným podmenkam). Ak bde β >, ale malé (presne povedané: ak β < ω ), de o lmený harmoncký oscláor (y bde s časom zankajúca harmoncká fnkca). β sa preo nazýva aj lmac koefcen. Ak bde lmene veľké ( β > ω ), k osclácam vôbec nedôjde (.z. y nebde menť znamenko) de o zv. aperodcký sav. Všeky r prípady sú naznačené na obr..7a. Samozrejme, aby rešením (.3) nebola dencky nlová fnkca y =, je nné, aby aspoň jedna z počaočných podmenok y( = ), resp d y ( ) d bola nenlová. Ak na pravej srane = rovnce (.3) bde konšana (označme j napr. Y ), výsledok bde kvalaívne rovnaký, líš sa len v sálenej hodnoe pre (obr..7b). y β = y β = β > ω Y ω β < ω β < ω β > ω a) b) Obr..7 Vráťme sa eraz k nášm rešen. Porovnaním rovníc (.7), (.9) a (.3) dosaneme: β =, ω = (.3) Znamená o, že v závslos od vzájomného pomer hodnô,, môž v rešení pre prúd a nasať eo prípady: nelmený harmoncký sav: ak = (resp. >> čo však ne je prílš časý prípad) lmený harmoncký sav: ak aperodcký sav: ak β > ω β < ω > < Vyrešme eraz úloh kvanaívne. Bdeme sa zaoberať ba rovnco (.9), korú pravíme: d ( ) d + β + ω = ω (.3) d d Pre koefceny β a ω prom plaa vzťahy (.3). ešene hľadáme v vare λ λ = K + K + (.33) 7

8 kde λ, sú korene charakersckej rovnce Pre λ, preo z (.34) plaí: λ + βλ + ω = (.34) kde sme kvôl zjednodšen zavedl λ, = β ± β ω = β ± α (.35) α = β ω. Koefceny α aj β majú rozmer [s - ]. Konšany K, K rčíme z počaočnej podmenky pre napäe a pre jeho dervác 5 d d. Ak zvolíme d d ( ) = = = (.z. = ) po dosadení (.33) do (.36) dosaneme pre K, K súsav rovníc: K + K K λ + K λ = = korej rešením je (predpokladajme zaaľ, že α, resp. λ λ ): K K = = Po dosadení (.38) do (.33) dosaneme: čo môžeme pravť: alebo: Pre α a β prom plaí: λ λ λ λ λ λ = = α + β α α β α α + β ( β+α) α β ( βα) = α α + α = α [ ] + = β α α β α α [ αe ( e + e ) + βe ( e e )] + ( ) ( β+α) = α + β e + ( α β) e ( βα) ( ) β = cosh α + snh α e (.36) (.37) (.38) (.39) (.4) β α (.4) α =, 4 β = (.4) 5 d Keďže plaí =, počaočná podmenka pre dervác je ekvvalenná počaočnej podmenke d pre prúd. 8

9 Výraz 4 môže nadobdnúť aj zápornú hodno (ak bde poom magnárne číslo, koré označme: < ). Koefcen α Po dosadení do (.4) získame 6 : α = jω, Ω = (.43) 4 β β = cosω + sn Ω Ω (.44) V omo prípade dosaneme lmenú harmonckú fnkc 7 s hlovo frekvenco Ω, korá je menša ako ω =. Hranc medz lmeným harmonckým savom a aperodckým savom rčje podmenka: α = = = H (.45) kde H je zv. hrančný odpor. ešene pre v omo prípade nájdeme ako lm: = lm α = cosh α β + α snh α + β = β [ + β ] = e (.46) prčom sme požl Hospalovo pravdlo a o, že pre = H plaí Prúd v obvode môžeme vypočíať pomoco: d = d ( ) Súhrn výsledkov pre a je vedený v abľke.: β = ω =. H Tabľka. > = cosh α + snh α e H β α β = cosω + sn Ω Ω α β β = snh α < H = [ ] Ω = β β = sn Ω β β = + β Koefceny α, β, Ω bol defnované vzťahm (.4) a (.43). 6 Požl sme prom: coshj Ω = cos Ω, snh jω = jsn Ω. 7 Výraz (B.44) môžeme prípadne pravť: β Ω β Ω β β = + cos Ω arcg e = A cos( Ω ϕ) e 9

10 Časové prebehy a pre rôzne hodnoy sú na obr..8.,,5 /, H,5 H,5 H H H 5 H,,5, ω,,5,,5 /I I = / H, H,5 H,5 H H H 5 H, -,5 -, ω -,5 Obr..8 Fyzkálnym dôvodom vznk osclácí v obvode je prelevane energe medz kapacorom a ndkorom, prčom pr nenlovej hodnoe dochádza k pospném zalmovan v dôsledk epelných srá na rezsore. Na o, aby v obvode s pasívnym prvkam,, nasal eno jav je preo porebné, aby eno obvod obsahoval aspoň jeden kapacor a aspoň jeden ndkor. robme na záver energeckú blanc prechodného jav. Energa dodaná zdrojom za celú dob rvana prechodného jav je: W = ( ) d = Q (.47) zdroj

11 kde Q je celkový náboj dodaný zdrojom. Po končení prechodného jav ( ) je energa na ndkore a kapacore: W W = ( ) = (.48) = Q (.49) ( ) = = preože všeok náboj dodaný zdojom je nazhromaždený na kapacore. Pr nlových počaočných podmenkach pre a o eda znamená, že po končení prechodného jav je polovca dodanej energe W zdroj akmlovaná na kapacore a polovca sa premenla na eplo na rezsore. Ak vdno, eno výsledok nezávsí od yp prechodného jav (lmený perodcký, aperodcký, na hranc aperodcy). Môžee s o overť aj vykonaním príslšných negrácí ( ) d a ( )d pre všeky prípady.