Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c) (3p) Sa se calculeze A Se cosidera uctia :, 3 R R = a) (4p) Sa se calculeze, R b) (4p) Sa se arate ca uctia este bijectiva c) (p) Sa se arate ca eista u umar real uic castel icat c = c 3 I sistemul cartezia de coordoate Ose cosidera puctele A(,), B(,), C(3, -) si dreapta d: = a) (4p) Sa se scrie ecuatia dreptei AB b) (3p) Sa se arate ca puctele A,B si C sut coliiare c) (3p) Sa se calculeze distata de la puctul C la dreapta d Subiectul II ( p) Se cosidera polioamele 4 3 X X X X = + + + + cu radaciile 3,, 3, 4 C si g = X + X + X + cu radaciile,, 3 C a) (4p) Sa se determie catul si restul impartirii poliomului la poliomul g b) (3p) Sa se determie,, 3 a= g g g g este c) (p) Sa se arate ca umarul atural d) (p) Sa se arate ca >, R Se cosidera uctia a R, a> a) (4p) Sa se calculeze, R b) (p) Sa se calculeze ( ) si ( ) c) (p) Sa se determie 3 4 : R R, = 3 + a 4 6, ude a> astel icat, R
d) (p) Petru 8 a=, sa se calculeze d Subiectul III ( p) Se cosidera o uctie : Q Q cu proprietatea: ( + ) = + ( ),, Q a) (3p) Sa se arate ca ( ) = b) (3p) Sa se arate ca ( ) =, Q c) (3p) Sa se demostreze, utilizad metoda iductiei matematice, ca: + + + = + + +, N si,,, Q d) (3p) Sa se deduca egalitatea =, Q, N e) (3p) Notam a= (, ) a Q Sa se arate ca = a, Q ) (3p) Sa se demostreze ca daca ( H, + ) este subgrup al grupului ( Q,+) si este izomor cu ( Q,+), atuci H =Q Subiectul IV ( p) Se cosidera uctiile :(, ) R, = cos si g:,, g = cos + si R g,, a) (3p) Sa se calculeze,, b) (3p) Sa se calculeze c) (p) Sa se veriice ca g >,, d) (3p) Sa se arate ca g >,, e) (3p) Utilizad teorema lui Lagrage petru uctia, sa se demostreze iegalitatea + >, > ) (3p) Sa se arate ca >, 3 + ( ) + + g) (3p) Sa se calculeze lim Idicatii de rezolvare (la eercitiile mai diicile) Subiectul I c) Se cosidera uctia auiliara ϕ ϕ 3, : R R, = Avem ϕ = = < R, deci ϕ este strict descrescatoare pe R Limitele la si + sut egale cu +, respectiv Fuctia ϕeste cotiua, deci are proprietatea lui Darbou pe R Eista asadar u c Rastel
icat uctiei ϕ Subiectul II ϕ c = c = c Uicitatea lui ceste asigurata de ijectivitatea c) Fie α {,, 3, 4} g g ua di radaciile poliomului Avem: α = α + α + α + α+ = α + α = α = α 4 3 4 4 Ilocuid succesiv pe αcu,, 3, 4si eectuad produsul, obtiem: 4 a= g g g g = = N 3 4 3 4 d) Solutie de clasa a VIII-a Cosideram mai multe cazuri 4 3 = + + + + > i) ii) ( ;) Scriem 4 ( ) ( ) iii) = + + + Dar 4 >, + >, + > > Se scrie ( ) ( ) = + + + si avem +, + > > c) Cum ( ) =, rezulta ca (, ) R = este puct de miim petru Fuctia iid derivabila pe R, rezulta ( ) = (teorema lui Fermat) Dar a a = l l = a= 8 Rezulta: 8 8 4 = 3 6 + 8 4 = 4 3 = 3 4, Petru 4 <, < > Rezulta, R ; petru < avem Subiectul III e) Ilocuid = i egalitatea de la puctul d), avem = = a, N I aceeasi egalitate, se ilocuieste: a = = = =, N m ma Rezulta = m = m =, m N, N m Petru =, m N, N, rezulta (utilizad puctul b)) ca m m ma = = m ma m I cocluzie, = Q avem = = a = a
) Avem H si ( H, + ) (, + ) bijectiv : Q Q, deci eista u morism Q H astel icat ( + ) = + ( ),, Q Coorm puctului e), rezulta = a, a Q Daca a= =, Q eijectiva Deci a ; i acest caz isa, Subiectul IV, Q astel icat: a ( ) = a = ( Q) = Q Q H H = Q a Q = e) Se aplica teorema lui Lagrage uctiei pe itervalul [, ] ( + ) c ( ; + ) astel icat ( c ) = = R Rezulta: cos si = ( + ) c c c Dar cos si, + + : Cum > c > ; c Putem ilocui deci i c + >, > iegalitatea de la puctul d), rezultad ) Avem = cos = Se scrie iegalitatea de la puctul d) succesiv petru =,3,, : ( 3) > + ( 4) > + ( 3) > + > + > + > > + = g) Suma de la umarator ( k) u iese pritr-o ormula aalitica simpla Sigura posibilitate este de a utiliza teorema Cesaro-Stolz petru sirurile:, a = k b = Avem Rezulta cos cos a a = = = = lim lim lim lim b b lim k =
Observatie Di cate cuoastem, maualul scolar i vigoare itre 979 si u iclude teorema Cesaro-Stolz Este posibil ca aceasta sa ie isa iclusa i programa claselor de mate-izica si iormatica Nu e mai itrebam de ce s-au retiparit atatia ai mauale ecoorme cu programa; doar traim i Romaia si e putem astepta la orice