Maemaici Seciale CofDr Daa Cosaiescu Dearameul de Maemaici Alicae Uiversiaea di Craiova
Curis Ecuaţii difereţiale Cosideraţii geerale 3 Ecuaţii difereţiale de ordiul I 5 Ecuaţii cu variabile searabile 6 Ecuaţii liiare 7 3 Ecuaţii cu difereţiale oale 8 4 Ecuaţii reducibile la ecuaţii fudameale 9 3 Ecuaţii difereţiale liiarede ordi 4 3 Ecuaţii cu coeficieţi cosai 4 3 Ecuaţii cu coeficieţi variabili 7 4 Siseme de ecuaţii difereţiale 9 5 Elemee de calcul oeraţioal şi alicaţii 3 5 Trasformaa Lalace direcã 3 5 Trasformaa Lalace iversã 6 53 Calcul oeraţioal 7 53 Reolvarea ecuaţiilor liiare 8 53 Reolvarea sisemelor liiare 9 6 Alicaţii î sudiul circuielor elecrice 3 Aaliã comleã Mulţimea umerelor comlee 3 Fucţii elemeare 35 3 Elemee de calcul difereţial 39 4 Elemee de calcul iegral 4 4 Iegrala curbiliie comleã 4 4 Iegrala defiiã 4 43 Iegralele lui Cauchy 4 44 Teorema reiduurilor şi alicaţii 4 3 Aaliã Fourier 3 Serii Fourier 48 3 Formula iegralã Fourier 5 33 Trasformaa Fourier coiuã 5 34 Trasformaa Fourier discreã 5 35 Trasformaa Fourier raidã 53 4 Trasformaa Z 4 Trasformaa Z direcã 54 4 Trasformaa Z iversã 55 43 Reolvarea ecuaţiilor recuree 56 Bibliografie 58
ECUAŢII DIFERENŢIALE Sudiul ecuaiilor difereţiale formeaã obiecul uui caiol foare imora al maemaicii, aâ daoriã reulaelor eoreice deosebi de ieresae câ şi eru cã ele au eumãrae alicaţii î cele mai diverse domeii Ceea ce deosebeşe o ecuaţie difereţialã de o ecuaţie algebricã ese faul cã ecuoscua e ese u umãr ci o fucţie care saisface o aumiã egaliae şi care rebuie deermiae Mule feomee su descrise cu ajuorul ecuaţiilor difereţiale obţiue ri meoda cuoscuã sub umele de meoda difereţialelor Aceasa cosã î îlocuirea uor relaţii ce aar îre creşerile ifii de mici ale uor caiãţi (care variaã î im) ri relaţii îre difereţialele (derivaele) lor Sre eemlu viea isaaee a arcurs disaţa () corului la momeul s ese v v de delasare a uui mobil care la momeul s( ) s lim s' La râdul sãu acceleraţia v v ese a lim v' ( ) s'' ( ) I relaţiile ce descriu mişcarea viea se va cosidera v s' ( ) şi a v' ( ) Eemlu : Mişcarea uui cor sub acţiuea greuãţii sale şi îâmiâd o reiseţã a aerului roorţioalã cu viea sa (aces ca coresude vieelor mici) oae fi descrisã cu ajuorul uei ecuaţii difereţiale Se oeaã v () viea isaaee a corului la momeul de im > Reiseţa ur r aerului va fi R kv Legea fudamealã a mecaicii ( F ma ) coduce la relaţia mg kv( ) mv' ( ) care rereiã o ecuaţie difereţialã cu ecuoscua v v( ) Peru a deermia viea isaaee a corului rebuie reolvaã aceasã ecuaţie Problema fudamealã a eoriei ecuaţiilor (î geeral) ese deermiarea soluţiilor lor sau aroimarea lor dacã deermiarea aaliicã u ese osibilã Teoria ecuaţiilor difereţiale are mai mule ramuri: - eoria caiaivã se ocuã de reolvarea aaliicã a ecuaţiilor Su reciae iurile de ecuaţii şi ehicile de reolvare a lor - eoria caliaivã îcearcã sã deducã rorieãţile soluţiilor, chiar dacã eresia lor aaliicã u oae fi cuoscuã - meodele umerice su ehici ri care valorile soluţiilor ecuaţiei su aroimae umeric Scoul acesui caiol ese reeare celor mai imorae elemee ale eoriei caiaive a ecuaţiilor difereţiale Cosideraţii geerale Defiiţia Se umeşe ecuaţie difereţialã o ecuaţie î care iervie o variabilã realã y y deiâd de acea variabilã şi derivaele ei ideedeã, o fucţie ecuoscuã 3
( y', y'', y, adicã o egaliae de forma F, y, y',, y ) ( ) () + ude F : D R R ese o fucie coiuã Dacã derivaa de ordi maim care aare i ecuaţie ese y suem ca ecuaţia are ordiul Defiiţia Se umeşe soluţie a ecuaţiei difereţiale () e iervalul I R orice fucţie φ : I R, derivabilã de ori e I, care verificã ecuaţia, adicã eru orice I are loc ( egaliaea F( ) ), φ, φ',, φ Soluţia geeralã a ecuaţiei () ese soluţia care deide de cosae arbirare (eac aâea câ ese ordiul ecuaţiei), adicã ese de forma y φ (, C, C,, C ) Aceasa ese forma eliciã a soluţiei eru cã se recieaã modul î care fucţia ecuoscuã y deide de variabila ideedeã Ueori soluţia geeralã ese reeaã î formã imliciã (iegrala geerala a ecuaţiei) Ω ( yc,,,, C ) Soluţia geeralã se oae obţie şi sub formã aramericã : f, C,, C, y g, C,, C Orice soluţie care se obţie di soluţia geeralã eru aumie valori ariculare ale cosaelor se umeşe soluţie aricularã Soluţiile ecuaţiei care u se o obţie ri aces rocedeu di soluţia geeralã se umesc soluţii sigulare I robleme racice, alãuri de ecuaţia difereţialã rebuie cosiderae şi codiţii iiţiale ( y( ) ) y, y' y,, y y () Problema deermiãrii uei soluţii a ecuaţiei () care sã saisfacã codiţiile iiţiale () se umeşe roblemã Cauchy Soluţia uei robleme Cauchy ()+() se obţie imuâd codiţiile iiţiale () soluţiei geerale a ecuaţiei () Eemle y' 3 ese o ecuaţie difereţialã de ordiul I 3 Soluţia sa geeralã ese :, 3 3 +, y y y R R y + C Ea deide de o sigurã cosaã su soluţii ariculare ale ecuaţiei eru cã au fos obţiue di soluţia geeralã eru C, reseciv C Eisã o ifiiae de soluţii ariculare ale ecuaţiei y ' y ese o ecuaţie difereţialã de ordiul I π π Fucţia y: C, C + R, y si( C) rereiã soluţia geeralã a ecuaţiei 4
π π y:, R, y si ese soluţie aricularã (obţiuã di soluţia geeralã eru C ) π y:, [ π ] R, y si cos ese soluţie aricularã (obţiuã di soluţia geeralã eru C π ) Ale soluţii ariculare se o obţie î acelaşi mod, eru fiecare domeiul de defiiţie fiid alul y : R R, y y : R R, y Ecuaţia admie soluţiile sigulare şi 3 ( 5) ( 4) ( 3) y y y y + ese o ecuaţie difereţialã de ordiul 5 Soluţia sa geeralã ese y, y 3 si y: R R, y C + C + C e + C cos+ C si 3 4 5 su eemle de soluţii ariculare 4 Problema Cauchy are soluţia IV ''' y y + y y + 4 5 '' 4 ' 4 y 5, y', y'' 3, y''' 4 y e + 5cos Aceasã soluţie se obţie di soluţia geeralã a ecuaţiei difereţiale, aume 3cos 4 y Ce + C e + C + C si deermiâd cosaele di y C+ C3 5 y' C+ C + C4 sisemul cu soluţia y'' 4C+ 4C C3 3 y''' 8C+ C C4 4 C C C3 5 C4 O roblemã imoraã i eoria ecuaţiilor difereţiale ese deermiarea soluţiei geerale a uei ecuaţii difereţiale dae Aces lucru ese osibil umai eru u umãr resrâs de ecuaţii Uele di acese cauri su reeae î cele ce urmeaã Ecuaţii difereţiale de ordiul I Ecuaţiile de ordiul I au forma F(, y, y ') Cel mai adesea ele su scrise î formã eliciã Soluţia lor geeralã deide de o sigurã cosaã Nu orice ecuaţie difereţialã de ordiul I oae fi reolvaã aaliic Di ucul de vedere al reolvãrii eisã douã caegorii imorae de ecuaţii : - ecuaţii fudameale (ecuaţiile cu variabile searabile, ecuaţiile liiare, ecuaţii cu difereiale oale) - ecuaţii reducibile la ecuaţii fudameale (ecuaţii omogee si reducibile la ecuaţii omogee, ecuaţii care admi facor iegra, ecuaţii de i Beroulli, de i Riccai, de i Lagrage, de i Clairau ec) 5
- - Ese foare imoraã cuoaşerea algorimului de reolvare a ecuaţiilor fudameale si meodele de reducere a celorlale ecuaţii la ecuaiile fudameale Ecuaţii cu variabile searabile Forma geeralã a ecuaţiei ese y' f g( y) (3) ude f, g: I R su fucţii dae, coiue e domeiul de defiiţie Soluţiile ecuaţiei g( y ) su so luţii, de obicei sigulare, ale ecuaţiei (3) g( y) Dacã reolvarea cosã i seararea variabilelor urmaã de iegrare Meoda de reolvare: se reolvã ecua ţia g( y) cu soluţiile y, y,, y k se scriu soluţiile sigulare ale ecuaţiei : y y, y y,, y y - se scrie iegrala geeralã a ecuaţiei dy : f d C g y + Se obţie asfel forma imliciã a soluţiei - di iegrala geeralã se calculeaã (dacã ese osibil) y şi se obţie forma eliciã a soluţiei - Soluţia ericularã a ecuaţiei (3) care îdelieşe codiţia iiţialã y y ese daã de y y ds g ( s) () f d sau se obţie di soluţia eliciã k O formã aricularã a ecuaţiei cu variabile seara bile ese y' f Soluţia geeralã a a cesei ecuaţii ese y f d Eemle : Sã se reolve y' + si (ecuaţie cu variabile searabile) Soluţia geeralã ese ( si ) 3 y + d cos + C 3 y ' (ecuaţie cu variabile searabile) + Soluţia geeralã ese y d l ( + ) + C + y 3 y ' (ecuaţie cu variabile searabile) I aces ca f şi g ( y) y, deci ecuaţia g( y ) are soluţia y şi fucţia y: R { } R, y ese soluţie sigularã a ecuaţiei Dacã y ecuaţia devie y ' şi iegrala ei geeralã ese y dy d y 6
oaie C Reulã l y l + C l + l C l C, adicã y C Soluţia g eeralã a ecuaţiei ese deci y: R {} R, y Ecuaţii liiare Forma geeralã a ecuaţiei liiare ese y' P y+ Q (4) ude PQ, : I R su fucţii dae, coiue e domeiul de defiiţie Aceasã ecuaţie se reolvã ri meoda variaţiei cosaei Meoda de reolvare - se reolvã ecuaţia omogeã y' P y care ese o ecuaţie cu variabile searabile şi se ob C f - Se cosiderã cosaa C ca f iid fucţie de, adicã se scrie y C f - Se calculeaã y' C' f + C f '( ) şi se iroduce i ecuaţia (4) Termeii care ş rma C' g ţie soluţia eulã y coţi e C se reduc i se obţie o ecuaţie mai simlã de fo - se reolvã ecuaţia C' g şi se obţie soluţia C g d+ K - se iroduce eres ia lui C( ) î y C f şi se obţie form a eliciã a soluţiei ecuaţiei (4) Observaţie : Forma elic iã a soluţiei ecuaţiei (4) ese s Pd () () y K + Q( s) e ds e Aceasã eresie se obţie folosid algorimul aerior dar e dificil de memora şi de aceea se recomadã folosirea algorimului eru reolvarea fiecãrei ecuaţii y' y cg+ si Eemlu : Sã se reolve roblema Cauchy (ecuaţie liiarã) y( π /) a Fucţia cg u ese defiiã i ucele π, N Di caua codiţiei iiţiale se va cãua soluţia geeralã a ecuaţiei e iervalul π Ecuaţia omogeã y' y cg are iegrala gee ralã dy y P d cos d si Reulã l y l si + C l ( C si ) care dã soluţia y Csi Se alicã variaţia cosaei, adicã se cosiderã y Csi Iroducâ y' C' si+ C co î ecuaţia eom d s ogeã obţiem cos C' si + C cos C si + si Termeii coţiâd faco si C' cu soluţia C + K rul C se reduc şi se obţie ecuaţia Iroducâd aceasã eresie î forma lui y( ) obţiem soluţia geeralã a ecuaţiei, aume 7
y:, π R, y + K si ude K R ese o cosaã arbirarã Di codiţia y( π /) a reulã π π + K si a, adicã 4 π roblemei Cauchy ese y: (, π ) R, y( ) + a si 4 3 Ecuaţii cu difereţiale oale Forma geeralã a ecuaţiei ese P, y d+ Q, y dy (5) ude PQ, su fucţii dae, de clasã C e domeiul D R şi saisfac relaţia Reolvarea ecuaţiei se baeaã e faul cã eisã fucţii de forma asfel îcâ ( y, ) (, ) (, ) ) C U, y P, y d+ (, ) y y Q d K a π Deci soluţia 4 P Q y du P y d + Q y dy Soluţia ecuaţiei (5) va fi daã î forma eliciã de relaţia U(, y Meodã de reolvare P Q - se ideificã î ecuaţie P(, y) ş i Q(, y ) şi se verificã egaliaea y - se deermiã fucţia U - se scrie soluţia ecuaţiei sub formã imliciã U(, y ) Dacã ese osibil, di aceasã egaliae se aflã y î fucţie de şi se obţie forma eliciã a soluţiei Eemlu : Sã se deermie soluţia geeralã a ecuaţiei ( + y+ ) d+ ( y + 3) dy I aces ca P(, y) y + + şi y Q, y y P Q + 3 şi y (, ) (,) + (, ) ( + ) + ( + 3) U y P d Q d d y 3 y d + + y + 3y 3 Soluţia geeralã a ecuaţiei ese daã sub formã imliciã de relaţia 3 y + + 3y+ y C 3 Aceasã ecuaţie u oae fi reolvaã aaliic î raor cu ecuoscua recia forma eliciã a soluţiei y, deci u se oae 4 Ecuaţii reducibile la ecuaţii fudameale Numele Forma Meoda de reducere la ecuaţii fudameale Ecuaţiei geeralã Omogeã y' f ( y/ ) y Pri schimbarea de variabilã se obţie o ecuaţie cu variabile searabile 8
Reducibilã la ecuaie omogea Ecuaţii ce admi facor iegra a y' f + by + c - dacã a/ a' b/ b' se reolvã sisemul a ' + b' y+ c' a + by + c de ecuaţii care are sol uţia (, y) a ' + by ' + c' Pri schimbarea de variabile u+, y v+ y sse obţie o ecuaţie omogeã cu variabila ideedeã u şi fucţia ecuoscuã v - dacã a/ a' b/ b' se foloseşe subsiuţia a+ by şi ecuaţia se rasformã îr-o ecuaţie cu variabile searabile P, y d+ Q, y dy µ, y oae fi deermia Dacã facorul iegra auci ecuaţia ( ypyd ) + ( yq ) ( y) P Q µ,, µ,, cu dar eru y ese o ecuaţie cu difereţialã oalã care eisã facoru - dacã ( P/ y Q/ )/ Q deide doar de auc µ (, y) P/ y Q/ µ µ saisface ec µ ' µ aî Q ( µ P) ( µ Q) - dacã ( Q/ P/ y) / P deide doar de y y Q/ P/ y auci µ µ ( y) saisface ec µ ' µ P y' P y+ Q y α Pri schimbarea de fucţie y α se obţie o Beroulli ecuaţie liiarã Soluţia ecuaţiei iiţiale ese y α y' + P y + Q y+ Acese ecuaţii se o reolva umai dacã se cuoaşe mãcar o soluţie aricularã a lor : + R - dacã se cuoaşe o soluţie y ( ), ri rasformarea y y + / se obţie o ecuaţie liiarã şi eomogeã - dacã se cuosc douã soluţii y şi y, ri y y schimbare de fucţie y y se obţie o ecuaţie liiarã şi omogeã - dacã se cuosc rei soluţii y, y, y3 auci soluţia se obţie direc di relaţia y y 3 : y y C y y y3 y y A y' + B y' Se deriveaã ecuaţia şi se oea ã y' ude A( y' ) y' Se obţie o ecuaţie liiarãcu fucţia ecuoscuã ş variabila ideedeã Aceasã ecuaţie are soluia de forma iar soluţia geeralã a ec Lagrage se dã î Riccai Lagrage formã aramericã ( ) y ( ) A( ) + B( ) 9
Clairau y y' + B( y' ) Soluţia geeralã ese y C+ B( C) Ecuaţia admie şi soluţia (aramericã) sigularã B'( ) y B'( ) + B( ) Eemle : Sã se deermie soluţiile geerale ale urmãoarelor ecua ţii : ' + (ecuaţie omogeã) y y y y y Peru ecuaţia se scrie y ' + + y Cu schimbarea de variabilã, adi cã y, ecuaţia devie + ' + +, care ese o ecuaţie cu variabile searabile, aume ' + Iegrala geeralã a ecuaţiei ese d d, adicã + ( l + + ) l l ( + C C ) Reulã + + C deci soluţia geeralã a ecuaţiei ese C y: R {} R, y C + 3y y 3 y' (ecuaţie reducibilã la ecuaţie omogeã) + 3y + 3y Ecuaţia se scrie sub forma y ' Sisemul are soluia uicã y 3 y y u+ Se face subsiuţia şi se obţie ecuaţia omogeã ( u+ 3 v) + ( v u) v' cu fucţia y v v ecuoscuã v Noâd u u, adicã v ecuaţia se reduce la ecuaţia cu variabile searabile + + ' Iegrala geeralã a acesei ecuaţii ese u d du + + u ( + + ) l Calculâd cele douã iegrale obţiem arcg ( + ) lu + C v y+ Tiâd co cã se obţie soluţia geeralã sub formã imliciã u + y l (( y+ ) + ( )( y+ ) + ( ) ) 4arcg Forma eliciã a soluţiei u se oae deermia 4+ 6y+ 4 3 6+ 9y y' (ecuaţie reducibilã la ecuaţie omogeã) 3 Ecuaţia se scrie sub forma subsiuţia + 3y Di y 4+ 6y+ 4 y ' 36 9 ( + y ) 3 Deoarece a 4 b 6 se va folosi a' 8 b' 7 ' reulã y ' Ecuaţia devie 3 ' + 4 3 9 6 adicã
8 ' Aceasa ese o ecuaţie cu variabil e searabile care se oae sc rie sub forma 3 3 ' 8 4 3 Iegrala geeralã a acesei ecuaţii coduce la relaţia l + C Tiâd co de 8 4 eresia lui se obţie soluţia geeralã a ecuaţiei iiţiale, soluţie scrisã sub formã imliciã : 3+ 3y l+ 3y 8 C 4 4 y' y+ y (ecuaţie de i Beroulli) / / I aces ca α / Se foloseşe subsiuţia y y Reulã y 4 4 Ecuaţia devie ' + adicã ' Di soluţia reulã soluţia siglarã y Ecuaţia y liiarã l + K 5 ' + are soluţia l K + 4+ 3y+ 3y d+ y+ dy (ecuaţie ce admie facor iegra) I aces ca 4 P(, y) 4 3y 3y + + şi Q(, y) y+ P Q 6y + 3 şi y + Deoarece y P Q y Touşi Q P Q y şi y' ' care coduce la ecuaţia u are difereţialã oalã deide umai de, deci se oae alege u facor iegra de forma µ µ El va saisface ecuaţia µ ' µ care ese o ecuaţie cu variabile searabile cu soluţia µ Di îmulţirea cu a ecuaţiei iiţiale se obţie ecuaţia cu difereţialã oalã 3 3 4 + 3 y + 3 y d+ y+ dy y 3 3 4 3 Fucţia U(, y) 4 d+ ( + ) d + y + y imliciã va fi deci y 3 3 Soluţia ecuaţiei, scrisã sub formã 4 3 + y + y C 6 y' + y 3 a) şiid cã admie soluţia b) şiid cã admie y soluţiile y (ecuaţie Riccai) şi c) ş iid cã admie rei soluţii y ) y / (, y şi / y 3 +
a) Dacã se cuoaşe umai solu ţia y se face schimbarea de variabilã y' ' Se obţie ecuaţia 3 efecuarea calculelor reulã ecuaţia liiarã Reulã k y + k y adicã ' + d i care, duã b) Dacã se cuosc douã soluţii se face subsiuţia ( 3 ' 3 ) ( ) ( )( ') ( ) 3 ' + 3 3 y+ adicã y + / k + cu soluţia 3 y 3 ( ) y ' Iroducâd acese eresii î ecuaţia difereţialã obţiem (duã calcule) ecuaţia liiarã ' care are soluţia c Reulã Observãm ca soluţia obţiuã coicide cu cea de la a) dacã cosiderãm c / k şi c y c y y y3 y c) dacã se cuosc y, y, y 3, soluţia geeralã se obţie direc di formula : y y y 3 y de ude reulã k y k k 7 y y' y' (ecuaţie de i Lagrage) Pri derivarea ecuaţiei se obţie y' y' + y' y'' y'' Se oeaã y' şi se ajuge la e cuaţia ( ) ' î care ese fucţie de Dacã se cosiderã ca fucţie de (se iverseaã alicaţia ) şi se ţie co de faul cã ' / ' (di formula de derivare a fucţiei iverse) se obţie ecuaţia liiarã ' + eru ( ) Reulã ( C+ l ) / ( ) şi soluţia ecuaţiei ese daa arameric ri ( l )/ ( ), ( l )/ C+ y C+ Peru şi se obţi douã soluţii sigulare : y K şi y + L Ilocuid acese fucţii î ecuaţia iiţialã se obţie K, reseciv L Deci solu ţiile ariculare vor fi y şi y 8 y y' y' (ecuaţie de i Clairau)
Soluţia geeralã ese daã aram eric de Eerciţii rouse y y C C (vei abelul aerior) şi o soluţie aricularã ese Sã se reolve urmãoarele ecuaţii difereţiale sau robleme Cauchy: y' y/ (liiarã) R : y C+ y y 3 ' / (liiarã) R : y /6 + C/ 4 3 ', y y e y a b a + (liiarã R : y e / ( a ) ( 4 y' y/ ) y b e /, (liiarã) R : + y + arcsi,, 5 y y g y 'cos +, (liiarã) R : y /cos, [, π / ) 6 y y y (Beroul 3 ' li) R : y C/ C 7 ( y) y y' (omogeã) R : y / ( l + C) 8 y' + y a (cu var se ) R : y a+ C 9 3 y ' y / (liiarã) R : y /+ K 3 3 y' y (liiarã) R : y /+ Ce y' y l (liiarã) R : y l / + C ( 3 6y ) d ( 3 ) + + 6 y+ 4y dy ( dif o ale R : 3 ( y) d ( ) + + + y dy ( dif oale) R : 3 3 + 3 y + y C + y + y C 4 y ' y, y (cu varse) R : y 5 y ' y, y (cu varse) R : y 3
3 Ecuaţii difereţiale liiare de ordi suerior O roblemã ioraã ese reolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca Su uţie ecuaţiile eru care se oae recia forma aaliicã a soluţiei Cel mai frecve uiliae su ecuaţiile liiare Forma geeralã a ecuaţiei liiare de ordi ese ( ) y + a y + + a y f (6) Ecuaţia liiarã omogeã asociaã ecuaţiei (6) ese ( ) y + a y + + a y (7) Teoremã : Soluţia geeralã a ecuaţiei (6) ese suma dire soluţia geeralã a ecuaţiei omogee aaşaã şi o soluţie aricularã a ecuaţiei (6) 3 Ecuaţii cu coeficieţi cosaţi Meoda de reolvare a ecuaţiei liiare cu coeficieţi cosaţi: - se reolvã ecuaţia omogeã şi se obţie soluţia y G - se deermiã o soluie y P a ecuaţiei eomogee - se scrie soluţia geeralã a ecuaţiei eomogee y yg + yp A)Reolvarea ecuaţiei omogee Forma geeralã a uei ecuaţii cu coeficieţi cosaţi ese ( ) y + a y + + a y' ay + (8) Teoremã : Dacã soluţii y, y formeaã u sis em fudameal de soluţii al ecuaţiei (9), auci soluţia geeralã a ecuaţiei are forma y Cy+ Cy + + Cy (9) de C, C,, C R su cosae arbirare u Problema reolvãrii ecuaţiei (9) se reduce deci la deermiarea uul sisem fudameal de soluţii I cele ce urmeaã reeãm ricialele meode de reolvare eru ecuaţiile liiare Pri îlocuire O soluţie a ecuaţiei se cauã sub forma y e λ, ri aalogie cu caul î ecuaţia (8) se obţie, duã simlificarea cu e λ, ecuaţia caracerisicã λ + aλ + + a λ + a () Teoremã : Fie λ, λ,, λ soluţiile ecuaţiei () a) dacã λ, λ, λ su reale şi disice ale ecuaţiei (), auci e λ, e λ,, e λ su soluţii liiar ideedee ale ecuaţiei (8) b) Dacã λ ese rãdãciã realã cu ordiul de muliliciae eru ecu aţia (), auci e λ, e λ,, e λ su soluţii liiar ideedeeale ecuaţiei (8) 4
c) Dacã λ a+ ib ese rãdãciã comleã de ordiul a ecuaţiei () auci a e a a a ( b) e si ( b) a e cos b, e si b a cos, e cos b, e si b a a e cos b, e si b su soluţii liiar ideedee ale ecuaţiei (8) Sisemul fudameal de soluţii se obţie ri reuirea soluţiilor liiar ideedee coresuãoare uuror rãdãciilor ecuaţiei (), iar soluţia geeralã a ecuaţiei (8) se obţie folosid formula (9) Eemle : Sã se deermie soluţia geeralã a urmãoarelor ecuaţii : y''' 6 y'' + y' 6y 3 Ecuaţia caracerisicã ese λ 6λ + λ 6 şi are soluţiile λ, λ, λ3 3, Se alicã a) di Teoremã şi se obţie sisemul fudameal de (rei) soluţii forma di y e, y e, 3 y e Soluţia geeralã ese 3 y''' + 3 y'' + 3 y' + y 3 + + 3 y Ce C e C e 3 Ecuaţia caracerisicã ese λ + 3λ + 3λ + şi are soluţiile λ λ λ3 Se alicã b) di Teoremã eru 3 Sisemul fudameal de (rei) soluţii ese forma di y e, y e, y e, iar soluţia geeralã ese 3 3 y '' + 4 y' + 5y + + 3 y Ce C e C e Ecuaţia caracerisicã ese λ + 4λ + 5 şi are soluţiile λ + i şi λ i deci se alicã c) di Teoremã eru a, b, Sisemul fudameal de (douã) soluţii ese forma di soluţiile y 4 IV y y y y 4 ''' + 5 '' 4 ' + 4y e cos ş y e i i iar soluţia geeralã ese ( s ) cos + y Ce C e si 4 3 Ecuaţia caracerisicã ese λ 4λ + 5λ 4λ + 4 cu soluţii le λ λ, λ 3 i şi λ 4 i Soluţia geeralã ese y Ce + Ce + C3cos + C4si A) Deermiarea uei soluţii ariculare a ecuaţiei eomogee Forma geeralã a ecuaţiei eomogee cu coeficieţi cosaţi ese ( ) y + a y + + a y' + a y f 5
Nu eisã meode geerale de deermiare a uei soluţii ariculare dar, î uele cauri simle, se o folosi reulaele urmãoare : a) Dacã f P ese u oliom de grad k auci soluţia aricularã ese u oliom de acelaşi grad, cu coeficieţi ecuoscuţi care se vor deermia ri îlocuirea î ecuaţie a b) Dacã f e P ude P ese u oliom de grad k eisã douã siuaţii - Dacã a u ese rãdãciã a ecuaţiei caracerisice soluţia aricularã se cauã sub a foema yp e Q, ude Q ese u oliom de grad k cu coeficieţi ecuoscuţi - Dacã a ee rãdãciã de ordi r a ecuaţiei caracerisice auci soluţia aricularã se r a cauã sub forma yp e Q( ), ude Q ese u oliom de grad k cu coeficieţi ecuoscuţi c) Dacã ( cos si) a f e P b + Q b auci eisã de asemei douã siuaţii - Dacã a+ bi u ese solu ţie a ecuaţiei caracerisice soluţia aricularã se cauã a y e S cos b T si b S su olioame cu sub forma +, ude R( ) şi coeficieţi ecuoscuţi avad dre grad cel mai mare dire gradele lui P şi Q - Dacã a+ bi ese soluţie de ordi r a ecuaţiei caracerisice soluţia aricularã se r a y e S cos b + T si b, ude S su cauã sub forma R( ) şi olioame cu ş i Q coeficieţi ecuoscuţi avad dre grad cel mai mare dire gradele lui P Eemle : Sã se deermie câe o soluţie aricularã eru urmãoarelor ecuaţii : 5 y'' y' + y Fucţia f ( ) ese u oliom de gradul I, deci soluţia aricularã se cauã sub forma yp a+ b Auci y' a şi y'' ( ) Iroducâd î ecuaţie obţiem a+ a+ b şi di ideificarea coeficie ţilor reulã a şi, adicã b Soluţia y + aricularã ese Sol ţia P u geeralã a ecuaţiei ese y Ce + Ce + + 6 y'' y' + y e De f e e P a P şi a ese rãdãciã dublã a ecuaţiei caracerisice, soluţia aricularã se va cãua sub forma y e A + P oarece se îcadreaã la b) eru, ( B) Auci ( 3 3 3 A + B + A + ) şi y'' e ( A + + 6A + 4 6A+ B) y' e Iroducâd î e A /6 şi B Soluţia aricularã ese deci cuaţie obţiem ( 6 ) yp B B+ + Di ideificarea coeficieţilor se obţie e A B e 3 e /6 3 Soluţia geeralã a ecuaţiei ese y Ce + C e + e /6 7, y'' + y si 6
Fucţia f si e ( cos + si ) se icadreaã l a c) eru a b P Q Deoarece + i ese soluţie a ecuaţiei caracerisice λ + se va cãua sub for ma y e ( A+ B) cos + ( C+ D) si Ilocui î ecuaţie şi P ideificâd coeficieţii se obţie sisemul A+ D, 4C, B+ C, 4A,, şi, soluţia aricularã cu soluţia A / 4, B, C, D / 4 Soluţia ericularã ese deci cos / 4 + si / 4 Soluţia geeralã a ecuaţiei ese 3 Ecuaţii cu coeficieţi variabili y C cos + C si cos / 4 + si / 4 Peru deermiarea soluţiei geerale a ecuaţiei omogee cu coeficieţi variabili u eisa meode geerale Dacã îsã aceasã soluţie oae fi reciaã, eru deermiarea uei soluţii ariclare se oae folosi meoda variaţiei cosaelor Teoremã: Fie Cy + Cy + + Cy soluţia geeralã a ecuaţiei omogee ( ) y + a y + + a y' + ay Dacã C( ), C,, C ( ) saisfac sisemul C ' y + C' y + + C' y C ' y' + C' y' + + C' y' ( ) ( ) ( ) C' y + C' y + + C' y ( ) ( ) ( ) C' y + C' y + + C' y f y C y + C y + + C y ese soluţie a ecuaţiei (7) auci Eemlu : Sã se deermie soluţia geeralâ a ecuaţiei y '' + y ', > Se oeaã y' Ecuaţia omogeã asociaã ese ' + Reulã C adicã y Cl + C Se foloseşe meoda variaţiei cosaelor eru y l şi y ( ) Sisemul devie 3 C' l + C' C C + A 3 cu soluţiile Reulã 3 3 C' + C' C l C l + + B 3 9 3 Soluţia geeralã a ecuaţiei ese y + Al + B 9 Observaţie: Meoda variaţiei cosaelor oae fi folosiã si eru deermiarea soluţiilor ariculare ale ecuaţiilor omogee cu coeficieţi cosaţi auci câd fucţia f ( ) u se îc adreaã î siuaţiile reeae aerior I aces ca soluţia ge eralã a ecuaţiei omogee se obţie ri rocedeul cuoscu 7
e Eemlu: Sã se deermie soluţia geeralã a ecuaţiei y'' y' + y, > y Ce + C e Se alicã variaţia cosaelor Soluţia geeralã a ecuaţiei omogee ese G eru y e ş i y e C' e + C' e Sisemul obţiu ese e cu soluţiile C + A C' e + C' ( e + e ) C l + B Soluţ ia geeralã a ecuaţiei ese y( ) ( + A) e + e ( l + B) Eerciţii rouse : Deermiaţi soluţiile geerale ale urmãoarelor ecuaţii : ( + ) + ( + 4 + ) y'' 4 y' + 4 y R : y C C e 3 6 y'' y' + y + 6 / 3 3 R : y e Ccos + Csi + + + 6 3 y'' + y' + y e R : y ( C+ C) e + e 9 4 y'' 8 y' + 7 y 4 7 R : y Ce + C e + 5 y'' y' e 6 y'' + y' 6 y e 7 y'' + y cos 8 y'' + y si 9 y''' 3 y'' y R : y Ce + Ce + e R : y C e C e 5 e R : y Ccos + Csi + si R : y Ccos + Csi + cos 6 3 + + + R : y''' y IV y 4y y C + C e + C e 3 3 3 cos 3si y Ce + e C + C R : / + R : y e ( C cos + C si ) + e ( C cos + C si ) IV y y''' + y'' e R : 3 4 y C C + + C3 + C4+ e R : e y C+ C e + e l 3 y'' + y' + y, > 3 4 y'' y' + y + si ogeã are soluţia y C + C 5 y'' 4y' y l ( ) R : ec om y + C + C si / cos + + + ogeã are soluţia A R: ec om y + B 8
y ( + ) C C 3 3 + + l ( + ) 4 4 Siseme de ecuaţii difereţiale Forma geeralã a uui sisem de ecuaţii difereţiale ese y' f(, y, y,, y ) y ' f (,,,, ) y y y () y' f(, y, y,, y) u de f, f,, f su fucţii dae, coiue e u domeiu di R + O roblemã Cauchy ese formaã dir-u sisem de ecuaţii difereţiale şi u se de codiţii iiţiale, y a, y a,, y a () O soluţie a sisemului () ese formaã di fucţiile y, y,, y care verificã sisemul Se oae arãa cã orice sisem de ecuaţii difereţiale ese echivale cu o ecuaţie difereţialã de ordi, deci soluţia sa oae fi gãsiã reolvâd ecuaţia de ordi aaşaã ri meoda subsiuţiei ( se deriveaã ua di ecua ţiile sisemului de ori, celelale de ori şi se eleimiaa fucţii ecuoscue) y' Eemlu : Sã se reolve sisemul ' y Derivâd rima ecuaţie obţiem y'' ' Ilocuid aici ' y (di a doua ecuaţie a sisemului) oţiem ecuaţia de ordiul II y'' y y C cos + C si Reulã si C + C cos + cu soluţia 4 Siseme liiare şi omogee de ecuaţii difereţiale cu coeficieţi cosaţi Forma geeralã a sisemului ese y' ay+ ay + + ay y' ay+ ay + + ay () y' ay+ ay+ + ay Sisemului () i se asociaã maricea coeficieţilor, aume A a ãm,,, i Y y y y auci sisemul se scrie î forma maricealã Y' A Y şi reulaele reeae la ecuaţii difereţiale (care rereiã u sisem de o sigurã ecuaţie cu o sigurã ecuo scuã, adicã )se geeralieaã eru arbirar Dacã o Y ( y y y ) τ ş ' ( ', ',, ') τ ( ij ) 9
Soluţiile fudameale ale sisemului vor fi cãuae sub forma Y ( α α α ) i i i i i e ude λ i su valori rorii a maricii A, adicã soluţiile ecuaţiei caracerisice a sisemului : a λ a a a a λ a (3) a a a λ iar cosaele α ij rebuiesc deermiae di sisem Soluţia geeralã a sisemului ese Y CY + CY + + CY (4) Eisã urmãoarele siuaţii imorae : - Dacã ecuaţia caracerisicã (3) are soluţiile reale şi disice su vecorii coresuãori acesor va CVe Y λ λ + CV e + + C V e λ lori auci soluţia sisemului ese τ λ, λ,, λ şi V, V,, V - Dacã ecuaţia caracerisicã (3) are soluţii mulile (reale sau comlee), fiecare soluţie λ cu ordiul de muliliciae coribuie î suma (4) cu ermeii Y Ve λ λ λ, Y e V + V,, Y e V + V + + V + V! ( )!!! ude V, V, Vs u vesorii rorii rici ali coresuãori valorii rorii λ Problema reolvãrii sisemului (3) se reduce deci la deermiarea valorilor rorii ai maricii A şi a vecorilor rorii coresuãori acesor valori Meoda de reolvare : a) Se scrie maricea A a sisemului b) Se deermiã valorile rorii ale maricii reolvad ecuaţia (3) c) Peru fiecare valoare rorie λi se deermiã vecorii rorii (aâţia câ e ordiul de muliliciae al lui λ i şi se scriu soluţiile coresuãoare lui λ i d) Se scrie sisemul fudameal de soluţii al sisemului e) Se scrie soluţia geeralã Eemle : Sã se deermie soluţia geeralã a sisemelor urmãoare y' 3y y + y3 y' y+ 5y y3 y3' y y + 3y3 a) Maricea sisemului ese A 3 5 3 λ
3 λ b) Valorile rorii ale maricii A su soluţiile ecuaţiei 5 λ adicã 3 λ λ, λ 3 şi λ 3 6 c) Valoarea λ are ordiul de muliliciae, deci va avea u sigur vecor roriu 3 α α ricial, V ( α, α, α3) care verificã ecuaia 5 α α 3 α 3 α 3 Di reolvarea sisemului comaibil edermia cu u grad de liberae 3α α + α3 α α + 5α 3α 3 α α α + 3 α 3 α 3 α ee obţie soluţia Se dã lui α o valoare aricularã, de eemlu α şi obţiem α V I mod asemããor obţiem V şi V3 coresuãor valorilor λ şi λ 3 3 6 e e e 3 6 d) Sisemul fudameal de soluţii ese Y e, Y e, Y3 e e 3 e 6 e 3 6 y Ce + Ce + C3e 3 6 e) Soluţia geeralã ese y Ce C3e 3 6 y3 Ce + Ce + C3e y ' y + y3 y' y3 + y y3' y+ y 3 Maricea sisemului ese A Ecuaţia caracerisicã, λ 3λ are rãdãciile λ şi λ λ3 U vecor roriu al lui λ ese V Subsaţiul valorii rorii
α α λ λ3 are dimesiuea Vecorii rorii saisfac ecuaţia α α, adicã α 3 α 3 α+ α + α3 sisemul cu douã grade de edeermiare α+ α + α3 Alegâd α, α se obţie α+ α + α3 α 3* şi eru α*, α* se obţie α 3* Cei doi vecori rorii riciali vor fi V şi V3 Soluţia geeralã a sisemului ese Y CV e + CVe + C3( V+ V3) e adicã y Ce Ce C3e y Ce + C3e y3 Ce + Ce + C3( ) e 4 Siseme liiare eomogee Forma geeralã ese Y' A Y + F (4) Ca şi î caul ecuaţiilor liiare eomogee, soluţia geeralã a sisemului eomoge ese suma dire soluţia geeralã a sisemului omoge si o soluţie aricularã a sisemului eomoge Peru deermiarea soluţiei ariculare se oae folosi meoda variaţiei cosaelor Teoremã :Dacã Y CY + + CYese soluţia sisemului omoge asocia lui (4) auci o soluţie aricularã a acesuia ese YP C Y + + C Y ude fucţiile C,, C ( ) saisfac ecuaţia C ' Y + C ' Y + + C ' Y F (5) Di ecuaţia (5) se calculeaã C ',, C ' şi aoi, ri iegrare se obţi C, C,, C Eerciţii rouse Sã se reolve sisemele urmãoare : 3 3 y' + y+ 4 + 4 R : y Ce + Ce + +, Ce + C e /4 / ' + y 3 / y' + y+ si 3 R : y Ce + Ce cos si, si y' y ' 4y cos 8 8 3 y' / R : 3 / y Ce 3 ' + Ce cos + C3e si u u' y ( ) y' u '
' + y 4 y' y 5 6 ' + y y' y+ y' + u ' y + u u' y+ R : R : R : () 3 C e + C e 3 y Ce C e () C + Ce 4 4 8 y() C+ Ce + 4 4 8 y Ce + C e + 3 ( + ) Ce C e u Ce C C e 3 5 Elemee de calcul oeraţioal şi alicaţii î eoria ecuaţiilor difereţiale Calculul oeraţioal se ocuã cu sudiul rasformãrilor iegrale Acesea, umie şi oeraori iegrali rasformã derivarea şi iegrarea î oeraţii algebrice Ecuaţiilor difereţiale şi iegrale le coresud ecuaţii algebrice Peru a reolva o ecuaţie difereţialã ese sufficie sã se reolve ecuaţia algebricã şi sã se alice rasformarea Lalace iverse soluţiei obţiue Cele mai direce alicaţii î sudiul ecuaţiilor difereţiale îl are rasformaa Lalace 5 Trasformaa Lalace Trasformaa Lalace ese u oeraor îre douã saţii de fucţii, oeraor care rasformã derivarea şi iegrarea î oeraţii algebrice Noãm FR { f : R R} Defiiţie: Fucţia f F ese u origial dacã saisface codiţiile urmãoare: a ) () eru orice f < b) f e derivabilã e orţiui c) eisã M > şi R s > asfel îcâ f ( ) s Numãrul oiiv s mi s f () < M e, > s < M e eru orice > { } abscisã de covergeţã) Mulţimea fucţiilor origial se oeaã O R Eemle: Urmãoarele fucţii su fucţii origial: k e, a) f () ( M, s k), <, > b) σ () /, ( M, s ), < Aceasã fucţie se umeşe reaa lui Heaviside se umeşe idice de creşere (sau 3
ţiile b) () () ( ) c) Dacã fucţia f saisface codi şi c) di defiiţia recedeã auci φ σ f ese u origial Defiiţie : Alicaţia L : O R R defiiã de ( Lf )( ) f ( ) e d se umeşe rasformaa Lalace Fu cţia Lf :( s, ) R ese imagiea lui f ri rasformaa Lalace Pri calcul direc se o obţie rasformaele Lalace eru mule fucţii elemeare Eemle : Sã se calculee rasformaele Lalace ale fucţiilor ) f σ e k k ( k ) ( k ) ( Lf )( ) e e d e d e k k ) σ si f si cos Lf e d e e cosd e si ( Lf )( ) + Pricialele rorieãţi ale rasformaei Lalace su lisae î abelul urmãor + e si d Reulã Numele rorieãţii Defiiţie Teorema omoeiei Formula Lf ( ) f ( ) e d L( f ( λ) )( ) ( Lf ) λ λ ( Lf ') Lf f 3 Derivarea origialului ( Lf '')( ) ( Lf )( ) f ( ) f ' 4 Derivarea imagiii 5 Iegrarea origialului ( ) ( Lf )( ) ( Lf )( ) f ( ) f '( ) f () ( ) Lf f e d ( τ) L f dτ ( Lf )( ) 4
6 Iegrarea imagiii f ( Lf )( q) dq L eru f d Lf d 7 Teorema raslaţiei Le ( f ( ) )( ) ( Lf )( ) 8 Teorema îârierii L( f ( τ ))( ) e ( Lf )( ) 9 Imagiea rodusului de L f τ g τ d Lf Lg covoluţie Folosid formulele di abelul de mai sus (oae formulele se demosreaã ri calcul direc) se o calcula rasformaele Lalace ale mulor fucţii elemeare Eemle : Gãsiţi imagiile urmãoarelor fucţii origial : f () σ ()si( λ) λ λ ( / λ + ) + λ Se foloseşe eorema de omoeie şi reulã ( Lf )( ) f () σ () si Se foloseşe derivarea origialului Di f '( ) σ( ) sicos σ( ) si( ) şi ( Lf ')( ) ( Lf )( ) f reulã 3 () e g Lf ( ) e + 4 Se foloseşe derivarea imagiii eru f şi Reulã ( L( ( ) e ))( ) ( Lf )''( ) 4 () h si '' ( ) Se foloseşe iegrarea imagiii : si q π L Lf q dq dq arcgq q arcg q + Imagiile celor mai imorae fucţii elemeare su coţiue î abelul urmãor : Origialul Imagiea, N! + 5
e e e λ! ( ) λ + e λ siω cosω sh ch λ λ ( ω ) ( ω ) siω cosω siω cosω si cos ( τ ) ( τ ) l l γ λ ω + ω + ω ω ω ω ω λ + ω λ λ + ω ω + ω ω ( + ω ) e τ e + τ + cu γ 577 5 Iversa rasformaei Lalace Pri rasformaa Lalace L defiiã e O se calculeaã imagiile fucţiilor origial f O R Pri rasformaa Lalace iversã imagii dae L R se regãseşe fucţia origial care coresude uei Pricialele cauri î care fucţia origial oae fi deermiaã aaliic su reeae î cele ce urmeaã Dacã F( ) Q ese o fracţie raţioalã auci ea se descomue î fracţii simle şi R se gãseşe origialul fiecãrei fracţii folosid abelul aerior Eemle : Sã se deermie origialul urmãoarelor fucţii 6
F + 4 a) Se observã cã ( ) + + Origialul lui 4 4 5 + 4 ( )( + ) ese ( î abelul rasformaelor Lalace e coloaa di sâga coresuãoare lui / ese scrisã fucţia "", origialul lui eae e, origialul lui ese cos iar origialul lui ese si + 4 + 4 Reulã cã origialul lui F ( ) ese f () + e + cos si 4 5 b) F( ) + Se observã cã F ese imagiea uui rodus de covolu ţie, adicã + + F ( ) L siτ si ( τ) dτ ( ) + + Lf Reulã cã Dacã ( τ ) cos cos f () siτ si ( τ) dτ dτ cos si F Q ( ) ( ) ( ) k k ese o fracţie î care,,, descomuerea î fracţii simle ese dificilã şi se oae folosi direc formula k () ( ( ) e ( ) i i ) ( lim ) i f F! i ( i ) ( ) ude eoeul araã cã eresia di araeã se deriveaã de ori i Eemlu : Sã se deermie origialul lui Deoarece Deci () f ( ) ( + ) F ( ) i k auci F se foloseşe formula aerioarã eru,, ' ' lim e lim e + +! ( )! ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) lim e + + lim e + ( e + e ) sh 4 4 ( + ) ( + ) ( ) ( ) 4 3 Dacã fucţia F ( ) coţie facorul e λ se foloseşe eorema îârierii 7
Eemlu : Sã se deermie origialul fucţiei e F! Deoarece F ( ) e e ( L ) ( ) ( L( ) )( ), reulã cã, ceea ce s-a obţiu alicâd eorema îârierii eru τ şi f σ Imulţirea cu σ ese ecesarã eru ca f sã fie o fucţie origial 53 Calcul oeraţioal Calculul oeraţioal, umi şi calcul simbolic, a fos irodus la sfârşiul secolului XIX de fiiciaul egle O Heaviside Acesa a us î evideţã (fãrã ici o jusificare maemaicã ) faul cã ese osibilã reolvarea raidã a uor ecuaţii folosid u oeraor simbolic, eviâd asfel calcule lugi ce aar î reolvarea clasicã Aceasã meodã se jusificã arţial folosif Trasform aa La lace care rasformã derivarea î îmulţire cu variabi la şi iegrarea î îmãrţire la aceeaşi variabilã Peru reolvarea aumior iuri de ecuaţii (E) folosid rasformaa Lalace se arcurg urmãoarele eae : a) Se formeaã ecuaţia oeraţioalã (EO) ri alicarea rasformaei Lalace celor doi membri ai ecuaţiei Ecuaţie oeraţioalã ese o ecuaţie algebricã de gradul I avâd dre ecuoscuã imagiea (ri rasformaa Lalace) a ecuoscuei ecuaţiei b) Se reolvã ecuaţia oeraţioalã Soluţia (uicã) a ecuaţiei ese imagiea ecuoscuei di ecuaţia iiţialã c) Se deermiã origialul fucţiei soluţie de la b) Acesa rereiã soluţia ecuaţiei iiţiale Pricialele alicaţii ale calcului oeraţioal su : - calculul iegralelor imrorii - reolvare ecuaţiilor difereţiale liiare cu coeficieţi cosaţi - reolvarea sisemelor de ecuaţii difereţiale cu coeficieţi cosaţi - reolvarea uor ecuaţii iegrale - reolvarea uor ecuaţii iegro-difereţiale - reolvarea ecuaţiilor cu argume îâria - reolvarea uor ecuaţii cu derivae ariale 53 Reolvarea ecuaţiilor liiare cu coeficieţi cosaţi şi a roblemelor Cauchy aaşae Problema Cauchy avâd ecuoscua y y( ) are forma ( ) ( ay a y ) + + + ay f() y( ) y, y' ( ),, y ( ) y (E) Alicâd rasformaa Lalace ecuaţiei (E) se obţie ecuaţia oeraţioalã ( ) a ( Ly ) + a ( Ly ) + + a ( Ly) ( Lf) 8
Se oeaã ( Ly)( ) Y ( ), se foloseşe eorema de derivare a origialului şi se obţie ecuaţia oeraţioalã ( ) ( + ( ) + ) + a Y y y + a Y y + a Y F (EO) Se alicã aoi algorimul de reolvare reea aerior Meoda se oae folosi şi eru deermiarea soluţiei geerale a ecuaţiei difereţiale I ( aces ca valorile y( ), y' ( ), y ) rereiã cele cosae ce aar î soluţia geeralã Eemle : Sã se deermie soluţia geeralã a ecuaţiei y'' 3y + y e a) Ecuaţia oeraţioa lã ese ( 3+ ) Y( ) y( ) y' + 3y + b) Soluţia ecuaţiei oeraţioale ese Y( ) + y + ( y' + 3y ) + Duã descomuerea î fracţii simle reulã ' 5 3 ' Y + y + y + + + y + y C + C + 6 + 3 6 + c) Origialul lui Y( ) ese y() Ce + Ce + e Aceasa ese soluţia geeralã a ecuaţiei 6 liiare I aceasã siuaţie alicarea rasformaei Lalace eru reolvarea ecuaţiei u uşureaã calculele Alicarea ei ese jusificaã mai ales î reolvarea roblemelor Cauchy y'' + y cos Sã se reolve roblema Cauchy y, y' a) Ecua ţia oeraţioalã ese Y( ) y( ) y' + Y( ) + b) Soluţia ecuaţie raţio i oe ale ese Y( ) + ( + ) Peru a u efecua oeraţii + arimeice iuile ese recomadabil sã u se aducã fracţiile la acelaşi umior y σ si+ si c) Origialul clui Y( ) ese Soluţia roblemei Cauchy ese y() ( + si ) 53 Reolvarea sisemelor de ecuaţii difereţiale liiare cu coeficieţi cosaţi Peru a reolva asfel de siseme se obţie sisemul de ecuaţii oeraţioale alicâd rasformaa Lalace uuror ecuaţiilor sisemului Soluţiile sisemului su imagiile fucţiilor ecuoscue ale sisemului iiţial Pri alicarea rasformaei Lalace iversã se obţi soluţiile cãuae 9
'' + + y'' y' e Eemlu : Sã se reolve roblema Cauchy ' + y' + y e y( ) y', ' X ( ) + X ( ) + Y( ) Y( ) Sisemul oeraţioal ese El ese u sisem de X ( ) + X ( ) Y( ) + Y( ) + ecuaţii liiare cu ecuoscuele şi Y X ( ) 3 X( ) + 8 4 ( ) 8 + + Soluţia sisemului ese 3 Y( ) 3( ) 3 () sh+ e Soluţia sisemului ese 4 4 3 y() sh 4 Eerciţii rouse : Alicâd meodele calcului oeraţioal sã se reolve urmãoarele robleme Cauchy : y'' + y, y 5, y' 4 R : y() cos ( 5 ) ' e, + e + R : 3 ', R : 4 ' + si, 5 '',, ' ( ) R : () ( cos + si ) 5 e + R : () 6 '' + ',, ' R : 7 '' + 3 ' e,, ' 5 3 R : () e e 4 + 8 ''' + ', ( ) ' ( ) '' R : ( ) si 9 ''' + ',, ', '' R : () + cos si ''' '' si, ' '' R : () e '' ', ' R : () 3 ( e + e ) 4 ''' + '' si,, ', '' 3 4 R : () e si e cos 5 5 5 e 3 3
3 ''' + '' si, ', '' 4 '' + cos,, ' 5 '' + ' +,, ' R : R : () + ( e + cos si) si cos + si 4 6 5e + e R : () 6 Alicaţii ale ecuaţiilor difereţiale î sudiul circuielor elecrice 6 Descãrcarea uui codesaor rir-o reiseţã Feomeul ese imora eru cã aare î circuiele folosie la rasmisiuile radio, de eleviiue, la radare ec Problema : Se cosiderã u circui elecric forma dir-u codesaor cu caaciaea C şi o reiseţã R Se cere iesiaea cureului, i şi difereţa de oeţial v () la borele codesaorului î fucţie de momeul la care se face mãsurarea dacã sarcia iiţialã ese Q Reolvare : Cosiderãm fucţiile iqv,, :[, +) Rcae idicaa iesiaea, sarcia si difereţa de oeţial la borele codesaorului q Cv Ire ele eisã relaţia () Iesiaea cureului elecric la descãrcare ese i q' ( ) şi la borele reiseţei v ea saisface relaţia i (legea lui Ohm) R Relaţiile aerioare araã cã aces circui ese caraceria de roblema Cauchy q( ) q' () C R (CR) q Q î care q q() ese fucţia ecuoscuã iar C şi R su cosae dae î roblemã Ecuaţia difereţialã oae fi cosideraã ca o ecuaţie cu variabile searabile sau ca o ecuaţie liiarã şi omogeã de ordiul I Soluţia roblemei Cauchy ese CR () Qe q Q /( CR) Iesiaea cureului (la descãrcare) ese i() q' () ecr Ie iar CR CR Q v () R i () e C Momeul îceâd de la care descãrcarea ese racic ermiaã se cosiderã a fi τ I eru care i τ Se obţie τ e CR adicã τ C R l 4,6 C R 6 Icãrcarea uui codesaor rir-o reiseţã î reeţa uei surse de cure coiuu 3
Problemã : Se cosiderã u circui alcãui dir-u codesaor cu caaciaea C, o reiseţã R şi o sursã de cure coiuu avâd forţa elecromooare cosaã E Se cere sã se deermie iesiaea cureului şi difereţa de oeţial la borele codesaorului î fucţie de momeul la care se face mãsurarea Reolvare : Se cosiderã fucţiile iqv,, :[,+) Rcare rereiã iesiaea cureului, sarcia codesaorului şi difereţa de oeţial la borele acesuia q La îcãrcarea codesaorului i q' ( ) iar v () C E v Legea lui Kirchoff araã cã i (), deci roblema Cauchy ce caracerieaã R circuiul ese q R q' () + E C q Soluţia geeralã a ecuaţiei (liiarã şi eomogeã de ordiul I) ese soluţia roblemei Cauchy ese q () C E e CR q () CE + Ke CR iar q Reulã imedia v () E e CR E şi i C () q' CR () e R Momeul î care codesaorul ese racic îcãrca ese cel la care difereţa de oeţial 99 ese v( τ ) E Di 99 τ E E e CR reulã τ C R l 4,6 C R 63 Formula fudamealã a cureului aleraiv Problemã : Se cosiderã u circui î care acţioeaã o forţã elecromooare daoraã uei variaţii de flu şi coţiâ o reiseţa R şi o bobiã cu iducaţa rorie L moae î serie Sã se deermie iesiaea cureului elecric di circui Reolvare : Peru a obţie o variaţie a fluului elecric Φ( ) se cosiderã u cadru cu sire de arie S m işcâdu-se îr-u cam mageic cu iducţia B, cadru îchis riru circui eerior Aces cadru se roeşe uiform cu v iea ughularã ω Fluul caa Φ ( ) se descomue î douã ãrţi : - Fluul Φ () B S siω roveid de la olul ord al câmului mageic Fluul Φ L i geera de cadrul arcurs de cureul elecric - () () 3
E Di relaţia (daã î roblemã) E ( ) Φ '( ) şi ţiâd co de faul cã i () se obţie R B S ω L ecuaţia i () cos ω i'( ) Ea se scrie sub forma R R L i'( ) + R i( ) B S ω cosω E cosω Peru reolvarea acesei ecuaţii se oae folosi calculul oeraţioal eraţioalã co i ) Ecuaţia o resuãoare ese (eru L ( I( ) ) + R I( ) E + ω di care reulã (oâd k R/ L) E E I( ) E k k + + ω ( + ω ) L+ R L + ω + k L k + ω + k + ω + ω Iesiaea cureului elecric ese origialul lui I adicã R E i () Rcosω Lωsi ω Re L + R + Lω Aceasa are o comoeã eriodicã domiaã (aume Rcosω+ Lωsi ω) şi o R L comoeã eglijabilã (aume Re ) auci câd imul ese mare Di aces moiv cureul obţiu se umeşe curre aleraive () ANALIZA COMPLEXA Mulţimea umerelor comlee Defiiţie şi srucurã algebricã I mulţimea {(, ), } ierã) - aduarea (, y) + ( ', y' ) ( + ', y+ y' ) R y R y R se defiesc douã oeraţii (legi de comoiţie - îmulţirea (, y) ( ', y' ) ( ' yy', y' + ' y) î raor cu care R ese cor comuaiv Mulţimea umerelor comlee ese mul ţimea R doaã cu acese douã oeraţii Se oeaã C Obiecţul (, y) C se umeşe umaar comle ese area realã a lui şi se oeaã Re, iar y ese area sa imagiarã şi se oeaã Im Douã umere comlee su egale dacã au aceeaşi are realã şi aceeaşi are imagiarã 33
Numerele comlee (,), care au area imagiarã, se umesc umere reale şi se oeaã Se oeaã i (, O rori eae imoraã a lui i ese i ) daca 4k i daca 4k + Se oae arãa cã i daca 4k + i daca 4k + 3 mle, y iy,cu area realã, se umesc ur imagiare Numerele co e Se scrie arece + iy deo, y, +, y, + iy Aceasa ese forma algebricã a uui umãr comle Comle cojugaul umãrului + iy ese umãrul iy Mulţimea umerelor comlee se ideificã cu laul geomeric A y care se umeşe afiul lui asocia ucului (, ) Modulul umãrului comle + iy ese + y R Numãru l + iy eae A( y, ) la ucul O(,) Modulul lui + iy rereiã disaţa de la ucul, origiea aelor de coordoae î laul comle Prooiţie : Modulul are urmãoarele rorieãţi oricare ar fi C oricare ar fi, C Reulã 3 + + oricare ar fi, C 4 oricare ar fi, C, 5 oricare ar fi C Argumeul redus al umãrului c omle + iy ese ughiul e care segmeul OA îl face cu sesul oiiv al aei O Se oeaã arg şi se calculeaã folosid urmãoarea formulã arcg y / daca >, y > π / daca, y > cosφ arg φ π + arcg ( y / ) daca < Au loc relaţiile y siφ 3 π / daca, y < π + arcg ( y / ) daca >, y < Forma rigoomericã a umãrului comle + iy ese ( cosφ + isiφ ) Ea ese uilã eru efecuarea oeraţiilor cu umere comlee cos φ + φ + isi φ + φ ( ) + ( cos( φ φ) isi ( φ φ) ) ( φ φ ) cos + isi 34
Rãdãcia de ordi a umãrului cosφ + isiφ ese formaã di umere comlee φ kπ φ calculae ri k + i Eerciţii reolvae ( ) / + cos + si k π, cu k {,,, } Sã se dermie area realã şi area imagiarã a umerelor comlee urmãoare - + 3i Re şi Im 3 - i Se scrie + i + i + i + i deci Re şi Im ( i)( + i) i Sã se deermie modulul şi argumeul urmãoarelor umere comlee - i Deoarece + i reulã cã - 3 Deoarece + i reulã cã + şi arg π / 3 3 + 3 şi arg π + arcg π 3 3 - + i Deoarece 3 4 55+ 3 4k + 3 reulã cã i i deci i π Auci + şi arg arcg 4 i ( i) i+ i i - Deoarec e i reulã cã + i i + arg 3 π / Srucurã oologicã + ( ) şi Srucura oologicã (geomericã) ese legaã de oţiuea de disaţã Aceasã srucurã ese ecesarã eru devolarea eoriei fucţiilor comlee Disaţa îre douã umere comlee + iy şi + iy ese Cercul C(, r) cu cerul î + y y şi raa r ese ese da de ecuaţia r Discul deschis cu cerul î şi raa r, oa D(, r) ese ieriorul cercului C(, r) şi ese descris de ecuaţia < r Veciããţile umãrului C su mulţimi care coţi u disc cera î Toologia lui C ese de fa oologia lui R Eerciţii reolvae : Sã se calculee disaţa îre i şi i (, ) d + + 5 Care ese ierrearea geomericã a urmãoarelor mulţimi? A C Re > R: semilaul forma di cadraele I şi IV - { } - A { C Im } - A { C } - A { C i } - A { C 3} < R: Porţiuea di la curisã îre dreele y şi y < R: îeriorul cercului cu cerul i origie şi raa > R: eeriorul cercului cu cerul î i şi raa < < R : coroaa circularã dire cercurile cu cerul î origie cu raele şi 3 35
- A { C } + i R : mediaoarea segmeului ce ueşe afiele umerelor şi i 3 Mulţimea eisã a umerelor comlee Mulţimea eisã a umerelor comlee ese C C { } Obiecul " ", care comleeaã mulţimea umerelor comlee are urmãoarele rorieãţi: - + R - - a eru orice a C {} a - eru orice a C {} - eru orice a C {} a a - e ru orice a C Nu su defiie oeraţiile,, Mulţimea eisã a umerelor comlee u are srucurã algebricã Veciããţile lui coţi eeriorul uui disc cu cerul î origie Mulţim ea { C > } ese veciãae a lui dar mulţimea { C Re > } u e veciãae a lui Fucţii comlee elemeare Se umeş e fucţie comleã de variabilã comleã o fucţie defiiã e o submulţime D a muţimii umerelor comlee C cu valori î C Se oeaã f : D C Peru + iy se scrie f ( ) f ( + iy) u(, y) + v(, y) Fucţia u: D R se umeşe area realã a lui f şi se oeaã Re f ( y, ) uy (, ) Fucţia v: D R se umeşe area imag iarã a lui f şi se oeaã Im f ( y, ) vy (, ) Eemle: Sã se deermie area realã şi area imagiarã a urmãoarelor fucţii f : C C, f ( ) ( f y ( y ) Puem s crie ) (, ) ( y f + iy + iy y + yi Reulã cã Re f y, ) şi Im f ( y, ) y f : C C, f ( ) Puem scrie f ( ) f ( + iy) + y Reulã Re f ( y, ) + y şi Im f, y Prire fucţiile comlee eisã uele mai imorae, cu ajuorul cãrora se obţi ale fucţii comlee Ele se umesc fucţii elemeare şi su descrise î cele ce urmeaã Fucţiile algebrice 36
Fucţiile algebrice su - olioamele f : C C, f ( ) a + a + + a+ a Toae reulaele legae de olioamele reale se eid eru olioame comlee Oeraţiile cu olioame comlee (aduarea, îmulţirea şi îmãrţirea) se defiesc ca şi cele eru olioame reale P( ) - fucţiile raţioale f : C {,,, h } C, f ( ), ude PQ, su olioame Q comlee şi,,, h su umerele comlee eru care se auleaã umiorul fracţiei a + b U ca imora îl rereiã fucţiile omografice f ( ) c + d Fucţia eoeţialã Fucţia eoeţialã ese f : C C, f ( ) e defiiã ri ( cos si ) + iy e e e y+ i y Deoarece e > eru orice R şi cos y+ isi y eru oeice y R reulã cã fucţia eoeţialã u oae avea valoarea Su imorae urmãoarele rorieãţi ale fucţiei eoeţiale : - e + + + + +!!! - e e e + - e e e - e e Da cã + i ese umãr real auci e e ( cos + isi ) e, deci eoeţiala comleã es e o eidere a eoeţialei reale 3 Fuciile hierbolice Fucţiile hierbolice comlee su defiie î mod asemããor cu cele reale e e - siusul hierbolic ese sh e + e - cosiusul hierbolic ese ch Acese fucţii au urmãoarele rorieãţi (aaloge fucţiilor hierbolice reale): - ch sh ch + ch ch + sh sh - - sh + sh ch +ch sh 4 Fucţiile rigoomerice Fucţiile rigoomerice comlee se defiesc cu ajuorul fucţiei eoeţiale : i i e e - s iusul ese si i 37
i i e + e - cosiusul ese cos si - agea ese g cos Acese fucţii au rorieãţile cuoscue ale fucţiilor rigoomerice reale : - si + cos cos + cos cos si si - ( ) - si + si cos + cos si Ire fucţiile hierbolice şi cele rigoomerice eisã urmãoarele relaţii : cos ch i, i si sh( i), i g h i ch cos i, i sh i,, si i h g ( i) 5 Fucţii mulivoce Fucţiile mulivoce (umie şi fucţii muliforme) fac sã coresudã fiecãrui eleme di domeiul de defiiţie mai mule valori Arg : C P C, Arg {arg + kπ, k Z} Fucţia Argume ese Aceasã defiiţie ese jusifica ã de faul cã, eru orice φk arg + kπ Arg a re loc relaţia i φk ( cosφ k + isi φk) e, deci eisã mai mule valori ce o îlocui argumeul lui î forma sa rigoomericã iarg Se scrie e Fucţia radical f asociaã lui mulţimea de valori {,,, }, ude arg + kπ arg + kπ k cos + isi Toae acese valori saisfac k Fucţia logarimicã f ( ) L ese daã de L {l + i Arg} {l + i ( arg + kπ ), k Z} L Ea oae fi ierreaã ca fiid iversa fucţiei eoeţiale î sesul cã e A A A L Fucţia uere f ( ), ude A C ese defiiã ri e Se defiesc de asemeea iversele fucţiilor rigoomerice şi ale fucţiilor hierbolice, dar ele su mai rar folosie î calcule i Eerciţii : Sã se calculee : e, i + i - e e e ( cos isi) i e + π, e k π i, cos( i ), si i π, g ( + πi ) + I aceasã eresie umãrul rereiã u radia, adicã 36 57,3 π grade + πi - e e cosπ + isiπ e π k i - π π e e (cos k + isi k ) şi valorile deed de k ii ii e + e e + e e + cos i - () 38
π π i i i i π / π / π / π / π e e e e e e - si i i i i - g ( π i) i( π+ i) i( π+ i) si e e + πi πi π + i e e e ( ) e ( ) e / e + i cos i ( π + i) ( π+ i) i( π+ i) + πi πi i e + e i e + e i e ( ) + e e+ / e ( ) Sã se reolve urmãoarele ecuaţii: ch, si 3, e + i e + e ch reulã e + e adicã ( iy) - di e e + e ( cos y+ isi y) si y e cos y Di sisemul reulã cos y adicã Soluţiile ecuaţiei su e si y y ( k ) π e + π ume rele comlee k i( k + ) i i e e i - î ecuaţia si 3 oãm e ; reulã 6i adicã, 3± i i i( + iy) y+ i y Di e e e e cos + isi 3 + reulã, ri ideificarea ãrţilor reale şi y imagiare, cos, si, e 3± Soluţiile ecuaţiei su 4k + 4k + k l ( 3 ± ) cos π + isi π, k Z + iy e cos y - e e e ( cos y+ isi y) + i araã cã Di îmãrţirea ecuaţiilor reulã e si y π π gy, adicã y + kπ (deoarece cos y > şi si y > ) Auci e /cos / 4 şi 4 l π Soluţiile ecuaţiei su k l + i + kπ 4 3 Elemee de calcul difereţial Calculul difereţial oereaã cu oţiuea de fucţie derivabilã f ( ) f ( ) Fucţia f ese derivabilã î ucual dacã lim f '( ) eisã şi ese fiiã O fucţie derivabilã î oae ucele uei mulimi se umeşe fucţie olomorfã e mulţimea resecivã Defiiţia ese aalogul comle al defiiţiei derivaei uei fucţii reale I legãurã cu derivabiliaea uei fucţii îr-u uc da eisã u reula imora, Teorema Cauchy- Riema 39
Teoremã (Cauchy-Riema) Dacã fucţia f ( ) f ( iy) u(, y) i v(, y) + + ese derivabilã î + iy auci u şi v su derivabile î (, y ) şi derivaele lor saisfac u v (, y) (, y) y codiţiile (umie codiţiile Cauchy-Riema) u v (, y) (, y) y care fucţi iue, y şi acesea saisfac I caul î ile u şi v au derivae arţiale co î codiţiile Cauchy-Riema, fucţia f ese derivabilã î I ucele î care f ese derivabilã, derivaa ei se calculeaã folosid formula u v f '( ) (, y) + i (, y) y Eerciţiu : Sã se deermie ucele î care fucţia f ( ) + ese derivabilã şi sã se calculee derivaa ei î acese uce f + iy + iy + + iy iy + yi Reulã Fucţia f se scrie f (, ) i v(, y) y ficieã eru ca f sã fie derivabilã î (, ) u y ş Cele douã fucţii au derivae arţiale coiue, deci codiţia ecesarã şi su y ese daã de codiţiile Cauchy- Riema u v y 4 coduc la cu soluţia Reulã cã sigurul uc î care f ese u v y y y u v derivabilã ese + i Derivaa fucţiei ese f ' (,) + i (,) + i Teorema ese verificaã de oae fucţiile elemeare defiie î aragraful aerior î oae ucele domeiului de defiiţie Reulã cã acese fucţii su derivabile e domeiul lor de defiiţie, adicã su olomorfe e domeiul de defiiţie Peru calculul derivaelor fucţiilor elemeare se o folosi regulile de derivare şi ricialele derivae cuoscue di liceu eru fucţiile reale Eerciţiu : Sã s e deermie mulţimile e care fucţiile urmãoare su olomorfe şi sã se calculee derivaa lor : 5 f ( ) + 3+ 9 ; Fucţia ese defiiã e C, deci ese olomorfã e C, iar derivaa ese 4 4 '( ) + + f 3 9 5 3 45 f ( ) f ' ( ) + ; Fucţia ese defiiã e C {}, deci ese olomorfã e ( + ) '( ) ( ) '( + ) + + C {} Derivaa ei ese e 3 f ( ) Domeiul de defiiţie al lui f ese mulţimea ucelor eru care e + e + Ecuaţia e + are soluţiile ( k ) πi f : C { k + πi, k Z} şi ese olomorfã e k +, deci 4