Krivy a plochy Dávid Pál 28. júa 2003 Toto som spísal učiac sa a štátice z grafiy. Časť I Krivy Za rivy budeme považovať zobrazeie C : I E 2 prípade C : I E 3, de I je ejaý iterval. Zvyčaje sa požaduje, aby C(t) mala dostatoče veľa derivácií (ajlepšie všety) a aby jej prvá derivácia ebola ulová (ulový vetor). Tieto dve požiadavy sa srátee volajú hladosť a regulárosť. 1 Hermitova riva Na úvod začeme ejaou ľahou rivou. Chceme zostrojiť polyóm s predpísaou fučou hodotou v bode 0, deriváciu v bode 0, deriváciu v bode 1 a fučou hodotou v bode 1, ao a to? Zostrojíme štyri ubicé polyómy, taé, že prvý polyóm bude mať fučú hodotu v bode 0 rovú jeda a zvyšé tri vlastosti ulové. Druhý bude mať druhú vlastosť jeda a zvyšé ulové, atď. Taé polyómy sú tieto: 1 H 3 0 (t) = 2t 3 3t 2 + 1 (1) H 3 1 (t) = t 3 2t 2 + t (2) H 3 2 (t) = t 3 t 2 (3) H 3 3 (t) = 2t 3 + 3t 2 (4) A máme teraz dva body V 0, V 1 a dva vetory u 0, u 1, ta potom riva H(t) = V 0 H 3 0 (t) + u 0 H 3 1 (t) + u 1 H 3 2 (t) + V 1 H 3 3 (t), pre t [0, 1] (5) má tú vlastosť, že začía v bode V 0, očí v bode V 1, derivácia (dotyčica) v bode 0 je u 0 a derivácia v bode 1 je u 1. Táto riva sa azýva Hermitova alebo Nielsoova. 1 Stupňa ajviac 3 ute existujú le a práve tieto. 1
2 Beziérove rivy Tieto rivy vymyslel Pierre Bezier (1910 1999) pre fracúzsu automobilu Reault. 2.1 Bersteiove polyómy -ty (0 ) Beresteiov polyóm 2 -tého stupňa je ( ) B (t) = t (1 t). (6) Za ich defiičý obor budeme brať iterval [0, 1]. Tu sú polyómy pre malé. Pre = 0 je jediý taý polyóm B 0 0 oštate rový 1. Pre = 1 sú dva B 1 0(t) = 1 t, B 1 1(t) = t. Pre = 2 sú tri B0(t) 2 = (1 t) 2, B1(t) 2 = 2t(1 t), B2(t) 2 = t 2. Pre = 3 sú štyri B0(t) 3 = (1 t) 3, B1(t) 3 = 3t(1 t) 2, B2(t) 3 = 3t 2 (1 t), B3(t) 3 = t 3. Doležité je vedieť zderivovať taý Bersteiov polyóm. [( ] [B (t)] = )t (1 t) ( ) ( ) = t 1 (1 t) ( )t (1 t) 1 ( ) ( ) 1 1 = t 1 (1 t) 1 t 1 (1 t) 1 1 1 [( ) ( ] 1 1 = t 1 (1 t) 1 )t 1 (1 t) 1 1 = [ B 1 1 (t) B 1 (t) ] (7) V tomto vzorci (ale aj prípade hocide esôr) pre mimo rozsahu 0, 1,..., berieme ( B (t) oštate ulový. Dôvod je te, že vtedy je (resp. sa ladie) ) = 0. O Bersteiových polyómoch platí ieoľo fatov, toré stoja za reč: 2 Občas zvyú volať aj Beziérove bázicé fucie. 2
Ich hodoty sú v itervale [0, 1], teda presejšie B (t) [0, 1], pre t [0, 1]. (8) Súčet všetých + 1 polyómov dáva doopy oštatú jedotu ( ) B0 (t) + B1 + + B(t) = t (1 t) = ((1 t) + t) = 1. (9) =0 Sú to uimodále (jedohrbé) fucie s jediým maximov v bode t = / (pre > 0). Tvoria bázu polyómov aajvýš -tého stupňa. Spĺňajú reureciu 2.2 Beziérove rivy B +1 (t) = tb 1(t) + (1 t)b (t). (10) Keď máme daých + 1 bodov V 0, V 1,..., V v eulidovsej rovie E 2 alebo priestore E 3, ta defiujeme Beziérovu rivu -tého stupňa B (t) = B (t)v, pre t [0, 1]. (11) =0 Keď sa to poderivuje, ta máme jej dotyčicu v ľubovoľom bode. Využijeme vyššie vyrátaú deriváciu Bersteiovho polyómu. [ ] [B (t)] = B (t)v = = =0 [B (t)] V =0 (B 1 1 =0 (t) B 1 )V 1 = B 1 (t)(v +1 V ) =0 Z tohto a vlastostí Bersteiových polyómov ám plyie, že Kriva leží celá v ovexom obale svojich riadiacich vrcholov. (12) Má pseudoloále riadeie. Teda eď pohem ejaým vrcholom, ta sa podstate zmeí le úso oolo eho. Kriva sa dotýa spojice svojich dvoch prvých a dvoch posledých riadiacich bodov. 3
2.3 Casteljauov algoritmus Je to algoritmus a vyčíslovaie (a ásledé vyresleie) Bezierovej rivy pre ejaú hodotu parametra t. Samozrejme ide to robiť aj priamo dosadeím do vzorca, ale toto je zábavejšie, umericy stabilejšie, ba čo viac vieme ta ľaho rivu rozdeliť a dve. Postup je asledový: Je daé ejaé fixé t, v torom rátame bod rivy. Na začiatu máme + 1 riadiacich vrcholov V 0, V 1,..., V, ozačíme ich prefíae ao body ultej geerácie V 0 0 := V 0, V 0 1 := V 1,..., V 0 := V. Z ich soštruujeme body prvej geerácie, tých už bude le. Následe body druhej, tých bude le 1, atď. Až aoiec dostaeme jediý bod V0 - tej geerácie. Teto bod je bodov Beziérovej rivy, teda B (t) = V0 0. Tu je reuretý vzorec, ao rátať body r-tej geerácie: V r = (1 t)v r 1 + tv r 1 +1, pre r < 0, 0 r. (13) Teto reu rere 3 sa azýva Casteljauov algoritmus. To, že platí B (t) = V0 0, teda V0 0 je bodom rivy sa doáže z toho ľubovolý vrchol v ľubovoľej geerácii vieme vyjadriť pomocou pôvodých riadiacich vrcholov r V r = Bj r (t)v +j (14) j=0 Toto sa hravo doáže iduciou a použitím vlastostí ombiačých čísel. Kriva sa ám see v ašom bode t a dve časti. Obe sú to polyomicé rivy a preto sú zapísateľé ao Bezierove rivy. Dá sa doázať, že riadiacimi vrcholmi ľavej časti sú vrcholy V0 0, V0 1, V0 2..., V0 a pravej V0, V1 1, V2 2..., V 0. (Sú to dosť otrave dlhé výpočty. Lepšie je si to ačrtúť a papier a uveriť.) 2.4 Zvyšovaie stupňa Toto slúži a to, eď chceme pridať ďalší riadiaci vrchol bez toho, aby sme zmeili tvar rivy. S viac riadiacimi vrcholmi môžme potom rivu lepšie a jemejšie meiť. Fuguje to asi tato: Máme Beziérovu rivu B(t) stupňa defiovaú +1 riadiacimi bodmi V 0, V 1,..., V. Soštruujeme riadiace vrcholy W 0, W 1,..., W +1, taé, že Beziérova riva imi určeá, bude totožá s ašou B(t). Evidete musí W 0 = V 0 a W +1 = V, zvyšé body sa dorátajú podľa asledového vzorca ( 1 i + 1 ) V i. (15) W i = i + 1 V i 1 + Dôaz je priamočiare dosedeie a ásledé uťapaaie. (To, že to pricipiále muselo ísť vyjadriť, vyplýva z toho, polyóm stupňa ajviac je aj polyómom stupňa ajviac + 1 a z toho, že Bersteiove polyómy tvoria bázu.) 3 Ao ám učiteľa matematiy a gymáziu vysvetlila, že reurecia je od reurere, čo zameá ráčat spät. 4
2.5 Racioále Beziérove rivy Ide o zovšeobeceie Beziérových rivie. Majme riadiace body v priestore (t.j. v E 3 ) V 0, V 1,..., V ao u lasicých Beziérových rivie. Navyše pridáme aždému bodu pridáme váhu w i, reále (ajlepšie ladé) číslo. Potom riacioála Beziérova riva je B =0 (t) = B (t)w iv i =0 B (t)w, pre t [0, 1] (16) i Racioále sa volajú preto, že sú podielom dvoch polyómov. 4 Nech riadiace vrcholy povôdé riadiace vrcholy V i mali súradice V i = [x i, y i, z i ]. Uvažujeme lasicú Beziérovu 4D rivu s riadiacimi vrchlolmi U i = [w i x i, w i y i, w i z i, w i ]. (Toto možo chápať aj ao homogée súradice pôvodých bodov, lebo [w i x i, w i y i, w i z i, w i ] [x i, y i, z i, 1].) w i x i =0 B (t) = B (t)u i = B (t) w i y i w i z i = B (t)w ix i =0 B (t)w iy i =0 =0 =0 B (t)w iz i (17) w i =0 B (t)w i Potom táto riva chápaá ao 3D riva je racioálu Beziérou rivou =0 B (t)w ix i B (t) = =0 B (t)w =0 iy i =0 B (t)w iz i 1 B (t)w ix i =0 B (t)w =0 B (t)w =0 B (t)w iy i i =0 B (t)w iz i = =0 B (t)w iv i =0 B (t)w i i 1 (18) Ia sa a racioálu rivu možo dívať ao a stredový priemet (so stredom v počiatu) do adroviy w = 1 (w je štvrtá súradica v 4D). Praticy (apr. v OpeGL) sa to ráta ta, že tú rivu rátame 4D ao bežú Beziérovu rivu a aoiec to predelíme štvrtou súradicou. (Alebo ai epredelíme a rovo pošleme do OpeGL v homogéych súradiciach.) Defacto aždá riva alebo aj plocha, torá je defiovaá le pomocou riadiacich vrcholov existuje aj racioálej verzii. Toto platí miimále pre Beziérove rivy a plochy (vrátae Beziérovho trojuholía), B-splajov a B- splajových plôch. Idea a vzorce je vždy tá istá ao tu, taže sa tým ebudem viac špeciále zaoberať. 3 B-splajy 3.1 B-splajové bázicé fucie B-splajové bázicé fucie sú pre B-splajy asi to, čo pre Beziérove rivy Bersteiove polyómy. Sú ale o dosť ompliovaejšie, a hlave ie sú to polyómy ale zlepeiy polyómov. 4 Presejšie aždá súradica zvlášť je podielom dvoch polyómov. 5
Najprv máme ejaé prirodzeé číslo m a elesajúcucu postuposť m + 1 reálych čísel t 0 t 1 t m. Táto postuposť sa azýva uzlový vetor (dĺžy m). A sa ejaé číslo vysytuje v postuposti viacrát hovoríme, že uzol je ásobý, počet výsytov uzla voláme jeho ásobosťou. Na tomto uzlovom vetore defiujeme i-tu B-splajovú bázicú fuciu N d (t) stupňa d. Pre stupeň ula je { N 0 1, t [t, t +1 ) (t) =, pre 0 i m 1. (19) 0, ia Pre vyššie stupe ich defiujeme reurete N d (t) = t t N d 1 (t) + t +d+1 t N d 1 +1 (t), (20) t +d t t +d+1 t +1 pre 0 i m d 1. A by v defiícii v ietorom zlomu v meovateli vyšla ula (vôli ásobosti uzlov), ta te zlomo chápeme ao ulový. Stupňa d je ich m d a číslujeme ich B d 0, B d 1,..., B d, de = m d 1. Defiičým oborom fucií stupňa d je iterval [t d, t m d ]. Tieto fucie majú opec zaujímavých vlastostí (ietoré sú podobé ao u Bersteiových polyómov): Sú ezáporé. N d i (t) je ladá a itervale (t i, t d+1 ); teto iterval sa azýva osič (agl. support). Sú uimodále (jedohrbé). Fucie stupňa d sa a itervale [t d, t m d ] sa sčítajú a oštatú jedotu. Teda N0 d (t) + N1 d (t) + + N(t) d = N d (t) = 1, pre t [t d, t m d ]. (21) =0 Sú to čiastovo polyomicé fucie (príslušého stupňa). V euzlovom bode sú hladé a v uzlove s ásobosťou r sú spojité rádu d r (trieda C d r ). Tvoria vetorový priestor dimezie + 1. 3.2 Vetorový priestor bázicých fucií TODO 3.3 B-splajové rivy Idea je rovaá ao u Beziérových rivie, le amiesto Bersteiových polyómov použijeme B-splajové bázicé fucie. Teda máme + 1 riadiach vrcholov V 0, V 1,..., V v ejaom Eulidovovsom priestore (rovia alebo priestor), uzlový vetor dĺžy m a a ňom defiovaé bázicé fucie stupňa d, pričom platí m = + d + 1. (22) 6
B-splajovou rivou (srátee B-splajom) rozumieme rivu N d (t) = V N d (t), pre t [t d, t m d ]. (23) =0 Jej záladé vlastosti sú: Loále riadeie, teda, eď pohem riadiacim vrcholom, ta sa zmeí aozaj le úso rivy. (TODO: Ktorý úso prese.) Silá vlastosť ovexého obalu, teda úso rivy od [t i, t i+1 ) leží v ovexom obale bodov V i d, V i d+1,..., V i. O spojitosti platí to, čo pre bázicé fucie. 3.4 De Boorov algoritmus Idea je podobá ao u Casteljauovho algoritmu. Povedzme, že chceme rivu vyčísliť v bode t [t i, t i+1 ]. Vezmeme tie riadiace vrcholy, toré majú a teto úso vplyv. To sú V i d, V id +1,..., V i. (Je ich d + 1.) Ozačíme ich, ao body ultej geerácie Vi d 0, V i d+1 0,..., V i 0. Následe geerujeme body ďalších geerácií tato: de TODO 3.5 Voľba uzlov V r = (1 α)v r 1 + αv r 1 +1, (24) α =. (25) A chceme, aby B-splaj začíal v bode V 0 a očil v bode V, ta musíme vhode zvoliť uzlový vetor. Meovite prvý a posledý uzol treba zvoliť s ásobosoťou d. Zvyšé uzly môžme zvloliť v pravidleých rozostupoch. Teda apr. pre m = 9, d = 3 (a teda = 5) vyzerá taý uzlový vetor apr. tato (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5). 5 (Toto defacto je ajbežejší uzlový vetor.) Občas chceme dostať uzavretú rivu (teda rivu, torá začía a očí v tom istom bode). TODO 3.6 Böhmov algoritmus vladaia uzla TODO 5 Šálovaie a posu sú dovoleé. Taže rovao dobrý je aj uzlový vetor (5, 5, 5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.5, 5.5). 7
3.7 Racioále B-splajy Ide o zovšeobeceie B-splajových rivie. Uvažujme všeto ta ao u ormálych B-splajov, ale avyše aždému riadiacemu V i vrcholu pridajme váhu w i. Potom racioálym B-splajom je N d (t) = =0 N d (t)w iv i =0 N d (t)w i (26) Občas sa tieto rivy volajú tiež NURBS (No-Uiform Ratioal B-Splie). (No-Uiform začí to, že uzlový vetor (postuposť) ie je pravidelý.) Časť II Plochy Plocha je podobe ao plocha, zobrazeie S : D E 3, de D je ejaá oblasť (podmožia) R 2. Opäť požadujeme hladosť a regulárosť S(u, v). Hladosť začí, ta ao u rivie dostatoče (ajlepšie eoeče) veľa derivácií. Regulárosť v tomto prípade začí, že prvé parciále derivácie S(u,v) u (ao vetory) v ľubovoľom bode rivy lieáre ezávislé. 4 Beziérove plochy a S(u,v) v Ide o tezorovo-súčiovú plochu. Máme sieť (mriežu) (m+1) (+1) riadiacich vrcholov V i,j, (0 i m, 0 j ). Potom Bezierova plocha stupňa m je B m, (u, v) = m i=0 j=0 boli V i,j Bi m (u)bj (v), pre u, v [0, 1]. (27) Vlastosti to má asrze podobé ao Beziérova riva (ovexý obal, pseudoloále riadeie.) Štyri rajé rivy B m, (u, 0), B m, (u, 1), B m, (0, v) a B m, (1, v) sú Beziérovými rivami určeé riadiacimi bodmi V i,0, resp. V i,, resp. V 0,j, resp. V m,j. Vo všeobecosti smerové u-rivy a v-rivy sú (ejaými) Beziérovými rivami. Derivácie treba rátať parciále, zvlášť podľa u a zvlášť podľa V. Existuje dvojrozmerý Casteljaou pre túto plochu. Pre jedoduduchosť predpoladajme, že platí m =. Idea je tá istá ao v jedorozmerom prípade: Máme fixé u, v. Na začiatu máme štvorcovú sieť ( + 1) ( + 1) pôvodých riadiacich vrcholov V 0,0 i,j geerácie 0, 0. V aždej ďalšej geerácii sa zmešuje straa štvorca o jeda, až ým edostaeme jediý vrchol. ( V r,r i,j = (1 u, u) V r 1,r 1 i,j V r 1,r 1 i+1,j V r 1,r 1 i,j+1 V r 1,r 1 i+1,j+1 ) (1 ) v, 0 < r, 0 i, j r v (28) 8
Samozrejme emusíme mať oba horé idexy (geerácie) rovaé a môžeme rátať všeobecejšie V p,q i,j = (1 u, u) ( V p 1,q 1 i,j V p 1,q 1 i+1,j V p 1,q 1 i,j+1 V p 1,q 1 i+1,j+1 ) (1 ) v, v pre 0 < p m, 0 < q, 0 i m p, 0 j q. (29) Dá sa to dooca voľe zamieňať s jedorozmerým Casteljauom áhode v ľuvolom zo smerov u, v (resp. prvý, druhý idex) a meiť ta v jedom rou le jede z horých idexov. Racioála verzia je o tom istom, le sa vrcholom pridajú váhy w i,j m B m, i=0 j=0 (u, v) = w i,jv i,j Bi m(u)b j (v) m i=0 j=0 w i,jbi m(u)b j (v), pre u, v [0, 1]. (30) 5 Beziérov trojuholí Tu je hrozá fita, plocha ebude defiovaá ad obĺžiom, ale ad trojuholíom. Presejšie ao defiičý obor berieme asledovú možiu trojíc {(u, v, w) u, v, w 0, u + v + w = 1}. (31) Najlepšie si je to predstaviť tato: Máme v rovie trojuholí A, B, C, potom aždý bod X roviy vieme apísať ao barycetricú ombiáciu bodov A, B, C, teda X = ua + vb + wc. Nás bude (za bežých oolostí) ale trápiť le vútro trojoholía A, B, C taže sa obdedzíme le a ovexé ombiácie t.j. u, v, w 0. Ďalej máme trojuholíovú sieť ( ) +2 2 riadiacich vrcholov (trocha haluze idexovaú) V i,j, (i, j, 0, i + j + = ). Potom Beziérov trojuholí stupňa je B (u, v, w) = i+j+= i,j, 0! i!j!! ui v j w V i,j,. (32) Tri rajé rivy sú Beziérovými rivami príslušých rajých riadiacich vrcholov. Existuje aj Casteljauov algorimtus pre teto trojuholí. Fuguje asi tato: Máme ejaé fixé (u, v, w), v torom chceme zrátať bod plochy. Máme body ultej geerácie tvoriace trojuholíovú sieť rádu (t.j. je ich ( ) +2 2 ). V aždom ďalšom rou sa teto rád zmeší o jeda podľa vzorca Vi,j, r = uv r 1 r 1 r 1 i+1,j, +vvi,j+1, +wvi,j,+1, pre i+j+ = r, i, j, 0. (33) Naoiec bod V 0,0,0 je bodom plochy, t.j. V 0,0,0 = B (u, v, w). Platí tiež (podobe ao pre Beziérove rivy), že Casteljau ám vygeeruje aj ové riadiace vrcholy troch meších trouholíov stýajúcich sa vo vyrátaom 9
bode. Riadiacimi vrcholmi prvého sú body Vi,j,0, druhého V j i,0, a tretieho V 0,j, i, pričom i + j + =, i, j, 0. O Beziérovom trojohulíu sa dá toho povedať ešte hroze veľa. Napr. o derivácii v ľubovoľom smere alebo o hladom spájaí trojuholíov. Existuje aj racioálu verzia, torú si iste aždý rád domyslí. 6 B-splajové plochy Zase le trápa tezoro-súčiová plocha, verá ópia Beziérovej plochy. 6 Máme dva uzlové vetory u 0 u 1... u p (pre smer u) a v 0 v 1... v q (pre smer v) Máme sieť (mriežu) (m + 1) ( + 1) riadiacich vrcholov V i,j, (0 i m, 0 j ). A stupe plochy r, s. Čísla p, m, r a q,, s spĺňajú rovosti Potom B-splajová plocha stupňa r s je N r,s (u, v) = m i=0 j=0 p = m + r + 1, (34) q = + s + 1. (35) V i,j Ni r (u)nj s (v), (u, v) [u r, u p r ] [v s, v q s ]. (36) Dvojrozmerý De Boorov algoritmus som ide evidel a ai esažil vymyslieť, ta sa môžte posažiť sami. Racioála verzia je podobá, vrcholom le pridáte váhy w i,j m N r,s i=0 j=0 (u, v) = w i,jv i,j Ni r(u)n j s (v) m i=0 j=0 w i,jni r(u)n j s(v). (37) 7 Priamové plochy 8 Jedoduchá Coosova záplata Máme štyri rivy v priestore X(u, 0), X(u, 1), X(0, v) a X(1, v). 7 Tieto štyri ryvy musia byť taé, aby v poradí prvá, tretia, druhá, štvrtá tvorili uzavretú rivu. 8 Našou úlohou je zostrojiť ejaú (rozumú) plochu X(u, v), X : [0, 1] [0, 1] E 3, torej by tieto štyri rivy boli rajými rivami. Začeme ajprv jedoducho, vezmeme priamovú plochu určeú prvou a druhou rivou: X C (u, v) = (1 v)x(u, 0) + vx(u, 1). 6 Trochu tu dochádza abeceda. 7 Ozačeie je a prvý pohľad dosť zavádzajúce a zmätočé, ale tato sa to beže všade píše. 8 Naše ozačeie si vlaste vyucuje. 10
Podobe možo zobrať priamovú plochu určeú treťou a štvrtou rivou: X D (u, v) = (1 u)x(0, v) + ux(1, v). Ideále by bolo ich ejao sombiovať. Na to, ao to urobiť, prišiel pá Coos. Myšliea je taá, že ich ščítame a od toho odpočítame bileáry iterpolat štyroch rohov X(0, 0), X(0, 1), X(1, 0) a X(1, 1). Te bilieáry iterpolat X CD vyzerá tato: X CD (u, v) = (1 u, u) Výsledá Coosova plocha je potom ( X(0, 0) X(0, 1) X(1, 0) X(1, 1) ) ( 1 v v ). X(u, v) = X C (u, v) + X D (u, v) X CD (u, v). (38) 9 Biubicá Coosova záplata Situácia je podobá ao u jedoduchej Coosovej záplate. Navyše vša máme predpísaé aj prieče derivácie (tzv. stuhy) pozdĺž hričých rivie. Teda orem rivie X(u, 0), X(u, 1), X(0, v) a X(1, v) sú daé aj derivácie v priečom smere a e X v (u, 0), X v (u, 1), X u (0, v) a X u (1, v). Idea je podobá ao pri jedoduchej záplate. Najpr zostrojíme pomocou Hermitovej rivy plochu X C (u, v), torá iterpoluje prvú a druhú rivu a má prieče derivácie v smere v a rajoch X v (u, 0), X v (u, 1) X C (u, v) = H 3 0 (v)x(u, 0) + H 3 1 (v)x v (u, 0) + H 3 2 (v)x v (u, 1) + H 3 3 (v)x(u, 1). Podobe v pre druhý smer X D (u, v) = H 3 0 (u)x(0, v) + H 3 1 (u)x u (0, v) + H 3 2 (u)x u (1, v) + H 3 3 (u)x(1, v). Naoiec ešte odčítame biubicý iterpolat X CD (u, v): X(0, 0) X v (0, 0) X v (0, 1) X(0, 1) H0 3 (v) X CD (u, v) = (H0 3 (u), H1 3 (u), H2 3 (u), H3 3 (u)) X u (0, 0) X uv (0, 0) X uv (0, 1) X u (0, 1) H1 3 (v) X u (1, 0) X uv (1, 0) X uv (1, 1) X u (1, 1) H2 3 (v) X(1, 0) X v (1, 0) X v (1, 1) X(1, 1) H3 3 (v) Výsledá biubicá Coosova záplata bude X(u, v) = X C (u, v) + X D (u, v) X CD (u, v). (39) 11