Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z, ) definită implicit de ecuaţia f, z ) 0 verifică relaţia z + z z + Ecuaţia dată defineşte în mod implicit pe z ca funcţie de şi deoarece este de tipul F,, z) 0 vezi Seminarul, eerciţiul 5). În acest caz ecuaţia devine ) f, z,) 0 Epresia care apare depinde doar de şi. Să o derivăm parţial în raport cu şi. Pentru aceasta vom deriva f ca pe o funcţie compusă. Să notăm mai întâi Avem ecuaţia α, ) z,), β, ) f α, ), β, )) 0 Au loc următoarele reguli de derivare a funcţiilor compuse: În cazul nostru avem şi z,) z,) + + 0 z,) z, ) z, ) z, ) z, ) z,) z, ) z dacă derivăm parţial ecuaţia f α, ), β, )) 0 obţinem { 0 0 + z, ) z, ) 0 ) + z, ) 0,)
z,) z,) z,) Atunci epresia de calculat este z, ) z, ) + ) z, ) z, ) + z, ) z, ) + z, ) + + z, ) + ) +. Să se determine punctele de etrem ale funcţiei ) definită implicit de ecuaţia: a) + 4 3 0, b) + 5 + 4 + 0 temă) a) Ecuaţia dată este de tipul F, ) 0 care defineşte pe ca funcţie de. Deci dacă privim ) atunci ecuaţia devine ) + ) 4 3 0 Epresia care apare este funcţie doar de. Să derivăm în raport cu : ) + ) 4 3 0 ) ) + 4 ) + ) 4 0 )) ) + ) Deci am calculat derivata funcţiei ), iar acum vom aplica teoria de la etreme de funcţii de o singură variabilă teorie făcută în liceu). Amintim că în Seminarul 3 am studiat etreme de funcţii de două şi trei variabile. Deci determinăm punctele staţionare, date ca soluţia ecuaţiei )) ) 0 0 ) ) / + ) Acum dacă introducem acest în ecuaţia iniţială obţinem /) + / 4 3 0 + 4 3 0 3 + 3 0 ) Eventualele soluţii întregi ale ecuaţiei de mai sus se găsesc printre divizorii termenului liber. Facem proba şi găsim că este soluţie. Deci polinomul se împarte la + ), avem 3 + 3 + ) + ) Acum 4 ) 9, şi rădăcinile sunt şi /,, folosind obţinem a + b + c a ) ) 3 + 3 + ) + ) + ) + ) /) + ) )
Deci soluţiile ecuaţiei ) sunt / şi. Dar în punctul cu ) observăm că nu eistă ) ) )) 0 ) + ) 0!. Deci singurul punct staţionar rămâne /. Acum studiem dacă acest punct este sau nu de etrem. Vom calcula derivata secundă în acest punct )) +) ) +)) )) +)) +)) 0 ) )) +)) )) + ) ) ), folosind că /) 0 /) +)) /) / ) /) /4+/)) / /)) + ) /) /)/4+/)) / /)) /4+/)) /4+/)) Acum dacă punem / în ecuaţia iniţială obţinem /) + /) /) 4 /) 3 0 /) + / /) 5 0 /) /)/4+/)) / /)) /) 4 /) + /) /4+/)) /4+/)) /)+ /) 4 /4+/)) Acum dacă se introduc soluţiile de mai sus /) ± 4 4 ), vom onţine că /) < 0 ceea ce înseamnă că punctul / este punct de maim. b) Avem ) + 5 ) + 4 ) + 0 ) ) + 0 ) ) + 4 ) 0 ) 5) Acum pct. staţionare date de ) 5 ) ) 0 ) ) /5 ) pe care îl introduc în ecuaţia iniţială şi voi determina soluţiile... 3. Să se determine punctele de etrem ale funcţiei z, ) definită implicit de ecuaţia: a) + + z z z + + + z + 0, b) 4 + 4 + z 4 a + + z ) temă) a) Ecuaţia este de tipul F,, z) 0 şi defineşte pe z ca funcţie de şi. Deci dacă privim z z, ) atunci ecuaţia devine + + z, ) z, ) z, ) + + + z, ) + 0 3
Epresia care apare este funcţie de şi. Să derivăm parţial în raport cu. + + z, ) z, ) z, ) + + + z, ) + 0 + 0 + z, ) z, ) z, ) z, ) z, ) + + 0 + z, ) + 0 0 z, ) + ) + z, ) + ) z, ) 0 z, ) z, ) z, ) + Să derivăm parţial în raport cu. + + z, ) z, ) z, ) + + + z, ) + 0 0 + + z, ) z, ) z, ) z, ) z, ) + 0 + + z, ) + 0 0 z, ) + ) + z, ) + ) z, ) 0 z, ) z, ) z, ) + { z, ) z, ) 0 Deci punctele staţioanare sunt date de z, ) 0 z, ) + 0 z, ) z, ) + 0 { z, ) + z, ) + z, ) + + z, ) + şi Introducem în ecuaţia iniţială şi obţinem + + + ) + ) + ) + + + + ) + 0 + + ) + ) + 4 + + ) + 0 + 4 + 8 + 4 4 4 + 4 + 4 + 4 + 0 + 6 + 5 ) 0 care are soluţiile şi 5. Deci punctele staţionare sunt perechile în care 5 z, ) 0 z, ) 8 Studiem dacă punctele sunt sau nu de etrem. Aplicăm Seminarul 3, eerciţiul. Se vor calcula z, ) z,) z,) + z,) 0 ) z,) +) z,) ) z,) z,) +) z,) )z,) + z,) +) z ),) 0+0 z,) +) 4
z, ) z,) z,) + z ),) 0 0 z,) +) z,) ) z,) z,) +) z,) )z,) + z,) +) z,) 0 +0 ) z,) +) z, ) z,) z,) + z,) z,) +) z,) )z,) + z,) +) z ),) 0 z,) +) z,) ) z ),) 0 +0 z,) +) Studiem dacă, ) este de etrem sau nu. Se calculează A z, ) B z, ), C z, ) şi se va studia semnul lui B AC Analog acelaşi calcul pentru punctul staţionar 5, 5)... 4. Să se determine punctele de etrem ale funcţiei f, ) + condiţionate de ecuaţia + a Vom aplica metoda multiplicatorilor Lagrange Observaţia 35, pag. 0). Astfel Pasul I: asociem funcţia lui Lagrange L,, λ) f, ) + λf, ) unde f, ) este funcţia care este studiată şi F, ) 0 este ecuaţia de legătură care este impusă, în cazul nostru F, ) + a L,, λ) + ) + λ + ) a Pasul II: Se rezolvă acum sistemul, în necunoscutele,, λ) 0 0 λ 0 + 0 + λ ) + 0 0 0 + λ ) 3 0 3 λ adică 0 + + λ 0 + ) 0 0 + λ ) 3 0 3 λ 0 + + ) a 0 + a 0 + a avem 3 3 λ adică şi atunci + a a a, ±a Avem soluţiile a, λ a ) 3 / a 3 5
şi a, λ a ) 3 / a 3 Pasul III: Se ia mai întâi λ a 3. În acest caz funcţia lui Lagrange devine L, ) + ) + a 3 + ) a Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea în punctul, ) a, a ) Avem d L, ) L, ) d + L, ) dd + L, ) d L + a 3 ) 3 a3 3) 4 6a 3 4 L + a 3 ) 3 0 L + a 3 ) 3 a3 3) 4 6a 3 4 d L, ) 6a 3 a 4 ) d + 0 dd + 6a 3 a ) 4 d 3 d + d ) > 0 a adică forma pătratică d L, ) este pozitiv definită punctul a, a ) este punct de minim Analog se ia λ a 3. În acest caz funcţia lui Lagrange devine L, ) + ) a 3 + ) a Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea în punctul, ) a, a ). Avem d L, ) L, ) d + L, ) dd + L, ) d L a 3 ) 3 a3 3) 4 6a 3 4 L a 3 ) 3 0 L a 3 ) 3 a3 3) 4 6a 3 4 Avem ca mai sus că d L, ) 6a 3 a 4 ) d + 0 dd 6a 3 a ) 4 d 3 d + d ) < 0 a adică forma pătratică d L, ) este negativ definită punctul a, a ) este punct de maim. 6
5. Să se determine punctele de etrem ale funcţiei f condiţionate de ecuaţia respectivă: a) f,, z) + + z, cu legătura + + z 3, b) f,, z) z, cu legătura + + z temă) Vom aplica metoda multiplicatorilor Lagrange Notăm L,, z, λ) f,, z) + λf,, z) unde F,, z) 0 este ecuaţia de legătură adică F,, z) + + z 3. L,, z, λ) + + z ) + λ + + z 3) Se rezolvă acum sistemul, în necunoscutele,, z, λ) 0 0 z 0 λ 0 + 0 + 0 + λ + 0 + 0 0) 0 + λ 0 0 + + 0 + λ 0 + + 0 0) 0 + λ 0 0 + 0 + z + λ 0 + 0 + 0) 0 z + λ 0 0 + + + z 3) 0 + + z 3 0 λ z z şi din ultima obţinem că 3 0 Deci soluţia este z, λ Pentru λ funcţia lui Lagrange devine şi acum se va calcula iar L,, z) + + z ) + + z 3) d L,, z ) L,, z ) d + L,, z ) d + L zz,, z ) dz + +L,, z ) dd + L z,, z ) ddz + L z,, z ) ddz L ), L ), L zz z ) z L ) 0, L z ) z 0, L z ) z 0 d L,, ) d + d + dz + 0dd + 0ddz + 0ddz d + d + dz ) > 0 7
adică forma pătratică d L,, ) este pozitiv definită punctul,, ) este punct de minim Observaţie: uneori pentru studia semnul lui d L este utilă şi diferenţierea legăturii. De eemplu în cazul acesta avem legătura + + z 3 pe care o diferenţiem şi obţinem d + d + dz 0 care reprezintă o legătură între diferenţiale, dz d d 6. Să se arate că funcţiile următoare sunt în dependenţă funcţională: a) f,, z) 4 3 + 5z, g,, z) 3 + 4z, h,, z) 6 5 + 7z b) f,, z) ln + + z + z, g,, z), h,, z) + z + + z Aplicăm Teorema 86, pag. 3 a) A studia dependenţa funcţională înseamnă a calcula derivatele parţiale şi a calcula determinantul z g g g 4 3 5 z 3 4 h h h 6 5 7 4 4 5 7 3) 3 4 6 7 + 5 3 6 5 z 4 4 0))+3 4)+5 5 )) 4 4 + 0)+3 4)+5 5 + ) 4 6 + 3 3) + 5 3) 4 9 5 0 Dacă determinantul este 0 atunci inseamnă că cele trei funcţii sunt dependente funcţional. 4 3 5 Rangul matricii A 3 4 este deoarece 4 3 3 0 două funcţii sunt 6 5 7 independente şi a treia se eprimă în funcţie de primele două. b) Trebuie calculate derivatele parţiale ln + + z ln + + z z ln + + z z + + +z +z +z) +) z + +z) +)+z) +z + + +z +z + +z + + +z + + +z +z + + ) +z + z) z z +z) +z +z 8
g + z + g + z + g + z z + h + z + z z +z + +z +, +z + + + +z + z) +z + z) +) + +z + + +) +z) +z + z +) +z +) h + z + z, h + z z + z z şi se va calcula deteminantul şi se va obţine că 0 cele trei funcţii sunt dependente funcţional. 9