Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia

12. kaitola Nededuktívne módy usudzovania abdukcia a indukcia 12.1 Úvodné oznámky Americký filozof a logik Charles S. Peirce (čítaj ako ers ), ktorý je známy ako soluzakladateľ filozofického smeru ragmatizmus (veľmi oulárneho v 1. olovici minulého storočia hlavne v USA), sa stal známym svojou klasifikáciou nededuktívnych metód inferencie, od už známej indukcie oddelil tzv. abdukciu ako metódu nezávislú od indukcie, často využívanú ri tvorbe hyotéz vysvetľujúcich nejaké ozorované javy (nar. lekárske diagnózy). Obrázok 12.1. Americký filozof, logik a matematik Charles Sanders Peirce (1839-1914). Pierceho úvahy vychádzali z ravidla modus onens a z jeho možných ďalších kombinácií (bez ohľadu na to, či sú latné, alebo nie, redovšetkým v druhom a v treťom riadku) dedukcia Indukcia abdukcia Prvý stĺec je riradený štandardnému deduktívnemu módu inferencie založenému na ravidle modus onens. Treba oznamenať, že táto tabuľka má hlavne heuristický význam, bez ožadovania hlbšieho významu jednotlivých módov inferencie. Peirceov rístu oužijeme hlavne re jeho jednoduchosť a názornosť, aj keď z ohľadu moderných rístuov k štúdiu inferencie sa už javí trochu ťažkoádnym. Moderný ohľad na nededuktívnu inferenciu vznikol hlavne zásluhou informatiky (umelej inteligencie), kde sa intenzívne študujú metódy odvodzovania nových oznatkov omocou zovšeobecnenia a tvorby hyotéz z databázy oznatkov. 1/13 kaitola

12.1.1 Dedukcia Podľa Peircea je dedukcia charakterizovaná zákonom modus onens alebo latným sylogizmom B a A C i B C i A (ozri ka. 4). Uvediem jeho klasický ríklad s fazuľami teória : všetky fazule z tejto fľaše sú biele ozorovanie : tieto fazule sú z tejto fľaše záver : tieto fazule sú biele Pre deduktívnu inferenciu je odstatné, že latnosť (ravdivosť) záverov vylýva z latnosti remís, nemusí sa analyzovať obsahový význam remís, či a kedy sú latné, a otom, na základe ich latnosti, či a kedy je záver latný. Z tejto skutočnosti vylýva, že ri deduktívnej inferencii nevzniká nová informácia, ktorá by nebola už obsiahnutá v remisách. Pretože máme hlavne záujem o také inferenčné módy, kde informácia záveru už nie je bezrostredne obsiahnutá v remisách (ričom sa musia vykonávať určité mimologické činnosti oerácie), ale je novo vytvorená, obrátime našu ozornosť na ďalšie inferenčné módy uvedené Peirceom, a to na indukciu a dedukciu. 12.1.2 Indukcia Peirce charakterizuje indukciu omocou schémy ktorej záver je ravdivý, ak remisy a sú ravdivé, alebo ( ) ( ). Z tejto schémy vlastne vylýva, že ak súčasne sú ravdivé remisy a, otom tieto remisy môžu vytvárať asociáciu. Fazuľový tvar Peirceho sylogizmu indukcie je teória : tieto fazule sú z tejto fľaše ozorovanie : tieto fazule sú biele záver : všetky fazule z tejto fľaše sú biele Táto schéma inferencie nie je vo všeobecnosti latná (indukčné zovšeobecnenie), latnou sa stáva len vtedy, ak môžeme rozšíriť latnosť ozorovania na všetky fazule z flaše. Budeme rozlišovať dva rocesy ri tomto indukčnom zovšeobecnení, rvý sa nazýva verifikácia a druhý je falzifikácia. Verifikácia znamená, že neustále hľadáme také fazule re ktoré latí záver všetky fazule z tejto flaše sú biele. Proces verifikácie záveru je never ending story, neustále môžeme hľadať nové a nové ilustratívne ríklady latnosti záveru. Žiaľ, tento verifikačný roces len neatrne zvyšuje naše oznanie. Omnoho dôležitejší je roces falzifikácie, stačí nájsť jeden ríklad re ktorý nelatí záver, nar. vo flaši existuje fazula, ktorá je čierna, otom indukčné zovšeobecnenie záver je neravdivý. Na tento dôležitý moment falzifikácie indukčného zovšeobecnenia rvý uozornil rakúsko anglický filozof Karl Poer [31], ktorý charakterizoval vedu ako ostunosť falzifikovania hyotéz. V súčasnej filozofii vedy sa od falzifikáciou rozumie idea, že okrok vo vede sa uskutočňuje rostredníctvom slobodnej kritiky, 2/13 kaitola

ktorá nie je ničím a nikým obmedzovaná. Len hyotézy, ktoré sú schoné orovnania s exerimentmi, umožňujú vedecký okrok, nar. hyotéza zlato je rozustné v kyseline chlorovodíkovej je vedecká (aj keď neravdivá) hyotéza; niektoré homeoatické lieky sú vskutku účinné je nevedecká hyotéza (aj keď môže byť ravdivá). Prvá hyotéza je vedecká reto, že môže byť falzifikovaná jednoduchým exerimentom. Druhá hyotéza o homeoatikách je nevedecká z dôvodu, že jej exerimentálna falzifikovateľnosť je veľmi roblematická, môže byť falzifikovaná (čo sa aj často deje) omocou našich všeobecných redstáv o fyzikálnych a chemických vlastnostiach hmoty 1. Nefalzifikovateľné teórie sa odobajú očítačovému rogramu, ktorý nemá výstu, teda nemáme šancu výstu testovať. Falzifikovateľné teórie môžeme kontrolovať omocou chýb, ktoré rodukujú, keď sú alikované na situácie reálneho sveta. 12.1.3 Abdukcia Tretí inferenčný mód navrhnutý Peirceom je abdukcia, ktorá je šecifikovaná schémou ktorá nie je logickým zákonom (v 4. kaitole táto schéma bola nazvaná otvrdenie dôsledku). To znamená, že z latnosti remís a chceme vyvodiť aj latnosť, čo vo všeobecnosti nie je možné a vyššie uvedená schéma sa okladá za ríklad chybného uvažovania. Podívajme sa na túto schému alternatívnym sôsobom navrhnutým Pierceom. Premisu okladajme za teóriu, ktorá sája do kauzálneho reťazca a, výskyt ríčiny zaručuje aj výskyt ríznaku. Na tento kauzálny reťazec je možný aj inverzný ohľad (stanovenie diagnózy), výskyt ríznaku je odôvodnený výskytom ríčiny. Táto šecifikácia abdukcie vedie niektorých autorov aj k tomu, že abdukciu nazývajú sätný modus tollens. Piercov fazulový ríklad abdukcie má tvar teória : všetky fazule z tejto fľaše sú biele ozorovanie : tieto fazule sú biele hyotéza : tieto fazule sú z tejto fľaše Pri tvorbe hyotéz omocou abduktívnej inferencie možno uviesť vždy niekoľko alternatívnych ríkladov, ktoré sú konzistentné s danou teóriou. Tak naríklad, vyššie uvedený fazuľový ilustračný ríklad môže taktiež obsahovať hyotézu tieto fazule sú od Jana, ktorá taktiež konzistentne vysvetľuje ozorovanie: tieto fazule sú biele. Máme teda dve hyotézy h 1 : tieto fazule sú z fľaše h 2 : tieto fazule sú od Jana 1 Pre dosiahnutie vedeckosti hyotézy by bolo treba šecifikovať, ktoré homeoatické lieky majú byť účinné. Samotné vedecké overenie by otom vyžadovalo štatistickú analýzu dostatočne veľkej vzorky acientov liečených jednak homeoatikom, jednak čistou vodou (tzv. sleý okus), aby sa odstránil lacebo efekt. 3/13 kaitola

Stojíme red roblémom, ktorú hyotézu vybrať ako rijateľnejšiu. Je to zložitý filozoficko-metodologický roblém, ktorý sa dotýka riamo základov vedy. V tejto súvislosti sa často somína kritérium Ockhamova britva, riisované anglickému stredovekému scholastikovi františkánskemu mníchovi Williamovi z Ockhamu, odľa ktorého veci majú byť len také zložité, ako je to otrebné (entia non sunt multilicanda raeter necessitatem). Druhá hyotéza h 2 obsahuje novú entitu Jano, ktorá sa nevyskytuje v teórii, reto druhá hyotéza má slabšiu latnosť ako rvá hyotéza, retože zavádza ad hoc novú entitu Jano. V súčasnosti rincí Ockhamova britva sa taktiež nazýva rincí jednoduchosti, odľa ktorého jednoduchšie vysvetlenie je lešie ako iné zložitejšie vysvetlenie, alebo hyotézy nemajú byť zbytočne zložité. Toto kritérium jednoduchosti sa často oužíva vo filozofii vedy vtedy, keď si máme vybrať medzi hyotézami, ktoré majú rovnakú vysvetľovaciu schonosť. Švajčiarsky sisovateľ von Däniken 2 môže mať ravdu v tom, že ravekých ľudí mimozemšťania učili umeniu a inžinierstvu, avšak nemusíme redokladať ich návštevu na to, aby sme vysvetlili schonosť ravekých ľudí maľovať a zostrojovať kamenné stavby a jednoduché mechanické zariadenia. 12.2 Moderná formulácia indukcie a abdukcie Budeme hľadať soločné vlastnosti indukcie a abdukcie. Obe obsahujú remisu teóriu, omocou ktorej sa na základe ozorovania vytvára buď záver zovšeobecnenie alebo záver hyotéza. V čom sa odstatne odlišujú, je, že re indukciu obvykle máme vždy len jeden záver zovšeobecnenie, re abdukciu obvykle na základe remisy (teórie) vytvárame celú množinu alternatívnych hyotéz. To taktiež znamená, že abdukcia musí mať ako svoju integrálnu časť nejakú rocedúru výberu výslednej hyotézy z množiny alternatívnych hyotéz. Pristúme najrv k všeobecnej formulácii indukcie, ktorá je založená na týchto ojmoch [xx]: ozorované dáta (ríklady), teória (v ozadí) Γ, ktorá tvorí teoretický základ vysvetlenia ozorovaných javov a tvorby záveru, záver Φ, ktorý omocou teórie Γ deduktívne vysvetľuje ríklady. Budeme ostulovať, že tieto tri ojmy vyhovujú takýmto odmienkam: (1) ozorované dáta nie sú deduktívne vysvetliteľné omocou teórie Γ, ak by ozorované dáta riamo deduktívne vylývali z teórie Γ, otom (2) rozšírenie teórie o dáta je konzistentné, a (3) ozorované dáta sú deduktívne vysvetliteľné omocou rozšírenia teórie o hyotézu. Potom hovoríme, že záver Φ induktívne vylýva z teórie Γ. Šecifikácia abdukcie taktiež vyžaduje rovnaké tri ojmy: dáta, teóriu a záver, Φ. Potom ktorý je teraz substituovaný množinou alternatívnych hyotéz { } abduktívnym vysvetlením ozorovaní je hyotéza Φ { } Γ najlešie vysvetľuje ozorovania Φ = arg max vhodnosť Φ ot { } Φ Φ ot ( ) Φ, ktorá solu s teóriou 2 Erich von Däniken (nar. 1935) je švajčiarsky ublicista, ktorý naísal niekoľko veľmi oulárnych kníh (reložených aj do slovenčiny, nar. Somienky na budúcnosť ), kde rozvíjal ideu, že ľudstvo v dávnej minulosti navštívili mimozemšťania, ktorí usmernili jeho vývoj do súčasnej odoby. 4/13 kaitola

kde vhodnosť ( ) je funkcia, ktorá ohodnocuje vhodnosť alternatívnych hyotéz. inferencia deduktívna inferencia nededuktívna inferencia dedukcia indukcia abdukcia Obrázok 12.2 Klasifikácia inferenčných módov. V rvom najvšeobecnejšom rístue delíme módy inferencie na deduktívne a nededuktívne. V druhom rístue sa nededuktívne módy delia na indukciu a abdukciu. Z týchto dvoch všeobecných šecifikácií indukcie a abdukcie vylýva, že medzi indukciou a abdukciou je len malý formálny rozdiel, a to ten, že ri abdukcii sa exlicitne riúšťa množina alternatívnych hyotéz, zatiaľ čo ri indukcii sa riúšťa len jeden záver (hyotéza), ozri obr. 12.2. Klasifikačné schéma nededuktívnej inferencie môže mať dve limitné odoby. Prvá je taká, ktorá cháe abdukciu ako šeciálny ríad indukcie, druhá je oačná, cháe indukciu ako šeciálny ríad abdukcie. 11.3 Abdukcia v každodennom živote Ako už bolo uvedené v úvodnej časti tejto kaitoly, nededuktívna inferencia je súčasťou nášho každodenného života. Našu ozornosť teraz usmerníme na význam abdukcie. Uvedieme štyri jednoduché ríklady, ktoré dobre ilustrujú jej význam v našom živote, ri interretácii a ochoení rostredia v ktorom žijeme a komunikácie v rirodzenom jazyku s inými ľuďmi. 1. Rozoberme tento rozhovor: A: Prečo sme zaarkovali ri tejto benzínovej ume? B: Pretože máme skoro rázdnu benzínovú nádrž. A: Na základe čoho takto usudzuješ? B: Pretože indikátor uozorňuje na skutočnosť, že benzínová nádrž je skoro rázdna. Nemám dôvod domnievať sa, že indikátor je okazený a taktiež už ulynul dlhý čas odvtedy, čo som naosledy nalnil nádrž benzínom. Za určitých okolností skoro rázdna benzínová nádrž je najlešie možné vysvetlenie skutočnosti, že svieti indikátor stavu aliva v nádrži. Môžeme rijať aj iné vysvetlenie (nar. že indikátor je okazený), ale toto vysvetlenie je odstatne menej rijateľné ako akcetované vysvetlenie (nádrž je rázdna). 2. Pri odchode z ráce autom sme si všimli, že už dlhšiu dobu za nami ide červené auto. Dvakrát neočakávane zabočíme autom do iného smeru, o chvíli zistíme, že za nami je oäť červené auto, aj keď už nie je tak blízko ako redtým. Naraz si somenieme, že sme zabudli v ráci svoj notebook, tak sa rozhodneme vrátiť sa reň do ráce. Po zložitom manévrovaní sa nám odarí dostať auto na trasu do našej ráce. Po niekoľkých okamžikoch znovu sozorujeme, že za nami je rovnaké 5/13 kaitola

červené auto. Prvá naša hyotéza na vysvetlenie týchto skutočností je, že sme sledovaní; avšak nevieme si redstaviť dôvody toho, že by sme mali byť sledovaní. Preto rijmeme druhú alternatívnu hyotézu, že sa jedná o neuveriteľnú náhodu. 3. Príklad zo súdu. Predokladáme, že výoveď svedka je ravdivá, akcetovanie tejto hyotézy je založené na týchto dôvodoch: (1) redokladáme, že hovorí ravdu, retože mu veríme, (2) usudzujeme, že tomu tak je, retože výoveď, v ktorej oísal danú situáciu, bola veľmi dôveryhodná. Naša viera v dôveryhodnosť výovede je založená na našich záveroch, že okladáme výoveď svedka za najlešie akcetovateľné vysvetlenie (hyotézu) danej situácie. Naša dôvera vo výoveď sa odstatne zmení, ak začneme okladať za rijateľné iné hyotézy na vysvetlenie výovede svedka, naríklad, že svedok si chce získať našu dôveru. Pre tento ty usudzovania je odstatná skutočnosť, že ri vysvetľovaní ozorovaní neoužívame len možné hyotézy, ale aj otimálne hyotézy, ktoré najlešie vysvetľujú skutočnosti v orovnaní s inými hyotézami. 4. Na záver uvedieme ríklad tvorby hyotézy v našom každodennom živote. Ako ilustratívny ríklad oužitia tejto hyotézy uvedieme nasledujúci negatívny ríklad: Vraciam sa domov neskoro v noci, aj keď som sľúbil manželke, že rídeme ešte red TV srávami. Neríjemne zaáchajúci cigaretovým dymom a alkoholom, stojím red roblémom ako jej vysvetlím túto skutočnosť, rečo som rišiel tak neskoro. Porušenie zásady Occamovej britvy je vysvetlenie, že na streche fakulty ristálo UFO a ja som bol ožiadaný dekanom fakulty, aby som s nimi komunikoval, čo sa neríjemne dlho retiahlo a bol som s nimi rinútený iť víno a fajčiť cigarety, aj keď už som dávno restal fajčiť a iť alkohol. Príklad 12.1. Koná sa oslava, Ján, Júlia, Klára a Štefan sú otenciálni účastníci tejto oslavy. K tomu, aby sme mohli zaísať študovaný roblém omocou formúl výrokovej logiky, zavedieme tejto štyri výroky: Ján ôjde na oslavu Júlia ôjde na oslavu r Klára ôjde na oslavu s Štefan ôjde na oslavu Avšak, ako to často býva, ich účasť je ohraničenú troma odmienkami Ján alebo Júlia ôjdu na oslavu. ( r s) Ak Júlia ôjde na oslavu, otom na oslavu ôjde tak Klára ako aj Štefan. s Ak neôjde na oslavu Ján, otom ôjde na oslavu Štefan. Našim cieľom je zistiť, za akých odmienok sa Štefan zúčastní oslavy, t.j. budeme riešiť roblém, kedy z teórie T =, r s, s { ( ) } vylýva, že Štefan sa zúčastní oslavy, T s, alebo ekvivalentné vyjadrené takto omocou formule (ozri vetu 2.3) (( ) ( ( )) ( )) r s s s Túto formulu môžeme jednoducho reísať omocou jej negácie do tvaru r s s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6/13 kaitola

Alikujeme metódu sémantických tabiel k analýze kontradikčnosti formule ( ), aby sme zjednodušili generované sémantické tablo, v rvom kroku odstránime z formule imlikácie r s s s ( ) ( ) ( ) ( ) Príslušný strom sémantického tabla T je znázornené na obr. 3.4, diagram A. Toto sémantické tablo nie je uzavreté, obsahuje jednu vetvu, ktorá je otvorená, čiže formula ( ) nie je kontradikciou, je len slniteľná. To znamená, že nelatí T s, t.j. výrok s nie je dôsledkom teórie T. Môžeme si oložiť zaujímavú otázku, ako rozšíriť teóriu T na novú teóriu T (kde T T ), aby výrok s už bol dôsledkom tejto novej teórie. K tomuto účelu nám dobre oslúži sémantické tablo T z obr. 6, diagram A. Našim cieľom bude také rozšírenie teórie T, aby otvorené vetve tabla sa stali uzavretými. Teóriu rozšírime o tento výrok Ak Júlia neôjde na oslavu, otom aj Ján neôjde na oslavu. Rozšírená teória má tvar T =, r s, s, ( ) { ( ) } otom formula (1.4) je rozšírené o ríslušnú konjunkciu, ktorá je riradená novej odmienke z rozšírenej teórie T r s s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sémantické tablo re túto formulu je znázornené na obr. 6, diagram B. Z obrázku vidíme, že sémenatické tablo re takto rozšírenú teóriu ( ) sa už sa stalo uzavretým, T s. s s s s s s s s ( r s) ( r s) s s ( r s) ( r s) r s r s r s r s r s A r s r s B r s Obrázok 12.3. (A) Otvorené sémantické tablo zostrojené re teóriu T šecifikovanú ( ). (B) uzavreté sémantické tablo zostrojené re rozšírenú teóriu ( ) z rovnakého ríkladu. Z tohto jednoduchého ríkladu vylýva, že metóda sémantického table je vhodným rístuom vtedy, keď sa snažíme rozšíriť danú teóriu tak, aby nové rezultujúce tablo bolo už uzavreté, zo stromovej štruktúry tabla sa dá jednoducho 7/13 kaitola

odvodiť, akým sôsobom sa má vykonať také rozšírenie teórie, aby sémantické tablo bolo uzavreté. 12.4 Sémantické tablá a roblém abdukcie vo výrokovej logike Moderný rístu k šecifikácii abdukcie sočíva v jej formulovaní veľmi blízkemu T = ϕ, ϕ,..., ϕ je konzistentná teória, deduktívnemu usudzovaniu. Nech { 1 2 n} M ( ) avšak T ϕ, t. j. M ( ) M ( ϕ) T, a nech ϕ je ozorovanie, ktoré chceme vysvetliť omocou danej teórie T, T. Z týchto dôvodov v rámci množiny hyotéz (nazývanej o angl. abducible) = { α1, α2,..., α } H hľadáme takú hyotézu α H, ktorá solu s teóriou deduktívne vysvetľuje ozorovanie ϕ T α ϕ (12.1a) { } čo je ekvivalentné množinovo-teoretickej relácii (ozri obr. 8) M T M α M ϕ (12.1b) ( ) ( ) ( ) kde redokladáme, že aj rozšírená teória T o hyotézu α je konzistentná M T α = M T M α (12.1c) ( { }) ( ) ( ) Poznamenajme, že množinovo-teoretická relácia (16b) tvorí teoretický základ nášho rístuu k riešeniu takto formulovanej abdukcie, t. j. hľadaniu hyotézy α. Umožňuje nám algebraizovať roces abdukcie, kde centrálnu úlohu hrá relácia (16b), ričom dominantnú úlohu v tomto rocese bude hrať technika sémantických tabiel. M(ϕ) M( T) M( α) Obrázok 12.4. Diagramatické znázornenie množinovej relácie M ( T ) M ( α) M ( ϕ) odmienku re existenciu tautologického vylývania T { α} ϕ., ktorá tvorí Na záver tejto úvodnej časti o abdukcii uvedieme niekoľko oznámok o tom, rečo abdukcia atrí medzi nededuktívne módy usudzovania, aj keď relácia (16a) ma striktne deduktívny charakter. Hlavný dôvod k tomuto odlíšeniu sočíva v skutočnosti, že v očiatočnej etae usudzovania stojíme red roblémom výberu hyotézy α z množiny možných hyotéz, ktoré zachovávajú konzistentnosť teórie α H a tiež umožňujú tautologické vylývanie (16a) ozorovania ϕ z rozšírenej teórie T {α}. Tento výber sa deje mimologickými rostriedkami, kde sa oužívajú rôzne heuristiky o jednoduchosti (a ekonomičnosti). V tejto súvislosti riomeňme ravidlo Occamovej britvy, odľa ktorého dôvody nesmú byť zložitejšie, než ako je otrebné, moderná alternatívna formulácia tohto ravidla je najjednoduchšie vysvetlenie ozorovaného javu, ktoré je konzistentné so súčasným stavom vedy, je najväčšou ravdeodobnosťou korektné vysvetlenie. Môžeme teda konštatovať, že roblém výberu hyotézy je minimalizačný roblém, α = arg min f α (17) ot α H ( ) 8/13 kaitola

kde f(α) je účelová funkcia, ktorá vyhodnocuje ekonomičnosť danej hyotézy α, ktorá je založená na mimologických rostriedkoch. Práve riešenie tohto roblému (17) je hlavným dôvodom toho, rečo je abdukcia okladaná za nededuktívny mód usudzovania, aj keď riešenie relácie (16a) je už striktne deduktívne. V našich ďalších úvahách o abdukcii budeme otrebovať vlastnosť sémantických tabiel, ktorá súvisí s ich redĺžením o nový oznatok α. Táto vlastnosť je formulovaná do nasledujúcej vety. Veta 12.1. T T α je sémantické tablo s koreňovým vrcholom, ktorý je tvorený ( ) Nech { } konjunkciou elementov z teórie T a formuly α, t. j. Θ = ϕ1 ϕ2... ϕn α. Toto sémantické tablo môže byť vytvorené redĺžením otvorených vetiev tabla T ( T ) o formulu α (ozri obr. 9). T ( T) T ( T { α}) o o x x otvorené vetvy uzavreté vetvy T ( α) T ( α) x x Obrázok 12.5. Sémantického tabla ( T { α} ) T ( T ) omocou otvorených vetiev o sémantické tablo ( α) otvorené ako aj uzavreté.... o x o... x T môže byť interretované ako redĺženie tabla T, ričom vytvorené vetvy môžu byť tak Obrázok 12.6. Znázornenie redĺženia sémantického tabla z ríkladu 11. Tento modulárny rístu T T re teóriu šecifikovanú ako zjednotenie dvoch odteórií, ku konštrukcii sémantického tabla ( ) T = T { α}, umožňuje efektívne analyzovať rocesy usudzovania založené na rozširovaní ôvodnej teórie o nové oznatky. 9/13 kaitola

Príklad 12.2. Nech teória T = {, r} a r tablo T ( T { α} ) môže byť vytvorené redĺžením tabla T ( T ) o tabla ( α) ričom redlžujeme len otvorené vetvy tabla T ( T ), ozri obr. 12.7. α =. Podľa vety 7 sémantické T, Obrázok 12.7. Použitie techniky redĺženia sémantického tabla k riešeniu roblému abdukcie, t. j. T = T α. Hľadaná formula α musí mať taký tvar, aby hľadaniu takej formuly α, aby latilo { } rezultujúce rozšírené sémantické tablo T ( Θ) bolo uzavreté. Pomocou vety 12.1 môžeme ristúiť k štúdiu abdukcie, menovite technikou sémantických tabiel zostrojíme techniku omocou ktorej uravíme reláciu T ϕ tak, aby oznatok ϕ tautologicky vylýval z rozšírenej teórie { α} Nech = { ϕ, ϕ,..., ϕ } 1 2 n T, t. j. { α} T ϕ. T je naša východisková teória, ktorá obsahuje n oznatkov rerezentovaných formulami ϕ1, ϕ2,..., ϕ n, ričom latí T ϕ, alebo formula ϕ ϕ... ϕ ϕ nie je kontradikcia 3. Našou snahou bude modelovať 1 2 n dodatočný oznatok α tak, aby rozšírená formula Θ = ϕ1 ϕ2... ϕn α ϕ už bola kontradikcia, t. j. ríslušné sémantické tablo T ( Θ) malo všetky vetvy uzavreté. Nový oznatok α určíme tak, aby ôvodné tablo T ϕ ϕ... ϕ ϕ rozšírené o nový oznatok α, t. j. ( 1 2 n ) ( ϕ ϕ... ϕ α ϕ) T malo všetky vetvy uzavreté. K tejto konštrukcii 1 2 n oužijeme vetu 7, ktorej konkretizácia re abdukciu je znázornená na obr. 11. Príklad 12.3. Nech = {, r} T je konzistentná teória a ϕ = r je ožadovaný dôsledok z tejto teórie. Vytvorme formulu... r r T Θ Θ = ϕ ϕ ϕ ( ) ( ) ( ), sémantické tablo ( ) 1 n má otvorené vetvy, z čoho lynie, že ϕ = r nie je tautologickým dôsledkom teórie T = {, r}, ozri ľavý diagram na obr. Ak teóriu T rozšírime o nový 3 Poznamenajme, že ak latí T ϕ, otom formula ϕ1 ϕ2... n ϕ ϕ... ϕ ϕ je kontradikcia. negácia 1 2 n ϕ ϕ je tautológia, alebo jej 10/13 kaitola

oznatok, otom formula ϕ = r je tautologickým dôsledkom rozšírenej teórie, ozri ravý diagram obr. 12.8. A Obrázok 12.8. Diagram A znázorňuje sémantické table z ríkladu 12.3 re Θ = ( ) ( r) ( r). Tablo je otvorené, čiže formula ϕ = ( r) nevylýva z teórie T = {, r} orňuje sémantické tablo re rozšírenú teóriu T = {, r, α = }. Diagram B znáz, v tomto ríade formula B 12.5 Vzťah medzi indukciou a abdukciou Ako už bolo uvedené v redchádzajúceju časti tejto kaitoly, moderný ohľad na nededuktívnu inferenciu je taký, že veľmi nerozlišuje medzi indukciou a abdukciou, v tomto odseku uvedieme niektoré argumenty [6] odľa ktorých je indukcia šeciálny ríad abdukcie. Uvažujme nasledujúce jednoduché inferenčné schéma indukcie zovšeobecnenia všetky ozorované A sú B všetky A sú B alebo omocou kvantifikátorov x M A x B x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( x M ) A( x) B ( x) kde M M 0. Zovšeobecnenie všetky A sú B cháeme ako hyotézu, ktorá je lešia a rijateľnejšia než iné možné hyotézy (nar. že niekto riadi naše exerimenty tak, aby sme sa domnievali, že všetky A sú B). Samozrejmé, môže nastať taká úlne nová situácia, že iné hyotézy sa stanú rijateľnejšími, otom nemusíme robiť zovšeobecnenie všetky A sú B na základe redchádzajúcej korelácie medzi objektmi A a B. Môžeme teda konštatovať, že indukcia môže byť cháaná ako šeciálny ríad abdukcie, ktorý je latný vtedy, keď hyotéza zovšeobecnenia je rijateľnejšia než ako iné hyotézy. Vzťah medzi indukciou a abdukciou je o mnoho roblematickejší hlavne vtedy, keď sa snažíme zovšeobecňovať na základe malej vzorky výberu ozorovaní (nar. vtedy, keď M 0 ` M, t.j. očet ozorovaní je odstatne menší ako veľkosť 11/13 kaitola

množiny M objektov zovšeobecnenia). V tomto ríade môže existovať mnoho alternatívnych hyotéz, ktoré rovnako dobre vysvetľujú ozorované javy. Sledujme nasledujúci ríbeh: Fero bol dvakrát v reštaurácii Univerzitná izzeria, o každej návšteve mal žalúdočné ťažkosti. Vo všeobecnosti, Fero mával občas žalúdočné ťažkosti, ale nie ríliš často. Čo môžeme ovedať o súvislosti medzi jedením izzi a žalúdočnými ťažkosťami u Fera? Takmer nič, retože očet návštev izzerie je veľmi malý, než aby sme boli schoní vyvodiť nejaký seriózny záver z našich ozorovaní. Predokladajme, že Fero navštevoval Univerzitnú izzeriu naďalej, ričom o 80 návštevách mal len 12 krát žalúdočné ťažkosti. Aké môžu byť teraz vyvodené závery re vzťah medzi navštevovaním Univerzitnej izzerie a Ferovými žalúdočnými ťažkosťami? K vysvetleniu môžeme oužiť abduktívnu inferenciu založenú na dvoch hyotézach: 1. hyotéza. Súvislosť medzi jedením izze a žalúdočnými ťažkosťami je náhodná (nar. vírovou infekciou, ktorej srievodné javy boli aj žalúdočné ťažkosti). 2. hyotéza. Existuje určitá súvislosť medzi Ferovými návštevami Univerzitnej izzerie a jeho žalúdočnými ťažkosťami, Fero je alergický na miestnu šeciálnu omáčku. Na základe vysokého očtu Ferových návštev Univerzitnej izzerie, môžeme vylúčiť induktívne zovšeobecnenie ako nerijateľné a akcetovať druhú hyotézu, odľa ktorej Ferove žalúdočné ťažkosti sú sôsobené miestnou šeciálnou omáčkou, ktorú si občas dá ako rílohu na izzu so slimákmi. Cvičenia Cvičenie 12.1. Majme formálny systém šecifikovaný teóriu obsahujúcou tieto ravidlá: R1 = ( x)( y)( z) give( x, y, z) own( y, z), ty x: darca; ty y : ríjemca; ty z : vec; R2 = ( y)( z) buy ( y, z) own( y, z), ty y: kuujúci; ty z: vec, ( )( ) ( ) ( ) R3 = y z own y,z can _ sell y,z, ty y: vlastník; ty z: vec, a tri ozorovania redoklady: O give John,Mary,book O own Mary,ball O = buy John,something. 1 = ( ), = ( ), ( ) 2 (a) Zostrojte všetky možné deduktívne záverey z týchto ravidiel a redokladov. (b) Uvažujme ravidlá R 1 a R 2 a ozorovanie O 2, vytvorte omocou abukcie možný záver z tohto systému. Cvičenie 12.2. Dokážte omocou úlnej indukcie, že (a) suma rvých n neárnych rirodzených čísel sa rovná n 2, (b) latnosť zovšeobecneného De Morganovho vzťahu z teórie množín n n Ý A = Ü A i i= 1 i= 1 i 3 12/13 kaitola

(c) každé celé číslo n > 1 môže byť vyjadrené ako súčin rvočísiel α α αk P n =...... kde 1, 2, 3,... sú rvé tri rvočísla (2, 3, 5,...) a α 1, α 2, ( ) 1 2 1 2 α 3,...sú nezáorné celé čísla k Cvičenie 12.3. Priateľ Fero vám oznámil, že sa mu odaril odvodiť vzorec na konštrukciu n-tého rvočísla a n omocou redchádzajúcich troch rvočísiel an = 6 an 3 + 3 an 2 + 2 an 1 Žiaľ, nevie ho dokázať. Pokúste sa mu ho falzifikovať. Cvičenie 12.4 Na obrázku je znázornený Pascalov trojuholník, ktorý obsahuje v každom n-tom riadku n rirodzených čísel. Dolňte čísla v 6. riadku Pascalovho trojuholníka 1 Σ(0)=1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Σ(1)=2 Σ(2)=4 Σ(3)=8 Σ(4)=16?????? Σ(5)=? a čomu sa rovná suma jeho členov. Pokúste sa indukciou zovšeobecniť vaše ozorovania o Pascalovom trojuholníku re n-tý riadok, ako sú definované. Cvičenie 12.6. Ráno v škole zistíte, že vaša eňaženka je rázdna, aj keď večer bolo v nej ešte niekoľko stokorunáčok. Navrhnite niekoľko hyotéz, ktoré vysvetľujú skutočnosť, že ráno bola eňaženka rázdna, okúste sa z daných hyotéz určiť najravdeodobnejšiu hyotézu. Literatúra [1] Aliseda, A.: Abductive Reasoning. Logical Investigations Into Discovery and Exlanation. Sringer, Berlin, 2006. [2] Aliseda, A.: Mathematical Reasoning vs. Abductive Reasoning: A Structural Aroach. Synthese 134 (2003), 25 44. [3] Gabbay, D. M., Woods, J.: The Reach of Abduction: Insight and Trial. North- Holland, Amsterdam, 2005. [4] Josehson, J. R.: Concetual analysis of abduction. In Josehson, J. R., Josehson, S. G. (eds.): Abductive Inference, Comutation, Philosohy, Technology. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996.. [5] Flach, P. A., Kakas, A. C. (eds.): Abduction and Inductions. Kluwer Academic Press, Dordrecht, 2000. [6] Šefránek, J.: Inteligencia ako výočet. IRIS, Bratislava, 2000. 13/13 kaitola