Analiza izmjeničnih nih krugova/mreža Str: 49 Postupak analize izmjeničnih nih strujnih krugova i mreža praktički ki je potpuno analogan postupcima koji se koriste kod istosmjernih strujnih krugova Treba jedino paziti na dvodimenzionalnost problema I dalje se sve bazira na osnovnim zakonima (Ohmov( zakon, I i II Kirchhoffov zakon) Procedura također identična: na: definiranje smjerova struja (proizvoljno) definiranje padova napona vezanih za smjerove struja raspisivanje jednadžbi I i II Kirchhoffovog zakona rješavanje sustava jednadžbi tumačenje rješenja enja Serijski spoj Serijski spoj predstavlja serijski spoj radnog i kapacitivnog otpora i (t) i(t) u(t) - u (t) u (t) - i (t) Str: 50 Budući i da je riječ o serijskom spoju struja je zajednička veličina, ina, a ukupni napon jednak je sumi napona
Serijski spoj () Kada bi se problem rješavao u vremenskoj domeni jednadžba koja bi se trebala riješiti iti je sljedeća: u ( t) i ( t) i( t) () t u () t u () t i I KZ II KZ u 1 () t i() t i() t dt Str: 51 Vidljivo je da se već za najjednostavniji slučaj analiza bazira na rješavanju diferencijalnih jednadžbi Serijski spoj (3) Promatrano u kompleksnoj domeni, struje i naponi u serijskom spoju definiraju se na isti način: I Ṙ I - I Ċ - Str: 5 I dalje vrijedi da je struja zajednička veličina, ina, a ukupni napon jednak sumi napona na pojedinim elementima
Serijski spoj (4) Međutim,, stvar je bitno jednostavnija za riješiti iti jer su jednadžbe puno jednostavnije: & & & I KZ II KZ & ( jx ) Str: 53 To dalje iznosi: & I & ( ) jx Serijski spoj (5) Pri tome izraz u zagradi, prema Ohmovom zakonu za izmjenični krug, ima dimenziju impedancije & Z& Z& jx Str: 54 koliko je napon zadan: & jx acionalizacijom nazivnika: & jx jx jx & ( jx ) X
Serijski spoj (6) Pri tome je fazni kut između struje i napona definiran upravo impedancijom Z X ϕ I ϕ arctg Vektorski dijagram koji opisuje prilike u ovom krugu: Str: 55 ϕ I I I I e I I I Z ϕ I I I I X X X arctg Serijski spoj (7) Taj je kut ujedno i kut kojeg vektor impedancije zatvara s realnom osi u vektorskom dijagramu ϕ Z -jx e 1 X ω X Z Z X ϕ arctg Str: 56 Iz dijagrama je vidljivo da će e se impedancija serijskog spoja nalaziti u IV kvadrantu Što je X veći i u odnosu na fazni kut bit će, apsolutno gledano, također veći i (max( 90 ) ) i obrnuto
Serijski spoj (8) Str: 57 Vidljivo je da je kompleksni račun puno jednostavniji i puno bliži za analizu, budući i da jako podsjeća a na postupak koji se provodi kod istosmjernih strujnih krugova Treba ipak pripaziti da se sve radi s kompleksnim veličinama inama Pri tome nas vektori/fazori i pripadni dijagrami jako dobro podsjećaju na tu činjenicu Korištenjem vektora moguće e je problem riješiti iti i bez direktne upotrebe kompleksnih brojeva; tada radimo s amplitudama i faznim pomacima, a vektorski dijagram opisuje odnose između pojedinih veličina ina Paralelni spoj I I Ṙ - - I Ċ Naponi su zajednički,, a ukupna struja jednaka je sumi struja u granama Str: 58
Paralelni spoj () Kompleksni račun: & & & I KZ II KZ Str: 59 Konačno: no: & & jx & & & Z& jx Paralelni spoj (3) Pri tome sljedeći i izraz ima dimenziju impedancije: Z & 1 1 jx 1 koliko se sad u igru ubace admitancije tada vrijedi: Y & G jb pri čemu vrijedi Str: 60 G 1, B 1 X
Str: 61 Paralelni spoj (4) Vektorska analiza: crtava se vektor napona budući da je on zajednički svim elemen- tima (posljedica II KZ) Budući i da je poznat napon na otporu može e se ucrtati i vektor struje koja njime protječe - u fazi s naponom Na isti način crta se i vektor struje koja teče e kapacitetom i koji za 90 prethodi naponu Za slučaj da je X manji od struja koja će e teći njime bit će e proporcionalno veća Iz I KZ poznato je da je ukupna struja jednaka (vektorskoj) sumi struja koje teku kroz i I İ I I G I B X ϕ I I I I arctg I I e Paralelni spoj (5) Vektorska analiza: analogno vektorskom dijagramu za impedanciju kod serijskog spoja, crta se vektorski dijagram za admitanciju paralelnog spoja B Y ψ G e Y Y B ω G B B ψ ϕ arctg G Str: 6
Paralelni spoj (6) Iz vektorske analize vidljivo je da se fazni kut između napona i struje u paralelnom spoju definira drugačije od onog kod serijskog spoja: X ϕ I arctg Definicija faznog kuta ponovno iz vekt dijagrama: Str: 63 I ϕ I ψ arctg I z korištenje i X : ϕ I ϕ arctg B arctg G X Serijski i paralelni spoj Serijski spoj: problem se rješava identično no serijskom spoju struja zajednička ka,, naponi se zbrajaju treba paziti na karakter induktivnog otpora u(t) Str: 64
Serijski i paralelni spoj () Kompleksni račun: & & & & ( jx ) impedancija serije : Z & jx Str: 65 fazni kut impedancije (ujedno i kut između napona i struje): X ϕ ϕ I arctg Serijski i paralelni spoj Serijski spoj: vektorska analiza ϕ I I İ I I I I X I I e X ϕ Z e ϕ Z I X X arctg Str: 66
Serijski i paralelni spoj Paralelni spoj: problem se rješava identično no paralelnom spoju napon zajednička ka,, struje se zbrajaju treba paziti na karakter induktivnog otpora u(t) Str: 67 Serijski i paralelni spoj Str: 68 Paralelni spoj: korištenjem kompleksnog računa & & & & &, jx admitancija paralele : Y& G Kut između napona i struje (neg fazni kut admitancije): ϕ I ψ arctg X jb
Serijski i paralelni spoj Paralelni spoj: vektorska analiza I G I ϕ I İ e I G I B X ψ B Ẏ e Y ϕ I G B I arctg I Str: 69 I I I Mješoviti spojevi Str: 70 Vrlo rijetko će e se u praksi susretati čisti par/ser spojevi; oni će e u pravilu biti puno složeniji i sastojat će e se od kombinacije paralelnih i serijskih spojeva Postupak rješavanja ovakvih strujnih krugova: izdvojeno se promatraju čisti serijski i čisti paralelni spojevi njihovom parcijalnom analizom postepeno se smanjuje kompleksnost mreže e koja se analizira Osnovna vodilja: serijskom spoju struja je zajednička svim elementima koji se nalaze u tom spoju, a naponi se zbrajaju paralelnom spoju naponi su zajednički, a struje se zbrajaju Odnosi napona i struja na osnovnim elementima: otporu, kapacitetu i induktivitetu
Mješoviti spojevi Pri analizi veliku pomoć daju vektorski dijagrami koji unose dodatnu jasnoću u u sagledavanju strujno naponskih prilika u krugu Str: 71 Mješoviti spojevi Primjer: serija u paraleli s I Ṙ I - - I Ċ - I Str: 7
Mješoviti spojevi z pomoć vektorskog dijagrama moguće e je riješiti iti veliki dio problema sagledavanje fizikalne slike I I ϕ ϕ İ e I I I I cos X X, ϕ, ϕ ( ϕ ) ( I I sin( ϕ )) I 90 X arctg Str: 73 I I X Vektorski dijagram Vektorski dijagram nekog strujnog kruga prikazuje: sve napone i struje u krugu, fazne odnose između pojedinih napona i struja, međusobne veze između pojedinih napona koje su definirane izgledom strujnog kruga Poštuju tujući i raspored elemenata u strujnom krugu moguće je odrediti napon između bilo koje dvije točke! Pomoću u kvalitativnog crtanja vektorskog dijagrama moguće e je na jednostavniji način odrediti pojedine električne veličine, ine, a samim time riješiti iti strujni krug Str: 74
Topografski dijagram Topografski dijagram prikazuje potencijale svih točaka u strujnom krugu u kompleksnoj ravnini Pomoću u topografskog dijagrama moguće e je odrediti napon između bilo koje dvije točke Topografski dijagram se može e odrediti na dva načina: kompleksnim računom - izračunavaju unavajući i potencijale pojedinih točaka koristeći i kompleksni račun, grafičkim putem ucrtavajući i vektore (fazore( fazore) ) napona na pojedinim elementima (pri tome treba voditi računa o rasporedu elemenata) Str: 75 Vektorski i topografski dijagram Za strujni krug prikazan na slici odredite vektorski dijagram i na njemu označite položaj točaka A, B,, D i 0 u krugu Zadano: X X X A B D X X Str: 76 0
Vektorski i topografski dijagram D I /( ) I / 0 I A X I A e B D B X X Str: 77 0 Vektorski i topografski dijagram Zamjenom mjesta dva elementa prema slici vektorski dijagram dobiva drugačiji oblik A X B X D X Str: 78
Vektorski i topografski dijagram 0 I A X I AD e B X D B Str: 79 X Str: 80 istosmjernim sustavima snaga je definirana kao produkt struje i napona To vrijedi i kod izmjeničnih nih sustava, ali se sada promatra trenutna snaga: p ( t) u( t) i( t) Ako se u izraz za trenutnu snagu uvrste sinusiodalne veličine ine napona i struja (međusobno pomaknute za fazni kut ϕ): I MAX p() t MAX [ cos( ϕ ) cos( ω t ϕ )] ( t) I [ cos( ϕ ) cos( ω t ϕ )] p
Konačno, no, izraz za trenutnu snagu kod sinusoidalnih veličina ina je: p () t I cos( ϕ ) [ 1 cos( ω t) ] I sin( ϕ ) [ sin( ω t) ] Dobiveni izrazi pokazuju da je i snaga izmjenična, na, sinusoidalna veličina, ina, ali: koja je dvostruke frekvencije, koja oscilira oko konstantne vrijednosti I cos(ϕ),, koja je različita ita od nule Str: 81 1,5 1 0,5 0 0 50 100 150 00 50 300 350 i(t)sin(wt) u(t)sin(wt30) p(t)u(t)*i(t) -0,5-1 Str: 8-1,5
Nama je interesantna prosječna snaga koja se računa kao: t t0 T 1 P u() t i()dt t T t t 0 Str: 83 pri tome je međusobni odnos u(t) i i(t) definiran elementom na kojem se ta snaga promatra (pomaci u fazi) Kada se prethodni izraz za snagu integrira u periodu T i izračuna prosječna vrijednost vidjet će e se da je snaga upravo jednaka: P I cos( ϕ ) Dobiveni izraz kazuje da će disipirana snaga ovisiti, pored napona i struje, i o njihovom faznom pomaku Str: 84 To, primjerice, znači i da će: na otporu prosječna snaga biti jednaka produktu pada napona na njemu i struje koje protječe e kroz njega (ϕ0( 0 ), na kapacitetu i induktivitetu prosječna snaga biti jednaka nuli (ϕ±90 ) Ako se promotre fazni odnosi između napona i struja na navedenim elementima može e se potvrditi istinitost tih tvrdnji: na otporu je produkt napona i struje uvijek pozitivan (konstant( konstant- na disipacija snage), na kapacitetu i induktivitetu produkt napona i struje mijenja predznak svaku 1/4 periode, te je ukupna energija unutar jedne periode na tim elementima jednaka nuli
Str: 85 Međutim,, ono što se obično instrumentima mjeri jesu naponi i struje na elementima Na temelju tih vrijednosti vrlo teško može e odrediti snaga koju neki element (impedancije Z) troši,, jer j ovisno o faznom pomaku između napona i struje ta snaga može e varirati između vrijednosti 0 i I Također,, taj napon i ta struja doista postoje Stoga se o čistom produktu napona i struje na nekom elementu (impedanciji) I može e govoriti kao o nekoj prividnoj snazi S I [ VA] Nadalje, u konačnom nom izrazu za trenutnu snagu postoji komponenta koja oscilira oko nulte vrijednosti: I sin Q I ( ϕ ) [ sin( ω t) ] Ta se komponenta tumači i kao jalova komponenta i naziva jalovom (reaktivnom) snagom sin( ϕ ) [ VAr] Str: 86 Jalova snaga je u biti posljedica oscilacije energije na reaktivnim elementima
Str: 87 Konačno, no, imamo tri karakteristična energetska podatka: prividnu snagu radnu snagu jalovu snagu S I P I Q I ϕ S P [ VA] cos( ϕ ) [ W] sin( ϕ ) [ VAr] Slikovito, ove se tri veličine ine mogu predočiti u trokutu snaga: Q Ako se vratimo na naš prikaz snage u vremenskoj domeni možemo označiti navedene snage: 1 p(t)u(t)*i(t) 0,8 0,6 0,4 0, *I*cos(ϕ) *I 0-0, 0 100 00 300 400 Str: 88-0,4
Najinteresantnija radna snaga (ona se može e iskoristiti) Prividna i jalova snaga nemaju direktne koristi u proračunu korisne energije, ali ipak bitne: Prividna snaga govori o strujama i naponima koje određeni uređaj mora podnijeti (generator mora moći i dati traženu struju, neovisno o tome da li se ona kasnije iskorištava ) Jalova snaga kao dio prividne snage također iziskuje od izvora dodatnu struju Kod velikih potrošača a i ta se struja naplaćuje pa je o jalovoj snazi potrebno voditi računa i u tom smislu (kombiniranjem potrošača a različitog itog karaktera, kompenzacija) Str: 89 I Z Z Z P I Q I S I cos( ϕ ) [ W] sin( ϕ ) [ VAr] [ VA] Str: 90 P I Q I X X [ W] [ VAr]