CURS METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NEINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 Prelmar: Norma uu vector s orma ue matrc rapel Ssteme de ecuaţ elare Deţ Metoda puctulu 3 Metoda Newto; metode cvas-newto 0 Norma uu vector ş orma ue matrc e V u spaţu vectoral: î cazul de aţă, V este Norma uu vector 0, ş 0 0 ach Octombre 008 R sau C V este aplcaţe :V R +, satsăcâd aomele: λ λ, λ scalar λ R sau λ C 3 + y + y Eemple de orme ale uu vector: ma orma- orma mamum, orma- / orma- orma eucldaă e A este mulţmea matrclor Norma ue matrc 3, ş î plus, următoarele: 4 A B A B 5 A A cu elemete scalare reale, complee A A este o aplcaţe : A R +, care satsace aomele Î aomele 4-5, B A, ar este u vector Normele care satsac 5 se zc compatble cu orma vectorulu
Observaţe Deţa orme ue matrc, dusă de orma vectorulu, este: A A sup 0 Petru detal prvd orma uu vector ş orma ue matrc, vez Captolul 4-I Eemple de orme ale ue matrc: A ma a - orma llor A ma a - orma coloaelor [ A ] / A ρ A - orma eucldaă, î care: T A A A cougat traspus; ρ ma λ, ude λ, sut valorle propr ale matrc A ρ se zce rază spectrală, Deţ e sstemul de ecuaţ elare,, K K,,,, 0 0 Acesta se scre vectoral 0 ude : I R, I R Eplct:, 0 0 0, 0, O soluţe a sstemulu se va ota cu α, adcă: α 0 ach Octombre 008
3 Petru rezolvarea pr metoda puctulu, sstemul se va cosdera pus sub orma: g î care g : I R, I R, O soluţe a lu se va ota α, adcă: α gα Î ceea ce urmează, se presupu cuoscute oţule de ormă a uu vector, ş ormă a ue matrc pătratce A Î partcular, orma- este: ma ; A ma a Metoda puctulu Ecuaţ de orma g Metoda Metoda costă î costrurea şrulu: T [ ] - apromaţa ţală, dată; + g, 0 A u se couda dcele superor dcele terate cu ordul al sstemulu dce eror al coordoate k Covergeţa procesulu teratv este asgurată de următoarele codţ: g este cotractată pe o vecătate I a rădăc: petru, y I g g y M y, M < Apromaţa ţală 0 I este sucet de apropată de rădăca α Observaţe Dacă g : C C ş C R este u compact mulțme mărgtă ș îchsă, atuc procesul coverge petru 0 C ach Octombre 008
4 Teorema Presupuem: g are o rădăcă α g este cotuă ş are dervate parţale de ordul cotue, pe I det de: α ρ 3 Dervatele satsac codţa: g ma λ <, I Atuc, 0 I : a Iteratele I b Şrul α c α este uca rădăcă î I ρ α ξ y ρ Itervalul I d Codța ach Octombre 008
5 Sumarul demostraţe: e, y I: α ρ, y α ρ D desvoltarea Taylor, se arată că avem: g g y λ y Rezultă: + α g g α λ α λ ρ < ρ ş pr ducţe: α λ ρ Cum λ <, rezultă λ 0, sau α Cocluza c se demostrează pr cotradcţe Observaţ Matrcea acoba a ucţe g: Itroducem acobaul G a lu g, pr: g G g g g g g g Cu deţa orme A ma a, codţa 3 se scre: 3' G λ <, I G oacă rolul lu g petru o ucţe scalară Covergeţa lară: Î codţle d Teorema, cu λ > 0, covergeţa este lară, coorm relaţe: + α λ α ach Octombre 008
6 3 Covergeţa de ordul pătratcă Să presupuem că î rădăca α, avem: g Gα O 0 ;,,,, α ude O este matrcea ulă, ş că g / sut cotue pe o vecătate a lu α Atuc, ρ > 0 astel îcât codţa 3 sau 3' este satsăcută Dacă, î plus, dervatele de ordul estă ş sut mărgte pe α ρ, adcă: ma,, k g k M, atuc d ormula Taylor rezultă: g g α M α, ude M M, Cu, g +, rezultă: + α M α care arată că covergeţa este de ordul Procedură eplctă de puct Cosderăm sstemul dat sub orma 0 ş vrem să-l trasormăm îtr-u sstem echvalet de orma g e A [ a ] o matrce, esgulară pe o vecătate a lu α Dem: g A Este evdet că, A d esgulară, avem: ach Octombre 008
7 g 0 Eemplu : Iterare cu matrce costată A A, ude A matrce costată a costat ş esgulară g A Se vercă medat că, acobaul lu g este dat de: G I A, ude I este matrcea utate, ar este acobaul lu, k Eplct: Coorm Teoreme, teraţa va coverge dacă elemetele matrc G sut sucet de mc, ş este sucet de apropat de α Petru o covergeţă ma rapdă, să cerem v Observaţa 3: G α O Rezultă A α I, sau [ ] A α 3 Cum α u este cuoscut, luăm de eemplu, [ ] ach Octombre 008 α, rezultă: A 4 Iteraţa va detă de
8 A +, 5 ude A este detă de 4 Procedura se zce terare cu matrcea costată A, ş este aaloagă cu metoda coarde petru o ucţe scalară 3 Schema practcă de terare Procedeul practc, care evtă versarea matrc, este următorul Puem: + + δ, ş rezultă: + δ + + δ + 0 6 + Procedeul reve la determarea corecţe δ pr rezolvarea sstemulu lar d prma ecuațe 6 Iteraţa se opreşte pr testele + δ eps, 7a + lt 7b ude toleraţa eps ş umărul lmtă de teraţ lt, sut alese date Procedeul este utl ma ales dacă actualzăm A după u umăr de paş, coorm Observaţe Codul ortra care mplemetează această schemă, cu actualzarea matrc A după 3 paş, este dat î ANA _Sys Eemplu : Metoda Newto Să presupuem că, petru a avea [ ] ecare pas Iteraţa 5 deve: [ ] + A α, actualzăm matrcea A d 4,5, la Aceasta repreztă metoda Newto petru sstemul 0 v î cotuare ach Octombre 008
9 3 Metoda Newto Ecuaţ de orma 0 Metoda Cosderăm ecuaţa echvaletă g, ude g A Căutăm A, astel ca metoda puctulu petru g să abă ordul do Codţa este v ma sus, G α O, sau g k α 0,, k,,, Se vercă aptul că aceasta coduce la codţa [ ] Atuc, presupuem că: A α α - este cotuă ş cu dervate parţale de ordul cotue, pe o vecătate a lu rădăc α - Jacobaul lu este esgular î α: det α 0 Determatul d ucţe cotuă de elemetele acobaulu, ρ > 0 astel că petru α ρ să avem det 0 Alegem atuc [ ] A, α ρ, care asgură [ ] g A α α [ ] Metoda Newto este atuc: Rezultă: [ ] + 8 Coorm Teoreme ş Observaţe 3, rezultă următoarea ach Octombre 008
0 Propozţe Dacă are dervate parţale de ordul, mărgte pe α ρ, ş este sucet de apropat de α, atuc metoda Newto are covergeţă pătratcă Î propozţa de ma sus, ş î relaţle ateroare, este Notă Ipotezele de ma sus, î partcular det α 0, se poate îlocu cu altele v Cap 3-IV, 3, Teorema 3 Astel, metoda se poate aplca ş î cazul det α 0 Î acest caz, covergeţa este lară 3 Schema practcă de terare Schema practcă de terare este cea de la 3, evtâdu-se versarea matrc, ş aume: + δ + + δ + 0 9 + Corecţa δ se calculează pr rezolvarea sstemulu lar d prma ecuațe 9 Iteraţa se opreşte pr testul + δ eps, 0a ude toleraţa eps este aleasă date Obşut, se adaugă ş testul: Număr de teraţ lt, 0b ude lt este umărul lmtă prescrs de teraţ Codul ortra care mplemetează această schemă se dă î ANA Newto_Sys 33 Calculul umerc al dervatelor parţale k Evaluarea acobaulu, la pasul k, cere evaluarea a ucţ / k Char dacă acestea se pot calcula aaltc, petru mare eortul de calcul este mare Alteor, sut date umerc Î astel de cazur, dervatele se calculează umerc, pr dereţe dvzate: ach Octombre 008
k,, + h,,,,, h, k, ude h este mc Creşterea h poate costată, sau poate varată de la u pas la altul luâd k h h h u se a ecesv de mc, petru a u coduce la eror de roture mar Se arătă că, petru a meţe covergeţa pătratcă, h trebue să satsacă codţa la pasul k: k h C, ude C este o costată poztvă, ată date Ralsto & Rabowtz 978 34 Metode cvas-newto Metoda Newto este metoda descrsă de ormula de terare 6, care utlzează acobaul evaluat la ecare pas aaltc, sau umerc Dacă acobaul este îlocut cu o apromaţe a acestua, metodele se zc metode Newto-modcate sau metode cvas-newto k Petru a reduce eortul de calcul se procedează la îlocurea acobaulu de la pasul k, cu o apromaţe a acestua, e aceasta scheme: k A, după ua d următoarele - Jacobaul u se actualzează după ecare pas, c după u umăr m de paş: l k A - petru l k, K, k + m Această schemă reduce vteza covergeţe, dar este ecoomcă la o rulare lugă - Apromaţa acobaulu la pasul k+ se geerează d cea de la pasul k, ără evaluăr suplmetare de ucţ Această schemă este ma buă decât precedeta Petru modaltăt de geerare a lu Cu modcărle precedete, ormula de terare 8 deve: k + A - v Ralsto & Rabowtz 978 [ A ] k + k k k 9 ach Octombre 008
ach Octombre 008 Nota : Metoda Newto pr larzarea ecuaţlor e ecuaţa elară 0, sau eplct, sstemul,,, 0, K Dacă este î vecătatea rădăc, cosderăm desvoltarea Taylor a lu î urul lu : + + K ude terme escrş sut de ord ma mare sau egal cu do î Presupuem că aceşta sut eglabl î raport cu terme de orul îtâ, ş avem + Notăm elemetele acobaulu al lu, adcă / / / / Desvoltarea deve +, Sau, matrceal, + 0 0 0 ] [ M K
3 Ecuaţle scrse petru,, K,, dau: + Rezolvăm apromatv sstemul 0, îlocud pr epresa sa larzată î membrul do al relaţe precedete; puem semul î loc de Rezultă: δ, ude s-a pus δ Relaţa este ormula scheme de terare î metoda Newto Soluţa + δ este o apromaţe a rădăc este soluţa sstemulu larzat Presupuâd că apromaţa este ma buă decât aplcarea repetată a ormule 0, îlocud, la pasul următor, Astel, î geeral, metoda Newto este:, atuc metoda costă î cu k+ δ k + k, k 0,, K ude δ k + k + k Problema costă acum, î a proba că şrul k α Nota : Iterpretare geometrcă petru cazul Să puem z,, z, Acestea sut ecuaţle a două supraeţe, e acestea S ş S y y Ecuaţa, y 0, reve la z 0, adcă la tersecţa supraeţe S cu plaul -y: aceasta este o curbă C Soluţa sstemulu, y 0,, y 0, reve la tersecţa curbelor C ş C ach Octombre 008
4 ucţa larzată este: z, y +, y + y, y y y Aceasta repreztă ecuaţa plaulu taget î, y, la supraaţa S Dec, metoda reve la îlocurea supraeţe, î vecătatea rădăc, pr plaul taget Aalog, cu metoda Newto petru o ecuaţe scalară 0, ude gracul se îlocueşte cu tageta la grac Itersecţle plaelor tagete cu plaul -y vor două drepte care apromează curbele C ş C Itersecţa dreptelor este apromaţa rădăc Eemplu e sstemul de două ecuaţ elare:, y + y 5 0,, y y e 0 Apromaţle ţale se au:,, ş 05, De eemplu, acestea se pot găs aalzâd tersecţa gracelor curbelor + y 5, y e + ach Octombre 008
5 Matrcea acoba este: y, y e uăm eps E-6 Calculul este eectuat î smplă precze Soluţa calculată, y, umărul de teraţ, ş valorle lu î soluţe, sut date î tabelele de ma os Metoda puctulu, terare cu matrcea costată A, cu actualzare după 3 paş: ach Octombre 008
6 Nr teraţ y, y, y -, 5-99 684 46 653-76 E-7-995 E-8 05, 7 0043 374 6 7 70 E-8-4654 E-8 Observaţ Dervatele parţale ale ucţlor sut calculate umerc, cu h 000 Numărul de teraţ petru a doua rădăcă este ma mare decât cel petru prma rădăcă, îtrucât apromaţa ţală 05, este ma îdepărtată de rădăcă Cu apromaţa 0,, se găseşte aceeaş soluţe î 8 teraţ Metoda Newto: Nr teraţ y, y, y -, 4-99 684 46 653-76 E-7-995 E-8 05, 5 0043 374 6 7 5384 E-8 889 E-9 Notă: Dervatele parţale sut calculate cu matrcea acoba, y Eercţu Să se rezolve sstemul: y z yz + y 4 y e e z 7 Să se găsească rădăcle d vecătatea puctelor w 0,, ş w 0,, ach Octombre 008