Dr. Ing. OLIMPIA BLĂGOI Dr. Ing. AMEDEU MITROI HIDRAULICĂ GENERALĂ COMPENDIU

Dr. Ing. OLIMPIA BLĂGOI Dr. Ing. AMEDEU MITROI HIDRAULICĂ GENERALĂ COMPENDIU

OLIMPIA BLĂGOI AMEDEU MITROI HIDRAULICĂ GENERALĂ COMPENDIU EDITURA GH. ASACHI IAŞI 003

CAPITOLUL I INTRODUCERE I.1 Generlităţi Corpurile flte în stre lichidă, gosă su de plsmă u denumire comună de fluide (din ltină: fluidum = cre pote curge). Fluiditte este propriette corpurilor flte într-un câmp de forţe, de -şi schimb form l cţiune unor forţe oricât de mici, dtorită legăturilor intermoleculre slbe şi de lu form sului în cre se găsesc. Lichidele nu se opun deformării, u olum propriu, dr nu u formă proprie şi, de cee, iu form selor cre le conţin. Ele sunt mărginite de o frontieră cre le sepră de solide (numită suprfţă de contct) su de ge (numită suprfţă liberă). În cntităţi mici, lichidele flte în mediu gos iu formă sferică. Lichidele sunt puţin compresibile şi sunt elstice, încât rein l olumul iniţil tunci când dispr forţele eteriore. In generl, efectul compresibilităţii se neglijeă, cu ecepţi domeniilor şi fenomenelor în cre pr riţii mri de presiune precum sonicitte, loitur de berbec în conducte, comprimre lichidelor într-o presă etc. Gele sunt corpuri elstice, l cre forţele de coeiune sunt forte mici, de cee nu u olum şi formă proprii, ocupând olumul reerorelor cre le conţin. Plsm este denumire dtă gelor ionite prţil su totl. Mecnic fluidelor este ştiinţ cre studiă echilibrul sttic şi dinmic l fluidelor şi intercţiune lor cu corpurile solide. Studiul fluidelor în câmpuri electromgnetice constituie domeniul unei noi rmuri numite mgneto fluido dinmic. Hidrulic este o rmură tehnică mecnicii fluidelor, cre studiă legile echilibrului lichidelor în repus su în mişcre cu scopul reolării problemelor inginereşti. Denumire proine din limb grecă: hdor = pă şi ulos = tub, s. 5

Hidrulic re trei părţi: Hidrosttic studiă stre de repus lichidelor, Hidrocinemtic studiă mişcre lichidelor, fără ţine sem de forţele cre interin, Hidrodinmic studiă mişcre lichidelor cu considerre cţiunii forţelor cre interin în cestă mişcre. Legile stbilite în Hidrulică sunt lbile şi pentru mişcre gelor cu itee subsonice. Studiul mişcării unui lichid este mult mi dificil decât l mişcării solidului, deorece solidul este considert un sistem de prticule legte rigid între ele, pe când fluidul este un mediu formt dintr-o infinitte de prticule ce se pot depls unele fţă de celellte. L scră microscopică, lichidul se preintă c un mestec de solid şi g (goluri) şi se studiă pe b teoriei cinetice lichidelor. L scră mcroscopică, lichidul se consideră un mediu continuu, deorece un element infinit mic l lichidului păstreă tote proprietăţile cestui. Mediul continuu este un sistem mteril cre umple complet o regiune spţiului tridimensionl, l un moment dt. Fiecre punct l cestei regiuni este sediul unei prticule corpului. L b studiului lichidelor stu următorele condiţii fundmentle din mecnic mediilor continue: spţiul şi timpul sunt celeşi c în mecnic newtonină; spţiul este euclidin (cu trei dimensiuni). Lichidul este un mediu continuu şi deformbil, deorece distnţele dintre punctele sle se schimbă l solicitări eterne (în timpul mişcării). Mişcre unui mediu continuu este definită de mişcre prticulelor sle. In timpul mişcării, prticulele iniţil ecine or fi ecine şi l momentul t, păstrându-şi permnent indiidulitte. Reultă că, în timpul mişcării, nici o prte finită din cest mediu nu pute e olumul ero su infinit (principiul indistructibilităţii mteriei). C urmre prticulrităţilor lichidelor, în Hidrulică, sunt folosite metode de studiu tât teoretice cât şi eperimentle. Hidrulic re plicţii în cele mi rite domenii le ştiinţei şi tehnicii: construcţii hidrotehnice, construcţii hidroedilitre, mşini hidrulice, hidromeliorţii, hidroenergetică, hidrologie etc. I. Scurt istoric l deoltării Hidrulicii Deoltre Hidrulicii fost întotdeun legtă de ctiitte omului de folosi comple p su de combte cţiunile ei distructie. În ntichitte, lucrări cu crcter hidrotehnic u fost eecutte în Chin, Indi, Egipt, Greci, Rom, estigiile lor păstrându-se şi i. Probbil că Hidrulic teoretică er slb deolttă, deorece singurele doei scrise sunt trttul empiric l lui Arhimede (87 1 î.e.n.) De iis 6

que in humido ehuntur (Corpuri plutitore) şi scrierile lui Frontinus (sec. I î.e.n.) De quis urbis Rome (Despre p orşului Rom). Începând cu period Renşterii, Hidrulic teoretică se deoltă lături de celellte ştiinţe. Leonrdo d Vinci (145 1519) scris trttul Despre mişcre pei şi instlţiile fluile, în cre preintă reulttele studiilor efectute l Milno şi Florenţ, priind mişcre lurilor, ârtejurile formte l coturi precum şi în sptele unui obstcol, căderile de pă, curgere prin tuburi etc. Lucrre nu influenţt ştiinţ şi tehnic de tunci, deorece fost găsită după 400 de ni. Secolul l XVI-le şi l XVII-le se crcterieă prin formulări empirice le unor legi din Hidrulică. Simon Stein (1548 160) descoperă lege presiunii lichidelor pe pereţii selor. Glileo Glilei (1564 164) pune bele Mecnicii generle, ir în 161, publică trttul Rţionmente supr corpurilor flte în pă, unde sunt epuse sistemtic, pentru prim oră, principiile fundmentle le Hidrulicii. În 1643, Engelist Torricelli (1608 1647), eleul lui Glilei, stbileşte lege curgerii lichidelor prin orificii. Blise Pscl (163 166) formuleă lege echilibrului lichidelor, enunţă principiul trnsmiterii presiunii (1650), inenteă brometrul. Isc Newton (1643 177) formuleă legile iscoităţii lichidelor şi propune, pentru prim dtă, noţiune de similitudine hidrodinmică. In secolul l XVIII-le, se pun bele hidrodinmicii teoretice prin contribuţi unor mri mtemticieni. Dniel Bernoulli (1700 178) prţine unei fmilii eleţiene din cre proin unspreece snţi celebri, dr lucreă, ce mi mre prte ieţii, l Acdemi din Petersburg, unde elboreă 47 opere ştiinţifice. În 1738, publică primul trtt ştiinţific de Hidrulică, ând 14 cpitole în cre preintă şi teorem de mişcre pe un fir de curent. D'Alembert (1717 1783) publică trttul despre echilibrul şi mişcre fluidelor (1744). Mtemticin, fiicin şi stronom, eleţinul Leonhrd Euler (1707 1793) trăit l Petersburg. El stbilit ecuţiile generle le mişcării fluidelor (1755), legile hidrostticii, teori turbinelor şi fundmentt teori nigţiei. J. L. Lgrnge (1736 1813) formuleă şi el, independent, ecuţiile mişcării fluidelor, scrie trttul Mecnic nlitică (1788). 7

In 1791, în Rusi, Aleei Kolmko publică prim crte de Hidrulică prctică. Antoine Ché (1718 1798) deduce formul pierderii de srcină în mişcre uniformă curenţilor cu niel liber (1755). Începând din secolul l XIX-le, iu mplore tât studiile teoretice cât şi cele eperimentle. Nier şi Stokes stbilesc ecuţiile generle le mişcării fluidelor âscose. Osborne Renolds (184 191) studiă regimul de mişcre lichidelor sub presiune, criteriile de similitudine hidrodinmică şi teori mişcării elicei. Froude studiă regimul de mişcre lichidelor cu niel liber. N. Jukoski (1847 190) studiă loitur de berbec, recţiune jeturilor lichide, formuleă ecuţiile generle le mişcării pei subterne, fce studii de erodinmică. Studii eperimentle u mi efectut Drc şi Bin referitore l mişcre permnentă în conducte şi cnle, ir Poncelet, Weisbch şi Bin pentru curgere prin orificii şi peste deersore. Drc şi Dupuit studiă mişcre pei prin medii porose, Boussinesq şi Bresse se ocupă de mişcre nepermnentă fluidelor, K. E. Ţiolkoski de reistenţ l înintre corpurilor într-un fluid, ir H. A. Einstein profundeă studiul tensiunii superficile l lichide (1901). In secolul l XX-le, se pun bele eronuticii, mecnicii plsmei, dinmicii mgnetofluidelor. In Români, lucrări hidrotehnice importnte s-u eecutt după 1880, ir lucrări teoretice u părut după 1900. Astfel, N. Enche susţine, l Sorbon, în 1908, te de doctort Contribuţie l teori scurgerii peste deersore. Vsile Vâlcoici susţine, l Göttingen, în 1913, disertţi Mişcările fluide discontinue cu două linii libere. In 1918, Gogu Constntinescu pune bele Sonicităţii, o nouă rmură Hidrodinmicii. Contribuţii deosebite l deoltre mecnicii fluidelor u ut Elie Crfoli, Cius Icob, Dumitru Dumitrescu, Dorin Pel. Dionisie Ghermni (1877 1948) publică primul trtt de Hidrulică, în nul 194. Primul lbortor de hidrulică fost înfiinţt l Timişor, în 199. 8

CAPITOLUL II PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE FLUIDELOR II.1. Densitte (ms olumică, ms specifică) Oricărui sistem mteril i se pote soci o mărime de stre, numită msă cre pote fi eprimtă printr-un număr rel şi poiti m. Ms oricărui sistem mteril rămâne constntă în timpul mişcării cestui. În mecnic mediilor continue, se fce ipote că ms este o funcţie continuă de olumul suport. Densitte r,t, numită şi msă olumică su msă specifică, este o funcţie numerică poitiă: d m (II.1) dv Pentru fluide omogene, în prctică, se foloseşte relţi: m (II.) V Unitte de măsură densităţii, în S.I., este kg m -3. Mediile incompresibile u densitte constntă. Densitte fluidelor riă cu presiune şi tempertur, după lege: 0 1 p p T T (II.3) unde, s- nott:, 0 densitte l tempertur T, respecti l 73 K; p coeficientul de compresie iotermă; T coeficientul de diltre olumică iobră. In cul lichidelor, riţi densităţii cu presiune şi tempertur este mică. Ap re densitte mimă de 1000 kg m -3, l tempertur de 4C şi presiune de 760 mmhg. o 9

II.. Greutte specifică (greutte olumică) Pentru defini greutte specifică unui lichid, se consideră o prte din cel lichid l cărei suport re olumul infinit mic şi greutte rbitrr de mică. Se numeşte greutte specifică, rportul: dg r, t (II.4) dv Pentru fluidele omogene, greutte specifică se determină cu formul: G = (II.5) V Pentru un mestec de lichide, se foloseşte relţi: n ivi 1 (II.6) Pentru un fluid incompresibil, greutte specifică este constntă. Unitte de măsură greutăţii specifice, în S.I., este N m -3. Densitte şi greutte specifică sunt corelte prin intensitte câmpului gritţionl: n 1 g II.3. Ecuţi de stre. Tempertur. Căldur specifică V i (II.7) Un fluid este în echilibru termodinmic dcă stre s termodinmică este inribilă în timp. Trecere dintr-o stre de echilibru termodinmic în lt se fce prin procese termodinmice. Conform primului principiu l termodinmicii, tunci când sistemul trece dintr-o stre termodinmică în lt, ecină, riţi energiei sle totle depinde de lucrul mecnic elementr l forţelor ce cţioneă sistemul în cestă trecere şi de cntitte de căldură elementră primită. Mediul continuu este, în generl, un sistem termodinmic. Sistemul termodinmic este un sistem mteril închis cre nu schimbă mterie cu eteriorul, ci numi energie, sub formă de lucru mecnic şi căldură. Stre termodinmicã unui sistem, l un moment dt, este definită de prmetrii termodinmici i sistemului în cel moment. Aceşti prmetri 10

termodinmici sunt de ntură mecnică şi de ntură pur termodinmică. De eemplu, stre termodinmică unui fluid se crcterieă prin presiune (prmetru mecnic de forţă), olum (prmetru mecnic de poiţie) şi tempertură (prmetru pur termodinmic). Relţi între prmetrii de stre se numeşte ecuţie de stre. Trecere unui sistem dintr-o stre termodinmică în lt se numeşte trnsformre termodinmică. În ntură, ceste trnsformări sunt ireersibile, deorece sistemul consumă energie pentru îningere diferitelor reistenţe, pe cre nu o mi pote recuper. Tempertur este mărime fundmentlă termodinmicii, ând unitte de măsură grdul Kelin (K). Oricărui sistem mteril i se pote soci o funcţie sclră, strict poitiă T ( r, t), numită tempertură bsolută. Tempertur unui lichid se determină fţă de o tempertură de referinţă, nottă cu 73,16 K, lesă în punctul triplu l pei. Acest repreintă tempertur l cre fele solidă, lichidă şi de pori le pei coeistă în stre de echilibru şi se noteă cu 73,16 K. Punctul triplu l pei este situt cu 0,01C peste punctul de topire l gheţii şi de cee, între scr de tempertură termodinmică (T) şi scr Celsius (), eistă relţi: = T 73,15 (II.8) Căldur specifică (c) unui lichid este căldur bsorbită su cedtă de unitte de msă (dq), pentru riţi temperturii cu o unitte şi re epresi: d q c = (II.9) d T Ecuţi de stre fluidelor, în trnsformre iotermă, este: 0 p ( p p 0 ) e (II.10) cu notţiile: p coeficientul de compresibilitte iotermă (Tbel II.1);, 0 densitte l momentul finl, respecti iniţil. Inersul coeficientului de compresibilitte iotermă se numeşte modul de elsticitte cubică şi se noteă: E 1 p (II.11) 11

II.4. Compresibilitte In cul riţiilor de presiune relti mici, în ecuţi (II.10), se deoltă în serie membrul drept, se neglijeă termenii cu p l puteri > 1 şi se obţine: 1 p p 1 0 ; p (II.1) p su: V = V 0 (1 p p) (II.13) Dcă p 0, tunci lichidele se consideră incompresibile. Tbel II.1. Coeficienţi de compresibilitte iotermă Fluid p 10 10 (m N 1 ) Apă l 0 C 5,1 Mercur 0,93 Petrol 5,739 Glicerină,55 II.5. Diltţi termică În trnsformre iobră, ecuţi de stre lichidelor este: e T T T 0 0 (II.14) în cre, s- nott: T coeficientul de diltţie termică; T, T 0 tempertur bsolută finlă, respecti, iniţilă. În prctică, se foloseşte o relţie mi simplă, obţinută prin deoltre în serie ecuţiei (II.14) şi neglijre termenilor de ordin superior: ρ ρ 0 (1 T T ) (II.15) su: V =V 0 (1 + T T ) (II.16) Pentru pă, l 0 C, T = 1,510-4 K -1, ir pentru produsele petroliere, T este de 1,5 - ori mi mre decât l pei. II.6. Modele mtemtice pentru lichide. Viscoitte Mişcre lichidelor este mult mi compleă decât solidelor, de cee studiul ei necesită ipotee simplifictore priind tât crcteristicile lichidului cât şi le mişcării. În cest sens, s-u propus diferite modele mtemtice. În tote modele, se consideră că lichidul este formt din prticule infinit mici, menţinute în contct de un câmp de forţe interne. De 1 0

semene, în lichid, c în orice mediu continuu, pr tensiuni tngenţile ce se opun lunecării strturilor ecine. Modelul lichidului idel su perfect re l bă ipote că tensiunile tngenţile sunt nule. În consecinţă, ectorul presiune este colinir cu norml l suprfţ lichidului. Lichidul perfect este incompresibil, re densitte constntă în orice punct din ms s şi l orice moment. Lichidul perfect suportă numi compresiune, deci p > 0. Lichidul perfect în mişcre fţă de un perete fi, nu deră l perete şi re ite tngentă l suprfţ de contct (Fig. II.1.). În ntură, nu eistă lichide perfecte. Modelul lichidului rel (Stokes) corespunde lichidelor din ntură şi se crcterieă prin fptul că tensorul tensiunilor (T ) este o funcţie continuă de ite de deformţie ( D ) şi de stre termodinmică lichidului. n n n h h h. b. c. Fig. II.1. Modele mtemtice pentru lichide.- perfect; b.- rel; c.- newtonin Fluidele rele, în mişcre fţă de o suprfţă fiă, deră l cest (Fig. II.1.b). Modelul newtonin (Newton, 1686) este primul model pentru lichidul rel. El corespunde lichidului flt în mişcre lminră şi se crcterieă prin riţi liniră tensiunilor tngenţile în funcţie de grdientul de d iteă. Lichidul newtonin, în mişcre fţă de un perete fi su mobil, d n deră l suprfţ cestui, ând ite eglă cu peretelui (Fig. II.1.c perete fi). Ipote fluidelor newtoniene este ce mi simplă relţie constitutiă, fiind lbilă tât pentru lichide cât şi pentru ge în condiţii obişnuite de tempertură şi presiune (de eemplu: pentru pă, er). Notă In cestă lucrre, lichidele rele se studiă după modelul newtonin. 13

Modelul nenewtonin l lichidului rel re l bă ipote că tensiunile tngenţile nu sunt funcţii linire de deformţii. Viscoitte este propriette două fluide dicente de eercit reciproc eforturi normle şi eforturi tngenţile l lunecre pe interfţ comună strturilor. În cul mişcării uniforme pln-prlele, efortul tngenţil de iscoitte depinde de ntur lichidului (μ) şi de ite specifică de deformţie, conform relţiei: d (II.17) d n Coeficientul de iscoitte dinmică μ depinde de compoiţi chimică şi greutte moleculră lichidului, de tempertură şi presiune. El scde l creştere temperturii (Tbel II.). În prctică, se foloseşte şi coeficientul de iscoitte cinemtică: (II.18) Tbel II.. Viscoitte cinemtică pei l presiune de 1 t Tempertur ( o C) 0 10 0 40 60 80 100 10-6 (m s -1 ) 1,8 1,3 1,0 0,66 0,48 0,36 0,9 Unităţile de măsură pentru coeficienţii de iscoitte, în S.I., sunt: Ns m Ps ; m s 1 În prctică, se folosesc şi unităţile de măsură Poise, respecti Stokes: = Poise = 0,1 P s ; = St = 10-4 m s -1 Viscoitte cinemtică se determină cu iscoimetrul (eemplu: iscoimetrul Höppler pentru iscoităţi mici, iscoimetrul Engler pentru iscoităţi mri). II.7. Tensiune superficilă L suprfţ liberă lichidelor, pe suprfţ de seprţie dintre două lichide nemiscibile precum şi pe suprfţ de contct lichidelor cu solidele, pr fenomene dtorte forţelor de trcţie dintre molecule. Aceste forţe de trcţie intermoleculre se mnifestă până l o distnţă eglă cu r de cţiune moleculră (10-6 mm). Strturile de molecule flte l limit de seprţie două fe u proprietăţi diferite de cele din interiorul felor. În interiorul fei (lichid, 14

solid, g), moleculele sunt înconjurte din punct de edere sttistic de un mediu iotrop, pe când suprfţ de seprţie este întotdeun niotropă în direcţi perpendiculră pe e. Reultnt forţelor intermoleculre de l suprfţ de seprţie este îndrepttă spre interiorul fei. Lucrul mecnic l reultntei cre solicită spontn moleculele spre interiorul fei se numeşte energie liberă. Energi liberă unităţii de suprfţă de seprţie s- numit tensiune superficilă (). Conform principiului energiei potenţile minime (δe = 0), suprfţ de seprţie dintre două fluide în repus tinde să deină minimă (Fig. II.). De ici, reultă că suprfţ de seprţie dintre fe tinde, în mod spontn, să se micşoree. Se consideră o suprfţă elementră (da) ând rele de curbură r 1, r şi tensiune normlă pe unitte de lungime lturilor,. ds 1 α 1 ds da p.da p 1 da r 1 α O 1 α 1 O r σ.ds σ.ds 1 Fig. II.. Tensiune superficilă Proiectând reultnt tensiunilor pe norml l suprfţ elementră, se consttă că re sensul spre centrul de curbură şi este eglă cu: d j d S j d S d Si d Si ; d rj r (II.19) Reultnt tensiunilor echilibreă sum presiunilor de pe suprfţ da (ecuţi Lplce): d S j d S p k d A p k d Si d S j II.0) i r j De eemplu, o bulă de g fltă într-un lichid re formă sferică, deorece suprfţ de contct între cele două fluide trebuie să fie minimă şi, în cest c, ecuţi (II.0) deine: 15

p (II.1) r unde s- nott: r r de curbură medie; Δp diferenţ de presiune de pe frontier de seprţie; tensiune superficilă. Tensiune superficilă depinde de ntur felor flte în contct şi scde cu tempertur. Unitte de măsură pentru tensiune superficilă, în S.I., este: = N m -1 = kg s -. Din definiţi tensiunii superficile, se ede că e repreintă forţ eercittă pe unitte de lungime perimetrului cre mărgineşte suprfţ interfică, este tngentă l suprfţă şi este îndrepttă în sensul micşorării suprfeţei. In prctică, fenomenul cre re loc l contctul solid - lichid, se numeşte, simplu, udre. De eemplu, p udă sticl, dr nu udă metlele; în cul mercurului, fenomenul este iners. Suprfeţele udte de pă se numesc hidrofile, ir cele pe cre p nu le udă se numesc hidrofobe. Se consideră două fluide (1 şi ), flte în contct cu un solid fi (3), conform Fig. II.3. Suprfţ eterioră lichidului formeă cu suprfţ solidului unghiul, numit unghi de rcordre (se măsoră în f lichidă). σ 1 α σ 31 1 σ 1 α 1 σ 31 σ 3 3. b. Fig. II.3. Tensiunile superficile interfice.- lichidul udă imperfect suprfţ solidă; b.- lichidul nu udă suprfţ solidă Tensiunile superficile sunt tngente l suprfeţele de seprţie respectie şi sunt orientte în sensul micşorării suprfeţelor dte. Echilibrul după direcţi normlei este sigurt de recţiune solidului, ir echilibrul după prlel l suprfţ solidă conduce l relţi Young- Lplce, cre demonstreă că echilibrul nu depinde de olumul felor: 3 31 1 cos (II.) Din condiţi de repus liniei comune dintre două fe su după lore unghiului, reultă următore clsificre lichidelor: σ 3 3 16

. lichide cre udă perfect suprfţ solidului: 3 31 1 Ecuţi (II.) nu pote fi stisfăcută pentru nici o lore unghiului şi, în cest c, echilibrul este imposibil, ir lichidul se întinde pe totă suprfţ solidului (eemple: uleiul pe sticlă, p pe curţ); b. lichide cre udă imperfect solidul cu cre sunt în contct: 3 31 1 şi 3 31 Un stfel de lichid este p pe lemn su pe tlc (Fig. II.3.). c. lichide cre nu udă suprfţ solidă (Fig. II.3.b): 3 31 Eemple: mercurul pe sticlă, p pe prfină. Tensiune superficilă re consecinţe importnte în ntură şi tehnică: 1. în tuburile cu dimetru mic su între două plăci forte propite, lichidul se ridică (su coboră) fţă de nielul iniţil (Fig. II.4);. un olum mic de lichid flt în mediu gos re formă proprie de picătură, fără e suprfeţe rigide de reem; 3. l suprfţ unui lichid gitt, în contct cu erul, se formeă spumă (emulsie lichid g); 4. form curbă suprfeţei de seprţie dintre un g şi un lichid; 5. rcordre curbilinie suprfeţei lichidului l perete (Fig. II.5); 6. între două solide în contct şi udte de un lichid, se mnifestă o coeiune prentă; 7. curgere unui lichid sub formă de picături; 8. denielre fţă de muchi unui deersor (Fig. II.6); 9. tenure lurilor prin întindere unui lichid uleios pe suprfţ pei; 10. seprre prticulelor coloidle din pă. r α Δ α h m h r d α Fig. II.4. Cpilritte cos h m d Fig. II.5. Rcordre suprfeţei libere h 1 sin 17

h Fig. II.6. Denielre peste crest deersorului h II.8. Adeiune Ntur deiunii o constituie forţele de trcţie dintre moleculele două medii în contct. În cul lichidelor cre udă pereţii selor, deiune este mi mre decât coeiune încât, în on de contct, suprfţ liberă i form unui menisc conc. C urmre, tensiune superficilă micşoreă presiune moleculră supr lichidului. Suprfţ lichidelor cre nu udă pereţii selor, în on de contct, re form de menisc cone, ir tensiune superficilă măreşte presiune moleculră supr lichidului. II.9. Cpilritte Fenomenul de scensiune (su regresiune) nielului hidrosttic în tuburi subţiri su între două plăci prlele, propite, scufundte într-un lichid este numit cpilritte (ltin. cpillus = fir de păr). Cpilritte este o consecinţă tensiunii superficile (Cp. II.7). Se consideră un tub cu dimetru mic (d < 1 cm), introdus în pă şi se obseră că lichidul urcă în tub formând, l suprfţă, un menisc conc (Fig. II.7.). Pe perimetrul cestui menisc, se mnifestă tensiune superficilă dirijtă după o direcţie ce fce unghiul cu erticl. Reultnt tensiunilor superficile este echilibrtă de greutte colonei de lichid din tub. Din condiţi de echilibru, reultă lege Jurin Borelli (1718): hd 4 cos K (II.3) unde, s- nott: d dimetrul tubului cpilr, h denielre nielului hidrosttic, greutte specifică lichidului, unghiul de rcordre l perete, K constnt de cpilritte lichidului (Tbel II.3). 18

Meniscul re form unei clote sferice, ir săget lui se determină din condiţii geometrice (Fig. II.4), stfel: α σ 1sin m R (II.4) cos. b. Fig. II.7 Cpilritte în tuburi.- lichid cre udă solidul; b.- lichid cre nu udă solidul Tbel II.3. Constnt de cpilritte d Lichid K (mm ) Apă 30 Alcool 10 Toluen 13 Mercur 14 Pentru fenomenul de cpilritte cre pre între două plăci prlele, situte l distnţă mică (), lege Jurin - Borelli deine: h cos K (II.5) În cul lichidelor cre nu udă suprfţ solidă, meniscul este cone (Fig. II.7.b), cee ce produce coborâre nielului în tubul cpilr su între două plăci prlele forte propite. În ntură, cpilritte este un fenomen forte frecent (de eemplu, produce scensiune pei în corpurile porose şi în fibrele plntelor). II.10. Absorbţi. Citţi h Lichidele bsorb o prte din gele cu cre in în contct, în funcţie de presiune gului, tempertur lichidului şi de conţinutul de săruri diolte în lichid. De eemplu, p diolă er tmosferic în proporţie de % din olumul ei. Volumul de g bsorbit corespunde concentrţiei de sturţie, l tempertur respectiă. h d α σ 19

Presiune de porire (presiune porilor sturnţi) este ce presiune l cre, sub cţiune forţelor intermoleculre, o prte gului se lichefiă, restul rămânând în fă gosă, l tempertur dtă (Tbel II.5) Dcă, în interiorul unui lichid, presiune scde brusc sub presiune de porire, pre tendinţ de porire cestui şi de degjre erului diolt. Lichidul îşi pierde omogenitte, se formeă cităţi (bule) umplute cu pori de lichid şi cu er. Fenomenul se numeşte citţie. Citţi este însoţită de fenomene chimice (p se descompune şi pre oigenul tomic forte corosi), termice, electrice (scântei), termoelectrice (curenţi termoelectrici), electrochimice (curenţi electrochimici). Citţi se pote produce l pletele turbinelor, l pletele pompelor centrifuge, l ejectore, l coturile conductelor şi sifonelor, l crest unui deersor cu curbură pronunţtă, l nişele stilelor, în prte l pilelor podurilor, l elice porelor. Efectele mcroscopice le citţiei sunt:. modificre crcteristicilor hidrodinmice dtorită discontinuităţii lichidului; b. distrugere suprfeţelor solide cu cre lichidul este în contct dtorită temperturii înlte în onele de formre cităţilor, dtorită coroiunii chimice şi electrolitice; c. priţi gomotele produse de comprimre cităţilor, cee ce permite determinre momentului când pre citţi l pompele centrifuge în funcţiune şi loclire submrinelor flte în mişcre; d. ibrţiile proocte de regimul nepermnent l curgerii. Pe suprfeţele solide supuse citţiei, se produce eroiune citţionlă, cărei nu îi reistă nici un mteril cunoscut până i. Tbel II.4. Proprietăţile fiice le unor lichide şi ge Fluid Densitte Viscoitte dinmică 10 4 Viscoitte cinemtică 10 6 Tensiune superficilă (fţă de er) (kgm -3 (Nsm - ) (m s -1 ) (Nm -1 ) Apă (0C) 999,8 17,91 1,791 0,0786 Alcool etilic (0C) 810 17,70,0 0,063 Mercur (0C) 13595 16,98 0,15 0,539 Aer (10C) 1,51 0,1717 13,73 0

Tempertur (C) Presiune de porire (t) Tbel II.5. Presiune de porire pei 0 10 0 30 40 60 80 100 0,006 0,015 0,038 0,043 0,075 0,031 0,489 1,033 II.11. Aplicţii II.11.. Etnşeitte îmbinărilor unei conducte din fontă, pentru limentre cu pă, se erifică pe tronsone de lungime L = 600 m. Tronsonul se închide l cpete şi, în el, se pompeă pă l presiune p = 10 t. Să se determine cntitte de pă necesră pentru erificre, considerând conduct rigidă. Se cunoşte dimetrul conductei D = 300 mm, presiune normlă de funcţionre p 0 = 6 t, densitte pei ρ 0 = 1000 kg m -3, coeficientul de compresibilitte l pei β V = 5,1 10-10 m N -1. Reolre Din lege compresibilităţii, se obţine lege de riţie densităţii în funcţie de presiune: 0 1 V p = 1000, kg m -3 Cntitte de pă înmgintă în tronsonul de conductă fi: m V D 4 L = 4408 kg II.11.b. Să se determine presiune erului din interiorul unei bule flte în pă, l dâncime H =,4 m. Se cunoşte r bulei R = 6 mm, densitte pei = 1000 kg m -3, tensiune superficilă pei = 0,0745 N m -1, presiune tmosferică p t = 1 tm. Reolre Aerul din interiorul bulei este supus presiunii pei (p h ), presiunii tmosferice (p t ) şi presiunii cpilre (p c ). Se scrie ecuţi de echilibru presiunilor într-un punct de pe suprfţ bulei: p p h p t p Presiune eercittă de colon de pă este: p h g H c 1

Din ecuţi Lplce, reultă presiune cpilră: Presiune totlă fi: 1 1 4,5 10 R1 R R p c N m - 4 p g H pt 1510 N m - R II.11.c. Pe un pln înclint cu unghiul α = 30 o, coperit cu un strt de ulei de grosime = mm, lunecă o plcă de rie S = 0,5 m şi cu greutte G = dn (Fig. II.8). Ştiind greutte specifică uleiului γ = 900 dn/m 3, coeficientul de iscoitte cinemtică υ = 0,4 10-4 m /s, să se clculee ite de lunecre plăcii când mişcre deine uniformă. S Fig. II.8. Schem de clcul G α Reolre Se descompune greutte după norml şi tngent l plnul înclint. Sub cţiune componentei după direcţi plnului, plc se mişcă uniform ccelert pe pln. În cestă mişcre, pre forţ de inerţie şi forţ de iscoitte. Forţ de iscoitte se opune deplsării, încât eistă un moment când mişcre deine uniformă. Condiţi de echilibru, pentru cestă stre este: Gsin T su Gsin S (II.6) d În cul studit, Δ este diferenţ dintre ite peliculei de ulei derentă l fţ inferioră plăcii şi ite peliculei de ulei derentă l pln. Fiecre peliculă re ite suprfeţei solide cu cre este în contct, respecti plc şi pln. Δd repreintă distnţ dintre cele două pelicule, dică. În consecinţă, ecuţi (II.6) deine:

Reultă ite plăcii: plc G sin S (II.7) G sin 0,00 9,81 0,5 plc 1,09 m s - S 0,4 104 900 0,5 II.11.d. Densitte unui lichid se măsoră cu instrumentul numit densimetru (Fig. II.9). Se cunoşte olumul densimetrului V = 95.10-6 m 3, ms lui m = 0,1 kg, dimetrul tijei de l prte superioră d = 0,01 m. Să se stbilescă relţi dintre indicţi h densimetrului şi densitte ρ lichidului, stbilindu-se domeniul de măsură în cul când grdţi mimă este h m = 0,1 m. p t Fig. II.9 Densimetru (schemă de clcul) h V Reolre Pentru determinre relţiei ρ = ρ(h), se scrie ecuţi de echilibru hidrosttic l forţelor ce cţioneă supr densimetrului flt în poiţie erticlă: unde F A este forţ rhimedică. Se epliciteă forţele şi se obţine: m g G F A (II.8) gv scufundt (II.9) de unde reultă formul densităţii în funcţie de dâncime de scufundre densimetrului: m (II.30) d V h 4 Densitte mimă ce pote fi măsurtă se obţine pentru h = 0, dică: 3

0,1 m 105,6 kg m -3 95 106 ir densitte minimă corespunde situţiei h hm = 0,1 m, dică: min 97, kg m-3 În concluie, domeniul de utilire cestui instrument este fit între lorile etreme determinte nterior şi nume ρ (975 ; 1050) kg m -3. 4

CAPITOLUL III HIDROCINEMATICA III.1. Repreentre mişcării Imgine mişcării unui lichid se stbileşte prin identificre poiţiei, iteei şi ccelerţiei fiecărei prticule în orice moment. În cest scop, se pot folosi două sisteme de descriere stării de mişcre: sistemul Lgrnge şi sistemul Euler. III.1.. Repreentre mterilă (Lgrnge) Sistemul Lgrnge indiidulieă fiecre prticulă din lichid prin centrul său de greutte (P) şi îi urmăreşte eoluţi în timp (triectori). Pentru repreentre mişcării, se lege un sistem de coordonte şi se rporteă poiţi prticulei fţă de cest sistem (Fig. III.1), prin ectorul său de poiţie l momentul iniţil ( r0 0 i 0 j 0 k ) şi l un moment dt ( r i j k ). Ecuţi mişcării prticulei pe triectori ei fi: r f r, t (III.1) unde ribile independente sunt r 0 0 şi t. Aceste ribile se numesc coordontele Lgrnge, ir dtorită fptului că mişcre este descrisă prin poiţi în timp prticulei mterile, se numesc şi coordonte mterile. Vite şi ccelerţi l un moment orecre sunt dte de funcţiile:. d r f r0, t (III.) dt... d r f r0, t (III.3) d t unde r 0 este constnt. În sistemul Lgrnge, ite este funcţie dor de timp, r 0 fiind dt. 5

Obserţie Repreentre mterilă se foloseşte mi mult în studiul deformării elstice solidelor. Fig. III.1 Repreentre mterilă (Lgrnge) 0 0 k j r 0 i P(t 0 ) r 0 P(t) III.1.b. Repreentre spţilă (Euler) În cest sistem, nu se urmăreşte prticul în mişcre, ci o onă (su un punct) din domeniul ocupt de lichid. Se determină prmetrii mişcării prticulelor din cestă onă, l un moment dt. Deci, mişcre fi descrisă prin mărimi specifice c funcţii de r şi t şi nume prin iteă, ccelerţie, densitte, presiune etc. De eemplu, cunoşte riţi iteei r, t pe un interl de timp, într-un punct ( r ) însemnă cunoşte iteele tuturor prticulelor ce trec prin punct, în interlul de timp dt. În repreentre spţilă, ite este funcţie de timp şi de poiţi în spţiu punctului prin cre trece prticul: f r, t (III.4) unde, ribilele independente sunt r şi t, numindu-se coordontele Euler su coordonte spţile. Notă În cestă lucrre, se folosi repreentre Euler. III.. Câmpul iteelor Câmpul iteelor repreintă mulţime ectorilor de iteă i prticulelor lichidului, l un moment dt. III... Clsificre mişcărilor În funcţie de riţi crcteristicilor câmpului iteelor, mişcre lichidelor se clsifică stfel:. după riţi în timp câmpului iteelor: 6

mişcre nepermnentă (su nestţionră) riă toţi prmetrii iteei r, t ; mişcre semipermnentă (su semistţionră) direcţi iteei este constntă în spţiu şi ribilă în timp, ir toţi ceillţi prmetrii i iteei sunt ribili r, t et, unde e este ersorul suportului lui ; mişcre permnentă (su stţionră) ite este constntă în timp r. b. după riţi în spţiu câmpului iteelor: mişcări tridimensionle; mişcări plne iteele sunt prlele cu un pln fi, u mărime şi direcţi constnte în orice punct situt pe norml l pln; mişcări prlele iteele sunt perpendiculre pe un pln fi; mişcări il-simetrice prticulele u triectorii circulre. III..b. Triectorie. Linie de curent. Tub de curent Triectori prticulei repreintă curb descrisă de prticulă într-un interl de timp (Fig. III.). Ecuţi triectoriei se determină din epresi iteei, stfel: ectoril r r, td t (III.5) sclr d d d dt (III.6),,, t,,, t,,, t l cre se dugă condiţiile iniţile 0 t 0 P r 0 t P r Fig. III. Triectorie O r, t 0 r 0 r. 7 Fig. III.3 Linie de curent Punctele unde ite este nulă se numesc puncte de stgnre. Lini de curent este curb l cre iteele prticulelor sunt simultn tngente (Fig. III.3). Ecuţi liniei de curent re form: ectorilă: r, t d r 0 (III.7) t P 1 1 r 1 t P r O r n t P n n

sclră: d d d (III.8),,, t,,, t,, t, Liniile de curent repreintă liniile din câmpul iteelor l un numit moment t. Ele coincid cu triectoriile numi în mişcre permnentă. Lichidele sunt sisteme mterile fără formă proprie şi, în consecinţă, ocupă, l un moment t, un domeniu (D) bine delimitt. Lichidele u olum propriu, de cee frontierele domeniului sunt suprfeţe mterile. Suprfţ de curent (Σ) este formtă din liniile de curent cre trec l momentul t, prin punctele unei curbe simple (Fig. III.4). Tubul de curent este o suprfţă de curent cre se sprijină pe o curbă închisă (Fig. III.5). În mişcre permnentă şi semipermnentă, form tubului rămâne constntă în timp. Σ n M π/ S Σ P P Fig. III. 4 Suprfţă de curent Fig. III. 5 Tub de curent Secţiune ie (secţiune trnserslă) este secţiune (S) dtă de un pln perpendiculr pe tubul de curent. R hidrulică (R) este rportul dintre secţiune ie (S) şi perimetrul udt (P). Curentul de lichid repreintă ms de lichid ce trece prin tubul de curent. Tubul elementr este definit printr-o secţiune trnserslă infinit mică. Lichidul cre curge printr-un tub elementr se numeşte fir de curent. III..c. Debit. Viteă medie Debitul de msă repreintă cntitte de substnţă ce trece prin secţiune trnserslă, în unitte de timp: Q ( n) ds (III.9) m S ir debitul de olum este olumul de lichid cre trece în unitte de timp, prin secţiune trnserslă unui curent: 8

Q V S n ds (III.10) unde, s- nott: S secţiune trnserslă; ρ densitte substnţei; - ite loclă; n - norml l suprfţ ds, ând celşi sens cu ite. Pentru defini ite medie, se consideră secţiune ie (S) unui tub de curent cu olum poiti (dică norml l secţiune şi ite u celşi sens). Vite medie pe secţiune S este dtă de rportul: m Q S III.3. Câmpul ccelerţiilor 1 n ds S S (III.11) Accelerţi este derit mterilă iteei unui element de lichid. Ştiind că derit mterilă este derit în rport cu timpul, unui câmp ectoril, reultă:. d r, t r, t (III.1) dt t În mişcre permnentă, ite este constntă în timp, de cee ccelerţi fi: r, t (III.13) III.4. Câmpul ârtejurilor O prticulă fluidă pote e mişcre de trnslţie rigidă, mişcre de rotţie în jurul unei e instntnee de rotţie ce trece prin prticulă precum şi mişcre de deformţie liniră su unghiulră. Dcă o prticulă cu mişcre compleă (Fig. III.6) se deplseă din A în punctul B infinit ecin, ite ei în B fi: B A. dr (III.14) Pentru clcul l doile termen din ecuţi (III.14), or fi mintite epresiile deformţiilor şi le iteelor de deformţie. 9

30 Fig. III.6 Vriţi iteei (schemă) Deformţi liniră se noteă, ir ite de deformţie liniră se noteă cu ' şi re componentele: ' ; ' ; ' (III.15) Vectorul iteă de rotţie se noteă cu şi re componentele: 1 ; 1 ; 1 (III.16) su, concentrt: i j j i ij r r 1 ; i, j =,, (III.17) În teori ectorilor, dublul ectorului iteă unghiulră se numeşte rotor (din germnă), tourbillon (din frnceă) su ârtej şi se noteă: rot (III.18) Deformţi unghiulră se noteă γ, ir ite de deformţie unghiulră se noteă ' su D şi re componentele: 1 ' ; 1 ' ; 1 ' (III.19) su, condenst: i j j i j i r r D 1, ; i, j =,, (III.0) A A(,,) B A B r d d

Reenind l ecuţi (III.14), se deduce că:. dr D d r (III.1) Lini de ârtej este curb mterilă l cre tngentele sunt ectorii ârtej şi este definită de ecuţiile: d d d dt (III.) Suprfţ de ârtej repreintă suprfţ cretă de totlitte liniilor de ârtej cre trec l momentul t printr-o curbă deschisă. Dcă cestă curbă este închisă, tunci suprfţ genertă formeă un tub de ârtej. Curb pe cre se sprijină liniile de ârtej este o brăţră ârtejului. În cul fluidelor perfecte, un tub de ârtej se întinde l infinit su se închide în el, formând un inel de ârtej. Tubul de ârtej se termină brusc numi când întâlneşte un obstcol solid. Din ec. (III.14), s- dedus că un câmp de itee pote gener un câmp de ârtejuri. L rândul său, un câmp de ârtejuri induce un câmp de itee. Viteele induse de un tub de ârtej infinit lung se flă în plnuri perpendiculre pe tub, deci sunt prlele între ele. Considerând unul dintre ceste plnuri (Fig. III.7), se mi obseră că ite în orice punct este perpendiculră pe r cre uneşte punctul cu urm ârtejului pe pln. În figur III.7, urm ectorului pe plnul perpendiculr pe tubul de ârtej se flă în punctul O. Fig. III.7. Vite indusă de ârtej În relitte, dtorită reistenţelor pe cre le întâmpină fluidul l deplsre în mediu, tubul de ârtej nu re o structură omogenă. Astfel, în on ilă, eistă permnent un nucleu unde fluidul se mişcă în bloc, c un solid, cu itee constnte (ω şi = r.ω), ir spre periferie, iteele descresc treptt. 31 ω O θ dθ urm ârtejului r P

Câmpul ârtejurilor re spect de solenoid. În ntură, ârtejurile îşi u origine în discontinuităţile conturului, le iteei su le presiunii. Eemple de ârtejuri sunt nforele şi torndele. Anforele sunt ârtejuri ce se formeă în râuri, în propiere mlurilor, u erticl şi produc eroiuni în formă de pâlnie până l dâncimi de 30 m. Torndele su trombele sunt ârtejuri tubulre, subţiri, erticle, ce se formeă r, între un nor şi suprfţ pământului su mării. Vite în interiorul unei tornde junge până l 300 m/s (Fig. III.8 ).. b. Fig. III.8 Torndă.- neperturbtă; b.- deplstă de ânt l prte superioră III.5. Ecuţi de continuitte În Hidrulică, ecuţi de continuitte este epresi mtemtică principiului conserării msei: ms oricărui sistem mteril rămâne constntă în timpul mişcării, cee ce se scrie: m D r, tdv const d m d dt dt su r, tdv 0 D (III.3) În principiu, derit în rport cu timpul unei integrle se reolă introducând derit sub integrlă. C urmre, ecuţi (III.3) deine: d, m r t r, t d 0 d V (III.4) t t D su, sub formă condenstă: 3

d dt D dv 0 (III.5) m. Dcă integrl unei funcţii definite şi continue pe domeniul D este nulă (ec. III.4, ec. III.5), tunci funcţi este nulă, deci: 0 (III.6) t Relţi (III.6) repreintă ecuţi de continuitte în formulre Euler. III.5.. Curi prticulre le ecuţiei de continuitte. Pentru mişcre permnentă (prmetrii nu depind de timp): 0 (III.7) b. L mişcre permnentă fluidelor incompresibile (ρ = const.): 0 (III.8) c. Pentru un tub de curent, form ecuţiei de continuitte se deduce din ec. (III.4) în cre, l doile termen de sub integrlă se scrie în funcţie de suprfţ trnserslă tubului:, D S r t dv r, t nds Se obţine ecuţi de continuitte sub formă integrlă: t D (III.9) dv nds (III.30) S d. L mişcre permnentă în tub de curent: d S Qm (III.31) e. Pentru mişcre permnentă în tub de curent unui fluid incompresibil (densitte este constntă): S S ds Q const (III.3) 33

III.6. Aplicţii III.6.. Mişcre unui lichid este cunoscută prin componentele iteei: = + t; = + t; = 0. Să se determine: ) fmili liniilor de curent; b) lini de curent cre trece prin punctul A(- 1, - 1, 0), l timpul t = 0; c) triectori prticulei M cre se găse în punctul A, l timpul t = 0. Reolre Din dtele problemei, se consttă că: ite re numi două componente, deci mişcre este bidimensionlă; componentele iteei depind de timp, deci mişcre este nepermnentă. ) Liniile de curent sunt definite de ecuţi diferenţilă: d d d d su (III.33) t t Se integreă cestă ecuţie şi se obţine: ln t ln t ln C su ln t t ln C (III.34) În finl, se obţine: tt C (III.35) cre repreintă ecuţi unei fmilii de hiperbole. b) Ecuţi liniei de curent se flă după definire constntei de integrre. Pentru cest, în ecuţi (III.35), or fi introduse condiţi iniţilă (t = 0) şi condiţi l limită [A(-1, -1)]. Reultă C = 1 şi ecuţi 1. c) Triectori re ecuţiile diferenţile: d d dt ; dt (III.36.) d d su: t ; t dt d t Soluţi cestor ecuţii diferenţile linire neomogene este: t (III.36.b) C1 e t 1 ; C e t 1 (III.37) Constntele de integrre se determină din condiţi iniţilă (t = 0) şi din condiţi l limită [A(-1, -1)], stfel: t 34

1 = C 1 1 C 1 = 0 ; 1 = C 1 C = 0 Triectori este o dreptă ând ecuţi: sub formă prmetrică: = t 1 ; = t 1 după eliminre prmetrului t: + =. III.6.b. Distribuţi iteelor într-o conductă cilindrică de ră R, în cul curgerii unui lichid este neuniformă şi este dtă de ecuţi: r m 1 (III.38) R Să se clculee ite medie pe secţiune. Reolre Din nli ecuţiei iteei, se consttă următorele: mişcre este permnentă, liniile de curent sunt drepte prlele cu conductei, ite mimă se flă în ul conductei (pentru r 0 m ), ite minimă este l perete (pentru r R 0 ). În ceste condiţii, ite medie fi: su: med R 0 r dr R da Q A med (III.39) A A R 0 r 35 m R r 1 R dr m (III.40) III.6.c. Să se rte că mişcre cărei iteă re epresi 5 i 5 j 10k stisfce ecuţi de continuitte pentru un fluid incompresibil. Să se determine debitul cre trece prin cele trei pătrte cu ltur unitră, dispuse cu două din lturi în onele poitie le elor de coordonte. Reolre Componentele iteei sunt: 5 ; 5 ; 10 (III.41) Ecuţi de continuitte sub formă sclră pentru mişcre unui fluid incompresibil este:

0 (III.4) Înlocuind epresiile componentelor iteei se consttă că ecuţi (III.4) se erifică: 5 5 10 0. Pătrtele u suprfeţele egle ( A 1) şi sunt perpendiculre pe componentele iteei. Debitul cre trece printr-un pătrt este Q A. Se consttă că debitul totl cre trerseă ceste trei pătrte este ero: Q 1 1 1 5 5 10 0 III.6.d. Cunoscând epresiile b, c d, se cere: 1. să se determine condiţiile c ceste epresii să fie componentele iteei pentru mişcre unui fluid incompresibil;. să se determine ecuţi pentru fmili liniilor de curent. Reolre 1. Se scrie ecuţi de continuitte sub formă diferenţilă: 0 (III.43) în cre, se înlocuiesc epresiile componentelor iteei, reultând condiţi: d 0 su d. Ecuţi liniilor de curent este: d d d d su b c d (III.44) Se integreă ecuţi (III.44) şi se obţine ecuţi fmiliei de linii de curent: c b 4 K 36

CAPITOLUL IV HIDROSTATICA IV.1. Presiune hidrosttică Forţele cre cţioneă supr unui olum de lichid sunt, în rport cu cest olum, forţe msice şi forţe de suprfţă. Forţ msică este o forţă concentrtă, ând mărime proporţionlă cu ms corpului lichid şi cu ccelerţi cretă de câmpul forţei, ir punctul de plicţie coincide cu centrul de msă l corpului. Eemple de forţe msice: greutte, forţ de inerţie, forţ centrifugă, forţ trcţiei uniersle, forţ electrosttică. Forţ superficilă este distribuită pe frontier lichidului şi re mărime proporţionlă cu ri frontierei. Acestă forţă proine din cţiune ltor corpuri solide, ge, lte lichide cre sunt în contct direct cu suprfţ lichidului considert. Pentru defini crcteristicile forţei de suprfţă, se consideră un lichid omogen, în repus, flt într-un olum definit (Fig. IV.1). R Fig. IV.1. Componentele forţei de suprfţă T M P S Teoretic, se secţioneă lichidul cu un pln rbitrr şi se îndepărteă prte de desupr secţiunii. Pentru menţine condiţiile de continuitte şi de repus din ipoteă, se înlocuieşte cţiune lichidului îndepărtt prin forţ R. Acestă forţă se descompune într-o forţă normlă l pln P şi lt tngentă T. 37

Componentele se numesc forţă de presiune, respecti forţă de frecre. Forţ de frecre T pote să pră numi în timpul mişcării lichidului de- lungul suprfeţei S, dr prin ipoteă, lichidul este în repus. Prin urmre, component tngenţilă este nulă, ir singur cţiune lichidului îndepărtt este forţ P normlă pe suprfţ S. Forţ superficilă rporttă l unitte de suprfţă, în cul lichidelor în repus, se numeşte presiune hidrosttică medie: P pmed (IV.1) S Presiune hidrosttică într-un punct l suprfeţei fi: d P p li m (IV.) d S ds 0 Formul dimensionlă presiunii este: P S 1 p M L T (IV.3) Unitte de măsură presiunii, în S.I., se numeşte Pscl: < p > kg m -1 s - = N m - = P În prctică, se folosesc şi lte unităţi de măsură (Tbel IV.1). Denumire unităţii Tbel IV.1. Unităţi de măsură pentru presiune Simbolul unităţii kilogrm forţă pe m kgf / m 9,8 N/m bre bre 0,1 N/m pie p 10 3 N/m br br 10 5 N/m Echilent în S.I. su în lte unităţi tmosfer fiică At su tm 1,013 10 5 N/m tmosferă tehnică t 9,8 10 4 N/m tmosferă bsolută t n t = (n + 1) t mm colonă Hg (torr) mm Hg (Torr) 1 / 760 At metru colonă H O mh O 9,8 10 3 N/m 38

IV.1.. Proprietăţile presiunii hidrosttice. Presiune hidrosttică re direcţi perpendiculră pe frontier lichidului cu lt corp şi sensul spre interiorul lichidului. Acestă propriette decurge direct din structur lichidului cre nu pote prelu decât forţe de compresiune. b. In orice punct din interiorul unui lichid, presiune hidrosttică re ceeşi mărime în tote direcţiile. Pentru eidenţi cestă propriette, se consideră un lichid omogen, în echilibru în repus sub cţiune forţelor msice şi de suprfţă. Din cest lichid, se decupeă, teoretic, un olum infinit mic în formă de tetredru drept, ând lturile prlele cu ele de coordonte (Fig. IV.). Forţele msice du o reultntă R, cu punctul de plicţie în centrul de msă l tetredrului (M). Pe suprfeţele lterle le tetredrului, cţioneă forţele cre proin din presiunile hidrosttice (P, P, P, P n ). P d d O M P d n P n Fig. IV.. Proprietăţile presiunii hidrosttice (schemă de clcul) P R Se scrie condiţi de echilibru sub formă nlitică: P P n cos n,o F dv 0 n,o F dv 0 P Pn cos (IV.4) P P n cos n,o F dv 0 cu notţiile: F, F, F proiecţiile forţei msice unitre (pentru m = 1), n normlă pe fţ înclintă, ρ densitte lichidului. 39

Se eprimă forţele superficile în funcţie de presiunile hidrosttice. Tetredrul re dimensiuni elementre, de cee presiunile hidrosttice pot fi considerte constnte. Astfel, pentru O, se obţine: d d 1 p pn ds cosn, d d d F 0 (IV.5) 6 d d unde ds cosn, este proiecţi feţei înclinte, pe plnul de normlă O. După simplificări, reultă: 1 p pn d F 0 (IV.6) 3 Dcă dimensiunile tetredrului tind spre ero, tunci ultimul termen l ecuţiei tinde de semene l ero, deorece conţine fctorul d, în timp ce presiunile p şi p n rămân fie. Deci, l limită, se obţine: p p n 0 su p pn (IV.7) Anlog, se scriu ecuţiile de echilibru pe ele O şi O, reultând, în finl, că presiune re ceeşi mărime indiferent de direcţi considertă: p p p pn (IV.8) Obserţie Proprietăţile presiunii hidrosttice sunt lbile şi pentru stre de mişcre, dr numi în cul lichidului perfect. IV.. Ecuţiile generle le echilibrului hidrosttic Fie punctul M(,,) în interiorul unui lichid idel, în repus sub cţiune forţelor msice şi de suprfţă (Fig. IV.3). Se cunoşte presiune hidrosttică p în punctul M şi riţi ei în spţiu, după grdienţii de p p p presiune,,. Fig. IV.3. Echilibrul hidrosttic (schemă de clcul) P 1 d d d M(p) P R 40

În jurul punctului M, se detşeă un prlelipiped infinit mic, se înlocuieşte cţiune lichidului îndepărtt prin forţele de presiune şi se scrie condiţi de echilibru sub formă nlitică, stfel: pe O: P 1 P R 0 (IV.9) şi, după eprimre forţelor: 1 p 1 p p d d d d d d d d d 0 p F (IV.9.) Anlog, se scrie condiţi de echilibru pe celellte e şi, după simplificări, se obţine sistemul de ecuţii diferenţile le echilibrului hidrosttic: p p p nlitic F ; F ; F (IV.10) ectoril p F (IV.11) Aceste ecuţii u fost obţinute de Euler, în 1755, de cee se mi numesc ecuţiile Euler. Mi târiu, u fost generlite de Cuch (187). Se mplifică ecuţiile (IV.10), respecti, cu infiniţii mici d, d, d, poi se dună şi se obţine ecuţi generlă echilibrului hidrosttic: p p p d d d F d F d F d su: d p F d F d F d (IV.1) (IV.13) Scrisă sub form: 1 F d F d F d d p (IV.14) ecuţi se pote interpret stfel: lucrul mecnic irtul elementr l forţelor msice este egl cu lucrul mecnic l forţelor elstice. Membrul stâng l ec. (IV.14) pote fi considert c diferenţil totlă funcţiei F, numi dcă F deriă dintr-o funcţie sclră Π numită potenţil. În cest c, ecuţi diferenţilă echilibrului hidrosttic (IV.13), scrisă sub formă de potenţil, deine: 1 d p d d d (IV.15) su: 1 d p d (IV.16) 41

Sub formă integrlă, ecuţi echilibrului hidrosttic deine: p const (IV.17) IV... Principiul lui Pscl Orice schimbre de presiune din eterior, ce se mnifestă într-un punct l domeniului ocupt de un lichid incompresibil, în repus, se trnsmite cu ceeşi intensitte în tote punctele domeniului. Se consideră un lichid supr cărui cţioneă forţe msice de mărime neglijbilă. C urmre, ecuţiile diferenţile le echilibrului hidrosttic: p F p F ; 4 p F ; p p p dein: 0 ; 0 ; 0 su: p p p const IV.3. Echilibrul lichidelor în câmp gritţionl Se consideră un lichid în repus, supr cărui cţioneă numi forţ gritţionlă. În consecinţă, proiecţiile forţei msice sunt ( O fiind orienttă în sus): F 0 F 0 F g (IV.18) şi se introduc în ec. (IV.13), reultând ecuţi fundmentlă hidrostticii, sub formă diferenţilă: d p g d (IV.19) După integrre, ec. (IV.19) deine: p p g C su C (IV.0) Constnt de integrre C se determin din condiţiile l limită. Din punct de edere geometric, fiecre termen l ecuţiei fundmentle (IV.0) repreintă o înălţime, numindu-se: înălţime de poiţie, cotă; p înălţime de presiune, înălţime pieometrică; p H s cotă pieometrică, srcină hidrosttică.

Din punct de edere energetic, termenii ecuţiei fundmentle sunt energii rportte l unitte de greutte lichidului, numindu-se: energie specifică de poiţie; p energie specifică de presiune; p E sp energie specifică potenţilă. IV.3.. Clculul presiunii într-un punct l lichidului Se consideră două puncte în interiorul unui lichid (Fig. IV.4) pentru cre, ecuţi fundmentlă hidrostticii re form: p1 p 1 const (IV.1) unde este înălţime unui punct fţă de plnul oriontl de referinţă O. Din relţi (IV.1), se obţine formul presiunii într-un punct orecre l lichidului: p p (IV.) 1 1 tub pieometric p 0 p 1 1 1 γ p pln de referinţă Fig. IV.4. Clculul presiunii hidrosttice într-un punct Dcă punctul se poiţioneă l suprfţ lichidului, unde cţioneă presiune p 0, ir dâncime punctului 1 este h 1, tunci, din ec. (IV.1), se deduce formul generlă presiunii bsolute într-un punct: p p 0 h (IV.3) Presiune bsolută se numeşte şi presiune brometrică (p b ). Plnul brometric (Fig. IV.5) este suprfţ până l cre se ridică lichidul într-un tub erticl idt (su suprfţ iobră unde presiune brometrică este nulă p b = 0). 43

. Se consideră că reerorul din Fig. IV.4 este închis, ir l suprfţ lichidului cţioneă presiune p 0 > p t. Presiune mnometrică (p m ) este diferenţ dintre presiune bsolută unui punct din lichid şi presiune tmosferică (Fig. IV.5): p m p p (IV.4) Înălţime mnometrică este înălţime până l cre se ridică lichidul într-un tub deschis tşt l peretele reerorului, l nielul punctului: tub mnometric pln brometric bs pln mnometric t p h m m (IV.5) p = 0 p t /γ p t - 0 b 0 m H b h b H m h m N p 0 > p t tub brometric p b p m pln de referinţă + Fig. IV.5. Presiune mnometrică Plnul mnometric este locul geometric l etremităţii înălţimilor mnometrice (suprfţ iobră pe cre presiune mnometrică este nulă). Plnurile mnometric şi brometric sunt declte cu înălţime p t / γ. b. Se consideră că reerorul din Fig. IV.4 este închis, ir l suprfţ lichidului cţioneă presiune p 0 < p t. Presiune cuummetrică (p ) este diferenţ dintre presiune tmosferică şi presiune bsolută unui punct din lichid (Fig. IV.6): p p p (IV.6) Înălţime cuummetrică este înălţime cu cre coboră lichidul în tubul deschis tşt l peretele reerorului, în dreptul punctului: t bs p t p h (IV.7) 44

pln brometric tub brometric p=0 p t tub mnometric 0 b H b h b p 0 < p t pln mnometric p b h c N 0 m p m H c pln de referinţă + Fig. IV.6. Presiune cuummetrică Şi în cest c, plnul mnometric este locul geometric l etremităţii înălţimilor mnometrice (p m = 0). Obserţie Înălţime cuummetrică pentru pă, dcă s-r reli id perfect, r fi de 10 m, dr în prctică, e este de 6 7 m. IV.4. Măsurre presiunii Vlore presiunii se obţine prin măsurători directe su pe cle nlitică.. Măsurătorile directe sunt fectte de erori dtorită imperfecţiunii simţurilor, prtelor şi metodelor folosite. Erorile pot fi sistemtice, întâmplătore su grosolne. Vlore ectă presiunii se obţine efectuând n măsurători cre du lorile p i. Vlore ectă este cuprinsă între p p şi p p, deci: p p n i 0,6 p i p n( n 1) 45 n p i 3 i n n 1 (IV.8) unde s- nott: p medi ritmetică lorilor măsurte; p i şirul de măsurători; σ p erore posibilă lorii medii; δ i erore prentă lorii medii. b. Metod nlitică foloseşte formule în cre intră mărimi independente, dr cre, l rândul lor, s-u obţinut prin măsurători directe. p t

Deci, presiune deine o funcţie de măsurătorile cestor mărimi:, i 1, n p f i, (IV.9) Erore probbilă lorii medii funcţiei f( i ) se simileă cu diferenţil totlă funcţiei. Erorile probbile le mediilor ribilelor din cestă funcţie se iu egle cu diferenţilele ribilelor. În consecinţă, lore ectă presiunii se obţine cu formul: p f p p p, (IV.30) 1,, n 1 n 1 n IV.4.. Clsificre instrumentelor de măsurre presiunii Principiile de clsificre instrumentelor de măsurre presiunii, cu eemplele corespunătore, sunt:. lore presiunii înregistrte: brometre, mnometre, cuummetre, mnocuummetre; b. principiul de funcţionre: 1. instrumente cu lichid: tub de sticlă erticl (Fig. IV.7), tub în formă de U (Fig. IV.8), instrument diferenţil (Fig. IV.9), instrument cu greutăţi, instrument cu plutitor;. instrumente cu element elstic sub formă de: membrnă simplă (Fig. IV.10), membrnă dublă, burduf (Fig. IV.11), tub curbt (Fig. IV.1), tub elicoidl; 3. instrumente cu piston de tipul: piston simplu cu greutăţi (Fig. IV.14), piston simplu cu rc, piston diferenţil (Fig. IV.13); 4. instrumente electrice: trductor de presiune pieoelectric (Fig. IV.15), trductor reisti (Fig. IV.16), trductor cpciti (Fig. IV.17), trductor inducti (Fig. IV.18), trductor de presiune reltiă (Fig. IV.19). c. destinţie: instrumente etlon, instrumente de lucru, instrumente model. pln brometric p t id h b = p b / γ m A p A p t h γ m Fig. IV.7. Pieometrul simplu Fig. IV.8. Pieometrul în formă de U 46

În domeniul mijlocelor de măsurre destinte sistemelor digitle, s- u deoltt mijlocele de măsurre hibride prin implementre microprocesorelor on-bord în structur mijlocelor de măsurre trdiţionle su sistemelor de chiiţii de dte. În cest fel, deine posibilă efecture unor lgoritmi complecşi, inerenţi proceselor de măsurre performnte, fără interenţi sistemului de clcul. IV.5. Echilibrul relti l lichidelor Un lichid se flă în echilibru relti tunci când se mişcă fţă de un reper fi şi, simultn, este în repus fţă de un reper mobil. Fie reperul fi O 1 1 1 1 şi reperul mobil O (Fig. IV.0) ce se deplseă fţă de reperul fi cu ite liniră 0 şi ite unghiulră 0. Mişcre unui punct orecre P din lichid se crcterieă prin ite bsolută şi ccelerţi bsolută. Aceşti prmetri dinmici se eprimă în funcţie de crcteristicile celor două repere stfel: r t ; r t C (IV.33) unde: r, t ite reltiă, ite de trnsport; r, t ccelerţi reltiă, ccelerţi de trnsport; C r ccelerţi Coriolis. Fig. IV.0. Mişcre reltiă (schemă de clcul) 1 O 1 r 1 r 0 O P r 0 1 Lichidul este în echilibru relti (su în repus) dcă prticulele sle sunt în repus fţă de reperul mobil. În cest c, r = 0, r = 0, C = 0, = t. În consecinţă, dcă prticul este supusă unor forţe F, se scrie: F m m (IV.34) 1 t 5

cee ce însemnă că o problemă de echilibru relti deine o problemă de echilibru între forţele plicte prticulei şi forţ de inerţie produsă de mişcre reperului mobil. Dcă forţele msice plicte prticulei deriă dintr-un potenţil, tunci ecuţi diferenţilă echilibrului relti se deduce folosind ecuţi generlă echilibrului hidrosttic (IV.17): p const (IV.35) su: F d F d F d 0 (IV.36) Suprfţ echipotenţilă dintr-un lichid este suprfţ pe cre potenţilul este constnt: Π = const. su dπ = 0. Suprfţ iobră se crcterieă prin presiune constntă: p const su d p 0. E se numeşte şi suprfţă de niel. Reultnt forţelor msice este întotdeun perpendiculră pe suprfţ iobră şi re sensul descreşterii potenţilului. Suprfţ echipotenţilă este totodtă şi suprfţă iobră. Suprfţ iodensă se crcterieă prin densitte constntă (ρ = const.). Din ecuţi (IV.35), reultă că, pentru un lichid omogen (ρ = const.), o suprfţ iobră şi echipotenţilă este şi suprfţă iodensă. Dcă lichidul este neomogen, el se dispune în strturi de ceeşi densitte. Lichidele nemiscibile, cu densităţi diferite, flte în repus se sepră în strturi cu densităţi crescătore spre prte inferioră, conform teoremei lui Torricelli: l echilibru stbil, centrul de greutte re poiţi ce mi josă (Fig. IV.1). p 0 p 0 tgα = γ Fig. IV.1. Suprfeţe iodense H 1 γ 1 α 1 H γ α H 3 γ 3 α 3 γ 1 < γ < γ 3 p 0 + Σ γ i H i 53

Suprfeţele echipotenţile (iobre şi iodense) nu se intersecteă între ele. Suprfţ iobră este şi suprfţă iotermă, deorece ecuţi de stre fiică lichidului este T f p,, unde p şi ρ sunt constnte. Obserţie Perpendiculrele pe liniile echipotenţile se numesc linii de curent. Repreentre grfică mişcării lichidului prin reţeu ortogonlă de linii echipotenţile şi linii de curent constituie spectrul hidrodinmic l mişcării. IV.5.. Ecuţi echilibrului relti în curi prticulre IV.5..1. Lichid în repus în câmp gritţionl Dcă lichidul este în repus, însemnă că supr lui cţioneă numi de forţ de greutte (G = m g). Pentru obţine ecuţi suprfeţelor iobre, se consideră o prticulă P l suprfţ liberă lichidului şi se rporteă studiul l sistemul de e les c în figur IV.. Se proiecteă forţă msică unitră pe ele de coordonte şi se înlocuiesc proiecţiile în ecuţi suprfeţei iobre (IV.36): F 0, F 0, F g (IV.37) După integrre şi după definire constntei de integrre, se obţine ecuţi suprfeţei iobre: cre repreintă un pln oriontl. g d 0 ; 0 (IV.38) P g H h α P g L Fig. IV.. Acţiune gritţiei Fig. IV.3. Acţiune gritţiei şi inerţiei Obserţii 1. Msele mri de pă de pe Pământ sunt în echilibru sub cţiune câmpului de forţe msice le cărui linii de forţă sunt conergente spre centrul Pământului. 54

Potenţilul câmpului terestru este: K M P (IV.39) r în cre, s- nott: K constnt trcţiei uniersle; M P ms Pământului; r r ectore. Pentru un punct de pe suprfţ Pământului, prmetrii câmpului de forţe şi geometrici sunt K = g, r = R Păm. Înlocuind ceste lori în ecuţi (IV.39), se obţine ecuţi unei sfere. Reultă că, în cest c, suprfţ echipotenţilă este o sferă. Prin urmre, suprfeţele mărilor şi ocenelor sunt suprfeţe sferice, dr pe întinderi mici, ceste sunt similte cu plnul tngent cre constituie plnul oriontl l locului.. Propriette plnurilor oriontle de fi suprfeţe echipotenţile eplică principiul selor comunicnte. IV.5... Lichid cţiont de forţ de inerţie în câmp gritţionl Forţele msice cre cţioneă lichidul flt într-un recipient în mişcre uniform - rită sunt greutte şi forţ de inerţie (Fig. IV.3). Pentru determin ecuţi suprfeţei libere (cre este o suprfţă iobră), se consideră o prticulă P sitută l suprfţ lichidului, se eprimă forţele msice unitre F ; F 0 ; F g, se introduc în ecuţi (IV.36) şi reultă: g const (IV.40) Acestă ecuţie repreintă un pln înclint pe cre reultnt forţelor msice este perpendiculră. Unghiul de înclinre l suprfeţei iobre este: tg (IV.41) g IV.5..3. Lichid cţiont de forţ centrifugă în câmp gritţionl Un recipient cilindric, cu genertore erticlă, ând o mişcre de rotţie uniformă ( = const) în jurul ului său (Fig. IV.4), conţine un lichid până l înălţime h 0. Forţele msice sunt gritţi şi forţ centrifugă. 55

Se consideră o prticulă P l suprfţ liberă, se introduc proiecţiile forţelor msice unitre în ec. (IV.36) şi se obţine ecuţi suprfeţelor iobre: r, d r sin r, d g d 0 r cos (IV.4) g su: C (IV.43) cre repreintă un prboloid de rotţie. Constnt de integrre se determină din următorele condiţii l limită: g pentru r = 0 = h deci C h ; pentru r = R = H deci g g R H h ;. R 0 Form finlă ecuţiei suprfeţei libere este: olumul se conseră R h RH H h R h 0 r (IV.44) g R ω H P ω r Fig. IV.4. Acţiune forţei de gritţie şi forţei centrifuge h 0 h g r α ω r 56

IV.6. Aplicţii IV.6.. Un s cilindric închis, plin cu pă este şet cu genertore oriontlă (Fig. IV.5). Se imprimă sului o mişcre de rotţie în jurul ului. Se cunoşte dimetrul D = 300 mm şi turţi n = 00 rot/min. Să se determine ecuţi suprfeţelor echipotenţile. Reolre Vsul este plin cu pă şi închis, deci lichidul nu re suprfţă liberă. Fţă de pereţii sului, lichidul se flă în repus. Forţele msice cre cţioneă lichidul sunt gritţi şi forţ centrifugă. Fig. IV.5. Acţiune forţei gritţionle şi forţei centrifuge C O r g P ω ω r Se introduc proiecţiile forţelor msice unitre în ec. (IV.36) şi reultă: r, d r sin r, d g d 0 r cos (IV.45) d su: d g d 0 (IV.46) După integrre, se obţine: g C (IV.47) Deci, suprfeţele iobre sunt cilindri concentrici. Centrul cestor cilindri se flă pe o dreptă cu următorele crcteristici: este prlelă cu O, trece prin punctul C de coordonte: g 9,81 9,81 C 0 ; C 0,0 m n 00 3,14 60 57

IV.7. Forţ hidrosttică Lichidele flte în repus eercită, supr solidelor cu cre sunt în contct, numi eforturi de compresiune. Forţ eercittă pe întreg suprfţă solidului se numeşte forţă hidrosttică şi este dtă de relţi generlă: P S p n ds unde n este ersorul normlei eteriore suprfeţei. IV.7.. Forţ hidrosttică pe suprfeţe plne (IV.48) În cul suprfeţelor plne de formă orecre, forţ hidrosttică re epresi: P n p ds (IV.49) Centrul de presiune (C) este punctul de plicţie forţei hidrosttice. Poiţi lui este dtă de teorem lui Vrignon: r P r C dp su S S rc S r p ds S p ds IV.7..1. Forţ hidrosttică pe suprfeţe oriontle (IV.50) Asupr tuturor punctelor unei suprfeţe oriontle desupr cărei se flă un strt de lichid de grosime h se eercită ceeşi presiune p = γ h (Fig. IV.6). C urmre, mărime forţei hidrosttice este: P h S V (IV.51) unde V repreintă olumul susţinut de b S. Forţ hidrosttică este un ector erticl, cu sensul de l lichid spre suprfţă, cu punctul de plicţie în centrul de greutte l suprfeţei, deorece presiune hidrosttică este uniform distribuită. Din formul (IV.51), se consttă că forţ hidrosttică pe suprfeţe oriontle nu depinde de form sului, ci numi de olumul susţinut de bă. 58

Reulttul este numit prdoul hidrosttic (demonstrt de Pscl). P P P S S S h C C C Fig. IV. 6. Prdoul hidrosttic IV.7... Forţ hidrosttică pe suprfeţe înclinte Se consideră o suprfţă orecre S, sitută într-un pln înclint (Fig. IV.7). Pentru ede form, mărime şi poiţi relă suprfeţei, se rbte plnul în cre se flă S până junge în plnul desenului. În jurul unui punct orecre situt l dâncime h, se delimiteă o suprfţă infinit mică ds. Presiune hidrosttică pe suprfţ ds se consideră uniformă, de mărime p h. h α O h C P C G O ' Fig. IV.7. Forţ hidrosttică pe suprfeţe plne C ds G G Forţ hidrosttică pe suprfţ elementră fi o forţă elementră, de mărime: dp p ds γ h ds γ sinα ds (IV.5) Mărime forţei hidrosttice pe totă suprfţ fi: P S 59 d P γsinα ds (IV.53) S

Pentru determin crcteristicile ectorului forţă hidrosttică prin metod grfică, se consideră o suprfţă rectngulră erticlă, cţiontă dintr-o singură prte de un lichid cu greutte specifică γ. Se delimiteă o fâşie elementră oriontlă, sitută l dâncime. Fâşi re suprfţ d A B d. Pe cestă fâşie cţioneă forţ hidrosttică elementră de mărime: d P p d A γ B d (IV.56) Mărime forţei hidrosttice cre cţioneă pe totă suprfţă A este dtă de integrl forţelor elementre dp: P P dp B γ d (IV.57) A O O ds d 1 C 1 da C S digr B Fig. IV.9. Forţ hidrosttică determintă prin metod grfică Fâşiei da îi corespunde, în digrm presiunilor, o fâşie trpeoidlă ds. Se simileă trpeul cu un dreptunghi de ceeşi suprfţă şi nume ds d cre coincide cu epresi de sub integrl (IV.57). Reultă mărime forţei hidrosttice: P B S Sdigr B d (IV.58) S digr Suportul forţei hidrosttice trece prin centrul de greutte l digrmei presiunilor şi este perpendiculr pe suprfţ A. Centrul de presiune se flă în punctul de intersecţie dintre suportul forţei hidrosttice şi de simetrie suprfeţei rectngulre. 61

P A d P γ d A γ d A (IV.61.b) A A P d P γ d A γ d A (IV.61.c) A A A Aplicând teorem momentelor sttice în primele două relţii şi obserând că integrl din ultim relţie este olumul domeniului D A, reultă: P P γ G A γ G A (IV.6) P γ V unde G şi G sunt dâncimile centrelor de greutte le suprfeţelor A, respecti, A. Obserţii. Componentele oriontle se determină c forţe hidrosttice pe suprfeţe plne. b. Component erticlă este eglă cu greutte corpului de presiune delimitt de suprfţ curbă, suprfţ liberă lichidului şi erticlele duse pe conturul suprfeţei curbe până l suprfţ liberă. c. Componentele forţei hidrosttice sunt concurente dor în curi prticulre. În cul generl, ele se reduc, fţă de un punct, l un tensor formt din o reultntă şi un cuplu ând momentul colinir cu cest. IV.7.b.1. Forţ hidrosttică pe suprfeţe cilindrice În cul suprfeţei cilindrice deschise, cu genertore oriontlă (Fig. IV.31), component prlelă cu genertore este nulă, ir celellte sunt: P γ ; γ V (IV.63) ori G A ori unde A ori este proiecţi suprfeţei cilindrice pe plnul cărui normlă este oriontlă şi prlelă cu genertore. Mărime forţei hidrosttice fi: P P P ori P ert (IV.64) 63

Suportul forţei hidrosttice trece prin centrul cilindrului şi se defineşte prin unghiul fţă de un din e. Astfel, direcţi fţă de oriontlă, fi dtă de: Pert tg (IV.65) Pori Obserţii. Dcă suprfţ udtă este ce concă, tunci P ert repreintă greutte olumului susţinut de suprfţ curbă (Fig. IV.3.), ir dcă este udtă fţ coneă, tunci P ert re sensul forţei rhimedice (Fig. IV.3.b). Fig. IV.31. Forţ hidrosttică pe suprfeţe cilindrice O P A V A P A α P P P b. L suprfeţele sferice, suporturile componentelor trec prin centrul sferei. P P V A A P V P P B B. P b. Fig. IV. 3. Sensul componentei erticle forţei hidrosttice.- greutte; b.- forţă rhimedică 64

IV.8. Echilibrul solidului scufundt în fluid IV.8.. Lege lui Arhimede Se consideră un corp cre ocupă domeniul D şi este scufundt într-un fluid. Corpul este în echilibru în preenţ câmpului gritţionl. Acţiune fluidului pe suprfţ de contct cu solidul se mnifestă prin presiunile hidrosttice. Aceste du o reultntă şi un moment (Fig. IV.33): P p n ds ; M r p n S d (IV.66) S unde: n ersorul normlei într-un punct orecre l suprfeţei corpului, r ectorul de poiţie l cestui punct.. n S pn ds Fig. IV.33 Echilibrul corpului scufundt (schemă) O S r dv D ds F dv Pentru eplicit formulele de clcul (IV.66), se fc următorele operţii. Fluidul este cţiont numi de câmpul gritţionl (F = g), deci ecuţiile Euler (IV.10) dein: p g (IV. 67) Integrlele de suprfţă din relţiile (IV.66) se trnsformă în integrle de olum, plicând formul Guss Ostrogrdski: p n ds p dv r p n ds p r dv (IV.68) S D ; Apoi, se ţine sem de definiţi centrului de msă stfel că, în finl, reultă: S D 65

M P g d V g m (IV.69.) D g r dv r g dv rg G P r G (IV.69.b) D D cu notţiile: m ms fluidului delocuit, r G ectorul de poiţie l centrului de msă, ρ densitte fluidului. Se obseră că produsul sclr dintre ectorul reultntă şi ectorul moment este nul ( P M 0 ), deci cţiune fluidului se reduce l o reultntă unică ( P ) numită portnţă hidrosttică (respecti, erosttică). Ecuţi (IV.69.) eprimă lege lui Arhimede: un corp scufundt într-un fluid este împins de jos în sus, cu o forţă de mărime eglă cu greutte olumului de fluid delocuit şi plictă în centrul de greutte l cestui olum. Acestă forţă se mi numeşte forţ lui Arhimede (P A ). Obserţii priind lege lui Arhimede. Se plică corpurilor cre u întreg suprfţă în contct cu fluidul. b. Nu se plică corpurilor în mişcre, deorece presiune dinmică diferă de ce sttică. c. Constituie b teoriei plutirii corpurilor. d. Forţ rhimedică este o forţă de contct (de suprfţă); nu este o forţă msică. IV.8.b. Echilibrul solidului imerst Corpul scufundt într-un lichid este cţiont de greutte proprie (G ) şi de forţ rhimedică ( P A ). În funcţie de mărime celor două forţe, eistă următorele situţii: G P A corpul se flă în echilibru în lichid; G < P A corpul se ridică l suprfţ lichidului şi este scos prţil fră din lichid, până când greutte lichidului delocuit deine eglă cu greutte corpului; G > P A corpul coboră până junge să se sprijine pe fundul sului su pe ltă suprfţă solidă. Condiţi necesră şi suficientă c un corp imerst într-un lichid să fie în echilibru stbil, în cee ce prieşte rotţi în jurul elor oriontle ce trec prin centrul său de greutte, este c centrul de greutte să fie sub centrul de presiune, pe ceeşi erticlă. 66

Se determină momentul elementr ce pre fţă de : b d b dm s (IV.76) 8 3 Se integreă pe lungime plutitorului şi se obţine momentul plutitorului, corespunător înclinării δθ: 3 b M s d s I 1 L (IV.77) unde: I momentul de inerţie l suprfeţei de plutire fţă de ; γ s greutte specifică solidului. Noul suport l forţei rhimedice intersecteă de girţie în punctul M, numit metcentru (grec. met = limită). Poiţi lui se determină eglând momentul forţei rhimedice fţă de cu momentul plutitorului (IV.77), stfel: M P P CM W CM A A l (IV.78) unde l este greutte specifică lichidului. I Reultă: CM (IV.79) W Segmentul CM se numeşte ră metcentrică, ir segmentul GM d este distnţ metcentrică. IV.8.c.1. Forme de echilibru l plutire Echilibrul stbil (Fig. IV.36.) este sigurt când centrul de greutte se flă sub metcentru (d > 0). Momentul cuplului (G, P A ) este de sens opus momentului perturbtor şi reduce plutitorul în poiţi iniţilă (se numeşte moment de redresre). Echilibrul instbil pre când centrul de greutte se flă desupr metcentrului (d < 0), deorece momentul cuplului (G, P A) se suprpune peste momentul perturbtor şi corpul se răstornă (Fig. IV.36.b). Echilibrul indiferent crcterieă situţi când punctele M şi G coincid, deci forţ rhimedică se flă pe ceeşi erticlă cu greutte şi nu mi formeă un cuplu (Fig. IV.36.c). Corpul continuă să plutescă în poiţi deită. Acestă teorie pote fi plictă pentru deieri de mimum δθ = 5 o 10 o fţă de poiţi erticlă. 69

Momentul de redresre M = G d sinθ creeă o mişcre de rotţie în jurul ei, cu ecuţi: d IG M (IV.80) d t G unde: I G r momentul de inerţie l corpului fţă de G ( g cre trece prin centrul de greutte şi este prlelă cu ); r r de girţie corespunătore. Reultă: d g d sin d t r (IV.81) Se fce nlogie cu mişcre unui pendul simplu, de lungime L şi iteă unghiulră ω. În cest scop, se fc notţiile: r g g d L ; (IV.8) d L r cre se introduc în ecuţi (IV.81), obţinându-se: d sin (IV.83) d t Oscilţiile plutitorului sunt mici, de cee se preciă că sin θ θ, şi stfel ecuţi (IV.83) deine: d 0 (IV.84) d t cre repreintă ecuţi diferenţilă mişcării osciltorii rmonice. Period de oscilţie mişcării de ruliu este: r T (IV.85) g d Oscilţiile plutitorului trebuie să nu fie iolente şi să ibă periodă mre (15 0 secunde). IV.8.d. Oscilţiile erticle O forţă erticlă F perturbă stre de plutire normlă unui corp (Fig. IV.38), imprimându-i o mişcre ccelertă. Plutitorul coboră cu fţă de plnul de plutire. 71

IV.9. Aplicţii IV.9.. Un reeror cu pă re două comprtimente despărţite cu un perete erticl (Fig. IV.39). Se cunoşte: densitte pei 1000 kg m -3 şi dâncime pei în cele două comprtimente h 1 = 3 m, h = 1. Să se determine momentul produs de forţele hidrosttice în încstrre de l b peretelui. Fig. IV.39 Schem de clcul h 1 P 1 P h 1/3h 1 1/3h O Reolre Forţele hidrosttice se determină prin metod grfică. Pentru cest, se trseă digrm de distribuţie presiunii hidrosttice pe mbele feţe le peretelui. Apoi, se determină mărime forţelor şi punctul lor de plicţie: g h P 1 1 Sdigr,1 B B 176,4 kn (IV.91) g h P Sdigr, B B 44,1kN (IV.9) Forţele trec prin centrele de greutte le digrmelor. Momentul din încstrre fi: 73 3 3 h h 154,35kN m h1 h g B M O P1 P 1 (IV.93) 3 3 6 IV.9.b. O nă segment de cilindru închide orificiul de golire l unei eclue (Fig. IV.40). Se cunoşte lăţime nei b = 4 m, r segmentului de cilindru R = 5 m, dâncime pei în fţ nei h = 3 m. Aul de rotţie nei este poiţiont l distnţ = 1 m desupr nielului pei. Să se determine forţ hidrosttică pe n segment de cilindru.

Reolre Se clculeă componentele forţei hidrosttice, ştiind că P 0 : P P h hg bh = 176,4 kn ; (IV.94.) V S b (IV.94.b) ABCD ABCD Fig. IV.40. Schem de clcul P Suprfţ S ABCD se determină din condiţii geometrice, stfel: S ABCD S S (IV 95) ABC ACD h AB S ABC,85m ; AB R cos R cos 1,9 m R R S ACD sin ; α = 90 o (β + δ) 360 AE sin 0, 11o3' AO R OF h o cos 0,8 36 5' OC R Reultă: α = 41 o 36'; S ACD = 0,75 m ; S ABCD = 3,6 m ; P = 141,1 kn Forţ hidrosttică e mărime: h P P P 6,3kN (IV.96) Poiţi forţei hidrosttice se defineşte prin unghiul fţă de oriontlă: A E D θ C β B α δ R O F cos P P 0,773 o 39 0' (IV.97) 74

IV.9.c. Un cnl de secţiune dreptunghiulră cre trnsportă pă re o porţiune curbă, de ră R (Fig. IV.41). Dtorită forţei centrifuge, se produce schimbre formei suprfeţei libere. Denielre mimă se mnifestă spre mlul conc şi re lore h. Să se stbilescă ecuţi suprfeţei libere în on curbei şi denielre mimă, cunoscând lăţime cnlului b = 1 m, ite pei = m s -1, r curbei R = 4 m. Secţiune 1-1 b B A M R 1 g 1 R b O. b. Fig. IV.41. Schem de clcul.- pln; b.- secţiune Reolre Se foloseşte ecuţi diferenţilă suprfeţelor echipotenţile: F d F d F d 0 (IV.98) Forţele msice unitre sunt forţ centrifugă şi greutte, ând proiecţiile: F 0 ; F ; Ecuţi (IV. 98) deine: d g d 0 Se integreă ec. (IV. 100) şi se obţine: ln C g F g h (IV.99) (IV.100) (IV.101) 75

Constnt de integrre se determină din condiţi l limită: în punctul A de coordonte = R, = 0 presiune mnometrică este ero, deci: C ln R (IV.10) g În finl, ecuţi suprfeţei libere fi: ln (IV.103) g R Denielre mimă corespunde punctului B de coordonte = R + b, = h cre trebuie să erifice ecuţi suprfeţei libere: b h ln1 0,13m (IV.104) g R 76

77 CAPITOLUL V HIDRODINAMICA V.1. Ecuţiile diferenţile le mişcării lichidului perfect Se consideră un lichid perfect în mişcre sub cţiune forţelor msice şi forţelor de contct. Din ms lichidului, se detşeă un prlelipiped infinit mic, cu lturile d, d, d. Fie F d d d reultnt forţelor msice, p presiune hidrosttică în centrul de msă l prlelipipedului şi ccelerţi mişcării. Presiune riă în lungul elor de coordonte crteiene după grdienţii p, p, p, ir componentele ccelerţiei sunt t d d, t d d, t d d unde,,, repreintă componentele ectorului iteă ( ). Se scrie ecuţi nlitică de echilibru dinmic pe O: t p F d d d d d d d d d d d (V.1) su: t p F d d d d d d d d d (V.) Anlog, se scrie condiţi de echilibru pe ele O şi O. În finl, ecuţiile diferenţile sub formă nlitică u epresiile: t F p 1 (V.3.) t F p 1 (V.3.b)

1 p F (V.3.c) t Sub formă ectorilă, ecuţiile diferenţile le mişcării dein: F 1 p (V.4) t Ecuţiile (V.3), (V.4) se numesc ecuţiile Cuch. Termenii lor repreintă ccelerţii, încât semnificţi cestor ecuţii este următore: ccelerţi totlă unei prticule lichide este produsă de ccelerţi forţelor msice şi ccelerţi forţelor de presiune. Accelerţi totlă, fltă în membrul stâng, este formtă din component loclă t şi component conectiă. V.. Teorem impulsului Teorem impulsului, cunoscută din Mecnic solidului, se pote plic şi fluidelor. L solide, ecuţiile de echilibru se plică pe întreg domeniul corpului, pe când l fluide, ecuţiile de echilibru se scriu numi pentru o prte din domeniul ocupt de fluid, numit olum de control, seprt de restul msei fluide printr-o suprfţă de control (S). Fie un lichid perfect în mişcre, supus unui sistem de forţe F i. Teorem impulsului pentru cest sistem se enunţă stfel: Pentru orice sistem mteril, în orice domeniu l său, derit impulsului cu timpul este eglă cu sum forţelor ce cţioneă sistemul d H dt F i ; H dm dv V... Teorem impulsului pentru un tub de curent 78 D D (V.5) Într-un tub de curent (Fig. V.1), se fc două secţiuni cre delimiteă domeniul D. Ms de lichid din cest olum de control este cţiontă de greutte G, recţiune pereţilor R, forţele de legătură P 1, P de pe secţiunile S 1 şi S. Se plică teorem impulsului pe domeniul D: d dv dq d t D S Fi Dcă mişcre este permnentă, ecuţi (V.6) deine: (V.6)

V.3. Teorem momentului cinetic Se ştie că momentul cinetic repreintă momentul ectorului impuls fţă de un punct: K r dv (V.4) D Teorem momentului cinetic se enunţă stfel: Pentru orice sistem mteril, în orice domeniu l său, derit în rport cu timpul momentului cinetic clcult fţă de un punct este eglă cu momentul forţelor ce cţioneă sistemul, clcult fţă de celşi punct : d K M Fi dt su: r V M Fi D (V.5) d (V.6) V.3.. Teorem momentului cinetic pentru un tub de curent Fie tubul de curent din Fig. V.1, pentru cre relţi (V.6) deine: Q r Q r r i 1 1 1 Fi (V.7) su: S r S r r i F 1 1 1 1 i (V.8) Pentru mişcre permnentă, teorem momentului cinetic re o epresie mi simplă: Q r r r i 1 1 Fi (V.9) V.3.b. Vite dispoitiului de stropire Dispoitiul de stropire din Fig. V.7 ecueă debitul Q prin fiecre jutj de secţiune S. Ieşire jetului de lichid din cele două jutje creeă dispoitiului o mişcre de rotţie. Vite unghiulră stropitorului se determină plicând teorem momentului cinetic. Deorece momentul cinetic totl şi momentul cinetic l intrre sunt ero, reultă că şi momentul cinetic l ieşire trebuie să fie ero: M i M e 0 (V.30) 83

p1 1 p 1 const (V.38) g g V.4..1. Interpretre energetică şi geometrică relţiei Bernoulli Relţi lui Bernoulli dmite o interpretre energetică deorece, dcă se mplifică relţi (V.38) cu elementul de greutte (g dm), fiecre termen repreintă o energie. Prin urmre, termenii relţiei lui Bernoulli sunt energii rportte l unitte de greutte (su energii specifice): - energie specifică potenţilă de poiţie; p energie specifică potenţilă de presiune; energie specifică cinetică; g p E sp energie specifică potenţilă; p g E st energi specifică totlă. Obserţii. Energi de poiţie şi energi cinetică crcterieă tât solidele cât şi lichidele, pe când energi de presiune este proprie numi lichidelor. b. Relţi (V.38) rtă că energi specifică totlă este constntă în lungul liniei de curent, deci relţi lui Bernoulli repreintă o formă teoremei de conserre energiei. c. În lungul mişcării unui lichid perfect, o formă de energie se pote trnsform în ltă formă, dr cestă trnsformre se produce stfel încât energi totlă rămâne constntă. Interpretre geometrică relţiei lui Bernoulli se beă pe obserţi că toţi termenii din ecuţi (V.38) u dimensiune unei lungimi. Repreentre grfică relţiei lui Bernoulli (Fig. V.9) se fce între două puncte situte pe o linie de curent. Se lege un pln de referinţă oriontl rbitrr şi se trseă câte o erticlă prin cele două puncte. Pe ceste erticle, l scr lungimilor, se repreintă termenii relţiei (V.38). Din punct de edere geometric, termenii se numesc: înălţime de poiţie; p înălţime de presiune (su înălţime pieometrică); 86

firele elementre de lichid intercţioneă trnsersl cu ceeşi presiune c în stre de repus. Distribuţi iteei pe secţiune este introdusă în relţi lui Bernoulli prin coeficientul Coriolis α (Tbel V.1). Reprtiţi neuniformă iteelor duce l mişcre lichidului în strturi ce lunecă unele fţă de ltele, deci l priţi eforturilor tngenţile. În plus, curgere unui lichid âscos este însoţită de rotţi prticulelor, deci de priţi turbionelor şi mestecului. Aceste mişcări suplimentre consumă o prte din energi specifică totlă lichidului între două secţiuni: H d H h (V.39) 1 d 1 unde Σh repreintă consumul de energie specifică, ir din punct de edere geometric repreintă pierdere de srcină hidrodinmică. Cu ceste considerţii, relţi lui Bernoulli pentru un curent de lichid rel i form: p 1 1 1 p 1 h1 (V.40) g g Obserţie În ecuţi (V.40), iteele 1, repreintă iteele medii pe secţiune. V.4.b.1. Interpretre geometrică relţiei Bernoulli pentru curent de lichid rel Repreentre grfică ecuţiei Bernoulli (Fig. V.10) permite următorele obserţii şi definiţii. Pierdere de srcină creşte continuu în lungul mişcării. Lini energetică nu mi este oriontlă c l lichidul perfect, ci este descendentă, deorece o prte din energi curentului se trnsformă în energie termică. Vriţi cotei pieometrice în rport cu distnţ dintre secţiuni repreintă pnt pieometrică: i p p (V.41) 88

unde debitul şi ite u epresiile: P n Q sin (V.50) p Q p Q A g ; g (V.51) A Înlocuind relţiile (V.51) în formul reistenţei (V.50), se obţine: p P n A g sin Se determină reistenţ rocii pe suprfţ cţiontă de jet: R roc Reultă presiune jetului: c d 4 8,6 N R p > roc 8,6 33 kn/m A sin 3,14 0,03 sin V.5.b. Un reeror tronconic conţine pă până l înălţime h şi re, l prte inferioră, o conductă erticlă de ecure (Fig. V.16). Se cunoşte dimetrul reerorului l oglind pei D = 0,5 m, înălţime pei în reeror h = 1 m, dimetrul conductei d = 0,05 m, presiune de porire pei l tempertur de 0ºC p p = 0,4 mh O. Să se determine ite mimă pei l ieşire din conductă şi lungime conductei stfel c presiune în secţiune să nu scdă sub presiune de porire pei. D 1 Fig. V.16. Schem de clcul h d H 3 93

Reolre Se scrie relţi Bernoulli pe lini de curent ce uneşte punctele 1 şi 3: p 1 p 3 H h (V.5) g g Se tşeă ecuţi de continuitte debitului: D d 1 3 4 4 din cre se deduce ite pei l ieşire din conductă: 3 (V.53) g H h (V.54) d 4 1 D 4 Pentru clcul lore mimă iteei 3 şi lungime conductei pentru situţi limită când presiune deine eglă cu presiune de porire, se scrie relţi Bernoulli pe lini de curent cre uneşte punctele şi 3, stfel: p p p 3 H (V.55) g g L ecuţi (V.55), se dugă ecuţi de continuitte debitului scrisă între punctele şi 3. V reult că iteele în ceste puncte sunt egle. Se obţine, poi, înălţime mimă şi ite mimă: 3 p p p H m 10 0,4 9,76 m (V.56) g Hm h 3m 14,5 m/s (V.57) d 4 1 D 4 94

Vite continuă să crescă, dr, l un moment orecre, mişcre se schimbă brusc deenind turbulentă, cu procese de mestec între strturi şi cu formre turbionelor. Dcă, din cest moment, se micşoreă treptt ite, se obseră că se restbilesc formele de curgere în ceeşi ordine. Aceste rtă că regimul de curgere se produce l o iteă bine determintă de ntur lichidului şi geometri tubului. Trecere de l regimul lminr l cel turbulent se fce l ite critică. Regimul de curgere prin tuburi circulre este definit prin numărul Renolds: Re D (V.58) în cre s- nott: ite medie; D dimetrul conductei; υ coeficientul de âscoitte cinemtică. Regimul de curgere critic corespunde lui Re crt = 30. Pentru lte forme de secţiuni, în relţi (V.58), se foloseşte r hidrulică ( R ): h R Re h (V.59) Mişcre lminră este crcterită prin Re < Re crt, ir mişcre turbulentă prin Re > Re crt. Numărul Renolds critic eprimă limit până l cre mişcre re crcter lminr. L depăşire lui, mişcre nu deine brusc turbulentă, ci eistă o onă de trniţie. Mişcre lminră degenereă grdt în mişcre turbulentă prin procese complee în spţiu şi în timp. În mişcre turbulentă, re loc un trnsfer continuu de impuls şi de substnţă între strturile de lichid dicente, cee ce fce c, pe lângă mişcre principlă, să eiste deplsări după lte direcţii. Presiune şi ite loclă nu sunt constnte în timp, ci oscileă în jurul unei lori medii temporle. Între ite instntnee (ite l un moment dt) şi ite medie temporlă ( ) eistă relţi ', unde ' este fluctuţi su pulsţi iteei. Deci, mişcre turbulentă se compune dintr-o mişcre medie în timp peste cre se suprpune o mişcre de pulsţie. În ntură, regimul lminr se întâlneşte în curgere pei subterne, pe sectorele scurte le râurilor cu pntă forte mică, ir regimul turbulent crcterieă mjoritte formelor de curgere. 96

V.6.b. Ecuţiile mişcării turbulente (ecuţiile Renolds) Pentru curgere unui lichid incompresibil, cu âscoitte constntă, ecuţiile diferenţile sub formă ectorilă sunt: d 1 F p ' ' (V.60) d t unde F este reultnt forţelor msice unitre şi p este presiune medie. Ultimul termen reflectă trnsferul de impuls şi de msă V.6.c. Distribuţi iteelor pe secţiune În mişcre lichidelor sub presiune su cu niel liber, pr eforturi de âscoitte şi de derenţă între prticulele de lichid şi suprfţ solidă, dr şi în ms lichidului. În consecinţă, mişcre este frântă şi iteele sunt distribuite neuniform pe secţiune trnserslă. Reprtiţi iteelor pe secţiune depinde de presiune, de regimul de curgere, de âscoitte lichidului şi ntur suprfeţei solide. med d h m m. b. Fig. V.18 Distribuţi iteelor în regim lminr.- conducte; b.- râuri V.6.c.1. Regim lminr În curgere forţtă, ite riă după o lege prbolică de grdul doi (Fig. V.18.). Vite medie este med m. Vite este mimă în. δ δ med m R.L. R.T. R.L. med = 0,75 m. b. Fig. V.19. Distribuţi iteelor în regim turbulent.- conducte; b.- râuri; R.L. regim lminr; R.T. regim turbulent 97 δ R.T. R.L.

În curgere cu niel liber, digrm de distribuţie este prbolică cu o distorsiune spre nielul liber prooctă de reistenţ erului şi tensiune superficilă lichidului (Fig. V.18.b). Vite mimă se flă l proimti 0, h de l suprfţă. În mişcre lminră, stre suprfeţei solide nu re nici o influenţă supr spectrului iteelor. V.6.c.. Regim turbulent Lege de riţie iteei în conducte forţte su în cnle şi râuri pote fi logritmică, eponenţilă su prbolică de grdul trei. Suprfţ peretelui împiedică fluctuţiile trnsersle şi le dirijeă pronunţt pe cele longitudinle. În consecinţă, în ecinătte peretelui, se formeă strtul lminr (su film lminr), unde se menţine o mişcre lminră (Fig. V.19). Grosime strtului lminr δ se clculeă cu formule empirice: 30 D D ; (V.61) Re Re unde, s- nott: D dimetrul conductei; λ coeficientul de reistenţă (coeficientul lui Drc). Alt fctor cre influenţeă distribuţi iteelor în regimul turbulent este grdul de rugoitte l suprfeţei de contct dintre lichid şi solid. Rugoitte eprimă stre de speritte şi neregulritte suprfeţei. E depinde de ntur mterilului şi de grdul de prelucrre suprfeţei. Rugoitte este nturlă su rtificilă şi se eprimă fie prin rugoitte bsolută (k su Δ), fie prin coeficientul de rugoitte (n). Rugoitte bsolută (k) măsoră înălţime medie proeminenţelor. În tbelul V., se preintă rugoitte bsolută pentru conducte din diferite mterile. Tbel V.. Rugoitte bsolută Mteril Stre suprfeţei Rugoitte bsolută k (mm) Tuburi din sticlă, cupru Bună 0,0015 Tuburi din oţel Nouă 0,05 0,1 Încrustţii 3 Tuburi din fontă Nouă 0,5 0,1 Tuburi din bociment Bună 0,1 98

Rugoitte nturlă se modifică în timp, în generl, ccentuându-se. În Hidrulică, până în 196, rugoitte er considertă dor c o propriette bsolută suprfeţei, cre perturbă deplsre firelor de curent şi proocă ârtejuri dtorită proeminenţelor şi dânciturilor ei. Eperienţele u rătt că, l ceeşi rugoitte bsolută, regimul de curgere şi distribuţi iteelor pe secţiune depinde şi de geometri curentului şi grosime filmului lminr. Rugoitte reltiă este rportul între rugoitte bsolută şi r hidrulică k Rh, ir neteime reltiă este inersul cestui rport. Rugoitte echilentă k e este o rugoitte obţinută rtificil, cu nisip monogrnulr ce dă celşi coeficient λ c l rugoităţii nturle. În funcţie de rportul dintre grosime strtului lminr şi rugoitte bsolută (Fig. V.0), suprfeţele se clsifică în: netede hidrulic dcă Δ < δ (Fig. V.0.); rugose hidrulic dcă Δ > δ (Fig. V.0.b). Δ δ Δ δ. b. Fig. V.0. Suprfeţe netede () şi rugose hidrulic (b) V.7. Pierderi de srcină hidrodinmică Pierderile de srcină hidrodinmică su pierderile de energie specifică h r sunt proocte de reistenţele hidrulice întâlnite de curent. După form şi poiţi lor, reistenţele hidrulice sunt: reistenţe distribuite se mnifestă pe tot trseul curentului, fiind cute de âscoitte lichidului şi de rugoitte reltiă tubului; reistenţe locle se flă în poiţii fie, c obstcole cu dierse forme şi dimensiuni. Corespunător cestor reistenţe, pierderile de srcină sunt linire h i şi locle h l. Ele depind de crcteristicile hidrulice şi fiice le lichidului (iteă şi âscoitte), de geometri conductei su cnlului (formă şi dimensiuni), de ntur suprfeţei conductei su cnlului (rugoitte). Fiecre reistenţă cţioneă independent, deci pierdere de srcină totlă fi sum pierderilor de srcină linire şi locle: h r h h (V.6) i l 99

J. Nikurde studit, eperimentl, legătur dintre coeficientul lui Drc, criteriul Renolds şi rugoitte reltiă pentru curgere sub presiune în conducte şi juns l următorele concluii (Fig. V.) Mişcre lminră în conducte circulre corespunde numerelor Re < 000. Coeficientul λ depinde eclusi de Re şi nu depinde de rugoitte reltiă peretelui conductei. În mişcre turbulentă, eistă un domeniu în cre λ depinde numi de Re. Conductele pentru cre este lbilă cestă corelţie se numesc conducte netede hidrulic. L lori mri le numărului Re, coeficientul λ depinde numi de rugoitte reltiă, ir conductele cre funcţioneă în cest regim de curgere se numesc conducte rugose hidrulic. V.7..1. Clculul coeficientului de reistenţă λ Formulele pentru determinre coeficientului lui Drc sunt proprii fiecărui regim de curgere. Ele u fost stbilite teoretic su eperimentl. 1. Regimul de curgere lminr 64 Poiseuille (V.71) Re. Regimul de curgere turbulent Conducte netede H. Blsius 4 10 3 < Re 10 5 1 (V.7) 4 100Re L.Prndtl Re > 4 10 3 1 1,8 lgre1, 64 (V.73) Prndtl Kármán Re < 3,6 10 6 1 lg Re 0, 8 (V.74) Conducte rugose 1 D Prndtl Nikurde lg 1, 74 (V.75) k Filonenko Altşul e 0,5 68 0,11 D Re Curgere în domeniul de trniţie neted rugos Colebrook White 1,51 lg Re k e (V.76) k e 3,71D (V.77) 10

Formul se pote folosi pentru orice domeniu şi nume: pentru domeniul neted dcă se neglijeă termenul l doile, pentru domeniul rugos dcă se neglijeă primul termen. Alte relţii de clcul pentru λ sunt preentte în Ane. V.7.b. Pierdere de srcină loclă Pe trseul unui curent, se întâlnesc neuniformităţi şi obstcole numite reistenţe locle c, de eemplu, schimbări bruşte de direcţie su de secţiune, rmături de reglj, instrumente de măsură. Ele produc pierderi de srcină locle cre se eplică prin disipre bruscă energiei specifice de presiune dtorită modificării câmpului de itee. L mişcre sub presiune, unde form curentului este fiă, on de mişcre neuniformă prooctă de reistenţ loclă este restrânsă. Acestă onă se deoltă pe un sector forte scurt în monte şi ce mi lung în l de reistenţ loclă, dr fără depăşi de câte ori dimensiune trnserslă curentului. L mişcre cu niel liber, unde form curentului pote să riee, fenomenul este mi comple, obstcolele producând modificre suprfeţei libere curentului. Pierdere de srcină loclă sub formă generlă este dtă de relţi lui Weisbch: h loc (V.78) g în cre, s- nott: ξ coeficientul de reistenţă loclă; ite medie în l de obstcol. Coeficientul ξ depinde de crcteristicile geometrice le elementului ce produce reistenţ loclă, de numărul Re şi de rugoitte. Dtorită compleităţii fenomenului, ξ pote fi determint prin metode teoretice dor în câte curi simple, de cee se folosesc, frecent, procedee eperimentle. Vlorile lui ξ sunt dte în tbele şi digrme. În continure, se preintă câte eemple de pierderi de srcină locle. V.7.b.1. Mărire bruscă secţiunii Se consideră o creştere bruscă secţiunii unei conducte de l S1 l S. Efectul modificării bruşte mărimii şi distribuţiei iteelor este formre ârtejurilor în onele de colţ (Fig. V.3). Vârtejurile reduc energi mişcării. 103

Efectele cestor modificări sunt: formre unui curent secundr dublu elicoidl (Fig. V.7) ce se menţine şi l ieşire din curbă, pe o distnţă de 50 D 70 D, delipire curentului, formre ârtejurilor. Coeficientul de reistenţă loclă pentru curbe de 90 o se clculeă cu formul lui Weisbch: D 90 0,13 0, 16 (V.87) R c unde, s- nott: D dimetrul conductei; R c r de curbură. Pentru unghiuri α diferite de 90º, pierdere de srcină se clculeă în funcţie de 90 stfel: 90 90 o 3,5 (V.88) Vlorile coeficientului de reistenţă loclă 90 sunt dte în tbelul V.4, în funcţie de dimetrul conductei şi de r de curbură. Tbel V.4. Coeficientul de reistenţă loclă l curbă D/R c 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 1,8,0 ξ 90 0,13 0,14 0,16 0,1 0,9 0,44 0,66 0,98 1,41 1,98 Coturile sunt piese de îmbinre folosite l conductele cu dimetru mic, pentru schimbre bruscă direcţiei (Fig. V.8). Coeficientul de reistenţă loclă este dt de relţi Bord Crnot: V.7.b.4. Vne şi robinete 4sin (V.89) Vnele şi robinetele sunt dispoitie pentru reglre debitului prin modificre mărimii secţiunii de curgere. Coeficientul de reistenţă loclă depinde de grdul de deschidere nei şi de form constructiă cestei. Pentru n plnă (Fig. V.9.), lorile lui ξ sunt dte în tbelul V.5. 107

Tbel V.5. Coeficientul de reistenţă loclă l n plnă (D-h)/D 0 1/8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 ξ 0 0,07 0,6 0,81,06 5,5 17 97,8 α h D D α D. b. c. Fig. V.9 Vne şi robinete (schemă de clcul).- nă plnă; b.- nă fluture; c.- robinet Vn - fluture (Fig. V.9.b) se foloseşte pe conductele cu dimetru mre şi l presiuni mri. Coeficientul de reistenţă loclă depinde de unghiul de obturre α, ir lorile lui sunt dte în tbelul V.6. α (grde) Tbel V.6. Coeficientul de reistenţă loclă l n - fluture 5 10 15 0 5 30 35 40 ξ 0,4 0,5 0,90 1,54,51 3,91 6, 10,8 α (grde) 45 50 55 60 65 70 90 ξ 18,7 3,6 58,8 118 56 751 Robinetele sunt rmături de reglj folosite pe conductele cu dimetru mic (Fig. V.9.c). Pierdere de srcină loclă depinde de unghiul de rotire robinetului şi de dimetrul conductei. Vlorile lui ξ sunt dte în tbelul V.7. α (grde) Tbel V.7. Coeficientul de reistenţă loclă l robinet 5 10 0 30 40 50 55 ξ 0,05 0,9 1,56 5,47 17,3 5,6 10 Vn clpetă (Fig. V.30) este un dispoiti cre permite trecere debitului într-un singur sens. Coeficientul de reistenţă loclă depinde de unghiul α de rotire clpetei. Vlorile lui ξ sunt dte în tbelul V.8. 108

V.7.b.6. Grătr Grătrul se mplseă l intrre unei conducte, glerii su unui cnl pentru bloc ccesul corpurilor străine. Coeficientul de reistenţă loclă depinde de form şi dimensiunile brelor grătrului (Fig. V.3), de distnţ dintre ele, de unghiul de înclinre grătrului fţă de oriontlă şi se clculeă cu formul lui Kirschmer: 4 s d 3 sin unde, s- nott: β coeficient de formă (Tbel V.10); s grosime mimă unei bre; d distnţ dintre feţele două bre; α unghiul de înclinre grătrului fţă de oriontlă. (V.90) Tbel V.10. Coeficientul de formă β pentru brele grătrului Form b c d e f g β,4 1,83 1,67 1,03 0,9 0,76 1,79 V.7.b.7. Rmificţii Coeficientul de reistenţă loclă riă în funcţie de rportul debitelor, de unghiul rmificţiei, de rportul dimetrelor, de sensul iteelor şi l curentului principl. Pentru micşorre pierderilor de srcină, se recomndă rotunjire rcordărilor. În figur V.33, este dt coeficientul ξ pentru rmificţii ând celeşi dimensiuni, dr cu dierse unghiuri şi sensuri le curenţilor. Coeficienţii de reistenţă loclă l rmificţiile în unghi drept sunt preentţi în tbelele V.11, V.1 şi Fig. V.34. ξ = 0,05 ξ = 0,5 ξ = 3 ξ = 0,15 ξ = 1 ξ = 0,1 Fig. V.33. Coeficientul de reistenţă loclă l rmificţii (eemple) 110

Tbel V.11. Coeficienţi de reistenţă loclă l rmificţii în unghi drept Q 1 Q Q Q 1 /Q 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 ξ 1-0,37-0,18-0,07 0,6 0,46 0,6 0,94 ξ 0,16 0,7 0,38 0,46 0,53 0,57 0,60 Tbel V.1. Coeficienţi de reistenţă loclă l rmificţii în unghi drept Q 1 Q Q Q 1 /Q 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 ξ 1 1 1,01 1,03 1,05 1,09 1,15 1,3 ξ 0,004 0,0 0,04 0,06 0,1 0,15 0,6 Q Q Q 1 1 Q1 Q 1 0, 3 ; 1 Q Q 0, 3 Q Q Q 1 Q 3 1 Q 1 1 1 Q Q Q ; 3 Q 1 Q Q Fig. V.34. Coeficientul de reistenţă loclă l rmificţii perpendiculre V.8. Relţi lui Ché Se consideră epresi pierderii de srcină linire (V.68): L hi 4 Rh g şi se împrte l lungime curentului pentru cre se fce clculul, reultând pnt hidrulică i h : ih 8 g (V.91) Rh Din (V.91), se obţine formul de clcul iteei în mişcre neuniformă forţtă su cu niel liber, numită relţi lui Ché: 111

8 g R h i h (V.9) su: C R h i (V.93) unde constnt C s- numit coeficientul lui Ché. Curi prticulre. Curgere uniformă sub presiune În cest c, pnt hidrulică este eglă cu pnt pieometrică. Pnt pieometrică se determină mi uşor, de cee se foloseşte în relţi lui Ché: h C R h i p (V.94) b. Curgere uniformă cu niel liber Curgere uniformă prin râuri şi cnle se crcterieă prin eglitte dintre pnt pieometrică i p şi pnt longitudinlă lbiei i 0. În cest c, problem se simplifică, deorece pnt longitudinlă i 0 se determină uşor su este cunoscută. Relţi lui Ché i form: V.8.. Coeficientul lui Ché C R (V.95) h i 0 Coeficientul lui Ché fost stbilit prin măsurători în lbortor şi în ntură, de cee se clculeă cu formule empirice. Prmetrii fundmentli în ceste formule sunt r hidrulică (R h ) şi rugoitte pereţilor (n), ir cele mi folosite formule sunt: 1 1 6 Mnning (1890) C R h (V.96) n Forcheimer (193) Ploski (195) 1 1 5 C R h n (V.97) C 1 R h n (V.98) cu,5 n 0,13 0,75 R n 0,1 h (V.99) su, pentru clcule de predimensionre: 1, 5 n dcă R h < 1 m (V.100.) 11

1, 3 n dcă R h > 1 m (V.100.b) Coeficientul de rugoitte este preentt în tbelul V.11. Tbel V.11. Coeficientul de rugoitte Ntur suprfeţei conductei su cnlului Sticlă, suprfeţe emilte noi 0,08 Abociment - netede 0,011 Oţel, fontă noi 0,01 Beton tencuit, scliisit 0,011 0.01 Beton netencuit 0,013 0,016 Pereu de beton 0,014 Beton torcrett 0,018 Cărămidă, pitră bine rostuită 0,013 Pereu pitră brută 0,018 Pereu din pietriş, din boloni de râu cu mortr 0,0 Zidărie de gbione 0,07 Cnl de pământ 0,017 0,03 Râuri 0,0 0,035 V.9. Aplicţii V.9.. Două reerore prismtice ând secţiunile oriontle S 1, S comunică între ele printr-un orificiu cu ri ω (Fig. V.35). Neglijând iteele de coborâre şi urcre le nielurilor şi grdul de nepermnenţă mişcării, să se clculee timpul necesr eglării nielurilor. Se cunoşte diferenţ de niel iniţilă H, coeficientul de iteă φ şi coeficientul de debit l orificiului μ. n Fig. V.35. Schem de clcul t = 0 t = t S 1 1 S H 113

Reolre Se consideră poiţi nielurilor l un moment orecre t, pentru cre diferenţ de niel este: 1 (V.101) Se scrie ecuţi lui Bernoulli pentru momentul t, de unde reultă relţi de clcul iteei: g Într-un interl de timp infinit mic d t, din reerorul 1 trece în reerorul un olum elementr dv, ir nielul coboră cu d 1, respecti, urcă cu d. Volumul trnitt se eprimă: geometric: dv S1 d 1 S d (V.10) hidrulic: dv Q dt dt g dt (V.103) Se diferenţiă relţi (V.101): d d 1 d (V.104) Din relţi (V.10), se scrie: d 1 S S su d 1 d 1 d S1 S (V.105) Se înlocuieşte (V.105) în (V.104) şi se obţine: S1 S d d 1 d 1 şi d 1 S S1 S d (V.106) Din (V.10), (V.103) şi (V.106), reultă: S S g dt 1 d (V.107) S1 S din cre se obţine dt. Prin integrre, se determină timpul de eglire nielurilor: T 0 1 S S d S S H T dt 1 1 (V.108) g S S S S g H 0 1 H V.9.b. În figur V.36, este repreenttă secţiune trnserslă unui brj cre re, l prte inferioră, o conductă de ecure debitului în eces. 114 1

Crcteristicile conductei sunt lungime L = 81 m, dimetrul D = 500 mm, coeficientul de rugoitte n = 0,013, poiţi fţă de nielul pei din lc H = 90,75 m. L intrre, conduct este preăută cu un grătr cu suprfţ de 5 m, eecutt din bre circulre cu dimetrul d = 150 mm, dispuse l distnţ L = 30 cm, ând coeficientul de formă β = 1,79. Pe trseu, eistă o curbă cu unghiul de 8º şi rportul D Rc = 0,9. Spre l, secţiune curentului se contrctă până l A c = 4,15 m. Să se clculee debitul conductei când nielul pei în lcul de cumulre este mim. Fig. V.36. Schem de clcul grătr L=81 m Φ,50 m 5º 90,75 m Reolre Debitul l ieşire din conductă este dt de relţi: Q A c c (V.109) Vite în secţiune contrcttă se determină din ecuţi continuitte: A c c A (V.110) D c 1, 4 A 18 (V.111) c Se scrie ecuţi lui Bernoulli pe lini de curent cre legă un punct de pe suprfţ liberă lcului cu ieşire din conductă: H c hi hloc (V.11) g Se clculeă pierdere de srcină liniră: h L 8 g 8 g i D cu 0, 0155 (V.113) g C 1 1 6 R n h 115

Se obţine: h 0,015581 i 0,51,5 g (V.114) g Se clculeă pierderile de srcină loclă:. l grătr: h gr 4 3 gr s gr gr (V.115) g l g Suprfţ grătrului este de 5 m, deci ite prin grătr fi: A D gr 0, A 4 5 196 (V.116) gr Se înlocuieşte în relţi (V.115) şi se obţine: h gr 0,07 (V.117) g b. l intrre: h intr intr 0,06 (V.118) g g c. l curb de 8º : hc 8 c ; 8 0,5 0, 14 (V.119) g 90 d. l îngustre secţiunii: h c h c 0,14 (V.10) g c 0,1 1 0,1 1,18 1 0,04 (V.11) g g g Se introduc pierderile de srcină în relţi (V.11) şi se flă ite: 3,0 H 3,0 90,75 8,77 m/s (V.1) Debitul ecut fi: Q 4,9 8,77 140, 89 m 3 /s 116

V.9.c. O conductă cu dimetrul D = 100 mm şi lungime L = 000 m trnsportă debitul Q = 400 l/min de petrol. Petrolul pote fi trnsportt l tempertur θ 1 = 10 o C pentru cre âscoitte cinemtică este υ 1 = 180 St su l tempertur θ = 40 o C l cre υ = 5 St. Pentru mbele temperturi, se consideră că densitte petrolului este ρ = 900 kg/m 3 şi căldur specifică c = 00 J/kg K. Să se determine: 1. pierderile de srcină liniră pe conductă, l cele două temperturi;. lungime conductei pentru cre încălire petrolului deine ntjosă. Reolre 1. Se stbileşte regimul de curgere l cele două temperturi: Re D 4Q D 3 10 4 400 60 3,14 0,1 180 10 1 4 1 1 4,7 10 4 400 D 4Q Re 60 33,95 3,14 0,1 5 10 4 D şi se consttă că, în mbele curi, mişcre este lminră. Coeficientul lui Drc pentru regimul lminr fi: 3 64 64 1 13,56 ; 1, 89 Re Re 1 Pierderile de srcină linire între punctele etreme le trseului, pentru mbele curi sunt: 1 L 1 L Q h1 i 87,9 MP D g D D g 4 h i 1, MP Se obseră că pierderile de srcină sunt mi mri l trnsportul petrolului rece.. Putere necesră încălirii petrolului este eglă cu diferenţ dintre puterile pentru pompre în cele două curi. 117

Putere necesră pentru încălire petrolului de l tempertur θ 1 l tempertur θ este: P inc Qc 1 Putere necesră pentru pompre re epresi: Ppomp g Q h i ir diferenţ de putere pentru cele două temperturi este dtă de relţi: Pp P1 p P p g Q L limită, Pp Pinc, deci: 8 L Q 3 D 5 8 L h h Q3 1i i D5 Q c 1 1 1 (V.13) Din relţi (V.13), se obţine lungime minimă de l cre este ntjosă încălire lichidului: c 1 D L 0 1700 m 8 Q 1 5 118

119 ANEXA 1 Clculul ectoril ), ( cos b b = b ), ( sin b b = b b c = c b b c = c b ) ( ) ( ) ( ) ( b k b j b i b b + = b + d d ) ( d ) (d ) (d ) ( d b b + = b b + b = b d d ) ( d + + = r = d d d d grd d grd grd ) grd( grd ) ( ) ( grd F = F Opertorul nbl (opertorul Hmilton): + k j + = i = grd (ector) + + = = r = di d d (sclr) b b di di ) di( b b rot rot rot grd di di grd rot rot

10 b b b rot rot di b b b b b b di di rot b b b b b b rot rot grd k j i r rot d d Opertorul delt (opertorul Lplce): + + = ) grd(di ) ( = = = = ) grd(di rot ) rot(rot ) ( 0 ) di(rot ) ( = = ) grd( ) ( ) ( ) ( ) ( b b = b b = b Câmpul de ectori: este ce regiune din spţiu în cre fiecărui punct M(,, ) îi corespunde un ector ând componentele.,, Funcţi de forţe: este funcţi U (,, ) pentru cre eistă relţiile U U U ; ; încât deine grd U = U. Potenţilul: este funcţi = U Teorem Guss Ostrogrdski: Integrl diergenţei iteei, clcultă l olumul închis de o suprfţă, este eglă cu fluul cre trece prin suprfţă :

V di dv= A n da Lem fundmentlă: Dcă, pentru o funcţie sclră su ectorilă f (r), definită şi continuă într-un domeniu D, eistă relţi: tunci f ( r ) = 0 în D. Teorem lui Stokes: D n da grd A Derit mterilă iteei: Formulele lui Euler e i cos isin e i cos i sin Numere complee D f ( r ) dv 0, D D, dv ; n da rot dv d d d d dt t d t dt dt t t i b ;, b ; i 1 ( + ib) şi ( ib) sunt numere complee conjugte. Număr comple sub formă normlă i b r unde, s- nott: cos i sin r ei A D 11

r b ; cos ; r r = modulul numărului comple; = rgumentul su mplitudine; r b lg lg = norm numărului comple; ln i k i ; k 0, 1,, 1 i lgi i 3 lg i i rcsin i lg i 1 rc cos ilg i 1 1 1 i rc tg lg i 1 i 1 i 1 rc ctg lg i i 1 b sin ; r b tg 1

Regim de curgere Lminr T u r b u l e n t ANEXA Coeficientul de frecre l curgere iotermă lichidelor Ntur cond. Netedă şi rugosă Autorul formulei Stokes; Poiseuille Blsius Formul de clcul Domeniul (Re) 64 0Re30 Re -0,5 =0,3164 Re 4000-10 5-0, McAdms =0,184 Re 5000-.10 5 1 Filonenko 1,8 lg Re - 1, 64 4000-10 7 Hermn 0, 3 0,0054 0,396 Re 10 5 -.10 6 Netedă Nikurde -0, 37 0,003 0,1Re 10 5-3.10 6 Condiţi de lbilitte (Re) Loren 0, 394 0,0076 0,899 Re 1,.10 6 Re Re 1 Semirugosă (Re,) Rugosă Koo 0, 3 0,0056 0,5 Re 3000-3.10 6 Prndtl Kármán Konko Mood Colebrook White Altşul Frenkl Prndtl Nikurde 1 Re lg, 5 1 1,8lgRe 1,5 6 4 10 0,0055 1 10 Re 1 3 1,51 lg Re 3, 7 100 0,1 1,46 Re 0,5 0,9 1 6,81 lg Re 3, 7 1 3,7 lg () Schifrinson 0, 5 0,11 3000-10 7 3000-10 7 4000-10 7 Re 1 ReRe 10 5-10 13

ε = k /D rugoitte reltiă; k rugoitte bsolută (mm); D dimetrul interior l conductei (mm); grosime strtului limită. Conductă netedă: k. Conductă semirugosă: k. Conductă rugosă: k. Re 1 = 10/ε; Re = 560/ε 14

BIBLIOGRAFIE 1. Acheson D. J. Elementr Fluid Mechnics Clrendon Press, Oford,1990;. Anton V., Popoiciu M., Fitero I. Hidrulică şi mşini hidrulice Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1978; 3. Brth I. ş.. Hidrulică. Probleme Lito, Uniersitte Tehnică Gh. Aschi, 1991; 4. Brth I. Curs de hidrulică Lito, Uniersitte Tehnică Gh. Aschi, 1993; 5. Blăgoi O. Hdrulique générle et ppliquée Lito, Uniersitte Tehnică, Işi, 1994; 6. Blăgoi O., Grilş G. Noţiuni fundmentle de hidrulică Lito, Uniersitte Tehnică, Işi, 1995; 7. Blăgoi O. Bele Hidrulicii Ed. Noël, Işi, 1997; 8. Boeriu P., Răcelescu M. Hidrulică Lito, Uniersitte Politehnică, Timişor, 1994; 9. Brădenu P. Mecnic fluidelor Ed. Tehnică, Bucureşti, 1983; 10. Brun E. A., Mrtinot Lgrde A. Mécnique des fluides I III, Ed. Dunod, Pris, 1968, 1970; 11. Crfoli E., Constntinescu V. N. Dinmic fluidelor incompresibile Ed. Acdemiei, Bucureşti, 1981; 1. Cuin A., Guerrée H. Eléments d'hdrulique Ed. Erolles, Pris, 1990; 13. Crlier H. Hdrulique générle et ppliquée Ed. Erolles, Pris, 1988; 14. Cioc D. Hidrulic Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 198; 15. Constntinescu V. N., Găletuşe Şt. Mecnic fluidelor şi elemente de erodinmică Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1983; 16. Did I. Hidrulică ol. II, Lito, Uniersitte Tehnică, Timişor, 1990; 15

17. Did I., Şumăln I. Metode numerice cu plicţii în hidrotehnică Ed. Mirton, Timişor, 1998; 18. Drgoş L. Principiile mecnicii mediilor continue Ed. Tehnică, Bucureşti, 1983; 19. Fet J. Hdrulique Erolles, Pris, 1991; 0. Flore J., Pnitescu V. Mecnic fluidelor Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1979; 1. Grilş G. Hidrulică urbnă Ed. Gh. Aschi, Işi, 1999;. Giurconiu M., Mirel I., ş.. Hidrulic construcţiilor şi instlţiilor hidroedilitre Ed. Fcl, Timişor, 1989; 3. Hâncu S., ş.. Hidrulică plictă. Simulre numerică mişcării nepermnente fluidelor Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985; 4. Imndi C., Petrescu V., Sndu L., Dmin R., Anton A., Degertu M. Hidrulic instlţiilor. Aplicţii Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985; 5. Imndi C., Petrescu V. Mecnic fluidelor Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1978; 6. Idelcik I. E. Îndrumător pentru clculul reistenţelor hidrulice Ed. Tehnică, Bucureşti, 1984; 7. Ionescu D. Introducere în hidrulică Editur Tehnică, Bucureşti, 1976; 8. Ionescu D. Curs de mecnic fluidelor Lito, Institutul Politehnic, Bucureşti, 1981, 198, 1983; 9. Ionescu D., Mtei P., Todicescu A., ş.. Mecnic fluidelor şi mşini hidrulice Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1983; 30. Isbăşoiu E. C., Georgescu S. C. Bele hidrulicii Lito, Uniersitte Politehnică, Bucureşti, 1993; 31. Kisele P. G. Îndreptr pentru clcule hidrulice Ed. Tehnică, Bucureşti, 1988; 3. Lndu L. D., Lifschit E. M. Mécnique des fluides Ed. Mir, Mosco, 1971; 33. Luc M. Hidrulic construcţiilor hidrotehnice ol. I, Rotprint, Institutul Politehnic, Işi, 1994; 34. Luc M. Hidrulică tehnică ol. I, Ed. Tehnopres, Işi, 1998; 35. Mcreici L., Zti V. Hidrulică şi menjări hidrotehnice ol. I, Lito, Institutul Politehnic, Işi, 1971; 16

36. Mănescu A., Sndu M. Hidrulică teoretică şi plictă Lito, Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1983; 37. Mteescu Cr. Hidrulic Ed. Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, 1963; 38. Mtei P., Ciocn L., Rusu I., Rădulescu M., Călărşu D., Alendrescu A., Scurtu D. Indrumr de lbortor de mecnic fluidelor şi mşini hidropneumtice Rotprint, Institutul Politehnic Işi, 1986; 39. Moruşc I., Vingn D. Hidrulică îndrumr de lucrări Lito, Uniersitte Tehnică, Cluj-Npoc, 199; 40. Nekrso B. Cours d'hdrulique Ed. Mir, Mosco, 1985; 41. Oroenu T. Mecnic fluidelor âscose Ed. Acdemiei, Bucureşti, 1967; 4. Popescu D., Duine A. Mecnic fluidelor şi mşini hidrulice. Probleme Lito, Uniersitte Crio, 001; 43. Popescu Şt. Curs de mşini hidrulice Lito, Uniersitte Tehnică, Işi, 1993; 44. Rădulescu M., Ciobnu P. Hidrulică şi mşini hidrulice Prte I Bele hidrulicii, Lito, Uniersitte Tehnică, Işi, 1993; 45. Renolds A. I. Curgeri turbulente în tehnică (trducere din limb engleă), Ed. Tehnică, Bucureşti, 198; 46. Romn P. Mecnic fluidelor Lito, Institutul Politehnic, Bucureşti, 1990; 47. Romn P., Isbăşoiu E. C., Băln C. Probleme specile de hidromecnică Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987; 48. Ştefn I., Ştefn S. Mecnic fluidelor Ed. Acdemiei Militre, Bucureşti, 1978; 49. Zhrie D. Implementre sistemelor de măsurre digitlă în domeniul mecnicii fluidelor şi plicţiilor ei tehnice Grnt, Poltech, Uniersitte Tehnică Gh. Aschi Işi, 00; 50. STAS 3061/1974 Hidrulic. Terminologie, simboluri, unităţi de măsură; 51. STAS 7076/1988 Armături din fontă şi oţel. Condiţii tehnice generle de clitte; 17

5. STAS 656/1990 Mnometre diferenţile cu tub în formă de U. Condiţii tehnice generle de clitte; 53. STAS 7347/ - 1990 Determinre debitelor fluidelor în sisteme de curgere sub presiune. Metod micşorării locle secţiunii de curgere. Metodă de clcul; 54. SR EN ISO 8316/1997 Măsurre debitului de lichid în conducte închise. Metod de colectre lichidului într-un reeror; 55. SR EN 60534-1/1995 Robinete de reglre proceselor industrile. 18

CUPRINS Cpitolul I INTRODUCERE............................... 5 I.1. Generlităţi................................... 5 I.. Scurt istoric l deoltării Hidrulicii.............. 6 Cpitolul II PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE FLUIDELOR.. 9 II.1. Densitte (ms olumică, ms specifică)........ 9 II.. Greutte specifică (greutte olumică)........... 10 II.3. Ecuţi de stre. Tempertur. Căldur specifică..... 10 II.4. Compresibilitte............................. 1 II.5. Diltţi termică.............................. 1 II.6. Modelele mtemtice le fluidelor. Viscoitte..... 1 II.7. Tensiune superficilă......................... 14 II.8. Adeiune................................... 18 II.9. Cpilritte................................. 18 II.10. Absorbţi. Citţi.......................... 19 II.11. Aplicţii................................... 1 Cpitolul III HIDROCINEMATICA....................... 5 III.1. Repreentre mişcării......................... 5 III.1.. Repreentre mterilă (Lgrnge).......... 5 III.1.b. Repreentre spţilă (Euler).............. 6 III.. Câmpul iteelor............................. 6 III... Clsificre mişcărilor..................... 6 III..b. Triectorie. Linie de curent. Tub de curent..... 7 III..c. Debit. Viteă medie....................... 8 III.3. Câmpul ccelerţiilor.......................... 9 III.4. Câmpul ârtejurilor........................... 9 19

III.5. Ecuţi de continuitte........................ 3 III.5.. Curi prticulre le ecuţiei de continuitte.. 33 III.6. Aplicţii.................................... 34 Cpitolul IV. HIDROSTATICA............................ 37 IV.1. Presiune hidrosttică......................... 37 IV.1.. Proprietăţile presiunii hidrosttice........... 39 IV.. Ecuţiile generle le echilibrului hidrosttic....... 40 IV... Principiul lui Pscl...................... 4 IV.3. Echilibrul lichidelor în câmp gritţionl......... 4 IV.3.. Clculul presiunii într-un punct l lichidului... 43 IV.4. Măsurre presiunii........................... 45 IV.4.. Clsificre instrumentelor de măsurre presiunii............................... 46 IV.4.b. Tipuri de instrumente pentru măsurre presiunii 47 IV.5. Echilibrul relti l lichidelor................... 5 IV.5.. Ecuţi echilibrului relti în curi prticulre. 54 IV.5..1. Lichid în repus în câmp gritţionl.. 54 IV.5... Lichid cţiont de forţ de inerţie în câmp gritţionl.................. 55 IV.5..3. Lichid cţiont de forţ centrifugă în câmp gritţionl.................. 55 IV.6. Aplicţii.................................... 57 IV.7. Forţ hidrosttică............................. 58 IV.7.. Forţ hidrosttică pe suprfeţe plne.......... 58 IV.7..1. Forţ hidrosttică pe suprfeţe oriontle 58 IV.7... Forţ hidrosttică pe suprfeţe înclinte. 59 IV.7.b. Forţ hidrosttică pe suprfeţe curbe......... 6 IV.7.b.1 Forţ hidrosttică pe suprfeţe cilindrice 63 IV.8. Echilibrul solidului scufundt în fluid............ 65 IV.8.. Lege lui Arhimede....................... 65 IV.8.b. Echilibrul solidului imerst................. 66 IV.8.c. Echilibrul solidului plutitor................. 67 IV.8.c.1. Forme de echilibru l plutire.......... 69 IV.8.d. Oscilţiile plutitorului..................... 70 IV.8.d.1. Mişcre de ruliu.................. 70 130

IV.8.d.. Oscilţiile erticle................ 71 IV.9. Aplicţii................................... 73 Cpitolul V HIDRODINAMICA........................... 77 V.1. Ecuţiile diferenţile le mişcării lichidului perfect... 77 V.. Teorem impulsului........................... 78 V... Teorem impulsului pentru un tub de curent.... 78 V..b. Teorem impulsului pentru sisteme fie....... 79 V..b.1. Recţiune pe cotul unei conducte..... 79 V..b.. Recţiune ânei de lichid pe o plcă... 79 V..b.3. Contrcţi ânei de lichid în jutjul Bord............................. 81 V..c. Teorem impulsului pentru sisteme mobile..... 8 V..c.1. Deiere unui jet de o suprfţă în mişcre de trnslţie................. 8 V..c.. Rot hidrulică.................... 8 V.3. Teorem momentului cinetic.................... 83 V.3.. Teorem momentului cinetic pentru un tub de curent................................... 83 V.3.b. Vite dispoitiului de stropire............. 83 V.4. Teorem conserării energiei. Relţi lui Bernoulli... 84 V.4.. Relţi lui Bernoulli pentru un fir de lichid perfect 84 V.4..1. Interpretre energetică şi geometrică relţiei Bernoulli.................... 86 V.4.b. Relţi lui Bernoulli pentru un curent de lichid rel..................................... 87 V.4.b.1. Interpretre geometrică relţiei Bernoulli pentru un curent de lichid rel. 88 V.4.c. Aplicţii le ecuţiei lui Bernoulli............ 90 V.4.c.1. Măsurre presiunii într-un curent de lichid............................. 90 V.4.c.. Măsurre debitului într-o conductă.... 91 V.4.c.3. Ejectorul su pomp cu jet de pă...... 9 V.5. Aplicţii.................................... 9 V.6. Regimul de curgere........................... 95 V.6.. Numărul Renolds........................ 95 131

V.6.b. Ecuţiile mişcării turbulente (ecuţiile Renolds) 97 V.6.c. Distribuţi iteelor pe secţiune.............. 97 V.6.c.1 Regim lminr...................... 97 V.6.c. Regim turbulent.................... 98 V.7. Pierderi de srcină hidrodinmică................ 99 V.7.. Pierdere de srcină liniră.................. 100 V.7..1. Clculul coeficientului de reistenţă λ... 10 V.7.b. Pierdere de srcină loclă................. 103 V.7.b.1. Mărire bruscă secţiunii............ 103 V.7.b.. Îngustre bruscă secţiunii.......... 105 V.7.b.3. Curbe şi coturi..................... 106 V.7.b.4. Vne şi robinete................... 107 V.7.b.5. Sorb............................. 109 V.7.b.6. Grătr............................ 110 V.7.b.7. Rmificţii........................ 110 V.8. Relţi lui Ché............................. 111 V.8.. Coeficientul lui Ché..................... 11 V.9. Aplicţii.................................... 113 ANEXA 1.............................................. 119 ANEXA.............................................. 13 BIBLIOGRAFIE........................................ 15 CUPRINS.............................................. 19 13