Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri iducţie după `* c Di ipoteză rezultă X u + v + u v Folosid b găsim u + v u v a Calcul direct l 5ˆ î ] b Calcul direct, 6 7 u v X, iar di a, că eistă u, v \, astfel îcât X v u + şi soluţia: X + c Petru a ] 7, a, ] 7, f 6 + a Avem f a, deci f este reductibil Petru a, f X ˆ X + ˆ, deci f este reductibil BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii f a Cum lim a si lim f + a,dreapta y a este asimptota oblică spre b l a este puct de miim c Di ipoteza că avem că f f, \,deci este puct de miim petru f Di TFermat deducem că f a şi verificare l + f, > b G primitiva G este derivabila G f, cocluzia a F este derivabila pe ; F c Aria f d f d + f d F + F e e e e e e e 6 +8 e
Variata - rezolvari mate MT Soluţii i i; i 6 + 5 ; {,5} f : \ \, f + 8,9 9 5 M, este mijlocul lui BC ; AM 5 p 6 m m + ; m a Calcul direct Se obţie a b A 9 A, deci rag A 8 I c B A A t Se obţie B a Petru a, b M, avem ea + eb, deci a b [, M b Petru a, b, c M se demostrează că a b c a b c l ea + eb + ec c Se demostrează pri iducţie că a a a l e a de ori a Se obţi apoi soluţiile a şi a l BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Se demostreaza pri iductie matematica b a+ a a a < sirul dat este strict descrescator c Cum ak < ak ak, k `*, îsumăd se deduce relaţia cerută a F este derivabila pe \ F + + f + + + d l + + l climita ceruta este L lim F F + baria ceuta este A
Variata - rezolvari mate MT Soluţii 6 ; ; 5 5 ; 6 < 5 < ;, 5, ; mi f a lg 6 5 lg ; 5 mi f 6 9 5 5 ecuaţia perpedicularei di A pe d : + y 6 7 6 9 p : 5 b Se arată pri calcul direct c Dacă X, Y M ^ şi X Y Y X, atuci a det A + B b det X + Y det X + i Y X i Y det X + i Y det X i Y Mai mult, X i Y X i Y, deci det X + Y det X + i Y a Se foloseşte defiiţia elemetului eutru f a b Deoarece, obţiem şi se verifică apoi faptul că fucţia f b f este izomorfismul căutat c Se demostrează pri iducţie că D D D 8 + de 8 ori Se obţi apoi soluţiile şi 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M f :] ],
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f 6, > f este strict descrescatoare pe, si strict crescatoare pe 6 6, b Di a avem ca f f + l 6, >, deci a, + l 6 6 c Deoarece lim f lim f,utilizad a avem ca petru m < + l 6 m ecare radacii reale, petru m m ecare o radacia reala, iar petru m > m ec are doua radacii reale a Fuctia este cotiua deci are primitive Daca F este o primitiva petru f a,atuci F f a >, \ Asadar fuctia F este strict crescatoare pe \ b Avem ca d d + d l 5 9 + + d lim l f a d alim a + a a c Avem: lim a+ a
Variata - rezolvari mate MT Soluţii - 5 V, ; V, yv < V CIII 8 y ; y,, {, + log } 9 9 umere aab ; 9 9 umere aba, 9 9 umere baa ; p, 7 ± 9 5 a a + + a + ; a 6 6 si A ; cos A ; BC 9 5 ;si A : a Se arată că rag A b Calcul direct, sau, deoarece rag At A rag A, rezultă că det At A c A At 9 I, deci det A At 8 a Calcul direct b Se arată că elemetul eutru este e Dacă ], evidet 5 + 6 6 + 7 ], ], deci 5 6 + 5 + 6 5 + 6 aşadar 5 + 6 {,} Se obţie că uicul elemet simetrizabil î raport cu legea este elemetul eutru e c Di ecuaţie rezultă că este iversabil şi di b rezultă, care verifică relaţia este simetrizabil ], BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a y asimptota orizotala la si la Dreptele, sut asimptote verticale bavem ca f <, \ \ {,},de ude se obtie cocluzia + + + f k Limita ceruta este k k + + k k a I d l c e + b Avem ca I + d d + d + + + + cavem ca + d d + d egala cu Cum I J + d J + + +,deducem ca limita ceruta este egala cu,deci + J + d,are limita d J + c,si c are limita egala cu
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii 5 5,5 + ; {,,,5,6,7,8} f :,,, f + Numărul căutat e dat de umărul fucţiilor g : {,,} {,,, } ; 6 fucţii 5 E cetrul paralelogramului E, ; 6 B + D y + yd, B ; D, AC R ; AC si B a Se arată că A B C, deci puctele A, B, C sut coliiare ya yb yc b Ître liii eistă relaţia L 6 L L Ragul este c, deci rag M Dacă uul ditre miorii de ordiul trei ai lui M care coţi ultima coloaă este ul, atuci puctul D a, b este coliiar cu două ditre puctele A, B şi C Di a rezultă că puctele A, B, C, D sut coliiare, deci toţi ceilalţi miori de ordiul ai matricei M sut uli Aşadar rag M a D 5 D 6 9 b Se demostrează că fucţia f este bijectivă şi, y,, f y f D f y c Fie q _, q > Atuci, eistă m, `* astfel îcât q + m t `*, avem k + t H şi deoarece H este subgrup al lui G, rezultă că şi simetricul k + H t m Deci m +, + H, de ude şi m + D + + q H BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii a f +, > + 5 + 9 + 9 9 Deoarece f l + A ; l + este puctul cautat b Covie f c Di subpuctul a deducem ca f >, >, f crescatoare pe [, si f,rezulta ca Deoarece fuctia f este strict f, [;,de ude se deduce demostrat a Se arata ca f este strict descrescatoare Se aplica teorema de medie sau teorema lui Lagrage petru o primitiva a fuctiei f b f d d c Deoarece Atuci limita ceruta este egala cu k + f d k k f d sumad iegalitatile de la a obtiem: f k f d a f f d a f d +, k deci sirul este margiit superiorsirul fiid si crescator,este coverget iegalitatea de
Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii 95 f a + b + c ; a b + c, c, a + b + c ; f : \ \, f + + cos si ;, A 5 AB 7, BC 7, AC 5; cos B 6 R 5 7 c ;R6 si C : a Se arată că σ σ b Dacă σ e, petru p avem σ p e Dacă σ S, σ e, atuci petru orice k `*, σ, σ,, σ k S Cum mulţimea S este fiită, rezultă că eistă i, j `*, cu i < j, astfel ca σi σ j Obţiem că petru p j i `*, σ p e 5 5 c Fie τ e Se arată că τ e, deci τ τ 5 i + i, a Se arată că soluţiile ecuaţiei sut, b Utilizâd relaţiile lui Viète obţiem S + + Dacă ecuaţia ar avea mai mult de o rădăciă reală, deoarece ea are coeficieţi reali, ea ar avea toate rădăciile reale Deoarece S, obţiem, fals c Utilizâd relaţiile lui Viète, obţiem + + + + + + BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii a f e l l f l +, > b Fuctia f este descrescatoare pe ; si crescatoare pe,, deci ea este margiita e e iferior de umarul f Miimul cerut este e e e c f f + l + >,deci f este covea pe, g d + + d l a + + + l si itegrad aceste iegalitati de la la,obtiem iegalitatile cerute + c Itegrad fuctia g obtiem: b [ ;] + d + + gasim ca limita este l + d, d l + + + + utilizad si b
Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii ; ma f a 7 k arcsi + k ; arcsi ;, 6 6 6 ma f C ; 6 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 ABDC parallelogram ; AB + AC AD, AB AC CB ; AD CB ; ABDC dreptughi ; A 6 triughiul este dreptughic; S 6, p 6 ; r a Se arată că rag A b Se arată uşor că mulţimea soluţiilor este S {, α, α, α } α ^ + y c Presupuem că sistemul are soluţia X y z M, ^ Se obţie sistemul + y + z + y + z Sistemul omoge format di primele trei ecuaţii are doar soluţia y z, care u verifică a patra ecuaţie a sistemului, cotradicţie a Calcul direct b Di a rezultă că este lege de compoziţie pe H t G, a matricei se arată că h, k ], A h t A k t H t c Fie fucţia f : G,, f Ak k +, k ] Deoarece petru t ], simetrica di grupul A k t este matricea A k t, Se demostrează că f este bijectivă şi că este u morfism de grupuri BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii a este asimptota verticalafuctia f u admite alte asimptote b Aplica TLagrage fuctiei f pe [ k, k + ] si stabileste iegalitatile cerute c Sumeaza iegalitatile de la a si obtie > l + l >, `* l + + l si folosid a se deduce ca sirul este descrescator + a Covie F f, >, + adica sau a c b + +, > + + + + + a + b,b + c, a + c, de ude a, b, c b Avem: f d F l + l + + l + + arctg c Avem ca F f, > Stabileste ca F <, ;, F >, > si deduce mootoia
Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii z + z + z ; z + z + ; z z f, f ; c, a 7 + + ; + ; {,,} A5 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 AF AE + EF ; FC FD + DC ; FC AF ; A, F, C coliiare 56 6 p, S 8 ; 5 a det A b Calcul direct A I deci A a Folosid relaţiile lui Viete, se arată că + + + a c Se arată că A b a 6 Celelalte rădăcii sut soluţiile ecuaţiei + +, deci, ± i c a este soluţie + + Petru a, di primele două relaţii ale lui Viète rezultă + + Se obţie + + Di şi rezultă Rezultă, fals Aşadar a este uica soluţie BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii a Avem că f si şi derivata u se auleaza pe o multime care e iterval, deci are loc cocluzia b Se demostreaza pri iductie matematica ca ; carata ca sirul este crescător Deduce folosid si b ca sirul este coverget Arata ca lim a I si b I + I cos cos d,de ude se obtie cocluzia c I si cos d ; I cos cos d ; I I I,deci I I Se motiveaza ca I Imultid relatiile aterioare obtiem I I I I I I şi se deduce relatia ceruta Relatia ceruta se poate stabili si pri iductie matematica dupa ce se gaseste relatia de recureta
Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii z {±i} 9 9 9 + 9, ; a, 5 5 {,,,6, 8 } ;,,,, umărul cerut coicide cu umărul fucţiilor g : {,,,5} {,,,,5} ; 5 65 fucţii 5 p ; S 8 ; r AB AC AB ; 6 si C si B AC : a Se arată că A I b Se demostrează pri calcul direct c Se demostrează că k `*, Ak I, Ak + A, Ak + A şi Ak + A k k k k Folosid puctul b şi forma matricelor A, A, A, deducem cocluzia a Petru ^, otăm t Ecuaţia t + t 5 are soluţiile t şi t 5 i b Cocluzia rezultă folosid relaţiile lui Viète şi faptul că suma căutată este egală cu Rădăciile poliomului f sut, ± şi, ± S + + + 8 + + + + + c Dacă a, atuci, di b obţiem că rădăciile lui f sut egale Folosid prima relaţie a lui Viète, deducem că Găsim apoi b şi c 8 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f cos, \ si f u se auleaza pe o multime care sa fie iterval Asadar,fuctia f este strict crescatoare pe \ b Di ipoteza rezulta ca si + Arata ca Rezulta ca sirul deoarece lim este emargiit c Avem ca +, Limita ceruta este egala cu teorema clestelui b Avem + + + + d + + + a ca t ; g t g a Avem : d Atuci rezulta ca g t dt dt, `* c Sirul care e itereseaza este otat a Avem ca a l g d l l
Variata - rezolvari mate MT Soluţii z {±i} f a + b, a ; f f a + ab + b ; f + a + b + ; f + lg + lg ; 9 9 k k k ; k # k {,,6,9} Tk + C 5 a a 8 ; a {6 ± G G G G 6 u v ; cos u, v } 7 : a Se arată că α e b Ecuaţia devie α e, cu uica soluţie α c Fie σ σ σ σ σ σ5 σ6 produsul căutat, cu o ordoare oarecare a factorilor m σ + m σ + m σ + m σ + m σ 5 + m σ 6 ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ5 ε σ6, deci σ e a Se verifică pri calcul direct m b Numărul 5 fiid prim, k {,,, }, umărul α C k este divizibil cu 5, deci α k şi a ] 5, Petru B ˆ c Petru a ] 5, avem Di puctul a avem k A a a I + B 5 a5 I + B5 a I + B B a I + B A a Aa 5 Aa Obţiem că a ] 5, Aa 5 5 8 Pri iducţie se deduce că k `, Aa Cum Aa 5 Aa şi deducem Aa 8 Aa, rezultă Aa Aa k Aa 5 Aa Aa Aa Se obţie a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f arctg + ; f + b f f este crescatoare Cum,deci f este covea lim f, lim f, se obţie cocluzia c f si f crescatoare pe \ f, < ; f, > Deducem ca este puct de miim petru f,deci f f, \ a I + d l + b [ ;] l + Itegreaza iegalitatile aterioare si obtie cerita problemei cavem ca I deoarece fuctia de itegrat este pozitivafolosid b si teorema clestelui se deduce ca limita ceruta este egala cu
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a b ; a + 7 ; a, b 5 + + ; 9 5 tg tg ; tg ;, fuctii JJJG JJJG AD AE DE & BC 5 JJJG DB EC 7 6+ c ; si C si + ; R ; R 6 C si C 6 : a det A b Se arată pri calcul direct c A cel puţi uul ditre umerele a, b, c, d \ este eul α a + b + c + d Folosid uicitatea iversei, deducem că A t A α a a a + + + + b f c <, lim f + Fucţia poliomială asociată lui f este cotiuă pe rădăciă î,,, deci ea şi poliomul f are cel puţi o c, de ude rezultă Deoarece c <, di puctul b rezultă că f are rădăcia, Cum, obţiem Folosid relaţiile lui Viète, obţiem şi apoi b BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f s şi f d,deci f u e derivabila i e +,,, + ; este maim şi este miim b f e +,, + c Utilizează şirul lui Rolle: petru m < e răd; m e rad ; m e, răd; m răd ; m > răd a I + 8 8 si <,,],deci are loc cerita problemei bavem ca g si t t c Deduce ca,t > t 6 7 + Itegrează relaţia aterioară ître şi obtie ca g 8 8 7 Atuci,limita ceruta L >,9 8
Variata - rezolvari mate MT Soluţii r ; a ; S + 8 + 7 7 ;, 6 5 5 7 ± arccos + k, k ] ;,,, 6 6 6 6 + 5 + 6 6 a ;a T7 C 5 md, md ; M s A M M 7,7 ; y 7 + 7 ; d : y + 5 6 a Calcul direct b Se demostrează pri calcul direct, ţiâd cot de faptul că k {, }, k g k a k + b k + c k a + b k + c k şi k g k a k + b k + c k a k + b + c k c Di b se obţie det A g g g det A cel puţi uul ditre umerele,, este rădăciă şi petru g Obţiem a + b + c sau a b c a f ˆ f ˆ ˆ b Cum f u e ijectivă, iar domeiul său este o mulţime fiită şi coicide cu codomeiul, rezultă că f u este surjectivă c Sigurele rădăcii ale poliomului sut şi Descompuerea î factori ireductibili a poliomului peste ] 5 este X + ˆ X X X + ˆ X + X + ˆ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Se cosidera fuctia g + l + Calculeaza g l + l + Se arata ca g este strict descrescatoare pe ;, g d g <, > l + si calculeaza limita epoetului Limita ceruta este egala cu b Scrie f e g,ude g a fost defiita mai suscum f <, > f strict c f f + descrescatoare a Itegrăd pri părţi se obţie f b Avem: e f Daca >,atuci f e t t dt t dt e e c f + e t t dt e t t + e t t dt + f, >
Variata - rezolvari mate MT Soluţii ± i ± i, y sut radaciile ecuatiei a a +, a {,} ;, y {,,,} 6 + + 6 ; + 8 ; {6,8} Tk + C9k 8 k ; T7 8 9 8 5 d d, d : + y ; d d { A }, A, ; d A, d 5 5 6 cos B, cos C, cos C ; cos B cos C B C 8 8 : a Determiatul sistemului este m Petru m \ \ {} sistemul este compatibil determiat b Petru m, p şi c, deci sistemul este compatibil c Dacă m, sistemul are mulţimea soluţiilor S {,, \ } şi + + + 5 Fucţia g : \ \, g + 5 are miimul g V g a Calcul direct b Dacă X, Y G, det X Y det X det Y, deci X Y G Se verifică că dacă X G, atuci şi X G c C A B I + D, ude D Deoarece D, obţiem `*, C I + D I BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a y + este asimptota oblică spre b Motiveaza ca f este derivabila pe \ { ;} + Scrie formula f + c f + + + f s +, f d si deduce relatia ceruta,, Arata ca e t tdt + e a F b F e, > ; F e e e, >, de ude este puct de ifleiue t c F e t dt +,de ude rezulta ca limita ceruta este egala cu e e e
Variata - rezolvari mate MT Soluţii 99 lg lg a + a + + a <, \ a <, < ; a, C 5 ; 5 m AB ; y ; + 7 y 7 7 AC R ; B 6 si B a Se arată că rag A b Se arată că A d A, cu d a + b + c c Se verifică că petru K şi L a b c, avem A K L a Calcul direct b Rădăciile ecuaţiei t t + 6 sut t, ± i Mulţimea rădăciilor lui f este { } + i, i, + i, i c Sigura descompuere î factori a poliomului, î \ [ X ], este f X X + X + X + Nici uul ditre polioamele X X + şi X + X + u poate fi descompus î _ [ X ] BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a b f si cos Utilizad regula de derivare a uui produs,se obtie relatia ceruta f si si ; f,, si si c L lim si lim + si si ; si a Se motiveaza ca F este derivabila pe \ F + + 5 c Cu schimbarea + e + a + + a + 5 F f, \,deci are loc cocluzia b Aria f d Le lim + + 8 5 t,a doua itegrala devie F d F t dt Relatia di ipoteza devie a + F F d d a + > a 5 +
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii log 5 7 5 + 7 log 8 ; f a + b + c, f, f, ; f : \ \, f + 7 tg ;, Numărul cerut este dat de umărul fucţiilor f : {,,,} {,,5,7,9} ; 5 65 ; y + ; y + 6 si α + cos α ; si α 5 mcd : a Notăm cu A matricea sistemului Pri calcul direct se obţie det A a + b + c abc a + b + c a + b + c abc b det A, deci sistemul are soluţie uică c Aduâd cele trei ecuaţii ale sistemului, obţiem a + b + c + y + z, fals a Folosid relaţiile lui Viete, se obţie + + + b Notâd t obţiem ecuaţia t 5t + 5, cu soluţiile t, toate rădăciile reale c Dacă grad g >, atuci lim Î coseciţă, g f +, dar di ipoteză rezultă grad g Di ipoteză deducem că g k, de ude rezultă 5± 5 >, deci ecuaţia iiţială are g k, adică lim g f k {,,, },, cotradicţie g k f k, deci g a f, cu a \ Îlocuid î relaţia di euţ, obţiem că a Aşadar, soluţiile sut polioamele g a f, cu a [,] BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii a f, f ; f <, [, ; f >, >,de ude rezulta cocluzia f este cotiua, strict descrescatoare pe [,] si f f < o radi b f este cotiua,strict cresc pe [,, f <, lim f o radi,, c f <, f >,deci a, lim a a I arctg,deci I d ; I +, + I Arata c Dem pri iductie sau foloseste b: I + + 5 ca lim I si apoi ca limita ceruta este I b I + I + I
Variata 6 - rezolvari mate MT SSoluţii + a +, \ ; ; a, arcsi ; 6 6 8! 8!!! ; 7 8 ; 8 5 AB 5, BC, CA ; B 6 si α + cos α ; cos α ; si α 5 5 : a b a b a Dacă A, B G, A, B, cu a, a, şi b, b \, atuci a a a b + b AB şi a a,, a b + b \ b De eemplu, petru C şi D, se arată că CD DC α ab c Se arată că I A + A, cu α a + a > y + a 9 > şi y \ Obţiem I A + A + A8 G, deoarece + a a Utilizâd evetual relaţiile lui Viète, se obţie că a, b şi c b Dacă f are rădăcia, atuci a + c + b +, de ude rezultă b şi c a Apoi, f X + ax X a X + a X, cu rădăcia raţioală a c Presupuem că f are rădăcia k ] Rezultă că eistă q _ [ X ], astfel îcât f X k q Mai mult, coeficieţii lui q sut umere îtregi Folosid ipoteza, obţiem că umerele k q sut impare, ceea ce este fals, deoarece k k este u umăr par BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M k q şi
Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii a Motiveaza ca f este derivabila pe \ {} f lim si,deci are loc cerita b f si cos, \ {} Limita ceruta este egala cu ccum lim f va eista u umar α >,astfel icat f,, > α Fuctia f fiid cotiua pe [,α ],va fi margiita pe acest iterval,deci f este margiita pe [, Deoarece f este o fuctie para,va rezulta cocluzia a d bcu substitutia t,se obtie d t t + t + t + dt,de + + ude rezulta cerita + c d + + e ceruta este egala cu + +,de ude rezulta ca limita +
Variata 7 - rezolvari mate MT + i Soluţii 8 ; 7 + y ; ; Im f, + p 9 5 5 5 md ; d : y ; + 5 y 5 6 AC 6 ; BC + 6 ; P + + 6 : a Pri calcul direct, rezultă A B 5 6 b Se arată că I + A + A + A + A I + A + A, Atuci, det I + A + A + A + A 5 c Petru ] oarecare, fie X Se arată că X I a Restul căutat este poliomul r X + b Avem f X X X X, deci f 5 c g g g g, deci g g g g f f 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii a Se dem pri iductie 5 b + Demostreaza ca + < Sirul fiid descrescator si margiit este coverget + c Avem ca lim lim + lim Di + + + si relatia aterioara, se deduce ca limita ceruta + este a Aria ceruta este A b I f d arctg d + + + Arata ca lim a + d c Sirul ce e itereseaza se scrie + a k + k k d + k
Variata 8 - rezolvari mate MT { ± i }, mi f arccos Soluţii ; arcsi ; cazuri C C6 cazuri favorabile cu u umăr prim ; C cazuri favorabile cu două umere prime ; C posibile ; p 5 G, JJJG JJJG JJJG 6 AB 7, 7; AC, ; BC,5; : a Pri calcul direct, obţiem A b I + A + A t, deci rag I + A + A t c Se arată că I + A, sau pri calcul direct, sau observâd că I I + A I + A I A + A {, i, + i } a Se arată că mulţimea rădăciilor lui f este b S + + a şi S + + Suma di euţ este S S 6 S 8 a 5 c Deoarece a, di prima relaţie a lui Viète obţiem a şi îlocuid î a doua relaţie a lui Viète rezultă a {, } Petru a, obţiem b a 6, iar petru a, obţiem b a 6 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii [,,deci u va avea asimptote verticale Cum a Fuctia f este cotiua pe lim f, dreapta y este asimptota orizotala spre f b Deoarece + > f strict crescatoare; 5 < si presupuad k > k + avem ca k + > k + f k > f k + k > k + > adevarat deci sirul e descresc,,deci sirul e coverget si folosid recureta rezulta cocluzia y + y + Sirul e descrescaror si are limita egala cu,deci Arata ca c Obtie ca sirul y este crescator + Rezulta ca Atuci y + k + <,deci sirul e si margiit superior k k k f a Avem ca I + cos d + si b F + cos t dt c Daca < + + si,de ude rezulta ca F este o fuctie para f t dt f t dt caci f e pozitiva,deci F e cresc pe [, Cum F este o fuctie para,rezulta ca f este descrescatoare pe,]
Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii 6 ; 5 5 ; 8 8 ; 8 < 5 < g ; f a + b, f ; g f ; f : \ \, f y, y y + 7 ; y {,9} ; {, } ; ma : y ; + y 5 C5 cazuri favorabile ; p 5 A, ; m AA 6 ctg tg ctg tg tg ; tg ; tg tg tg a Scădem prima liie di celelalte şi obţiem det A 8 b Scădem pe râd prima ecuaţie di celelalte şi obţiem y z t şi apoi c Se obţie A a Se obţie S + + + S b Calcul direct c Observăm că u este rădăciă petru f Ecuaţia f este echivaletă cu ecuaţia t + t + a +, ude t Dacă t parcurge \, ecuaţia f are toate rădăciile reale Ecuaţia t + t + a + are rădăciile reale dacă şi umai dacă a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii a f este cotiua pe D,deci i aceste pucte u avem asimptote verticale f d, f s, sut asimptote verticale b f 8,deci puct de ifleiue + + y c Limita ceruta este L lim l lim a l y y y y l +, a < y y lim, a L lim a y y y y y y a, a > y a I + d ; I + l + + a b Avem ca I + d si fializare d + arctg arctg I + arctg + c Cu substitutia f t f t, d f t dt I f d t f t dt t f t + f t dt,foloseste a si se gaseste I 5
Variata - rezolvari mate MT Soluţii < 5, log < { ± i} si + cos + si cos ; si cos, [,,,, ;, JJJG JJJJG JJJG AM AN CN 5 JJJG JJJG ; JJJG ; m 5 CA 5 MB NC 6 OA 5 ; OB ; OB : a Determiatul sistemului este Se obţie soluţia uică, y, z 5 5 b a b Determiatul sistemului este c a abc, deci sistemul are soluţie uică c b b + c a cos A bc A fiid ughi al triughiului ABC, avem A,, deci cos A, c Folosid formulele lui Cramer, obţiem Aalog obţiem y cos B, şi z cos C, a Deoarece a şi b iau idepedet câte trei valori, eistă 9 matrice î mulţimea G b Calcul direct c det A a b a + b ], +, fiid corp, di a b a + b rezultă a b sau a b Î total, eistă 6 matrice î G care au determiatul ul BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f este derivabila pe [,, f e + 6 f,,cu egalitate daca,de ude se obtie cocluzia b f >, \ f u este surjectiva c 5 6 a I + t dt arctgt b Cu substitutia J y J f t dt f t t t + t + dt t f t dt c A f t dt f t dt + f t dt A + t dy f dt y t t y t f t dt + f t dt t + f t dt dt arctg arctg,deci limita ceruta este
Variata - rezolvari mate MT, ± i Soluţii >, 5a 8a + ; a,, 5 ; {5,7} 5 d : y ; d : y + 6 7 9 a Calcul direct b Tripletul,, e soluţie a sistemului, a, b, c \, deci acesta este compatibil Dacă a + b + c şi a + b + c ab + bc + ca, atuci soluţia precedetă este uică c Di ipoteză rezultă că a b c Dacă a b c orice triplet, y, z \ \ \ este soluţie Dacă a b c, atuci sistemul este echivalet cu ecuaţia + y + z z y + y + z + + + + y z y A doua ecuaţie di sistem are o ifiitate de soluţii, care sut coordoatele puctelor de pe cercul de cetru Q, şi rază r Soluţiile sistemului sut cos t t +, cu t, si t yt + z t t y t [ a Deoarece a, b, c pot lua arbitrar câte valori, eistă 6 matrice î mulţimea G ˆ ˆ are proprietăţile cerute b De eemplu, matricea A ˆ ˆ a ˆ ˆ a, ˆ ˆ a b ˆ ˆ c Fie X ba + c ˆ, deci a + c, G X ˆ ˆ ˆ ˆ c c, c Rezultă b Obţiem patru matrice { } { } BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M { }
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Limita ceruta este egala cu b f e fuctie poliomiala de grad deci ecuatia va avea cel mult radacii reale Aplicad T lui Rolle fuctiei f pe [,], [,5], [5,7 ] f se auleaza i cel puti pucte c f 8 + 7 8 + 5 a a + { } f a 6 6, cu egalitate daca a 8 +, 5, + 5 Miimul cerut este 6 si Di ipoteza avem ca f si, \ I si d cos d I cos + cos d a Petru \*, f g f, I {}, g, I [,], este cotiua pe I deci itegrabila Cum f difera de g doar i, rezulta ca si f este itegrabila pe I c Arata ca si <, > Atuci avem: b Fuctia f d < si d cos
Variata - rezolvari mate MT Soluţii i g y; f y, y y + ; y {, } ;, 9 + 6 lg 8 + 9 lg ; 9 ; < ; {,,} 5 5 ; d d, d 5 A, d ; d d, d d A, d ; d A, d 6+ 6 6 6 si 75 ; si5 ; a Calcul direct c b a c a c, y, z det A det A det A c Avem că ragul matricei sistemului este şi ragul matricei etise este, de ude rezultă cocluzia a Se demostrează că f şi f şi apoi că f 5 5 b Sistemul este compatibil determiat Se obţie soluţia b Folosid ipoteza, se deduce că f a+ f a +, ` şi apoi, folosid această relaţie, se demostrează pri iducţie cocluzia c Se cosideră g \ [ X ], g f X Di b avem că g a, `, deci g este poliomul ul, aşadar f X BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f + +, \ b puct de maim, puct de miim lim f lim f Imagiea lui f este Im f, c Daca y avem egalitate Daca < y, se aplica TLagrage lui f pe [, y ], se arata ca f c si rezulta cerita Daca > y atuci se procedeaza ca si aterior f d + d + a Avem: 6 bse descompue i fractii simple fuctia de itegrat si se obtie ca 5 8 + 9 + 9 d Fializare d + + + c g f e e + {,, } Arata ca doar este puct de etrem
Variata - rezolvari mate MT Soluţii i + i ; ; + i i ; ± 5 { } tg arctg ctg arctg ; ctg arctg p,9 7 5 5 G, 8 6 5 : a Calcul direct a 5b b Fie Y C A, cu Y b a a + 5b, cu uica soluţie a b, deci Y Obţiem sistemul ab a 5b c Fie Z C A, Z O, cu a, b _ b a Presupuem că det Z, deci a 5b Dacă b, atuci a, deci Z, fals Dacă b, rezultă că 5 _, fals a f ˆ + f ˆ + f ˆ ˆ a + ˆ ˆ b f X + ˆ X + ˆ are sigura rădăciă c Deoarece grad f, f este ireductibil peste ] f u are rădăcii î ] Aşadar a şi ˆ + a ˆ, deci a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f > f strict crescatoare,deci f ijective lim f, lim f, f cotiua implica f surjectiva; f bijectiva, deci are loc cerita problemei b Di f cotiua si bijectiva rezulta ca f este cotiua f + lim f +,deci lim f + + + f + f + c lim lim f + f lim + + + Limita ceruta este L f f f + a f a a dt l t + l a + t + b Cum si t, t, cu egalitate petru t f < c Avem: f + k, k `,avem : dt l t + l + t + si t si t si + y si t si y si t si t dt + dt dt + dy dt dy dt + t + t + t + + y + t + + y + t + + t,de ude f < si t dt f < f caci f > + + t +
Variata - rezolvari mate MT Soluţii - f a + b + c; a b + c, a + b + c, a + b + c 7 ; f + log + log + log ; log ; 6 + + + C5 + C5 ; cocluzia +, ; 5 5 + 5 5 5 m AC, mh ; h : y + ; h : 5 y 5 G G G G G G G G 6 i + 5 j i j ; 5i j i + j ;- : a Calcul direct b det A At det A A t t c A A, şi î coseciţă, rag A A t a b Dacă A d e g h t c b d t f, atuci A A d b g c h f i det A t A det A A t, deci det A A t c g f h Dacă am avea rag A A t, atuci toţi miorii de ordiul doi ai matricei ar fi uli a Obţiem b d h f c g, deci A b c Aşadar rag A A t şi cum det A A t b e f c f, adică A A t, fals i, rezultă rag A A t a Notâd t obţiem ecuaţia t 5t +, cu soluţiile t şi t Rădăciile lui f sut,,, b a _ astfel ca h a X + X X + X Obţiem h X 5 X + c Di g g g g deducem că eistă poliomul cu coeficieţi îtregi q, astfel îcât g X f X q X + Presupuem cotrariul, deci că eistă ], astfel îcât g Obţiem + + q Egalitatea aterioară avâd loc î mulţimea ], divizorii îtregi ai lui fiid,,,, obţiem că două ditre umerele,, +, + coicid, fals BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f cos si f u se auleaza pe o multime care este iterval,de ude se obtie cocluzia bfuctia f este cotiua pe \,deci u are asimptote orizotalecum lim f, lim f,fuctia f u are asimptote orizotale f, lim f lim si si aceasta u eista,fuctia u are asimptota oblica la Aalog spre c Fuctia este derivabila pe \ \ {} Deoarece lim Cum g lim si \,deducem ca g este derivabila si i 6 a f cotiua implica faptul ca f are primitive b Avem ca I e e d e + e si fializare c f t, t [; ], > f t dt Di ipoteza rezulta ca e + e e e e,deci e e e, > f t dt e t dt e <
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii + i a + + a + ; > ; a,5 5 +, + y; y 6 y + 8 ; y {, } ; {, } p, 5 M, N, P sut mijloacele laturilor triughiului, HM BA si aaloagele; HM mediatoarea [ BA] si aaloagele; H este cetrul cercului circumscris + ABC 6 a ε σ m σ : b Avem σ e, ude e este permutarea idetică Evidet, σ comută cu permutările e, σ, σ Se arată, pri calcul direct, că σ u comută cu celelalte permutări di S c Dacă S este o permutare impară deci o traspoziţie, evidet, e σ Obţiem uica soluţie σ a Calcul direct b Se arată că îmulţirea matricelor este lege de compoziţie pe G Se verifică aiomele grupului abelia Elemetul eutru este matricea X, iar simetrica lui X a G este matricea X + G a + c Se demostrează pri iducţie că `*, a, a,, a \ \ { }, X a X a X a X a + a + a + Petru 7 şi ak k, k {,,, 7 }, obţiem t 8! BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii f a Avem ca l l, f,, e ],de ude se obtie cocluzia bdreapta este asimptota verticalanu eista alte asymptote c Se aplica T Lui Lagrage fuctiei f pe [ k ; k + ] si rezulta iegalitatile l k + k + l k Aduad iegaterioare petru k de la la k < f k + f k < l + l < f + f < a + Atuci a > f + f f > f,deci sirul e margiit iferior Obtiem a + a+ a l + + f + f f + f c <,deci sirul e coverget a Aria ceruta este A si d b V f d cos d + si c Limita ceruta se poate scrie astfel: Foloseste ca cos k L lim si cos k si a, a ; a lim k L lim co cos d si k
Variata 6 - rezolvari mate MT Di, k k k + k k + * se obţie N + + + +, deci 7 8 8 N [ ; [ N ] f f, k k k Fie S suma cerută S k k Ecuaţia dată se scrie + Notâd y obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Cum >, covie doar, deci f bijectivă f surjectivă Im f A Atuci f + f + f + f + f 5 Mijlocul segmetului [ AB ] este M ; Puctul P, y aparţie mediatoarei segmetului [ AB ] dacă şi umai dacă AB MP Avem AB i j iar MP i + y j Ecuaţia mediatoarei lui [ AB ] va fi : y y + 6 Avem α ; cos α < cos α 9 si α tg α cos α a Calcul direct b Se demostrează pri iducţie după `* c A I, deci A8 I a Folosid relaţiile lui Viète, se obţie + + + a b Di teorema împărţirii cu rest, α, β \ şi q \ [ X ], f X q + αx + β α a +8 f α + β Di, se obţie Restul împărţirii este: r a + 8 X 7 f α β 7 c k k <, deci ecuaţia u are toate rădăciile reale 9 Fucţia poliomială asociată otată tot cu f fiid cotiuă, f şi lim f +, f are cel puţi o rădăciă reală f are u umăr par de rădăcii î ^ \ \, deci are eact două rădăcii reale BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 6 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f lim arctg lim arcctg y este asimptotă orizotală spre + >, R f este strict crescătoare + c f > şi f este strict crescătoare este strict descrescător este mărgiit iferior de, deci coform Teoremei lui Weierstrass este coverget b f a g este cotiuă, deci are primitive, iar derivata uei primitive este pozitivă, deci orice primitivă este strict crescătoare b c f d f ε f d εlim + + ε ε f d lim arcsi + < ε
Variata 7 - rezolvari mate MT + i + i + i + + i 6 + i i + + i i f este fucţie de gradul cu Valoarea maimă a fucţiei f este a 8 Notâd lg y obţiem ecuaţia y + 5 y 6 cu soluţiile 6 şi lg 6 6, iar lg O fucţie f : {,,,} {,,,} cu proprietatea f f este uic determiată de u tabel de tipul f ude a, b {,,,} a b Vor fi 6 fucţii cu proprietatea cerută 5 Fie θ măsura î radiai a ughiului AOB cos θ OA OB OA OB Cum OA i + j şi OB i + j, rezultă că OA 5, OB şi OA OB 5 θ 6 Avem si α si α cos α Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului 8 cos α Naţioal si petru α + cos Curriculum α + si α cosşiαevaluare siî αîvăţămâtul si α +Cetrul Preuiversitar 9 9 9 cosθ : a rag A + I b Se demostrează pri calcul direct c Presupuem că ecuaţia are soluţia Y M ^ Atuci, A Y Y A şi di b deducem că eistă, y ^, astfel îcât Y Cum det Y, obţiem şi apoi Y, fals y a Calcul direct b Calcul direct c Se demostrează pri iducţie că `*,,,, \, + + + 9 8 Obţiem 8 8 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 7 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f lim arcsi b, f arcsi + lim f / c f f arcsi + + f u este derivabilă î + f este coveă 5, a F >, R F este strict crescătoare pe R F f 5 5 b F + + + + deci lim F şi lim F + F fiid cotiuă, rezultă că + 5 F este surjectivă, deci coform lui a este bijectivă t t t t5 t6 a c F d t f t dt + + + + + + + + 5 6 5 6 F f
Variata 8 - rezolvari mate MT Fie z umărul di euţ Cum z z, rezultă că z \, deci Im z Fucţia f este strict descrescătoare pe itervalul [, + < < f > f > f Se impue codiţia Pri ridicare la pătrat, ecuaţia devie 9 5 O fucţie f : {,,,} {,,,} cu proprietatea f este uic determiată de u tabel de tipul f ude a, b, c {,,,} a b c Vor fi 6 fucţii cu proprietatea cerută BM BM MC BC JJJJG JJJG JJJJG JJJG BM JJJG AM AB + BM AB + BC BC JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AM AB + AC AB AB + AC 6 α ; cos α < 9 petru Curriculum şi Evaluare î Îvăţămâtul Preuiversitar cos α Cetrul Naţioal 5 5 si α tgα cos α 5 a Se arată că det A I {, } b Calcul direct c Fie Y M \, o soluţie a ecuaţiei Atuci, A Y Y A, deci eistă soluţii î Di b rezultă că eistă, y ^, astfel îcât Y Obţiem y y M \ a Se arată că f, D f, f, b Se arată că operaţia de compuere este lege de compoziţie pe G Se verifică aiomele grupului Se demostrează că elemetul eutru este fucţia idetică, f,, iar petru fucţia f a, b G, simetrica sa b şi b a a c f, +, f, D f, + şi iductiv se obţie este f a, b G, ude a aşadar f, D f, D D f, + 8 f, D f, D D f, +, de ori f, de 8 ori f, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M `,
Variata 8 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f < f ; lim f şi f Deci f este cotiuă pe b Studiem cotiuitate îtr-u Z lim < itervalul [, ] > c Eplicitâd fucţia observăm că şi sut pucte ughiulare şi f este derivabilă pe [, ] \ {, } a si cos d d l si si si l b F f şi f > deoarece si, R Deci F este strict crescătoare c t f t dt lim + + si t
Variata 9 - rezolvari mate MT Fie a umărul di euţ Avem a Tabelul de sem al fucţiei f este: + f + +, deci a ` + ++ + + + + + + f ; Se impu codiţiile şi Pri ridicare la pătrat ecuaţia devie + cu soluţiile şi Cum [ ; ], rezultă că este uica soluţie a ecuaţiei date Mulţimea A are 6 submulţimi evide ditre care au toate elemetele impare Probabilitatea cerută este 6 7 6 9 5 P+ ABC AB + BC + AC + + 5, >, cu egalitate umai petru Cum α ; tg α >Miisterul şi atuci tgeducaţiei, α si α si α+ Cercetării tg α şi Tieretului tg α 6 Avem + a Se arată că det A m {, } b Dacă m {, }, sistemul este de tip Cramer, deci este compatibil Se arată că dacă m {, }, atuci sistemul este compatibil -edetermiat c Petru m, sistemul are soluţia y z a Dacă m, rag A rag A, şi sistemul are soluţii de forma y a, cu a \ z a Dacă y, atuci + y ˆ ˆ şi dacă sau y, se arată că + y, ˆ ˆ ],, { } { } b Dacă X A a, b H şi Y A c, d H, X Y A ac + bd, bc + ad H ˆ ˆ } şi X A ad, ˆ bd H Dacă X A a, b H, atuci d a + b {, a + ˆ b ˆ c X I ab Petru a ecuaţia ˆ b ˆ u are soluţii { } ˆ ˆ Petru b rezultă aˆ, ˆ şi soluţiile X ˆ ˆ ˆ ˆ şi X ˆ ˆ ˆ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 9 - rezolvari mate MT Rezolvare a f g g + +, f + + + + + + b lim f lim 9 9 c a I 5 + 6 + d + d 5 5 b I d + d + d d + + I I c Coform puctului b I!! lim I +!!
Variata - rezolvari mate MT k + k + k k + + + + 99 + 9, deci a Graficul fucţiei f itersectează aa O î două pucte disticte dacă şi umai dacă ecuaţia f are Fie a umărul di euţ Avem a două soluţii reale > m 8 > m ; ; + Se impue codiţia ; + Ecuaţia dată este echivaletă cu log + + log + cu soluţiile şi Cum ;, rezultă că este uica soluţie a ecuaţiei date Mulţimea A are 5 submulţimi Numărul submulţimilor cu trei elemete ale lui A este C5 5 Fie G G, yg Avem G C5 5 6 cetrul de greutate al triughiului ABC Probabilitatea cerută este 5 A + B + C y + yb + yc 5 şi yg A cos Educaţiei, Cercetării şi Tieretului 6 Folosim relaţia si Miisterul Curriculum şi Evaluare î Îvăţămâtul Preuiversitar Cetrul Naţioal petru Cum ; si > Atuci si 8 8 8 a Calcul direct b B A + a b c + a b c A a b c cos 8 c Fie A a, f a, A b, f b şi A c, f c cele trei pucte, cu a b c a b a c bc a a + b + c B Cel puţi două ditre cele trei umere a, b, c au aceeaşi paritate, deci cel puţi uul ditre umerele S [ A A A ] b a, c b, c a este par Rezultăcă S [ A A A ] ` Se arată că f a, f b şi f c sut multipli de, deci B este divizibil cu, adică S [ A A A ] este divizibilă cu a Calcul direct b Se arată că X a, X b H, cu a, b \ \, a + b ab, deci X a X b H c Petru X X a G, X I X a a X Se obţi soluţiile X I şi X 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Rezolvare si a lim f lim + 6 b f cos ; f + si c f + cos f este strict descrescătoare f f, f f este strict descrescătoare f f, f f este strict descrescătoare pe itervalul [, + şi f f, a f d si + + 8 6 si + 6 + f t dt lim c f si + ; f cos f este strict crescătoare pe itervalul [, + b f d lim cos + 9 cos cos d
Variata - rezolvari mate MT log 6 log log + log + log + a + a a a + b Fie a şi b umerele căutate Avem a b Numerele a şi b vor fi soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea, adică Ecuaţia se scrie + 6 + 8 + + 5 5 şi 8 şi cum + > obţiem + 9, de ude Putem alege fete di cele î C moduri La fiecare alegere a fetelor putem alege băieţi di cei moduri Comitetul clasei poate fi ales î C C 99 moduri î C JJJG G G y, adică + y 5 Avem AB i + j Ecuaţia paralelei pri C la AB este ;, rezultă că umărul real 6 se reprezită pe cercul trigoometric î cadraul IV Î cocluzie si 6 < 6 Deoarece 6 a Calcul direct i i b Se obţie 8 + A O şi apoi,, a b c Presupuem că ecuaţia are soluţia X M ^ Atuci X A O c d Rezultă det X şi X t X, ude t a + d Se demostrează că X t X, deci X O sau t Î ambele cazuri rezultă X O, fals a a8 şi a7 Di teorema împărţirii cu rest, eistă şi sut uice b f X q + ax + b Obţiem a Cum f f q ^[ X ] şi a, b ^, astfel îcât f + f b f f 5, restul împărţirii poliomului f la X este r 5 c Fie z ^ rădăciă a lui f Atuci z + i 8 z i 8, de ude rezultă z + i z i îlocuidu-l pe z a + b i, cu a, b \ î relaţia precedetă, deducem b, deci z \ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M şi
Variata - rezolvari mate MT Rezolvare f m ; lim + y + este asimptotă oblică spre b f este derivabilă pe itervalul R \ {,} şi şi sut pucte de îtoarcere ale graficului a lim c f ;,, + şi f ;, Petru,, f este strict descrescătoare, iar petru, +, f este strict crescătoare este puct de maim f, deci şi sut pucte de miim şi de îtoarcere, iar + d arctg + a I + + d + + + c Di b I folosid mootomia lui I Coform criteriului cleştelui + b I + + I avem lim I
Variata - rezolvari mate MT Numerele,,,,, 8 sut î progresie aritmetică cu raţia 9 Rezultă că s 8 şi de aici < s < f g + Puctul de itersecţie cerut este M ; Utilizâd relaţia si + cos, ecuaţia devie si + si Notăm si y şi obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Ecuaţia si u are soluţii petru că si, iar si k + k, k Numărul fucţiilor bijective f : A A este 5! 5 5 Patrulaterul cove ABCD este paralelogram dacă şi umai dacă diagoalele sale au acelaşi mijloc + + y Mijlocul lui [ AC ] este M ; Fie D, y Mijlocul lui [ BD ] este M ; + + y M M şi Miisterul D, Cercetării şi Tieretului Educaţiei, 6 Deoarece ; cos < şi atuci cos si 5 cos Deoarece ; si >, deci si + a Calcul direct b Petru a \ \ {,} sistemul este de tip Cramer, cu uica soluţie, y, z, care u verifică ecuaţia C c Petru a, di sistem rezultă y z y + y Folosid ecuaţia C, găsim soluţiile şi z + z α şi cum α + β α β Petru a, sistemul devie + y + z, cu soluţiile y β z α β petru mai mult de două umere reale, a u e soluţie 9 6 a Petru a 9 _, b 6 _, avem a b, deci A G 9 6 a b a b a b b Petru X G şi Y b a G, avem XY b a, ude b a a a a + b b _ şi b b a + a b _ şi det XY det X dety a b G a b c Se arată iductiv că petru orice `*, eistă a, b `*, astfel îcât A Cum b >, rezultă că `*, A I şi apoi că puterile matricei A sut o ifiitate de elemete disticte ale grupului G, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Rezolvare a f + + + b + > arctg + > arctg f > f este strict crescătoare pe itervalul, şi strict descrescător pe itervalul, +, deci este + c Se arată că g, R g este costată maim global f arctg arctg a + d l l + l 5 + l + f t dt + b f f t dt Deci lim 5 c g f, [, A g f d
Variata - rezolvari mate MT ++ Fucţia f este fucţie de gradul al doilea cu 8 şi a > log + log 9 + 7 Valoarea miimă a fucţiei f este 8 a Notâd y obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Cum >, covie doar, deci Dacă, atuci este pătrat perfect Î mulţimea {,,,, 99} sut de elemete ditre care sut pătrate perfecte:,,,, 9 Probabilitatea cerută este, 5 Avem AB i + j şi CD a i + j Atuci AB // CD a a tg + tg + 6 tg + 8+5 tg tg Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului : a Se arată că B I b B B c Obţiem a + b + c det A a + b + c a b + b c + c a a Calcul direct b ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, 5 ˆ + ˆ, 6ˆ ˆ + ˆ c Se arată iductiv că `, { } ] 7 H, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Rezolvare f > f este strict ctescătoare b Se poate demostra pri calcul sau aplicâd Teorema lui Lagrage c Se aduă relaţiile de la b de la k pâă la k şi astfel se obţie margiea şirului a Şirul a f este evidet crescător, deci va fi coverget coform Teoremei lui Weierstrass a f t arctg t t + t arctgt d arctg + arctg t + b f t arctg t dt t dt + + t t + arctg c f t dt dt + + t + + + t dt lim f + t + lim
Variata - rezolvari mate MT Avem + i 9 + 6 5 5 şi atuci z + i + i 5 65 b, yv Evidet V + yv a a Ecuaţia devie si cos si sau cos Fie V V, yv vârful parabolei V 5 şi Numărul fucţiilor bijective f : A A este 5! 5 Cum [,, avem si şi, iar cos JJJG G G JJJG G G 5 Avem AB i + j şi CD a i + j JJJG JJJG 5 Atuci AB CD AB CD a + a 6 Avem si + cos si + si si cos cos Atuci si B + cos B si C + cos C cos B cos C Cum B, C ; obţiem B C, adică triughiul ABC este isoscel : a Se arată că suma elemetelor matricei A este S 8 b Calcul direct c Se arată iductiv că A A, ` Rezultă că rag A, ` a Calcul direct b e \ este elemet eutru al legii \, ae e 6 e 6 şi a c Avem 6 6 [, 6] a, Verificăm că petru a,, e o lege de compoziţie pe 6 6 [, 6] Petru y [, 6] fiat, cosiderăm fucţia f : [, 6] \, f a y y + 6 [, 6] Dacă y <, fucţia f este strict descrescătoare pe [, 6], deci a a 6a y f 6 y 6 Dacă y, f 6 y 6 a Dacă < y 6, fucţia f este strict crescătoare pe [, 6], deci 6 y f 6a y 6 a Aşadar, petru orice a,, este o lege de compoziţie pe itervalul [, 6] 6 Avem BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata - rezolvari mate MT Rezolvare a f + >, > + b Ce arată că lim f < şi cum f este strict crescătoare, rezultă că f <, > + c a + a f şi coform b a este strict descrescător a f arcsi t b f t arcsi t arcsi t + 8 t dt t dt + 8 t t t dt + 8 6 6 8 c lim t arcsi t dt < ε t arcsi t dt
Variata 5 - rezolvari mate MT + i + i + i + i + i + i + i i f f f + + + sau Ecuaţia se scrie + şi împărţid pri se obţie + Notăm y y + y y şi y Cum >, covie doar Mulţimea A are elemete, iar umărul celor divizibile cu 5 este dat de umărul k-urilor cu proprietatea k `, 5k adică k Probabilitatea cerută este 5 Triughiul AOB este dreptughic î O Avem AO, BO, AB 5 AO OB Fie distaţa de la O la dreapta AB Atuci AO OB AB AB 5 D D 6 m ADC 5 m BAD 5 Aria paralelogramului este AB AD si BAD y z Sistemul este a Dacă X y M, ^, ecuaţia e echivaletă cu sistemul + y + y z 5 z compatibil edetermiat, deoarece ragul matricei sistemului este egal cu, ca şi ragul matricei etise b Calcul direct 6 c Se arată că A* 6 Rezultă rag A* 6 a 7 5, deci 7 + 5 A b Calcul direct + c Avem f 7 + 5 Mai mult, f 7 + 5 f 7+5 + are termeii disticţi, î ] iar şirul ` 7 + 5 ` +, `, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 5 - rezolvari mate MT Rezolvare a f e e, f e + e + < f este strict descrescătoare pe R b Petru a este evidet, iar petru a > aplicăm regula lui l Hospital c lim f l lim f, lim f m lim f m, deci y este o asimptotă orizotală la + şi y este o asimptotă oblică la + a I d l + b I + I d < + deci lim I c I d +
Variata 6 - rezolvari mate MT, 857 Atuci a + a + a + + a6 + + + 8 + 5 + 7 7 7 Avem f D g f g g, iar g D f g f f + 8 Pri împărţire se obţie că Atuci f D g g D f 8 8, \ Fie f f y + y + y Rezultă că fucţia f este ijectivă Sut 9 de umere de trei cifre, iar umărul celor divizibile cu 5 este dat de umărul k-urilor cu proprietatea k `, 5k < adică k < Probabilitatea cerută este 8 9 5 5 Ecuaţia dreptei AB este: y Puctele A, B, C sut coliiare C AB a 6 Di teorema cosiusului obţiem cos A AB + AC BC AB AC a Di A : a + bc ba + d obţiem sistemul: Presupuem că a + d Rezultă b c ca + d a d a + d şi a d Di prima şi di ultima ecuaţie obţiem a d, deci a + d, cotradicţie b Se arată că I + A I A I, deci I + A I A c Matricele de forma X α A, α \ sut soluţii a Se arată că f a b Notâd t obţiem ecuaţia t t + 9, ale cărei soluţii au t t Rezultă t, şi suma căutată este egală cu c Evidet, B A Fie α g a A Di teorema împărţirii cu rest, eistă şi sut uice q, h _ [ X ], cu grad h, astfel îcât g X X + 9 q + h Rezultă α g a h a B, deci A B BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 6 - rezolvari mate MT Rezolvare a f deci f este strict crescătoare b lim f, lim f y este asimptotă orizotală la ± este asimptotă verticală ctg a + + c ctg a + şi astfel rezultă periodicitatea 6 ctg a a F f F e este puct de ifleiue e e d e c F F f b f
Variata 7 - rezolvari mate MT Numerele,, 7,, sut termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice cu raţia + 76 Atuci + + 7 + + Im f { y \ / \ astfel îcât f y} Avem f y + + y Această ecuaţie are soluţii reale dacă şi umai dacă Î cocluzie, Im f ; + E si arcsi + si arccos + y ; y Termeii dezvoltării sut Tk + C5k 5 k k C5k 5 k, k {,,,,,5} Deoarece C5k ` avem Tk + _ 5 k par k {,,5} Dezvoltarea are trei termei raţioali JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 ABCD pătrat AB + AD AC AB + AC + AD AC Atuci AB + AC + AD AC 6 Avem: si 75D si 5D + D si 5D cos D + cos 5D si D si 75D 6+ + Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului : a Calcul direct b det A At det A At c Miorul t det At A det A At deci det A At b b + este eul a Petru orice [,, avem f + p + q + r > b S + + p, S + + q + + p S S q S r p + pq r c Fie poliomul g \ [ X ], g X a + b + c X + ab + bc + ca X abc, cu rădăciile a, b, c Deoarece p a + b + c >, q ab + bc + ca > şi r abc >, di puctul a rezultă că rădăciile a, b, c ale lui g u sut î itervalul [, Aşadar, a, b, c, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 7 - rezolvari mate MT Rezolvare > este asimptotă orizotală spre + a f + + + b lim f + ; lim f şi f este cotiuă, deci este surjectivă Coform a f este ijectivă c Sigura valoare petru este şi limita este a I b I + I c I + e d e e d e + d, deci I este descrescător şi mărgiit iferior de + e d e I I lim I e
Variata 8 - rezolvari mate MT Avem < < log < log < log < log < log, 9 9 m, Avem si + cos si + si si cos cos Ecuaţia devie cos ± + k, k + + m >, oricare ar fi < 9 m < m > + k / k!+!! + +! C!!, avem C + C + +!!!!!!!!!! Mulţimea soluţiilor ecuaţiei iiţiale este: {k / k } 5 Avem d d { A ; } Atuci A d + a a 6 Di teorema cosiusului, BC AB + AC AB AC cos A BC Perimetrul triughiului ABC este AB + BC + AC 7 + a Se arată că A a d c e f b Dacă X b g h M ^, di i A X X A rezultă g, d + g, a + b f + i, d + e i şi g + h Se obţie g d h, a e i şi c Presupuem că eistă X M ^, astfel îcât X A a Rezultă A X X A Di b, eistă a, b, c C, astfel îcât X b c Di X A, rezultă că det X, deci a Se obţie X b a b a e+h, d h, b f a A a f f a + b şi rezultă cocluzia b Se obţie f f y y a + y + y + b c Îlocuid î b se obţie b 85a Di f se obţie c 8a 5 Apoi, f 7a + Dacă a, obţiem f 67, iar dacă a, că f 7, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 8 - rezolvari mate MT Rezolvare a f + + + + >, R + + + + b lim f +, lim f, f este cotiuă pe R, deci f este surjectivă, iar coform puctului a este ijectivă f dar lim f + c lim a f d d 6 b f este cotiuă pe R î fiecare puct îtreg ls ld f a c f este periodică de perioadă, deci a + a f d f d
Variata 9 - rezolvari mate MT + i i i z z Cosiderăm fucţia g : \ \, g + Tabelul de sem al lui g este: g [; ] ++++ g Avem f f y + y + y y y sau y y, y, y, deci f este ijectivă f f y Dar, y, y > Avem O fucţie f : {,,} {,,,} petru care f este umăr par este uic determiată de u tabel de tipul f ude a {, } iar b, c {,,,} a b c Vor fi fucţii cu proprietatea cerută 5 Di teorema cosiusului, avem BC AB + AC AB AC cos A JJJG JJJG AB + AC BC 5 Atuci AB AC AB AC cos A Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului Cetrul Naţioal petru Curriculum şi Evaluare D D D D D D D î Îvăţămâtul Preuiversitar 6 si5 si 5 si 5 cos cos 5 si : 6 si5d a Se calculează det A a b b c c a b Se arată că uica soluţie este y z c Se obţi soluţiile α, α,, cu α ^ a 9, ] şi 9 5, deci z M b Se arată uşor că z, z M, avem z z M şi z M c Se demostrează că petru z 9 + 5 M, k, `*, cu k, avem z z k BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M
Variata 9 - rezolvari mate MT Rezolvare a f l + Pe itervalul,, f este strict descrescătoare, iar itervalul f b lim f +, lim +, lim f Deci f >, +, f este strict crescătoare e u are asimptote c Se arată că şirul N este mărgiit şi mooto + < 5 5 9 l d + + 5 8 6 6 5 + 5 d b I + + 5 I + 5 + c I + I I lim I 9 + 9 9 a I
Variata - rezolvari mate MT a a i Atuci z \ Im z a a ± + a + y şi obţiem o sigură soluţie: Rezultă că dreapta de ecuaţie Rezolvăm sistemul + y y 9 Avem z +a + y + este tagetă la parabola de ecuaţie y + î puctul P, 9 Se impu codiţiile şi, adică, Pri ridicare la pătrat ecuaţia devie Produsul cartezia A A are 6 de elemete: A A {,,,,, 6, 6 } 5 Cazurile favorabile sut, 5, 5,,,,, şi, Probabilitatea cerută este 6 JJJG G G JJJG G G JJJG JJJG G G JJJG JJJG 5 MA i + j, MB i + j MA + MB i + 5 j MA + MB 6 6 Avem succesiv: si a + b si a b si a cos b + cos a si b si a cos b cos a si b si a cos b cos a si b si a si b si a si b si a si b a Se arată că S b Se calculează A A, apoi B C I + 5a + A şi se obţie a 5 c Se demostrează pri iducţie după ` a Deoarece ε ε ε + ε + şi ε ^ \ \, rezultă cocluzia b Determiatul sistemului este y z ε ε ε ε, deci sistemul are doar soluţia ulă c Di ipoteză, eistă g ^ [ X ], astfel îcât f X + Xf X + X f X X g X Deoarece umerele, ε şi ε sut rădăciile poliomului X, se obţie sistemul a + a + a a + a ε + a ε, ude ak f k, k {,, } a + a ε + a ε Folosid puctul b se deduce că f k, k {,, }, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M