16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni minimum ili maksimum u točki c a,b i ako je funkcijadiferencijabilnauc, tada jef (c) = 0. Ako jejoš funkcijadvaputadiferencijabilna u točki c i f (c) < 0, tada je c lokalni maksimum, a ako je f (c) > 0, tada jeuclokalni minimum. U nastavku poopćujemo ove rezultate za realne funkcije više varijabli. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) maksimum x U(c) f(c) f(x), kažemo da je c lokalni maksimum, a f(c) je vrijednost lokalnog maksimuma. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum x U(c) f(c) f(x), kažemo da je c lokalni minimum, a f(c) je vrijednost lokalnog minimuma. c je lokalni ekstrem ako je lokalni minimum ili lokalni maksimum funkcije f. c je stacionarna točka ako je funkcija f diferencijabilna u c i Df(c) = 0. Teorem 16.2 (Nužan uvjet za lokalni ekstrem) Neka je A R n otvoren i f : A R diferencijabilna u c A. Ako je c lokalni ekstrem funkcije f onda je Df(c) = 0 (tj. c je stacionarna točka funkcije f). Dokaz 1. Pretpostavimo da Df(c) 0. Slijedi da postoji vektor h R n takav da je Df(c)h = p 0. Pretpostavimo p > 0 (ako nije uzmemo h). Slijedi Stoga je Sada slijedi da za λ > 0 u okolini λ = 0 vrijedi f(c+λh) f(c) λdf(c)h lim = 0. λ 0 λ f(c+λh) f(c) lim = Df(c)h = p > 0. λ 0 λ f(c+λh) > f(c), a za λ < 0 u okolini λ = 0 vrijedi f(c+λh) < f(c), pa c nije lokalni ekstrem, što je kontradikcija. 61
Dokaz 2 Za j {1,...,n} na nekoj okolini 0 definiramo funkcije g j (h) = f(c+he j ). Svaka od ovih funkcija ima u 0 lokalni ekstrem, pa mora vrijediti 0 = g j(0) = f x j (c). Jer je funkcije f diferencijabilna slijedi da je Df(c) = 0. Napomena 16.3 Primijetite da smo dokaz zapravo sveli na realnu funkciju realne varijable. Rezultat je zapravo intuitivno jasan. Ako funkcija ima lokalni maksimum u točki c niti u jednom smjeru ne smije rasti. Stoga ako je diferencijabilna diferencijal mora biti jednak 0. S druge strane stacionarne točke ne moraju biti ekstremi. Poznat primjer je f(x) = x 3 gdje je u 0 točka infleksije. Primjeru dvije dimenzije dan je formulom Vrijedi f(x,y) = y 2 x 2. f x (x,y) = 2x, f (x,y) = 2y. y Stoga je (0,0) stacionarna točka. No, promatramo li ponašanje funkcije na osi y vidimo da je vrijednost funkcije pozitivna, a na osi x negativna. Stoga (0, 0) nije lokalni ekstrem. Takve točke nazivaju se sedlaste točke. Definicija 16.4 Simetrična matrica H M n (R) je pozitivno definitna (pišemo H > 0) ako je x R n \{0} (Hx x) > 0. pozitivno semidefinitna (pišemo H 0)ako je x R n (Hx x) 0. negativno definitna (pišemo H < 0) ako je x R n \{0} (Hx x) < 0. negativno semidefinitna (pišemo H 0) ako je x R n (Hx x) 0. indefinitna ako nije ni pozitivno ni negativno semidefinitna. 62
Simetrična matrica ima realne svojstvene vrijednosti i slična je s dijagonalnom matricom D A = T 1 DT. Npr. zahtjev pozitivne definitnosti sada je ekvivalentan istom zahtjevu na matricu D tj. pozitivnosti svojstvenih vrijednosti. Sličnu karakterizaciju možemo dati i za druga svojstva, negativno definitna ima samo negativne svojstvene vrijednosti, a indefinitna i pozitivne i negativne. Neka je H pozitivno definitna matrica. Promatramo preslikavanje f : R n R, f(x) = (Hx x). To preslikavanje je kvadratni polinom u n varijabli, te je stoga neprekidno na čitavom R n. Specijalno, neprekidno je na jediničnoj sferi S n 1 = {x R n : x = 1} u R n. Stoga na S n 1 funkcija f poprima minimum H m, tj. vrijedi f(x) = (Hx x) H m, x R n. Kako je H pozitivno definitna H m > 0. Za proizvoljan 0 x ZR n je x x Sn 1, pa vrijedi Množenjem s x 2 slijedi (H x x x x ) H m, 0 x R n. (Hx x) H m x 2, x R n. (16.14) S druge strane (16.14) očito povlači da je H pozitivno definitna. Stoga smo pokazali prvu tvrdnju narednog teorema. Druga tvrdnja slijedi analogno. Teorem 16.5 a) Simetrična matrica H je pozitivno definitna ako i samo ako postoji H m > 0 takav da je (Hx x) H m x 2, x R n. b) Simetrična matrica H je negativno definitna ako i samo ako postoji H M < 0 takav da je (Hx x) H M x 2, x R n. Napomena 16.6 Neka je H pozitivno definitna. Već smo komentirali da je to ekvivalentno pozitivnosti svih svojstvenih vrijednosti matrice H. Neka su svojstvene vrijednosti dane redom 0 < λ 1 λ 2 λ n, s pripadnom ortonormiranom bazom svojstvenih vektora v 1,...,v n. Neka je za x R n raspis u bazi dan sa x = c 1 v 1 + c n v n. Sada iz (16.14), uvrštavanjem vektora x, slijedi (Hx x) = λ 1 c 2 1 + +λ nc 2 n λ 1(c 2 1 + c2 n ) = λ 1 x 2. Stoga je najveći H m iz (16.14) zapravo najmanja svojstvena vrijednost od H. Teorem 16.7 (Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem) Neka je A R n otvoren i f : A R klase C 2. 63
(i) Ako je c A stacionarna točka i H f (c) je negativno definitna matrica onda f ima lokalni maksimum u c. (ii) Ako f ima lokalni maksimum u c onda je H f (c) negativno semidefinitna. (iii) Ako je c A stacionarna točka i H f (c) je pozitivno definitna matrica onda f ima lokalni minimum u c. (iv) Ako f ima lokalni minimum u c onda je H f (c) pozitivno semidefinitna. (v) Ako je c A stacionarna točka i H f (c) je indefinitna matrica onda f nema u točki c lokalni ekstrem, tj. c je sedlasta točka funkcije f. Dokaz. Dokazat ćemo tvrdnje (i), (ii) i (v). Tvrdnje (iii) i (iv) slijede iz (i), (ii) za funkciju f, a prvi dio od (v) iz (ii) i (iv). Neka je Df(c) = 0 i H f (c) < 0. Stoga prema Teoremu 16.5 postoji ε > 0 tako da vrijedi D 2 f(c)(x,x) ε x 2, x R n. JerjefunkcijaklaseC 2 slijedidajed 2 f neprekidnanaa, papostojiδ > 0takav dajek(c,δ) A i x x c < δ = D 2 f(x) D 2 f(c) < ε 2. Za x K(c,δ) Taylorov teorem daje c izmedu c i x, dakle u K(c,δ), takav da je f(x) f(c) = Df(c)(x c)+ 1 2 D2 f(c)(x c,x c). Sada iskoristimo Df(c) = 0, te ocijenu za drugi član na desnoj strani ove jednakosti D 2 f(c)(x c,x c) D 2 f(c)(x c,x c)+ D 2 f(c)(x c,x c) D 2 f(c)(x c,x c) D 2 f(c)(x c,x c)+ D 2 f(c) D 2 f(c) x c 2 ε x c 2 + ε 2 x c 2 ε 2 x c 2, te dobivamo f(x) f(c) ε 4 x c 2 < 0, x c. Stoga je f(x) < f(c), x K(c,δ)\{c} pa je c lokalni maksimum funkcije f. Nekajesadaclokalnimaksimumfunkcijef. PretpostavimodaH f (c)nijenegativnosemidefinitna. To znači da postoji x R n takav da je D 2 f(c)(x,x) > 0. Funkcija g(t) = f(c+tx) definirana je na nekoj okolini 0, jer je A otvoren, i na toj okolini klase je C 2. Vrijedi D 2 g(0)(1,1) = g (0) = D 2 f(c)(x,x) < 0. 64
Koristeći prethodni dio dokaza zaključujemo da postoji δ > 0 takav da je t 0 t < δ = g(t) < g(0). Stoga je f(c+tx) > f(c), pa c nije točka lokalnog maksimuma funkcije f, što je u kontradikciji s pretpostavkom. Pretpostavimo da je H f (c) indefinitna. To znači da postoje vektori x,y R n takvi da je (H f (c)x x) > 0, (H f (c)y y) < 0. Stoga, kao u prethodnom dijelu dokaza, funkcija g 1 (t) = f(c+tx), ima lokalni minimum u 0, a funkcija g 2 (t) = f(c+ty) ima lokalni maksimum u 0. Zaključujemo da je c sedlasta točka za f. Kako za danu matricu nije lako odrediti njenu definitnost donosimo jednostavni kriterij s dokazom samo u jednostavnim slučajevima. Teorem 16.8 (Sylvesterov kriterij) Neka je H = (h ij ) M n (R) simetrična. Označimo redom determinante 1 =, 2 = h 12 h 1n h 21 h 22,..., n =...... h n1 h nn H je pozitivno definitna ako i samo ako je i > 0,i = 1,...,n. H je negativno definitna ako i samo ako je 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,... Dokaz. Za dijagonalnu matricu lako je provjeriti da teorem vrijedi. U slučaju n = 2 nadopunjavanjem do punog kvadrata dobivamo (Hx x) = x 2 1 +2h 12 x 1 x 2 +h 22 x 2 2 ( = x 2 1 +2 h 12 x 1 x 2 + h2 12 = ( x 1 + h 12 x 2 Odavde, jednostavno slijedi tvrdnja teorema. h 2 x 2 2 11 ) ) 2 + deth x 2 2 h. 11 + h2 12 +h 22 x 2 2 Primjer 16.9 Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x,y) = x 2 +xy +y 2 2x y. 65