KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016

KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1

1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me käsitleda kõigi hulkade, kõigi rühmade, kõigi topoloogiliste ruumide ja teiste matemaatiliste objektide kogumeid. Et sellest probleemist üle saada, vaatleme lisaks hulkadele veel kogumeid, mida kutsume klassideks. Iga hulk on klass, kuid mitte vastupidi. Hulgad on klassid, mis kuuluvad mõnda klassi. Klasse, mis ei ole hulgad, nimetatakse pärisklassideks. Iga omaduse P jaoks on olemas kõigi selliste hulkade klass, millel on omadus P. Muuhulgas on olemas kõigi hulkade klass, kõigi rühmade klass jne. ntud klasside jaoks saab moodustada nende ühisosa, ühendi ja otsekorrutise, samuti võib vaadelda kujutusi klasside vahel, ekvivalentsiseoseid klassidel jne. 1.2. Kategooria deinitsioon Deinitsioon 1.1. Kategooria C koosneb järgmistest asjadest: 1. klass C 0, mille elemente kutsume selle kategooria objektideks; 2. iga objektipaari (, B) jaoks on olemas hulk C(, B), mille elemente nimetame morismideks objektist objekti B; 3. iga objektikolmiku (, B, C) jaoks on olemas kujutus (komponeerimine ehk korrutamine) C(, B) C(B, C) C(, C); paari (, g) kujutist (morismide ja g kompositsiooni ehk korrutist) tähistame g või lühidalt g; 4. iga objekti jaoks on olemas morism 1 C(, ), mida kutsutakse objekti ühikmorismiks. Need andmed peavad rahuldama järgmisi aksioome. 1. Kui (, B) (, B ), siis C(, B) C(, B ) =. 2. ssotsiatiivsuse aksioom: mistahes morismide C(, B), g C(B, C), h C(C, D) korral kehtib võrdus h(g) = (hg). 3. Ühiku aksioom: mistahes morismide C(, B), g C(B, C) korral kehtivad võrdused 1 B = ja g1 B = g. Morismi C(, B) jaoks kasutatakse tihti tähistusi : B ja B; üheselt määratud objekti kutsutakse morismi lähteobjektis ehk doomeniks (tähistus: dom ) ning objekti B kutsutakse sihtobjektiks ehk kodoomeniks (tähistus: cod ). Morismi : nimetatakse objekti endomorismiks ja hulka End() = C(, ) nimetatakse objekti endomorismide hulgaks. On selge, et (End(), ) on monoid. Kategooria C objektide klassi tähistatakse ka Ob(C) või C, morismide klassi aga Mor(C) või C 1. Morismide hulka objektist objekti B tähistatakse veel ka sümboliga Mor(, B) või hom(, B). Märkused 1.2. 1. Osutub, et 1 on objekti ainus ühikmorism, sest kui i C(, ) on veel mingi morism, mis rahuldab ühiku aksioomi, siis 1 = 1 i = i. 2. Samamoodi nagu poolrühmade korral järeldub assotsiatiivsuse aksioomist, et lõpliku arvu morismide komponeerimisel võib sulge paigutada mistahes (mõttekal) viisil ja seega võib nad üldse ära jätta. Deinitsioon 1.3. Kategooria on väike kui tema objektide klass on hulk, vastasel korral kutsutakse kategooriat suureks. Näide 1.4. Paljud matemaatilised struktuurid ja nende vahel vaadeldavad kujutused või homomorismid moodustavad kategooria. Järgnevas tabelis on toodud mõned selliste kategooriate näited. 2

Tähis objektid morismid Set hulgad kujutused Rel hulgad binaarsed seosed hulkade vahel Mon monoidid monoidide homomorismid Gr rühmad rühmade homomorismid b beli rühmad rühmade homomorismid Rng ühikelemendiga assotsiatiivsed ringid ringide homomorismid Vec R vektorruumid üle reaalarvude lineaarkujutused Mod R parempoolsed moodulid üle ringi R moodulite homomorismid Ban Banachi ruumid üle reaalarvude tõkestatud lineaarkujutused Ban 1 Banachi ruumid üle reaalarvude ahendavad lineaarkujutused Top topoloogilised ruumid pidevad kujutused Pos järjestatud hulgad järjestust säilitavad kujutused Lat võred võrede homomorismid Graph graaid graaide homomorismid Sgraph graaid tugevad graaide homomorismid 0 ei ole ei ole 1 1 2, B B, 1, 1 B Tähis objektid morismid Set hulgad kujutused Rel hulgad binaarsed seosed hulkade vahel Mon monoidid monoidide homomorismid Gr rühmad rühmade homomorismid b beli rühmad rühmade homomorismid Rng ühikelemendiga assotsiatiivsed ringid ringide homomorismid Vec R vektorruumid üle reaalarvude lineaarkujutused Mod R parempoolsed moodulid üle ringi R moodulite homomorismid Ban Banachi ruumid üle reaalarvude tõkestatud lineaarkujutused Ban 1 Banachi ruumid üle reaalarvude ahendavad lineaarkujutused Top topoloogilised ruumid pidevad kujutused Pos järjestatud hulgad järjestust säilitavad kujutused Lat võred võrede homomorismid Graph graaid graaide homomorismid Sgraph graaid tugevad graaide homomorismid 0 ei ole ei ole 1 1 2, B B, 1, 1 B Enamusel juhtudel on morismide komponeerimiseks tavaline kujutuste komponeerimine (järjestrakendamine) ja ühikmorismid on samasusteisendused. Kategoorias Rel on seoste kompositsiooniks nende korrutis ja ühikmorism on võrdusseos. Kategooriat 0 nimetatakse tühjaks kategooriaks. Näide 1.5. 1. Võib vaadelda kategooriat, kus objektid on naturaalarvud, morismid m-st n-i on kõik maatriksid (üle ikseeritud korpuse), millel on m rida ja n veergu, morismide komponeerimine on harilik maatriksite korrutamine ja ühikmorismideks on vastavat järku ühikmaatriksid. 2. Järjestatud hulka (selle kursuse jooksul kutsume osaliselt järjestatud hulki lühidalt järjestatud hulkadeks) (P, ) võib vaadelda kategooriana P, mille objektide hulk on P. Kui x, y P, siis P(x, y) koosneb täpselt ühest morismist, kui x y, ning on tühi vastasel juhul. (Kategooria saamiseks piisab tegelikult sellest, et on eeljärjestus, s.t. releksiivne ja transitiivne seos hulgal P.) 3. Iga hulka võib vaadelda kui diskreetset kategooriat, s.t. kui kategooriat, mille objektid on selle hulga elemendid ja ainsad morismid on ühikmorismid. 4. Iga monoid (M, ) tekitab kategooria M, milles on üks objekt, M 0 = { }, ja M(, ) = M; morismide komponeerimine on monoidi M korrutamine ja objekti ühikmorism on monoidi ühikelement 1. Ka vastupidi: iga üheobjektilise kategooria kõigi morismide hulk on monoid. 3

1.3. Funktsionaalsed programmeerimiskeeled kui kategooriad Lisaks matemaatikale leiavad kategooriad rakendamist veel näiteks unktsionaalsete programmeerimiskeelte teoorias. Puhtal unktsionaalsel programmeerimiskeelel on olemas: primitiivsed andmetüübid, iga tüübi konstandid, operatsioonid, mis on kujutused andmetüüpide vahel, konstruktorid, mida kasutades saab olemasolevatest andmetüüpidest ja operatsioonidest tuletada uusi vaadeldava keele andmetüüpe ja operatsioone. Selline keel ise on kõigi operatsioonide ja tüüpide hulk, mida saab konstruktorite abil tuletada primitiivsetest tüüpidest ja operatsioonidest. Selleks, et unktsionaalset programmeerimiskeelt L saaks vaadelda kategooriana C(L), tuleb teha kaks eeldust ja üks väike muudatus. Eeldame, et iga tüübi (nii primitiivse kui tuletatud) jaoks leidub mitte millegi tegemise operatsioon 1. Selle rakendamisel ei tehta sisendandmetega mitte midagi, need väljastatakse muutmata kujul. Lisame keelele ühe tüübi, mida tähistame sümboliga 1, millel on omadus, et igast tüübist leidub üheselt määratud operatsioon tüüpi 1. Iga konstanti c tüübist tõlgendame kui morismi c : 1. Eeldame, et keelel on olemas komponeerimiskonstruktor: kui on operatsioon, mille sisendid on tüüpi ja väljundid on tüüpi B, ning kui g on operatsioon sisenditega tüübist B ja väljunditega tüübist C, siis nende järjestrakendamine on tuletatud operatsioon ehk programm (tihti tähistatakse seda ; g), mille sisendtüüp on ja väljundtüüp C. Nendel eeldustel tekitab unktsionaalne programmeerimiskeel L kategooria C(L), kus 1. objektid on keele L tüübid, 2. morismid on keele L operatsioonid (nii primitiivsed kui tuletatud), 3. morismi lähte- ja sihtobjekt on vastava operatsiooni sisend- ja väljundtüüp, 4. morismide komponeerimine on antud komponeerimiskonstruktori abil, kusjuures komponeeritavate järjekord vahetatakse ära, s.t. g = ; g, 5. ühikmorismid on mitte millegi tegemise operatsioonid. Näide 1.6. Vaatleme programmeerimiskeelt, milles on kolm andmetüüpi: nat (naturaalarvud ja 0), boolean (tõene või väär) ja char (sümbolid). nname operatsioonide kirjelduse kategoorses stiilis. Tüübis nat on konstant 0 : 1 nat ja operatsioon succ : nat nat. Leiduvad konstandid true, alse : 1 boolean ja operatsioon : boolean boolean, mis peavad rahuldama võrdusi true = alse ja alse = true. Tüübis char on üks konstant c : 1 char iga sümboli c jaoks. On kaks tüübiteisendusoperatsiooni ord : char nat ja chr : nat char. Need rahuldavad võrdust chr ord = 1 char. (Et chr oleks deineeritud kõigil naturaalarvudel, võib lugeda, et ta tegutseb mooduli n järgi, kus n on sümbolite arv.) Näiteprogrammiks on morism next, mis on deineeritud kui kompositsioon chr succ ord : char char ja mis leiab antud sümbolile koodi järgi järgneva sümboli. Märgime, et kaks morismi (programmi) samastatakse kategoorias C(L), kui nad peavad deineerivate võrduste tõttu samad olema. Näiteks morismid chr succ ord ja chr succ ord chr ord on samad. Paneme veel tähele, et tüübis nat on olemas konstandid succ... succ 0 : 1 nat, kus succ esineb null või rohkem korda. 4

1.4. Mõned konstruktsioonid Olemasolevatest kategooriatest saab teatud konstruktsioonide abil luua uusi. Deinitsioon 1.7. Kategooria alamkategooria koosneb 1. kategooria objektide klassi 0 alamklassist B 0 ; 2. iga objektipaari (B, B ) B 2 0 jaoks leiduvast hulgast B(B, B ) (B, B ), nii et (a) kui B(B, B ) ja g B(B, B ), siis g B(B, B ), (b) 1 B B(B, B) iga B B 0 korral. Deinitsioon 1.8. Kategooria alamkategooriat B nimetatakse täielikuks alamkategooriaks, kui B, B B 0 = B(B, B ) = (B, B ), s.t. B sisaldab koos iga kahe objektiga kõik nende objektide vahel kategoorias leiduvad morismid. Näide 1.9. Kategooria b on kategooria Gr täielik alamkategooria, Gr on Mon täielik alamkategooria, Mon on poolrühmade kategooria Sgr alamkategooria, mis ei ole täielik. Kategooria Ban on Vec R alamkategooria, kuid mitte täielik alamkategooria. Deinitsioon 1.10. Kategooriate ja B korrutis on kategooria B, mis on deineeritud järgmiselt. 1. ( B) 0 = 0 B 0. 2. ( B)((, B), (, B )) = {(a, b) a (, ), b B(B, B )}. 3. Kategooria B morismide komponeerimine on indutseeritud ja B komponeerimiste poolt, nimelt (a, b )(a, b) = (a a, b b). Deinitsioon 1.11. Kui 0 on kategooria ikseeritud objekt, siis leidub -aluste objektide kategooria ( ), mis on deineeritud järgmiselt. 1. Objektid on paarid (B, ), kus : B. 2. Morism h : (B, ) (B, ) on morism h : B B, mille korral h =. 3. Komponeerimine kategoorias ( ) on indutseeritud komponeerimise poolt. 8888888888 8 B B naloogiliselt võib konstrueerida -üleste objektide kategooria ( ). h Näide 1.12. Kui (P, ) on järjestatud hulk, mida vaadeldakse kategooriana P (vt. näidet 1.5) ja a P, siis (a P) on kõigi elementide hulk, mis on a-st suuremad või a-ga võrdsed, s.t. elemendi a poolt tekitatud pääilter. Ülesanded 1.13. 1. Vali mingid objektid ja morismid nende vahel nii, et nad moodustavad kategooria. Põhjenda, miks nad moodustavad kategooria. Edaspidises kutsume seda kategooriat sinu lemmikkategooriaks. 2. Too üks näide täielikust ja üks näide mittetäielikust alamkategooriast oma lemmikkategoorias. 5

2. Morismide ja objektide liigid 2.1. Morismide liigid Nii nagu hulkade korral on tähtsal kohal üksühesed kujutused ja pealekujutused, nii ka kategooriates võib vaadelda teatud eriomadustega morisme. Deinitsioon 2.1. Morismi : B kategoorias C nimetatakse monomorismiks, kui ta on vasakult taandatav, s.t. iga morismide paari g, h : C korral; g = h g = h koretraktsiooniks (või lõikeks), kui ta on vasakult pööratav, s.t. leidub selline morism g : B, et g = 1. Sellisel juhul nimetatakse objekti objekti B retraktiks. Lause 2.2. Kategoorias C 1. iga koretraktsioon on monomorism; 2. iga ühikmorism on koretraktsioon; 3. kahe monomorismi (koretraktsiooni) korrutis on monomorism (koretraktsioon); 4. kui kahe morismi korrutis k monomorism (koretraktsioon), siis on monomorism (koretraktsioon). Tõestus. 1. Oletame, et k = 1 ja g = h kus : B, k : B ja g, h : C. Siis g = 1 g = (k)g = k(g) = k(h) = (k)h = 1 h = h. 2. Iga C 0 korral 1 = 1 1. 3. Oletame, et k : B D ja : B on monomorismid ja (k)g = (k)h, kus g, h : C. C g B k D h Siis k(g) = k(h) ja seega g = h, sest k on monomorism. Kuna on monomorism, siis viimasest võrdusest järeldub g = h. Sellega oleme näidanud, et k on monomorism. Kui k : B D ja : B on koretraktsioonid, s.t. sk = 1 B ja t = 1 mingite s : D B ja t : B korral, siis võrduste ahel näitab, et k on koretraktsioon. (ts)(k) = t(sk) = t1 B = t = 1 t B k D s 4. Oletame, et k on monomorism ja g = h, kus : B, k : B D, ja g, h : C. Siis (k)g = k(g) = k(h) = (k)h, millest järeldub g = h. Seega on monomorism. Kui k on koretraktsioon, s.t. s(k) = 1 mingi s : D korral, siis (sk) = 1 tähendab, et ka on koretraktsioon. Deinitsioon 2.3. Morismi : B kategoorias C nimetatakse epimorismiks kui ta on paremalt taandatav, s.t. iga morismipaari g, h : B C korral; g = h g = h 6

retraktsiooniks, kui ta on paremalt pööratav, s.t. leidub morism g : B nii, et g = 1 B. naloogiliselt lausega 2.2 saab tõestada järgmise lause. Lause 2.4. Kategoorias C 1. iga retraktsioon on epimorism; 2. iga ühikmorism on retraktsioon; 3. kahe epimorismi (retraktsiooni) korrutis on epimorism (retraktsioon); 4. kui kahe morismi korrutis k on epimorism (retraktsioon), siis k on epimorism (retraktsioon). Deinitsioon 2.5. Kategooriat nimetatakse konkreetseks kategooriaks, kui tema objektid on hulgad (harilikult mingi struktuuriga), morismid on kujutused (mis harilikult säilitavad vaadeldavat struktuuri), morismide komponeerimine on kujutuste järjestrakendamine ja ühikmorismid on samasusteisendused. Set, Gr, Rng, Top, Ban, Pos ja paljud teised on konkreetsete kategooriate näideteks. Rel ei ole konkreetne kategooria, sest mitte kõik binaarsed seosed ei ole kujutused. Konkreetsetes kategooriates, saab eri tüüpi morismide suhete kohta rohkem öelda. Lause 2.6. Konkreetses kategoorias kehtivad morismide jaoks järgmised implikatsioonid: koretraktsioon = (ki) injektiivne (im) = monomorism, retraktsioon = (rs) sürjektiivne = (se) epimorism. Tõestus. (ki). Oletame, et morismi : B jaoks leidub selline morism g : B, et g = 1. Kui (a 1 ) = (a 2 ), a 1, a 2, siis ka a 1 = (g)(a 1 ) = g((a 1 )) = g((a 2 )) = (g)(a 2 ) = a 2. Seega on injektiivne. (im). Oletame, et : B on injektiivne ja g = h, kus g, h : C. Siis iga c C korral (g(c)) = (h(c)), millest järeldub, et g(c) = h(c) iga c C korral. Järelikult g = h ja me oleme tõestanud, et on monomorism. Ei ole raske veenduda, et ka implikatsioonid (rs) ja (se) kehtivad. Näide 2.7. Osutub, et hulkade kategoorias Set on monomorismideks parajasti injektiivsed kujutused. Lause 2.6 põhjal me juba teame et injektiivsed kujutused on monomorismid. Tõestame vastupidise väite. Olgu : B monomorism ning iga elemendi a korral olgu g a : { } kujutus üheelemendilisest hulgast { } hulka, mis kujutab elemendi elemendiks a. Kui (a) = (a ), a, a, siis (g a )( ) = (g a )( ), millest g a = g a. Eelduse põhjal g a = g a, mis on samaväärne võrdusega a = a. Seega on injektiivne. Näide 2.8. Kategoorias Top on monomorismideks injektiivsed pidevad kujutused. Tõepoolest, vaadeldes üheelemendilist topoloogilist ruumi { } ja mistahes teist topoloogilist ruumi paneme tähele, et kujutused g a : { }, a, mis on deineeritud näites 2.7, on pidevad ning järelikult morismid kategoorias Top. Seega näite 2.7 tõestuse saab üle kanda. Näide 2.9. Kategooriates Gr ja b on monomorismideks injektiivsed rühmade homomorismid. Jällegi peame näitama ainult seda, et monomorismid on injektiivsed. Olgu : G H rühmade monomorism ja iga a G korral olgu g a : Z G kujutus, mis on deineeritud võrdusega g a (z) := a z. Ilmselt g a on rühmade homomorism. Kui (a) = (a ), siis (g a )(1) = (g a )(1). Lihtne on näidata, et siis ka (g a )(z) = (g a )(z) iga z Z korral ning järelikult g a = g a. Eelduse põhjal g a = g a ja seega a = g a (1) = g a (1) = a. Näide 2.10. Kategoorias Ban 1 on monomorismideks injektiivsed ahendavad lineaarsed operaatorid (ehk ahendavad lineaarkujutused, need on lineaarkujutused : B C, mis rahuldavad tingimust (b) b iga b B korral). Selle tõestamiseks oletame, et : B C on Banachi ruumide monomorism ja (b) = (b ). Peame näitama, et b = b. Vaatleme erinevaid võimalusi. 7

1) Olgu b, b 1. Siis kujutused k b, k b : R B, mis on deineeritud võrdustega k b (r) := rb, k b (r) := rb, r R, on ahendavad operaatorid. Kehtivad võrdused (k b )(1) = (b) = (b ) = (k b )(1). Lineaarsuse tõttu (k b )(r) = r(k b )(1) = r(k b )(1) = (k b )(r) iga reaalarvu r korral. Sellest järeldub, et k b = k b. Kuna on monomorism, siis k b = k b ja seega b = b. 2) Olgu b, b > 1. Tähistame r := 1 b b, b 1 := rb, b 1 := rb. Siis b, b 1 1. Korrutades võrduse (b) = (b ) mõlemaid pooli arvuga r ja kasutades lineaarsust saame võrduse (b 1 ) = (b 1). Rakendades osas 1) tõestatut võime väita, et b 1 = b 1, millest järeldub võrdus b = b. 3) Olgu b 1 ja b > 1. Selle juhu jätame lugejale läbimõtlemiseks. Näide 2.11. Implikatsioon (im) ei ole pööratav, s.t. mitte kõik monomorismid konkreetses kategoorias ei pruugi olla injektiivsed. Vaatleme jaguvate beli rühmade kategooriat Div. Meenutame, et beli rühm on jaguv, kui iga a ja iga naturaalarvu n korral leidub selline b, et nb = a. Loomulik sürjektsioon π : Q Q/Z jaguva rühma Q aktorrühmale alamrühma Z järgi ei ole injektiivne, sest näiteks π(3) = 3 = 4 = π(4), kuigi 3 4. (Märgime, et aktorrühma Q/Z elementideks on kõrvalklassid a + Z =: a, kus a Q, ning võrdus a = b kehtib parajasti siis, kui a b Z.) Näitame, et π on monomorism. Oletame, et on jaguv beli rühm ja, g : Q on sellised rühmade homomorismid, et π = πg. Võttes h := g : Q saame πh = 0 (siin 0 on nullkujutus Q/Z, a 0). Me peame tõestama, et h = 0. Teame, et iga a korral 0 = (πh)(a) = h(a), s.t. h(a) Z. Oletame vastuväiteliselt, et h 0. Siis leidub selline a, et h(a) N. Tänu jaguvusele saame naturaalarvu 2h(a) jaoks leida sellise b, et 2h(a) b = a. Et h on beli rühmade homomorism, siis h(a) = h(2h(a) b) = 2h(a)h(b), kus viimane korrutis on hulgas Q. Jagades selle võrduse mõlemaid pooli nullist erineva ratsionaalarvuga 2h(a) saame võrduse h(b) = 1 2, mis on vastuolus eelpoolmainituga. Järelikult peab h = 0. Näide 2.12. Ka implikatsioon (ki) ei ole pööratav. Kategoorias Set on tühjad kujutused injektiivsed, aga neil ei ole vasakpoolset pöördelementi, kui. Siiski iga injektiivne kujutus B kategoorias Set, kus B, on koretraktsioon. Näide 2.13. Kategoorias Set on epimorismideks sürjektiivsed kujutused. Selles veendumiseks vaatleme epimorismi : B, kaheelemendilist hulka {0, 1} ja kujutusi g, h : B {0, 1}, mis on deineeritud võrdustega { 1, kui b (), g(b) = 0, kui b (), h(b) = 1 iga b B korral. Ilmselt g = h : {0, 1} on konstantsed kujutused elemendile 1. Järelikult g = h, mis tähendab, et () = B ehk on sürjektiivne. Vastupidine väide järeldub lausest 2.6. Veelgi enam, kategoorias Set on iga sürjektiivne kujutus retraktsioon. Olgu : B sürjektiivne kujutus. Deineerime kujutuse g : B valides iga b B jaoks elemendi a b nii, et (a b ) = b ja võttes g(b) := a b. Siis ilmselt (g)(b) = (g(b)) = (a b ) = b iga b B korral ja seega g = 1 B. (Paneme tähele, et kõigi nende (üldjuhul lõpmata paljude) valikute tegemiseks on meil vaja valikuaksioomi.) Näide 2.14. Kategoorias Top on epimorismideks sürjektiivsed pidevad kujutused. Selles veendumiseks kasutame näidet 2.13, milles topoloogiliseks ruumiks on {0, 1} topoloogiaga {, {0, 1}} ning g ja h on deineeritud samamoodi. On selge, et g ja h on siis pidevad kujutused. 8

Näide 2.15. Kategoorias Ban 1 on epimorismideks tiheda kujutisega ahendavad operaatorid. (Lineaarkujutusel : B kategoorias Ban 1 on tihe kujutis, kui sulund () = B, s.t. et iga b B ja iga ε > 0 korral leidub a nii, et (a) b < ε.) Oletame, et : B on epimorism. Siis () on B kinnine alamruum ja aktorruum B/() on Banachi ruum. Nii loomulik sürjektsioon π : B B/() kui ka nullkujutus 0 : B B/() on ahendavad operaatorid. Kuna π = 0 = 0, saiis π = 0, mis tähendab, et B = (). Vastupidi, oletame et () = B ja g = h, g, h : B C. Kuna g ja h langevad kokku hulgal (), siis pidevuse tõttu g, h langevad kokku ka hulgal () = B. Seega g = h. Näide 2.16. Implikatsioon (rs) ei ole pööratav. Kategoorias Graph leidub sürjektiivne homomorism 8 8888 millel ei ole parempoolset pöördmorismi. 8 8888 Näide 2.17. Implikatsioon (se) ei ole pööratav. Vaatleme monoidide ja monoidide homomorismide kategooriat Mon ning monoidi (N {0}, +) sisestust i monoidi (Z, +), mis kindlasti ei ole sürjektiivne. Samas osutub ta epimorismiks. Vaatleme monoidide homomorismi : (Z, +) (S, ). Iga n N korral (n) = (1 + + 1) = (1) n, s.t. (n) on määratud (1) poolt. Lisaks sellele, (1) on ( 1) pöördelement monoidis S, sest (1)( 1) = (1 + ( 1)) = (0) = 1 = (0) = (( 1) + 1) = ( 1)(1). Kuna igal S elemendil saab olla ainult üks pöördelement, siis ( 1) on määratud (1) poolt. Samuti väärtus igal teisel negatiivsel täisarvul on määratud (1) poolt. Seega homomorism on täielikult ära määratud elemendiga (1) S. Nüüd oletame, et g, h : (Z, +) (S, ) on sellised monoidide homomorismid, et gi = hi. Siis g(1) = g(i(1)) = h(i(1)) = h(1) ja seega g = h. Järelikult i on epimorism. Deinitsioon 2.18. Morismi nimetatakse bimorismiks, kui ta on nii monomorism kui epimorism, s.t. kui ta on taandatav. Deinitsioon 2.19. Morismi nimetatakse isomorismiks, kui ta on nii koretraktsioon kui ka retraktsioon, s.t. kui ta on pööratav. Kategooria C objektid ja B on isomorsed kui leidub isomorism : B. Objektide ja B isomorsust tähistatakse = B. Lause 2.20. Kategoorias C 1. iga isomorism on bimorism; 2. iga ühikmorism on isomorism; 3. kahe bimorismi (isomorismi) korrutis on bimorism (isomorism). Tõestus. See järeldub lausest 2.2 ja lausest 2.4. Järeldus 2.21. Objektide isomorsusseos on ekvivalentsiseos. Lause 2.22. Kui epimorism on koretraktsioon, siis on ta isomorism. Tõestus. Harjutus. Näide 2.23. Kategoorias Set on isomorismideks bijektiivsed kujutused. Näide 2.24. Kategooriates Gr, b ja Rng on isomorismideks bijektiivsed homomorismid. 9

Näide 2.25. Kategoorias Top on isomorismideks homöomorismid (pidevad lahtised bijektsioonid). Kuna pidevad bijektsioonid ei pruugi olla homöomorismid, siis on see näiteks kategooriast, kus bimorismid ei pruugi olla isomorismid. Näide 2.26. Kategoorias Vec R on isomorismideks bijektiivsed lineaarkujutused. Näide 2.27. Kategoorias Ban 1 on isomorismideks isomeetrilised bijektsioonid. (Meenutame, et lineaarkujutus : B Banachi ruumide vahel on isomeetriline, kui (a) = a iga a korral.) Iga isomeetriline bijektsioon : B on isomorism, sest pöördkujutus 1 : B on lineaarne, b = ( 1 )(b) = ( 1 (b)) = 1 (b) iga b B korral ning seega 1 on ahendav lineaarne operaator. Vastupidi, kui ahendaval operaatoril : B on olemas pöördkujutus 1 : B, mis on samuti ahendav operaator, siis on isomeetriline. Tõepoolest, kuna a = ( 1 )(a) = 1 ((a)) (a) ja (a) a iga a korral, siis (a) = a iga a korral. Näide 2.28. Iga rühma võib vaadelda kui üheobjektilist kategooriat, kus kõik morismid on isomorismid. Näide 2.29. Meenutame, et iga järjestatud hulka võib vaadelda kategooriana (näide 1.5). Sellises kategoorias on iga morism bimorism, sest mistahes kahe objekti vahel leidub ülimalt üks morism. Isomorismid on aga ainult ühikmorismid. 2.2. Objektide liigid Deinitsioon 2.30. Kategooria C objekti 1 nimetatakse lõppobjektiks, kui C igast objektist C leidub täpselt üks morism objekti 1. Kategooria C objekt 0 on algobjekt, kui objektist 0 leidub täpselt üks morism C igasse objekti. Objekt on nullobjekt, kui ta on korraga nii lõpp- kui algobjekt. Lause 2.31. Kategooria mistahes kaks lõpp-(alg-, null-)objekti on isomorsed. Tõestus. Kui C, C C 0 on lõppobjektid, siis C(C, C) = {1 C } ja C(C, C ) = {1 C }. Samuti leiduvad morismid : C C ja g : C C. Kuna g : C C, siis g = 1 C ja samamoodi g = 1 C. Seega C = C. lg- ja nullobjektide jaoks on tõestus analoogiline. Näide 2.32. Kategoorias Set on tühi hulk algobjekt ja üheelemendilised hulgad on lõppobjektid. Sama kehtib kategooria Top korral. Näide 2.33. Kategooriates b, Vec R ja Ban 1 on {0} nii alg- kui ka lõppobjekt, seega nullobjekt. Näide 2.34. Ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide kategoorias Rng on {0} lõppobjekt ja Z algobjekt. Deinitsioon 2.35. Kategooria C objekti P nimetatakse projektiivseks, kui iga epimorismi g : B C ja iga morismi : P C jaoks leidub selline morism h : P B, et gh =. B h 8 8 8 8 8 8 Lause 2.36. Projektiivse objekti retrakt on projektiivne. g Tõestus. Järgmises diagrammis olgu P projektiivne ja olgu tema retrakt, s.t. ri = 1 mingite r : P ja i : P korral (vt. deinitsiooni 2.1). B h 8 8 8 g P C 8 8 8 P 8888888888 r r 8 C Kui : C, siis P projektiivsuse tõttu leidub selline h : P B, et gh = r. Seega ghi = ri =. i 10

Deinitsioon 2.37. Kategooria C objekti nimetatakse injektiivseks, kui iga monomorismi g : B C ja iga morismi : B korral leidub selline morism h : C, et hg =. g B C h 8 8 8 8 8 8 Näide 2.38. Kategooria Set iga objekt on projektiivne. Kasutades akti, et iga epimorism on retraktsioon kategoorias Set ja deinitsiooni 2.35 tähistusi saame leida sellise p : C B, et gp = 1 C. Võttes h := p saame, et gh = gp =. Näide 2.39. Üks klassikalisi algebra tulemusi väidab, et beli rühm on injektiivne parajasti siis, kui ta on jaguv. Näide 2.40. Projektiivsed ja injektiivsed objektid mängivad tähtsat rolli moodulite teoorias (üle ringi). Klassikaline tulemus on, et a moodul on projektiivne parajasti siis, kui ta on vaba mooduli otseliidetav. Projektiivsed moodulid on nii ringide Morita teooria kui ka algebralise K-teooria nurgakiviks. Ülesanded 2.41. 1. Tõestada, et kui epimorism on koretraktsioon, siis ta on isomorism. 2. Tõestada, et konkreetses kategoorias on iga retraktsioon sürjektiivne (vt. lauset 2.6). 3. Tõestada, et konkreetses kategoorias on iga sürjektiivne morism epimorism (vt. lauset 2.6). 4. Millised on monomorismid, epimorismid, bimorismid ja isomorismid sinu lemmikkategoorias? 5. Kas su lemmikkategoorial on olemas lõpp-, alg- või nullobjekt? 6. Tõestada otse, et kategooria Set iga objekt on projektiivne (vt. näidet 2.38). 7. Millised on projektiivsed objektid sinu lemmikkategoorias? 8. Tõestada, et kategooria Set objekt on injektiivne parajasti siis, kui ta on mittetühi. 11

3. Funktorid 3.1. Kovariantsed ja kontravariantsed unktorid Deinitsioon 3.1. Kovariantne unktor F kategooriast kategooriasse B koosneb 1. kujutusest F 0 : 0 B 0 kategooriate ja B objektide klasside vahel; objekti 0 kujutist tähistatakse F (); 2. iga objektipaari (, ) jaoks kujutusest F, 1 : (, ) B(F (), F ( )); morismi (, ) kujutist tähistatakse F (); nii et on täidetud järgmised tingimused: 1. mistahes morismide (, ) ja g (, ) korral F (g) = F (g)f (); 2. iga objekti 0 korral F (1 ) = 1 F (). F () F ( ) Deinitsioon 3.2. Kontravariantne unktor F kategooriast kategooriasse B koosneb 1. kujutustest F 0 : 0 B 0 kategooriate ja B objektide klasside vahel; objekti 0 kujutist tähistatakse F (); 2. iga objektipaari (, ) jaoks kujutustest F, 1 : (, ) B(F ( ), F ()); morismi (, ) kujutist tähistatakse F (); nii et on täidetud järgmised tingimused: F () 1. mistahes morismide (, ) ja g (, ) korral F (g) = F ()F (g); 2. iga objekti 0 korral F (1 ) = 1 F (). F () F ( ) Näited 3.3. Toome mõned kovariantsete unktorite näited. 1. Iga kategooria korral leidub ühikunktor 1 :, mis on objektidel deineeritud võrdusega 1 () = ja morismidel võrdusega 1 () =. 2. Kategooria iga alamkategooria B tekitab loomulikul viisil sisestusunktori B, mis on lihtsalt ühikunktori 1 ahend kategooriale B. F () 12

3. Kui ja B on kategooriad ja B B 0 on ikseeritud objekt, siis leidub konstantne unktor objektile B, B : B ehk lihtsalt B, mis on deineeritud võrdustega B () := B, B () := 1 B iga 0 ja kategooria iga morismi korral. 4. Unustav unktor U : Gr Set kujutab rühma (, ) tema põhihulgaks ja rühmahomomorismid vastavateks kujutusteks. Samamoodi võib veel vaadelda unustavaid unktoreid Rng b ( unustab ära korrutamise), Rng Mon ( unustab ära liitmise) või Ban 1 Vec R ( unustab ära normi). 5. Vaba rühma unktor F : Set Gr seab igale hulgale vastavusse vaba rühma, mille tekitajate hulgaks on, ning igale kujutusele indutseeritud homomorismi, mis tekitajatel langeb kokku kujutusega. 6. Iga rühma korral olgu selle rühma kommutaatoralamrühm, s.t. alamrühm, mis on tekitatud kõigi elementide poolt, mis on kujul aba 1 b 1, kus a, b. Deineerime F : Gr b võrdustega F () := /, F (h)(a ) := h(a)b, kõigi rühmade, B ja rühmade homomorismide h : B korral. Siis F on unktor, mida nimetame abelistamise unktoriks. 7. Kui R on ring ja M R on ikseeritud parempoolne R-moodul, siis leidub mooduliga M R tensorkorrutamise unktor M R : R Mod b (vasakpoolsete R-moodulite kategooriast beli rühmade kategooriasse b), mis on deineeritud võrdustega (M R )( R N) := M R N, M R () := 1 M iga vasakpoolse R-mooduli R N ja iga vasakpoolsete R-moodulite homomorismi korral. 8. Olgu (P, ) ja (Q, ) järjestatud hulgad, mida vaatleme kategooriatena nii nagu näites 1.5(2). Selliste kategooriate vahelised unktorid on parajasti kujutused : P Q, mis säilitavad järjestuse. 9. Olgu (S, ) ja (T, ) monoidid, mida vaatleme kategooriatena nii nagu näites 1.5(4). Selliste kategooriate vahelised unktorid on parajasti nende monoidide vahelised homomorismid. Seega unktorit võib vaadelda monoidide homomorismi üldistusena. Näited 3.4. On ka palju kontravariantsete unktorite näiteid. 1. Leidub unktor P : Set Set, mis seab igale hulgale vastavusse tema kõigi alamhulkade hulga P() ja kujutusele : B kujutuse 1 : P(B) P(), mis kujutab B alamhulga C hulgaks 1 (C). 2. Kui (X, τ) on topoloogiline ruum, siis X kõigi lahtiste alamhulkade U hulk τ on järjestatud hulk sisalduvusseose suhtes ja seega tekitab kategooria, kus morism i V U : V U leidub parajasti siis, kui V U. Olgu C(U) = {h : U R h on pidev}. Siis C : τ Set on unktor, kui deineerime kujutused C(i V U ) : C(U) C(V ) võrdusega C(i V U )(h) := h V. Järgmisena toome sisse unktorid, mis on kategooriateoorias väga suure tähtsusega. Näide 3.5. Kategooria C ikseeritud objekti C korral deineerib reegel C(C, ) g B C(C, B) g kovariantse unktori C(C, ) : C Set, mida nimetatakse kovariantseks hom-unktoriks või kovariantseks mor-unktoriks. (Märgime, et tihti kirjutatakse asemel C(C, ).) 13

Näide 3.6. Kategooria C ikseeritud objekti C korral deineerib reegel C(, C) g B C(B, C) g kontravariantse unktori C(, C) : C Set, mida nimetatakse kontravariantseks hom-unktoriks või kontravariantseks mor-unktoriks. Funktorite F : B ja G : B C korral on võimalik moodustada nende kompositsioon ehk korrutis GF : C (mis osutub samuti unktoriks), kui deineerida (GF )() := G(F ()), (GF )() := G(F ()) iga objekti 0 ja iga morismi korral. Korrutise GF variantsus on määratud järgmise reegliga: F G GF kovariantne kovariantne kovariantne kovariantne kontravariantne kontravariantne kontravariantne kovariantne kontravariantne kontravariantne kontravariantne kovariantne. Funktorite komponeerimine on assotsiatiivne ja ühikunktorid käituvad ühikelementidena sellise komponeerimise suhtes. See võib viia mõttele vaadelda kõigi kategooriate kategooriat, kus unktorid mängiks morismide rolli. Kahjuks kõigi kategooriate kogum ei ole enam klass ja ka kõigi ühest kategooriast teise viivate unktorite kogum ei pruugi olla hulk. Väljapääs sellest on muuta kategooria deinitsiooni lubades suuremaid objektide ja morismide kogumeid (neid kutsutakse mõnikord konglomeraatideks). Selliseid asju nimetame kvaasikategooriateks (Herrlichi ja Streckeri järgi). Seega kõigi kategooriate ja nendevaheliste unktorite kogum, mis on varustatud unktorite komponeerimisega, on kvaasikategooria, mida tähistatakse CT. Siiski, kui on väike kategooria ja B on suvaline kategooria, siis kõigi unktorite kogum Fun(, B) kategooriast kategooriasse B on klass, ja kui B on ka väike, siis Fun(, B) on hulk. Seega võime kõnelda kõigi väikeste kategooriate kategooriast, mida tähistatakse Cat. 3.2. Duaalsusest Jämedalt öeldes tähendab kategoorne duaalsus kõigi morismide ümberpööramist. Deinitsioon 3.7. Kategooria C duaalne kategooria C op deineeritakse järgmiselt. 1. Kategooriatel C ja C op on samad objektid, C op 0 = C 0. 2. Iga, B C op 0 korral C op (, B) = C(B, ), s.t. C op morismid on C morismid, mida kirjutatakse vastupidises suunas. Segaduse vältimiseks kirjutame op : B, kui vaatleme C morismi : B kui C op morismi. 3. Komponeerimine kategoorias C op deineeritakse võrdusega op g op := (g) op. Kategoorias C : B C Kategoorias C op : g g (g) op B C op g op Iga kategooriate jaoks deineeritud mõiste jaoks leidub duaalne mõiste (mille nimi tekitatakse harilikult eesliite ko- abil), mis saadakse deinitsioonis kõigi morismide suuna muutmisel vastupidiseks ja kompositsioonide g asendamisel kompositsioonidega g. Samuti on iga väite jaoks olemas duaalne väide. Duaalsusprintsiip ütleb, et kui mingi väide on tõene kõigis kategooriates, siis ka selle väite duaalne väide on tõene kõigis kategooriates. 14

Me näeme, et lõppobjektid on duaalsed algobjektidega, epimorismid monomorismidega, projektiivsus on injektiivsuse duaalne mõiste jne. Samuti näiteks, kui me teame, et lõppobjektid on igas kategoorias määratud üheselt isomorismi täpsusega, siis duaalsusprintsiibi põhjal ka algobjektid on määratud üheselt isomorismi täpsusega. Lause 3.8. Kategooriate ja B korral leidub üksühene vastavus kontravariantsete unktorite B ja kovariantsete unktorite op B vahel. Tõestus. On selge, et iga kategooria C korral eeskiri ( ) op : C C op, C C, op on kontravariantne unktor ja ( ) op ( ) op = 1 C (ehk (C op ) op = C). Kui F : B on kontravariantne unktor, siis F ( ) op : op B on kovariantne unktor, sest kahe kontravariantse unktori kompositsioon on kovariantne unktor. Samuti, kui G : op B on kovariantne unktor, siis G ( ) op : B on kontravariantne unktor. Et F ( ) op ( ) op = F ja G ( ) op ( ) op = G, siis ongi meil olemas nõutav üksühene vastavus. Seda tulemust silmas pidades räägime edaspidises vaikimisi alati kovariantsetest unktoritest (mis lähtuvad siis kas kategooriast või op ). Mõnikord võib olla mugav vaadelda kontravariantseid unktoreid B kui kovariantseid unktoreid B op. 3.3. Funktorite omadusi Deinitsioon 3.9. Vaatleme unktorit F : B ja iga objektipaari, 0 korral kujutust Funktor F on F, 1 : (, ) B(F (), F ( )), F (). täpne, kui kujutus F, 1 on injektiivne iga, 0 korral; täielik, kui kujutus F, 1 on sürjektiivne iga, 0 korral; täielik ja täpne, kui kujutus F, 1 on bijektiivne iga, 0 korral; kategooriate isomorism, kui leidub selline unktor G : B, et F G = 1 ja GF = 1 B. Näide 3.10. 1. Unustav unktor U : Gr Set on täpne, aga mitte täielik ning ta ei ole kategooriate isomorism. 2. Unustav unktor U : b Gr on täielik ja täpne, sest mistahes beli rühmade ja B korral b(, B) = Gr(, B). 3. Konstantne unktor B : B ei ole harilikult ei täielik ega täpne. 4. Kaks monoidi kui kategooriad on isomorsed parajasti siis kui nad on isomorsed monoididena. Deinitsioon 3.11. Vaatleme unktorit F : B. 1. F säilitab monomorisme, kui iga morismi korral on monomorism F () on monomorism. 2. F peegeldab monomorisme, kui iga morismi korral F () on monomorism on monomorism. Loomulikult saab samasugused deinitsioonid anda ka teiste morismitüüpide jaoks. Lause 3.12. Täpne unktor peegeldab monomorisme ja epimorisme. 15

Tõestus. Vaatleme täpset unktorit F : B ja morismi : kategoorias, mille korral F () : F () F ( ) on monomorism kategoorias B. Oletame, et g = h mingite morismide g, h : korral. Siis g = h = F ()F (g) = F ()F (h) = F (g) = F (h) = g = h, kus teine implikatsioon kehtib sellepärast, et F () on monomorism ja viimane implikatsioon sellepärast, et F on täpne. Samamoodi, kui F () on epimorism ja g = h mingite g, h : korral, siis g = h = F (g)f () = F (h)f () = F (g) = F (h) = g = h. Lause 3.13. Iga unktor säilitab isomorisme. Tõestus. Kui k = 1, kus : B ja k : B, siis F (k)f () = F (1 ) = 1 F (). See tõestab, et F säilitab nii koretraktsioonid kui ka retraktsioonid ning seega isomorismid. Lause 3.14. Täielik ja täpne unktor peegeldab isomorisme. Tõestus. Oletame, et F : B on täielik ja täpne unktor, : on morism kategoorias ja F () : F () F ( ) on isomorism kategoorias B. Siis F ()s = 1 F ( ) ja sf () = 1 F () mingi morismi s : F ( ) F () korral. Kuna F on täielik, siis s = F (g) mingi g : korral. Siis ja F (g) = F ()F (g) = 1 F ( ) = F (1 ) F (g) = F (g)f () = 1 F () = F (1 ), millest tänu F täpsusele järelduvad võrdused g = 1 ja g = 1. Seega on isomorism. 3.4. Komakategooriad Lähtudes antud unktorist (või unktoritest), on võimalik konstrueerida uusi kategooriaid. Esitame siin mõned sellised konstruktsioonid. Deinitsioon 3.15. Olgu F : C ja G : B C unktorid. Komakategooria (F G) (ehk (F, G)) deineeritakse järgmiselt. 1. (F G) objektid on kolmikud (,, B), kus 0, B B 0 ja : F () G(B) on C morism. 2. Morism objektist (,, B) objekti (,, B ) kategoorias (F G) on paar (a, b), kus a : kategoorias, b : B B kategoorias B ja F (a) = G(b). 3. Komponeerimine kategoorias (F G) on indutseeritud ja B komponeerimiste poolt, see tähendab, et (a, b )(a, b) = (a a, b b). F (a) F () F ( ) F ( ) G(B) G(B ) G(B ) G(b) Näide 3.16. Võtame eelmises deinitsioonis = 1, s.o. diskreetse kategooria üheainsa objektiga, ning olgu C C 0. Siis objekti C võib vaadelda kui konstantset unktorit C : 1 C, C. Võttes F = C saame kategooria ( C G), kus objektid on kolmikud (,, B), kus B B 0 ja : C G(B), ning morismid (,, B) (,, B ) on paarid (1, b) kus b : B B on selline, et = C (1 ) = G(b). Ilmselt on see kategooria isomorne kategooriaga, mille objektid on paarid (, B), kus B B 0, : C F (a ) G(b ) 16

G(B), ning kus morismid (, B) (, B ) on sellised B morismid b : B B, et = G(b). Tähistame viimase kategooria sümboliga (C G) ja nimetame seda objekti C G-aluste objektide kategooriaks. 8888888888 C 8 G(B) G(B ) G(b) Kui võtame veel G = 1 C (kategooria C ühikunktor), saame täpselt C-aluste objektide kategooria (C 1 C ) = (C C) (vt. deinitsiooni 1.11). naloogiliselt võib saada C F -üleste objektide kategooria ja C-üleste objektide kategooria. Näide 3.17. Olgu = 1, F = { } : 1 Set konstantne unktor, mis on deineeritud võrdusega { } ( ) = { }, ning olgu G : B Set suvaline unktor. Siis komakategooria ( { } G) objektid on kolmikud (,, B), kus B B 0 ja : { } G(B) on kujutused. Iga sellise kujutuse võib samastada hulga G(B) elemendiga ( ). Morism peab muutma diagrammi (1, b) : (,, B) (,, B ) { } 1 { } { } G(B) G(B ) G(b) kommutatiivseks. Sellist komakategooriat nimetatakse G elementide kategooriaks ja tähistatakse el(g). Tähistust veidi muutes võib öelda, et unktori G : B Set elementide kategooria konstrueeritakse järgmiselt. 1. el(g) objektid on paarid (b, B), kus b G(B). 2. Morism h : (b, B) (b, B ) on selline morism h : B B, et G(h)(b) = b. 3. el(g) komponeerimine on indutseeritud B komponeerimise poolt. Järgnevalt vaatleme endounktori algebrate konstruktsiooni. (Funktorit nimetatakse kategooria endounktoriks.) See on sisuliselt komakategooria erijuht, kus = B = C, F : on suvaline unktor ja G = 1 on kategooria ühikunktor. Deinitsioon 3.18. Endounktori F : algebrate (lühidalt: F -algebrate) kategooria lg(f ) konstrueeritakse järgmiselt. 1. Objektid on paarid (, ), kus : F (). 2. Morism ϕ : (, ) (, ) on selline morism ϕ :, et F (ϕ) = ϕ. 3. lg(f ) komponeerimine on indutseeritud komponeerimise poolt. F (ϕ) F (ψ) F () F ( ) F ( ) ϕ ψ 17

Näide 3.19. Traditsionaalselt vaadeldakse universaalalgebrat (, ( i ) i I ) kui hulka, millel on antud teatud algebralised tehted i : ni, kus n i N {0}. Tehted võib kokku võtta üheks kujutuseks : i I ni, nii et universaalalgebra on antud hulgaga ja kujutusega : F (), kus kategooria Set endounktor F on objektidel deineeritud võrdusega F (X) := X ni i I ja iga kujutuse : X Y korral kujutus F () : i I Xni i I Y ni on deineeritud võrdusega F ()(x 1,..., x ni ) := ((x 1 ),..., (x ni )), kus (x 1,..., x ni ) X ni. Näiteks rühma võib vaadelda kui Set-endounktori F -algebrat, kus F (X) = X 0 X 1 X 2. Saab näidata, et kui (, ) ja (B, B ) on kaks sama tüüpi algebrat, siis kujutus ϕ : B on algebrate homomorism parajasti siis, kui järgmine diagramm kommuteerub: F () F (ϕ) ϕ F (B) B B. Teoreetilises arvutiteaduses on eriti kasulikuks osutunud endounktori algebratega duaalsed koalgebrad. Nende kategooria on sisuliselt komakategooria (1 F ). Deinitsioon 3.20. Endounktori F : koalgebrate (lühidalt: F -koalgebrate) kategooria Coalg(F ) konstrueeritakse järgmiselt. 1. Objektid on paarid (, α ), kus α : F (). (Kui = Set, nimetatakse kujutusi α koalgebra (, α ) struktuurikujutusteks.) 2. Morism ϕ : (, α ) (, α ) on selline morism ϕ :, et F (ϕ)α = α ϕ. 3. Coalg(F ) komponeerimine on indutseeritud komponeerimise poolt. ϕ α F () F ( ) F (ϕ) Näide 3.21. Lõplikke ja lõpmatuid Σ-liste (Σ on mingi hulk) võib modelleerida kui unktori F : Set Set koalgebraid, kus F on deineeritud võrdusega α F (X) := { } (Σ X). Hulga Σ elementide kõigi lõplike ja lõpmatute listide hulgal Σ deineeritakse struktuurikujutused α Σ : Σ { } (Σ Σ ) võrdusega {, kui σ on tühi list, α Σ (σ) := (head(σ), tail(σ)), kui σ on mittetühi list. Siin head(σ) all mõistetakse listi esimest elementi ja tail(σ) moodustavad listi kõik ülejäänud elemendid. Näide 3.22. Mittetühje binaarpuid, mille lehed on tüüpi Σ, võib modelleerida kui unktori F : Set Set koalgebraid, kus F on deineeritud võrdusega F (X) := Σ (X X). Kõigi selliste puude hulgal T võib struktuurikujutused α T : T Σ (T T ) deineerida võrdusega { t Σ, kui t on leht, α T (t) := (let(t), right(t)), kui t ei ole a leht. Siin let(t) on tipu t vasakpoolne alampuu ja right(t) on tipu t parempoolne alampuu. 18

Näide 3.23. Olgu andmetüüpide = pangakonto ja Q jaoks antud operatsioonid rahasisse ja kontojääk: rahasisse : Q, kontojääk : Q. Pangakonto tüüp koos nende operatsioonidega tekitab unktori F (X) = X Q Q koalgebra (, α), kus struktuurikujutusel α : Q Q on kuju α (a) = (rahasisse(a, ), kontojääk(a)). Näide 3.24. Deterministlikke automaate võib vaadelda koalgebratena. Fikseeritud hulga Σ jaoks vaatleme kovariantset mor-unktorit F = Set(Σ, ) = ( ) Σ : Set Set. F -koalgebra olgu antud kujutusega α : Σ. Sellised kujutused on üksüheses vastavuses kujutustega δ : Σ, see tähendab, deterministlike automaatidega, mille sisendtähestik on Σ, olekute hulk ja üleminekuunktsioon δ, kui deineerime δ (a, σ) := α (a)(σ). ϕ B α Σ Σ F (ϕ)=ϕ α B B Σ Kujutus ϕ : B on F -koalgebrate homomorism, kui ϕα (a) = α B (ϕ(a)), see tähendab, kui ϕ(δ (a, σ)) = ϕ(α (a)(σ)) = (ϕα (a))(σ) = (α B (ϕ(a)))(σ) = δ B (ϕ(a), σ), iga a ja σ Σ korral. Võrdus ϕ(δ (a, σ)) = δ B (ϕ(a), σ) on täpselt see, millega deineeritakse automaatide homomorism. Ülesanded 3.25. 1. Konstrueerida unktor oma lemmikkategooriast mõnda teise kategooriasse või mõnest teisest kategooriast oma lemmikkategooriasse. Kas sellel unktoril on mõni hää omadus? 2. Tõestada, et unktor F : B on kategooriate isomorism parajasti siis, kui ta on täielik, täpne ja indutseerib bijektsiooni 0 B 0 objektide klasside vahel. 3. Tõestada, et kategooriate isomorism säilitab ja peegeldab monomorisme ja epimorisme. 4. Näidata, et kategooriate ja B korrutist B (vt. deinitsiooni 1.10) võib vaadelda komakategooriana. 19

4. Loomulikud teisendused 4.1. Loomulike teisenduste deinitsioon ja näited Loomulikke teisendusi võib vaadelda kui unktoritevahelisi morisme. Deinitsioon 4.1. Olgu F, G : B kaks kovariantset unktorit kategooriast kategooriasse B. Loomulik teisendus α : F G unktorist F unktorisse G on kategooria B morismide süsteem (α : F () G()) 0, mis on indekseeritud objektide järgi, mille korral α F () = G()α kategooria iga morismi : korral, s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: F () α G() F () G() F ( ) G( ) α. Morismi α, kus 0, nimetatakse loomuliku teisenduse α = (α ) 0 komponendiks kohal. Deinitsioon 4.2. Olgu F, G : B kaks kontravariantset unktorit kategooriast kategooriasse B. Loomulik teisendus α : F G unktorist F unktorisse G on kategooria B morismide süsteem (α : F () G()) 0, mis on indekseeritud objektide järgi, mille korral G()α = α F () kategooria iga morismi : korral, s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: F () α G() F () G(). F ( ) G( ) α Deinitsioon 4.3. Loomulikku teisendust α : F G, kus F, G : B, nimetatakse loomulikuks isomorismiks, kui α : F () G() on isomorism kategoorias B iga 0 korral. Funktoreid F ja G nimetatakse loomulikult isomorseteks (tähistus: F = G), kui leidub loomulik isomorism F G. Funktorite F, G : B korral tähistame kõigi nendevaheliste loomulike teisenduste konglomeraati tähisega Nat(F, G). Näide 4.4. Iga unktori F : B jaoks leidub selle unktori samasusteisendus 1 F : F F, mis on deineeritud võrdusega (1 F ) := 1 F () iga 0 korral. Näide 4.5. Olgu : B ikseeritud morism kategoorias. Deinitsioon (, ) C (g) := g, g : C, annab loomuliku teisenduse (, ) : (, ) (B, ) objektide ja B poolt tekitatud mor-unktorite vahel, sest kategooria iga morismi h : C C korral (hg) = h(g), s.t. järgmine ruut on kommutatiivne: (, ) C C (, C) (B, C) h C (,h)=h (, C ) (B, C ) (, ) C (B,h)=h Duaalselt, ikseeritud morismi : B korral kategoorias, deinitsioon (, ) C (g) := g, g : C, annab loomuliku teisenduse (, ) : (, ) (, B) kontravariantsete mor-unktorite vahel.. 20

Näide 4.6. Fikseeritud korpuse K korral võime vaadelda kontravariantset mor-unktorit Vec K (, K) : Vec K Set. On hästi teada, et vektorruumi V korral üle K saab lineaarkujutuste V K (ehk lineaarsete unktsionaalide) hulka Vec K (V, K) = Hom(V, K) =: V vaadelda kui vektorruumi üle K punktiviisiliste tehete suhtes. Veelgi enam, kui : V U on lineaarkujutus, siis Vec K (, K)() = : U V on ka lineaarkujutus. Seega unktorit Vec K (, K) võib vaadelda kui kontravariantset unktorit Vec K Vec K. Me tähistame seda unktorit lühidalt ( ). Funktori ( ) kompositsioon iseendaga on kovariantne unktor Vec K Vec K. Me tähistame seda ( ) ja nimetame teise kaasruumi unktoriks. Iga vektorruumi V korral deineerime kujutuse α V : V V = Hom(Hom(V, K), K) võrdusega (α V (a))(g) := g(a), a V, g Hom(V, K). Lineaaralgebrast on teada, et kujutused α V Iga Hom(V, U), iga a V ja iga h Hom(U, K) = U korral on vektorruumide lineaarkujutused. ( α V )(a)(h) = (α V (a)( ))(h) = α V (a)(h) = (h)(a) = h((a)) = α U ((a))(h) = (α U )(a)(h), mis tõestab, et α = (α V ) V (VecK ) 0 : 1 VecK ( ) on loomulik teisendus. V α V V V U α U U ( )= U α U ((a)) V V α V (a) K Näide 4.7. Kui R on ühikelemendiga assotsiatiivse ringi R multiplikatiivne monoid ja Mat n (R) on kõigi n-ndat järku ruutmaatriksite hulk üle R, mida vaatleme samuti multiplikatiivse monoidina, siis det R : Mat n (R) R, det() on monoidide homomorism. Veelgi enam, ruut Mat n (R) Mat n() Mat n (S) det R det S R R S kommuteerub iga ringide homomorismi : R S korral (siin Mat n () rakendab kujutust maatriksi kõigile elementidele). See tähendab, et determinant on loomulik teisendus det : Mat n ( ) unktorite Mat n, ( ) : Rng Mon vahel. Näide 4.8. Oletame, et mingis programmeerimiskeeles L (näiteks näite 1.6 keeles) on olemas konstruktor ( ), mis lubab iga andmetüübi (s.t. konstantide hulga) abil konstrueerida uue tüübi, mis on kõigi lõplike -listide hulk. Näiteks kui = {a, b}, siis listid [a, b, a], [ ], [b, b, b, b] kuuluvad tüüpi. Kui : B on keele L operatsioon, siis tähistab (tuletatud) operatsiooni B, mis rakendab operatsiooni antud -listi kõigile elementidele (nt. ([a, b, a]) = [(a), (b), (a)] B ). On kerge näha, et ( ) : C(L) C(L) on keele L poolt indutseeritud kategooria C(L) endounktor. Tüübi korral võib vaadelda hulka ( ) =, mis koosneb kõigi -listide listidest; see on saadud unktori ( ) kahekordsel rakendamisel. Sellise tüübi jaoks võib soovida omada latten-operatsiooni, mis lihtsalt konkateneerib kõik listid listis. Näiteks latten([[a, b, a], [ ], [b, b, b, b]]) = [a, b, a, b, b, b, b]. Kõigi selliste latten-operatsioonide süsteem on loomulik teisendus ( ) ( ), sest järgmine ruut kommuteerub iga operatsiooni : B korral: latten B latten B B. 21

4.2. Funktorite kvaasikategooriad Lemma 4.9. Kui F, G, H : B on unktorid kategooriast kategooriasse B ja α : F G, β : G H on loomulikud teisendused, siis võrdus (β α) := β α, 0, deineerib loomuliku teisenduse β α : F H. F G α β B H Tõestus. Iga morismi : korral kategoorias H()(β α) = H()β α = β G()α = β α F () = (β α) F (). F () α G() β H() F () G() H() F ( ) G( ) H( ) α β Näide 4.10. Olgu : B ja g : C B morismid kategoorias. Vaatleme loomulikke teisendusi (, ) : (, ) (B, ) ja (g, ) : (B, ) (C, ) (vt. näidet 4.5). Siis ((g, ) (, )) D (h) = ((g, ) D (, ) D )(h) = (g, ) D (h) = (h)g = h(g) = (g, ) D (h) iga morismi h : D korral kategoorias. Järelikult (g, ) (, ) = (g, ). Deinitsioonist järeldub kergesti, et loomulike teisenduste komponeerimine on assotsiatiinve ja unktorite samasusteisendused käituvad selle komponeerimise suhtes ühikelementidena. Seega võime moodustada kõigi kategooriast kategooriasse B viivate unktorite kvaasikategooria Fun(, B), kus morismideks on loomulikud teisendused selliste unktorite vahel. Kui on väike, siis see kvaasikategooria on kategooria. 1. Olgu F : Set unktor ja 0. Leidub üksühene vasa- Teoreem 4.11 (Yoneda Lemma). tavus 4.3. Yoneda Lemma θ F, : Nat((, ), F ) F () unktorite (, ) ja F vaheliste loomulike teisenduste ja hulga F () elementide vahel; muuhulgas neid loomulikke teisendusi on hulk. 2. Bijektsioonid θ F, tekitavad loomuliku teisenduse suhtes. 3. Kui on väike kategooria, siis bijektsioonid θ F, tekitavad loomuliku teisenduse ka F suhtes. Tõestus. 1. Deineerime kujutused Nat((, ), F ) θ F, τ F () võrdusega θ F, (α) := α (1 ) 22

iga loomuliku teisenduse α : (, ) F korral ja võrdusega τ(a) B () := F ()(a) (1) iga a F (), B 0 ja : B korral. Peame kontrollima, et τ(a) = (τ(a) B ) B 0 on loomulik teisendus (, ) F. Tõepoolest, mistahes morismide g : B C ja : B korral kategoorias (F (g)τ(a) B )() = F (g)(f ()(a)) = F (g)(a) = τ(a) C (g) = (τ(a) C (g ))(). (, B) τ(a) B F (B) g (, C) τ(a) C F (g) F (C) Edasi, iga a F () korral (θ F, τ)(a) = θ F, (τ(a)) = τ(a) (1 ) = F (1 )(a) = 1 F () (a) = a, mis tõestab, et θ F, τ = 1 F (). Teisest küljest, kui α : (, ) F on loomulik teisendus ja : B on morism kategoorias, siis ((τθ F, )(α)) B () = (τ(θ F, (α))) B () = (τ(α (1 ))) B () = F ()(α (1 )) = (F ()α )(1 ) = (α B ( ))(1 ) = α B (1 ) = α B (). Siin neljas võrdus järeldub α loomulikkusest, s.t. diagrammi (, ) (, B) α α B F () F () F (B). kommutatiivsusest. Seega τθ F, (α) = α iga α korral, mis tõestab, et τθ F, = 1 Nat((, ),F ). 2. Olgu F ikseeritud unktor. Tõestame, et kujutuste süsteem (θ F, ) 0 on loomulik teisendus. Selleks vaatleme unktorit N : Set, mis on objektidel deineeritud võrdusega N() := Nat((, ), F ) ja morismidel : B on kujutused N() : Nat((, ), F ) võrdusega N()(α) := α (, ), Nat((B, ), F ) deineeritud kus (, ) : (B, ) (, ) (vt. näidet 4.5) ja α : (, ) F. Ei ole raske veenduda, et N on tõesti unktor. Näitame, et deinitsioon ν := θ F,, 0, annab loomuliku teisenduse ν : N F. Nat((, ), F ) θ F, F () N() Nat((B, ), F ) θ F,B F () F (B) Tõepoolest, iga morismi : B ja loomuliku teisenduse α : (, ) F korral (F ()θ F, )(α) = F ()(α (1 )) = α B (( )(1 )) = α B (), (θ F,B N())(α) = θ F,B (α (, )) = (α (, )) B (1 B ) = α B ((, ) B (1 B )) = α B (1 B ) = α B (). 23