CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor de matematică di liceu şi folosid bibliografia idicată ([24] pag. 1-32; [30]; [36]; [39]; [40]). 1. Elemete de teoria mulţimilor Matematica moderă s-a costituit ca o ştiiţă uitară cu ajutorul a trei oţiui fudametale: mulţime, relaţie şi structură. Studiul matematicii şi aplicaţiile sale î alte ştiiţe se referă la obiecte de atură diferită: pucte, vectori, umere, fucţii, matrici etc. care se grupează î virtutea uor proprietăţi specifice î colecţii sau mulţimi. Noţiuea de mulţime este primară (u se defieşte) şi vom prezeta teoria aivă a mulţimilor după G. Cator. Mulţimile se vor ota pri: A, B,..., X, Y,..., obiectele uei mulţimi, umite elemete ale mulţimii pri: a, b,..., x, y, z, u, v,... şi mulţimile ale căror elemete sut mulţimi, pri: A, B,..., P,... O mulţime A va fi dată, fie pri eumerarea elemetelor sale: A = {a, b,..., x,...}, fie pri idicarea uei proprietăţi P specifică elemetelor sale: A = {x P(x)} ude P(x) este o proprietate adevărată petru toţi idivizii x care sut elemete di A. 1

U obiect x este elemet al mulţimii A sau x aparţie lui A, otat pri x A; simbolul idică aparteeţa uui obiect la o mulţime şi exprimă sesul cocret al relaţiei de aparteeţă. Dacă u obiect y u este elemet al mulţimii A sau y u aparţie lui A se otează pri: y A. 1. Relaţia de aparteeţă este u predicat biar şi folosid pricipiul dublei egaţii, avem: (I.1.) [x A (x A)] [x A (x A)] 2. Petru u elemet x A, otăm {x} mulţimea care coţie umai pe x. Î geeral, dacă x 1,..., x sut obiecte disticte otăm:a ={x 1,..., x } mulţimea care are ca elemete umai aceste obiecte. 3. A= { N 11}; 3 A; 13 A. Defiiţia I.1. Două mulţimi A şi B sut egale dacă ele coţi aceleaşi elemete, otat A = B şi logic echivalet cu: (I.2.) A = B ( x A x B) ( y B y A) Teorema I.1. Egalitatea mulţimilor are proprietăţile: (e 1 ) A = A; A (reflexivitate) (e 2 ) A = B B = A; A, B (simetrie) (e 3 ) A = B B = C A = C; A, B, C (trazitivitate) Demostraţiile petru toate propoziţiile, lemele şi teoremele di acest paragraf se găsesc î bibliografie ([24], pag. 33 51; [40]). 1. Di relaţia (I.2.) se obţie egaţia propoziţiei A = B, otată A B şi aume: (I.3) A B [ (A = B)] [A = B (A B)]. 2

2. Î cosideraţiile următoare vom folosi mai puţi structura logică completă a diverselor afirmaţii şi e vom îcadra î stilul matematic obişuit de exprimare. Defiiţia I.2. Se umeşte mulţime vidă, otată, mulţimea care u coţie ici u elemet. Vom admite existeţa mulţimii vide şi ea se poate caracteriza astfel: x( x ) este o proprietate adevărată. Defiiţia I.3. Fie A, B două multimi oarecare; vom spue că A este iclusă î B sau A este submulţime a lui B sau A este parte a lui B otat A B, dacă orice elemet di A este elemet al lui B, logic echivalet cu: (I.4.) A B x( x A x B) ude semul este simbolul petru relaţia de icluziue. 1. Relaţia de icluziue este u predicat biar şi de multe ori se scrie B A citit B iclude A. 2. Relaţia (I.4) este echivaletă cu: (I.4 ) A B ( x A x B). 3. Se poate caracteriza egalitatea mulţimilor pri: (I.2. ) A = B [(A B) (B A)]. 4. Negaţia propoziţiei A B, otată A B este caracterizată pri: (I.5.) A B x(x A x B) Petru a dovedi A B este suficiet să arătăm că există u elemet x A şi x B. 5. Petru mulţimile de umere studiate î liceu, avem: 3

N Z Q R C Q Z; R Q; C R etc. Teorema I.2. Relaţia de icluziue are proprietăţile: (i 1 ) A A; A (reflexivitate) (i 2 ) (A B) (B A) A = B; A, B (atisimetrie) (i 3 ) (A B) (B C) A C; A, B, C (trazitivitate). Cosecita I.1. Mulţimea vidă este iclusă î orice mulţime. Defiiţia I.4. Mulţimea A este strict iclusă î B otat A B şi A B, deci: (I.6.) A B ((A B) (A B)). Teorema I.2. Relaţia de icluziue strictă are proprietăţile: (s 1 ) (A (s 2 ) A (s 3 ) (A A); A (ireflexivitate) B (B B) (B A); A, B (asimetrie) C) (A C); A, B, C (trazitivitate). dacă 1. Se poate dovedi cu ajutorul predicatelor biare că ireflexivitatea icluziuii stricte u este echivaletă cu egaţia reflexivităţii. 2. Î acelaşi mod se arată că asimetria uei relaţii u este egaţia simetriei şi că atisimetria de asemeea, u este egaţia simetriei. Defiiţia I.5. Fie A o mulţime oarecare, A. Mulţimea care are drept elemete toate mulţimile X icluse î A se umeşte mulţimea părţilor lui A, otată P(A), cu: (I.7.) P(A) = {X X A} [ X(X P(A) X A)] Exemple: 1. A= ; P(A) = { } 4

2. A = {x}; P(A) = { ; A} = { ; {x}} 3. A={a, b, c}; P(A)={ ;{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b, c}}. Operaţii cu mulţimi Fie E o mulţime oarecare evidă şi P(E); E se umeşte mulţime de referiţă sau mulţime uiversală. Defiiţia I.6. Fie mulţimile A, B P(E). 1] Reuiuea mulţimilor A şi B, otată A B, este mulţimea care coţie elemetele ce aparţi cel puţi ueia ditre A şi B, deci: (I.8.) x A B (x A) (x B) [(x A) (x B)]. 2] Itersecţia mulţimilor A şi B, otatăa B, este mulţimea ce coţie elemetele care aparţi şi lui A şi lui B, deci: (I.9.) A B (x A) (x B). Teorema I.4. Fie A şi B două mulţimi oarecare, atuci au loc afirmaţiile: 1 ) A A B; B A B; 2 ) (A C) (B C) (A B C); 3 ) A B A; A B B; 4 ) (C A) (C B) (C A B) 5 ) A B A B = B; A B A B = A. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [36]). Teorema I.5. Petru orice mulţimi A, B, C au loc proprietăţile: 1) A B = B A; A B = B A (comutativitate); 5

2) (A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C) (asociativitate); 3) A (B A) = A; A (B A) = A ( absorbţie); 4) A A = A; A A = A (idempoteţă); 5) A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) (legi de distributivitate); 6) A = A ; A = ; 7) (A B) (C D) A C B D ( este izotoă) A C B D ( este izotoă) Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [30], [36]). Defiiţia I.7. 1] Mulţimile A şi B se umesc mulţimi disjucte dacă A B =. 2] Difereţa lui A şi B mulţimi oarecare, otată A B sau A \ B este mulţimea care coţie elemete di A care u se găsesc î B, deci: (I.10) x A B (x A) (x B). Teorema I.6. Difereţa a două mulţimi are proprietăţile: 8) A B A; 9) A (B - A) = A B; 10) (A - B) - C = (A - C) B = A (B C); 11) (A B) C = (A - C) (B - C); 12) A (B C) = (A - B) (A - C); 13) (A B) - C = (A - C) (B - C); 14) A (B C) = (A - B) (A - C); 15) A - = A; - A = ; A A =. Demostraţia î bibliografie ([17], [30], [41]). 6

1. Proprietatea 9) exprimă faptul că difereţa mulţimilor u este operaţia iversă a reuiuii mulţimilor. 2. Proprietatea 9) şi proprietăţile de idempoteţă a reuiuii şi itersecţiei (proprietăţile 4)) arată că proprietăţile operaţiilor cu mulţimi sut diferite de proprietăţile operaţiilor cu umere. 3. Cele două tipuri de operaţii, cu mulţimi şi cu umere au uele proprietăţi comue: comutativitate, asociativitatea, existeţa elemetului eutru. 4. Di cometariile de mai sus rezultă că, u se poate admite fără demostraţie o proprietate petru mulţimi, motivâd că a fost demostrată petru umere. Defiiţia I.8. Fie A P(E), mulţimea E A se umeşte complemetara lui A faţă de E, otată C E A, deci: (I.11.) x C E A [(x E) (x A)]. Dacă mulţimea E este fixată atuci C E A se pate ota ca sau A şi se umeşte complemetara lui A. Teorema I.7. Complemetara are următoarele proprietăţi petru A, B P(E): 16) c(a B) = ca cb; 17) c(a B) = ca cb; 18) A B cb ca; 19) c(ca) = A; 20) A ca = ; A ca = E; 21) (A B = ) (A B = E) B = ca; 22) c = E; ce =. 7

Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [30], [38]). 1. Di proprietăţile 16) 22) rezultă că î teoria mulţimilor este valabil pricipiul de dualitate. 2. Pricipiul de dualitate are următorul euţ: Di orice relaţie ître mulţimi î care itervi operaţiile,, se obţie o ouă relaţie, îlocuid mulţimile cu complemetarele lor şi operaţiile precedete pri,,, mulţimea vidă pri E şi reciproc. Defiiţia I.9. Fie a, b două obiecte oarecare disticte. 1] Mulţimea {{a}, {a, b}} se umeşte pereche ordoată a obiectelor disticte a şi b, otată pri (a, b), deci: (I.12.) (a, b) = {{a}, {a, b}} 2] Petru A, B P(E) se umeşte produs cartezia al mulţimilor A şi B, otat A B, mulţimea tuturor perechilor ordoate (a, b) cu a A şi b B, deci: (I.13) A B = {(a, b) a A, b B}. 1. Dacă a = b, atuci (a, a) = {a, {a}}. 2. Î geeral (a, b) {a, b}, deoarece dacă a b, avem (a, b) (b, a), dar {a, b} = {b, a}. 3. Folosid egalitatea mulţimilor se arată că, avem: (I.14.) (a, b) = (c, d) (a = c) (b = d). 4. Dacă A = B, atuci A B = A A otat = A 2. Teorema I.8. Produsul cartezia a două mulţimi are proprietăţile: 23) (A B) (C D) A C B D; 8

24) (A B) C = (A C) (B C) C (A B) = (C A) (C B) 25) (A B) C = (A C) (B C) C (A B) = (C A) (C B) 26) (A - B) C = (A C) - (B C) C (A - B) = (C A) - (C B) 27) A B B A 28) A =. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [30], [36]). Defiiţia I.10. 1] Se umeşte triplet ordoat format cu obiectele disticte a, b, c mulţimea ((a, b), c) otat pri (a, b, c). Se umeşte uplu ordoat format di obiectele disticte a 1, a 2,..., a mulţimea ((a 1, a 2,..., a - 1 ), a ) otat pri (a 1, a 2,..., a ). 2] Au loc egalităţile: (a, b,c) = (d,e,f) ( a = d) ( b= e) ( c= f) (I.15) ( a1,..., a) = ( b1,..., b) ai = bi petru i = 1,..., 3] Produsul cartezia a multimi A 1,..., A este defiit, î mod iductiv, pri: (I.16) ( ) { } A A... A = a,..., a a A, a A,..., a A 1 2 1 1 1 2 2 Mulţimile A 1,..., A se umesc factorii produsului cartezia şi elemetele a1, a2..., a se umesc coordoatele sau proiecţiile elemetului Petru A ( ) a1, a2..., a. = A = = A = A, se otează A1 A2... A = A. 1442443 1 2... ori 9

Exerciţii şi probleme asupra aspectelor teoretice di acest paragraf se găsesc î bibliografia idicată ([24] pag. 30 32 şi pag. 47 48; [30]; [36]). 2. Relaţii biare Studiul uor oţiui fudametale ale matematicii care are aplicaţii directe î iformatica teoretică şi aplicaţiile iformaticii, se realizează cu ajutorul uor elemete de logică matematică şi de teoria mulţimilor care au rolul de a pue î evideţă structuri fudametale pe mulţimile de lucru. Noţiuea de relaţie are rolul de uificator al structurilor abstracte pe diverse mulţimi de obiecte şi coduce la aplicaţii imediate, î modelarea matematică a uor feomee di alte ştiiţe şi di realitatea fizică. Defiiţia I.11. Fie A 1,..., A mulţimi oarecare. Se umeşte relaţie ară u sistem ordoat (A 1,..., A ; R) ude R este o submulţime a produsului cartezia A1 A2... A umită graficul relaţiei are. 1. Dacă, = 2, relaţia (A 1, A 2 ; R) se umeşte relaţie biară. Dacă = 3, relaţia (A 1, A 2, A 3 ; R) se umeşte relaţie terară. Se vor ota aceste relaţii pri: ρ = (A 1, A 2 ; R); ρ = (A 1, A 2, A 3 ; R). 2. Dacă A = A = = A = A relaţia ρ = (A1,..., A ; R) se umeşte relaţie 1 2... -ară omogeă pe A. 3. Mulţimile A 1,..., A se umesc mulţimi de bază ale relaţiei ρ = =(A 1,..., A ; R). Notaţia (x 1,..., x ) R este îlocuită pri R(x 1,..., x ) şi petru = 2 î loc de (x 1, x 2 ) R se va ota x 1 ρx 2 petru ρ=(a 1,A 2 ;R). 4. Graficele relaţiilor - are sut mulţimi şi di acest motiv uele rezultate di teoria mulţimilor se vor traspue î teoria relaţiilor. 10

5. Exemplu: A 1 = A 2 = Z mulţimea umerelor îtregi şi atuci relaţia de divizibilitate î Z are graficul dat pri: R = {(x,y) Z m Z a. î. y = mx}. Defiiţia I.12.1]Relaţia -ară ître elemetele mulţimilor A 1,..., A al cărei grafic este R = A 1 A 2... A se umeşte relaţie uiversală. 2] Relaţia ară (A 1,..., A ; R) cu graficul R = se umeşte relaţie vidă. 3] Relaţiile are (A 1,..., A ; R) şi (B 1,..., B m ; S) sut egale, otat (A 1,..., A ; R) = (B 1,..., B m ; S), dacă şi umai dacă, avem: = m; A 1 = B 1,..., A = B m şi R = S. 4] Relaţia ară (A 1,..., A ; R 1 ) este iclusă î relaţia (A 1, A 2,..., A ; R 2 ) dacă R 1 R 2 şi se va ota pri (A 1,...,A ;R 1 ) (A 1,...,A ; R 2 ) sau simplu R 1 R 2. Defiiţia I.13. Fie date relaţiile -are (A 1,...,A ;R 1 ) şi (A 1,...,A ; R 2 ). 1] Itersecţia relaţiilor -are este relaţia -ară (A 1,..., A ;R 1 R 2 ) ude R 1 R 2 este itersecţia graficelor celor două relaţii. 2] Reuiuea relaţiilor -are date este relaţia -ară: (A 1,..., A ; R 1 R 2 ) ude R 1 R 2 este reuiuea graficelor celor două relaţii. 3] Complemetara relaţiei -are (A 1,..., A ; R) este relaţia -ară (A 1,..., A ; cr) ude cr este complemetara graficului R dată pri: { 1 2 1 2 1 2 } (I.17) (,..., )... (,..., ) cr= a a a A A A a a a R Relaţii biare Î cazul = 2 se obţie clasa relaţiilor biare petru care rămâ valabile toate defiiţiile date petru relaţii -are cu observaţia că operaţiile 11

1] 4] di defiiţia I.12 şi 1] 3] di defiiţia I.13 sut traspuse di teoria multimilor. Vom ota mulţimile pri A, B,..., X, Y,... şi relaţiile biare pri ρ, σ, τ,..., deci ρ = (A, B; R) cu R graficul relaţiei ρ(r A B). Fie ρ = (A, B;R) o relaţie biară şi vom ota (a, b) R pri aρb, citit a î relaţia ρ cu b şi avem: (I.18) aρb (a, b) R petru ρ = (A, B;R). Petru relaţia biară ρ = (A, B;R) se asociază mulţimile: (I.19) dom ρ = {a A b B; b B (a ρ b)} codom ρ = {b B a A; a A (a ρ b)} umite domeiul şi respectiv codomeiul relaţiei ρ. Defiiţia I.14. Fie ρ = (A, B; R 1 ) şi σ = (B, C; R 2 ) relaţii biare. 1) Produsul sau compuerea relaţiilor ρ şi σ este o relaţie biară otată σ ρ = (A, C; R) ude: (I.20) R = {(a, c) A C b B, (a ρ b) (b σ c)} 2) Iversa relaţiei biare ρ = (A, B; R 1 ) este o relaţie biară otată: ρ - 1 = (A, B; (I.21) 1 R 1 ) ude: 1 R 1 ={(b, a) B A (a, b) R 1 }. 1. Di defiiţia I.12. şi relaţia (I.19) rezultă că avem: (I.22) dom ρ -1 = codom ρ; codom ρ -1 = dom ρ. 2. Petru relaţii biare ρ = (A, B; R 1 ) şi σ = (C, D; R 2 ) se defieşte compuerea σ ρ pri: (I.23) R = {(a, d) A D b B C; (a, b) R 1, (b, d) R 2 } deci σ ρ = (A, D; R); dacă B C =, atuci R = şi σ ρ este relaţia vidă. 12

3. Petru relaţiile biare ρ 1 = (A, B; R 1 ) şi ρ 2 = (A, B; R 2 ) se defiesc operaţiile de reuiue, itersecţie şi complemetară, astfel: (A, B; R 1 R 2 ); (A, B; R 1 R 2 ); (A, B; cr 1 ) ude cr 1 = {(a, b) A B (a, b) R 1 }. 4. Aceste operaţii biare au aceleaşi proprietăţi ca şi î cazul mulţimilor: asociativitate, comutativitate, distributivitate şi formulele lui De Morga. Teorema I.9. Compuerea relaţiilor biare este o operaţie algebrică asociativă, adică date: ρ = (A, B; R 1 ), σ = (B, C; R 2 ) şi τ = (C, D; R 3 ) avem: (I.24) τ (σ ρ) = (τ σ) ρ. Demostraţia tuturor propoziţiilor, lemelor şi teoremelor di acest paragraf se poate citi cu uşuriţă di bibliografia idicată ([24] pag. 49 79; [36]; [40]). 1. Compuerea relaţiilor biare u este î geeral comutativă, deci: σ ρ ρ σ. 2. Exemplu. Fie A = B = {0, 1} şi ρ = (A, A; R 1 ) cu R 1 = {(0,0), (1,0)} şi altă relaţie biară σ = (A, A; R 2 ) cu R 2 = {(0,0), (0,1)} şi avem σ ρ = =(A, A; R) cu R = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} iar ρ σ = =(A, A;R ) ude R = {(0,0)} deci σ ρ ρ σ. Teorema I.10. Oricare ar fi relaţiile biare ρ=(a, B; R 1 ) şi σ = (B, C; R 2 ) au loc proprietăţile: 1 (I.25) ( ρ ) 1 =ρ (I.26) ( ) 1 1 1 σ oρ =ρ o σ (I.27) (σ ρ) (X) = σ(ρ(x)); X dom ρ; ρ(x) = {b B a X; aρb} 13

(I.28) ρ (X 1 X 2 ) = ρ( X 1 ) ρ( X 2 ); X 1, X 2 dom ρ. (I.29) ρ (X 1 X 2 ) = ρ( X 1 ) ρ( X 2 ); X 1, X 2 dom ρ. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [36]). Observaţie: 1. Î formula (I.29) u are loc totdeaua egalitatea. 2. Exemplu. ρ = (R, R; R) cu R = {(x, y) R R y = x 2 } şi X 1 =(-1, 0] R, X 2 = [0,1) R X 1 X 2 = {0} ρ(x 1 X 2 )={0}; ρ(x 1 ) = [0,1), ρ(x 2 ) = [0,1) şi ρ( X 1 ) ρ( X 2 ) = [0,1) ρ(x 1 X 2 )={0}. 3. Petru două relaţii biare oarecare ρ=(a, B; R 1 ) şi σ=(a, B; R 2 ) î raport cu operaţiile de reuiue, itersecţie şi complemetară au loc formulele: 1 1 1 (I.30) ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 R1 R2 = R1 R2 R1 R2 = R1 R2 ( cr1) = c( R1 ) 4. Petru relaţiile biare ρ=(a, B; R 1 ) şi σ=(a, B; R 2 ), dacă R 1 R 2 şi cosiderăm X A, atuci R 1 (X) R 2 (X). Dacă X 1 X 2 A, atuci R 1 (X 1 ) R 1 (X 2 ). Defiiţia I.15. 1] Petru ρ = (A, B; R) şi X A, mulţimea ρ(x) ={b B a X (a ρ b)} se umeşte imagiea directă a mulţimii X pri relaţia ρ. 2] Petru Y B, mulţimea imagiea iversă a mulţimii Y pri relaţia ρ. atuci, avem: 1 ρ (Y) = {a A b B (aρ b)} se umeşte Teorema I.11. Fie ρ = (A, B; R) o relaţie biară şi Y 1, Y 2 B (I.31) dacă Y 1 Y 2 ρ 1 (Y 1 ) 1 ρ (Y 2 ) (I.32) 1 ρ ( Y 1 Y 2 ) ρ 1 (Y 1 ) 1 ρ (Y 2 ) (I.33) 1 ρ (Y 1 Y 2 ) = 1 ρ (Y 1 ) 14 1 ρ (X 2 )

(I.34) 1 ρ (B) = A. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [36], [40]). Relaţii biare omogee O relaţie biară ρ = (A, B; R) este omogeă dacă şi umai dacă A = B, deci ρ = (A, A; R) = (A; R) cu R A A ot = A 2. Vom pue î evideţă clase speciale de relaţii omogee petru care rămâ valabile toate rezultatele teoretice prezetate î celelalte paragrafe. Relaţia omogeă ρ = (A; R) se umeşte relaţie biară pe mulţimea A; î acest caz se spue că mulţimea A este îzestrată cu o relaţie biară ρ. 1. Elemetul (a, b) A 2 ((a, b) ρ) se va ota: a ρ b şi se va spue, că a este î relaţia ρ cu b. 2. Egalitatea pe mulţimea A, otată A = {(a, a) a A} se umeşte diagoala mulţimii A A şi A este o relaţie biară pe A. pe A. Defiiţia I.16. Fie A o mulţime oarecare evidă şi ρ o relaţie biară 1) Relaţia ρ este reflexivă dacă a A, avem (a ρ a). 2) Relaţia ρ este simetrică dacă ( a, b A) (a ρ b), atuci (b ρ a). 3) Relaţia ρ este atisimetrică dacă a, b A cu (a ρ b) (b ρ a), atuci a = b. 4) Relaţia ρ este trazitivă dacă a, b, c A cu (a ρ b) (b ρ c), atuci (a ρ c). 15

Exemple: 1. Fie X o multime oarecare, atuci ρ = X este o relaţie biară pe X cu proprietăţile: reflexivă, simetrică şi trazitivă care rezultă di defiiţia lui X şi di defiiţia I.16. 2. Fie X o mulţime oarecare şi ρ = (X; R) cu R = X X atuci ρ este o relaţie biară: reflexivă, simetrică şi trazitivă. 3. Fie X = R mulţimea umerelor reale şi relaţia biară ρ = {(x, y) (x R) (y R) (x - y Z)}; aceasta are proprietăţile: reflexivă, simetrică şi trazitivă. 4. Fie D mulţimea dreptelor di pla şi relaţia biară ρ={(d 1,d 2 ) D D d 1 d 2 } care are proprietăţile: reflexivă (dacă se cosideră d 1 d 1 ), simetrică şi trazitivă. 5. Di defiiţia I.16. se pot formula codiţii echivalete petru caracterizarea relaţiilor biare omogee: reflexive, simetrice, atisimetrice, trazitive. Teorema I.12. Fie ρ = (A; R) o relaţie biară omogeă pe A. Atuci au loc afirmaţiile: (i) ρ = (A; R) este reflexivă A R; (ii) ρ = (A; R) este simetrică ρ deci ρ = 1 ρ. 1 ρ (sau R R -1 1 ) ρ ρ şi (iii) ρ = (A; R) este atisimetrică R R -1 A 1 ρ = (A; R -1 ) R -1 = {(b, a) A A (a, b) R} (iv) ρ = (A; R) este trazitivă ρ ρ ρ. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [36], [42]). 16

Teorema I.13. Dacă relaţia ρ=(a; R) este reflexivă şi atisimetrică, atuci R R -1 = A. Teorema I.14. Dacă relaţia ρ = (A; R) este reflexivă şi trazitivă, atuci ρ ρ = ρ. Teorema I.15. Relaţia omogeă pe o mulţime A, ρ = (A;R) este: 1 reflexivă, simetrică, atisimetrică, trazitivă, dacă şi umai dacă, ρ = =(A; R -1 ) are aceste proprietăţi. Demostraţie: ρ reflexivă A ρ A ρ 1 ρ simetrică ρ = 1 ρ 1 ρ ρ 1 ρ reflexivă. 1 ρ simetrică. ρ atisimetrică R R -1 A R -1 R A ρ trazitivă ρ ρ ρ (ρ ρ) -1 ρ 1 1 ρ trazitivă. Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40]). 1. Fie ρ=(a; R) o relaţie biară pe A şi X A, atuci ρ X 1 ρ atisimetrică. =(X;R (X X)) este o relaţie pe X umită relaţie idusă de ρ pe X. Relaţia ρ, î acest caz, se umeşte extesiuea relaţiei ρ de la X la A. X 2. Dacă ρ este reflexivă, simetrică, atisimetrică, trazitivă atuci relaţia ρ idusă de ρ pe X are aceleaşi proprietăţi. X Vom pue î evideţă clase speciale de relaţii omogee care itervi î studiul şi aplicaţiile matematicii î alte ştiiţe. Defiiţia I.17. Relaţia ρ=(a;r) reflexivă şi trazitivă se umeşte relaţie de preordie pe A. Mulţimea A împreuă cu relaţia de preordie se umeşte mulţime preordoată. Exemplu: Relaţia de divizibilitate î Z este o relaţie de preordie pe Z. 17

1. Iversa uei relaţii de preordie este tot o relaţie de preordie (teorema I.15). 2. Relaţia idusă de o relaţie de preordie ρ = (A; R) pe X A, deci ρ X este tot o relaţie de preordie. Defiiţia I.18. 1] O relaţie de preordie ρ = (A, R) simetrică se umeşte relaţie de echivaleţă pe A. 2] O relaţie de preordie ρ = (A; R) atisimetrică se umeşte relaţie de ordie pe A. Relaţii de echivaleţă O relaţie biară omogeă ρ = (A; R) este o relaţie de echivaleţă pe A, dacă şi umai dacă, ρ este reflexivă, simetrică şi trazitivă şi coform teoremei I.15 se caracterizează pri formulele: idusă 1 (I.35) ( A ρ) ( ρ = ρ) (ρ ρ = ρ) Dacă ρ = (A; R) este o relaţie echivaletă pe A şi X A, atuci relaţia ρ este tot o relaţie de echivaleţă pe X. X Exemple: 1) Petru A, relaţia ρ = A este o relaţie de echivaleţă pe A. 2) Fie T mulţimea triughiurilor di pla şi relaţia biară ρ={( 1, 2 ) T T 1 cogruet cu 2 } este o relaţie de echivaleţă pe T. Defiiţia I.19. Fie ρ = (A; R) o relaţie de echivaleţă pe A. 1] Dacă x A, se umeşte clasă de echivaleţă a elemetului x, mulţimea otată pri [x] ρ şi care cotie toate elemetele di A echivalete cu x, deci: 18

(I.36) [x] ρ = { a a A (a ρ x)} 2] Se umeşte mulţime factor sau mulţime cât a lui A pri relaţia ρ, otată A ρ, mulţimea defiită pri: (I.37) A ρ = {[x] ρ x A} 1. Clasele de echivaleţă [x] ρ se mai otează, câd u este pericol de cofuzie, pri: [x] sau ˆx sau Cx etc. 2. Mulţimea A ρ are ca elemete clasele de echivaleţă ale elemetelor x A î raport cu relaţia de echivaleţă ρ şi elemetul x se umeşte reprezetat al clasei de echivaleţă [x] ρ. Defiiţia I.20. Fie F o familie ale cărei elemete sut mulţimi, otate: X, Y, Z,..., adică F este o familie de mulţimi. 1] Se umeşte reuiuea mulţimilor di F, mulţimea: U (I.38) X = x X F ( x X) X F { } 2] Se umeşte itersecţia mulţimilor di F, mulţimea: { } I. (I.39) X = x X F ( x X) X F 1. Reuiuea mulţimilor di F, U X este mulţimea elemetelor x care X F aparţi cel puţi uei mulţimi X F. 2. Itersecţia mulţimilor di F, I X este mulţimea elemetelor x care X F aparţi tuturor mulţimilor X F. 19

3. Dacă A, B sut două mulţimi oarecare se poate cosidera familia F ={A, B} şi atuci U X, X F I X sut chiar mulţimile A B, A B. X F Teorema I.16. Fie A o mulţime şi ρ o relaţie de echivaleţă pe A, atuci au loc afirmaţiile: (i) x [x], x A (ii) [x] = [y] x ρ y; x, y A (iii) [x] [y] = (xρ y); x, y A (iv) A= U[ x]. x A Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40], [42]). Exemplu: A = R, ρ defiită pri def xρy x y Z care este reflexivă, simetrică şi trazitivă, deci ρ este o relaţie de echivaleţă pe R. Mulţimea factor R ρ ={[x] ρ x R} ude [x] ρ ={y y R (yρx)}= {y y R (x- y Z)} = { x+ m m Z}. Defiiţia I.21. Fie A o mulţime oarecare şi F o familie de mulţimi X cu X A, deci F P(A). Mulţimea F se umeşte partiţie a lui A dacă satisface codiţiile: (1) X F, X ; (2) X, Y F cu X Y atuci X Y = (3) A = U X. X F Exemple: 1. A = Q mulţimea umerelor raţioale şi F ={[, +1) Z} ude [, +1) = {x Q x< +1} = X. Avem: X şi X ; petru m cu,m Z şi X=[, +1) Y=[m, m+1), X Y =. Dacă x Q, după axioma 20

lui Arhimede există k Z a. î. k x < k+1 şi avem x U X = Q, deci F este o partiţie petru Q. 2. Petru orice mulţime A şi ρ o relaţie de echivaletă pe A, după codiţia (iv) di teorema I.16, mulţimea A ρ este o partiţie petru A. Teorema I.17. Fie F o partiţie a mulţimii A. Atuci mulţimea ρ A A dată pri: (I.40) ρ = {(x, y) A A X F (x X) (y X)} este o relaţie de echivaleţă pe A. Demostraţia î bibliografie ([24], [40], [42]). 1. Vom ota pri R(A) = {ρ ρ relaţie de echivaleţă pe A} mulţimea relaţiilor de echivaleţă pe A şi pri Part(A) = { F F partiţie a lui A} mulţimea partiţiilor lui A. 2. Fucţia ϕ dată pri: (I.41) ϕ : R(A) Part (A) X F ϕ ρ R(A) ϕ(ρ) = A ρ Part(A) şi fucţia Ψ dată pri: (I.42) Ψ : Part (A) R(A) Ψ Part (A) Ψ Ψ(F) = ρ ρ dat pri (I.40) sut iverse ua celeilalte deoarece sut bijective. 3. Costatăm astfel, că există o corespodeţă bijectivă ître mulţimea relaţiilor de echivaleţă pe A şi mulţimea partiţiilor lui A, adică: Dată pe A o relaţie de echivaleţă ρ, ei îi corespude mulţimea cât A ρ care este o 21

partiţie pe A şi, reciproc, dată o partiţie F a lui A, se defieşte o relaţie biară ρ pri (I.40) care este o relaţie de echivaleţă pe A. Relaţii de ordie O relaţie de preordie ρ pe A atisimetrică se umeşte relaţie de ordie pe A şi deci, ρ este o relaţie biară omogeă: reflexivă, trazitivă şi atisimetrică. După teorema I.15 o relaţie de ordie ρ pe A este caracterizată pri formulele: (I.43) A A; ρ ρ -1 A ; ρ ρ = ρ. O relaţie de ordie ρ pe A se otează pri simbolul care se citeşte mai mic sau egal şi iversa relaţiei de ordie se otează pri care se citeşte mai mare sau egal şi este tot o relaţie de ordie pe A. Defiiţia I.22. 1] Fie A, o relaţie de ordie pe A este o relaţie de ordie parţială, iar cuplul (A, ) se umeşte mulţime ordoată, mai exact mulţime parţial ordoată. 2] Fie A şi o relaţie de ordie pe A. Relaţia de ordie este o relaţie de ordie totală pe A dacă petru a, b A are loc cel puţi ua ditre situaţiile: a b sau b a. Mulţimea (A, ) se umeşte mulţime total ordoată sau mulţime liiar ordoată. 1. (A, ) este total ordoată, dacă şi umai dacă, (A, ) este total ordoată. 2. O relaţie de ordie ρ = (A, R) pe multimea A este o relaţie de ordie totală pe A, dacă şi umai dacă, R R -1 = A A echivalet cu ρ ρ -1 = =A A. 22

3. O relaţie de ordie ρ pe A este o relaţie de ordie totală, dacă şi umai dacă, oricare două elemete di A sut comparabile pri ρ. 4. Exemple: 1) Petru A = N relaţia defiită pri x, y N ( x y) def k N a. î. y = kx este o relaţie de ordie pe N. 2) Fie E o mulţime oarecare şi P(E) mulţimea părţilor lui E; relaţia defiită pri: A, B P(E), A B def A B este o relaţie de ordie pe P(E) şi aume o relaţie de ordie parţială. 5. Fie (A, ) o mulţime partial ordoată şi ρ o relaţie de echivaleţă pe A Relaţia de echivaleţă ρ este compatibilă cu relaţia de ordie " ", dacă şi umai dacă: (I.44) ( x x ) ( y y ) ( x y ) ( x y ) ρ ρ x1, x2, y1, y2 A 1 2 1 2 1 1 2 2 Mulţimea cât A ρ este ordoată î acest caz cu o relaţie de ordie defiită pri: def x y x x, y y a.î. x y (I.45) [ ] [ ] [ ] [ ] care pri calcul direct se arată că este reflexivă, atisimetrică şi trazitivă. relaţia biară Defiiţia I.23. 1] Fie (A, ) o mulţime parţial ordoată şi X A. (I.46) x, y X, x y x y pe A. X def se umeşte relaţie de ordie parţială idusă pe X de relaţia " " dată pe A. 2] Dacă " " este o relaţia de ordie totală pe A, atuci " X " este o relaţie de ordie totală pe X.. def 23

Teorema I.18. Fie (A, ) o mulţime parţial ordoată oarecare. Relaţia biară otată "<" citită "mai mic" şi defiită pri: def (I.47),, ( ) ( are proprietăţile: x y A x< y x y x y ( ) ( ( )) (I.48) x < x x< x (ireflexivitate) (I.49) ( x < y) ( y< x) u au loc simulta (asimetrie) (I.50) ( x < y) ( y< z) ( x< z) (trazitivitate) Defiiţia I.24. Relaţia de ordie "<" defiită pri (I.47) se umeşte relaţie de ordie strictă asociată relaţiei de ordie " ". Coseciţa I.2. Fie (A, <) o mulţime strict ordoată, atuci relaţia biară " " defiită pri: def x, y A, x y x< y ( x= y) (I.51) ( ) este o relaţie de ordie parţială pe A. Defiiţia I.25. Fie (A, ) o mulţime parţial ordoată oarecare. 1] U elemet a A se umeşte prim elemet sau cel mai mic elemet, dacă petru x A, avem: x a. U elemet b A se umeşte ultim elemet sau cel mai mare elemet, dacă petru x A, avem: x b. 2] U elemet a A este elemet miimal dacă x A astfel ca: x a, avem x = a. U elemet b A este elemet maximal dacă x A astfel ca: b x, avem x = b. ) 24

1. Elemetul a A este prim elemet petru (A, ), dacă şi umai dacă, a A este ultim elemet petru (A, ). U elemet a A este elemet miimal î mulţimea ordoată (A, ) dacă şi umai dacă, a A este elemet maximal petru mulţimea ordoată (A, ). 2. Dacă a A este prim elemet petru mulţimea ordoată (A, ) atuci a A este elemet miimal. Dacă b A este ultim elemet petru mulţimea ordoată (A, ), atuci b A este elemet maximal. 3. Dacă (A, ) este o mulţime total ordoată, atuci A are cel mult u elemet miimal şi respectiv, cel mult u elemet maximal. Dacă a 1,a 2 A sut elemete miimale petru (A, ) total ordoată, atuci ele sut comparabile, deci a 1 a 2 sau a 2 a 1 şi di defiiţia precedetă rezultă î ambele cazuri a 1 = a 2. 4. Exemple: 1) Fie A o mulţime oarecare care coţie cel puţi două elemete şi X = P(A) -. Petru mulţimea parţial ordoată (X, ) pri relaţia de icluziue, elemetele miimale sut submulţimile formate ditr-u sigur elemet di A; X u are prim elemet. Mulţimea Y = P(A) {A} este ordoată pri relaţia de icluziue, (Y, ) şi are elemete maximale, mulţimi de forma Z = A {x} cu x A; Y u are ultim elemet. 2) A = N mulţimea umerelor aturale cu relaţia de ordie uzuală " " ( m dacă există k N a. î. m = + k) are u prim elemet pe x = 0 şi u are u ultim elemet. 25

Defiiţia I.26. Fie (A, ) mulţime ordoată şi X A. 1] U elemet a A se umeşte miorat petru mulţimea X dacă x X, avem a x; X se umeşte mulţime miorată. 2] U elemet b A se umeşte majorat petru mulţimea X dacă x X, avem x b; X se umeşte mulţime majorată. 3] Mulţimea X se umeşte mulţime mărgiită dacă şi umai dacă, X este simulta miorată şi majorată. Defiiţia I.27. Fie (A, ) o mulţime ordoată şi X A. 1) U elemet g A se umeşte margiea iferioară a mulţimii X dacă g este cel mai mare miorat al lui X, otat pri g=if X sau g= if{x x X} şi X este o mulţime mărgiită iferior î A. 2) U elemet l A se umeşte margiea superioară a mulţimii X dacă l este cel mai mic majorat al lui X, otat pri l = sup X sau l= sup{x x X} şi X este o mulţime mărgiită superior î A. 1) Dacă (A, ) este o mulţime ordoată şi X A admite if X A respectiv sup X A, atuci if X este ultimul elemet al mulţimii mioraţilor lui X şi respectiv sup X este primul elemet al mulţimilor majoraţilor lui X. 2) Dacă (A, ) este o mulţime ordoată şi X A cu X admite if X şi sup X, atuci avem if X sup X. 3) Fie (A, ) o mulţime ordoată şi X, Y P(A) petru care există if X, sup X, if Y, sup Y. Dacă X Y, avem: (I.52) if Y if X; sup X sup Y. 4) Fie E o mulţime evidă dată, P(E) şi relaţia de ordie " ", deci (P(E), ) o mulţime ordoată. Dacă F P(E), deci F ={X X P(E)}= 26

= {X X E} atuci majoraţii lui F sut submulţimi ale lui E care iclud toate mulţimile di F şi F are margie superioară: supf = U X. X F Mioraţii lui F sut submulţimile lui E care sut icluse î toate submulţimile lui F şi F are o margie iferioară : if F = I X. X F 5) Dacă A, B sut două mulţimi oarecare, atuci X={, A, B} cu relaţia de ordie " ", (X, ) are margie iferioară: if X = A B şi margie superioară sup X = A B. Teorema I.19. Fie (A, ) o mulţime ordoată şi X A. Mulţimea X este mărgiită î A, dacă şi umai dacă, există supx A şi if X A. Î studiul mulţimilor ordoate, se admite o propoziţie ca făcâd parte di cadrul î care sut tratate toate problemele folosid teoria mulţimilor şi aume: axioma alegerii sau formulările sale echivalete axioma lui Zor sau axioma lui Zermelo. Vom da următorul euţ al axiomei alegerii: Axioma alegerii ([36]). Fie F o familie (clasă) de mulţimi evide disjucte două câte două, atuci există o mulţime A astfel îcât orice mulţime X F are itersecţie evidă cu A şi mulţimea X A este formată ditr-u sigur elemet, deci X A = {a}. Teorema I.20. Dacă (A, ) este o mulţime ordoată, atuci următoarele codiţii sut echivalete: (i) Codiţia miimalităţii. Fiecare submulţime X A are cel puţi u elemet miimal î X. (ii) Codiţia iductivităţii. Orice submulţime X A care are proprietăţile: I. X coţie toate elemetele miimale ale lui A. 27

II. Dacă ((a A) ({ x A x< a} X)) a X atuci mulţimea X coicide cu A. Demostraţie: Fie X (A, ) care verifică codiţia iductivităţii (ii) şi X A. Mulţimea A X are cel puţi u elemet miimal şi fie acesta x. Elemetul x u este miimal î A deoarece după (I) di (ii), X coţie toate elemetele miimale di A. Dacă x este miimal petru A X, avem: (y A) (y< x) y X. Mulţimea X verifică şi (II) di (ii), deci x X, ceea ce cotrazice ipoteza: x (A-X). Dacă X are proprietatea (ii) atuci X are şi proprietatea (i), adică (i) (ii). Petru a dovedi implicaţia (ii) (i) se foloseşte axioma alegerii şi u vom demostra această implicaţie care presupue şi cuoaşterea altor oţiui di teoria geerală a mulţimilor ordoate ([36]). Defiiţia I.28. Fie (A, ) o mulţime parţial ordoată. Mulţimea (A, ) se umeşte mulţime bie ordoată dacă orice submulţime evidă X A are u prim elemet. 1. Dacă (A, ) este o mulţime bie ordoată, atuci (A, ) este o mulţime total ordoată. 2. Teorema I. 20 pri codiţia iductivităţii (ii) permite folosirea metodei de demostraţie pri iducţie, î cazul mulţimilor ordoate care verifică codiţia miimalităţii (i). 3. Clasa mulţimilor ordoate care verifică codiţia miimalităţii (i) este o geeralizare a clasei mulţimilor ordoate fiite. 4. Mulţimea umerelor aturale N cu relaţia de ordie " " verifică codiţia miimalităţii (i) şi (N, ) este o mulţime total ordoată. 28

5. O mulţime total ordoată care verifică şi codiţia miimalităţii (i) este o mulţime bie ordoată, deci (N, ) este bie ordoată. Metoda de demostraţie pri iducţie se poate aplica mulţimilor bie ordoate şi este cuoscută sub umele de iducţie trasfiită. U caz particular al iducţiei trasfiite este metoda iducţiei complete aplicată î cazul mulţimii A = N (mulţimea umerelor aturale). Pricipiul iducţiei trasfiite se poate aplica după următorul algoritm: Dacă (A, ) este o mulţime bie ordoată ifiită şi P este o proprietate dată, petru a verifica dacă toate elemetele mulţimii A posedă proprietatea P se arată că: a) elemetul prim x 0 a lui A are proprietatea P; b) dacă petru x A, toate elemetele y A cu y < x au proprietatea P, atuci şi elemetul x are această proprietate P. Exemple: 1) Fie N mulţimea umerelor aturale şi ρ relaţia de divizibilitate: ρ = {(, m) N N m} este o relaţie de ordie parţială pe N. 2) Relaţia de divizibilitate î mulţimea umerelor îtregi Z este umai o relaţie de preordie deoarece, avem: ( a b) ( b a) a = b; a =± b. 3) Mulţimea umerelor reale R cu relaţia de ordie aturală " " (x y dacă k N a. î. y = x + k) este mulţime total ordoată. R + = {x R x 0} R este total ordoată cu relaţia de ordie idusă, " + R ", de ordie aturală " " dată de R. 29

3. Fucţii O oţiue fudametală a matematicii modere este cea de "fucţie" care va fi defiită cu ajutorul relaţiilor biare. Defiiţia I.29. Fie X, Y două mulţimi şi f = (X, Y;G) o relaţie ître elemetele lui X şi elemetele lui Y. Relaţia biară f = (X, Y;G) se umeşte relaţie fucţioală sau fucţie sau aplicaţie sau operaţie sau trasformare de la mulţimea X la mulţimea Y dacă G are proprietăţile: (I) Petru x X, y Y a. î. (x, y) G (II) Dacă (x, y), (x, y 1 ) G atuci y = y 1 1. Codiţia (I) este codiţia de existeţă şi codiţia (II) este codiţia de uicitate a elemetului y Y a. î. petru x X să avem (x, y) G. 2. Mulţimea X se umeşte domeiul de defiiţie al fucţiei f iar mulţimea Y se umeşte domeiul valorilor sau codomeiul fucţiei. Mulţimea G se umeşte graficul fucţiei f. 3. Dacă f = (X, Y;G) este o fucţie şi x X u elemet oarecare, mulţimea {y} cu y Y a. î. (x, y) G se otează pri simbolul f(x)={y} sau simplu f(x) = y. Elemetul y Y se umeşte imagiea lui x pri fucţia f sau y este asociat lui x pri f sau y corespude lui x pri f. 4. Folosid coveţia f(x)={y} petru (x, y) G, graficul fucţiei f este mulţimea G = {(x, f(x)) x X}. 5. O fucţie f = (X, Y;G) este determiată de: domeiul de defiiţie X, codomeiul Y şi graficul său G. 6. Graficul lui f : G = {(x, f(x)) x X} X Y se poate preciza idicâd petru x X elemetul y Y a. î. y = f(x) sau pri puerea î evideţă a 30

uei proprietăţi (reguli sau procedeu) pri care elemetului x i se asociază elemetul uic y = f(x). Atuci câd u este pericol de cofuzie, fucţia f se idetifică cu proprietatea care face ca elemetului x X să-i corespudă elemetul uic y Y cu y = f(x) şi se folosesc otaţiile: f : X Y sau f X Y sau x f(x), x X. Exemple: 1. Fucţia f = (X, X;G) cu G = X, otată 1 X = (X, X; x ) se umeşte fucţie idetitate sau fucţie idetică a mulţimii X şi avem: x X, 1 X (x)= x. 2. Dacă X = fucţia idetică a mulţimii, 1 = (, ; ) se umeşte fucţie vidă. 3. Fie X o mulţime oarecare, A X şi fucţia i = (A, X; A ) cu i(x)=x, x A se umeşte fucţia (aplicaţia) icluziue a mulţimii A î X. Dacă A =, avem i = (, X; ). Se mai foloseşte otaţia i : A X cu i(x) = x. 4. Fie X, Y două mulţimi oarecare cu Y şi y 0 Y u elemet fixat. Relaţia biară f = (X, Y; G) cu G={(x, y 0 ) x X} este o fucţie umită fucţia costată asociată elemetului y 0 şi avem: f(x)=y 0, x X. 5. Fie X o mulţime, A X şi relaţia biară f A = (X,{0,1};G) cu 0; x A f( x) = este o fucţie umită fucţia caracteristică a mulţimii 1; x A A. 6. Fie f : X Y o fucţie şi se poate da o "iterpretare sistemică" acestei oţiui pri cosideraţiile următoare: elemetele x X le umim itrări, elemetele y Y le umim ieşiri şi f apare ca procedeul pri care fiecărei itrări x X îi corespude ieşirea y=f(x) şi avem u sistem itrare ieşire: X Y f. 31

Defiiţia I.30. Fie date fucţiile f = (X, Y;F) şi g = (A, B;G). Fucţiile f şi g sut egale dacă şi umai dacă, avem: X = A, Y = B şi F =G echivalet cu f (x) = g(x) petru x X. Teorema I.21. Dacă f este o fucţie, atuci avem: (I.53) G = {(x, y) (x X) (y Y) (y = f(x))}. Demostraţiile petru toate propoziţiile, lemele şi teoremele di acest paragraf se pot cosulta di bibliografia idicată ([24] pag 80 107, [36], [42]). 1. Di teorema precedetă rezultă că petru a defii o fucţie f este suficiet să se dea: domeiul, codomeiul şi regula după care fiecărui x X i se asociază u elemet uic y Y cu y = f(x). 2. Di aceeaşi teoremă regăsim "defiiţia clasică" a oţiuii de fucţie aşa cum este prezetată şi î maualele de matematică di liceu. Teorema I.22. Fie A, B două mulţimi oarecare şi A B produsul lor cartezia. Atuci relaţiile biare de la A B la A şi respectiv de la A B la B care asociază fiecărei perechi (x, y) prima compoetă x şi respectiv a doua compoetă y sut fucţii: (I.54) ( ) ( ) pa pa : A B Asau x, y x pb pb : A B B sau x, y y 1. Fucţiile p A şi p B date pri (I.54) se umesc proiecţiile caoice ale produsului cartezia A B pe A respectiv B, otate: p ( xy, ) = x, p (, ) B xy= y. 2. Fie f : A B şi g : X Y două fucţii. Relaţia biară: (I.55) f g : A X B Y cu (f g)(a, x) = (f(a), g(x)) 32 A

este o fucţie umită produsul cartezia al fucţiilor f şi g. Defiiţia I.31. Fie f : X Y o fucţie şi A X. Relaţia biară f A care asociază fiecărui elemet x A elemetul f(y) Y este o fucţie umită restricţia fucţiei f la mulţimea A. Fucţia f î acest caz, este o prelugire a fucţiei f A de la mulţimea A la mulţimea X cu A X. 1. Petru f : X Y şi A X cu f A : A Y fucţie, avem f A (x)= f(x), x A. Restricţia fucţiei idetitate 1 X : X Y la submulţimea A X este fucţia de icluziue (ijecţie caoică a lui A î X), i: A X cu i A = 1. X A 2. Restricţia uei fucţii f : X Y la o submulţime A X, f A, este uică. Prelugirea uei fucţii de la A X la mulţimea X u este uică. Teorema I.23. Dacă f = (X, Y; F) şi g = (Y, Z;G) sut două fucţii, atuci relaţia biară: ( ) gof ( X, Z, GoF) o = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( go f )( x) = g f ( x), x X = I.56 G F x, z y Y x, y F y, z G { } este o fucţie umită compuerea fucţiilor g şi f. Coseciţa I.3. (i) Dacă f = (X, Y; F), g = (Y, Z; G), h = (Z, U; H) sut fucţii atuci avem: ( h g) f = h (g f) adică, compuerea fucţiior este o operaţie asociativă. (ii) Compuerea fucţiilor u este, î geeral, o operaţie comutativă, adică: g f f g. Teorema I.24. Dacă f = (X, Y; G) este o fucţie atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: 33

(i) Relaţia biară f = ( Y, X; G ) ude 1 1 (I.57) 1 G este fucţie. (ii) = {(y, x) (x, y) G} f o f = 1; f o f = 1. 1 1 Y X 1. Dată fucţia f = (X, Y; G), atuci fucţia f = ( Y, X; G ) 1 1 1 cu G dată pri (I.57) se umeşte fucţia iversă a fucţiei f. 2. Fie f : X Y o fucţie şi A X, atuci restricţia lui f la mulţimea A este dată pri: (I.58) f = f oi A ia : A X A compuerea fucţiei f cu fucţia icluziue i A. Defiiţia I.32. Fie f : X Y o fucţie şi A X o submulţime a domeiului său de defiiţie X. 1] Mulţimea: (I.59) f(a) = {y ( x A) (y = f(x))} sau f(a) ={ f(x) x A} se umeşte imagiea directă a submulţimii A a lui X pri fucţia f sau imagie lui A pri f sau mulţimea valorilor lui f pe A. 2] Mulţimea f(x) se umeşte imagiea fucţiei f sau mulţimea valorilor fucţiei f, otată pri Imf. afirmaţii: Teorema I.25. Fie f: X Y o fucţie, atuci au loc următoarele (I.60) f ( ) = (I.61) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ); A 1, A 2 P(X) (I.62) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ); A 1, A 2 P(X) 34

(I.63)A 1 A 2 f (A 1 ) f (A 2 ); A 1, A 2 P(X) (I.64) f(x) = {y ( x X) (y = f(x))}. Demostraţia î bibliografie ([17], [24], [36], [38]). Defiiţia I.33. Fie f: X Y o fucţie şi B Y. Mulţimea (I.65) f -1 (B) = {x (x X) ( f(x) B)} se umeşte imagiea iversă a submulţimii B a lui Y pri fucţia f sau preimagiea lui B pri f sau cotraimagiea lui B pri f sau imagiea reciprocă a lui B pri f. Teorema I.26. Fie f: X Y o fucţie, atuci au loc următoarele afirmaţii (I.66) f - 1 ( ) = (I.67) Dacă B 1 B 2 f - 1 (B 1 ) f - 1 (B 2 ); B 1, B 2 P(Y) (I.68) f - 1 (B 1 B 2 ) = f - 1 (B 1 ) f - 1 (B 2 ); B 1, B 2 P(Y) (I.69) f - 1 (B 1 B 2 ) = f - 1 (B 1 ) f - 1 (B 2 ); B 1, B 2 P(Y) (I.70) f - 1 (Y) = X. Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40]). Coseciţa I.4. 1] {A i i I} P(X) au loc relaţiile: U U I I Ai (I.71) f A = f ( A ); f A f ( ) i i i i I i I i I i I 2] {B j j J} P(Y) au loc relaţiile: 1 1 1 1 (I.72) f UBj = U f ( Bj) ; f I Bj = I f ( Bj j J j J j J j J Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40]). Coseciţa I.5. 1] Fie f : X Y şi g: Y Z fucţii şi A X, B Y, atuci au loc egalităţile: (I.73) (g f)(a) = g[f(a)] 35 )

go f ( B) = f g ( B). 2] (I.74) ( ) 1 1 1 Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40]). Teorema I.27. Fie f : X Y atuci au loc relaţiile: (I.75) f (A) - f (B) f (A- B), A, B P(X) (I.76) C Y f (A) f (C X A), petru A P(X) şi dacă f (X) = Y; (I.77) f - 1 (A - B) = f - 1 (A) - f - 1 (B); A, B P(Y); (I.78) f - 1 (C Y B) = C X f - 1 (B); B P(Y). Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [40]). 1. Fie f: X Y o fucţie cu graficul G = {(x,y) (x X) (y = f(x))}, deci f = (X, Y;G). Dacă B Y atuci f 1 (B) este imagiea iversă a mulţimii B pri fuctia f şi u trebuie cofudată cu mulţimea f 1 (B) ude f 1 este iversa relaţiei biare f, deci f 1 = (Y,X;G -1 ) cu 1 G = {(y, x) (x, y) G}. De asemeea imagiea iversă a lui B pri f, f 1 (B) u trebuie cofudată cu imagiea directă a mulţimii B pri relaţia biară f 1 = (Y, X; G -1 ) deoarece u s-a defiit imagiea directă a mulţimii pritr-o relaţie biară, ci umai pritr-o fucţie. 2. Dacă f = (X, Y;G) este fucţie astfel îcât f 1 = (Y, X; G -1 ) să fie fucţie, atuci f 1 (B) este imagiea directă a mulţimii B Y pri fucţia f 1. =(X, Y;G). Defiiţia I.34. Fie f: X Y o fucţie cu graficul G, deci f = 1] Fucţia f este ijectivă sau ijecţie, dacă şi umai dacă, x 1, x 2 X cu x 1 x 2 rezultă f(x 1 ) f(x 2 ) sau, logic echivalet: x 1, x 2 X cu x 1 = x 2 rezultă f(x 1 ) = f(x 2 ). 36

2] Fucţia f este surjectivă sau surjecţie, dacă şi umai dacă, petru y Y există u elemet x X astfel îcât y= f(x) sau logic echivalet f(x)=y. 3] Fucţia f este bijectivă sau bijecţie, dacă şi umai dacă, f este simulta ijectivă sau surjectivă. 4] Fucţia f este iversabilă, dacă şi umai dacă, există o fucţie g:y X a. î.: g f = 1 X, f g = 1 Y şi g se umeşte iversa fucţiei f, otată g = f 1 : Y X. loc afirmaţiile: Teorema I.28. Fie f: X Y şi g : Y Z, două fucţii atuci au (i) (ii) Dacă f şi g sut ijective atuci g f este ijectivă. Dacă f şi g sut surjective atuci g f este surjectivă. Dacă f şi g sut bijective atuci g f este bijectivă. Dacă g f este ijectivă atuci f este ijectivă. Dacă g f este surjectivă atuci g este surjectivă. Dacă g f este bijectivă atuci f este ijectivă şi g este surjectivă. Demostraţia î bibliografie ([12], [24], [36]). Teorema I.29. Fie f: X Y o fucţie cu f = (X,Y;G) atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: o fucţie; (I) f este iversabilă; (II) f este fucţie bijectivă; (III) relaţia biară f 1 = (Y,X;G -1 ) cu (IV) f o f = 1; f o f = 1. 1 1 Y X 1 G Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [41]). 37 = {(y, x) (x, y) G} este

1. Fucţia f: X Y este ijectivă, dacă şi umai dacă, petru orice două elemete disticte di X corespud elemete disticte di Y. 2. Fucţia f: X Y este surjectivă, dacă şi umai dacă, orice elemet di Y este imagiea uui elemet di X sau echivalet: orice elemet di Y are o preimagie î mulţimea X. 3. Fucţia f: X Y este ijectivă: dacă y Y, există cel mult u x X cu f(x)= y. Fucţia f: X Y este surjectivă: dacă y Y, există cel puţi u x X cu f(x) = y. Fucţia f: X Y este bijectivă: dacă y Y, există exact u x X cu f(x)=y. 4. Fie f: X Y o fucţie ijectivă şi f(x) = Y 0 Y mulţimea valorilor fucţiei f î Y. Fucţia f -1 : Y 0 X cu f -1 (y) = x dacă y =f(x) este iversa fucţiei f, privită astfel: f: X Y 0, Y 0 Y. Teorema I.30. O fucţie f: X Y este bijectivă, dacă şi umai dacă, petru y Y ecuaţia f(x) = y are soluţie uică, x X. 1. Fucţia f: N Z cu, par f( ) 2 = este bijectivă şi stabileşte + 1, impar 2 corespodeţă bijectivă (biuivocă) ître mulţimile N şi Z, deşi avem: N Z. 2. Dacă X şi Y sut mulţimi fiite cu X Y, u există o bijecţie de la X la Y. Dacă X şi Y sut mulţimi fiite şi f: X Y este o fucţie bijectivă, atuci mulţimile X şi Y au acelaşi umăr de elemete. 3. Î paragraful "Relaţii biare" s-au defiit fucţiile: 38

( ) ϕ: R ( A) Part( A), ϕ ρ = A, ρ R ( A) ρ (I.79) Ψ : Part( A) R ( A), Ψ ( F) =ρ ρ= x, y A A X F x X y X {( ) ( ) ( ) ( )} ude R(A) este mulţimea relaţiilor de echivaleţă pe A şi Part(A) mulţimea partiţiilor lui A. Teorema I.31. Fucţiile ϕ şi Ψ di (I.79) sut ua iversa celeilalte, adică: (I.80) Ψ oϕ= 1 ( ), ϕo Ψ= 1 R A Part( A) Demostraţia î bibliografie ([24], [36], [42]). 1. Di teorema precedetă rezultă că avem: 1 ϕ =Ψşi 1 Ψ =ϕ. 2. Î aceste codiţii, există o corespodeţă bijectivă ître mulţimea relaţiilor de echivaleţă pe o mulţime A şi mulţimea partiţiilor lui A. 4. Mulţimi de umere Problemele de evaluare a determiărilor catitative î studiul diverselor feomee di realitate se realizează cu ajutorul umerelor reale. Î şcoală se studiază operaţiile algebrice cu umere aturale, fracţii pozitive, umere îtregi, umere raţioale, umere reale şi umere complexe. Trecerea de le umere raţioale la umere reale se realizează pri itroducerea oţiuii de aproximare şi aume: orice umăr real se aproximează pri şiruri de umere raţioale scrise î forma zecimală. Mulţimea umerelor reale este o mulţime ale cărei elemete sut î aumite relaţii de comparare şi cu care se pot efectua calcule. Această 39

descriere ituitivă a umărului real s-a obţiut pri lărgirea treptată a oţiuii de umăr, determiată de ecesitatea rezolvării uor ecuaţii algebrice şi alte ceriţe, porid de la umărul atural şi realizâd şirul de icluziui: N Z Q R C. Vom prezeta calea iversă şi aume: se defieşte axiomatic mulţimea umerelor reale R şi apoi se arată că aceasta coţie submulţimile de umere: N, Z, Q. Î redactarea materialului teoretic şi aplicativ se presupu cuoscute oţiuile di algebră şi elemete de aaliză matematică care sut studiate î clasele a XI-a şi a XII-a di liceu. Defiiţia I.35. O mulţime K care coţie cu cel puţi două elemete, îzestrată cu două operaţii algebrice itere: "+" (aduarea), " " (îmulţirea) î raport cu care satisface axiomele: (I) (K, +) grup abelia; (II) (K*, ) grup abelia (K* = K-{0}, 0 elemet eutru: "+"); (III) Îmulţirea este distributivă faţă de aduare se umeşte corp comutativ, otat (K, +, ). 1. Axiomele (I) (III) cuprid 9 axiome care caracterizează structura algebrică de corp comutativ (K, +, ) cu elemetele eutre 0 (petru "+") şi 1 (petru " "). 2. Coseciţele imediate ale sistemului de axiome (I) (III) sut: uicitatea elemetelor eutre 0 şi 1, uicitatea elemetelor simetrice: - x (petru "+") şi x 1 sau 1 x (petru " "). 40

3. O mulţime (A, ) total ordoată î raport cu relaţia de ordie " " este mulţime complet ordoată dacă orice submulţime evidă şi majorată a sa are margie superioară î A. 4. Nu orice mulţime total ordoată este şi complet ordoată. Exemplu: (Q, ) cu " " relaţie de ordie uzuală este total ordoată şi luâd A Q cu A = { r Q r 3 < 2} se costată că A este majorată şi supa = 3 2 Q, deci Q u este complet ordoată. Defiiţia I.36. Fie (K, +, ) u corp comutativ şi " " o relaţie de ordie pe mulţimea K. 1] Corpul comutativ K îzestrat cu o relaţie de ordie care verifică axiomele: (O 1 ) (K, ) este mulţime total ordoată; (O 2 ) x, y K cu x y x + z y + z, z K; (O 3 ) x, y K cu x 0 şi y 0 xy 0 se umeşte corp ordoat, otat (K, +, ; ). 2] U corp ordoat (K, +, ; ) se umeşte corp complet ordoat dacă multimea (K, ) este complet ordoată. Teorema I.32. Îtr-u corp comutativ ordoat (K, +, ; ) au loc proprietăţile: (I.81) x, y K are loc ua şi umai ua ditre relaţiile: x < y, x = y, x > y; (I.82) 0 < 1; (I.83) 0 < x - x < 0; (I.84) x, y, z, u K cu (x y) (z u) ( x + z y + u); (I.85) x, y K cu x 0 şi y 0 xy 0; (I.86) x, y, z K cu x y şi z 0 xz yz. 41

Demostraţia î bibliografie ([36], [42]). Defiiţia I.37. Se umeşte "sistem de umere reale" sau "mulţime de umere reale", otată pri R, orice corp comutativ complet ordoat. Elemetele lui R se umesc umere reale şi R se umeşte corpul umerelor reale. Vom studia uele proprietăţi fudametale ale corpului complet ordoat R privid: structura algebrică, relaţia de ordie, submulţimi remarcabile ş.a. Vom preciza existeţa lui R şi uicitatea pâă la u izomorfism de corpuri complete ordoate. Defiitia I.38. Fie A R, A. A se umeşte mulţime iductivă dacă are proprietatea: (I.87) x A x + 1 A. Notăm pri A familia tuturor părţilor iductive ale lui R şi avem: A P(R). 1. Mulţimea A = {x R x 0} A, fapt ce rezultă imediat di proprietatea (I.87). 2. Orice itersecţie de mulţimi di A este u elemet di A. Defiiţia I.39. Mulţimea (I.88) N = I A se umeşte mulţime A A de umere aturale di R. Elemetele lui N se umesc umere aturale, otate pri:, m,... Teorema I.33. (Pricipiul iducţiei complete). Dacă A N are proprietăţile: (i) 0 A; (ii) Petru x A x + 1 A atuci A = N. 42

Demostraţie: Codiţiile (i), (ii) di ipoteză implică A A şi A N. Cum N = I A atuci N A şi deci A = N. A A Teorema I.34. Petru k N are loc reprezetarea: (I.89) {t N t k} = A. I A A k A Demostraţie: Formula de reprezetare (I.89) se poate pue sub forma uor icluziui: (I.90) k N, {t N t k} A, A A şi k A. Cosiderăm mulţimea: (I.91) B = { k N k care satisface (I.90)} şi evidet B N. Cum 0 B şi B este parte iductivă a lui N după (i), (ii) di teorema I.33 rezultă B = N şi deci are loc formula de reprezetare (I.89). 1. Di teorema I.33 (pricipiul iducţiei complete) se obţie o metodă de demostraţie: "Fie fucţia propoziţioală defiită pe N, P() cu proprietăţile: (I) k N a. î. P(k) adevărată (II) N şi P() adevărată implică P( + 1) adevărată, atuci P() este adevărată petru N cu k". 2. Uele proprietăţi ale umerelor aturale di R sut coseciţe directe ale teoremei I.33 (pricipiul iducţiei complete). Teorema I.35. Suma şi produsul a două umere aturale sut umere aturale. Demostraţie: Fe A N cu A = {k N m+ k N; m N} şi avem 0 A (i), cum m N şi m + 0 N, m N. Dacă m A, atuci m + N, 43

m N deci m + + 1 N; m N avem m + 1 A (ii). Cum 0 A iductivă, A N atuci după pricipiul iducţiei compete rezultă A = N. Î mod aalog cosiderâd B = {k N mk N, m N} se arată că 0 B, B este submulţime iductivă a lui N şi avem B = N. Teorema I.36. Î mulţimea umerelor aturale N di R au loc proprietăţile: (I.92) Dacă N şi 0, atuci - 1 N; (I.93) Cel mai mic elemet al mulţimii A = {x N < x} este +1; (I.94) Dacă N, u există x N a. î. < x < + 1; (I.95) Orice submulţime evidă a lui N are u cel mai mic elemet; (I.96) Dacă m, N şi m, atuci există k N a. î. mk =. Demostraţiile proprietăţilor (I.92) (I.96) sut coseciţe imediate ale pricipiului iducţiei complete. Teorema I.37. Fie R' şi R" două corpuri complete ordoate şi N', N" submulţimile corespuzătoare de umere aturale, atuci există o fucţie f: N' N" cu proprietăţile: (a) f este bijecţie; (b) f(m + ) = f(m) + f(); m, N'; (c) f(m ) = f(m) f(); m, N'; (d) Dacă m, N' cu m < atuci f(m) < f(). Demostraţie: Fie elemetele uitate 1' şi 1", elemeele eutre 0' şi 0" di R' şi respectiv R", atuci avem: f(0') = 0". Presupuem că petru k N' s-a defiit f(k) N" şi cosiderăm f( k + 1') = f( k) + 1". Coform teoremei I.33 (primcipiul iducţiei complete) f este defiită pe N' şi f(n')=n", deci f este surjectivă. Pri calcul direct se arată că f este ijectivă şi deci f este o bijecţie de la N' la N", (a). 44