Poglavlje 10 10. VJEŽBA 10.1 Balmerova serija i odredivanje Rydbergove konstante Bohrova teorija atoma Ideja elektrona koji kruže na odredenim udaljenostima od pozitivne jezgre (Slika 10.1) dolazila je u kontradikciju sa samom sobom. Najveći problem predstavljala je privlačna Coulombova sila pozitivne jezgre i negativnog elektrona, F = k q1 q 2, gdje su q r 2 1 i q 2 ukupni naboji elektrona i jezgre, r je udaljenost njihovih središta, a k = 8.98755 10 9 Nm 2 C 2 konstanta. Po ovoj bi jednadžbi elektron prije ili kasnije uslijed Coulombove sile trebao pasti na jezgru, što bi dovelo do anihiliranja naboja. Takav bi atom bio neodrživ i svemir kakvog poznajemo jednostavno ne bi postojao. Bohr je prihvatio i usavršio Rutherfordov model atoma, uz to što je implementirao Planckovo i Einsteinovo kvantiziranje energije i kutne količine gibanja elektrona u atomu. Bohrov model atoma (1913.g.) očituje se kroz sljedeće postulate: 1. Postoje odredena stacionarna stanja u kojima elektroni kruže oko jezgre bez gubitaka energije. Dopuštene su samo one staze na kojima je orbitalni moment količine gibanja cjelobrojni višekratnik reducirane Planckove konstante: L = rnν = nη, n = 1, 2, 3,... η = h 2π Prirodno, elektroni borave u stacionarnim stanjima najniže energije i moguće ih je prebaciti u orbite s većim energijskim potencijalom na način da apsorbiraju kvant energije. 2. Atom emitira ili apsorbira zračenje samo kad njegov elektron prelazi iz jedne staze u drugu (iz jednog stacionarnog stanja u drugo). Prijelazom iz višeg u niže energijsko stanje, atom emitira kvant svjetlosti, čija je energija jednaka razlici energijskih razina navedenih stacionarnih stanja: E = hf, 71
10.1. BALMEROVA SERIJA I ODREDIVANJE RYDBERGOVE KONSTANTE POGLAVLJE 10. 10. VJEŽBA gdje je f frekvencija zračenja, a h je Planckova konstanta koja iznosi 6.626 10 34 Js. Dakle, E = E 2 E 1, gdje je E 2 energija polazne (više) razine, a E 1 energija konačnog stanja. Bohr je uočio svojevrsnu analogiju izmedu gibanja planeta oko Sunca i rotacije elektrona oko atomske jezgre. Coulombova sila ima ulogu centripetalne sile zbog koje se atomi gibaju kružnim putanjama: m e v 2 r = Ze2 4πε 0 r 2, Slika 10.1: Planetarni model atoma gdje je m e masa elektrona (9.11 10 31 kg), e je jedinični naboj, koji iznosi 1.6022 10 19 C, a Z je atomski broj promatranog atoma. Bohr se u svojim razmatranjima zbog jednostavnosti ograničio na najjednostavniji atom, vodik, kod kojega je Z = 1. Iz ovih je uvjeta jednostavno izvesti izraze za polumjer odredene orbite, te brzinu elektrona u njoj: r n = n2 h 2 ε 0 πm e Ze ; v 2 n = Ze2 4πε 0 nη Uočljive su dvije bitne zakonitosti: Brzina elektrona obrnuto je proporcionalna iznosu kvantnog broja n: v 1 : v 2 :...v n = 1 : 1 2 :... : 1 n Polumjer Bohrove orbite (pretpostavljena je kružna) proporcionalan je kvadratu kvantnog broja n: r 1 : r 2 :...r n = 1 2 : 2 2 :...n 2. Energija E n dozvoljene staze elektrona, po Bohrovom je modelu atoma dana formulom: E n = 1 e 4 m e 1 ; n = 1, 2, 3,..., 8 ε 2 0h 2 n2 gdje je ε 0 = 8, 8542 10 12 C 2 /Nm 2 dielektrična konstanta vakuuma. Stoga emitirana svjetlost može imati sljedeće frekvencije (zbog E = hf): f nm = 1 e 4 m e 8 ε 2 0h ( 1 3 n 1 ); n, m = 1, 2, 3,... 2 m2 Ukoliko se koristi valni broj N := λ 1 i uz c = λf, gornja formula prelazi u: N = R th ( 1 n 1 ), (10.1) 2 m2 gdje je R th = 1 8 e 4 m e ε 2 0 h3 c Rydbergova konstanta, koja proizlazi iz Bohrovog modela atoma. 72
10.1. BALMEROVA SERIJA I ODREDIVANJE RYDBERGOVE KONSTANTE POGLAVLJE 10. 10. VJEŽBA Vodikov atom Slika 10.2: Spektralne serije vodikovog atoma n = 1 Lymanova serija, ultraljubičasto područje spektra n = 2 Balmerova serija, vidljivi dio spektra n = 3 Paschenova serija, infracrveno područje spektra n = 4 Bracketova serija, infracrveno područje spektra n = 5 Pfundova serija, infracrveno područje spektra Slika 10.2 prikazuje energijski dijagram i spektralne serije vodikovog atoma. Za m, dostižemo granice serije, a pridružena energija je tada ionizacijska energija (ili energija vezanja) za elektron n-te dozvoljene orbite. Energija vezanja se može izračunati formulom: E n = R th hc 1 n 2, gjde je c = 2, 99795 10 8 m/s brzina svjetlosti u vakuumu. Osnovno energijsko stanje za vodikov atom je - 13,6 ev. Optička rešetka Ako svjetlost valne duljine λ dode na optičku rešetku konstante d, ona se ogiba. Maksimumi rasvjete se dogadaju kada kut ogiba α ispunjava sljedeće uvjete: kλ = d sin α k = 1, 2, 3,... Različite valne duljine elektromagnetskog zračenja iz spektralne lampe našem se oku čine kao različite boje. 73
10.1. BALMEROVA SERIJA I ODREDIVANJE RYDBERGOVE KONSTANTE POGLAVLJE 10. 10. VJEŽBA Sljedeća je formula za ogib k-tog reda izvedena geometrijskom dedukcijom sa slike 10.3: l kλ = d (10.2) d2 + l 2 Udaljenost 2l (Slika 10.3.) izmedu spektralnih linija iste boje s lijeve i desne strane (simetrično) se očitava bez pomicanja glave. Udaljenost x je udaljenost izmedu metarske skale i optičke rešetke. Slika 10.3: Korištenje optičke rešetke OPIS MJERENJA: Slika postavke eksperimenta prikazana je na Slici 10.4. Živina, odnosno vodikova spektralna lampa izvor je svijetlosti koji promatrate, a priključuje se na izvor visokog napona. Podesite napon na izvoru napajanja tako da lampa počne svijetliti, ali tako da napon ne prelazi 5 kv. Metarsku skalu postavite odmah iza spektralne lampe kako biste smanjili greške paralakse. Optičku rešetku namjestite na udaljenost do 50 cm od lampe i skale, a visinu optičke rešetke namjestite u istoj visini s prorezom spektralne lampe i paralelno s metarskom skalom. Svijetleći prorez spektralne lampe promatra se kroz rešetku. Sobu zamračite toliko da još možete očitavati vrijednosti na metarskoj skali. Slika 10.4: Fotografija aparature 74
10.1. BALMEROVA SERIJA I ODREDIVANJE RYDBERGOVE KONSTANTE POGLAVLJE 10. 10. VJEŽBA Potreban pribor i oprema: 2 spektralne lampe (vodik, živa) Držač za spektralne cijevi, 1 par Zaštitna metalna cijev lampe (sjenilo s pukotinom) Spojni vodovi, 30 kv, l = 1 m Držač objektiva, 5 x 5 cm Optička rešetka, 600 linija/mm Izvor visokog napona, 0-10 kv Keramički izolirani nosač Tronožac Okrugli držač Kvadratna potporna šipka, l = 400 mm Kvadratna stezaljka Držač cijevi Metarska skala, l = 1 m Graničnici, 1 par U živinom spektru možete jasno vidjeti tri linije. Konstanta rešetke d odreduje se prema podacima iz tablice 10.1 za valnu duljinu pojedine boje svjetlosti živinih spektralnih linija. Vašu izračunatu vrijednost usporedite s poznatom vrijednošću konstante optičke rešetke, d poznato = 1, 671µm, koju i koristite u vježbi. Rydbergova konstanta, a prema njoj vodikovi energijski nivoi, odredeni su prema mjerenju valnih duljina u Balmerovoj formuli. Valne duljine karakterističnih vodikovih spektralnih linija odreduju se iz jednadžbe (10.2), mjereći l, x i uzimajući poznatu vrijednost za konstantu optičke rešetke d. Rydbergova se konstanta računa iz izraza (10.1). ZADACI: Tablica 10.1: Valne duljine živinih spektralnih linija boja λ (nm) žuta 578 zelena 546,1 plava 434,8 1. Odredite konstantu optičke rešetke pomoću živinog spektra. 2. Odredite, iz vidljivih linija Balmerove serije vodikovog spektra, Rybdergovu konstantu i energijske razine. 75
Poglavlje 7 7. VJEŽBA 7.1 Difrakcija elektrona 7.1.1 Difrakcija elektrona Ubrzani elektroni se ogibaju na sloju kristala grafita, a ogibna slika se javlja na fluorescentnom zaslonu. Prostor izmedu ravnina u kristalu grafita odreduje se pomoću promjera prstena na zaslonu i ubrzavajućeg napona. 7.2 Teorija i račun Kako bi se objasnila interferencija, elektronu se prema de Broglievoj teoriji dodjeljuje valna duljina λ (u zavisnosti o momentu količini gibanja p): λ = h p (7.1) gdje je h = 6.626 10 34 Ls Planckovca konstanta. Moment (količina gibanja) može se izračunati pomoću brzine v koju elektroni dobivaju pod utjecajem ubrzavajućeg napona U A : 1 2 mv2 = p2 2m = e U A (7.2) Stoga je valna duljina, koja pripada elektronu: λ = h 2meUA (7.3) gdje su e i m naboj i masa mirovanja elektrona (pri naponu U A relativistička masa se potpuno opravdano može zamijeniti masom mirovanja). 63
7.1 Teorija i račun 64 Snop elektrona pogada kristal grafita deponiran na bakrenoj rešetki i prema Braggovoj jedandžbi: 2dsinΘ = kλ, k = 1, 2,... (7.4) gdje je d razmak izmedu ravnina ugljikovih atoma u kristalu, a Θ je Braggov kut (kut izmedu elektronskog snopa i ravnina rešetke) Na slici je prikazan naš uzorak grafita (tzv. polikristalični grafit): slika 7.1 U takvom su kristalu veze izmedu pojedinih individualnih slojeva raskinute tako da je orijentacija nasumična. Iz tog razloga je elektronska zraka raspršena u obliku konusa i stvaraju se interferencijski prsteni na fluorescentnom zaslonu. Braggov kut Θ moe se računati iz radijusa interferencijskih prstena, ali s pažnjom da je kut devijacije α ( vidi sljedeć sliku) dvostruki Braggov kut: α = 2Θ (7.5) slika 7.2 Iz ove slike možemo očitati slijedeću relaciju sin2α = r R, gdje je R = 65mm - polumjer staklenog balona. Znamo i sin2α = 2sinαcosα. Za male kutove cosα = 1, stoga je sin2α = 2sinα, pa za amle kutove Θ dobivamo sinα = sin2θ = 2sinΘ.
7.1 Teorija i račun 65 S tom aproksimacijom imamo: r = 2R d nλ (7.6) Dva unutarnja interferencijska prstena posljedica su ogiba na ravninama kristalne rešetke koje su razmaknute za d 1 i d 2, kao na slici; za n = 1. slika 7.3 NAPOMENA: Svjetla točka u centru fluorescentnog ekrana može oštetiti fluorescentni sloj na staklenom balonu. Zato je važno smanjiti intenzitet svjetlosti nakon svakog mjerenja, odnosno mjerenja izvršiti što brže!
7.1 Teorija i račun 66 OPIS MJERENJA Pribor: - elektronska difrakcijska cijev - visokonaponski izvor - vodiči - izvor struje slika 4.9 Spojite eksperimentalni postav prema slici. Promatrajte sliku na fluorescentnom zaslonu i podešavanjem tri prekidača na izvoru napona (desno) pokušavajte dobiti izoštrene, jasne dobro definirane ogibne prstene. Očitajte napon na anodi na visokonaponskom izvoru (lijevo). Kako biste pravilno izmjerili promjere prstena koristite pomičnu mjerku, i izmjerite vanjski i unutarnji promjer prstena od kojih ćete uzeti srednju vrijednost. Mjerenja svakako izvodite u zatamnjenoj prostoriji. Primijetit ćete još jedan slabije vidljivi prsten odmah nakon drugog. ZADACI: 1. Izračunajte valnu duljinu elektrona preko očitanih vrijednosti napona na anodi U A prema jednadžbi (7.3). 2. Prikažite grafički (metodom najmanjih kvadrata) ovisnost radijusa interferencijskih prstena o valnoj duljini elektrona.