Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, a R. () Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul () (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (). Afirmatia. Ecuatia sin x = a, a R, () pentru a > solutii nu are, iar pentru a multimea solutiilor ei se contine in formula x = ( ) n arcsin a + πn, n Z, () unde arcsin a [ π; π ] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi,, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea [ x = arcsin a + πk, x = π arcsin a + πk, k Z. () Nota. Daca in ecuatia () a {0; ; } solutiile ei () se scriu mai simplu, si anume sin x = 0 x = πn, n Z, sin x = x = π + πn, n Z, sin x = x = π + πn, n Z. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x = ; b) sin x = ; c) sin x =. Rezolvare. a) Cum, conform () solutiile ecuatiei date sunt x = ( ) n arcsin + πn, n Z, tinand seama ca arcsin = π, se obtine x = ( ) n π 6 + πn, n Z.
( b) Similar exemplului a) se obtine x = ( ) n arcsin ) + πn, n Z, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara, x = ( ) n+ arcsin + πn, n Z. c) Cum >, rezulta ca ecuatia data nu are solutii. Afirmatia. Ecuatia cos x = a (5) pentru a > nu are solutii, iar pentru a multimea solutiilor ei se contine in formula x = ± arccos a + πn, n Z, (6) unde arccos a [0; π] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a. Nota. Daca in ecuatia (5) a {0; ; } solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume cos x = 0 x = π + πn, n Z, cos x = x = πn, n Z, cos x = x = π + πn, n Z. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile: a) cos x = ; b) cos x = + ; c) cos x =. ( Rezolvare. a) Cum, conform (6) solutiile ecuatiei date sunt x = ± arccos ) + ( πn, n N, tinand seama ca arccos ) = π, se obtine x = ±π + πn, n Z. b) Similar exemplului a) se obtine x = ± arccos + πn, n Z. + c) Cum >, ecuatia data nu are solutii. Afirmatia. Ecuatia are solutiile tg x = a, a R (7) x = arctg a + πn, n Z, (8) unde arctg a ( π; π ) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a. Afirmatia. Ecuatia ctg x = a, a R (9)
are solutiile x = arcctg a + πn, n Z, (0) unde arcctg a (0; π) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a. Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) tg x = ; b) tg x = ; c) ctg x = ; d) ctg x =. Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg + πn, n Z, tinand seama ca arctg = π, se obtine x = π + πn, n Z. b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg( ) + πn, n Z, tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = arctg + πn, n Z. c) Se tine seama de (0) si se obtine x = arcctg( ) + πn, n Z,, cum arcctg( ) = π, x = π + πn, n Z. d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg + πn, n Z. Observatie. Ecuatiile sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a () prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin(x ) = ; b) cos(x + ) = ; c) tg x = ; d) ctg x =. Rezolvare. a) sin(x ) = { sin t = ; t = x, x = π + πn +, n Z x = π + πn +, n Z. x = π + πn, n Z { { cos t =, x b) cos(x + ) = t = x + = π + πn, n Z, +, π + πn, x = π + πn, n =,,,... x = ± π + πn, n =,,,... (se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative). c) tg x = x = arctg + πn, n Z x = π + πn, n Z x = π 6 + π n, n Z. d) ctg x = x = arcctg( ) + πn, n Z x = arcctg( ) + πn, n Z. Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea
Ecuatia a sin x + b sin x + c = 0, a, b, c R, a 0 () prin intermediul substitutiei t = sin x, ( t ) se reduce la ecuatia patrata at + bt + c = 0. Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x 5 sin x + = 0; b) sin x sin x = 0; c) sin x sin x + 6 = 0. Rezolvare. a) Se noteaza sin x = t si ecuatia devine t 5t + = 0, de unde t = si t =. Cum t, ramane t = echivalenta cu ecuatia sin x =, si prin urmare ecuatia initiala este solutiile careia sunt (a se vedea ()) x = ( ) n π 6 + πn, n Z. b) Se noteaza sin x = t si se obtine ecuatia patrata t t = 0 cu solutiile t = 0 si t =. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii [ sin x = 0, sin x =, de unde x = π n, n Z, x = π + πk, k Z. c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii. Ecuatiile a cos x + b cos x + c = 0, () a tg x + b tg x + c = 0, () a ctg x + b ctg x + c = 0, (5) unde a, b, c R, a 0 se rezolva similar ecuatiei (). In cazul ecuatiei () se tine seama ca t = cos x in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tg x (t = ctg x) in ecuatia () (respectiv (5)) restrictii nu sunt. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile a) 6 cos x 5 cos x + = 0; b) tg x tg x + = 0; c) ctg x ctg x = 0.
Rezolvare. a) Se noteaza cos x = t si se obtine ecuatia patrata 6t 5t + = 0 cu solutiile t = si t =. Cum ambele solutii verifica conditia t se obtine totalitatea cos x =, cos x =, de unde x = ± arccos + πn, n Z, x = ±π + πk, k Z. b) Se noteaza tg x = t si se obtine ecuatia patrata t t + = 0 cu solutiile t = si t =. Prin urmare tg x =, tg x =, x = π + πn, n Z, x = arctg + πk, k Z, de unde x = π 8 + π n, x = arctg + π k, n, k Z. c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine x = π πk, n, k Z. + πn, x = arcctg + Ecuatia a cos x + b sin x + c = 0, (6) utilizand identitatea trigonometrica de baza sin x + cos x =, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (): a( sin x) + b sin x + c = 0. Similar, ecuatia se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (): Utilizand formulele a sin x + b cos x + c = 0 (7) a( cos x) + b cos x + c = 0. cos x = sin x, cos x = cos x ecuatiile a cos x + b sin x + c = 0, (8) a cos x + b cos x + c = 0, (9) 5
se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul () si respectiv (). Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile: a) sin x + 5 cos x 5 = 0; b) cos x + sin x = 0. Rezolvare. a) Cum sin x = cos x, ecuatia devine ( cos x) + 5 cos x 5 = 0 cos x 5 cos x + = 0, de unde cos x = (aceasta ecuatie nu are solutii) cos x =, cu solutiile x = πk, k Z. b) Cum cos x = sin x, ecuatia devine sin x + sin x = 0, de unde sin x( sin x ) = 0, sin x = 0, sin x =, si x = π k, x = π ( )n 8 + πn, k, n Z. Ecuatia a tg x + b ctg x + c = 0 (0) tinand seama ca tg x ctg x = (x π k, k Z) prin intermediul substitutiei t = tg x (atunci ctg x = ) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (). t Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia: ( tg x 5 tg x π Rezolvare. Cum sin 7π = si tg ( x π ) ) = 6 sin 7π. tg x + 5 ctg x 6 = 0. ( ) π = tg x = ctg x, ecuatia devine Se noteaza tg x = t, atunci ctg x = t (x π k) si se obtine ecuatia patrata t 6t + 5 = 0 6
cu solutiile t = si t = 5. Asadar [ tg x =, tg x = 5, x = π + πk, k Z, x = arctg 5 + πn, n Z. Ecuatii omogene Ecuatia a 0 sin n x + a sin n x cos x +... + a k sin x cos n x + a n cos n x = 0, () unde a 0 a n 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sin x si cos x. Cum x = π + πk, k Z nu verifica ecuatia () (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu ( 0) se obtine ecuatia cos n x echivalenta a 0 tg n x + a tg n x +... + a n tg x + a n = 0 care prin substitutia tg x = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n. Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x cos x = 0; c) 5 sin x + 5 sin x cos x = ; b) sin x + sin x cos x = 0; d) cos x + sin x =. Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg x cos x tg x = 0 de unde tg x = si x = π 8 + π n, n Z. b) Cum sin x = sin x cos x ecuatia b) se scrie sin x+ sin x cos x cos x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia cos x patrata tg x + tg x = 0 cu solutiile tg x = si tg x =. Prin urmare x = arctg + πn, n Z, x = π + πk, k Z. c) Se scrie = = (sin x + cos x) si ecuatia devine 5 sin x + 5 sin x cos x = sin x + cos x 7
sin x + 5 sin x cos x cos x = 0 adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = arctg + πk, k Z si x = arctg + πn, n Z. d) Cum cos x = cos x sin x, sin x = sin x cos x, = (sin x + cos x), ecuatia devine cos x sin x + sin x cos x = sin x + cos x ( + ) sin x sin x cos x + ( ) cos x = 0, adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu obtine ecuatia patrata ( + ) tg x tg x + = 0 cu solutia tg x =, rationalizand numitorul, tg x =. + Asadar, x = arctg( ) + πn, n Z. cos x si se Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs Ecuatiile de forma cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs sin α(x) ± sin β(x) = sin sin α(x) ± sin β(x) = 0 () cos α(x) ± cos β(x) = 0 () α(x) ± β(x) cos α(x) β(x) α(x) + β(x) α(x) β(x) cos α(x) + cos β(x) = cos cos α(x) β(x) α(x) + β(x) cos α(x) cos β(x) = sin sin se reduc la ecuatii trigonometrice simple. Exemplul 0. Sa se rezolve ecuatiile () (5) (6) a) sin x + sin x = 0; c) cos 5x = sin x; b) cos x + cos x = 0; d) sin x + cos x + sin x + cos x = 0. Rezolvare. a) sin x + sin x = 0 sin x + x cos x x sin x = 0, = 0 cos x = 0, x = πn, n Z, x = π + πk, k Z x = πn, n Z (se observa ca solutiile x = π + πk, k Z 8
se contin in solutiile x = πn, n Z - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute). b) cos x + cos x = 0 cos x cos( x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea [ cos x = 0, cos x = 0, de unde x = π + π k, k Z, x = π + πn, n Z. ( ) π c) Cum cos 5x = sin 5x (formulele de reducere) se obtine ecuatia ( ) π sin 5x sin x = 0 ( ) ( ) π π sin x cos x = 0, de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea ( sin x π ) = 0, ( cos x π ) = 0, x π = πk, x = π 6 + π k, k Z, x π = π + πn, x = π + πn, n Z. d) Se grupeaza convenabil: (sin x + sin x) + (cos x + cos x) = 0, se aplica formulele () si (5) si se obtine ecuatia sin x cos x + cos x cos x = 0 cos x(sin x + cos x) = 0, de unde rezulta totalitatea de ecuatii [ cos x = 0, sin x + cos x = 0. Din prima ecuatie se obtine x = π + πn, n Z. Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine x = π + πm, m Z (se contine in solutia deja obtinuta) si x = π 0 +πk 5, k Z. Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt x = π π +πn, x = 0 +πk, n, k Z. 5 Metoda transformarii produsului in suma (utilizarea formulelor sin(α ± β), cos(α ± β)). 9
Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) cos x cos x sin x sin x = ; b) cos x cos x = cos x. Rezolvare. a) cos x cos x sin x sin x = cos(x + x) = cos x = x = πk, k Z x = π k, k Z. b) Cum cos x cos x = [cos(x + x) + cos(x x)] = (cos x + cos x) se obtine cos x cos x = 0, de unde rezulta cos x + cos x = cos x, sin( x) sin x = 0. Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea [ sin x = 0, sin x = 0, de unde x = πk, k Z (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde). Aceasta metoda utilizeaza formulele Metoda micsorarii puterii cos x = sin x = + cos x, (7) cos x, (8) sin x + cos x = sin x, (9) sin 6 x + cos 6 x = sin x, (0) sin 8 x + cos 8 x = cos x + 8 sin x, () in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor Formulele (7) si (8) se sin ax + sin bx = sin cx + sin dx, () cos ax + cos bx = cos cx + cos dx, () daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d a b = c d. 0
Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) cos x + cos x + cos x = ; b) sin x + cos x = sin x cos x; c) cos 6 x + sin 6 x = cos x. Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (7) si se obtine ecuatia echivalenta + cos x Se grupeaza convenabil si se obtine + + cos x + + cos 6x cos x + cos x + cos 6x = 0. = (cos x + cos 6x) + cos x = 0 cos x cos x + cos x = 0 cos x( cos x + ) = 0 cos x = 0, cos x =, x = π 8 + π n, n Z, x = ± π + πk, k Z. b) Cum (a se vedea (9)) sin x + cos x = sin x, iar sin x cos x = sin x, ecuatia devine sin x = sin x sin x + sin x = 0, de unde rezulta sin x = si x = π 8 + π n, n Z. c) Cum cos 6 x + sin 6 x = sin x = ( cos x) = + cos x, ecuatia devine + cos x cos x = 0 cos x cos x + = 0, de unde rezulta totalitatea cos x =, cos x =, x = πn, n Z, x = ± arccos + πk, k Z. Ecuatii de tipul a sin x + b cos x = c, a b c 0. () Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma ():
a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu sin x si cos x. Se scrie sin x = sin x = sin x cos x, cos x = cos x = cos x sin x, c = c = c ( sin x + x ) cos si ecuatia () devine (b + c) sin x a sin x cos x + (c b) cos x = 0, - omogena de gradul daca (c b)(b + c) 0,, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul si a unei ecuatii de tipul () (5). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x =. Rezolvare. a) sin x + cos x = sin x cos x + cos x sin x = sin x + cos x sin x = 0, sin x cos x sin x = 0 sin x(cos x sin x) = 0 cos x sin x = 0, sin x = 0, x = πk, k Z, tg x =, x = π + πn, n Z. b) sin x + cos x = sin x cos x + x cos x sin = sin x + cos x ( +) sin x sin x cos x +( ) cos x = 0 ( +) tg x tg x+ = 0 tg x = x = arctg( ) + πn, n Z. b) Utilizarea formulelor sin α = tg α + tg α, cos α = tg α + tg α (α π + πk, k Z). (5) Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia () se reduce al o ecuatie patrata in raport cu tg x. Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor α = π +πk, k Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt ba solutii ale ecuatiei (). Exemplul. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x =.
Rezolvare. a) Cum sin x = tg x + tg x, cos x = ( tg x + tg x, x π ) + πn, n Z x = π + πn, n Z nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia si cum tg x + tg x + tg x + tg x = + tg x = tg x + tg x, de unde rezulta tg x = 0, tg x =, x = πk, k Z, x = π + πn, n Z. b) Se aplica formulele (5) si se obtine tg x =, tg x + tg x + tg x + tg x x π + πk, k Z, =, tg x + tg x = tg x, x π + πk, k Z, de unde si x = π + πn, n Z. Verificarea directa arata ca si x π + πk, x = π + πk, k Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt x = π + πk, x = π + πn, k, n Z. Cum a b c 0 ecuatia () se scrie c) Metoda unghiului auxiliar. a a + b sin x + b a + b cos x = c a + b (6) a b si cum, a + b si a + b un unghi α, astfel incat ( a a + b ) + ( b a + b ) = rezulta ca exista un unghi β, astfel incat cos α = sin β = a a + b si sin α = a a + b si cos β = b a + b (7) b a + b. (8)
Atunci ecuatia (6) se scrie sin(x + α) = cos(x β) = c a + b, c a + b. Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare. c Nota. Se observa ca ecuatia () are solutii daca si numai daca, iar valoarea a + b maxima a functiei f(x) = a sin x + b cos x este a + b si valoarea minima este a + b. Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x + cos x = ; b) sin x + cos x = 5; c) sin x + cos x =. Rezolvare. a) sin x + cos x = sin x + cos x = ) cos x cos π +sin x sin π = cos x = π ± π + πk, k Z ( x π x = πn, n Z, = x π = ±π +πk, k Z x = π + πk, k Z. b) sin x + cos x = 5 5 sin x + sin x cos α + cos x sin α =, 5 cos x = sin α = 5 ; cos α = 5, sin(x + α) =, tg α =, x = π + πk arctg, k Z. c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este + = si < rezulta ca ecuatia nu are solutii. Ecuatii de tipul F (sin x ± cos x, sin x cos x) = 0. Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei t = sin x ± cos x, t. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile: a) (sin x + cos x) + sin x + = 0; b) sin x = cos x sin x; c) cos x + sin x + sin x cos x = 5. Rezolvare. a) Se noteaza t = sin x+cos x, atunci t = (sin x+cos x) = +sin x, si ecuatia devine t + t = 0, de unde t = 0 t =. Cum ecuatia sin x + cos x = nu are solutii, ramane sin x + cos x = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile x = π + πn, n Z.
b) Se noteaza cos x sin x = t, atunci sin x = t si ecuatia devine t = t cu solutiile t = 0, t =. Asadar cos x sin x = 0, cos x sin x =, x = π + πk, k Z, x = π ± π + πn, n Z c) DVA al ecuatiei este R \ tg x = 0, ( cos x + π ) =, x = π + πk, k Z, x = πn, n Z, x = π + πm, m Z. { π n, n Z }. In DVA ecuatia se scrie sin x + cos x 5 sin x cos x + = 0. Se noteaza t = sin x + cos x si se obtine ecuatia patrata 5t t 7 = 0, cu solutiile t = si t = 7 5. Prin urmare sin x+cos x =, de unde x = π ± π +πm, m Z (nu verifica DVA al ecuatiei) sin x + cos x = 7 5, de unde x = π ± arccos 7 5 + πk, k Z. Metoda descompunerii in factori Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice. Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile a) sin x cos x = cos x; b) sin x sin x + cos x = cos x sin x; c) sin x + cos x = + tg x. Rezolvare. a) sin x cos x = cos x (sin x cos x)(sin x + sin x cos x + cos x) = 5
= cos x sin x (sin x cos x)( + sin x cos x + (cos x + sin x)) = 0 tg x =, sin x cos x = 0, + t + t = 0, + sin x cos x + (cos x + sin x) = 0, t = sin x + cos x, x = π + πn, n Z, t + t + = 0, t = sin x + cos x, x = π + πk, k Z, sin x + cos x =, x = π + πk, k Z, x = π + πn, n Z, x = π + πm, m Z. b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil: (sin x + sin x) + cos x (sin x + cos x) = 0. Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine ( sin x cos x + cos x) ( sin x cos x + cos x) = 0 cos x [(sin x + ) (sin x + cos x)] = 0. Se tine seama ca sin x + = sin x cos x + sin x + cos x = (sin x + cos x) si ecuatia devine de unde se obtine totalitatea cos x[(sin x + cos x) (sin x + cos x)] = 0 cos x(sin x + cos x)(sin x + cos x ) = 0, cos x = 0, sin x + cos x = 0, sin x + cos x = 0. Din prima ecuatie a totalitatii se obtine x = π +πk, k Z. Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile x = π + πm, m Z. Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = πn, n Z 6
si x = π + πl, l Z. Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este x = π + πk, x = π + πm, x = πn, k, m, n Z. { } π c) DVA al ecuatiei este R \ + πk, k Z (cos x 0). Ecuatia se scrie Se grupeaza convenabil: sin x + cos x = + sin x cos x sin x cos x + cos x cos x sin x = 0., cum cos x = ( sin x) = sin x, cos x( sin x ) + ( cos x sin x) = 0, cos x( sin x ) + ( sin x sin x) = 0. Cum sin x sin x = sin x + sin x sin x = ( sin x) + sin x( sin x) = = ( sin x)( + sin x), ecuatia devine cos x( sin x ) + ( sin x)( + sin x) = 0, ( sin x )( cos x sin x ) = 0. Cum cos x sin x = (cos x ) sin x = ( sin x ) sin x cos x = = sin x ( sin x + cos x ), ecuatia se scrie de unde rezulta ( sin x ) sin x ( sin x + cos x ) = 0. sin x =, cu solutiile x = ( )n π 6 + πn, n Z, sin x = 0, cu solutiile x = πm, m Z, sin x + cos x = 0, cu solutiile x = arctg + πk, k Z. Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei. In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice. 7
Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile: a) cos x + cos x + cos x +... + cos nx = n, n N, n ; b) sin x + sin x + sin x +... + sin nx = n, n N, n ; c) sin x + cos x = ; d) sin 0 x cos 7 x = ; e) sin x cos x = ; f) sin x + cos 6x cos x + sin 0x = 7; g) sin x (cos x ) sin x + cos x ( + sin x cos x) = 0; h) sin x sin x sin x + sin x = 0; i) 6 + cos x 9 cos x + 6 + cos x cos x = ; j) cos x cos x cos x cos 8x = 6. Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural cos mx, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul cos x =, cos x =,... cos nx = cu solutiile x = πk, k Z. b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul sin x =, sin x =,... sin nx =, care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii: x = π + πn, n Z nu verifica a ( ) π doua ecuatie a sistemului: sin + πn = sin(π + πn) = 0. Prin urmare ecuatia nu are solutii. c) Cum sin x sin x, cos x cos x implica sin x + cos x sin x + cos x, sin x + cos x, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca { sin x = 0, cos x =, { sin x =, cos x = 0. 8
rezulta ca ecuatia are solutiile x = πm, m Z (din primul sistem al totalitatii) si x = π + πn, n Z (din sistemul secund). d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin 0 x sin x, cos 7 x cos x, de unde sin 0 x cos 7 x si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand { sin 0 x = sin x, cos 7 x = cos x, adica sin x {0; ; }, iar cos x {0; }. Asadar se obtine x = π + πn; x = π + πm, n, m Z. e) Cum sin x, cos x, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca sin x =, cos x =, sin x =, cos x =. Din sin x =, rezulta x = π + πn si atunci cos x = cos(π + 8πn) =, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din sin x = rezulta x = π + πk si atunci cos ( π + πk) = cos π =, deci x = π + πk, k Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate). f) Cum sin x+ cos 6x cos x sin x+ cos x 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), sin 0x se obtine sin x + cos 6x cos x + sin 0x 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru { { cos 6x =, sin 6x = 0, sin 0x =, sin 0x =, de unde x = πn 6, n Z, x = π 0 + πm 0, m Z. Ultimul sistem este incompatibil. In adevar conduce la ecuatia in numere intregi πn 6 = π 0 + πm 0, n, m Z 0n = + 6m 0n 6m = care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii. 9
g) Ecuatia se scrie ( sin x + x ) (sin x + cos x) + cos x = 0 sin 5x + cos x =. Membrul din stanga nu intrece doi (sin 5x, cos x ), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca sin 5x =, x = π 5 + πk 5, k Z cos x =, x = πn, n Z. Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k Z astfel incat π 5 + πk 5 = πn, + k = 5n de unde k = 5n k = n + (n ). Asadar, n urmeaza a fi divizibil prin, adica n = s, s Z de unde n = s + si cum + k = 5n, adica k = 5(s + ) se obtine k = 5s +, si x = π + πs, s Z. h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sin x. Discriminantul acestui trinom este D = 6 sin x 6 sin x, de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin x 0 sin x. Prin urmare (cum sin α 0 si sin β ) ecuatia poate avea solutii doar daca sin x = 0 sin x = adica x = πn respectiv x = π 6 + π m, n, m Z. Se substituie in ecuatie si se obtine. sin π n sin πn sin π n + sin πn = 0. Cum sin πn = 0, ramane sin π n = 0, de unde n = m, m Z, adica din primul set se obtine solutiile x = πm, m Z. ( π. sin 6 + π ) ( ) ( π π m sin + πm sin 6 + π ) ( ) π m + sin + πn = 0. Cum sin ( π + πm ) = cos πm =, se obtine ( π sin 6 + π ) ( π m sin 6 + π ) m + = 0 adica ( ( π sin 6 + π ) m ) = 0, de unde rezulta x = π 6 + πk x = 5π 6 + πk, k Z adica x = ( )k π 6 + πk, k Z. 0
Asadar solutiile ecuatiei date sunt x = πn, n Z, x = ( ) n π 6 + πk, k Z. i) Se noteaza cos x = t si ecuatia devine 6t 8t + + de unde 6t t + 9 (t ) + (t ) =, t + t =. Se tine seama ca t = t si = = t + t si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia (t )( t) 0, de unde t, adica cos x cos x. Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate x = { } { π 6 + πk; π + πk πk π ; πk π }, k Z. 6 j) Cum x = πk, k Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cos πk = ±, cos πk = cos πk = = cos 8πk = ) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 6 sin x si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu 6 sin x cos x cos x cos x cos 8x = sin x, 8 sin x cos x cos x cos 8x = sin x, sin x cos x cos 8x = sin x, sin 8x cos 8x = sin x, sin 6x = sin x, sin 6x sin x = 0, sin 5x 7x cos = 0, de unde sin 5x = 0, x = πk 5, k Z, k 5s, s Z (deoarece x πm) si cos 7x = 0, x = π 7 + πm, m Z, m 7s+8, s Z. 7 Sa se rezolve ecuatiile. sin x = cos x; Exercitii pentru autoevaluare
. 7 tg x ctg x = ;. tg x tg x + = 0;. 6 cos x + 5 cos x + = 0; 5. sin x cos x = cos x; 6. cos x + sin x cos x + 5 sin x = ; 7. cos x sin x sin x cos x = 0; 8. cos x cos x = sin 7x sin 6x + 8 cos π ; 9. cos x cos 6x = cos 5x cos 8x; 0. sin x + sin x = sin x + sin x;. (sin x + cos x) = sin x cos x + sin x cos x ;. cos x = cos x;. sin x = sin x;. sin 5x = cos x; 5. cos x + cos x = 0; 6. 8 sin x cos x + sin x = (sin x + cos x) ; 7. sin x + sin x = cos x; 8. 8 cos x = + 5 cos x; 9. sin x( + cos x) = 7 sin x; 0. sin x sin x = ;. cos x + cos x + cos x + cos x = ;. 6 cos x + cos x = cos x;. sin x + cos x + sin x + cos x + = 0;. tg x = cos x ctg x; 5. + sin x cos x = 0.