Magnetska svojstva materijala Pod utjecajem magnetskog polja tvari postaju magnetične. Magnetičnost prikazujemo preko veličine koju zovemo magnetizacija. Magnetizacija, M, se definira kao srednja gustoća magnetskih momenata. Magnetizacija je proporcionalna magnetskom polju: M i = j χ ij B j χ ij je magnetska susceptibilnost. Općenito, magnetizacija i magnestko polje nisu kolinearni.
U izotropnim materijalima: χ ij = χ δ ij pa su magnetizacija i magnetsko polje paralelni (kolinearni): M = χ B Magnetsko polje, B, je zbroj vanjskog magnetskog polja, H, proizvedenog poznatim/zadanim strujama, i magnetskog polja proizvedenog induciranim (izazvanim) strujama u samoj tvari. B = µ 0 H +4π M }{{} magnetsko polje induciranih struja
χ može biti pozitivan ili negativan broj: χ > 0 paramagnetizam χ < 0 dijamagnetizam Ako je M 0 i kada je H 0 imamo feromagnetizam (stalni magneti). Ako M pravilno oscilira u prostoru imamo antiferomagnetizam (< M > = 0). Ako M pravilno oscilira, ali < M > 0, imamo ferimagnetizam
Izvori magnetskog polja su Električna struja (gibanje nabijenih čestica) Čestice sa spinom Sve čestice sa spinom ponašaju se kao mali magneti. moment: µ = 2 g µ 0 S gdje je µ0 = q 2M a g je žiromagnetski faktor Spin Magnetski Ako bi imali sasvim točkastu česticu: g = 1, ali zbog raznih međudjelovanja i substrukture čestice g 1. Za elektron µ 0 = e 2m µ B = 9,27 10 24 J T 1 (Bohrov magneton) Za nukleone u jezgri: µ 0 µ B.
Električna struja B I B I r Kružna petlja ponaša se kao magnetski dipol B µ = 1 c [struja] [površina] I I = q [broj okreta u jedinici vremena }{{} ω 2π = 1 T
Magnetski moment male kružne petlje: µ = 1 c q ω 2π ρ2 π = q 2c ω ρ2 = q 2Mc M v ρ = q q [zakreni moment] = 2Mc 2Mc m = q 2Mc L z Za čestice koje se gibaju u sfernosimetričnom polju: m = L z, pri čemu je: gdje je L z = L, L+1,...,L 1,L L 2 = L(L+1). U kvantnoj mehanici zakretni moment čestica je kvantiziran: L = 0,1,2,...
Za česticu koja se giba i ima spin, ukupni magnetski dipolni moment µ = µ 0 ( L+2 S) Vektori spina S i zakretnog momenta L nisu obični vektori kojima su poznate sve tri komponente. Vektorima spina i zakretnog momenta moguće znati u isto vrijeme samo njihov iznos i jednu od komponenti. Iznos poznate komponete je kvantiziran i mijenja se: S i = S, S+1, S+2,...,S 1,S gdje je i = x ili y ili z. Ukupno 2S+1 mogućih vrijednosti. Magnetsko polje magnetskog dipola: B = 3 r ( r µ) r2 µ r 5 (CGS)
Energija međudjelovanja magnetskog dipola i magnetskog polja: E = µ B = µ 0 B (L i +2S i ) Energija međudjelovanja je kvantizirana i ovisi o iznosu poznate komponente zakretnog momenta i spina.
Magnetizam u tvarima dolazi od: Magnetizam u tvarima Gibanja i spina elektrona vezanih u atomima. Postoje dva slučaja: ljuska djelomično popunjena ljuska sasvim popunjena Spina elektrona u djelomično popunjenim vrpcama (Paulijev paramagnetizam - samo metali) Gibanja elektrona u djelomično popunjenim vrpcama (Landauov dijamagnetizam - samo metali)
Struktura atoma (približno) Elektroni se u atomima slažu po Fermi-Dirakovoj raspodjeli, tj. svaki elektron zauzima jedno kvantno stanje i to što niže energije. Kvantna stanja su zadana s tri kvantna broja: glavni kvantni broj n = 1, 2, 3,... kvantni broj zakretnog momenta l = 0, 1, 2... n 1. magnetski kvantni broj m = 0, ±1, ±2... ±l. Kvantna stanja istog glavnog kvantnog broja čine ljusku. Kvantna stanja istog zakretnog momenta čine podljuske. Sasvim popunjene ljuske imaju plemeniti plinovi. U ostalim elementima su ljuske djelomično popunjene.
Hundova pravila Postoje pravila koja je pronašao F. Hund: Zakretni momenti pojedinih elektrona u djelomično popunjenim ljuskama se slažu tako da je iznos ukupnog zakretnog momenta maksimalan. Spinovi pojedinih elektrona u djelomično popunjenim ljuskama se slažu tako da je iznos ukupnog spina maksimalan. Zato je: Ukupni zakretni moment svih elektrona i ukupni spin svih elektrona u sasvim popunjenoj ljusci je jednak nuli. Ukupni zakretni moment svih elektrona i ukupni spin svih elektrona u djelomičnoj popunjenoj ljusci su različiti od nule.
Atomski paramagnetizam Pojavljuje se u materijalima građenim od atoma s nepopunjenom ljuskom. Svaki atom ima ukupni zakretni moment J = L + S 0. Magnetski moment povezan je s ukupnim zakretnim momentom J: gdje je g žiromagnetski faktor: µ = µ B ( L+2 S) = µ B g J, g = 1+ J(J +1) + S(S +1) L(L+1) 2 J(J +1) (Landéova jednadžba) Broj kvantnih stanja pojedinog atoma/iona je 2J+1 broj mogućih vrijednosti poznate komponente ukupnog zakretnog momenta J.
Kada nema magnetskog polja: - podjednak je broj atoma/iona u svakom kvantnom stanju - i ima podjednak broj atoma s magnetskom dipolnim momentima u svakom smjeru. Ukupni magnetski moment M = N < µ > = 0. U magnetskom polju B kvantna stanja imaju različite energije, što ovisi o energiji međudjelovanja: E i = µ B = µ B g B J i gdje je J i = J, J +1,..., +J 1, +J. J i je komponenta J u smjeru magnetskog polja.
Broj iona/atoma koji se nalazi u kvantnom stanju energije E i je dan Boltzmannovom raspodjelom: N i e βe i Srednja vrijednost magnetskog momenta u smjeru magnetskog polja: µ i e βe i µ i e βµ ib < µ > = i= J,...,+J i= J,...,+J = k B T B ln e βe i = i= J,...,+J i= J,...,+J i= J,...,+J e βµ ib e βµ ib
Magnetizacija je: gdje je F slobodna energija: F = k B T ln M = N < µ > = B F, i= J,...,+J e βµ ib Izraz u uglatim zagradama je particijska funkcija z N. N z N = e βµ ib i= J,...,+J N = k B T ln(z N ),
Magnetizacija za J=1/2 Particijska funkcija: z = e βµ Bg 1 2 B +e βµ Bg 1 2 B = 2 cosh ( ) 1 2 βµ BgB Magnetizacija: M = 1 2 Nµ Bg tanh ( ) 1 2 βµ BgB N µ2 B g2 4k B T B C T B Temperaturno ponašanje susceptibilnosti χ = C T naziva se Curieov zakon. Konstanta C je tz. Curieova konstanta.
Magnetizacija za proizvoljni J Magnetizacija: M = Nµ B gj B J (βµ B gj B ) Nµ2 B g2 J(J +1) 3k B T gdje je B J (x) = 2J +1 2J tz. Brillouinova funkcija. coth Opet se dobiva Curieov zakon. ( ) 2J +1 2J x B C T B, 1 ( x ) 2J coth 2J
Curieov zakon se pojavljuje U izolatorskim materijalima s nepopunjenom ljuskom, obično atomi s neparnim brojem elektrona po atomu. Djelomično popunjena unutrašnja ljuska: prelazni metali rijetke zemlje aktinidi
Langevenov atomski dijamagnetizam v ρ M B Nabijena čestica koja se giba po kružnici radijusa ρ brzinom v. Magnetsko polje B mijenja gibanje čestice tako da njen zakretni moment M = m ρ v počinje rotirati (precesirati) oko magnetskog polja Larmorovom kutnom brzinom: ω L = q B 2m Larmorova kutna brzina (frekvencija) je puno manja od kutne brzine gibanja čestice ω L ω 0 = v/ρ.
U atomima (He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn) i ionima (Na +, K +,..., F, Cl,... ) u kojima je ljuska sasvim popunjena ukupni zakretni moment i ukupni spin svih elektrona jednak je nuli. Pod utjecajem magnetskog polja elektroni mijenjaju gibanje tako da zakretni moment svakog pojedinačnog elektrona počine precesirati (rotirati) oko magnetskog polja tz. Larmorovom frekvencijom. Neto efekt precesija svih elektrona je da je ukupni zakretni moment različit od nule. Larmorova frekvencija precesije elektrona je ω L = ( e) 2mc B
Neto struja zbog precesije: I = [naboj] [broj okreta u jedinici vremena] = ( e) ( 1 2π eb 2mc ) = 1 4π e 2 B mc Magnetski moment zbog precesije zakretnog momenta jednog elektrona: µ = I c [površina] = e2 B 4 m c 2 ρ2 Ukupni magnetski moment zbog precesije zakretnih momenata svih elektrona: µ = Ze2 B 4 m c 2 < ρ2 > = Ze2 B 4 m c 2 < x2 +y 2 > Kako je: < x 2 +y 2 > = 2 3 < x2 +y 2 +z 2 > = 2 3 < r2 >
Ukupni magnetski moment jednog atoma: Magnetizacija: µ = Ze2 B 6 m c 2 < r2 > M = N µ = NZ e2 6 m c 2 < r2 > B Susceptibilnost: χ d = NZ e2 6 m c 2 < r2 > Kako je susceptibilnost negativna, radi se o dijamagnetizmu (tz. Langevenov atomski dijamagnetizam)
Red.broj Element -χ d 9 F 1 11,8 17 Cl 1 30,4 35 Br 1 43,3 53 I 1 63,6 Red.broj Element -χ d 2 He 2,4 10 Ne 9,0 18 Ar 24,4 36 Kr 35,2 54 Xe 54,0 Red.broj Element -χ d 3 Li +1 0,9 11 Na +1 7,7 19 K +1 18,3 37 Rb +1 27,6 55 Cs +1 44,0 Eksperimentalne vrijednosti χ d izražene u jednicama 10 11 m 3 mol 1. Usporedba: χ d χ p = k BT 3 m e4 8ǫ 2 0 h2 Z < r2 > a 2 0 0,02, gdje je a 0 Bohrov radijus i T = 300 K.