Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2

Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea că sunt egal depărtate, de un punct fix. Punctul fix, ( ) se numeşte centrul cercului iar distanţa de la punctele cercului la punctul fix se numeşte raza cercului. Fie ( ) un punct oarecare al cercului. punctelor respectiv atunci Dacă şi sunt vectorii de poziţie ai k k = p ( ) +( ) = ( ) +( ) = (9.1) Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi + = Teorema 9.1 Oecuaţiedeforma + + + + =cu + (9.) reprezintă uncerccucentrulîn punctul( ) şi de rază = + Demonstraţie. Putem scrie (+) +( +) + =deci cu = = = + obţinem (9.1) Ecuaţia (9.) se numeşte ecuaţia generală acercului. În ecuaţia generală a cercului intervin trei parametrii deci un cerc este determinat de trei condiţii. 13

136 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Teorema 9. Ecuaţia cercului care trece prin trei puncte necoliniare ( )=13 este + 1 1 + 1 1 1 1 + 1 = (9.3) 3 + 3 3 3 1 Demonstraţie. Dacăpunctele ( )=13segăsesc pe cerc, atunci coordonatele acestor puncte verifică ecuaţia cercului. Considerăm un punct ( ) oarecare de pe cerc. Obţinem astfel un sistem de patru ecuaţii cu trei necunoscute + + + + = 1 + 1 + 1 + 1 + = +. + + + = 3 + 3 + 3 + 3 + = Condiţia de compatibilitate a sistemului este ca determinantul caracteristic să fie nul, adică (9.3) Se observă cănumărul 1 1 1 = 1 3 3 1 este coeficientul lui + deci pentru ca (9.3) să reprezinte ecuaţia unui cerc trebuie ca 6= ceea ce reprezintă condiţia ca cele trei puncte să nufie coliniare. Deducerea ecuaţiei tangentei la cerc într-un punct al său, 1 ( 1 1 ) Dacă ( ) este un punct oarecare de pe tangentă, atunci vectorul 1 =( 1 ) +( 1 ) este perpendicular pe vectorul 1 =( 1 ) +( 1 ) adică h 1 1 i = ( 1 )( 1 )+( 1 )( 1 )= ( 1 )[( )+( 1 )] + ( 1 )[( )+( 1 )] = ( 1 )( )+( 1 )( ) [( 1 ) +( 1 ) ]= ( 1 )( )+( 1 )( )= (9.4) Ecuaţia (9.4) se numeşte ecuaţia tangentei la cerc dusă printr-un punct al cercului obţinută prindedublare. Ecuaţiile ½ parametrice ale cercului: = + cos [ ) = + sin Dacă ½ cercul are centrul în origine obţinem parametrizarea: = cos [ ) = sin 9.1. Elipsa Definiţia 9. Elipsa este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea că suma distanţelor la două puncte fixe, şi (numite focare) este constantă şi egală cu R +.

9.1. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 137 Deducerea ecuaţiei elipsei. Pentru a deduce ecuaţia elipsei alegem un reper preferenţial: originea a reperului se considerăîn mijlocul segmentului versorul este versorul vectorului iar versorul se alege perpendicular pe în Din felul în careamalesreperulr deducem că = şi = unde Deci ( ) ( ) şi dacă ( ) este un punct al locului geometric, atunci + = fixat. Rezultă p ( ) + + p ( + ) + = p ( ) + = p ( + ) + Ridicând la pătrat şi efectuând simplificările obţinem: p ( + ) + = + (9.) Pentru ridicăm din nou la pătrat şi efectuând simplificările obţinem: ( ) + ( )= Notăm = dacă sau = dacă şi obţinem + = + 1= (9.6) Ecuaţia (9.6) reprezintă ecuaţia elipsei de semiaxe şi Din (9.) obţinem + = p ( + ) + Notăm = se numeşte excentricitatea elipsei şi obţinem ( + )=p ( + ) + (9.7) Observăm că 1 în cazul elipsei ( deoarece + ) + reprezintă distanţa de la punctul ( ) la dreapta de ecuaţie = numită directoarea elipsei. Elipsa are două dreptedirectoarede ecuaţii = şi = iar punctele elipsei se găsesc între aceste drepte, şi ( = ) Relaţia (9.7) ne arată că raportul distanţelor de la la şi la dreapta directoare de ecuaţie = este constantă şi egală cu excentricitatea elipsei care este subunitară.

138 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Observaţia 9.1 Axa intersectează elipsa în punctele ( ) şi ( ) numite vârfurile elipsei. Axa intersectează elipsatotîn vârfuri, () ( ) Axele şi sunt axe de simetrie pentru elipsă. Punctul ( ) numit centrul elipsei este centru de simetrie. Tangenta la elipsă + 1= (9.8) Ecuaţia (9.8) a tangentei la elipsă dusă printr-un punct ( )depeelipsăseobţine prin dedublare. Reprezentarea paramertică a elipsei: ½ = cos = sin 9.1.3 Hiperbola [ ) Definiţia 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea că diferenţa distanţelor la două punctefixe, şi (numite focare) este constantă şi egală cu R +. Deducerea ecuaţiei hiperbolei. = fixat, dacă sau = dacă Rezultă p douăecuaţii cărora le corespund cele două ramurialehiperbolei, ( + ) + p ( ) + = şi p ( ) + p ( + ) + = Prin calcul şi dacă notăm = + şi obţinem: 1= (9.9) Ecuaţia (9.9) reprezintă ecuaţia hiperbolei de semiaxe şi

9.1. CONICE PE ECUAŢII REDUSE 139 Din (??) obţinem = p ( + ) + Notăm = numită excentricitatea hiperbolei. Observăm că 1 în cazulhiperbolei(deoarece ) + reprezintă distanţa de la punctul ( ) la dreapta de ecuaţie = numită directoarea hiperbolei. Hiperbola are două dreptedirectoarede ecuaţii = şi = iar punctele hiperbolei se găsesc în exteriorul acestor drepte, şi ( = ) Relaţia (??)nearatăcăraportul distanţelor de la la şi la dreapta directoare de ecuaţie = este constantă şi egală cu excentricitatea hiperbolei. Din ecuaţia(9.9)ahiperboleiobţinem: = sau = Rezultăcă dreptele = ± sunt asimptote. Într-adevăr, = lim = µ şi = lim = Dreptele = ± se numesc asimptotele hiperbolei. Tangenta la hiperbolă 1= (9.1) Ecuaţia (9.1) a tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct ( )depehiperbolăse obţine prin dedublare. Observaţia 9. Axa intersectează hiperbola în punctele ( ) şi ( ) numite vârfurile hiperbolei. Axa se numeşte axă transversă. Axa nu intersectează hiperbola. Axele şi sunt axe de simetrie pentru hiperbolă. Punctul ( ) numit centrul hiperbolei este centru de simetrie. Observaţia 9.3 Hiperbola +1= (9.11) este numită şi hiperbola conjugată hiperbolei (9.9) Are aceleaşi asimptote, aceleaşi axe. Exemplu de hiperbolă conjugată: 3 +1=

14 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE y 4-4 - 4 - -4 x Dacă = hiperbola se numeşte echilateră şi are ecuaţia = Asimptotele sale sunt bisectoarele axelor, = şi = Exemplu de hiperbolă echilateră: =1 y 4-4 - 4 - -4 x Tot hiperbolă echilateră este = ± În acest caz asimptotele hiperbolei sunt axele de coordonate. Exemple: = (roşu) şi respectiv = (verde). y - -4-3 - -1 1 3 4 - x 4-1 ½Reprezentarea paramertică ahiperbolei: = ch R = sh 9.1.4 Parabola Definiţia 9.4 Parabola este locul geomertic al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix,, numit numit focar, şi o dreaptă dată, numită dreaptă directoare. Deducerea ecuaţiei parabolei.

9.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 141 Figura 9.1: Pentru a deduce ecuaţia parabolei alegem un reper preferenţial: originea areperului se alege în vârful parabolei, versorul este versorul vectorului iar versorul se alege perpendicular pe în Din felul în care am ales reperul R deducem că = şi dreapta directoare de ecuaţie = Trebuie săavem + r = ( ) + + + 4 = + 4 + = (9.1) Tangenta la parabolă = ( + ) (9.13) Ecuaţia (9.13) a tangentei la parabolă dusă printr-un punct ( ) de pe parabolă se obţine prin dedublare. Observaţia 9.4 Excentricitatea parabolei este =1 Razele care pornesc din focar sunt reflectate de parabolă într-un fascicul paralel cu axa a parabolei. Această proprietate este folosită laconstrucţia farurilor. O reprezentare parametrică a parabolei este = = () 9. Conice pe ecuaţii generale Facultativ Fie reperul R =( )într-un plan ()

14 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Definiţia 9. Conica este locul georetric (Γ) al punctelor din planul () ale căror coordonate ( ),în raport cu reperul ortonormat R satisfac ecuaţia: (Γ) :( ) := 11 + 1 + + 1 + + = unde 11 + 1 + 6= R { 1 } (9.14) Matriceal, ecuaţia conicei se scrie: µ µ 11 1 + µ 1 1 + = Utilizând rotaţia şi translaţia realizămoschimbaredereperdelareperulr =( ) la un reper adecvat orientat pozitiv, numit reper canonic, faţă de care conica(9.14) să aibă cea mai simplă formă posibilă, numită forma canonică. 9..1 Algoritmul de aducere la forma canonică a unei conice. Pasul I. Se realizează rotaţia sistemului de axe, R =( ) R =( 1 ) astfel: µ 11 Fie A = 1 1 Calculăm ecuaţia caracteristică 11 1 = 1 ( 11 + ) + 11 1 = (9.1) Corespunzător valorilor proprii 1 şi avem vectorii proprii ( 1 ) Fie 1 = 1 k 1 k 1 = 1 k k versorii vectorilor proprii. ( 1 ) dau direcţiile noilor axe şi respectiv Dacă 1 = 1 + = 1 + atunci matricea de rotaţie R = µ 1 1 trebuie să indeplinească condiţiacadetr = 1(avemîn vedere posibilitatea înlocuirii unuia din versori prin opusul său sau renumerotarea acestora) pentru a fi la fel orientată cubaza canonică. Facem µ schimbarea µ de coordonate 1 = 1 µ Ecuaţia conicei după rotaţie devine 1 + + 1 + + = Pasul II. Efectuăm translaţia reperului, R =( 1 ) R =( 1 ). Dacă 1 6=conicavafi oconică cu centru. Restrângem pătratele şi efectuăm o translaţie

9.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 143 µ 1 + 1 µ 1 + 1 1 Notăm = + 1 1 = + +( 1 1 µ + µ ) + 1 + ) + 1) ( + +( + 1) ( ( ) = 1 1 ( ) = şi obţinem: 1 + + 1) ( ( ) = care reprezintă forma canonică a 1 conicei. Centrul conicei va fi = 1 1 = în reperulr =( 1 ) Coordonatele centrului conicei raportate la reperul iniţial, µ µ 1 = 1 1 1 reprezintă origineareperuluir =( 1 )( ) Discuţia tipului conicei 1 1) ( ( ) Tipul conicei 1 + + + elipsă imaginară + + - elipsă reală + - hiperbolă + + hiperbolă + + un punct + - două drepte concurente - + două drepte concurente Desenăm graficul conicei în noul sistem de axe. (exemplele 9.1,9.). Algoritmul se opreşte. Pasul III Dacă 1 =. În acest caz o valoare proprie este nulă deoarece(ambele valori proprii nu pot fi nule). Presupunem că 6= Vom obţine ( ) + 1 + + =Restrângem pătratele şi efectuăm o translaţie à + + µ + µ! = ( ) 1 = 1 à + 1!

144 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Notăm = + = + 1 iar forma canonică vafi: = 1 = 1 Dacă 1 = conica se reduce la două drepte confundate. Dacă 1 6= conica este o parabolă. Vîrful parabolei va fi şi originea noului reper. Coordonatele originii în sistemul rotit vor 1 fi: = = rotaţia: µ µ 1 = 1 În sistemul iniţial coordonatele originii se obţin aplicînd 1 Se desenează parabola. Algoritmul se opreşte. (Exemplul 9.3) Observaţia 9. Conicele nedegenerate sunt elipsa (cercul este un caz particular de elipsă), hiperbola şi parabola. Conicele degenerate sunt punctul, două drepte paraleleşi două drepte secante. 9.. Exemple Exemplul 9.1 Să se aducă la forma canonică conica +8 + 18 18 +9= şi să se reprezinte grafic. Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 4 9 9 µ +9= 4 µ 4 Matricea formei pătratice este 4 Ecuaţia caracteristică este 1 +9= 1 =1 =9 Vectorii ½ proprii se obţin rezolvând sistemele: 41 +4 = 4 1 +4 = 1 = ³ 1 = 1 ½ 41 +4 = 4 1 4 = = + ³ = 1 + Matricea de rotaţie este:

9.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 14 R = Ã 1 1 1 1! det R =1 Transformarea coordonatelor este dată de µ Ã! 1 µ 1 = 1 1 Ã! 1 µ 1 Ã 4 1 1 1 1 1 4 9 9 Ã 1 1 1 1 1! µ +9=! µ ( ) +9( ) 18 +9= ( ) +9 ( ) + 9= ( ) +9( ) 9= Conica este o elipsă. Notăm ½ = = Forma canonică este +9 9= 9 + 1= Originea reperului în care conica are forma canonică este µ Ã! 1 µ µ 1 = 1 1 1 = 1 Trasarea graficului: -rotaţia sistemului de axe: reperul R =(; ) trece în reperulr =(; 1 ) Sensul axelor ( )estedatdevectorii ³ 1 = 1 ³ = 1 + R =(; ) R =( 1 ) Figura 8.7. -translaţiasistemuluideaxe: reperul R =( 1 ) trece în reperul R =( 1 ) unde (1 1)

146 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE în acest ultim reper trasăm graficul elipsei: Fig. 8.8 Exemplul 9. Să se aducă la forma canonică conica 3 4 +4 3= şi să se traseze graficul. Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 3 + 1 µ 3= µ 3 Matricea formei pătratice este Ecuaţia caracteristică este 3 4= 1 = 1 =4 Vectorii ½ proprii se obţin rezolvând sistemele: 41 = 1 + = 1 = + ³ 1 = 1 + ½ 1 = 1 4 = = + ³ = 1 +

9.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 147 R = Ã! 1 1 det R =1 Transformarea coordonatelor este dată de µ Ã! 1 µ = 1 Ã! 1 µ Ã! 3 1 µ 1 1 + + 1 Ã! 1 µ 1 3= 4( ) ( ) + 6 + 8 3= 4 ( ) + + 1 ( ) 6 + 9 = ³ 4 + ³ + 3 = Conica este o hiperbolă. Notăm ( = 3 = + Forma canonică este4 = + 1= Originea reperului în care conica are forma canonică este µ Ã =!Ã 1 3 1! µ 1 = 1 Trasarea graficului: -rotaţia sistemului de axe: reperul R =(; ) trece înreperulr =( 1 ) Sensul axelor ( )estedatdevectorii ³ 1 = 1 + şi = 1 ³ + R =(; ) R =( 1 ) -translaţia sistemului de axe: reperul R = ( 1 ) trece în reperulr = ( 1 )unde (1 1)

148 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE în acest ultim reper trasăm graficul: y 4-4 - 4 - x -4 Exemplul 9.3 Să se aducă la forma canonică şi să se deseneze conica: 4 +4 6 + +1= Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 1 + 3 1 µ +1= 4 µ 1 Matricea formei pătratice este 4 Ecuaţia caracteristică este = 1 = = Vectorii ½ proprii se obţin rezolvând sistemele: pentru 1 = 1 = 1 +4 = 1 = + ³ 1 = 1 + pentru ½ = 41 = 1 1 = = ³ = 1 Ã! 1 R = det R = 1 1 deci ma- Pentru ca det R =1schimbăm sensul vectorului = 1 ³ + tricea deã rotaţie va fi 1 = 1! Transformarea coordonatelor este dată de

9.. CONICE PE ECUAŢII GENERALE 149 µ Ã =! 1 µ 1 Ã 1 1! µ 1 4 + 3 1 Ã! 1 µ 1 +1= ( ) + +1= ³ + 1 = Ã! 1 µ 1 + ³ ( ) + + 1 = Notăm ½ = = + 1 Forma canonică este = Vârful parabolei va fi în punctul( 1 ) coordonatele punctului fiind în sistemul rotit. În sistemul iniţial coordonatele vârfului parabolei vor fi µ Ã! 1 µ µ = 1 1 1 = ( 1 ) Trasarea graficului: -rotaţia sistemului de axe: reperul R =(; ) trece înreperulr =( 1 ) Sensul axelor ( ) este dat de vectorii 1 = 1 ³ + ³ = 1 R =(; ) R =( 1 ) -translaţia sistemului de axe: reperul R = ( 1 ) trece în reperulr = ( 1 ) unde va fi vârful parabolei

1 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE în acest ultim reper trasăm graficul parabolei: y 4-4 - 4 - x -4 Exemplul 9.4 Să se aducă la forma canonică şi să se deseneze conica: + + + + 3= Rezolvare: Matriceal, ecuaţia conicei se scrie µ µ 1 1 + 1 1 µ 3= 1 1 µ 1 1 Matricea formei pătratice este 1 1 1 = = Vectorii proprii se obţin rezolvând sistemele: pentru 1 = ½ 1 + = 1 + = 1 = ³ 1 = 1 pentru ½ = 1 + = = + ³ = 1 + R = 1 = Ã 1 1 1 1 1! det R =1 Transformarea µ Ã coordonatelor! este dată de 1 µ 1 = 1 Ecuaţia caracteristică este =

9.3. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 11 Ã! 1 µ 1 1 1 1 1 1 1 Ã 1 1 1! µ 3= 1! µ + + 1 1 Ã 1 1 1 1 + 3= + +1 4= +1 4= 1 +3 = conica reprezintă douădrepte paralele µ Ã! 1 µ 1 µ = 1 1 1 = 1 1 + 1 1= ( 1 + 1 ) = + 1 +3= ( 1 + 1 ) +3= + +3= = 3 =1 y 6 4-4 - 4 - -4-6 -8 x 9.3 CUADRICEPEECUAŢII REDUSE Numim cuadrice nedegenerate suprafeţele: sfera, elipsoidul, hiperboloidul cu o pânză, hiperboloidul cu două pânze, paraboloidul eliptic şi paraboloidul hiperbolic. Deoarece ele admit într-un reper ortonormat reprezentări analitice pe ecuaţii algebrice de gradul doi, ele sunt suprafeţe algebrice de ordinul al doilea. 9.3.1 Sfera Fie reperul R =(; )şi punctele ( ) = 1 3 Reamintim formula distanţei dintre două puncte: dist( 1 )= p ( 1 ) +( 1 ) +( 1 ) Definiţia 9.6 Locul geometric al punctelor din spaţiu ( ) cu proprietatea că distanţa lor la un punct fix ( ) este constantă senumestesferă (suprafaţă sferică). Dacă respectiv sunt vectorii de poziţie ai punctelor şi atunci k k = (9.16)

1 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE ( ) se numeşte centrul sferei, iar este raza sferei. Teorema 9.3 Punctul ( ) aparţine sferei de centru ( ) şi rază dacă şi numai dacă ( ) +( ) +( ) = (9.17) Demonstraţie. sferei k k = k k = p ( ) +( ) +( ) = ( ) +( ) +( ) = Observaţia 9.6 Ecuaţia (9.16) se numeşte ecuaţia vectorială asferei. Ecuaţia (9.17) se numeşte ecuaţia carteziană implicită asferei. Ecuaţia sferei este un polinom de grad doi în,termenuldegraddoifiind + + Aceasta ne sugerează să cercetăm ecuaţia + + + + + + = şi să stabilim în ce caz ea reprezintă ecuaţia unei sfere. Această ecuaţiesemaipoatescrie de forma ( + ) +( + ) +( + ) = + + De aici observăm că dacă a) + + ecuaţia reprezintă osferă de centru ( ) şi rază = + + b) + + = ecuaţia reprezintă un punct de coordonate ( ); c) + + ecuaţia reprezintă osferăimaginară Ecuaţia + + + + + + =cu + + reprezintă ecuaţia carteziană generală a sferei. Ecuaţia sferei cu centru în origineşi de rază este + + = Observaţia 9.7 Sfera este o mulţime mărginită şi închisă, deci compactă. Punctele de pe suprafaţa sferică sunîn interiorul unui pătrat deoarece din ecuaţia ( ) +( ) + ( ) = rezultă că( ) + Analog şi pentru şi Ecuaţiile parametrice ale sferei cu centru în ( ): = + cos sin h = + sin sin [ ) i = + cos

9.3. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 13 9.3. Elipsoidul Definiţia 9.7 Locul geometric al punctelor ( ) din spaţiu care satisfac ecuaţia + + =1 R + (9.18) se numeşte elipsoid. Studiem forma acestei suprefeţe plecând de la ecuaţia (9.18). Deoarece coordonatele apar în ecuaţia(9.18)lapătrat, rezultă cădacă punctul ( ) aparţine elipsoidului, atunci şi punctele 1 ( ) ( ) 3 ( ) aparţin elipsoidului. Dar aceste puncte sunt simetricele punctului faţă de planele de coordonate. Deci planeledecoordonate( ) sunt plane de simetrie ale suprafeţei. Analog şi punctele 4 ( ) ( ) 6 ( ) simetricele faţă deaxeledecoordonate ale punctului aparţin elipsoidului, deci acesta admite trei axe de simetrie. Punctul 7 ( ) simetricul faţă de origine a punctului se află pesuprafaţă, deci elipsoidul admite un centru de simetrie. În concluzie elipsoidul admite -trei plane de simetrie, -trei axe de simetrie şi -un centru de simetrie. Punctele în care axele de coordonate intersectează suprafaţa se numesc vârfurile elipsoidului şi ele sunt: ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ). Numerele se numesc semiaxele elipsoidului. Pentru a ne da seama de forma acestei suprafeţe, o intersectăm cu planele de coordonate şi cu plane paralele cu planele de coordonate. Intersecţiile elipsoidului cu planele de coordonate sunt elipse şi anume: + =1 = + =1 = + =1 = Intersectând elipsoidul cu plane paralele cu obţinem elipse: + =1 pentru [ ] =

14 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Analog cu plane paralele cu + =1 = + =1 = Teorema 9.4 Elipsoidul este o mulţime mărginită şi închisă, deci compactă. Demonstraţie. Din ecuaţia elipsoidului rezultă 1 1 1 toate punctele elipsoidului sunt cuprinse în interiorul unui paralelipiped cu laturi de lungimi finite. Ecuaţia planului tangent la elipsoid printr-un punct al elipsoidului se obţine prin dedublare. Fie ( ) un punct de pe elipsoidul de ecuaţie (9.18). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este + + =1 O reprezentare parametrică a elipsoidului se obţine de forma: = cos sin h = sin sin [ ) i = cos Suprafaţa reprezentată prin ecuaţia: + + +1= se numeşte elipsoid imaginar. 9.3.3 Hiperboloidul cu o pânză Definiţia 9.8 Locul geometric al punctelor ( ) din spaţiu care satisfac ecuaţia + 1= R + (9.19) Numerele se numesc semiaxele hiper- se numeşte hiperboloid cu o pânză. boloidului. Observaţia 9.8 Tot hiperboloizi cu o pânză reprezintă ecuaţiile: + 1= + + 1=

9.3. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 1 Hiperboloidul cu o pânză are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul. Are patru vârfuri, ( ) ( ) () ( ). Intersecţiile cu planele =şi =sunt hiperbole, =1 respectiv = =1 iar cu planul = intersecţia este = o elipsă + =1 = Intersecţiile cu plane paralele cu = sunt elipse reale, oricare ar fi R: + =1+ = Intersecţiile cu plane paralele cu planele şi respectiv sunt hiperbole, = =1 = =1 Rezultă că hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă nemărginită. Dacă = elipsele de intersecţie ale suprafeţei cu plane paralele cu planul sunt cercuri. Cuadrica + =senumeşte conul asimptotic al hiperboloidului cu o pânză.

16 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE Ecuaţia planului tangent la hiperboloidul cu o pânză printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie ( ) un punct de pe hiperboloidului cu o pânză de ecuaţie (9.19) Ecuaţia planului tangent prin acest punct este + =1 O reprezentare parametrică a hiperboloidului cu o pânză este: = cos cos = sin ³ [ ) cos = tg O a doua reprezentare parametrică a hiperboloidului cu o pânză seobţine, ţinînd seama că 1+sh =ch luând = sh Avem: = cos ch = sin ch [ ) R = sh 9.3.4 Hiperboloidul cu două pânze Definiţia 9.9 Locul geometric al punctelor ( ) din spaţiu care satisfac ecuaţia + 1= R + (9.) se numeşte hiperboloid cu două pânze. Numerele se numesc semiaxele hiperboloidului. Observaţia 9.9 Tot hiperboloizii cu două pânze reprezintă ecuaţiile: 1= + 1= 1= - + + +1= + 1= + +1= + +1= + + +1=

9.3. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 17 Hiperboloidul cu două pânze are aceleaşi simetrii ca şi elipsoidul. Are două vârfuri ( ) ( ). Intersecţiile cu planele =şi =sunthiperbole =1 = =1 = Intersecţiile cu plane paralele cu = sunt elipse: + = 1 ( ] [ ) = Intersecţiile cu plane paralele cu planele şi sunt hiperbole =1+ = =1+ = Hiperboloidul cu două pânze este o mulţime nemărginită. Cuadrica =senumeşte conul asimptotic al hiperboloidului cu două pânze. Ecuaţia planului tangent la hiperboloidul cu două pânze printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie ( ) un punct de pe hiperboloidului cu două pânze de ecuaţie (9.). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este =1 O reprezentare parametrică a hiperboloidului cu două pânze este: = cos sh = sin sh [ ) R + = ch 9.3. Paraboloidul eliptic Definiţia 9.1 Locul geometric al punctelor ( ) din spaţiu care satisfac ecuaţia + = (9.1)

18 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE se numeşte paraboloid eliptic. Observaţia 9.1 Tot paraboloizi eliptici reprezintă ecuaţiile: + = + = Planele de coordonate şi sunt plane de simetrie, iar axa este axă de simetrie asuprafeţei. Paraboloidul eliptic nu are centru de simetrie. Din relaţia (9.1) rezultăcă deci paraboloidul eliptic esta situat deasupra planului Intersecţiile cu planele = sunt curbele + = = care reprezintă pentru elipse reale ale căror semiaxe cresc odată cu Pentru = obţinem = = =adică originea reperului. Punctul este singurul vârf al suprafeţei. Intersecţiile cu celelalte plane de coordonate sunt parabole. Intersecţiile cu plane paralele cu şi sunt parabole = = = = Ecuaţia planului tangent la paraboloidul eliptic printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie ( ) un punct de pe paraboloidului eliptic de ecuaţie (9.1). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este + = + O reprezentare parametrică a paraboloidului eliptic se obţine luând = : = cos = sin = 1 ( ) [ ) [ ) 9.3.6 Paraboloidul hiperbolic Definiţia 9.11 Locul geometric al punctelor ( ) din spaţiu care satisfac ecuaţia = (9.)

9.3. CUADRICE PE ECUAŢII REDUSE 19 se numeşte paraboloid hiperbolic. Observaţia 9.11 Tot paraboloizi hiperbolici reprezintă ecuaţiile: = = Planeledecoordonate şi suntplanedesimetrie,iaraxa este axă de simetrie asuprafeţei. Paraboloidul hiperbolic nu are centru de simetrie. Intersecţiile cu planele = sunt curbele = = care reprezintă hiperbole. Pentru =obţinem = adică o pereche de drepte secante prin origine. Punctul este singurul vârf al suprafeţei. Intersecţiile suprafeţei cu plane paralele cu planul sunt parabole = + = iar intersecţiile suprafeţei cu plane paralele cu planul sunt parabole = + = Ecuaţia planului tangent la paraboloidul hiperbolic printr-un punct al său se obţine prin dedublare. Fie ( ) un punct de pe paraboloidului hiperbolic de ecuaţie (9.). Ecuaţia planului tangent prin acest punct este = + O reprezentare parametrică a paraboloidului eliptic se obţine luând:

16 CAPITOLUL 9. CONICE ŞI CUADRICE = = = 1 ( ) ( ) R 9.4 Cuadrice degenerate Numim cuadrice degenerate următoarele suprafeţe: suprafaţa determinată de o pereche de plane, cilindrul pătratic, conul pătratic. 9.4.1 Cilindri pătratici Cilindrii pătratici sunt de trei tipuri: a) cilindrul eliptic are ecuaţia canonică + 1= (9.3) Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul = obţinem elipsele de semiaxe şi pentru orice R + 1=. = Observaţia 9.1 Tot cilindrii eliptici au ecuaţiile + 1= + 1= b) cilindrul hiperbolic are ecuaţia canonică 1= (9.4) Intersectând aceastăsuprafaţă cu plane paralele cu planul = obţinem hiperbole de semiaxe şi pentru orice R

9.4. CUADRICE DEGENERATE 161 1=. = Tot cilindrii hiperbolici sunt 1=; 1= c) cilindrul parabolic are ecuaţia canonică = (9.) Intersectând aceastăsuprafaţăcu plane paralele cu planul = obţinem parabolele pentru ½ orice R =. = Tot cilindrii parabolici sunt = = = = = 9.4. Conul pătratic Conul pătratic este suprafaţa de ecuaţie + = R + (9.6) Intersectând această suprafaţă cu plane paralele cu planul = obţinem elipsele pentru orice R + =. = Observaţia 9.13 Tot conuri pătratice reprezintă ecuaţiile + = + + =