Fyrir x(t) = u(t) þá fáum við lim t y(t) = lim t tu(t) = sem er óstöðugt. (oft er gott að skoða hvort impúlssvörunin sé alsamleitin, ef svo er, þá er kerð stöðugt). Tímaóháð Ker er tímaóháð ef það kemur sama niðurstaða þegar því er hliðrað um t 0. y(t) = f(x(t)) y(t t 0 ) = f(x(t t 0 )) Einfalt próf fyrir merkið y(t) = x(t t ) + x( e t ): y (t) = x (t t ) + x ( e t ) x (t) = x (t + T ) y (t) = x (t t ) + x ( e t ) y (t) = x (t t + T ) + x ( e t + T ) x (t + T (t + T ) ) + x ( e (t+t ) ) = y (t + T ) Línulegt Ker er línulegt ef það uppfyllir: y(t) : = f(x(t)) αy (t) + βy (t) = f(αx (t) + βx (t)) y (t) = + cos t x (t cos t) y (t) = + cos t x (t cos t) x 3 (t) = ax + bx y 3 (t) = + cos t x 3(t cos t) = + cos t (ax (t cos t) + bx (t cos t)) = a + cos t x (t cos t) + b + cos t x (t cos t) = ay (t) + by (t) Yrlit yr samfelld og stakræn sínusmerki Samfellt: x(t) = e jω 0t Stakrænt: x[n] = e jω 0n Ólík merki f. ólík w 0, w Eins merki ef Ω = Ω + w e jw t e jω t πk (k Z) Lotubundið óháð ω 0 Lotubundið ef og aðeins ef Ω 0 = πk/n (K, N Z) Grunntíðni ω 0 Grunntíðni sveilfu Ω 0, grunntíðni endurtekninga Ω 0/K Grunnlota T 0 = π/ω 0 Grunnlota N = Kπ/Ω 0 (ef K/N fullstytt). Lotubundin ker x(t + T ) = x(t) f 0 = T 0 T 0 er minnsta mögulega gildi á T ω 0 = π T 0 ω = π f Ef x og x eru bæði lotubundin með loturnar T og T og hlutfallið T = N T K (fullstytt) þá er lota x + x KT = NT. Ef N/K er ekki ræð tala þá er x +x ekki lotubundið. Í stakrænum merkjum er talað um F 0 (í stað f 0 ) og Ω 0 (í stað ω 0 ). Eiginleikar kerfa Minni Ker er með minni ef það er háð einhverju innmerki á öðrum tíma en útmerkið (bæði í framtíð og fortíð). Annars er það minnislaust. Öll minnislaus ker eru orsakatengd (og andorsakatengd). Minni Minnislaust y[n] = `x[n] x [n] y[n] = x[n ] + x[n] Andhverfanleiki Ker er andhverfanlegt ef hvert einstakt innmerki skilar einstöku útmerki. Andhverfanlegt y[n] = x[n] z[n] = y[n] Óandhverfanlegt y[n] = sin(x[n]) Ef útmerkið á öllu bilinu til notast ekki við öll gildi á x[n] (þ.a. n taki allt bilið til ) þá tapast upplýsingar um innmerkið og kerð er ekki andhverfanlegt. Orsakatengsl Ker er orsakatengt ef það er bara háð innmerkinu í nútíð og þátíð. Ef það er ekki orsakatengt þá er það óorsakatengt. Ef kerð er bara háð nútíðar og framtíðarstökum þá er það andorsakatengt. Orsakatengt y[n] = x[n] + x[n ] Andorsakatengt y[n] = x[n] + x[n + ] Óorsakatengt y[n] = x[n ] + x[n + ] Stöðugt Ker er stöðugt ef fyrir takmarkað innmerki kemur takmarkað útmerki. Dæmi: Z t y(t) = x(τ)dτ Fourier raðir Skilgreinum mengi harmónískt tengdra veldisfalla x k (t) sem hafa C = og a = jkω 0 þar sem ω 0 er sameiginlega grunntíðni þeirra: n e jkω 0t o k N Fourier raðir samfelld föll x(t) = ω 0 a k e jk π/t t ω 0 a k = Z x(t)e jk π/t t dt Parseval: Z x(t) dt = a k Meðala kta tíðniþáttar: Z Z a k e jkω 0t dt = a k dt = a k Tíðnisvörun LTI: Ef x(t) = e jkω0t þá: Z H(jkω 0 ) = h(t)e jkω0t dt Fourier raðir stakræn föll x[n] = X k=<n> Ω 0 a k e jk π/n n Tíðnisvörun LTI: Ef x[n] = z n þá: H(z) = a k = N X Ω 0 x[n]e jk π/n n k=<n> h[k]z k Fourier vörpun samfelld X(jω) = x(t)e jωt dtx(t) = X(jω)e jωt dω π Fourier duality: g(t) G(jω) G(t) πg(jω) Fourier vörpun stakræn X(e jω ) = x[n]e jωn x[n] = Z X(e jω )e jωn dω π π n=
Lotubundið: x[n] = X(e jω ) = X k=<n> a k e jkπ/nn πa k δ Ω πk «N Laplace vörpun X(s) = x(t)e st dt x(t) = Z σ+j X(s)e st ds πj σ j X u(s) = x(t)e st dt (einhliða) 0 Um LTI ker gildir: Ef kerð er orsakatengt þá er samleitnisvæðið hægra hálfplan. Andstæðan gildir ef H(s) er rætt fall. Ef kerð er andorsakatengt þá er samleitnisvæðið vinstra hálfplan. Ef kerð er stöðugt þá inniheldur samleitnisvæðið jω ásinn og öfugt. Um einhliða Laplace vörpun gildir: d n x dt n xn X u(s) s n x(0 ) s n x (0 ) x (n ) (0 ) Z vörpunin X(z) = x[n]z n Um LTI ker gildir: n= x[n] = I X(z)z n dz πj Z X u(z) = x[n]z n (einhliða) n=0 Ef kerð er orsakatengt þá er samleitnisvæðið utan hrings, þ.m.t. z =, og öfugt. Ef kerð er stöðugt þá inniheldur samleitnisvæðið einingarhringinn og öfugt. Tíðnisvörun kers má fá með því að stinga z = e jω inn í yrfærslufallið H(z). Um einhliða Z vörpun gildir: Raðir Annað x[n k] z k X u(z) + z k+ x[ ] + z k+ x[ ] + + x[ k] (a) k = a k=0 ( ) k+ k = ln k= k = π 6 k= ( ) k + k = π 4 k=0 Impúlssvörun lýsir LTI kerfum fullkomlega en engum öðrum. H = Y X Tvinnveldisföll Almennt form x(t) = Ce at C = x(0) Veldisvaxtarföll x(t) = Ce t/τ τ = a (tímastuðull) Sínusbylgur x(t) = Ae jφ e jω 0t = A cos(ω 0 t + φ) + ja sin(ω 0 t + φ) Euler Með umslagi e jθ = cos(θ) + j sin(θ) x(t) = Ae σ 0t e j(ω 0t+φ) = Ae σ 0t cos(ω 0 t + φ) + jae σ 0t sin(ω 0 t + φ) Ae σ 0t er umslagið með tímastuðulinn τ = /σ 0 Földun y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = x[]h[n + ] + + x[ ]h[n + ] + x[0]h[n] + x[]h[n ] + + x[k ]h[ ] + x[k]h[0] + x[k + ]h[] + + x[ ]h[n ] y(t) = x(t) h(t) = x(τ)h(t τ) dτ Hornafallareglur x[n] h[n] = h[n] x[n] x[n] (h [n] + h [n]) = x[n] h [n] + x[n] h [n] x[n] (h [n] h [n]) = (x[n] h [n]) h [n] sin( θ) = sin(θ) cos( θ) = cos(θ) sin z = ejz e jz j cos z = ejz + e jz cos(θ φ) + cos(θ + φ) cos θ cos φ = sin(θ + φ) + sin(θ φ) sin θ cos φ = cos + cos θ θ = cos(θ ± φ) = cos θ cos φ sin θ sin φ x(t) h(t) = h(t) x(t) x(t) [h (t) + h (t)] = x(t) h (t) + x(t) h (t) x(t) [h (t) h (t)] = [x(t) h (t)] h (t) sin (θ + π/) = cos(θ) cos (θ + π/) = sin(θ) sin x = I `e ix cos x = R `e ix cos(θ φ) cos(θ + φ) sin θ sin φ = sin cos θ θ = sin(θ ± φ) = sin θ cos φ ± cos θ sin φ