Svetlost kao elektromagnetni talas

Svetlost kao elektromagnetni talas.. Intenzitet magnetnog polja ravnog monohromatskog talasa u vakuumu dat je izrazom: ( B = B 0 sin ω t x ), c pri čemu je B 0 = 2 0 9 T i ω = π 0 5 rad/s. Izračunati: a) frekvenciju, talasnu dužinu i talasni broj ovog talasa; b) jačinu električnog polja. Najjednostavniji oblik talasnog kretanja je ravni harmonijski talas kod koga se intenziteti električnog i magnetnog polja menjaju na sledeći način: ( E y = E 0 sin ω t x ) = E 0 sin (ωt kx), v B z = B 0 sin ω ( t x ) = B 0 sin (ωt kx), v gde je k = ω/v = 2π/λ talasni broj, a ω = 2πν ugaona frekvencija (indeksi,,y i,,z odnose se na ose Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i ukazuju da su vektori E i B normalni kako med usobno, tako i na pravac prostiranja talasa u ovom slučaju to je pravac x ose). Kao i kod mehaničkih talasa i ovde je v = λ ν = ω/k, pri čemu je: v = ε0 ε r µ 0 µ r = c εr µ r. Veza izmed u električnog i magnetnog polja u elektromagnetnom talasu je: B = v E. a) Iz relacije ω = 2πν,

dobija se da je: ν = ω 2π = π 05 rad/s 2π Talasna dužina talasa je: = 2 05 = 5 0 4 Hz. a talasni broj: λ = c ν = 3 08 m s 5 0 4 Hz = 6 0 7 m = 600nm, k = 2π λ = 2 3,4 6 0 7 m =,05 07 m. b) Amplituda električnog polja jednaka je: E 0 = c B 0 = 0,6 V m, tako da se električno polje menja u skladu sa jednačinom: ( E [V/m] = 0,6 sinπ 0 5 t x ). c.2. Talasna dužina žute natrijumove svetlosti u vakuumu iznosi λ = 589 nm. Koliko iznose odgovarajuća frekvencija i talasni broj? Iz relacije: sledi: dok na osnovu veze: sledi: ν = c λ = λ ν = c, 3 08 m s 589 0 9 m = 5,09 04 Hz, k = 2π λ k = 2 3,4 589 0 9 m =,07 07 m. 2

.3. Koliko iznose brzina širenja i talasna dužina elektromagnetnog talasa čija je frekvencija ν = 600MHz u benzolu (ε r = 2,3)? S obzirom da je : sledi: v = c εr µ r = 3 08 m/s 2,3 =,98 0 8 m/s, λ = v ν =,98 08 m/s 600 0 6 Hz = 0,33m..4. Elektromagnetni talas frekvencije 9 M Hz prelazi iz vakuuma u nemagnetnu sredinu (µ r = ) relativne permitivnosti ε r = 8 (voda). Kolika je promena talasne dužine ovog talasa pri prelasku iz jedne sredine u drugu? Talasna dužina u vakuumu iznosi: λ 0 = c ν, a u nemagnetnoj sredini relativne permitivnosti ε r : λ = v ν, gde je: pa je: odnosno: v = c εr µ r, λ = λ λ 0 = c ν c ε r ν = c ( ) = ν εr = 3 ( ) 08 m/s 9 0 6 = 29,6m, Hz 8 λ λ = = 0,89 = 89%. εr 3

.5. Električno polje svetlosnog talasa dato je izrazom: ( ) E [V/m] = 0,5 sin π,2 0 5 t 4 0 6 x. Odrediti amplitudu, frekvenciju, talasnu dužinu, period i brzinu ovog talasa. Upored ivanjem date jednačine sa jednačinom ravnog harmonijskog talasa: ( E = E 0 sin ω t x ) = E 0 sin (ωt kx) v može se zaključiti sledeće: Amplituda talasa je: E 0 = 0,5 V m, frekvencija: talasna dužina: λ = 2π k = ν = ω 2π =,2 05 π 2π = 6 0 4 Hz, 2π 4π 0 6 m = 5 0 7 m = 500nm, period: i brzina: T = 2π ω = ν =,67 0 5 s, v = λ ν = 5 0 7 m 6 0 4 Hz = 3 0 8 m s..6. Koliko visokofrekventnih oscilacija talasne dužine λ = 375 m se izvrši za vreme jednog perioda zvučnog talasa frekvencije ν zv = 500Hz, stvorenog ispred mikrofona predajne stanice sa datom talasnom dužinom? 4

Broj oscilacija se izražava kao: gde je: N = ν t, ν = c λ = 3 08 m s 375m = 8 05 Hz, frekvencija koja odgovara elektromagnetnom talasu talasne dužine λ = 375 m. Za vreme jednog perioda zvučnih oscilacija: izvrši se, dakle: t = T zv = ν zv = 500Hz = 0,002s N = ν t = 8 0 5 Hz 0,002s = 600oscilacija. Zadaci za samostalni rad:.7. Dato je električno polje elektromagnetnog talasa u vakuumu: ( E y = E 0 sin ω t x ), c gde je E 0 = 50N/C i ω =,02π 05 rad s (žuta svetlost). Odrediti frekvenciju, talasnu dužinu i period ovog talasa..8. Ravni elektromagnetni talas frekvencije,5 0 4 Hz prostire se kroz vakuum. Amplituda električnog polja ovog talasa iznosi 60 V/m. Napisati jednačine za jačine električnog i magnetnog polja tog talasa..9. U homogenoj nemagnetnoj sredini relativne dielektrične propustljivosti ε r = 3 prostire se elektromagnetni talas. Amplituda jačine električnog polja iznosi 0 V/m. Kolika je amplituda jačine magnetnog polja? 5

.0. U nemagnetnoj sredini prostire se ravan elektromagnetni talas. Jačina električnog polja talasa menja se po zakonu: ( ) E = 0 sin 0 0 t 66,7x (u jedinicama SI). Kolika je brzina talasa u toj sredini? Kolika je relativna dielektrična propustljivost sredine? 6

Korpuskularna priroda svetlosti 2.. Koliko fotona emituje svake sekunde radio-odašiljač snage 2kW koji radi na talasnoj dužini 205m? Emitovana energija jednaka je celobrojnom umnošku elementarnog kvanta energije (fotona): E = N hν = N hc λ, a pošto je: E = P t = 2 0 3 W s =,2 0 4 J, sledi: N = E λ h c =,2 0 4 J 205m 6,626 0 34 J s 3 0 8 m/s =,24 03. 2.2. Izračunati frekvenciju fotona koji nastaje kada se elektron kinetičke energije E = 20 kev zaustavi pri sudaru sa teškim jezgrom, pod pretpostavkom da se 80% kinetičke energije elektrona transformiše u energiju fotona. Pod uslovima zadatka sledi da je: a odavde je: 0,8 E k = h ν, ν = 0,8 E k h = 0,8 2 04,6 0 9 J 6,626 0 34 J s = 3,86 0 8 Hz. 2.3. Koliku talasnu dužinu treba da ima foton da bi njegova energija bila jednaka energiji mirovanja elektrona? S obzirom na relaciju: hc λ = m e c 2 7

sledi: λ = hc m e c 2 = h m e c = 6,626 0 34 J s 9, 0 3 kg 3 0 8 m s = 2,42 0 2 m. 2.4. Monohromatska svetlost talasne dužine 450nm pada normalno na površinu S = 4cm 2. Ako je intenzitet svetlosti I = 0,5 W m 2, odrediti koliko dugo površina treba da bude izložena svetlosti da bi na nju palo 0 20 fotona. Intenzitet svetlosti: a energija emitovanih fotona: I = P S = E S t, Kombinacijom ovih relacija dobija se: t = E = N hν = N hc λ. E I S = N hc I S λ = 020 6,626 0 34 J s 3 0 8 m s 0,5 W 4 0 m 4 m 2 450 0 9 m = 2 = 7,362 0 5 s = 8,52dana. 2.5. Spektralna gustina Sunčevog zračenja ima maksimum za talasnu dužinu 480nm. a) Izračunati temperaturu Sunčeve površine pod pretpostavkom da Sunce zrači kao crno telo. b) U kom delu spektra bi spektralna gustina bila maksimalna kada bi se temperatura Sunca smanjila na jednu trećinu sadašnje vrednosti? a) Iz Vinovog zakona se dobija: T = b λ m = 2,9 0 3 K m 480 0 9 m = 604,7K. 8

b) Na temperaturi: T = T 3 = 203,9K maksimum zračenja bio bi na talasnoj dužini: λ m = b T = 2,9 0 3 K m 203,9K =,44 0 6 m. 2.6. Užarena ploča površine 20cm 2 zrači 0,5kWh energije u minuti. a) Odrediti temperaturu ploče ako pretpostavimo da zrači kao apsolutno crno telo. b) Da li je ta ploča zaista crna? a) Iz Štefan Bolcmanovog zakona: I = P S = σ T 4, dobija se da je ukupna izračena energija: E = P t = S σ T 4 t, a odavde je: E T = 4 Sσ t = 0,5 0 3 3600J 4 20 0 4 m 2 5,67 0 8 W m 2 K 60s 4 T = 4033K. b) Talasna dužina na kojoj je spektralna gustina maksimalna dobija se iz Vinovog zakona: λ m = b T = 2,9 0 3 K m 4033K = 7,9 0 7 m = 79nm. Ova talasna dužina pripada krajnjem crvenom delu vidljivog spektra, tako da će ploča imati tamnocrvenu boju. 9

2.7 Apsolutno crno telo zagrejano je do temperature T = 2900K. U procesu hlad enja ovog tela, talasna dužina na kojoj je spektralna gustina zračenja maksimalna promeni se za λ = 9µm. Do koje se temperature T 2 ohladilo telo? Prema Vinovom zakonu, za temperaturu T je: λ () m = b T, a za temperaturu T 2 : λ (2) m = λ () m + λ, b = b + λ = b + λt, T 2 T T pa je tražena temperatura: T 2 = bt b + λt = 290K. 2.8. Temperatura čovekovog tela je Tč = 30K, a okoline T o = 300K. a) Izračunati efektivnu snagu zračenja koju čovek gubi pod tim uslovima ako je površina kože S = 2m 2. b) Izračunati i talasnu dužinu λ m maksimuma spektralnog zračenja. a) Prema Štefan-Bolcmanovom zakonu, intenzitet zračenja koje čovek emituje sa površine od m 2 na temperaturi Tč = 30K je: I = σt 4 č. Sa druge strane na njega pada zračenje iz okoline čiji je intenzitet: I 2 = σt 4 o. Snaga koju čovek gubi po jedinici površine jednaka je razlici intenziteta zračenja koje emituje i koje prima od okoline: ( ) I = I I 2 = σ T 4 č T o 4. 0

Ukupna snaga koju čovek gubi sa celog tela je: ( ) P = IS = σ T 4 č T o 4 S P = 5,67 0 8 W m 2 K 4 [ (30K) 4 (300K) 4] 2m 2 = 29W. b) Talasna dužina koja odgovara maksimumu spektralnog zračenja računa se pomoću Vinovog zakona: λ m = b T, gde je b Vinova konstanta. Za čoveka: λ mč = b Tč = 2,9 0 3 m K 30K = 9,35 0 6 m, a za okolinu: λ mo = b = 2,9 0 3 m K T o 300K = 9,67 0 6 m. 2.7 Ako se 40% utrošene električne energije u sijalici snage P = 60 W emituje kao infracrveno zračenje, izračunati temperaturu njenog vlakna dužine l = 0,2m i prečnika d = 0,0mm. Zračenje vlakna sijalice razmatrati kao zračenje apsolutno crnog tela. Prema Štefan Bolcmanovom zakonu, intenzitet zračenja vlakna sijalice iznosi: a pošto je: I = σ T 4, I = 0,4 P = 0,4 P, S πdl kombinovanjem prethodne dve jednačine dobija se: 0,4P T = 4 πdlσ = 0,4 60W 4 = 2865K. 3,4 0 5 m 0,2m 5,67 0 8 W m 2 K4

2.9. Odrediti minimalnu frekvenciju zračenja koja će izazvati fotoelektrični efekat na materijalu čiji je izlazni rad 3eV. Kom delu spektra pripada to zračenje? Prema Ajnštajnovoj jednačini fotoelektričnog efekta: hν = A + 2 m ev 2, minimalna (granična) frekvencija (ν g ) je ona za koju je kinetička energija izbijenih fotoelektrona jednaka nuli, te je: ødavde sledi: hν g = A, ν g = A h = 3,6 0 9 J 6,626 0 34 J s = 7,24 04 Hz. S obzirom da je odgovarajuća talasna dužina (,,crvena granica fotoefekta ): λ g = c ν g = 3 08 m s 7,24 0 4 Hz = 44,4nm, zračenje pripada vidljivom delu spektra (ljubičasta boja). 2.0. Prilikom osvetljavanja površine platine ultraljubičastim zračenjem talasne dužine λ = 204nm, izmereno je da napon pri kome prestaje fotoelektrični efekat (napon zaustavljanja) iznosi U k = 0,8V. Na osnovu ovih podataka izračunati: a) maksimalnu brzinu emitovanih fotoelektrona; b) izlazni rad elektrona iz platine; c) maksimalnu talasnu dužinu (crvenu granicu fotoefekta) pri kojoj je još moguć fotoelektrični efekat. a) Fotoelektrični efekat prestaje pri onom naponu U k pri kome se početna kinetička energija fotoelektrona potroši na rad sile električnog polja, tj: m e v 2 = eu k, 2 2

a odavde je: v = 2eU k m e = 2,6 0 9 C 0,8V 9, 0 3 kg = 5,3 0 5 m s. b) Ajnštajnova relacija za fotoelektrični efekat može se napisati u obliku: odakle sledi: hc λ = A + eu k, A = hc λ eu k = 8,45 0 9 J = 5,3eV. c) U ovom slučaju se energija kvanta elektromagnetnog zračenja utroši samo na izbijanje elektrona, njihova kinetička energija jednaka je nuli, te važi: hc = A λ g = hc λ g A = 6,626 0 34 J s 3 0 8 m/s 8,45 0 9 = 235nm. J 2.. Pri osvetljavanju površine nekog metala svetlošću talasnih dužina λ = 350nm i λ 2 = 540nm, maksimalne brzine emitovanih fotoelektrona razlikuju se med usobno n = 2 puta. Izračunati izlazni rad za ovaj metal. Ajnštajnova relacija za fotoelektrični efekat, primenjena u oba slučaja, ima oblik: hc = A + mv 2, () λ 2 hc = A + mv 2 2. (2) λ 2 2 Pošto je energija fotona hc λ > hc λ 2, sledi da je v = nv 2, te izraz () postaje: hc λ = A + 2 mn2 v 2 2. (3) Množenjem izraza (2) sa n 2 i oduzimanjem od izraza (3), dobija se: ( ) hc n2 ( = A n 2). λ λ 2 3

Rešavanje prethodne jednačine po izlaznom radu daje: A = hc λ 2 n 2 λ ( n 2 ) λ λ 2 = 3 0 9 J =,9eV. 2.2. Eksperimentalno je ustanovljeno da najveća talasna dužina za koju je moguće ostvariti fotoelektrični efekat na metalu barijumu iznosi λ g = 496nm. Koliki je napon neophodno primeniti da bi se zaustavili fotoelektroni koji izlaze iz katode od barijuma, ako se ona osvetli zračenjem talasne dužine λ = 300nm? Kolika je pri tome brzina izbijenih fotoelektrona? Polazeći od Ajnštajnove jednačine fotoelektričnog efekta u obliku: hc λ = A + eu k i uzimajući u obzir vezu izmed u izlaznog rada i crvene granice fotoefekta: dobija se da je: odakle sledi: Brzina izbijenih fotoelektrona iznosi: A = hc λ g, hc λ = hc λ g + eu k, U k = hc e λg λ λ g λ =,64V. 2 mv2 = eu k v = 2eU k m = 7,6 05 m/s. 2.3. Svetlost talasne dužine λ = 350nm pada na fotokatodu i pri nekom naponu U dolazi do prekida fotoelektrične struje. Ako se talasna dužina svetlosti smanji za λ = 50nm, odrediti za koliko treba promeniti zakočni napon da bi ponovo došlo do prekida fotoelektrične struje. Analiza Ajnštajnove jednačine fotoelektričnog efekta: hc λ = A + eu k 4

pokazuje da smanjenje talasne dužine odgovara povećanju zakočnog napona: hc λ λ = A + e(u k + U k ). Kombinovanjem gornjih jednačina dobija se: na osnovu čega konačno proizilazi: hc λ λ = hc λ + e U k, U k = hc λ eλ(λ λ) = 0,59V. 2.4. Rentgenski zrak talasne dužine λ = 0,040nm interaguje sa elektronom i tom prilikom dolazi do Komptonovog rasejanja. Odrediti talasnu dužinu rasejanog fotona ako je ugao rasejanja 75. Komptonov efekat je elastična interakcija fotona elektromagnetnog (rentgenskog) zračenja energije hν i slabo vezanog atomskog elektrona. Kao posledica ove interakcije foton nastavlja kretanje sa većom talasnom dužinom (λ ) od one koju je do tada imao (λ), a razlika talasnih dužina upadnog i rasejanog fotona iznosi: λ = λ λ = h m 0 c ( cos θ) = λ c ( cos θ), gde je m 0 = 9, 0 3 kg masa mirovanja elektrona, θ ugao pod kojim se rasejao upadni foton, a λ c = h m 0 c = 2,42 0 2 m Komptonova talasna dužina. Rasejani foton imaće talasnu dužinu: λ = λ + h ( cos θ) m 0 c λ = 4 0 m + 6,626 0 34 Js 9, 0 3 kg 3 0 8 m s λ = 0,048nm. ( cos 75 ) 5

Zadaci za samostalni rad: 2.5. Radio-antena emituje radio talase frekvencije ν = M Hz snagom P = kw. Koliko fotona u sekundi emituje ova antena? 2.6. Lopta poluprečnika r = 0cm nalazi se na temperaturi t = 227. Kolika se energija izrači sa ove lopte za vreme τ = 0s? Loptu smatrati apsolutno crnim telom. 2.7. Pretpostavljajući da Sunce zrači kao apsolutno crno telo, izračunati ukupnu energiju koju m 2 površine Sunca emituje u jednoj godini. Uzeti da je temperatura površine Sunca T = 6000K. 2.8. Otvor na šupljoj, toplotno izolovanoj kugli ima površinu 2cm 2. Temperatura zidova kugle je T = 2000K. a) Odrediti talasnu dužinu na kojoj je spektralna gustina zračenja maksimalna. O kojoj se vrsti zračenja radi? b) Izračunati intenzitet zračenja kao i ukupnu snagu koju zrači otvor kugle. 2.9. Pod dejstvom ultraljubičastog zračenja frekvencije ν =, 5 0 5 Hz izleću elektroni iz nekog metala brzinom v = 800km/s. a) Koliki je izlazni rad elektrona? b) Kolika je njihova energija u ev? 2.20. Kolika je brzina fotoelektrona emitovanih iz srebra osvetljenog ultraljubičastim zračenjem talasne dužine λ = 50 nm. Crvena granica fotoelektričnog efekta za srebro je λ g = 260nm. 6

2.2. Pri nekoj odred enoj vrednosti zakočnog napona fotostruja sa površine volframa prestaje da teče. Kada se talasna dužina upotrebljene svetlosti promeni a = 2, 5 puta, za prestanak toka fotostruje neophodno je povećati zakočni napon b = 4 puta. Uzimajući da je,,crvena granica fotoelektričnog efekta za volfram λ g = 275nm, odrediti prvobitnu talasnu dužinu upadne svetlosti. 7

Borov model atoma 3.. Koristeći Borove postulate, izračunati za atom vodonika i jon He + : a) poluprečnik prve Borove orbite (osnovno stanje) i brzinu elektrona na njoj; b) ukupnu energiju elektrona u osnovnom stanju; c) talasnu dužinu fotona nastalog prelaskom elektrona sa prvog pobud enog u osnovno stanje. a) Polazne relacije za Borov model atoma su uslov kvantovanja momenta impulsa: m e v n r n = n h ; n =,2,3,... () i činjenica da ulogu centripetalne sile ima privlačna Kulonova sila izmed u jednog elektrona u elektronskom omotaču i Z protona u jezgru: m e vn 2 = Ze 2 r n 4πε 0 rn 2 m e v 2 n = 4πε 0 Ze 2 r n. (2) Ako se izraz () u obliku v n = n h m er n uvrsti u (2), dobija se: i konačno: ( ) n h 2 m e = Ze 2 n2 h 2 m e r n 4πε 0 r n m e r 2 r n = 4πε 0 h2 Zm e e 2 n2 = n = 4πε 0 Ze 2 r n, ε 0 h2 πzm e e 2 n2, (3) gde je u poslednjem koraku uzeto u obzir da je: h = h 2π. Slično tome, ako se iz () izrazi r n u obliku r n = n h m ev n uvrsti u (2), dobija se: m e vn 2 = m e v n Ze 2 4πε 0 n h 8,

odnosno: v n = Ze2 4πε 0 h Zamena brojnih vrednosti daje: - za vodonik (Z =, n = ) - za He + (Z = 2, n = ) n = Ze2 2ε 0 h r = 5,29 0 m ; v = 2,8 0 6 m s, r = 2,65 0 m ; v = 4,36 0 6 m s. n. (4) b) Ukupna energija elektrona (energija veze) jednaka je zbiru kinetičke energije i potencijalne energije elektrona u elektrostatičkom polju jezgra: E n = m ev 2 n 2 Ze2 4πε 0 r n. Zamenom relacija (3) i (4) u prethodni izraz dobija se: E n = m ez 2 e 4 32ε 0 2 π 2 h 2 n 2 = m ez 2 e 4 8ε 0 2 h 2 n 2, (5) E = 3,6eV (za vodonik), E = 54,4eV (za He + ). Činjenica da je energija veze negativna je posledica okolnosti da je negativna potencijalna energija veća (po apsolutnom iznosu) od pozitivne kinetičke energije. c) Energija fotona emitovanog pri prelasku elektrona sa n-te na k-tu orbitu jednaka je razlici ukupne energije na tim putanjama (5): ( ) hc = E n E k = m ez 2 e 4 ( λ n k 8ε 2 0 h 2 n 2 ) k 2 odakle sledi: ( ) = m ez 2 e 4 ( λ n k 8cε 2 0 h 3 k 2 ) n 2., 9

Uvod enjem Ridbergove konstante: R H = m ee 4 8cε 0 2 h 3 = m e e 4 64ε 0 2 π 3 h 3 c =,097 07 m, prethodni izraz postaje: ( ) λ n k = Z 2 R H ( k 2 n 2 ) Za k = i n = 2,3,4,... dobija se Lajmanova spektralna serija koja odgovara svim mogućim prelazima elektrona sa pobud enih stanja u osnovno. Prelazak elektrona sa prvog pobud enog (n = 2) u osnovno stanje (k = ) odgovara spektralnoj liniji Lajmanove serije sa najvećom talasnom dužinom: λ 2 = Z 2 R H ( 2 2 2 ). Zamenom dobijenih vrednosti dobija se: λ 2 = 20nm (za vodonik), λ 2 = 30nm (za H + e ).. 3.2. Primenom Borove teorije atoma vodonikovog tipa izračunati talasnu dužinu fotona koji se emituje pri prelasku elektrona iz drugog u prvo pobud eno stanje atoma vodonika, a zatim odrediti: a) da li se svetlošću te talasne dužine može izvršiti fotoelektrični efekat na kalijumu, čiji je izlazni rad A K = 2,5eV ; b) da li je emitovana svetlost vidljiva ljudskom oku. Pri prelasku elektrona iz k tog u n to energijsko stanje atoma vodonika (Z = ) emituje se foton čija je talasna dužina odred ena formulom: λ = R H ( n 2 k 2 ), a odavde, s obzirom da je u našem slučaju k = 3 i n = 2, proizilazi: ( λ = R H 4 ) = 5 9 36 R λ = 36 H = 656,3nm. 5R H 20

a) Crvena granica fotoelektričnog efekta na kalijumu dobija se na osnovu relacije: A K = hc λ g i iznosi: λ g = hc = 6,626 0 34 Js 3 0 8 m/s A K 2,5,6 0 9 = 577,8nm. J Budući da je λ > λ g, do fotoefekta neće doći. b) Talasna dužina λ = 656,3nm spada u vidljivi deo spektra (crvena boja). 3.3. Pri prelasku elektrona sa jednog od viših pobud enih stacionarnih nivoa u osnovno energijsko stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma, sukcesivno se emituju dva fotona sa talasnim dužinama λ = 72,9nm i λ 2 = 3,5nm. U kom se pobud enom kvantnom stanju nalazio elektron pre emisije? Pri prelasku elektrona sa n-tog u neko niže (k-to) stacionarno energijsko stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma (Z = 3) emituje se foton čija je talasna dužina odred ena formulom: λ = Z 2 R H ( k 2 n 2 ) = 9R H ( k 2 n 2 ), () dok je pri prelasku sa k-tog u osnovno stanje: ( = 9R λ H 2 2 ) k 2. (2) Sabiranjem jednačina () i (2) dobija se da je: + ( = 9R λ λ H 2 2 ) n 2 i konačno: n = λ + λ 2 9R H λ λ 2 = 3. 2

3.4. Kod kog je atoma vodonikovog tipa razlika talasnih dužina glavnih linija Balmerove i Lajmanove serije jednaka λ = 33,42nm?. Glavna linija Balmerove serije (k = 2) nastaje elektronskim prelazom 3 2 i odred ena je formulom: λ B = Z 2 R H ( 2 2 ) 3 2 = 5 36 Z2 R H, () dok se glavna linija Lajmanove serije dobija pri prelazu 2 : ( = Z 2 R λ H L 2 ) 2 2 = 3 4 Z2 R H. (2) Prema uslovu zadatka i jednačinama () i (2) dalje sledi: λ = λ B λ L = 88 5Z 2 R H i konačno: Z = 88 5R H λ = 4. Radi se, dakle, o trostruko jonizovanom atomu berilijuma. Zadaci za samostalni rad: 3.5. Polazeći od Borovog modela atoma vodonikovog tipa, odrediti period rotacije elektrona u prvom pobud enom energijskom stanju dvostruko jonizovanog atoma litijuma ( Li 2+). 3.6. Izračunati talasnu dužinu fotona koji se emituje pri prelasku elektrona iz drugog pobud enog u osnovno stanje dvostruko jonizovanog atoma litijuma. 22

3.7. U spektru nekog vodoniku sličnog jona talasna dužina treće linije Balmerove serije iznosi 08, 5 nm. O kom se elementu radi i koliko iznosi talasna dužina glavne (prve) linije Lajmanove serije za taj element? 3.8. Iz Lajmanove serije vodonikovog spektra izdvaja se jedna linija i njome se osvetljava fotoćelija. Katoda fotoćelije je od rubidijuma, čiji je izlazni rad A = 2,3eV. Ako je poznato da zakočni napon izmed u katode i anode iznosi U k = 0V, odrediti kom prelazu odgovara ta linija i kolika je brzina emitovanih fotoelektrona. 23

Odbijanje i prelamanje svetlosti 4.. Stub je zakucan u dno reke tako da visina dela koji se nalazi iznad površine vode iznosi h = m. Naći dužinu senke ovog stuba na površini i na dnu reke, ako je,,visina Sunca nad horizontom α = 30, a dubina reke na tom mestu H = 2m. Indeks prelamanja vode iznosi n =,33. n 0 & n h H Sa slike se vidi da je dužina senke stuba na površini reke: r tg α = h x x = h tg α =,73m. Na osnovu zakona prelamanja sledi: [ sin(90 sin (90 ] α) α) = n sin β β = arcsin = 40,63 n te je: tg β = y H y = H tg β 24

i konačno: r = x + y = h + H tg β = 3,45m, tg α što predstavlja dužinu senke stuba na dnu reke. 4.2. Posuda u obliku kocke sa neprovidnim zidovima postavljena je tako da oko posmatrača ne vidi njeno dno, ali vidi stranu CD. Kolika količina (zapremina) vode se mora usuti u sud da bi posmatrač mogao da vidi predmet P, koji se nalazi na rastojanju b = 0cm od ugla D? Ivica suda je a = 40cm, dok je indeks prelamanja vode n = 4/3. B A P b C D n 0 & n h a Na osnovu postavke zadatka jasno je da je α = 45. Polazeći od zakona prelamanja svetlosti na graničnoj površini vazduh/voda sledi: ( ) sin α sin α = n sin β β = arcsin 32. n c b 25

Sa slike se vidi da je: tg β = c b h tg α = c h = c = h ; = h b h Prema tome, imamo da je: te je tražena zapremina vode: = b h h = h = 26,7cm, V = a 2 h = 0,043m 3. b tg β = 26,7cm. 4.3. Zrak svetlosti pada na planparalelnu staklenu pločicu debljine d = 5cm i indeksa prelamanja n =,5 pod uglom α = 60. Odrediti rastojanje x za koje je zrak koji izlazi iz pločice pomeren u odnosu na upadni zrak. Uvedimo oznake: AB = l i BC = x, kao što je prikazano na slici Zakon prelamanja daje: sin α sin β = n, odnosno: ( ) sin α β = arcsin = 35,26. () n Iz ADB vidi se da je: cos β = d l l = d cos β. (2) x d A C n D B 26

Konačno, iz ABC proizilazi veza: sin(α β) = x l, odakle se, korišćenjem () i (2) za traženo rastojanje x dobija: x = dsin(α β) cos β = 2,56cm. 4.4. Na slobodnu površinu ulja indeksa prelamanja n =, 4 naleže staklena planparalelna pločica kao što je prikazano na slici. Iznad pločice se nalazi vazduh (n 0 = ). Pod kojim najmanjim upadnim uglom svetlosni zrak treba da padne na graničnu površinu ulje-staklo (dolazeći iz ulja) da bi se na graničnoj površini staklo-vazduh totalno reflektovao? n A N N N Za graničnu površinu ulje-staklo (tačka A na slici) zakon prelamanja glasi: B N n n n 0 sin α sin β = n n, () gde je n indeks prelamanja stakla, dok za graničnu površinu staklo-vazduh (tačka B), važi: sin β sin γ = n 0, (2) n pri čemu je n 0 indeks prelamanja vazduha, a γ prelomni ugao pod kojim svetlost ulazi u vazduh. Na osnovu relacija () i (2) proizilazi da povećanjem ugla α rastu i odgovarajući prelomni uglovi β i γ u staklu i vazduhu. Do totalne refleksije na graničnoj površini staklo-vazduh dolazi kada prelomni ugao γ postane prav (γ = 90 ), odnosno: sin γ =. (3) 27

Uvrštavajući izraze (2) i (3) u izraz () konačno se dobija: α = arcsin ( ) n0 = 45,6, n što predstavlja najmanju vrednost ugla α pri kojoj će na granici staklovazduh doći do totalne refleksije. Zadaci za samostalni rad: 4.5. Ako sa nekog mesta iznad površine vode posmatramo predmet P koji se nalazi na dnu bazena dubokog H = 2m, izgleda nam bliži nego što zaista jeste. Odrediti koliko iznosi prividna dubina h na kojoj vidimo predmet: a) ako se nalazimo tačno iznad njega; b) ako ga gledamo pod uglom α = 60 prema normali. Indeks prelamanja vode iznosi n =,33. d h H P 28

4.6. Snop paralelnih svetlosnih zraka, širok x = 3 cm, pada na ravnu debelu staklenu ploču pod uglom α = 45. Kolika je širina snopa u staklu (y), ako je indeks prelamanja stakla n =, 5? x 4.7. Za koliko će biti pomerena slova ako ih čitamo kroz staklenu planparalelnu ploču debljine d = 2cm i pri tome gledamo pod uglom α = 45 u odnosu na normalu? Indeks prelamanja stakla iznosi n =, 5. 4.8. Dolazeći iz staklene planparalelne pločice indeksa prelamanja n =, 55, svetlosni zrak pada na graničnu površinu staklo/vazduh pod uglom α = 50. a) da li će ovaj zrak izaći iz pločice? b) da li bi zrak izašao iz pločice kada bi se ona potopila u vodu (n v =,33)? 4.9. Roneći pri dnu mora na dubini 6 m, ronilac gleda gore i vidi likove stena koje leže na dnu. Na kom minimalnom rastojanju od ronioca su stene čije likove vidi? Uzeti da je indeks prelamanja morske vode n =, 4. (Uputstvo: Ronilac vidi likove stena zahvaljujući zracima koji se totalno reflektuju od granične površine voda/vazduh.) 29

Apsorpcija elektromagnetnog zračenja 5.. Povećanjem sloja vode na putu elektromagnetnih zraka za 2 cm intenzitet zračenja se smanji tri puta. Naći koeficijent apsorpcije vode. Polazeći od Lamberovog zakona: imamo da je: I t = I 0 e kx, I () t = I 0 e kx, I (2) t = I 0 e k(x+ x) = I 0 e kx e k x = I () t e k x, I (2) t I () t = e k x, a pošto je na osnovu uslova zadatka I (2) t = I () t /3, sledi: i konačno: 3 = e k x ln 3 = k x, k = ln 3 x = 55,2m. 5.2. Pred snop X-zraka postavlja se olovna folija debljine 0,5cm sa koeficijentom apsorpcije k Pb = 52,5cm. Kolika treba da bude debljina aluminijumske folije da bi efekat slabljenja bio isti, ako se zna da je koeficijent apsorpcije aluminijuma k Al = 0,765cm. Za olovnu pločicu je: a za aluminijumsku: I Pb = I 0 e k Pb x, I Al = I 0 e k Al x 2. 30

Iz uslova zadatka: I Al = I Pb sledi: I 0 e k Al x 2 = I 0 e k Pb x, a odavde je: odnosno: k Al x 2 = k Pb x, x 2 = k Pb k Al x = 0,343m. Zadaci za samostalni rad: 5.3. Sloj vode debljine 0, 2 cm smanjuje intenzitet γ zraka, čija je energija MeV, na polovinu od upadne vrednosti. a) Odrediti koeficijent apsorpcije vode za γ zrake date energije. b) Izračunati koliki sloj olova je potreban da bi se intenzitet takvog zračenja sveo na polovinu, ako je koeficijent apsorpcije olova k Pb = 52,5cm. 3

Interferencija 6.. Paralelan snop polihromatske svetlosti, koji sadrži boje u intervalu talasnih dužina od 360nm do 780nm, pada pod pravim uglom na sloj ulja debljine d = 0,6µm i indeksa prelamanja n =,5 koji pliva na vodi (n vode =,33). Koje boje ovog spektra će biti maksimalno pojačane u snopu reflektovane svetlosti? vazduh( n 0 ) d n =,5 voda ( n vode=,33 ) Optička razlika puteva zraka reflektovanih od gornje i donje granične površine sloja ulja iznosi: δ = 2nd λ 2, jer zrak reflektovan od gornje površine sloja trpi skok u fazi. Uslov za maksimalno pojačanje ovih zraka pri interferenciji glasi: odakle se konačno dobija: δ = k λ 2nd λ 2 = k λ λ = 4nd 2k + (k = 0,,2,3...). U snopu reflektovane svetlosti maksimalno će biti pojačane: crvena boja (λ = 720nm za k = 2), zelena boja (λ = 54,3nm za k = 3), ljubičasta boja (λ = 400nm za k = 4). 32

6.2. Na staklenu pločicu indeksa prelamanja (n stakla =,6) nanesen je tanki providni antirefleksioni sloj debljine d = 0,µm i indeksa prelamanja n =, 4. Koja će se talasna dužina minimalno reflektovati ako se sloj obasja belom (polihromatskom) svetlošću pod pravim uglom? vazduh( n 0 ) d n =,4 staklo ( n stakla=,6) Optička razlika puteva zraka reflektovanih od gornje i donje granične površine antirefleksionog sloja iznosi: δ = 2nd + λ 2 λ 2 = 2nd, jer oba zraka pri refleksiji trpe skok u fazi. Uslov za njihovo maksimalno slabljenje pri interferenciji glasi: δ = (2k + ) λ 2 2nd = (2k + ) λ 2 (k = 0,,2,...), odakle se konačno (za k = 0) dobija: λ = 4nd 2k + = 560nm. 6.3. Na površini morske vode, indeksa prelamanja n =,4, nalazi se mrlja od kerozina debljine d = 270nm i indeksa prelamanja n =,25. Svetlost koja pada vertikalno odozgo na mrlju delimično se propušta kroz nju, a delom se dvostruko reflektuje u sloju kerozina i zatim se propušta kroz vodu. Koja boja (talasna dužina iz opsega vidljive svetlosti) ima najveći intenzitet ako je posmatra ronilac koji se nalazi direktno ispod mrlje? 33

Optička razlika puteva svetlosnih zraka iznosi: δ = 2n d + λ 2, d jer se pri refleksiji drugog zraka od optički gušće sredine (vode) unosi fazni pomeraj od λ/2. Uzimajući u obzir uslov za maksimalno interferentno pojačanje svetlosnih zraka δ = k λ dobijamo: 2n d + λ 2 = k λ λ = 4n d 2k. Tražena talasna dužina dobija se za k = 2 i iznosi: n =,25 n =,4 λ = 450nm. Zadaci za samostalni rad: 6.4. Za podatke iz zadatka 6.3. odrediti koja će se boje maksimalno pojačati u snopu reflektovane svetlosti koju posmatra ribar iz čamca iznad mrlje, a ne ronilac koji se nalazi ispod nje. 6.5. Na ravnu opnu od sapunice, koja se nalazi u vazduhu, pada u pravcu normale snop bele svetlosti. Pri kojoj minimalnoj debljini opne će se u reflektovanoj svetlosti pojačati svetlost talasne dužine λ = 550nm? Da li se pri toj debljini opne u reflektovanoj svetlosti maksimalno pojačava svetlost još neke talasne dužine? Indeks prelamanja svetlosti za sapunicu je n =,3. 34

Difrakcija 7.. Monohromatska svetlost talasne dužine λ = 589 nm pada normalno na difrakcionu rešetku. Rastojanje izmed u zaklona i rešetke iznosi l = m, dok je rastojanje izmed u dva maksimuma prvog reda 2 z = 48,485cm. Odrediti konstantu difrakcione rešetke, a potom proveriti da li je ispunjen uslov sin θ tg θ koji važi za male vrednosti uglova difrakcije. a -2-0 2 3 2 z Položaji glavnih maksimuma pri difrakciji koherentnog snopa monohromatske svetlosti talasne dužine λ koja pada normalno na optičku rešetku odred eni su jednačinom: nλ = asin θ n (n = 0, ±, ±2,...). Sa slike se vidi da je: sin θ = z ( z ) 2 + l 2, tako da prethodna jednačina dobija oblik: nλ = a z ( z ) 2 + l 2, a odavde je (n = ): a = nλ ( z ) 2 + l 2 z = 2,5 0 4 cm = 4000 cm. 35

Za male vrednosti ugla difrakcije važi aproksimacija: sin θ tg θ, jer je u tom slučaju cos θ, pa je tg θ = sin θ cos θ je: tg θ = z, l tako da polazna jednačina dobija oblik: sin θ. Sa slike se vidi da a odavde konačno sledi: nλ = a z l a = nλl z = 2,43 0 4 cm = 45 cm. S obzirom na malu razliku u rezultatima može se zaključiti da je učinjena aproksimacija opravdana., 7.2. Snop monohromatske svetlosti talasne dužine λ = 520 nm pada normalno na difrakcionu rešetku koja ima 400 zareza po milimetru. a) Naći ukupan broj difrakcionih maksimuma koje daje ova rešetka. b) Odrediti rastojanje difrakcionog maksimuma najvišeg reda u odnosu na difrakcioni maksimum nultog reda ( z max ), ako je poznato da udaljenost zaklona od optičke rešetke iznosi l = 00cm. 36

a max n = -2-0 + + 2... +n z max max a) Polazeći od jednačine koja opisuje difrakciju na optičkoj rešetki: nλ = asin θ n nλ = N sin θ n i imajući u vidu da je sin θ n, može se zaključiti da je maksimalni red difrakcije koji se može dobiti pri datim eksperimentalnim uslovima odred en uslovom: n max Nλ n max Nλ 4,8. Kako n može biti samo ceo broj, za n max uzima se vrednost prvog manjeg celog broja: n max = 4. Prema tome, na zaklonu će se javiti ukupno devet difrakcionih maksimuma (centralni maksimum nultog reda i po četiri sa svake strane). b) Maksimalni ugao difrakcije odred en je jednačinom: n max λ = N sin θ max sin θ max = n max N λ θ max = arcsin (n max N λ) = 56,3. Sa slike se vidi da je tg θ max = z max l z max = l tg θ max =,5m., te je traženo rastojanje: 37

7.3. Kroz difrakcionu rešetku koja se nalazi na rastojanju l = 0,6m od zaklona propušta se svetlost talasne dužine λ = 700nm. Izmereno rastojanje izmed u difrakcionih maksimuma trećeg reda iznosi z 3 = 0,24m. Kako i za koliko treba promeniti rastojanje rešetka-zaklon da bi se difrakcioni maksimumi drugog reda (za svetlost iste talasne dužine) pojavili na rastojanju z 2 = 0,2m? a 2 3-3 -2-0 2 3 Polazeći od jednačine: z z 2 3 nλ = asin θ n = a dobija se da je za n = 3: z n 2 ( zn 2 ) 2 + l 2 nλ = a z n zn 2 + 4l 2, tako da je za n = 2: a = 3λ z 3 2 + 4l 2 z 3 =,07 0 5 m, (a z2 ) 2 z 2 2 = 0,45m. l 2 = 2 2λ Prema tome, rastojanje izmed u rešetke i zaklona traba smanjiti za: l = l l 2 = 0,5m. 38

Zadaci za samostalni rad: 7.4. Optička rešetka ima 600 zareza po jednom milimetru. Odrediti ugao θ izmed u dva difraktovana zraka prvog reda za svetlost talasnih dužina λ = 40nm i λ 2 = 434nm, kao i rastojanje z izmedu odgovarajućih difrakcionih maksimuma na zaklonu udaljenom l = 50 cm od rešetke. 7.5. Normalno na optičku rešetku koja ima 200 zareza po milimetru pada snop monohromatske svetlosti talasne dužine λ = 650 nm. Odrediti ugao difrakcije koji odgovara maksimumu trećeg reda. Koliki je ukupan broj difrakcionih maksimuma koji će se javiti na zaklonu? 39

Polarizacija 8.. Koliki je najpogodniji upadni ugao zraka nepolarizovane svetlosti na graničnu površinu vazduh/led da bi se izvršila maksimalna polarizacija reflektovanog zraka. Granični ugao totalne refleksije za ove dve sredine je α g = 60. Prema Brusterovom zakonu je: tg α B = n n 0 = n. B 90 n0 Za totalnu refleksiju na graničnoj površini vazduh/led, pri čemu svetlosni zrak dolazi iz leda, važi zakon prelamanja: n n sinα g = n 0 sin 90 sin α g = n. Kombinacija prethodne dve jednačine daje: ( ) n0 n g = 90 o α B = arctg sin α g = 49,. 8.2. Najbolja polarizacija prelomljenog odnosno reflektovanog zraka svetlosti na graničnoj površini vazduh/staklo obrazuje se pri prelomnom uglu β = 32. Koliki je indeks prelamanja stakla? Indeks prelamanja stakla je, prema Brusterovom zakonu: n = tg α B, dok je, na osnovu zakona prelamanja i činjenice da je α B + β = 90 : n 0 sin α B = n sin β n = sin (90 β) sin β = cos β sinβ = ctg β =,6. 40

8.3. U kojim granicama treba da se kreće veličina upadnog ugla na graničnu površinu vazduh/staklo, da bi se izvršila najbolja polarizacija svetlosti pri odbijanju odnosno prelamanju na ovoj graničnoj površini? Indeks prelamanja stakla nalazi se u granicama od n =,5 do n 2 =,90. Prema Brusterovom zakonu je: n = tg α B = sin α B cos α B, odnosno: i konačno: n 2 = sin2 α B cos 2 α B = sin 2 α B = n 2 sin α B = n + n 2 sin2 α B sin 2 α B = sin 2 α B sin 2 = α B n 2 + = + n2 n 2 α B = arcsin n + n 2. Za n =,5 je α () = B 56,5, a za: n 2 =,9 je α (2) B granicama treba da se kreće upadni ugao. = 62,24. U tim 8.4. Koji deo svetlosti prolazi kroz analizator ako je ugao izmed u glavnih polarizacionih ravni analizatora i polarizatora θ = 30, θ = 60 i θ = 90? Prema Malusovom zakonu je: I = I 0 cos 2 θ, gde je I 0 jačina svetlosti koja pada na analizator, I jačina koja prod e kroz njega, a θ ugao izmed u ose polarizatora i analizatora. Kroz analizator ne prod e deo svetlosti: δ = I 0 I I 0 = cos 2 θ = sin 2 θ, 4

a prod e: σ = δ = cos 2 θ. Za: θ = 30 σ = 0,75 (75%), θ = 60 σ = 0,25 (25%), θ = 90 σ = 0 (0%). Zadaci za samostalni rad: 8.5. Pod kojim uglom prema horizontu treba da se nalazi Sunce da bi se reflektovani svetlosni zraci od slobodne površine vode najbolje polarizovali? Indeks prelamanja vode je n =,33. 8.6. Snop prirodne svetlosti pada na staklenu prizmu indeksa prelamanja n =,6. Odrediti ugao prizme ϕ, ako se zna da je reflektovana svetlost potpuno polarizovana. 8.7. Intenzitet svetlosti koja dolazi iz polarizatora pri prolasku kroz analizator smanji se dva puta. Koliki je ugao izmed u ravni polarizacije polarizatora i analizatora? 42

Koristiti sledeće vrednosti konstanti: σ = 5,67 0 8 W m 2 K 4, b = 2,9 0 3 K m, c = 3 0 8 m s, h = 6,626 0 34 J s, h =,054 0 34 J s, ε 0 = 8,854 0 2 F m, m e = 9, 0 3 kg, e =,6 0 9 C, T [K] = t [ C] + 273 R H =,097 0 7 m, ev =,6 0 9 J. 43