X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati particulare, de aceea consideram utila recapitularea unor rezultate invatate in primul semestru legate de morsmele ane. Fie A 1 = X, X, Φ 1 si A 2 = Y, Y, Φ 2 doua spatii ane peste acelasi corp comutativ K. Data o functie f : X Y, ii putem asocia intotdeauna o functie f : X Y, numita urma lui f, in modul urmator. Fixam un punct O X arbitrar. Pentru orice ū X!A X a.i. ū = OA. Denim f ū = fofa Y. Observam ca aceasta denitie depinde de alegerea lui O. Denition 1. Aplicatia f : X Y este aplicatie ana morsm an daca O X a.i. aplicatie liniara. urma lui f sa e Pentru orice aplicatie ana f, urma sa f : X Y mai este numita si aplicatia liniara asociata lui f. Observam ca pentru o aplicatie ana, denitia urmei este independenta de alegerea lui O. Fie O O. Atunci, daca f O B = f OB OO = f OB f OO = fofb fofo = fo fb, pentru orice B X. Deci pentru f : X Y morsm an, exista f : X Y aplicatie liniara a.i. f AB = fafb, A, B X fa + ū = fa + f ū, A X, ū X. Nu exista o corespondenta biunivoca intre multimea aplicatiilor ane si multimea aplicatiilor liniare, deoarece exista morsme ane diferite cu aceeasi urma. Ca exemplu putem considera doua aplicatii constante diferite: unde P, Q sunt doua puncte distincte xate in X. f 1, f 2 : X X, f 1 A = P, f 2 A = Q, A X, Se deduce imediat ca f 1, f 2 : X X sunt ambele aplicatii nule: f 1 ū = f 2 ū = 0, ū X. Am gasit astfel si un prim exemplu de morsm an, aplicatia constanta. Demonstrati ca daca un morsm an f are urma egala cu aplicatia nula, atunci f este o aplicatie constanta. Theorem 2. O aplicatie ana este unic determinata de urma sa si de o pereche de puncte corespondente. Proof. Date aplicatia liniara f : X Y si punctele O X, O Y, vom demonstra ca exista o unica aplicatie ana f : X Y astfel incat urma lui f este f si fo = O. Existenta: denim f : X Y prin fa = O + f OA, A X. Rezulta ca urma lui f este f, iar cum aceasta este liniara rezulta ca f este morsm an. Mai mult fo = O. Unicitatea lui f cu proprietatea din enuntul teoremei se demonstreaza prin reducere la absurd. Theorem 3. Teorema de caracterizare a morsmelor ane Fie A 1 = X 1, X 1, Φ 1 si A 2 = X 2, X 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este: 1 daca CarK 2 : f αa + 1 αb = αfa + 1 αfb, A, B X 1, α K; 2 daca CarK = 2: fa + B + C = fa + fb + fc, A, B, C X 1. Corollary 4. Orice morsm an transforma puncte coliniare in puncte coliniare si pastreaza raportul simplu a trei puncte coliniare. Prezentam in continuare, fara demonstratie, cateva rezultate importante ce arata legatura dintre morsmele ane si subspatiile ane. 1

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 2 Proposition 5. a Orice morsm an transforma subspatii ane in subspatii ane. Mai exact, daca f : X Z este morsm an si Y X este un subspatiu an, Y = A + Y, atunci fy = fa + f Y. In particular Imf este subspatiu an. b Contraimaginea oricarui subspatiu an printr-un morsm an este un subspatiu an. Mai exact, daca f : X Z este morsm an si Y Z este un subspatiu an cu f 1 Y, atunci f 1 Y = A + f 1 Y, unde A f 1 Y. c Orice morsm an transforma subspatii ane paralele in subspatii ane paralele. d Doua spatii ane nit dimensionale sunt izomorfe daca si numai daca au aceeasi dimensiune. Example 6. Fie A = X, X, Φ un K-spatiu an si ū X. Translatia de vector ū este aplicatia denita prin Observam ca t 0 este Id X. tū : X X, tūp = P + ū, u X tūp = Q P Q = ū. O proprietate des folosita in aplicatiile legate de translatii este urmatoarea: O consecinta a acesteia este: Theorem 7. Orice translatie a spatiului an A = P tūp = ū, P X tūp tūq = P Q, P, Q X. X, X, Φ este un morsm an cu urma egala cu aplicatia identitate pe X. Reciproc, orice morsm an cu urma egala cu aplicatia identitate pe X este o translatie. In primul semestru ati mai studiat, ca exemple de morsme ane, omotetiile. Deoarece acestea nu sunt izometrii nu le mai recapitulam aici. Alte exemple de morsme ane studiate in primul semestru sunt proiectiile si simetriile ane. Fie spatiul an A = X, X, Φ peste K si Y un subspatiu an al lui A. Fie V X astfel incat X = Y V. Deci V este suplementul lui Y in X. Atunci, pentru ecare A X exista un singur subspatiu an al lui X ce trece prin A si are spatiul liniar director V : Y A = A + V. Se stie ca intersectia dintre Y si Y A este formata dintr-un singur punct. Aceste consideratii ne permit denirea urmatoarei aplicatii. Denition 8. Proiectia ana a spatiului an X pe subspatiul an Y, paralela cu V, este aplicatia denita prin p : X Y X, pa = punctul dat de Y Y A, A X. Theorem 9. Proiectie ana p : X X a lui X pe Y, paralela cu V, este un morsm an idempotent p 2 = p p = Id X, urma acestuia ind proiectia vectoriala a spatiului liniar X pe Y, paralela cu V. Orice morsm an idempotent f : X X este proiectia ana a lui X pe Imf, paralela cu Ker f. Fie spatiul an A = X, X, Φ peste K si Y un subspatiu an al lui A. Fie V X astfel incat X = Y V. Pentru ecare A X, consideram pa Y proiectia ana a lui A pe Y, paralela cu V. Deoarece ApA V si A Y A = A + V, rezulta ca exista un unic punct notat sa Y A astfel incat ApA = pasa. Denition 10. Simetria spatiului an X fata de subspatiul an Y, paralela cu V este aplicatia s : X X care asociaza ecarui punct A X punctul sa unic determinat ca mai sus. Observam ca s = 2p Id X.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 3 Theorem 11. Simetria ana a lui X fata de Y, paralela cu V este un morsm an involutiv s 2 = Id X, avand urma egala cu simetria vectoriala a lui X fata de Y, paralela cu V. Reciproc, orice morsm an involutiv f : X X este simetria ana a lui X fata de subspatiul an format din toate punctele xe ale lui f, paralela cu Ker f + Id X. Teorema centrala a capitolului morsme ane este urmatoarea. Theorem 12. Multimea automorsmelor ane morsme ane bijective ale unui spatiu an X are structura de grup in raport cu compunerea functiilor, numit grupul an al lui X si notat cu GAX. Grupul automorsmelor ane ale lui X care au un punct x este izomorf cu grupul Gl X al izomorsmelor liniare ale lui X. Izomorsmul este aplicatia ce asociaza ecarui morsm an urma sa. Acest rezultat rezulta din: compunerea a doua morsme ane f : X Y si g : Y Z este un morsm an g f : X Z cu urma egala cu compunerea urmelor celor doua morsme ane: g f = g f ; un morsm an este injectiv respectiv surjectiv/bijectiv daca si numai daca urma sa este injectiva respectiv surjectiva/bijectiva; f 1. daca f : X Y este izomorsm an atunci f 1 : Y X este morsm an cu urma Un subgrup important al grupului an este cel al translatiilor. Theorem 13. Multimea translatiilor T X ale unui spatiu an X are structura de grup abelian in raport cu X compunerea functiilor, grup izomorf cu, +. tū t w = t w+ū, ū, v X. t 0 = Id X, tū 1 = t ū, ū X. Theorem 14. Ecuatiile unui morsm an Fie X n, Y m doua K-spatii ane nit dimensionale. Aplicatia f : X Y este morsm an daca si numai daca exista reperele carteziene R 1 = {O; B} si R 2 = {O ; B } in X, respectiv Y astfel incat ecuatiile lui f in raport cu cele doua repere sa e de forma Y = AX + B, A M m,n K, B M m,1 K, unde X e matricea coloana a coordonatelor unui punct arbitrar P X in raport cu reperul R 1 iar Y este matricea coloana a coordonatelor punctului fp in raport cu reperul R 2. Remark 15. Reamintim faptul ca A este matricea aplicatiei liniare asociate f in raport cu bazele B, B ale celor doua repere.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 4 2. Definitia izometriilor si legatura cu morfismele afine Denition 16. Fie E 1 = E 1, E 1, Φ 1 si E 2 = E 2, E 2, Φ 2 doua spatii ane euclidiene si d 1 : E 1 E 1 R, d 2 : E 2 E 2 R functiile distante corespunzatoare. O aplicatie f : E 1 E 2 se numeste izometrie daca d 1 A, B = d 2 fa, fb, A, B E 1. Exercitiu Demonstrati, folosind denitia, ca orice translatie a unui spatiu an euclidian este o izometrie. Proposition 17. a Orice izometrie intre doua spatii ane euclidiene este o aplicatie injectiva. b Urma f : E 1 E 2 a oricarei izometrii pastreaza normele vectorilor: u 1 = f ū 2, ū E 1. Proof. a Fie f : E 1 E 2 o izometrie. Presupunem ca A, B E a.i. fa = fb d 2 fa, fb = 0 d 1 A, B = 0 A = B. b Fie ū E 1 arbitrar si O E xat. Functiei f : E 1 E 2 ii putem asocia urma sa f : E 1 E 2. Facem observatia ca nu stim despre aceasta ca este o aplicatie liniara si denitia ei depinde de alegerea lui O. Atunci exista Q E 1 a.i. d 1 O, Q = OQ 1 = ū 1. ū = OQ. Rezulta ca f ū 2 = f OQ 2 = fofq 2 = d 2 fo, fq = Acest rezultat ne sugereaza sa studiem legatura dintre izometrii si morsmele ane cu aplicatia liniara asociata ortogonala. Obtinem astfel teorema centrala a acestui subcapitol. Theorem 18. O aplicatie f : E 1 E 2 intre doua spatii ane euclidiene este izometrie daca si numai daca f este morsm an cu aplicatia liniara asociata f : E 1 E 2 ortogonala. Proof. Presupunem ca f : E 1 E 2 este izometrie si ne propunem sa demonstram ca f este morsm an cu aplicatia liniara asociata ortogonala. Din propozitia anterioara rezulta ca este sucient sa demonstram ca f este morsm an. De aici ar rezulta ca urma sa este aplicatie liniara, si cum am demonstrat ca ea pastreaza norma vectorilor, rezulta ca f este aplicatie ortogonala. Vom folosi teorema de caracterizare a morsmelor ane expusa in subcapitolul introductiv. Vom demonstra ca 2.1 f αa + 1 αb = αfa + 1 αfb, A, B E 1, α R. Fie A, B E 1, A B si C = α + 1 αb, α R. Daca α = 0 sau α = 1, armatia de mai sus este evidenta. Presupunem ca α 0, 1 A C B d 1 A, C + d 1 C, B = d 1 A, B f izometrie d 2 fa, fc + d 2 fc, fb = d 2 fa, fb fa fc fb β 0, 1 a.i. fc = βfa + 1 βfb. Din ultima relatie rezulta ca fbfc = β fbfa fbfc 2 = β fbfa 2 d 2 fb, fc = βd 2 fb, fa d 1 B, C = βd 1 B, A BC 1 = β BA 1. Dar din C = αa+1 αb rezulta BC = αba, deci BC 1 = α BA 1. Deoarece A B rezulta din ultimele doua relatii ca β = α, deci fc = αfa + 1 αfb. Daca α > 1 rezulta ca A = 1 α C + α 1 α B, 1 α 0, 1. Procedand analog obtinem ca fa = 1 α deci fc = αfa + 1 αfb. Daca α < 1 atunci B = 1 1 α C α 1 α A, 1 1 α analog ca mai sus si rezulta fb = 1 α 1 fc + α fb, > 0. Deci ne regasim intr-una din situatiile precedente. Procedam 1 α fc α 1 αfa, deci fc = αfa + 1 αfb. Pentru a demonstra armatia reciproca, presupunem ca f este morsm an si aplicatia sa liniara asociata este ortogonala. Sa demonstram ca feste izometrie. Fie A, B E 1 arbitrari. Atunci d 2 fa, fb = fafb 2 = f f ortogonala AB 2 = AB 1 = d 1 A, B.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 5 Proposition 19. Orice izometrie intre doua spatii ane eulidiene de dimensiune nita transforma subspatii ane euclidiene in subspatii ane de aceeasi dimensiune. Proof. Fie = E E 1 si f : E 1 E 2 o izometrie. Deoarece f este morsm an rezulta ca fe E 2 cu s.a.e s.a.e subspatiul liniar director fe = f E. Deoarece f este injectiva rezulta ca f este injectiva, deci Ker f = { 0}. Consideram restrictia aplicatiei liniare asociate f la E. Deci dim E = dim Im f E + dim Ker f E, deci dim E = dim f E. Am vazut ca o izometrie, ind un morsm an, pastreaza relatia a intre si raportul simplu a trei puncte. Folosind si propozitia anterioara deducem: Corollary 20. Orice izometrie transforma drepte ane in drepte ane, semidrepte in semidrepte, segmente in segmente, plane in plane, semiplane in semiplane, semispatii in semispatii. Denition 21. Numim gura a unui spatiu an orice submultime nevida F E. Doua guri F 1, F 2 E se numesc congruente daca exista o izometrie f : E E cu proprietatea ff 1 = F 2. Notam F 1 F 2. Exercitiu: Demonstrati ca relatia de congruenta pe multimea gurilor unui spatiu an este o relatie de echivalenta. Denition 22. Un punct A E este punct x pentru aplicatia f : E E daca fa = A. In cursul urmator vom observa ca studiul punctelor xe ale unei izometrii ne va oferi informatii despre natura acesteia. 3. Exemple Teorema de caracterizare a izometriilor ne ofera o serie de exemple, pornind de la aplicatiile ortogonale cunoscute. Example 23. Orice translatie tū : E E este o izometrie, deoarece este morsm an cu urma aplicatia identitate Id E care evident este aplicatie ortogonala. observam ca translatiile de vector nenul nu au puncte xe. Example 24. Fie E n = E, E, Φ un spatiu an euclidian si E 1 = E 1, E 1, Φ E1 E 1 un subspatiu a.e. al sau. E1 Simetria lui E fata de E 1, paralela cu se numeste simetria ortogonala a lui E fata de E1. S E1 Simetria ortogonala a lui E n fata de E 1 are ca urma simetria ortogonala a spatiului liniar E fata de E 1. Stim ca : E 1 E 1 este o aplicatie ortogonala, deci obtinem o izometrie. Daca { b1,, b p } este o baza ortogonala a lui E1, reamintim ca S E1 v = 2P r E1 v v, P r E1 v = p i=1 < v, b i > b i 2 b i. Notam simetria ortogonala a spatiului a.e. E fata de E 1 prin S E1 : E E. Ea asociaza ecarui punct P E punctul P, simetricul lui P fata de E 1, obtinut astfel. Se considera E 2 subspatiul an normal prin P la E 1 si {Q} = E 2 E 1. Am demonstrat in primul curs ca intersectia a doua subspatii a.e. normale e formata dintr-un singur punct. Q se numeste proiectia ortogonala a lui P pe E 1. Punctul P E 2 este unic determinat de conditia ca punctul Q sa e mijlocul segmentului [P P ].

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 6 In cazul in care E 1 este un hiperplan observam ca E 1 este hiperplanul mediator al segmentului [P P ]. Simetria ortogonala fata de o dreapta ana este numita simetrie axiala, iar simetria ortogonala fata de un plan an este numita simetrie planara. Aplicatia P r E1 : E E 1 E ce asociaza ecarui P proiectia sa ortogonala pe E 1 se numeste proiectia ortogonala a lui E pe E 1. Ea este un morsm an dar nu este o izometrie. Observam ca S E1 = 2P r E1 Id E si ca toate punctele lui E 1 sunt xe pentru S E1. Fie A E 1 xat arbitrar. Atunci, deoarece P = A + AP, rezulta ca S E1 P = A + S E1 AP, P E S E1 P S E1 R = S E1 P R, P, R E. In gura urmatoare avem imaginea unui hexagon printr-o simetrie axiala in E 2. Example 25. Fie planul an euclidian orientat E 2, Ω un punct din E si α π, π]. Se numeste rotatie de centru Ω si unghi orientat α aplicatia R Ω,α : E E denita astfel: R Ω,α Ω = Ω si pentru orice punct P E, P Ω, R Ω,α P = P, unde P este unic determinat de conditiile { dω, P = dω, P, o ΩP, ΩP = α. Observam ca urma lui R Ω,α este rotatia geometrica de unghi α in planul vectorial E, R α : E E si aceasta este o aplicatie ortogonala. Singurul punct x al unei rotatii este centrul sau atunci cand α 0. R Ω,αP = Ω + R α ΩP, P E R Ω,αP R Ω,αS = R α P S, P, S E. Remark 26. Reamintim ca daca {ē 1, ē 2 } este o baza ortonormata pozitiva in E si ū = u 1 ē 1 + u 2 ē 2, atunci R α ū = v = v 1 ē 1 + v 2 ē 2, unde v 1 v 2 = cos α sin α sin α cos α u 1 u 2.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 7 Example 27. Intr-un spatiu a.e. trei dimensional orientat E 3 se considera o dreapta ana orientata d si α π, π]. Consideram ā d orientat pozitiv, nenul. Denim rotatia in jurul dreptei d de unghi orientat α aplicatia R d,α : E E denita prin R d,α A = A, A d, R d,α P = P, P / d, unde P e unic determinat astfel: se considera π planul prin P normal dreptei d si {Ω} = d π; e b = ΩP π si c = ā b π ; se orienteaza planul π astfel incat { b, c} este o baza pozitiva in π ; in π se aplica lui P rotatia de centru Ω si unghi orientat α, obtinandu-se astfel punctul P. Urma rotatiei R d,α este rotatia geometrica a lui E in jurul lui ā, de unghi orientat α, studiata in primul semestru Rā,α : E E. Pentru orice Ω d xat arbitrar, avem R d,α P = Ω + Rā,α ΩP, P E R d,α P R d,α S = Rā,α P S, P, S E. Se observa ca toate punctele xe ale acestei izometrii sunt punctele dreptei d, numita si axa de rotatie. Reamintim Rā,α : E E, Rā,α v = < ā, v > ā 2 1 cos α ā + cos α v + sin α ā ā v.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 8 4. Grupul izometriilor si subgrupurile sale importante Proposition 28. O izometrie intre doua spatii ane de aceeasi dimensiune nita este o bijectie, deci un izomorsm an. Proof. Avem f : E 1 E 2 o aplicatie liniara injectiva intre doua spatii liniare de aceeasi dimensiune nita. Deoarece dim E 1 = dim Ker f + dim Im f dim Im f = dim E 2, deci Im f = E 2. Rezulta ca f : E 1 E 2 este surjectie, deci f este bijectie, ceea ce este echivalent cu f-bijectie. Deoarece multimea morsmelor ane bijective ale unui spatiu an are structura de grup, numit grupul an GAE, si multimea aplicatiilor ortogonale ale spatiului liniar director E are tot structura de grup, O E, se obtine: Theorem 29. Multimea izometriilor unui spatiu an euclidian nit dimensional E n are structura de grup in raport cu compunerea functiilor. Notam acest grup cu GIE n sau IzoE n. Reformuland, am obtinut ca multimea izometriilor unui spatiu an euclidian nit dimensional E n este un subgrup al grupului an GAE n. Putem enunta un rezultat mai general, cand nu impunem ca dimensiunea spatiului an sa e nita. Proposition 30. Multimea izometriilor bijective ale unui spatiu an este un subgrup al grupului an. Remark. Geometria euclidiana se ocupa de studiul proprietatilor gurilor spatiilor ane euclidiene invariante la actiunea grupului izometriilor. Remark 31. Amintim ca multimea aplicatiilor liniare ortogonale ale unui spatiu liniar de dimensiune n, de exemplu E, formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor, grup pe care il vom nota O E. Acest grup este izomorf cu grupul matricilor ortogonale de ordin n, cu elemente reale, numit grupul ortogonal de ordin n. On = { A M n R AA t = A t A = I n }. Izomorsmul este functia ce asociaza ecarei aplicatii ortogonale matricea sa in raport cu o baza ortonormata xata in E. Grupul O E are ca subgrup multimea rotatiilor SO E a aplicatiilor ortogonale de specia I, subgrup izomorf cu grupul ortogonal special SOn, unde SOn = {A On deta = 1}. Mai exact, o aplicatie ortogonala este de specia I daca matricea ei in raport cu o baza ortonormata pozitiva xata arbitrar are determinantul 1. O aplicatie ortogonala este de specia a doua daca matricea ei raport cu o baza ortonormata xata arbitrar are determinantul -1. Denition 32. O izometrie f : E E ce admite un punct x Ω E fω = Ω se numeste centro-izometrie de centru Ω. Mutimea centro-izometriilor cu centrul Ω se noteaza cu GIE n, Ω. De exemplu rotatia in plan este o centro-izometrie. Proposition 33. Multimea centro-izometriilor GIE n, Ω este un subgrup al lui GIE n, grup izomorf cu On. Proof. Demonstrati ca GIE n, Ω este subgrup al lui GIE n. Deoarece O E este izomorf cu On, este sucient sa demonstram ca GIE n, Ω este izomorf cu O E. Izomorsmul cautat este ξ : GIE n, Ω O E, ξf = f, deci functia ce asociaza ecarei izometrii urma sa. Aceasta functie ne ofera un morsm de grupuri intre GIE n si O E, mai exact, pentru orice izometrii f, g are loc f g = f g. In plus compunerea a doua aplicatii ortogonale este ortogonala. Daca dorim sa obtinem un izomorsm de grupuri, avem nevoie de conditia suplimentara fω = Ω. Sa demonstram ca aplicatia ξ : GIE n, Ω O E, ξf = f este bijectie.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 9 Fie g O E arbitrara. Vom demonstra ca exista o unica izometrie f GIE n, Ω ce are ca aplicatie liniara asociata functia g. Denim 4.1 fa = Ω + g ΩA ΩfA = g ΩA, A E. Rezulta ca A, B E are loc fafb = faω + ΩfB = g ΩA + g ΩB = g AB, deoarece g e aplicatie liniara. Deci urma lui f este aplicatia liniara g, de unde rezulta ca f e morsm an. Deoarece g e ortogonala rezulta ca f este izometrie si, din modul in care a fost denita, deducem ca fω = Ω. Unicitatea: e h : E E o alta aplicatie ana cu Ω punct x si aplicatie liniara asociata g. Fie P E arbitrar. Din hωhp = g ΩP si hω = Ω rezulta ca hp = hω + ΩP = Ω + g ΩP = fp din 4.1. In rezultatele urmatoare, prin produsul a doua izometrii intelegem de fapt compunerea lor. Proposition 34. Pentru ecare Ω E, orice izometrie a lui E se descompune in mod unic in produsul dintre o centro-izometrie de centru Ω si o translatie. Proof. Fie f GIE n. Stim ca orice morsm an se poate scrie ca si compunerea dintre o aplicatie ana cu punctul x Ω si o translatie. Mai exact f = t g, unde g = t f, gω = Ω. ΩfΩ fωω Deoarece f e izometrie si orice translatie este o izometrie, rezulta ca g este izometrie. Unicitate: presupunem ca ū, v E si g, h GIE n, Ω astfel incat f = t u g = t v h. Rezulta ca ΩfΩ = ΩtūgΩ = ΩtūΩ = ū. Analog ΩfΩ = v, deci ū = v. Rezulta imediat din tū g = tū h ca g = h. Un alt subgrup important al grupului izometriilor este grupul deplasarilor. Denition 35. Se numeste deplasare miscare o izometrie cu aplicatia liniara asociata o aplicatie ortogonala de specia I: f SO E. Se numeste antideplasare o izometrie cu aplicatia liniara asociata o aplicatie ortogonala de specia a II-a. Notam multimea deplasarilor cu DE n. Translatiile si rotatiile in planul E 2 si spatiul E 3 sunt deplasari, cat si simetria ortogonala fata de o dreapta ana in E 3. Simetria ortogonala fata de un hiperplan este o antideplasare in particular simetria axiala in plan si simetria planara in spatiul 3 dimensional. Demonstrati urmatoarea propozitie. Proposition 36. Multimea deplasarilor unui spatiu an este un subgrup al grupului izometriilor. Multimea deplasarilor cu un punct x este un subgrup al lui DE n, izomorf cu SO E. Din teorema ce ne da ecuatiile unui morsm an, tinand cont ca aplicatia liniara asociata unei izometrii este ortogonala, rezulta imediat rezultatul urmator. Theorem 37. Ecuatiile izometriilor Fie E n un spatiu an euclidian n dimensional si o aplicatie f : E E. O conditie necesara si sucienta pentru ca f sa e o izometrie este existenta unui reper ortonormat R = {O; ē 1, ē 2,, ē n } astfel incat pentru un punct P cu coordonatele x 1, x 2,, x n in reperul R, coordonatele y 1, y 2,, y n ale lui fp in acelasi reper sa e de forma: n n 4.2 y i = a i jx j + b i, i 1, n, si a k i a k j = δ ij. j=1 Reformulam 4.2 in scriere matriciala: unde X = x 1 x 2 x n, Y = y 1 y 2 y n, B = b 1 b 2 b n k=1 Y = AX + B, A On,, A = a i j On.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 10 Un alt rezultat important este cel ce demonstreaza importanta simetriilor fata de hiperplane. Theorem 38. Orice izometrie a unui spatiu an euclidian n-dimensional se poate descompune in produs de cel mult n + 1 simetrii ortogonale fata de hiperplane. Proof. Ne vom folosi de un rezultat studiat in primul semestru: orice transformare ortogonala a unui spatiu liniar euclidian n dimensional, diferita de aplicatia identitate, se descompune in produs de cel mult n simetrii ortogonale fata de hiperplane liniare subspatii liniare de dimensiune n 1. Fie f GIE n o izometrie a spatiului an euclidian E n = E, E, Φ. Caz I: presupunem ca f are un punct x I E : fi = I. Stim ca aplicatia liniara asociata lui f este ortogonala, f O E si este diferita de aplicatia identitate altfel ar rezulta ca f este o translatie, deci nu ar admite puncte xe. Rezulta ca f = s 1 s 2 s r, r n, unde s i : E E, i 1, r e simetria ortogonala fata de un hiperplan V i E. Aplicatia ξ : GIE n, I ξ O E, ξf = f este izomorsm de grupuri, deci ξ 1 s i := σ i GIE n, I. Observam ca σ 2 i := ξ 1 σ i ξ 1 σ i = ξ 1 s i s i = ξ 1 Id E = IdE, deci σ i este o simetrie ortogonala a spatiului E fata de un hiperplan, i 1, r. Aplicand ξ 1 compunerii f = s 1 s 2 s r si tinand seama ca ξ este izomorsm pe imagine de grupuri, rezulta ca f = σ 1 σ r. Caz II: presupunem ca f nu are nici un punct x. Fie O E arbitrar si H hiperplanul mediator al segmentului [OfO]. Notam cu S H simetria ortogonala a lui E fata de H. Atunci S H f O = O, deci S H f este o izometrie ce admite cel putin un punct x. Am demonstrat ca in acest caz exista cel mult n hiperplane astfel incat S H f este produsul simetriilor ortogonale fata de aceste hiperplane: S H f = σ 1 σ r, r 1, n. Deci f = S H σ 1 σ r este produsul a cel mult n + 1 simetrii ortogonale fata de hiperplane. Aplicatii. In continuare vom da cateva exemple in care putem aplica rezultatul anterior. Ne vom limita la un plan euclidian orientat. Proposition 39. Fie E 2 un plan an euclidian orientat. a Daca d 1 d 2 atunci S d2 S d1 = tū, unde ū d, ū = 2dd 1, d 2 si sensul lui ū este dinspre d 1 spre d 2. b Reciproc, data o translatie tū, ū 0, exista cel putin doua drepte paralele d 1 si d 2 astfel incat tū = S d2 S d1, cu directia dreptelor ortogonala pe ū, dd 1, d 2 = 1 2 ū si pozitionate astfel incat sensul lui ū sa e dinspre d 1 spre d 2. Proof. a Fie P E un punct arbitrar, P r d1 P = Q 1, S d1 P = P 1, deci P 1 = 2Q 1 P P P 1 = 2 Q 1 P 1. Fie P r d2 P 1 = Q 2 si S d2 P 1 = P 2 = 2Q 2 P P 1 P 2 = 2 P 1 Q 2. Notam cu f = S d2 S d1. Atunci fp = P 2 si P fp = P P 2 = P P 1 + P 1 P 2 =2 Q 1 P 1 + P 1 Q 2 = 2 Q 1 Q 2. Observam ca ū := 2 Q 1 Q 2 este un vector constant, ce depinde doar de pozitia dreptelor date. Deci f = tū si ū are proprietatile din enuntul teoremei.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 11 b Consideram un vector nenul ū. Die d 1 o dreapta oarecare avand directia perpendiculara pe ū. Consideram apoi dreapta d 2 unic determinata de urmatoarele conditii: d 2 d 1, dd 1, d 2 = 1 2 ū si sensul lui ū este dinspre d 1 spre d 2. Din a rezulta ca S d1 S d2 = tū. Observam ca exista o innitate de drepte cu aceasta proprietate, prima dreapta d 1 ind aleasa arbitrar. Proposition 40. Fie E 2 un plan an euclidian orientat. a Fie d 1, d 2 doua drepte concurente in Ω. Atunci S d2 S d1 = R Ω,α, unde α = 2 o d 1, d 2. b Reciproc, data o rotatie de centru Ω si unghi orientat α, exista cel putin doua drepte d 1, d 2 astfel incat R Ω,α = S d2 S d1, d 1 d 2 = {Ω}, o d 1, d 2 = 1 2 α. Proof. a Presupunem ca am orientat cele doua drepte si e ā 1 d 1 si ā 2 d 2 doi vectori directori nenuli, orientati pozitiv. Reamintim ca simetria ortogonala fata de un vector Sā : E E este o aplicatie ortogonala de specia a II-a schimba orientarea spatiului liniar E. Notam S d2 S d1 = f. Evident fω = Ω. Fie P E oarecare, P Ω si S d1 P = P 1, S d2 P 1 = P 2. Atunci dω, P = ΩP = Sā1 ΩP = S d1 ΩS d1 P = ΩP 1 = Sā2 ΩP1 Mai mult, o ΩP, ΩfP 2 o d 1, d 2. Am folosit o ΩP, ΩP1 = S d2 ΩS d2 P 1 = ΩP 2 = dω, P 2 = d fω, fp. = o ΩP, ΩP1 + o ΩP1, ΩP 2 = 2 o ā 1, ΩP 1 +2 o ΩP1, ā 2 = 2 o ā 1, ā 2 = = 2 o ā 1, ΩP 1 = 2 o ΩP1, ā 2. Vom demonstra una dintre aceste relatii, cealalta se demonstreaza analog. o Sā1 ā 1, Sā1 ΩP si o ΩP1, ΩP 2 Intr-adevar o ΩP, ΩP1 + o ā 1, ΩP 1 = o ā 1, ΩP 1 + o ā 1, ΩP 1 = 2 o ā 1, ΩP 1. b Demonstrati singuri folosind drept model demonstratia propozitiei anterioare. Ca o aplicatie a acestui rezultat vom studia compunerea a doua rotatii in plan. Proposition 41. Fie E 2 un plan an euclidian orientat. a Compunerea a doua rotatii de acelasi centru este o rotatie de acelasi centru. Mai exact R Ω,α1 R Ω,α2 = R Ω,α2+α 1. b Compunerea a doua rotatii de centre diferite este o rotatie sau o translatie. { R Ω3,α R Ω1,α 1 R Ω2,α 2 = 2+α 1, α 2 + α 1 0mod2π, α 2 + α 1 = 0mod2π. tū, = o ΩP, ā1 + o ā 1, ΩP 1 = c Compunerea dintre o translatie si o rotatie este o rotatie. d Compunerea dintre o rotatie si o simetrie ortogonala fata de o dreapta ce trece prin centrul rotatiei este o simetrie ortogonala fata de o alta dreapta ce trece tot prin centrul rotatiei.

CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 12 Proof. Vom demonstra doar b. Fie Ω 1 Ω 2 si d = Ω 1 Ω 2. Atunci d 1, d 2 astfel incat R Ω1,α 1 = S d1 S d, d 1 d = {Ω 1 }, o d, d 1 = α1 2 si R Ω 2,α 2 = S d S d2, d 2 d = {Ω 2 }, o d 2, d = α2 2. Atunci R Ω 1,α 1 R Ω2,α 2 = S d1 Sd 2 S d 2 = S d1 S d2. Fie α = o d 2, d 1 = o d 2, d + o d, d 1 = α2+α1 2. Daca α 2 + α 1 = 0mod2π rezulta ca d 1 d 2, deci S d1 S d2 = tū, unde ū d1, ū = 2dd1, d 2 si sensul lui ū este dinspre d 2 spre d 1. Daca α 2 + α 1 0mod2π rezulta ca d 1 d 2 = {Ω 3 } si S d1 S d2 = R Ω3,2α. Demonstrati a, c si d. Remark. Demonstrati ca multimea rotatiilor de acelasi centru ale unui plan euclidian orientat formeaza un grup in raport cu compunerea functiilor. Evident multimea tuturor rotatiilor nu are structura de grup. In schimb puteti demonstra ca multimea rotatiilor si a translatiilor unui plan an euclidian orientat formeaza un grup. Acest rezultat va mai bine inteles dupa ce in cursul urmator vom arata ca toate deplasarile unui plan euclidian orientat sunt translatiile si rotatiile.