Deskripčná logika UINF/SWB: Sémantický web podľa http://www.inf.unibz.it/~franconi/dl/course/
Deskripčná logika zjednocujúci formalizmus pre nástroje reprezentácie frame-based (systémy založené na rámcoch) sémantické siete objektovo orientované reprezentácie sémantické dátové modely ontologické jazyky...
Deskripčná logika štruktúrovaná podforma predikátového počtu poskytuje teórie a systémy pre reprezentáciu štruktúrovaných informácií pre prístup k týmto informáciám pre odvodzovanie v rámci nich
Aplikácie deskripčnej logiky v systémoch konfigurácia sémantika prirodzeného jazyka konceptuálne modelovanie inteligentná integrácia informácií (I3) optimalizácia dopytov a udržiavanie pohľadov prístup k informáciám a inteligentné rozhrania terminológie, slovníky a ontológie správa softvéru plánovanie
DL formalizuje viacero objektovoorientovaných reprezentácií Formalizmus odstraňuje nejednoznačnosti prítomné v nepresných reprezentáciách
Rámce / Frames / Objekty identifikátor trieda inštancia slot (atribút) hodnota identifikátor implicitná hodnota obmedzenie povolených hodnôt typ doména kardinalita zapúzdrená metóda
Nejednoznačnosť: trieda vs objekt Osoba vek: INTEGER pohlavie: M, Ž výška: INTEGER partner: Osoba Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia trieda inštancia
Nejednoznačnosť: neúplná informácia Tridsiatnik vek: 30 pohlavie: M výška: INTEGER partner: Osoba Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia trieda inštancia
Nejednoznačnosť: dedičnosť Osoba vek: INTEGER pohlavie: M, F výška: INTEGER partner: Osoba Tridsiatnik vek: 30 pohlavie: M výška: INTEGER partner: Osoba Muž vek: INTEGER pohlavie: M výška: INTEGER partner: Žena Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 žena: Lucia
Asociácie: explicitná asociácia Peter vek: 30 pohlavie: M výška: 76 Lucia vek: 28 pohlavie: F výška: 59 rodinapetraalucie manžel: Peter manžela: Lucia
Tranzitivita asociácií Auto má súčiastku Motor Motor má súčiastku vieme odvodiť Valec Auto má súčiastku Valec
Naozaj tranzitivita? Ján má dieťa Peter Peter má dieťa očividne neplatí, že Zuzana Ján má dieťa Zuzana
Nejednoznačnosť: Nixonov diamant Prezident Kvaker [pacifista] Republikán [militarista] Je Nixon pacifista alebo nie? Nixon
Kvantifikácia Žaba má farbu Zelená Každá žaba je len zelená. Každá žaba môže byť aj zelená Každá žaba má istý odtieň zelenej. Existuje zelená žaba. Žaby sú obvykle zelené, hoci sú aj výnimky
Falošní priatelia objektovo orientované reprezentácie sú z logického hľadiska nejednoznačné sú často používané a podporené grafickými nástrojmi procesy odvodzovania však nespadajú do štandardných logických kategórií ešte nie sú dobre chápané a formalizované vyvinúť odvodzovací algoritmus nad štruktúrami istého druhu je oveľa jednoduchšie než vysvetliť, čomu zodpovedajú odvodené štruktúry v doméne
Štruktúrovaná logika každý z variantov deskripčnej logiky je fragmentom logiky prvého rádu reprezentácia je na úrovni uzavretých formúl: vo formalizme nie sú žiadne premenné každá základná deskripčná logika je podmnožinou logiky prvého rádu bez funkcií najviac tri mená premenných
Prečo nestačí logika prvého rádu? logika 1. rádu bez dodatočných obmedzení: rozpadne sa štruktúra znalostí ťažko mať základ pre odvodzovanie príliš veľká vyjadrovacia sila na získanie rozhodnuteľných a efektívnych odvodzovacích problémov potenciálne primalá odvodzovacia sila na vyjadrenie zaujímavých a rozhodnuteľných teórií
Štruktúrované siete dedičnosti: structured inheritance networks štruktúrované opisy: zodpovedajú zložitým štruktúram objektov prepojených asociáciami/reláciami postavené na redukovanej množine logických konštruktov dva druhy znalostí: koncepty (terminológia) + inštancie (tvrdenia) KL-One centrálnu rolu hrá automatická klasifikácia, ktorou sa určí subsumpcia možno postaviť zväz striktné odvodzovanie bez implicitných znalostí
Teória deskripčnej logiky definícia predikátov TBox terminologies tvrdenia nad konštantami ABox assertions
Elementy jazyka TBox Koncepty označujú entity unárne predikáty triedy Roly označujú vlastnosti binárne predikáty relácie { x STUDENT(x) } { x ŽENATÝ(x) } { <x,y> PRIATEĽ(x,y) } { <x,y> MILUJE(x,y) }
Výrazy pre koncepty DL organizuje informácie do tried koncepty! homogénne dáta klasifikované podľa relevantných spoločných vlastností, ktoré majú inštancie Študent Priateľ. Ženatý x Študent x y. Priateľ x, y Ženatý(y)
Poznámka k -výrazom je mechanizmus pomenovávania funkcií λ x. f(x) = funkcia, ktorá pre vstup x vráti f(x) platí: vieme pomenovávať funkcie
Definícia predikátov pomocou predikát = pravdivostná funkcia potom je funkcia: definičný obor: individuály z domény obor hodnôt: pravdivostné hodnoty P potom určuje množinu individuálov, pre ktoré je pravdivá pretože P(a) znamená, že pre a je predikát splnený a je rozšírenie P
Definícia predikátov pomocou pre unárny predikát Osoba: Osoba := (x).osoba(x) tvrdí, že Osoba určuje množinu osôb: Osoba I = { x Osoba(x)} Osoba(peter) akk peter I Osoba I to isté pre binárny predikát: Priateľ := (x, y).priateľ(x, y) Priateľ I := { <x,y> Priateľ(x, y)}
Definícia predikátov pomocou Funkcie, ktoré definujeme lambdou, môžu byť parametrické
Interpretácia konceptových výrazov
Objekty a triedy trieda Študent: Osoba Meno: String Adresa: String Zapísaný: [Predmet]
Sémantické siete
Kvantifikátory Žaba má farbu Zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená každá žaba je aj zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená každá žaba je len zelená
Kvantifikátory: existenčný Žaba má farbu Zelená Každá žaba je aj zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená Cvičenie: je toto modelom? Žaba(oscar), Zelená(zelená), MÁ-FARBU(oscar, zelená), Červená(červená), MÁ-FARBU(oscar, červená)
Kvantifikátory: všeobecný Žaba má farbu Zelená Každá žaba je len zelená Žaba MÁ-FARBU.Zelená Cvičenie: je toto modelom? Žaba(oscar), Zelená(zelená), MÁ-FARBU(oscar, zelená), Červená(červená), MÁ-FARBU(oscar, červená) A toto? Žaba(felix), AGENT(felix, oscar)
Analytické odvodzovanie [intuícia] Osoba subsumuje Osoba, ktorá má priateľov, je lekárom subsumuje Osoba, ktorá má priateľov, je chirurgom
Analytické odvodzovanie [intuícia] Osoba, ktorá má aspoň dve deti subsumuje Osoba, ktorá aspoň troch synov Osoba, ktorá má aspoň tri malé deti disjunktná s Osoba s najviac dvoma deťmi
zamerajme sa na najjednoduchšiu možnú štrukturálnu DL: hovorme o jazyku logiky syntax sémantika problémy v odvodzovaní: rozhodnuteľnosť zložitosť procesy v rozhodovaní: korektnosť úplnosť asymptotická zložitosť Logika
Gramatika
Alternatívna gramatika
Intuitívna sémantika Koncepty = triedy = množiny individuálov atomické koncepty: mená primitívnych konceptov ďalej ich nedefinujeme Roly = vzťahy medzi dvojicami individuálov :and = zodpovedá konjugovaným konceptom v definícii môžeme spojiť viacero vlastností využijeme nadkoncepty realizujeme reštrikciu atribútov
Kvantifikátory :all reštrikcia konceptu na hodnoty atribútu x je (:all R C) akk každý prvok v relačnom páre s x je konceptom C (:all MÁ-DIEŤA Lekár) niečo, koho všetky deti sú lekármi predpokladáme, že MÁ-DIEŤA(x, y) = x je otcom y použité na obmedzenie hodnoty slotu v rámci :some existuje aspoň jedna hodnota pre atribút x je (:some R) akk existuje aspoň jeden prvok v relačnom páre s x (:and Osoba (:some MÁ- DIEŤA)) reprezentuje koncept,,rodič" spôsob ako zaviesť do rámca slot
Vzťah s databázami atomické koncepty = jednostĺpcové tabuľky CREATE TABLE Samec (VALUE VARCHAR) na dátovom type stĺpca nezáleží prítomnosť riadka v tabuľke je ekvivalentné situácii, keď predikát vráti TRUE roly = dvojstĺpcové tabuľky opäť nezáleží na dátových typoch closed-world assumption: elementy, ktoré nie sú v riadkoch, sú FALSE open-world assumption: o elementoch neprítomných v riadkoch nevieme nič skonštatovať
(:all MÁ-DIEŤA Lekár) SELECT MÁ-DIEŤA.x FROM MÁ-DIEŤA, Lekár WHERE MÁ-DIEŤA.y = Lekár.x Vzťah s databázami MÁ-DIEŤA.X Heraclides Hippokrates Hippokrates Vesalius MÁ-DIEŤA.Y Hippokrates Thessalus Draco Anne Lekár.X Hippokrates Thessalus Draco Vesalius Schweitzer
(:some MÁ-DIEŤA) Vzťah s databázami SELECT DISTINCT MÁ-DIEŤA.x FROM MÁ-DIEŤA MÁ-DIEŤA.X Heraclides Hippokrates Hippokrates Vesalius MÁ-DIEŤA.Y Hippokrates Thessalus Draco Anne
Formálna sémantika Interpretácia pozostáva z: domény: neprázdna množina interpretačná funkcia mapujúca každý koncept na podmnožinu každú rolu na podmnožinu je extenzionálna funkcia akk
množina rozšírení C Poznámky k definícii je množina individuálov v má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako C(x) je ekvivalentné R(x, y)
Vyberme si doménu funkciu nad Príklad a extenzionálnu vypočítajme rozšírenia nasledovných konceptov (:and Dospelý Samec) (:and Dospelý Samec Bohatý) (:all MÁ-DIEŤA (:and Dospelý Samec)) (:some MÁ-DIEŤA)
Problém subsumpcie koncept C je subsumovaný konceptom D akk pre každú doménu z pre každú rozširujúcu funkciu platí nad t. j.
Jednoduché príklady (:and Dospelý Samec) Dospelý (:and Dospelý Samec Bohatý) (:and Dospelý Samec) (:all MÁ-DIEŤA (:and Dospelý Samec) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:and (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:some MÁ-DIEŤA)) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý)
Jednoduché protipríklady (:all MÁ-DIEŤA Dospelý) (:some MÁ-DIEŤA) všetky deti sú dospelé vs má aspoň 1 dieťa (:some MÁ-DIEŤA) (:all MÁ-DIEŤA Dospelý)
Vlastnosti súvisiace s vypočitateľnosťou Subsumpcia pre urobíme konštruktívny dôkaz! Rozhodnuteľná Zložitosť v P
Štrukturálny algoritmus subsumpcie založený na štrukturálnom porovnávaní konceptových výrazov každý konceptový výraz pozostáva z podvýrazov každý podvýraz z prvého konceptového výrazu porovnáme so všetkými podvýrazmi druhého konceptového výrazu dve fázy: 1. Prepíšme koncepty do normálnej formy 2. Porovnajme ich štruktúry
Normálna forma 1. Zbavíme sa zátvoriek vo vnorených konjunkciách 2. Konjunkcie univerzálnych kvantifikátorov prepíšeme na kvantifikovanú konjunkciu Prepisovacie pravidlá vedú k ekvivalentným formulám! (Dôkaz na domácu úlohu ).
Základný algoritmus pre subsumpciu Majme koncepty v normálnej forme Algoritmus SUBS?[C, D] vráti TRUE akk pre každý podkoncept : buď ide o atomický koncept alebo koncept tvaru potom existuje také, že alebo ide o koncept tvaru, a potom existuje tvaru (s rovnakou atomickou rolou ), takou, že SUBS? [C', D']
Asymptotická zložitosť indukciou cez všeobecné kvantifikátory vieme dokázať, že zložitosť je O( C x D ) kvadratická vzhľadom na dĺžku,,dlhšieho" konceptu optimalizácia: usporiadajme lexikograficky podvýrazy každého konceptu zložitosť bude len O(n. log(n)) binárne vyhľadávanie n je dĺžka,,dlhšieho" konceptu ale dominantným faktorom bude zložitosť algoritmu usporiadavania konceptov
Korektnosť odvodzovací algoritmus je korektný, ak každé riešenie, ktoré sa pomocou neho získa, je aj skutočným riešením Tvrdenie: Algoritmus štrukturálnej subsumpcie je korektný. ak SUBS?[C, D] je TRUE, potom vo všetkých interpretáciách je
Pozorovanie krok algoritmu, v ktorom prerábame výrazy do normálnej formy nikdy nemení rozširujúcu funkciu pre danú interpretáciu nemá teda vplyv na korektnosť ani úplnosť
Neformálny dôkaz Predpokladajme, že SUBS?[C, D] je pravdivé Uvažujme nad jedným z podkonceptov buď je rovný niektorému konceptu alebo je tvaru potom musí existovať medzi podkonceptami D-čka, kde platí SUBS?[C', D'] použitím indukčného kroku dostaneme, že rozšírenie D' musí byť podmnožinou C' a teda každé rozšírenie D j musí byť podmnožinou C i
Neformálny dôkaz bez ohľadu na tvar je C i platí, rozšírenie D musí byť podmnožinou C i toto D je konjunkciou D j -čiek toto navyše platí pre každé C i teda rozšírenie D musí byť podmnožinou rozšírenia C rozšírenie C je prienik všetkých rozšírení C i teda vždy, keď SUBS vracia TRUE, C subsumuje D a teda
Úplnosť ak existuje riešenie danej inštancie problému, úplný odvodzovací algoritmus ho nájde. Tvrdenie Štrukturálny algoritmus je úplný. Vždy keď pre každú interpretáciu, potom algoritmus povie, že C subsumuje D
Úplnosť: idea dôkazu Ukážeme, že vždy, keď SUBS?[C, D] vráti FALSE, existuje interpretácia, ktorá priradí prvok konceptu D, ale nie konceptu C teda interpretácia rozšírenia C nebude nadmnožinou rozšírenia D Táto interpretácia je protipríkladom. Ak algoritmus vráti FALSE,... znamená to, že nie je pravda, že.. a teda C D (:and Dospelý Samec) Dospelý SUBS?[(:and Dospelý Samec), Dospelý]
Idea dôkazu Vždy, keď SUBS?[C, D] je FALSE, môžeme nájsť podvýraz C i v C taký, že preň neexistuje súputník v koncepte D. V tom prípade ukážeme, že existuje interpretácia, ktorá priraďuje objekt akémukoľvek primitívnemu konceptu, ale nie konceptu Ci Z toho vyplynie, že je nemožné, aby bolo
Štrukturálne algoritmy:,,normalizuj a porovnaj" čo sa stane, ak obohatíme expresivitu? staršie systémy s neúplnými algoritmami klasický, BACK, LOOM problémom sú interakcie medzi konštruktormi štrukturálne algoritmy sú založené na syntaktickom porovnávaní podvýrazov neberú ich do úvahy Príklad: A A subsumuje ľubovoľný koncept, dokonca i taký, ktorý vo svojej definícii nespomína A
Sumár: kde sa nachádzame deskripčné logiky sú formalizáciou OO jazykov DL sú jazykmi na úrovni predikátov koncepty roly odvodzovanie (reasoning) problém subsumpcie najjednoduchšia DL z hľadiska štruktúry:
Aký má zmysel DL? ak je predikátový počet použitý bez akýchkoľvek obmedzení strácame štruktúru znalostí bez premenných koncepty sú triedami roly sú vlastnosťami vyjadrovacia sila (expresivita) je priveľká na dobré vlastnosti súvisiace s vypočítateľnosťou na efektívne odvodzovacie procedúry
Axiómy, disjunkcie a negácie Lektor Študent Profesor x. Lektor(x) Študent(x) Profesor(x) nutná podmienka pre lektora je nebyť študentom alebo byť profesorom absolvent, ktorý lektoruje nemusí byť profesorom môžeme mať profesora, ktorý nie je absolventom v slovenskom systéme nemožné, v zahraničných áno ;-)
Axiómy, disjunkcie a negácie Lektor Študent Profesor x. Lektor(x) Študent(x) Profesor(x) pre atomický koncept na ľavej strane symbol reprezentuje primitívnu definíciu udáva len nutné podmienky symbol udáva skutočnú definíciu nutné aj postačujúce podmienky
najjednoduchšia výroková DL Primitívny koncept Primitívna rola Top koncept Bottom koncept Komplement Konjunkcia Disjunkcia Všeobecný kvantifikátor Existenčný kvantifikátor
konjunkcia interpretovaná ako prienik množiny individuálov disjunkcia interpretovaná ako zjednotenie množiny individuálov negácia interpretovaná ako komplement množiny individuálov Uzavretý jazyk predikátového počtu
porovnajme s expresivitou Negácia kvantifikátorov
Formálna sémantika Interpretácia pozostáva z: domény: neprázdna množina interpretačná funkcia mapujúca každý koncept na podmnožinu každú rolu na podmnožinu každý individuál na prvok z množiny interpretačná funkcia je rozširujúcou funkciou akk spĺňa sémantické definície jazyka
Základné znalosti
TBox: deskripčná sémantika pre TBox je navrhnutých viacero sémantík typické kritérium: povoľujeme cyklické tvrdenia? budeme uvažovať sémantiku založenú na klasickej logike Interpretácia spĺňa tvrdenie C D ak Interpretácia spĺňa tvrdenie C D ak Interpretácia je modelom TBoxu, ak spĺňa všetky tvrdenia v ňom.
Ak ABox je interpretácia, potom platí C(a) je splniteľné v tejto interpretácii ak R(a, b) je splniteľné, ak Množina obsahujúca výroky (assertions) sa nazýva ABox Interpretáciu nazývame modelom ABoxu, ak každý výrok v tomto Aboxe je v nej splniteľný. ABox je splniteľný, ak má model
ABox Interpretácia sa nazýva modelom základnej znalosti Σ, ak každá axióma z tejto základnej znalosti je v splniteľná Základná znalosť je splniteľná, ak má model.
Logická implikácia Ak každý model základnej znalosti je modelom výroku φ, označujeme to
Logické dôsledky: čo ak...
Splniteľnosť konceptu Odvodzovacie procedúry je koncept splniteľný v základnej znalosti? existuje model základnej znalosti, ktorý interpretuje koncept do neprázdnej množiny? Študent Osoba
Subsumpcia Odvodzovacie procedúry je koncept C subsumovaný konceptom D vzhľadom na základnú znalosť? platí pre každý model základnej znalosti, že Študent Osoba
Splniteľnosť Odvodzovacie procedúry má základná znalosť model? otázka, či je základná znalosť splniteľná Študent Osoba
Odvodzovacie procedúry Overenie inštancie (instance check) je daný výrok C(a) splniteľný v každom modeli základnej znalosti Σ? Profesor(knuth)
Získanie inštancií Odvodzovacie procedúry chceme všetky individuály, pre ktoré je daný koncept splniteľný v danej základnej znalosti Profesor => {knuth}
Realizácia Odvodzovacie procedúry chceme všetky koncepty, ktoré sú s daným individuálom splniteľné v danej základnej znalosti knuth => Profesor
Redukcia na splniteľnosť niektoré odvodzovacie procedúry vieme previesť na problém splniteľnosti splniteľnosť konceptu: ekvivalentné problému: existuje x také, že má model sumsumpcia ekvivalentné problému nemá žiaden model
Redukcia na splniteľnosť niektoré odvodzovacie procedúry vieme previesť na problém splniteľnosti overenie inštancie ekvivalentné problému: existuje x také, že nemá model
Taxonómie Taxonómia Minimálna relácia nad množinou pomenovaných konceptov taká, že jej reflexívno-tranzitívny uzáver je reláciou sumsumpcie. subsumpcia je relácia čiastočného usporiadania na množine konceptov ak berieme do úvahy len pomenované koncepty, subsumpcia indukuje taxonómiu, kde explicitne kreslíme len priame subsumpčné vzťahy
Taxonómie
Klasifikácia Pre daný koncept C a TBox T a pre všetky koncepty D z TBoxu T chceme zistiť, či D subsumuje C alebo D je subsumované C. Intuitívne: chceme nájsť správne miesto pre koncept C v taxonómii, ktorá je implicitne daná v Tboxe Klasifikácia: úloha vkladania nových konceptov do taxonómie Triedenie nad čiastočným usporiadaním
Odvodzovacie procedúry Konečné, efektívne a úplné algoritmy pre rozhodnutie splniteľnosti sú k dispozícii. rovnako pre ostatné spomenuté odvodzovacie procedúry založené na technikách tableaux kalkulu úplnosť je dôležitá pre použitie deskripčných logík v reálnych aplikáciách tieto algoritmy sú efektívne pre priemerné základné znalosti a to i v prípade, že problém v príslušnej logike je z PSPACE, resp. EXPTIME
Niektoré rozšírenia ALC
Reštrikcie v kardinalitách Kvantifikátory v rolách nedokážu pokryť niektoré prípady,,žena má aspoň tri [najviac 5] detí" Ide o rozšírenie klasických kvantifikátorov
Reštrikcie v kardinalitách
Roly ako funkcie Rola je funkcionálna, ak filler má funkčnú závislosť na individuále ak rolu možno považovať za funkciu R(x,y) je ekvivalentné f(x) = y roly MÁ-POTOMKA a JE-RODIČOM nie sú funkcionálne roly JE-MATKOU a MÁ-VEK sú funkcionálne ak je rola funkcionálna, označujeme operátorom selekcie
Individuály predpokladáme, že v každej interpretácii označujú rozličné individuály rôzne prvky pre každú dvojicu individuálov a, b a pre každú interpretáciu I platí, že ak a <> b, potom a I <> b I Unique Name Assumption: predpoklad rozličných mien obvyklé v databázových aplikáciách
Individuály Koľko detí má táto rodina? Rodina(r) Je-otcom(r, ján), Je-matkou(r, zuzana) Je-synom(r, paľo), Je-synom(r, juraj), Je-synom(r, andrej)
Vymenované typy
Vzťah logiky a OO modelu
Niektoré konštruktory pre rolové výrazy
Rozšírenia deskripčných logík implicitné hodnoty (defaults) beliefs (viera) pravdepodobnostné odvodzovanie a odvodzovanie založené na podobnosti epistemické tvrdenia individuály, o ktorých vieme, že spĺňajú koncepty closed world assumption záznamy, množiny, kolekcie, agregácie konkrétne domény tvrdenia závisia od domény ontologické primitívy čas a akcie priestor časti a celky