40 0. Fazorska ransformacia X. PEDAVANJE Ograničn na linarn vrmnski npromnliv mrž i dnoharmoniski poica. Prvorba ingrodifrncialn dnadžb u algbarsku dnadžbu. Poam ransformaci. Poam fazora. Osnovna pravila fazorsk ransformaci. Frkvncisko područ. O kvocinu fazora. Poam funkci mrž. Ulazn i prinosn funkci mrž. Frkvnciski odziv. Pomovi impdanci i admianci. Ulazn funkci mrž za opor, kapaci i indukivi. Frkvnciski odziv opora, kapacia i indukivia. III. SINUSOIDANO USTAJENO STANJE 0. ODEĐIVANJE USTAJENOG STANJA KASIČNIM POSTUPKOM Posupak odrđivana usalnog sana pokaza ć s na primru sriskog -kruga napaanog iz naponskog izvora u, sl. 0.. Ova posupak vridi samo u i 0. FAZOSKA TANSFOMAIJA { } { + Im } cos + sin s funkcia poicaa u i prposavlni odziv (u usalnom sanu i I ˆ cos( + napišu u obliku u i cos { } { } ( + pri čmu su ampliuda Î i počni ku φ npozna vličin ko vala odrdii. Očigldno Sl. 0. Shma spoa sriskog -kruga. za linarn vrmnski npromnliv mrž priklučn na dnoharmoniski izvor. U skladu sa KZN, vridi da di + i + i ( x dx Budući da nas zanima samo usalno san, bi ć u skladu s dfiniciom nodrđnog ingrala x dx x dx+ x dx 0 0 ; 0 - po voli šo i fizikalno očigldno, budući da počna vridnos naboa dobivna ingriranm od do nkog rnuka po voli 0 ionako n uč na usalno san! Tim difrncialna dnadžba ( prlazi u oblik ( di + i + i U i ima fizikalni smisao samo pri odrđivanu usalnog sana. Jdan od načina ršavana ov dnadžb pokazan u odsčku 9... Drugi način, kraći i dnosavnii s da s korisi Eulrov idni ( di { } ; i Uvrsimo li ov izraz u (, dobivamo da { ( } ( + + + + + U { } + ( { } Jdnadžba (3 izražava dnakos izmđu ralnih dilova dvau komplksnih brova. No ona sigurno vridi i ako su a dva komplksna broa dnaka a n samo nihovi ralni dilovi! Zbog oga opraor {...} možmo ispusii + + U Nakon množna ov dnadžb sa (3, dobivamo da + ( U (4 Polazna ingro-difrncialna dnadžba ( svdna na algbarsku dnadžbu (4! U izrazu (4 prvo izdnačimo modul, a zaim fazn kuv. Proizlazi ˆ I + (
III. Sinusoidalno usalno san 4 Î i su ralni poziivni brovi, a u skladu s Eulrovim idniom očigldno dok + ampliuda sru dnaka + + Izdnačavanm faznih kuva u izrazu (4 proizlazi odnosno 0 + arcg + 0 (5 arcg (6 čim posavlna zadaća rišna. Srua u usalnom sanu dana izrazom U i cos ( arcg + 0. OSNOVNA IDEJA FAZOSKE TANSFOMAIJE (K. P. Sinmz, 893. Posupak opisan u prhodnom odsčku mož s posv formalizirai uvođnm poma fazorsk ransformaci. Transformacia. Podnosavlni posupak da s obavi nšo šo inač ško. Transformacia ima smisla ako s zadani problm mož rišii na dnosavnii način i ako posoi skup pravila za kodiran odnosno dkodiran. Fazor. Komplksni bro koim prikazana dnoharmoniska funkcia. Fazorska ransformacia s sasoi u om da s dnoharmoniska funkcia : Aˆ cos( + Aˆ { } prikaž (ransformira (kodira komplksnim brom (fazorom A &, Aˆ cos A ˆ (7 Pri om znak pokazu da ova ransformacia dvosrana,. moguć prilaz iz vrmnskog područa u komplksn brov i obrano. Znak s obično čia kao prslikava u ili ransformira u. Popuno bi bilo krivo pomislii da ransformacia dana izrazom (7 dina moguća. Ona samo nadnosavnia r vodi na o da A ˆ cos Aˆ (8a. da dnoharmoniska funkcia Aˆ prikazana odsčkom dulin  na ralno osi ravnin komplksnih brova. Budući da fazor komplksni bro koim prikazana dnoharmoniska funkcia, nma nikakvih razloga da s u naopćniim slučau n dfinira fazorska ransformacia kao A ˆ a + b ˆ gd A a + b, a ku ψ za koi su zaroiran osi koordinanog susava dnak ψ arcg b/a. Naravno, o suvišna komplikacia, pa s o nikad n radi. U praksi s, osim prhodno navdn, izraz (8a, čso korisi i ova dnosavna ransformacia A ˆ sin Aˆ (8b Zadani problm TANSFOMAIJA (KODIANJE Problm ransformiran (kodiran ili ponkad A ˆ sin Aˆ. Složni opraci šn problma područ Sl. 0. (DEKODIANJE Moda ransformaci. Jdnosavni opraci šn u ransformiranom obliku područ Zaklučimo: Analiza mrž u sinusoidalnom usalnom sanu s pomoću fazora započin nakon šo unaprid zadan ili dogovorn način prslikavana (ransformaci, rcimo s pomoću izraza (8a ili (8b. Pri ngo šo s zada ili dogovori način ransformaci piana popu: Zadan fazor, kako glasi pripadna dnoharmoniska funkcia?, ili obrano pian, nmau nikakva smisla!
4 0. Fazorska ransformacia 0.3 OSNOVNA PAVIA FAZOSKE TANSFOMAIJE a Fazorska ransformacia linarna ransformacia. Ako za dvi dnoharmonisk funkci f ( i f ( vridi : f ( ; f ( ada vridi i da : α + βf ( α A & + β (9 gd su α i β konsan. b Fazorska ransformacia drivirana df f A ( A c Fazorska ransformacia ingrirana (0 A A A A A cos( + g( A cos ψ ( ψ cos[ + ( ψ ] f( a funkcia g( ni dnoharmoniska funkcia. Zbog oga kvocin fazora ni fazor, a analogno vridi i za umnožak fazora. Primr : Odrdi valni oblik sru kruga prma slici 0. korisći fazorsku ransformaciu. šn : Označimo : u U 0 ( cos & 0 cos( + Difrncialna dnadžba ( prslikana (ransformirana u frkvncisko područ uz pomoć pravila za driviran (0 i ingriran ( sada glasi : I & + + f A ( A ( Napomna: Za opraci s komplksnim brovima, kad ih smaramo fazorima, kažmo da su o opraci u frkvnciskom - područu, za razliku od originalnog vrmnskog - područa. 0 + ( odakl odmah dobivamo is izraz za ampliudu i počni ku kao i u prhodnom odsčku. 0.4 FUNKIJE MEŽE I Pian : Zašo kvocin fazora ni fazor? Ako svaki fazor komplksni bro a dilnm fazora s ponovno dobiva nki komplksni bro, onda zbog dvosranosi fazorsk ransformaci izglda da i a komplksni bro fazor! a Formalni odgovor da diln ni linarna opracia, pa prma om rzula dilna ni fazor, očan, ali n dlu kao zadovolavaući odgovor! b Nka su zadan dvi dnoharmonisk funkci ( Aˆ cos Aˆ ; A ˆ A f ψ ( Aˆ cos ψ Aˆ ; A ˆ A f Kvocinu fazora n odgovara u vrmnskom područu kvocin pripadnih vrmnskih funkcia : 0.4. Osnovni pomovi Funkcia mrž. fazor odziva H ( H ( fazor poicaa ϑ ( Ampliudna karakrisika. Grafički prikaz funkci H (. Fazna karakrisika. Grafički prikaz funkci ϑ (. Frkvnciski odziv. Tvor ga ampliudna i fazna karakrisika prikazan zadno. Ulazna funkcia mrž. Kvocin dvau fazora dfiniranih na isom paru priklučaka mrž (isom prilazu. Poso dvi ulazn funkci mrž. To su: impdancia dfinirana kvocinom fazora napona U & i sru I & na isom prilazu,. Z( (
III. Sinusoidalno usalno san 43 i admiancia, dfinirana kvocinom fazora sru i napona na isom prilazu. koa nakon fazorsk ransformaci, korisći pravilo (9, prlazi u oblik : Y ( (3 Z( U & Prinosna funkcia mrž. Kvocin dvau fazora dfiniranih na različiim parovima priklučaka mrž (različiim prilazima. H ( Z ( ; 0 H ( (8 Sl. 0.3 Prikaz dvoprilaza u frkvnciskom područu. Za dvoprilaz kod koih s prilaz obično smara prilazom na kom dlu poica poso čiri prinosn funkci mrž. To su : a prinosna impdancia Z (4 ( b prinosni omr srua c prinosni omr napona I & I & U & DVOPIAZ U & α ( (5 A ( (6 b Kapaci. U vrmnskom područu vridi konsiuivna rlacia : du i koa nakon fazorsk ransformaci, korisći pravilo drivirana (0, prlazi u oblik : H ( Z I & ( ; π H ( (9 Impdancia Z ( čso s naziva i kapaciivna rakancia. c Indukivi. U vrmnskom područu vridi konsiuivna rlacia: di u koa nakon fazorsk ransformaci, korisći pravilo drivirana (0, prlazi u oblik : U & d prinosna admiancia Y (7 ( H ( Napomna: Poglda u poglavlu 4. osnovn vrs linarnih zavisnih izvora! 0.4. Ulazn funkci mrž za osnovn dnoprilazn lmn mrž Prposavlamo da za napon i sruu lmna mrž vridi ransformacia : u( i da u svim slučavima srua shvaćna kao poica. a Opor. U vrmnskom područu vridi konsiuivna rlacia : u i π/ -π/ Sl. 0.4 Frkvnciski odziv opora, kapacia i indukivia.
44 0. Fazorska ransformacia H ( Z ( ; H ( π (0 Impdancia Z ( čso s naziva i indukivna rakancia.